DE THI 1 18

2 Chứng minh khoảng cách OH từ O đến đờng thẳng DE có độ dài không đổi khi D,E di động trên AB, AC Bµi 53® Cho tam giác ABC vuông tại A.. G là trọng tâm, BM là đờng phân giác của tam gi¸[r]

Phßng Gi¸o dôc KiÕn x¬ng §Ò kh¶o s¸t häc sinh giái n¨m häc 2007 – 2008 M«n : To¸n (thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi (4®) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö 1) x2 – 4x + 2) x8 - 28 Bµi (5®) Gi¶i ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh sau: 1) x 3 x    x  x  6x   x 2)  x     x    x  1 0   3) x  3x   2x  5x    3x  2x   Bµi (4®) 1) Cho a,b,c là độ dài cạnh tam giác.Chứng minh: a3 + b3 + 3abc > c3 1 abc    a b c vµ abc = 2)Cho sè a,b,c kh¸c tho¶ m·n: Chøng minh r»ng sè a,b,c cã Ýt nhÊt mét sè b»ng Bµi (4®) Cho tam gi¸c ABC c©n (AB = AC) Gäi O lµ trung ®iÓm cña Bc, trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D vµ trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E cho OB2 = BD.CE 1) Chứng minh tam giác OBD và tam giác ECO đồng dạng 2) Chứng minh khoảng cách OH từ O đến đờng thẳng DE có độ dài không đổi D,E di động trên AB, AC Bµi 5(3®) Cho tam giác ABC vuông A G là trọng tâm, BM là đờng phân giác tam gi¸c ABC Cho GM vu«ng gãc víi AC, D lµ trung ®iÓm cña BC Chøng minh BM vu«ng gãc víi AD §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm Bµi 1) 2®iÓm = (x- 1)(x – 3) 2) 2®iÓm x8 – 28 = (x4)2 – (24)2 = .=(x4 + 16)(x2 + 4)(x -2 )(x + 2) Bµi 1) 2,5® 1) x 3 x  x 3 x  2      x  x  6x   x x  x  (x  2)(x  4) (1) (0,5®)  Ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh (0,25®) MTC (x-2)(x-4); TX§ =  (x+3) (x-2) + (x -1)(x – 4) = (0,5®) (0,5®)  x = 0; x = (lo¹i) (0,25®) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x = (0,25®) 2) 1® Ta thÊy x = -2 lµ nghiÖm cña bpt (0,25®) Với x 2 thì (x -2) > đó ta có : (x + 4)(x – 1)  (0,25®)  x +  vµ x -1  hoÆc x +  vµ x -   x  hoÆc x  - (0,25®) VËy nghiÖm cña bpt lµ x = - hoÆc x  hoÆc x  - (0,25®) 1,5 ® x / x 2, x 4 x      Ta thÊy (0,25®) §Æt x2 + 3x – = a; 2x2 – 5x + = b Ta cã a3 + b3 = (a + b)  a3 + b3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2  ab( a+ b) =  a = hoÆc b = hoÆc a = -b (0,25®) + Víi a = ta cã x2 + 3x – = => x = 1; x = - (0,25®) +.Víi b = ta cã 2x2 – 5x + = => x = 1; x = 3/2 (0,25®) 2 + Víi a = - b  x + 3x – = -2x + 5x –  3x – 2x – =  x = 1; x = -1/3 (0,25®)  3x   2x  5x   3x  2x   3  S  4; ;1;  2  Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là (0,25®) Bµi ý Néi dung a3 + b3 + 3abc = (a+b) (a2 – ab + b2) + 3abc >c(a2- ab +b2)+3abc = c (a + b)2 >c c2 = c3 Tõ abc = => abc - = (1) Theo gi¶ thiÕt : a + b + c = 1/a + 1/b + 1/c vµ abc = => a + b + c – (ab + bc + ca) = (2) Céng theo vÕ cña (1) vµ (2) Ta cã abc – (ab + bc + ca) + (a + b + c) – =  (a-1)(b-1)(c- 1) =  a = hoÆc b = hoÆc c = Bµi §iÓm 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 A 0,25® D H E K B O C ý Néi dung §iÓm 0,75 OB BD  Tõ gi¶ thiÕt cã : OB2 = BD.CE => OB.OC = BD.CE => EC OC XÐt VCBD vµ VECO cã Bµ Cµ (v× tam gi¸c ABC c©n t¹i B) OB BD  EC OC => VCBD ~ VECO (c.g.c) · · · · · · DOC DOE  COE;DOC OBD  BDO 0,75 0,5 Ta cã 0,5 · · · · Mµ BDO COE(cmt)  DOE OBD · · OBD XÐt tam gi¸c ODE vµ Tam gi¸c BDO cã DOE (cmt) 0,5 OD OE  BD OB (cmt) => V ODE ~ V BDO (cgc) · · · ODE => BDO nghÜa lµ DO lµ ph©n gi¸c cña BDE => OH = OK ( Víi OK  AB) Mà OK không đổi nên OH không đổi D,E di động trên AB,AC 0,5 0,25 Bµi (3®iÓm) H×nh vÏ : 0,25 ® OD OE   Tam gi¸c ADH cã GM //DH; BD OB (0,5®) A M  3AM = 2AH = AC = AM + MC  MC = 2AM (1®) ¸p dông t/c tia ph©ng gi¸c víi tam gi¸c ABC: BC MC BC  2  AB  BD AB MA (D lµ trung ®iÓm BC) H I G B D C (0,75®) Vậy tam giác ABD cân B nên BI vừa là phân giác vừa là đờng cao Do đó BM vu«ng gãc víi AD (0,5®)