Đang tải... (xem toàn văn)
Lưu ý: Nếu học sinh giải theo cách khác, nếu đúng và phù hợp với kiến thức trong chương trình đã học thì hai Giám khảo chấm thi thống nhất việc phân bố điểm của cách giải đó, sao cho khô[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS THANH THÙY ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN LỚP Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: (6 điểm) Cho biểu thức: x x 3 x 2 P : x x x x (4 x ) x x 6 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P > c) Tính giá trị P với x = √3 2+ √ 5+ √3 2−√5 Bài 2: (4 điểm) a) Giải phương trình: √ x+ √ x−4 + √ x−4=6−x b) Tìm các nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 Bài 3: (2 điểm) a) Cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn: 1 + + =2 1+ x 1+ y 1+ z Tìm giá trị lớn Q = xyz b) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c và có chu vi là Chứng minh rằng: a2 + b2 +c2 + 2abc < Bài 4: (2 điểm) Cho ΔABC vuông A Biết AB = 3cm , AC = cm Từ B vẽ tia Bx vuông góc với BC Tại B , Bx cắt CA tai điểm E trên đoạn thẳng BE lấy F bất kỳ, hạ BH vuông góc với FC H a) Tính AE b) Chứng minh ΔAHC Δ FEC Bài 5: (6 điểm) Cho hai đường tròn ( O ) và ( O/ ) ngoài Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O ) và ( O/ ) các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E ( O ) và F ( O/ ) Gọi M là giao điểm AE và DF; N là giao điểm EB và FC Chứng minh rằng: a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật b) MN AD c) ME.MA = MF.MD Người đề Hết -Tổ trưởng duyệt Duyệt BGH (2) UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO Bài a) Đáp án ĐKXĐ: x 0, x 4, x 9 x 9 x4 x x 4 P : x ( x 2)( x 3) x3 : x ( x 2)( x 3) 1 x b) HƯỚNG DẪN CHẤM , BIỂU ĐIỂM ĐỀ TOÁN NĂM HỌC 2015-2016 P>0 x x 2 x 1 √ x−2 >0 √ x +1 √ x−2>0 x>4 Kết luận: x > và x ≠ thì P > Điểm 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ c) x = √3 2+ √ 5+ √3 2−√5 => x3 = + √3 4−5 x x3 + 3x −¿ = x3 – x2 + x2 – x + 4x – = x2(x – 1) + x(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1)( x2 + x + 4) = Vì x2 + x + > nên x – = => x = Vậy P = 1−2 −1 = 1+ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài a) Đk : ≤ x ≤ √ x+4 √ x+4+ √ x−4 = − x √ x−4 +4 √ x +4 +4 + √ x−4 = – x √ x−4 +2+√ x −4 + x – = √ x−4 (2 + √ x−4 ) = √ x−4 = x = (2 + √ x−4 ) = ( vô lý) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Thử lại : √ 4+ 0=6 – x = Kết luận : Vậy phương trình có nghiệm : x = 0,5 đ Tìm nghiệm nguyên phương trình (3) 2x2 + 4x = 19 – 3y2 2x2 + 4x + = 21 – 3y2 2(x2 + 2x + 1) = 3(7 – y2) 2(x+1)2 = 3(7 – y2) – y2 > – y2 ⋮ y2 là số lẻ , mà – y2 > y có thể là ±1 2(x+1)2 = 3.6 = 18 (x+1)2 = 32 x = −4 ; x = (x,y) = (-4, 1) ; (-4, -1) ; (2, -1) ; (2,1) b) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ √❑ √❑ 0,5 đ 1 + + =2 1+ x 1+ y 1+ z y z y z + 1+ x =¿ ≥2 1+ y 1+ z 1+ y 1+ z x x z Tương tự : 1+ y = 1+ x + 1+ z ≥ 1+ x 1+ z x x y = + ≥2 1+ z 1+ x 1+ y 1+ x 1+ y Bài a) √ Nhân vế với vế ta : 1 ≥ 2.2.2 1+ x 1+ y 1+ z xyz (1+ y ) ( 1+ z ) (1+ x ) ≥ 8xyz ≥ xyz hay xyz ≤ √ 0,5đ √ √ (xyz )2 ( 1+ y )2 (1+ z)2 (1+ x)2 = 0,5đ) 1 Max Q = x = y = z = b) 0,5đ Ta có: < a < b + c => 2a < a + b + c => a < < b < a + c => 2b < a + b + c => b < < c < b + a => 2c < a + b + c => c < => (a – 1) (b – 1) (c – 1) < abc – (ac +ab + bc) + (a+b+c) < (0,5đ ) 0,5đ) (0,5đ ) 2abc – 2(ac +ab + bc) + (a+b+c)2 < (vì a + b + c = 2) 2abc + a2 + b2 + c2 < (đccm) (0,5đ ) (4) Bài 4: (0,5đ ) 0,5đ E vẽ hình đúng AB2 = CA AE => AE = 0,5đ AB = CA A CH CF = BC2 (△ HBC CA CE= BC2 (△ ABC △ BFC) △ BEC) F H 0,5đ => CH CF = CA CE CH CF => CE = CA Góc C chung => △ AHC 0,5đ △ FEC (c.g.c) B C Bài M 0,5đ E I F A O H B C D O/ N a) b) Ta có Góc AEB = GócCFD = 900 (góc nội tiếp chắn đường tròn) Vì EF là tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) và (O/), nên: OE EF và OF EF => OE // O/F Góc EOB= Góc FO’D (góc đồng vị) => góc EAO = góc FCO’ Do đó MA // FN, mà EB MA => EB FN Hay góc ENF = 900 O Tứ giác MENF có E N F 90 , nên MENF là hình chữ nhật Gọi I là giao điểm MN và EF; H là giao điểm MN và AD Vì MENF là hình chữ nhật, nên góc IFN = góc INF 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ (5) Mặt khác, đường tròn (O/):gocsIFN= góc FND = ½ sđ cung FC =>góc FDC = góc FDC Suy FDC đồng dạng HNC (g – g) => góc NHC= góc DFC = 900 hay MN AD 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ c) 0,5 đ Do MENF là hình chữ nhật, nên góc MFE = FEN Trong đường tròn (O) có: góc FEN = góc EAB =1/2 sđ cung EB =>gócMEF = EAB Suy MEF đồng dạng MDA (g – g) ME MF => MD MA , hay ME.MA = MF.MD 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Lưu ý: Nếu học sinh giải theo cách khác, đúng và phù hợp với kiến thức chương trình đã học thì hai Giám khảo chấm thi thống việc phân bố điểm cách giải đó, cho không làm thay đổi tổng điểm bài (hoặc ý) đã nêu hướng dẫn này./ NGƯỜI SOÁT TỔ TRƯỜNG DUYỆT BGH (6)