Hình mp A BCD chiếu vuông góc của điểm S trên trùng với trọng tâm tam giác BCD.. Tính thể tích khối chóp S.ABC D và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a.[r]
(1)Câu (2,0 điểm) Cho hàm số tham số) ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 y = x3 + (2m - 1)x2 + (m2 - 2m - 1)x - m2 + có đồ thị (C ) (với m là a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C ) với m = A, B,C b) Tìm m để (C ) cắt trục hoành điểm phân biệt (với A là điểm cố định) cho B,C 2(k1 + k2) = x1x2 k ,k x ,x , đó là hệ số góc tiếp tuyến (C ) và là hoành độ các điểm cực trị (C ) Câu 2.( 1,0 điểm ) Giải phương trình: 2sin2x - cos2x - 7sin x - 2cosx + = Câu (1,0 điểm) () z + (2 - i 8)z + = a) Tìm số phức z thỏa mãn: 3(1 + i 2) - 1+ i z log3(x + 1)2 - log4(x + 1)3 b) Giải phương trình: Giải bất phương trình e Câu (1,0 điểm ) Tính tích phân: I =ò x2 - 5x + >0 (x2 + x + 1) ln x + x + dx 1+ x ln x AB = a, AD = 2a Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC D có đáy ABC D là hình chữ nhật, Hình mp ( A BCD ) chiếu vuông góc điểm S trên trùng với trọng tâm tam giác BCD Đường thẳng SA tạo với mp(ABCD ) góc 45 Tính thể tích khối chóp S.ABC D và khoảng cách hai đường thẳng AC và SD theo a Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P ) : x + z - = và (Q) : y + z + = và điểm A(1;- 1;- 1) Tìm tọa độ điểm M trên (P ) và điểm N trên (Q) cho đoạn thẳng MN vuông góc với giao tuyến (P ) và (Q) đồng thời nhận A làm trung điểm æ 1ö ÷ Gç - ; ÷ ç ÷ ç ÷ 3ø è Oxy ABC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ , cho tam giác có trọng tâm và tâm d : x - y + = 0, d2 : x + y + = đường tròn ngoại tiếp là I (2;- 1) Hai đường thẳng Trung điểm M d d BC nằm trên đường thẳng và điểm A nằm trên đường thẳng Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC ìï x4 + 4x2 + y2 - 4y = ï í ïï x y + 2x2 + 6y = 23 Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình : ïî x, y, z Câu (1,0 điểm ) Cho là các số thực lớn và thỏa mãn xy + yz + zx ³ 2xyz Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1) Hết (2) Câu Câu 1.1 điểm HƯỚNG DẪN CHẤM Với m 0 hàm số đã cho trở thành: y x x x * TXĐ: D * Sự biến thiên: lim y ; lim y x Điểm 0.25 x x 1 y ' 3 x x 1; y ' 0 x 0.25 ( ; ) và (1; ) Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;1) Hàm số nghịch biến trên khoảng 32 ( ; ) Đồ thị hàm số có điểm cực đại là 27 và điểm cực tiểu là (1; 0) 0.25 Đồ thị: 0.25 Câu 1.2 * Phương trình hoành độ giao điểm (C ) với trục hoành: (3) điểm x3 (2m 1) x (m 2m 1) x m 0 x 1 ( x 1)( x 2mx m2 1) 0 2 g ( x ) x 2mx m 0 (*) Để (C ) cắt trục hoành điểm phân biệt A, B, C thì PT (*) có nghiệm phân biệt khác ' 1 m 0 g (1) m 2m 0 m (1) Hay * Do A là điểm cố định nên A(1; 0) và B(b;0), C (c;0) (với b, c là nghiệm phương trình (*), hay a b 2m ; ab m ) Ta có k1 , k2 là hệ số góc tiếp tuyến (C ) B, C 2 Nên: k1 y '( b) 3b 2(2m 1)b m 2m k2 y '( c ) 3c 2(2m 1) c m 2m Ta có: x1 , x2 là hoành độ các điểm cực trị (C ) nên x1 , x2 là nghiệm phương 2 trình y ' 3 x 2(2m 1) x m 2m 0 0.25 0.25 0.25 2(2m 1) m 2m ; x1 x2 3 Hay Mà 2( k1 k2 ) x1 x2 x1 x2 3b 2(2m 1)b m 2m 3c 2(2m 1) c m 2m 1 Câu 2.1 điểm m 1 m 2m 25 0 m 1 m 1 m 1 Vậy từ (1) và (2) ta có 2 sin x cos x sin x 26 26 m 2m 0.25 (2) 26 26 thỏa yêu cầu bài toán cos x 0 (2 sin x 2 cos x) ( cos x sin x 4) 0 (2sin x 1)(sin x 2 cos x 3) 0 0.25 (1) 2sin x 0 sin x 2 cos x 0 (2) x k 2 (1) , k x 5 k 2 0.25 2 (2) x k 2 , k (sin , cos ) 3 0.25 0.25 (4) x k 2 x 5 k 2 (2) x k 2 Vậy PT có nghiệm: Câu 3.a (0,5 điểm) z (2 i 8) z 3(1 i 2) z 1 i z , k (2 i 8) z (1 2i 2) z z z 0 (*) 0.25 Gọi z a bi ( a, b ) (*) a b a (b 2ab)i 0 a 2 a b a 0 b 2ab 0 b 11 11 z i; z 2 Vậy có số phức thỏa yêu cầu bài toán là: Câu 3.b 0,5 điểm 0.25 11 i Điều kiện: x ; x 6 log ( x 1) log 0 x 5x 2log ( x 1) 3 log ( x 1) log ( x 1) 0 x 5x log3 ( x 1)(2 3log 3) 0 ( x 1)( x 6) log ( x 1) 0 x 0.25 0.25 Lập bảng xét dấu ta có tập nghiệm là S (0; 6) Câu điểm e e e e ( x x 1) ln x x ( x 1)(1 x ln x) ln x ln x I dx dx ( x 1)dx dx x ln x x ln x x ln x 1 1 0.25 I1 I e e x2 I1 ( x 1)dx x) e e 1 Tính e ln x I dx x ln x Tính Đặt t 1 x ln x dt (1 ln x) dx Đổi cận : x 1 t 1 ; x e t 1 e 0.25 0.25 (5) 1e 1e dt I ln t ln(1 e) t 1 I e e ln(1 e) 2 Vậy 0.25 Câu điểm ( SA, ( ABCD )) (SA, AH) SAH 450 SH AH 2a V SH S ABCD a 3 Thể tích khối chóp S ABCD là: * Gọi M là trung điểm SB Ta có : d ( SD; AC ) d ( SD;( ACM )) d ( D; ( ACM )) 0.25 0.25 0.25 Chọn mặt phẳng Oxyz hình vẽ Ta có : 2a 2a 5a 2 a A(0;0;0), b(a;0;0), D(0; 2a;0), S ( ; ; 2a), C ( a; 2 a;0), M ( ; ; a) 3 n AC , AM (2 2a ; a ; 2a ) ( ACM ) A Mặt phẳng qua có VTPT Nên : ( ACM ) : 2 x y z 0 d ( SD; AC ) d ( D;( ACM )) Câu điểm 22a 11 M ( P) M ( a; b;3 a ) Vì A là trung điểm MN nên: N (2 a; b; a ) Mà N (Q) a b 2 (1) Ta có : MN (2 2a; 2b; 2a) n (0;1;1) n (1;0;1) ( P) có VTPT P , (Q) có VTPT Q u [ nP , nQ ] ( 1; 1;1) Nên VTCP giao tuyến ( P) và (Q) là ( P ) (Q) MN Do vuông góc với giao tuyến và nên: MN u 0 2a b 4 Từ (1) và (2) ta có : a 2 ; b 0 Vậy M (2;0;1) , N (0; 2; 3) 0.25 0.25 0.25 (2) 0.25 0.25 (6) Câu điểm M d M ( a; a 3) ; 2 AG AM A( 2a 1; 2a 7) Vì A d1 a A(2; 4) Mà : 3 M ( ; ) 2 Đường thẳng BC qua M và vuông góc IM nên : BC : x y 12 0 Vì B BC B (b; 7b 12) Mà M là trung điểm BC nên C ( b 3;7b 9) b B( 1; 5), C ( 2; 2) IA IB b B( 2; 2), C ( 1; 5) Ta có: 0.25 0.25 0.25 0.25 Vậy A(2; 4), B ( 1; 5), C ( 2; 2) A(2; 4), B( 2; 2), C ( 1; 5) Câu điểm 2 ( x 2) ( y 2) 10 x x y y 2 2 2 x y x y 23 y ( x 2) 2( x 2) 4( y 2) 19 2 ( x 2) ( y 2) 10 ( x 2)(y 2) 4( y 2) 19 Đặt a x ; b y đó hệ phương trình trở thành: a b 4 a b 10 a b 4 ab 3 a b 12 ab 3 ab 4(a b) 19 (VN ) ab 67 Với a 3 ; b 1 thì HPT có nghiệm ( x; y ) là: (1;3), ( 1;3) 2 0.25 0.25 a 3 ; b 1 a 1 ; b 3 Với a 1 ; b 3 thì HPT vô nghiệm Vậy hệ PT có nghiệm ( x; y ) là: (1;3), ( 1;3) Câu 1,0 điểm xy yz zx 2xyz 0.25 0.25 1 2 x y z Ta có : 1 ( y 1)( z 1) ( y 1)( z 1) 1 2 2 (1) x y z yz x yz 0.25 0.25 (7) ( x 1)( z 1) 2 xz Tương tự: y (2) ; Nhân vế theo vế (1), (2), (3) ta có: Amax x y z Vậy ( y 1)( x 1) 2 (3) z yx A ( x 1)( y 1)( z 1) 0.25 0.25 (8)