Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng khi C thay đổi a CH có giá trị không đổi b CO EF c Đờng thẳng qua H vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định... Áp dụng bđt bunhia :.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN LẦN NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề C©u (4 điểm) a) T×m sè c¸c sè nguyªn n cho B = n2 – n + 13 lµ sè chÝnh ph¬ng ? b) Tìm số có hai chữ số cho số đó cộng với tích hai chữ số nó thì bình ph¬ng cña tæng hai ch÷ sè cña nã C©u (3 điểm) xy yz y z Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n: Chøng minh r»ng: x = y = z hoÆc xyz = zx x C©u (4 điểm) 4 a) Giải phương trình 13 x x x x 16 b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh x y 3 x x y x y 52 xy C©u (7 điểm) Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB cố định (AB < 2R) Điểm C di động trên cung lớn AB Gọi AE và BF là hai đờng cao tam giác ABC, chúng cắt H Đờng tròn tâm H bán kính HC cắt CA, CB lần lợt P và Q Chứng minh C thay đổi a) CH có giá trị không đổi b) CO EF c) Đờng thẳng qua H vuông góc với PQ luôn qua điểm cố định C©u (2 điểm) Cho c¸c sè d¬ng a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P a b b c c a 2015 T×m a2 b2 c2 b c c a a b Họ và tên thí sinh SBD II §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm (2) C©u (4 điểm) a) T×m sè c¸c sè nguyªn n cho B = n2 – n + 13 lµ sè chÝnh ph¬ng ? b) Tìm số có hai chữ số cho số đó cộng với tích hai chữ số nó thì bình ph¬ng cña tæng hai ch÷ sè cña nã ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM a)Ta thÊy B lµ sè chÝnh ph¬ng 4B lµ sè chÝnh ph¬ng §Æt 4B = k2 (k N) th× 4B = 4n2 – 4n + 52 = k2 (2n-1-k)(2n-1+k) =-51 V× 2n-1+k 2n-1-k nªn ta cã c¸c hÖ 2n k 1 2n k 3 2n k 51 2n k 17 (1) (2) (3) (4) 2n k 51 2n k 17 2n k 2n k Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta tìm đợc n = -12, n =-3, n =13, n =4 12; 3; 4;13 VËy c¸c sè nguyªn cÇn t×m lµ n 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm b)Gäi sè ph¶i t×m cã d¹ng ab ( (a, b N ;0 a 10;0 b 10) 0,5 điểm 2 Theo gi¶ thiÕt ta cã 10a b ab ( a b) b b(a 1) a (10 a) 0,5 điểm 0,5 điểm a 10 a a (10 a ) 25 Ta cã nªn b 5 Thay b lần lợt từ đến ta có ab 13;63;91 C©u (2 điểm) - a) Gi¶i ph¬ng tr×nh Bình phương vế ta : x (13 x x ) 256 - Áp dụng bđt bunhia : - (13 x x ) ( 13 13 13x 3 3x ) 40(16 10 x ) x 2 VT x 40(16 10 x ) Áp dụng cosi VT VP Nghiệm hoăc x 1,0 ®iÓm diểm (3) - b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh x y 3 x x y x y 52 xy x y 3 x x y x y 52 xy x 2 y x( x y 1) 13 x y 52 0 x y 3 x y 3 13x x y 52 0 13x x y 52 0 x y 3 x y 13 0 x y 3 y 5 y x y 3 y 5 y 11 y 24 0 x 3 y y 5 y 3 y 8 y 3 x 7 C©u (3 điểm) xy y Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n: Chøng minh r»ng: x = y = z hoÆc xyz = yz z zx x §¸p ¸n biÓu ®iÓm §iÒu kiÖn x; y; z d¬ng xy Ta cã y yz z zx x x 1 y z y z x 1,0 điểm (4) y z (1) x y yz x y (2) z x xy y z z x (3) xz (*) 1,0điểm Nếu x = y = z hệ (*) luôn đúng 0,5 điểm Nếu x; y; z đôi khác nhau, nhân vế với vế (1); (2); (3) ta có xyz = VËy x = y = z hoÆc xyz = 0,5 điểm C©u (4 điểm) Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB cố định (AB < 2R) Điểm C di động trên cung lớn AB Gọi AE và BF là hai đờng cao tam giác ABC, chúng cắt H Đờng tròn tâm H bán kính HC cắt CA, CB lần lợt P và Q Chứng minh C thay đổi a) CH có giá trị không đổi b) CO EF c) Đờng thẳng qua H vuông góc với PQ luôn qua điểm cố định ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM C x D E F O H A P Q K B I ⇒ AD//HC (1) a) Kẻ đường kÝnh BD ta có CH ⊥ AB ; DA ⊥ AB MÆt kh¸c DC CB; HA CB DC / / HA(2) Từ (1) & (2) suy ADCH là hình bình hành nên CH = AD Gọi K là trung điểm AB xét tam giác ADB có OK là đường trung bình nên AD = 2.OK ( không đổi) VËy CH = 2.OK không đổi 1,0 điểm 1,0 điểm (5) Qua C kẻ tiếp tuyến Cx với (O) ta có ∠ xCA =∠CBA Mà tứ giác AFEB nội tiếp nên ∠ CFE =∠CBA nên ∠xCA =∠CFE suy Cx//EF Mà Cx ⊥OC ⇒ OC⊥ EF c) Gäi đường thẳng kẻ từ H vuông góc PQ c¾t OK t¹i I V× HE ⊥ CQ ⇒CE=EQ ; HF⊥ CP ⇒CF=FP ; 1,0 điểm 1,0 điểm 1,0 điểm Vậy EF // PQ, mà HI ⊥ PQ // EF ⇒ HI // OC MÆt kh¸c CH//OI nên tứ giác OCHI là hình bình hành suy OI = CH (không ®ổi) nên I cố định 1,0 điểm C©u (2 điểm) a b b2 c c a 2015 Cho c¸c sè d¬ng a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: a2 b2 c2 P b c c a a b §¸p ¸n 2 2 biÓu ®iÓm Đặt x=√ b +c ; y=√ c + a ; z =√ b +a ⇒ x+ y+ z=2010 0,5 điểm 2 2 2 2 Ta cã x b c , y c a , z a b nªn x y z 2(a b c ) a y z x2 x2 z y 2 y x2 z ;b ;c (1) 2 2 a+b ¿ ⇒ √2 z ≥ a+ b; Mặt khác 2( a2 +b2 )≥ ¿ Tương tự √ y ≥ a+c ; √ x ≥ b+ c ; (2) 0,5 điểm Từ (1) & (2) ta có 2 2 2 2 y +z −x x +z − y y +x −z P≥ + + x y z √2 ( x 2+ y 2+ z ) + + −2(x + y + z ) (3) x y z √2 [ ( ( ) ) 0,5 điểm ] x+ y+z ¿ nªn tõ (3) suy 3(x + y 2+ z2 )≥ ¿ 1 1 1 P x y z x y z 2 x y z 3 Ta có x yz1 2 2 3 2015 2 2015 2015 P Giá trị nhỏ x = y = z suy a = b = c = Hết 0,5 điểm (6)