Xác suất của biến cố A là Cách 1:Gọi B:” Lấy được ít nhất một quả cầu màu xanh” Gọi C:”Không lấy được quả cầu màu xanh” Tức là lấy được 4 quả màu vàng Xác suất của biến cố C là Ta thấy B[r]
(1)ĐỀ Câu (3 điểm): a) Lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số phân biệt từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, b) Lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác đôi từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 2 x 2 y x 2 x x Câu 3: a)Khai triển nhị thức b) Tìm hệ số chứa khai triển Câu Bạn Hồng có sách tham khảo gồm 17 khác nhau, đó có sách Văn, sách Sử và sách Địa Bạn Hồng muốn lấy bốn sách để tham khảo Tính xác suất để a) lấy cùng môn b lấy có ba môn Câu 4(1,0 điểm): Cho n là số tự nhiên lẻ ( n 1 ) CMR: Cn1 Cn3 Cn5 Cnn 2 n ĐÁP ÁN ĐỀ Câu NỘI DUNG Gọi số cần tìm là abcd Khi đó: Có cách chọn số d, Có cách chọn số c Có cách chọn số b , Có cách chọn số a Theo quy tắc nhân có 7.6.5.4= 840 số Gọi số cần tìm là abcd Khi đó: TH1: d = d có cách chọn Các số còn lại có: A6 cách chọn ĐIỂM 0.5 0.5 0.5 0.5 có A6 = 120 (số) 0.5 TH 2:d 0 d có cách chọn, a có cách chọn, các số còn lại có A5 cách chọn 0.5 A có 3.5 = 300 (số) Vậy có tất là: 120 + 300 = 420 (số) x 2 y 4 C40 x C41 x y C42 x 2 2y x x y 24 x y 32 xy 16 y C43 x y C44 y 1.5 2 x 2 x , Số hạng TQ; Ta có khai triển k Tk 1 C x 6 k 1.5 k k 2 k 18 5k C6 x x ; số hạng chứa x3 nên 18 – 5k = suy k = nên hệ số x3 là: 3 C63 160 n C174 2380 0.5 Gọi A là biến cố: “bốn lấy cùng môn” đó có n( A) C C C 51 4 P( A) n( A) 51 n() 2380 140 nên Gọi B là biến cố: “bốn lấy có ba môn” đó 1,25 (2) n(B) C72 C61 C41 C71 C62 C41 C71 C61 C42 504 420 252 1176 P( B) n( B ) 1176 42 n() 2380 85 Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 C nn Cnn 2n Với n lẻ ta có n n n n C C C C C n n nên (1) và n n ( C ) 0 (2) 1.25 0.5 Trừ vế theo vế (1) với (2) ta có Cn1 Cn3 Cn5 Cnn 2n Cn1 Cn3 Cn5 Cnn 2n 2n (đpcm) 0.5 (3) ĐỀ Câu 1: ( 1.5 điểm) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số các chữ số không cần khác Câu 2: ( 1.5 điểm) Gieo súc sắc hai lần b Hãy mô tả không gian mẫu c Hãy xác định biến cố: A:” Tổng số chấm hai lần gieo là 5” Câu 3: ( 3.5 điểm) Một hộp đựng mười cầu xanh, sáu cầu vàng Lấy ngẫu nhiên bốn cầu từ hộp trên Tính xác suất để: a) Lấy bốn cùng màu b) Lấy ít cầu xanh Câu 4:( 2.0 điểm) Một nhóm công nhân gồm 10 nam và nữ Người ta muốn thành lập tổ công tác bốn người gồm tổ trưởng là nam, tổ phó là nam và hai nữ Hỏi có bao nhiêu cách thành lập tổ công tác trên? 2 n n Câu 5: ( 1.5 điểm) Cho số nguyên dương n thỏa mãn đẳng thức 4Cn Cn Cn 624 2x2 x n 3n Tìm số hạng chứa x khai triển với x 0 ĐÁP ÁN ĐỀ Câu Hướng dẫn giải Gọi số cần tìm là abcd ( 1.5đ) Số a 0 có cách chọn Số b có cách chọn Số c có cách chọn Số d có cách chọn Theo quy tắc nhân có 6.6.6.5=1080( số) i; j :1 i, j 6 2a) A 1; , 4;1 , 2;3 ; 3; 2b) 3a) Lấy cầu từ 16 là tổ hợp chập 16 phần tử Số phần (2.0đ) tử không gian mẫu là: n C164 1820 Điểm 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 1.0 0.5 0.25 Gọi A: “ Lấy bốn cùng màu” TH1: Lấy màu xanh từ 10 xanh là tổ hợp chập 10 phần tử Số cách lấy là: C10 0.25 TH2: Lấy màu vàng từ cầu vàng là tổ hợp chập 0.25 phần tử Số cách lấy là: C6 4 0.25 n A C C 225 Theo quy tắc cộng ta có 10 P A 3b) (1.5đ) n A 225 45 n 1820 364 Xác suất biến cố A là Cách 1:Gọi B:” Lấy ít cầu màu xanh” Gọi C:”Không lấy cầu màu xanh” Tức là lấy màu vàng Xác suất biến cố C là Ta thấy B C nên n C C64 15 PC nC 15 n 1820 364 P B P C 1 P C 1 361 364 364 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 (4) Cách 2: Gọi B:” Lấy ít cầu màu xanh” Tính n(B) Tính P(B) ( 2.0đ) Lấy nam 10 nam để làm tổ trưởng, tổ phó là chỉnh hợp chập 10 phần tử số cách lấy là : A10 90 Lấy nữ nữ là tổ hợp chập phần tử Số cách lấy là C6 15 Theo quy tắc nhân có: 15.90=1350( cách) (1.5đ) 0.25 1.0 0.25 2 n n n Ta có x Cn 4Cn x Cn x Cn x 2 n n n Cho x = nên Cn 4Cn Cn Cn 5 4Cn1 Cn2 4n Cnn 624 5n 625 n 4 x 1 Ta có khai triển: x 0.25 12 Tk 1 1 k 12 k C12k x 24 3k Số hạng tổng quát khai triển là: Theo bài ta có 24 3k 3 k 7 Vậy số hạng cần tìm là T8 99 x 0.5 0.5 0.25 0.25 n 1.0 0.25 0.5 (5) ĐỀ Câu (3 điểm): a) Lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số phân biệt từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, b) Lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác đôi từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, Câu 2(3.0 điểm): a) Khai triển nhị thức x 2 y 2 x 2 x x b) Tìm hệ số chứa khai triển Câu 3(3.0 điểm): Bạn Hồng có sách tham khảo gồm 17 khác nhau, đó có sách Văn, sách Sử và sách Địa Bạn Hồng muốn lấy bốn sách để tham khảo Tính xác suất để b) lấy cùng môn c) lấy có ba môn Câu 4(1,0 điểm): Cho n là số tự nhiên lẻ ( n 1 ) Chứng minh đẳng thức Cn1 Cn3 Cn5 Cnn 2 n ĐÁP ÁN ĐỀ Câu NỘI DUNG Gọi số cần tìm là abcd Khi đó: Có cách chọn số d, Có cách chọn số c Có cách chọn số b , Có cách chọn số a Theo quy tắc nhân có 7.6.5.4= 840 số ĐIỂM 0.5 0.5 0.5 Gọi số cần tìm là abcd Khi đó: 0.5 TH1: d = d có cách chọn Các số còn lại có: A6 cách chọn có A6 = 120 (số) 0.5 TH 2:d 0 d có cách chọn, a có cách chọn, các số còn lại có A5 cách chọn A52 0.5 có 3.5 = 300 (số) Vậy có tất là: 120 + 300 = 420 (số) x 2 y 4 C40 x C41 x y C42 x 2y C43 x y C44 y 1.5 x x y 24 x y 32 xy3 16 y k 6 k 2 k k Tk 1 C6 x C6k x18 5k x 2 x , Số hạng TQ; x Ta có khai triển ; số hạng chứa x nên 18 – 5k = suy k = nên hệ số x là: 3 C63 160 1.5 (6) 0.5 n C174 2380 Gọi A là biến cố: “bốn lấy cùng môn” đó có P( A) n( A) C C C 51 4 1,25 n( A) 51 n() 2380 140 nên Gọi B là biến cố: “bốn lấy có ba môn” đó n(B) C72 C61 C41 C71 C62 C41 C71 C61 C42 504 420 252 1176 P( B) 1.25 nên n( B ) 1176 42 n() 2380 85 n n n Với n lẻ ta có Cn Cn Cn Cn Cn Cn 2 n n n n C C C C C n n (1) và 0.5 n n ( C ) 0 (2) Trừ vế theo vế (1) với (2) ta có C C C C n n n n n 2n 2 C C C C 2n (đpcm) n n n n 0.5 n n ĐỀ Câu Từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên nhỏ 100 Câu Hãy khai triển biểu thức x 1 thành đa thức Khi đó hệ số x đa thức đó bao nhiêu ? Câu Cho điểm không có điểm nào thẳng hàng Hỏi có thể lập bao nhiêu tam giác mà các đỉnh thuộc tập điểm đã cho Câu a)Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp 20 thẻ đánh số từ đến 20 Tìm xác suất để thẻ lấy ghi số lẻ và chia hết cho 3? b)Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến phép thử T Biết A, B và biến cố giao AB có xác suất P(A)=0,8: P(B)=0,5; P(AB)=0,4 Tính: P(A B) ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Đáp án * số có chữ số: cách Điểm 0.5 * số có chữ số có dạng là ab : a) +Chọn a: có cách 0.5 + Chọn b: có cách Theo quy tắc nhân có :6*6=36 cách 0.5 Theo quy tắc cộng có 36+6=42 cách Vậy có 42 số cần tìm x 1 C60 (2 x) C61 (2 x)5 C62 (2 x) C63 (2 x )3 0.5 0.75 C64 (2 x ) C65 (2 x)1 C66 (2 x) 64 x 192 x 240 x 160 x 60 x 12.x 0.75 (7) Từ đó rút hệ số x 240 Lấy điểm từ điểm không thẳng hàng lập thành tam giác và các điểm không thứ tự.Vậy số tam giác là: C6 20 a) Ta có 1; 2;3; ;19; 20 n 20 ; Biến cố A:” thẻ lấy ghi số lẻ và chia hết cho 3” .0 1.0 1.0 A 3,9,15 n A 3 1.0 P A 20 Vậy : b) 0.5 1.0 P A B P ( A) P ( B ) P ( AB ) 0,8 0,5 0, 0,9 ĐỀ Câu ( 2,5 điểm ) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ,lập các số tự nhiên gồm sáu chữ số khác Hỏi: a) Có bao nhiêu số chẵn ? b) Có bao nhiêu số không bắt đầu 456 ? Câu ( 2,0 điểm) Một nhóm có em nam và em nữ a) Cần chọn em nhóm giữ chức vụ : Nhóm trưởng , thư ký Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? b) Người ta cần chọn em nhóm tham gia đồng diễn thể dục.Trong em chọn, yêu cầu không có quá em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Câu ( 1,5 điểm ) 40 x 31 x x Tìm số hạng chứa khai triển nhị thức Niu-tơn Câu ( 2,5 điểm) Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối và đồng chất hai lần a) Hãy mô tả không gian mẫu b) Tính xác suất các biến cố sau: A: '' Tổng số chấm xuất hai lần gieo không lớn '' B: '' Mặt chấm xuất ít lần '' Câu ( 1,5 điểm) Một máy có hai động I và II hoạt động độc lập với nhau.Xác suất để động I và động II bị hỏng là 0,01 và 0,02 Hãy tính xác suất để: a) Cả hai động đều chạy tốt b) Có ít động chạy tốt Câu Câu (2,5 điểm) ĐÁP ÁN Nội dung a) (1,5 đ) - Chọn chữ số hàng đơn vị là số chẵn.Có cách chọn - Mỗi cách chọn chữ số còn lại là hoán vị phần tử Có 5! cách chọn Vậy theo quy tắc nhân có: 3.5 ! = 360 số cần tìm Điểm 0,25x 0,25x (8) Cách khác: Chọn chữ số và dùng quy tắc nhân Chọn đúng cho chữ số cho 0,25x3, kết luận: 0,25x3 b) (1,0đ) - Số các số tự nhiên gồm sáu chữ số khác là: 6! - Số các số tự nhiên gồm sáu chữ số khác và bắt đầu 456 là:3! - Do đó có :6! - 3! = 714 số cần tìm Câu a) (1,0đ) Chọn em từ 10 em để giữ chức vụ: nhóm trưởng và thư (2,0 ký ta có chỉnh hợp chập 10 phần tử điểm) Số cách chọn là: A10 = 90 cách Cách khác: Chọn nhóm trưởng có 10 cách (0,25đ), chọn thư ký có cách (0,25đ) Theo quy tắc nhân có 10.9 = 90 cách (0,25x2đ) 0,25x 0,25 0,25 0,25x 0,25x 0,25x b) (1,0đ) - Số cách chọn em toàn nam là C7 - Số cách chọn nam và nữ là C7 C3 7 0,25 Vậy theo quy tắc cộng có : C + C C = 126 cách chọn Câu (1,5 điểm) k n- k k Số hạng tổng quát: Cn a b C ( x) k 40 40- k k æ1 ö ÷ = C k x 40- k ç ç 40 2÷ ÷ ç èx ø Số hạng tổng quát cần tìm : Để tìm hệ số số hạng chứa x31 ta có : 40 3k 31 k 3 31 31 31 Vậy số hạng chứa x cần tìm là: C40 x = 9880 x Câu (2,5 điểm) a) (0,25đ) i, j / i, j 6 n 62 36 b) (2,25đ)Số phần tử không gian mẫu: '' A: Tổng số chấm xuất hai lần gieo không lớn '' Ta có: 0,25x 0,25x 0,25x 0,25 0,25 A 1,1 , 1, , 2,1 , 1,3 , 3,1 , 2, n A 6 Vậy 0,25x 0,25 / P A n A n 36 B: '' Mặt chấm xuất ít lần '' 0,25 0,25 0,25x B 2,1 , 2, , 2,3 , 2, , 2,5 , 2, , 1, , 3, , 4, , 5, , 6, n B 11 0,25 0,25 (9) Vậy P B n B 11 n 36 Câu Gọi A: “ Động I chạy tốt”, ta có: P ( A) = - 0, 01 = 0,99 (1,5 Gọi B: “ Động II chạy tốt”, ta có: P ( B ) = - 0, 02 = 0,98 điểm) a)Gọi C: “ Cả hai động đều chạy tốt” thì C A B P(C) P A P B 0,9702 (A, B độc lập) b) Gọi D: “ Có ít động chạy tốt” thì D A B P ( D) P A P B P A B 0,9998 Cách khác: D A.B A.B A.B P (D) P A P B P A P B P A P B O,99.0, 02 0, 01.0,98 0,99.0,98 0,9998 (0,5+ 0,25x2 +0,25x2) Cách khác: “Có ít động chạy tốt” là biến cố đối biến cố “không có động nào chạy tốt’’.Vậy P( D) 1 0,01.0, 02 0,9998 (0,5x3) 0,25x 0,25 0.25 0,25x 0.25x (10)