Chuyên đề Bài toán đếm số. Tìm số tự nhiên (chữ số) dựa vào cấu tạo số - Toán lớp 6

Chuyên đề Bài toán đếm số. Tìm số tự nhiên (chữ số) dựa vào cấu tạo số - Toán lớp 6 nhằm giúp các bạn học sinh nắm được bản chất của bài toán đếm số, để từ đó học sinh có thêm những công cụ hữu ích giúp cho quá trình tìm lời giải bài toán tổ hợp của học sinh một cách chủ động, chính xác và hiệu quả nhất.

CHUN ĐỀ.BÀI TỐN ĐẾM SỐ TÌM SỐ TỰ NHIÊN (CHỮ SỐ) DỰA VÀO CẤU TẠO SỐ Bài tập 1: Có số tự nhiên chia hết cho gồm bốn chữ số, chữ số tận ? Hướng dẫn Các số phải đếm có dạng abc Chữ số a có cách chọn Với cách chọn a , chữ số b có 10 cách chọn Với cách chọn a, b chữ số c có cách chọn (1,3, 5, 7,9) để tạo với chữ số tận làm thành số chia hết cho Tất có: 9.10.5  450 số Bài tập 2: Có số tự nhiên có ba chữ số có chữ số ? Hướng dẫn Chia loại số: - Số đếm có dạng: 5ab : chữ số a có cách chọn, chữ số b có cách chọn số thuộc loại có: 9.9  81 số - Số điểm có dạng a5b : chữ số a có cách chọn, chữ số b có cách chọn, số thuộc loại có: 8.9  72 số - Số đếm có dạng ab5 : số thuộc loại có: 8.9  72 số Vậy số tự nhiên có ba chữ số có chữ số 81  72  72  225 số Bài tập 3: Để đánh số trang sách, người ta viết dãy số tự nhiên phải dùng tất 1998 chữ số a) Hỏi sách có trang? b) Chữ số thứ 1010 chữ số nào? Hướng dẫn a) Hỏi sách có trang? Ta có: Từ trang đến trang phải dùng chữ số (viết tắt c/s) Từ trang 10 đến trang 99 phải dùng (99 10) 1  90 số có 2c/s  180c/s Vì cịn trang gồm số có c/s  Cịn lại: 1998  (180  9)  1809 c/s đánh dấu trang có c/s  Có: 1809 :  603 số có c/s  Cuốn sách có: 603  99  702 (vì trang  99 có 99 trang) Cuốn sách có 702 trang b) Chữ số thứ 1010 chữ số nào? Chữ số thứ 1010 chữ số 374 Bài tập 4: Trong số tự nhiên có ba chữ số, có số: a) Chứa chữ số ? b) Chứa hai chữ số ? c) Chia hết cho , có chứa chữ số ? d) Chia hết cho , không chứa chữ số ? Hướng dẫn a) Chứa chữ số ? Các số phải đếm có dạng: 4bc có 9.9  81 số a 4c có 8.9  72 số ab4 có 8.9  72 số Tất có: 81  72  72  225 số b) Chứa hai chữ số ? Các số phải đếm gồm dạng: 44c, a 44, 4b , có 26 số c) Chia hết cho , có chứa chữ số ? Số có ba chữ số, chia hết cho gồm 180 số, số khơng chứa chữ số có dạng abc , a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn (là ) gồm 8.9  72 số Vậy có 180  72  108 số phải đếm d) Chia hết cho , khơng chứa chữ số ? Số phải tìm có dạng abc , a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn (nếu a  b  3k c  0;3; 6;9 , a  b  3k  c  2;5;8 Nếu a  b  3k  c  1; 4; , có 8.9.3  216 số Bài tập 5: Có số tự nhiên có chữ số chia hết cho có tận 5? Hướng dẫn Số lớn có chữ số chia hết cho có tận 9975 Số nhỏ có chữ số chia hết cho có tận 1005 Ta có dãy số: 1005 ; 1035; 1065; ; 9975 Khoảng cách dãy 30 => Số số tự nhiên có chữ số chia hết cho có tận là: (9975 – 1005) : 30 + = 300 số Bài tập 6: Viết dãy số tự nhiên từ đến 999 ta số tự nhiên A a) Số A có chữ số? b) Tính tổng chữ số số A ? c) Chữ số viết lần? d) Chữ số viết lần? Hướng dẫn a) Số A có chữ số? Từ đến có số gồm: 1.9  chữ số Từ 10 đến 99 số có 90 số gồm: 90.2  180 chữ số Từ 100 đến 999 có 900 số gồm: 900.3  2700 chữ số Số A có:  180  2700  2889 chữ số b) Tính tổng chữ số số A ? Giả sử ta viết số B số tự nhiên từ 000 đến 999 (mỗi số viết chữ số), tổng chữ số B tổng chữ số A.B có: 3.1000  3000 chữ số, chữ số từ đến có mặt 3000 :100  300 (lần) Tổng chữ số B (cũng A ): (0     9).300  45.300  13500 c) Chữ số viết lần? Cần đếm số chữ số dãy: 1, 2,3, ,999 (1) Ta xét dãy: 000, 001, 002, ,999 (2) Số chữ số hai dãy Ở dãy (2) có 1000 số, số gồm chữ số, số lượng chữ số từ đến Mỗi chữ số (từ đến ) có mặt 3.1000 :10  300 (lần) Vậy (1) chữ số viết 300 lần d) Chữ số viết lần? Ở dãy (2) chữ số có mặt 300 lần So với dãy (1) dãy (2) ta viết thêm chữ số : - Vào hàng trăm 100 lần (chữ số hàng trăm số từ 000 đến 099 ); - Vào hàng chục 10 lần (chữ số hàng chục số từ 000 đến 009 ); - Vào hàng đơn vị lần (chữ số hàng đơn vị 000 ) Vậy chữ số dãy (1) viết là: 300 111  189 (lần) Bài tập 7: Từ chữ số 1, 2,3, , lập tất số tự nhiên mà chữ số có mặt lần tính tổng số Hướng dẫn Ta lập 4.3.2.1  24 số tự nhiên bao gồm bốn chữ số 1, 2,3, Mỗi chữ số có mặt lần hàng Tổng 24 số nói bằng: 60  600  6000  60000  66660 Bài tập 8: Tìm số tự nhiên có năm chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng sau số số lớn gấp ba lần số có cách viết thêm chữ số vào đằng trước số Hướng dẫn Gọi số cần tìm là: abcde ( a khác ) Theo ta có: abcde  3.2abcde  10.abcde   3.200000  3.abcde  7.abcde  599998  abcde  85714 Thử lại: 857142  3.285714 Vậy số cần tìm 857142 Bài tập 9: Tìm số tự nhiên có tận , biết xóa chữ số hàng đơn vị số giảm 1992 đơn vị Hướng dẫn Vì xóa chữ số hàng đơn vị số giảm 1992 đơn vị nên số tự nhiên cần tìm có chữ số Gọi số tự nhiên cần tìm abc3, (a  0) Theo ta có: abc3 1992  abc  10.abc  1992  abc  9.abc  1989  abc  221 Vậy số cần tìm 2213 Bài tập 10: Tìm ba chữ số khác khác , biết dùng ba chữ số lập thành số tự nhiên có ba chữ số hai số lớn có tổng 1444 Hướng dẫn Gọi ba chữ số cần tìm a, b, c (a  b  c  0) Theo ta có: abc  acb  1444 100a 10b  c  100a 10c  b  1444 200a  11b  11c  1444 200a  11(b  c)  1400 11.4 a  7; b  3; c  Vậy số cần tìm là: 1;3; Bài tập 11: Hiệu hai số Nếu tăng số gấp ba lần, giữ nguyên số hiệu chúng 60 Tìm hai số Hướng dẫn Gọi số a, b (a  b) Theo ta có: a  b   b  a  (1) Nếu tăng số gấp ba lần, giữ nguyên số hiệu chúng 60  3a  b  60 (2) Thay (1) vào (2) ta có: 3a  (a  4)  60  3a  a   60  2a  56  a  28  b  24  Vậy số cần tìm 28; 24 Bài tập 12: Tìm hai số, biết tổng chúng gấp lần hiệu chúng, tích chúng gấp 24 lần hiệu chúng Hướng dẫn Theo đầu Nếu biểu thị hiệu phần tổng phần tích 24 phần Số lớn là: (5 1) :  (phần) Số bé là:   (phần) Vậy tích 12 lần số bé Ta có: Tích = Số lớn x Số bé Tích = 12 x Số bé Số lớn 12 Số bé là: 12 : x  Bài tập 13: Tích hai số 6210 Nếu giảm thừa số đơn vị tích 5265 Tìm thừa số tích Hướng dẫn Gọi thừa số giảm a , thừa số lại b Theo đề ta có: a.b  6210 (a  7).b  5265  a.b  7.b  5265  6210  7.b  5265  7.b  6210  5265  7.b  945  b  945 :  135  a  6210 :135  46 Vậy hai thừa số cần tìm 46;135 Bài tập 14: Một học sinh nhân số với 463 Vì bạn viết chữ số tận tích riêng cột nên tích 30524 Tìm số bị nhân? Hướng dẫn Do đặt sai vị trí tích riêng nên bạn học sinh nhân số bị nhân với   Vậy số bị nhân bằng: 30524 :13  2348 Bài tập 15: Tìm thương phép chia, biết thêm 15 vào số bị chia thêm vào số chia thương số dư không đổi? Hướng dẫn Gọi số bị chia, số chia, thương số dư a, b, c, d Ta có: a : b  c (dư d )  a  c.b  d (a 15) : (b  5)  c (dư d )  a  15  c.(b  5)  d  a  15  c.b  c.5  d Mà a  c.b  d nên: a  15  c.b  c.5  d  c.b  d  15  c.b  c.5  d  15  c.5  c  Bài tập 16: Khi chia số tự nhiên gồm ba chữ số cho số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau, ta thương dư Nếu xóa chữ số số bị chia xóa chữ số số chia thương phép chia số dư giảm trước 100 Tìm số bị chia số chia lúc đầu Hướng dẫn Gọi số bị chia lúc đầu aaa , số chia lúc đầu bbb số dư lúc đầu r Ta có: aaa  2.bbb  r aa  2.bb  r 100 (1) (2) Từ (1) (2)  aaa  aa  2.(bbb  bb)  100  a 00  2.b00  100  a  2b  Ta có: b a Thử trường hợp ta đáp số: 555 222 ; 777 333 ; 999 444 Bài tập 17 Một số có chữ số, tận chữ số Nếu chuyển chữ số lên đầu ta số mà chia cho số cũ thương dư 21 Tìm số Hướng dẫn Gọi ab7 số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị 7ab số tự nhiên có chữ số số hàng trăm Theo đề ta có: 7ab : ab7  dư 21 Hay: 7ab  2.ab7  21 Ta có: ab  10a  b; abc  100a  10b  c => 700  ab  2(10ab  7)  21 => 700  ab  20ab 14  21 => 700 14  21  20ab  ab => 665  19ab => ab  35 Vậy số tự nhiên có ba chữ số là: 357 Cách 2: Gọi số phải tìm ab7 , theo đề ta có: 7ab  2.ab7  21 => 2.ab7  21  ab => 2(100a 10b  7)  700  10a  b => 200a  20b  28  700  10ab => 190a 19b  665 => 10a  b  35 Bài tập 18 Tìm số tự nhiên có chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng trước số số lớn gấp lần so với số có cách viết thêm chữ số vào sau số Hướng dẫn Gọi số tiền có năm chữ số là: abcde Theo đề bài: 7abcde  4.abcde7 Ta có: 7abcde  700000  abcde; 4.abcde7  4.(10.abcde  7)  7abcde  4.abcde7  700000  abcde  4.(10.abcde  7)  700000  abcde  40.abcde  28  700000  28  40.abcde  abcde  6999972  39.abcde Bài tập 19 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên phải chữ số vào bên trái số tăng gấp 36 lần Hướng dẫn Gọi số phải tìm ab Viết thêm chữ số vào bên trái bên phải ta được: 2ab2 , số đo tăng lên gấp 36 lần => 2ab  36.ab => 2000 + 10 ab + = 36 ab => 26 ab = 2002 => ab = 77 Bài tập 20 Nếu ta viết thêm chữ số vào chữ số số có hai chữ số ta số có chữ số lớn số lần Tìm số Hướng dẫn Số tự nhiên có hai chữ số có dạng: ab Thêm chữ số vào hai chữ số: a0b Theo đề bài: a0b  7.ab Hay 100a  b  7.(10a  b) => 30a  6b => 5a  b  Khi a  , ta được: b  (nhận) ab là: 15  Khi a  , ta được: b  10 (loại) Đáp số: 15 Bài tập 21 Nếu xen vào chữ số số có hai chữ số số đó, ta số có bốn chữ số 99 lần số Tìm số Hướng dẫn Gọi số tự nhiên cần tìm ab (a, b  N ; a  0) Theo ra, ta có: aabb  99.ab  1100 a 11b  990a  99b  110a  88b   5a  4b   5a  4b  a  b Mà a; b số có chữ số  a  4, b  Bài tập 22 Nếu xen vào chữ số số có hai chữ số số có hai chữ số số đơn vị số có bốn chữ số lớn gấp 91 lần so với số Hãy tìm số Hướng dẫn Gọi số cần tìm ab ( a khác ), ( ab11) 10 Đặt cd  ab 1 Theo ta có: abcd  91ab => 1000a  b  10(ab 1)  91ab => 1100 a 11b 10  910a  91b => 190a  80b 10  => 19a  8b 1  => a   8b 19 Thử b từ đến ta a  3, b  thoả mãn Bài tập 23 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết số viết theo thứ tự ngược lại nhân với số phải tìm 3154; số nhỏ hai số lớn tổng chữ số 27 Hướng dẫn Giả sử ab  ba , theo Số có dạng 3b Theo 3b.b3  3154  (30  b)(10b  3)  3154 ; b số tự nhiên:  b  10 Thế b  không phù hợp Thế b  Thế b  phù hợp Vậy số cần tìm là: 38 83 Bài tập 24 Cho số có hai chữ số Nếu lấy số chia cho hiệu chữ số hàng chục hàng đơn vị thương 18 dư Tìm số cho Hướng dẫn Số tự nhiên có chữ số ab (0  a  9; a  b; a, b  N ) Ta có ab : (a  b) thương 18 dư  ab  18( a  b)   10a  b  18a 18b   8a 19b    8a   19b 8a hai số chẵn  b chẵn Chỉ có b  4; a   ab  94 11 Bài tập 25 Cho hai số có chữ số chữ số mà tổng hai số 2750 Nếu hai số viết theo thứ tự ngược lại tổng hai số 8888 Tìm hai số cho Hướng dẫn Gọi số cần tìm abcd xy Ta có: abcd  xy  2750 dcba  yx  888 (1) (2) Cả phép cộng không nhớ sang hàng nghìn nên từ (1) ta có a  , (2) d  Cùng từ (1) ta có d  y có tận  , mà d  nên y  Từ (2) ta có a  x có tận  mà a  nên x  Từ (1) ta có x  c  có tận mà x  nên c  Từ (2) ta có b  y có tận  mà y  nên b  Vậy số 2688 62 Bài tập 26 Tìm số có bốn chữ số khác nhau, biết viết thêm chữ số vào hàng nghìn hàng trăm số gấp lần số phải tìm Hướng dẫn Gọi số cần tìm abcd Số a0bcd Ta có a0bcd  abcd *9 Hay a0bcd  abcd *10  abcd Hay a0bcd  abcd  abcd Vì d  b có tận suy d  * Nếu d  ta có c  c 1  có tận nên c  - Nếu c  b  b  nên b  ,  a có tận nên a  (loại a khác b ) - Nếu c  b  b  có tận nên b - Nếu b   a  nên a (loại) - Nếu b   a   nên a  (loại a khác c ) * Nếu d  suy c khác mà c  c có tận nên c  Khi b  b  có tận nên b  12 - Nếu b   a có tận nên a  (loại) - Nếu b   a  có tận nên a  Vậy số cần tìm 6750 Bài tập 27 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, cho nhân số với ta số gồm bốn chữ số viết theo thứ tự ngược lại Hướng dẫn abcd  dcba Ta có abcd dcba số có chữ số Nên ta có: a.103.4  d 103  a   d  a = 2, d = * Xét abcd với a  d = => để có abcd = dcba d.4 trước hết phải có chữ số tận a => với d = d.4 = 4.4 = 16 có chữ số tận ≠ a = (loại) * Xét abcd với a = d = Do abcd = dcba ta thấy: +) d.4 có chữ số lận a = (1) +) Vì a = => b < số có hai chữ số => b = 0, b = 1, b = - Với a = 2, d = 8, b = có: 20c8 = 8c02 => 60c = 30 (khơng thỏa mãn) - Với a = 2, d = 8, b = có: 21c8 = 8c12 => 60c = 420 => c = => có số 2178 - Với a = 2, d = 8, b = có: 22c8 = 8c 22 => 60c = 810 (khơng thỏa mãn) * Vậy số cần tìm 2178 Bài tập 28 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, cho nhân số với ta số gồm bốn chữ số viết theo thứ tự ngược lại Hướng dẫn abcd  dcba Ta có abcd dcba số có chữ số Nên ta có: a.103.9  d 103  a   d  Xét abcd : a   b.9  số có chữ số  b  b  Với b  11c9.9  9c11 Vì b   11c9.9 có c.9 số bé lớn chữ số  c  c   Vơ lý 13 Với b  10c9.9  9c 01  c   1089.9  9801 Bài tập 29 Tìm số tự nhiên có năm chữ số, cho nhân số với ta số gồm năm chữ số viết theo thứ tự ngược lại Hướng dẫn Ta gọi số chữ số ABCDE ( A khác ) ABCDE x _ EDCBA A  (vì A  tích có chữ số)  E  1BCD9 x _ 9 DCB1 B  B  (vì B  phép nhân hàng nghìn 9.B nhớ sang hàng chục nghìn  E khơng thể được) *) Xét trường hợp B  10CD9 x _ 9 DC 01  9.D  có tận  D  (vì 9.8   80 , tận ) 10C 89 x _ 98C 01 Số 98C 01 phải chia hết cho    C  1  18  C chia hết cho  C  10989 x _ 98901 Đúng Vậy ta đáp số 10989 14 *) Xét trường hợp B  (sau biết A  1, D  ) 11CD9 x _ 9 DC11  9.D  có tận  D  (vì 9.7   71 , có tận ) 11C 79 x _ 97C11 Số 97C11 phải chia hết cho    C    18  C chia hết cho  C  C  Thử lại với C  ; 11079 x _ 97011 KHÔNG ĐÚNG Thử lại với C  11979 x _ 97911 KHƠNG ĐÚNG Vậy có đáp số là: 10989 x _ 98901 Bài tập 30 Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết xố chữ số hàng trăm số giảm lần Hướng dẫn Số cần tìm abc , xóa chữ số hàng trăm ta có số bc Ta có: abc = bc => 100a + bc = bc => bc = 100a ⋮ => a = a = Vì bc có chữ số => a = bc = 50 15 => Số cần tìm 450 Bài tập 31 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết xố chữ số hàng nghìn số giảm lần Hướng dẫn Số cần tìm abcd , xóa chữ số hàng trăm ta có số bcd Ta có: abcd = bcd => 1000a + bcd = bcd => bcd = 1000a ⋮ => a = a = Vì bcd có chữ số => a = bcd = 500 => Số cần tìm 4500 Bài tập 32 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết chữ số hàng trăm xố chữ số số giảm lần Hướng dẫn Số cần tìm a0cd , xóa chữ số hàng trăm ta có số acd Ta có: a0cd = acd => 1000a + cd = 9(100a + cd ) => 100a = cd ⋮ => a = a = Vì cd có chữ số => a = cd = 50 => Số cần tìm 4050 Bài tập 33 Một số tự nhiên có hai chữ số tăng gấp lần viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục hàng đơn vị Tìm số Hướng dẫn Số cần tìm ab , viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục hàng đơn vị ta có số a0b Ta có: a0b = ab => 100a + b = 9(10a + b) => 10a = 8b ⋮ => a = a = Vì < b ≤ => a = b = => Số cần tìm 45 Bài tập 34 Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số vừa chia hết cho chia hết cho , hiệu số với số viết theo thứ tự ngược lại 297 Hướng dẫn 16 Số cần tìm abc Số viết theo thứ tự ngược lại cba Ta có: abc ⋮ {5, 9} => c = {0, 5} Vì viết theo thứ tự ngược lại để số cba => c = Ta có: ab5 5ba Ta có ab5 - 5ba = 297 => 100a + 10b + - (500 + 10b + a) = 297 => 99a = 792 => a = => Có số 8b5 mà số ⋮ => 800 + 10b + = 805 + 10b ⋮ => b = Vậy số cần tìm 855 17 ... chữ số có mặt lần tính tổng số Hướng dẫn Ta lập 4.3.2.1  24 số tự nhiên bao gồm bốn chữ số 1, 2,3, Mỗi chữ số có mặt lần hàng Tổng 24 số nói bằng: 60  60 0  60 00  60 000  66 660 Bài tập 8: Tìm. .. 190a 19b  66 5 => 10a  b  35 Bài tập 18 Tìm số tự nhiên có chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng trước số số lớn gấp lần so với số có cách viết thêm chữ số vào sau số Hướng dẫn Gọi số tiền có... abcde  69 99972  39.abcde Bài tập 19 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên phải chữ số vào bên trái số tăng gấp 36 lần Hướng dẫn Gọi số phải tìm ab Viết thêm chữ số vào bên