de thi toan 9

Hướng dẫn chấm này có 03 trang Yêu cầu chung: Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng.. Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không cho điể[r]

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 2/11/2015 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) (Đề thi này có bài, gồm 01 trang) A Bài 1: (4,0 điểm) Cho a) Rút gọn biểu thức A x x 1 x 3   (x 0, x 4, x 9) x  x 6 x  2 x b) Tìm giá trị x để A = Bài 2: (4,5 điểm)  a) Tính  15   15 x  3x  3x  x  2015 P x  x  3x  3x  2015 b) Cho x2 – x – = Tính giá trị biểu thức: 3x x 6 2 x  c) Giải phương trình: Bài 3: (4,0 điểm) a) Tìm số nguyên dương n bé để F = n3 + 4n2 – 20n – 48 chia hết cho 125 b) Chứng minh với số tự nhiên n >1 thì số A = n6 - n4 +2n3 + 2n2 không thể là số chính phương Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt tại H Chứng minh rằng: a) SABC = AB.BC.sinB và AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC AD b) tanB.tanC = HD c) H là giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF HB.HC HC.HA HA.HB   1 AB.AC BC.BA CA.CB d) Bài 5: (1,5 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x  y  y  z  z  x 2015 T x2 y2 z2   yz zx xy Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị không giải thích gì thêm PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ Hướng dẫn chấm này có 03 trang Yêu cầu chung: Học sinh giải cách khác đúng cho điểm tối đa tương ứng Bài hình học sinh không vẽ hình vẽ hình sai thì không cho điểm Yêu cầu cụ thể: Nội dung cần đạt Điểm I II Bài a(2,0đ) HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2015-2016 MÔN : TOÁN A x x 1   ( x  3)( x  2) x3 x 3 x2  x   (2 x 1)( x  2)  ( x  3)( x  3) ( x  3)( x  2)  x   2x  x  x   x  x x  ( x  3)( x  2) ( x  3)( x  2)  ( x  2)( x  1) x 1  ( x  3)( x  2) x3 0,5 0,5 x 1 x  với (x 0, x 4, x 9) Vậy b(2,0đ) Với (x 0, x 4, x 9) Ta có: 0,5 A x 1   x   x  x3  x 1  x  (t / m) 1  Vậy A =  x = A  0,5  0,5 1,0 0,5 a(1,5đ) Ta có  15   15   15    5 3 5  15   (  3)  (  3)  b(1,5đ) Ta có: x – x – =  x2 – x =  (x2 – x)3 =  x6 – 3x5 + 3x4 – x3 = Mặt khác: x2 – x – =  x2 = x +  x6 = (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1  2015 2016  P  1  2015 2016 x 3  c(1,5đ) ĐK: x2 – >   x   + Nếu x > 3: Bình phương hai vế phương trình ta được: x2  9x 6x x4 x2   72    72 0 x2  x2  x2  x2  1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 Đặt t x2 (t  0) x 9 x 0,25 , phương trình: t  6t  72 0  t 6 Khi đó: x   x4 – 36x2 + 324 =  x2 = 18 Trong trường hợp này tìm được: x 3 x 0,25 6 3x 0,25 0,25 06 x 9 + Nếu x < –3: Khi đó: : PT vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm nhất: x 3 a(2,0đ) Ta có: F = n3 + 4n2 – 20n – 48 = (n – 4)(n + 2)(n + 6) Thử với n = 1; 2; thì F không chia hết cho 125 Thử với n = thì F = chia hết cho 125 Vậy số nguyên dương bé cần tìm là: n = b(2,0đ) A=n6 - n4 +2n3 + 2n2 = n4(n2-1) + 2n2(n+1) = n2(n+1)(n3-n2 +2) = n2(n+1)[(n+1)(n2-2n+2)] = n2(n+1)2(n2-2n +2) = n2(n+1)2[(n-1)2 +1] Ta có: (n-1)2 < (n-1)2 +1= n2 + 2(1-n) < n2 (vì n>1)  (n-1)2 +1 không thể là số chính phương Vậy A không thể là số chính phương a(2,0đ) 1,0 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 A E F H * Ta có: SABC = BC.AD B D C ABD vuông tại D có AD =AB.sinB, đó SABC = BC.AB.sinA ABE vuông E có AE = AB.cosA BFC vuông F có BF = BC.cosB ACD vuông D có CD = AC.cosC Do đó AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC AD AD b(1,5đ) Xét ABD có tanB = BD ; ACD có tanC = CD 1,0 1,0 0,5 AD suy tanB.tanC = BD.CD (1)    Do HBD CAD (cùng phụ với ACB ) nên BDH  ADC (g.g) DH BD   DC AD  BD.DC = DH.DA AD AD  Kết hợp với (1) tanB.tanC = DH.AD DH   c(1,5đ) Chứng minh AEF  ABC (g.g)  AEF ABC     Tương tự CED CBA nên AEF CED mà BE  AC      AEB CEB DEB = 900 Từ đó suy FEB  EH là phân DEF Tương tự DH, FH là phân giác DEF nên H là giao ba đường phân giác DEF d(1,0đ) Ta có : SBHC + SCHA + SAHB = SABC CH CE   CA CF Dễ thấy CHE  CAF(g.g) HB.HC HB.CE 2.SBHC SBHC     AB.AC AB.CF 2.SABC SABC HC.HA SCHA HA.HB SHAB   BC.BA S CA.CB SCAB CBA ; Tương tự có HB.HC HC.HA HA.HB SBHC SCHA SAHB      1 AB.AC BC.BA CA.CB S S S BAC CBA ACB Do đó: 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 2 2 2 Đặt a  x  y ; b  y  z ;c  z  x  a; b;c  và a  b  c 2015 2 2 2 Ta có: a  b  c 2(x  y  z )  a  b2  c2 a  b  c2  a  b  c ;y  ;z  2 2 2 x a  b c  2 2 2b Do đó: (y  z) 2(y  z ) 2b  y  z  2b  y  z y2 a  b2  c2 z  a  b2  c2  ,  xy 2c 2a Tương tự: z  x  x2  a  b2  c2 b a  b  c2 c a  b  c2 a       2b 2 2c 2 2a 2  1 1 a bc  (a  b  c )       2  a b c  1  2015  (a  b  c)2       2  a b c  1  2015  (a  b  c)(a  b  c)       2 a b c 0,25 0,25 0,25 T  0,5  2015.9  2015 2015  2 0,25 2015 Dấu đẳng thức xảy 2015 2015 T  x y z  2 Vậy a b c  Người làm đáp án: Người thẩm định: Người duyệt: