MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP TỪ CÁC ĐỀ HSG Bài 1: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy.. Tính số giao điểm của chúng.[r]
(1)MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP TỪ CÁC ĐỀ HSG Bài 1: Cho 101 đường thẳng đó hai đường thẳng nào cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy Tính số giao điểm chúng Giải: Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lai tạo nên 100 giao điểm Có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm, giao điểm tính hai lần nên có: (101.100) : = 5050 (giao điểm) Bài 2: a.Tính tổng: 1 1 1 S 12 20 2352 2450 P 1 99 100 b Tính tích: Bài 3: a Cho S = + 22 + 23 + … 22011 + 22012.Chứng minh S chia hết cho S =(2 + 22) + ( 23 + 24 ) +…… + ( 22011 + 22012 ) = (2 + 22) +26(2 + 22) + ……….22010(2 + 22) = + 22.6 + ………22010.6 = ( + 22 + ……+ 22010 ) b)Tổng sau là bình phương số nào: S = + + + + + 199 Số số hạng tổng : ((199 – ) / 2) + = 100 Suy c) Cho số ab (19).02 S10 và số ababab Chứng tỏ ababab là bội ab ababab ab 0000 + ab 00 + ab = ab *10000 + ab *100 + ab = ab *10000 ⋮ ab , ab *100 ab , ab ab Do đó ab *10000 + ab *100 + ab ab hay ababab ab Vậy ababab là bội ab Bài : a) Hãy viết thêm đằng sau số 664 ba chữ số để nhận số có chữ số chia hết cho 5, cho và cho 11 Viết thêm vào sau số 664 bà chữ số abc ta số 664abc 664abc 664000 abc 663795 205 abc 495.1341 205 abc Vì 664abc chia hết cho 5, cho 9, cho 11 664abc495 205 abc 495 Nếu Vậy 205 abc = 495 205 abc = 990 (2) Do đó: abc = 495 – 205 = 290 abc = 990 – 205 = 785 Bài 5: 1)Tính nhanh: 7 15 a 13 34 - 201 ) - 12 15 Giải: a) 13 ( - - + 13 13 7 = 13 ( 15 12 23 b) ( 199 + 200 ( - 12 23 = ( 199 + 200 - 12 21 49 + 39 91 ) 21 49 + 39 91 15 15 12 23 b ( 199 + 200 15 = 13 - 12 15 12 7 12 + 15 )= 13 (1- 12 )= 13 34 - 201 ) 1 12 23 ( - - )= ( 199 ) 34 - 201 ) 49 = 156 34 + 200 - 201 ) 0=0 So sánh: a 3200 và 2300 b 7150 và 3775 201201 201201201 c 202202 và 202202202 Giải: a So sánh 3200 và 2300 Ta có: 3200 = (32)100 = 9100 2300 = (23)100 = 8100 mà 8100 < 9100 nên 2300 < 3200 b So sánh 7150 và 3775 Ta thấy: 7150 < 7250 = (8.9)50 = 2150.3100 (1) 75 75 75 150 150 37 > 36 = (4.9) = (2) 150 150 150 100 mà > (3) 75 50 Từ (1), (2), và (3) suy ra: 37 > 71 201201 c So sánh 202202 201201201 201201 và 202202202 201 1001 Ta có: 202202 = 202 1001 = 201 202 201201201 = 202202202 201 1001001 202 1001001 201 = 202 Vậy hai p/s trên Bài 6: a Cho A = 1 1 2 2 + + 42 +…+ + 502 CMR: A < b Cho B = 21 + 22 + 23 + … + 230 CMR: B chia hết cho 21 1 1 2 + + + 42 +…+ Giai: Chứng minh: A = Ta có: < 42 1.2 = < 3.4 1 = 32 - …… 502 502 <2 2.3 < < = 49.50 = 49 - 50 (3) Vậy: A = + 49.50 1 1 2 2 + + + +…+ 1 = 1+ - + 99 50 2 50 1 1 + + + 2 3 +… < 1 - + … + 49 - 50 = 1+1 - 50 = <2 B = 21 + 22 + 23 + … + 230 Ta có: B = 21 + 22 + 23+ … + 230 = (21 + 22) + (23 + 24) + … (229 + 230) = 2.(1+2) + 23.(1+2) + … + 229.(1+2) = 3.( + 23 +…+ 229) suy B (1) 30 28 29 30 Ta có: B = +2 +2 +…+ = (2 +2 +2 )+ (2 + + ) +… +(2 +2 + ) = 2.(1+2+22) + 24.(1+2+22) + … + 228.(1+2+22) = (2 + 24 + … + 228) suy B (2) Mà và là số nguyên tố cùng Kết hợp với (1) và (2) suy : B 3.7 hay B 21 Bài 7: Một số chia cho dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư Hỏi số đó chia cho 2737 dư bao nhiêu? Giải:Gọi số đã cho là A Theo bài ta có: A = 7.a + = 17.b + 12 = 23.c + Mặt khác: A + 39 = 7.a + + 39 = 17.b + 12 + 39 = 23.c + + 39 = 7.(a + 6) = 17.(b + 3) = 23.(c + 2) Như A+39 đồng thời chia hết cho 7,17 và 23 Nhưng 7,17 và 23 đôi nguyên tố cùng nên: (A + 39) 7.17.23 nên (A+39) 2737 Suy A+39 = 2737.k suy A = 2737.k - 39 = 2737.(k-1) + 2698 Do 2698 < 2737 nên 2698 là số dư phép chia số A cho 2737 Bài 8: Tính giá trị biểu thức A 2 11 2012 1 B 1 2011 2012 A 2 11 2012 A (2 2012) (2012 2) : 1 : 675697 a/ 1 B 1 2011 2012 b/ 2012 2011 B 2 3 4 2011 2011 2012 2012 2010 2011 B B 2011 2012 2012 Bài 9: a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 1 1 2 (2n) b/ Chứng minh : (4) HD: Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 =>(3y – 1)(2x + 1) = -55 => 55 y (1) 1;5;11;55; 1; 5; 11; 55 x 1 Để x nguyên thì 3y – Ư(-55) = +) 3y – = => 3y = => y = 1, thay vào (1) => x = 28 +) 3y – = => 3y = => y = (Loại) 13 +) 3y – = 11 => 3y = 13 => y = (Loại) +) 3y – = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 +) 3y – = - => 3y = => y = (Loại) +) 3y – = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = +) 3y – = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = 53 +) 3y – = -55 => 3y = -53 => y = (Loại) Vậy ta có cặp số x, y nguyên TM: (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) 1 1 2n b/ Chứng minh : 1 1 1 1 A 2 2 (2n) (2.2) (2.3) (2.4) (2.n) Ta có 1 1 1 1 1 1 A 4 n 1.2 2.3 3.4 (n 1)n 11 1 1 1 1 1 1 A A 1 41 2 3 (n 1) n Suy ra: n (ĐPCM) 2n 3n 4n A n n n Bài 10: Cho biểu thức : a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên : Đ/k n Ta có : 2n 3n 4n (2n 1) (3n 5) (4n 5) n 3n 4n n n n n n n n n 34 A 1 n n (2) A 1; 2; 4; 1; 2; 4 4;5; 7; 2;1; 1 A nguyên n – Ư(4) = => n (Thoả mãn) A b/ Tìm n để A là phân số tối giản: Ta có : TH : n là số lẻ => n + và n – là số chẵn => A n 1 n không tối giản n 1 n (Theo câu a) ( n 3) (5) TH : n là số chẵn => n + không chia hết cho Gọi d là ước chung (n + 1) và (n – 3) => d không chia hết cho => (n + 1) d và (n – 3) d => (n + 1) - (n – 3) chia hết cho d => chia hết cho dƯ(4) ={1 ; 2; 4; -1 ; -2; -4) Vì d không chia hết cho => d = ; - => ƯCLN(n + 1; n – 3) = => A n 1 n là phân số tối giản Kết luận : Với n là số chẵn thì A là phân số tối giản Bài 11: Tìm số nguyên tố ab ( a > b > ), cho ab ba là số chính phương Ta có : ab ba (10a b) (10b a) 10a b 10b a 9a 9b 9(a b) 3 (a b) 1; 2;3; 4;5; 6;7;8;9 => a- b Vì => a,b Để ab ba là số chính phương thì a – b = 1; +) a – b = (mà a > b) ta có các số ab là : 98 ; 87 ; 76; 65; 54 ; 43; 32; 21 Vì ab là số nguyên tố nên có số 43 thoả mãn +) a – b = (mà a > b) ta có các số ab là : 95 ; 84 ; 73; 62; 51 Vì ab là số nguyên tố nên có số 73 thoả mãn Kết luận : Vậy có hai số thoả mãn điều kiện bài toán là 43 và 73 2012 2011 2010 2009 Bài 12: Cho A 10 10 10 10 a/ Chứng minh A chia hết cho 24 b/ Chứng minh A không phải là số chính phương 2012 2011 2010 2009 Cho A 10 10 10 10 a/ Chứng minh A chia hết cho 24 Ta có : A 103 102009 102008 102007 102006 8.125 102009 102008 102007 102006 A 8 125 102009 102008 102007 10 2006 1 8 (1) Ta lại có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có tổng tổng các chữ số 1, nên các số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 chia cho có số dư chia cho dư Vậy A chia cho có số dư là dư phép chia (1 + + + + 2) chia cho Hay dư phép chia chia cho (có số dư 0) Vậy A chia hết cho Vì và là hai số nguyên tố cùng nên A chia hết cho 8.3 = 24 b/ Chứng minh A không phải là số chính phương Ta có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có chữ số tận cùng là 2012 2011 2010 2009 Nên A 10 10 10 10 có chữ số tận cùng là Vậy A không phải là số chỉnh phương vì số chính phương là số có chữ số tận cùng là ; 4; ; ; (6) Bài 12: a) Chứng tỏ 102012 + 17 chia hết cho b) Tìm các số tự nhiên n thỏa mãn 30 + ( 2n + 13) c) So sách cặp số sau: A = 275 và B = 2433 a)102012 + 17= 10 + 17 = 10 017 (có 2010 chữ số 0) Số 10 17 có tổng các chữ số chia hết cho Vậy 102012 + 17 chia hết cho b) 30 + 2n+13 2n+ 3 Ư(30) ( 0,5đ) 1;2;3;5;6;10;15;30 Do 2n + 13lẻ và 2n + 13 13 Ư(30) = Nên 2n + 13 = 15 n = ( 0,5đ) c) So sách cặp số sau: A = 27 và B = 243 Ta có A = 275 = (33)5 = 315 và B = (35)3 = 315 Vậy A = B (0,5 điểm) Bài 13: Thực các phép tính sau cách hợp lý : 102 112 122 : 132 142 a) b) 1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.8 16 3.4.2 13 11 c) 11.2 16 d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) e) 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + - Bài 14: Tính A 5.415.99 4.320.89 5.29.619 7.229.276 − 22 Bài 15: a) So sánh: 45 b) So sánh: HD: a) 1 1 101.400 B 1.300 2.301 3.302 1 1 1.102 2.103 3.104 299.400 − 51 và 103 20092009 +1 20092010 − A= và B= 20092010 +1 20092011 −2 22 22 51 51 22 51 − 22 −51 < = = < ⇒ < ⇒ > 45 44 102 101 45 101 45 101 20092010 20092010 2009 2010 2011 2009 2010 2009 B 1 B 20092011 20092011 2009 2011 2011 2009 2011 2009 b) 2009(20092009 1) 20092009 A 2009(20092010 1) 20092010 Bài 16: So sánh S với , biết S Vậy: A > B 2011 2012 2013 2012 2013 2011 2011 2012 2013 1 1 1 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2011 1 1 1 3 ; 2011 2012 2011 2013 Vì 2011 2012 2011 2013 S 1 1 1 0; 3 3 2011 2012 2011 2013 2011 2012 2011 2013 Nên Vậy S>3 (7) 2009 2010 A 2010 2010 2010 2010 2010 Bài 17: a Cho biểu thức : Chứng minh A chia hết cho 2011 b Cho B 80 79.80 1601 CMR : B là bình phương số tự nhiên 2009 2010 HD: a A 2010 2010 2010 2010 2010 Có 2010số hạng A 2010 20102 20103 20104 20102009 20102010 2010 2010 20103 2010 20102009 2010 2010.2011 20103.2011 20102009.2011 2011 2010 20103 20102009 chia hết cho 2011 nên A chia hết cho 2011 B 802 79.80 1601 80 80 79 1601 80.1 1601 1681 412 b Cho Vậy B là bình phương số tự nhiên 41 Bài 18: Tính giá trị biểu thức sau 1 1 a / 12 7 b / 2014 2011 1 1 1 c / 1 1 1 10 15 780 1 1 1 1 1 36 a / 12 4 12 4 4 5 3 6 7 6 7 7 HD: b / 2014 2011 Nhận xét : 2014 Có 1007 số hạng ; 2011 Có 1005 số hạng 3 2010 2011 2012 2014 Có 1006 nhóm 1 1 1 1 4026 Có 1005 số hạng -1 1005 4026 3021 1 1 1 14 779 10 18 28 1558 c / 1 1 1 10 15 780 10 15 780 12 20 30 1560 1.4 2.5 3.6 4.7 38.41 1.2.3 38 4.5.6 41 41 41 2.3 3.4 4.5 5.6 39.40 2.3.4 39 3.4.5.6 40 39 107 (8)