PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm của phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là d[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI KHÔNG MẪU MỰC A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một số bài toán phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù phương trình, không nằm phương pháp đã nêu hầu hết các sách giáo khoa Một số phương trình lượng giác thể tính không mẫu mực dạng chúng, có phương trình ta thấy dạng bình thường cách giải lại không mẫu mực Sau đây là phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực thường gặp I.PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG Phương pháp này nhằm biến đổi phương trình lượng giác dạng vế là tổng bình phương các số hạng (hay tổng các số hạng không âm) và vế còn lại không và áp dụng tính chất: A + B2=0 ⇔ A=0 B=0 ¿{ Bài Giải phương trình: 2 tan x+ sin x − √ tan x − sin x +2=0 GIẢI (2) sin x= ¿ √ tan x −1=0 sin x −1=0 ¿ ⇔ ¿ tan x = √ ¿ ¿ ⇔ π ¿ x = + mπ π x= +2 nπ tan x+ sin x − √ tan x −4 sin x+2=0 ⇔ tan x − √3 tan x +1+ sin2 x − sin x+1=0 2 sin x −1 ¿ =0 ¿ ¿ ⇔ √ tan x − 1¿ 2+ ¿ ⇔¿ π ĐS x= +2 kπ (k ∈ Z) II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP Phương pháp này xây dựng trên tính chất: Để giải phương trình f ( x)=g ( x) , ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn A → R: f (x) ≥ A , ∀ x ∈(a , b) và g( x)≤ A , ∀ x ∈( a ,b) thì đó: Nếu ta có f ( x)> A và ngiệm Bài Giải phương trình: 5 f (x)=g (x)⇔ f ( x )= A g( x )= A ¿{ g( x)< A , ∀ x ∈(a , b) thì kết luận phương trình vô cos x + x =0 GIẢI cos x + x =0 ⇔ x =− cos x Vì −1 ≤ cos x ≤ nên ≤ x ≤1 ⇔−1 ≤ x ≤ −π π mà [ −1,1 ] ⊂ , ⇒cos x >0, ∀ x ∈ [ − 1,1 ] ⇒− cos x< 0, ∀ x ∈ [ − 1,1 ] Do x 2> và −cos x <0 nên phương trình vô nghiệm ( ) (3) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Bài Giải phương trình: sin 1996 x +cos1996 x =1 (1) GIẢI (1) 1996 1996 2 ⇔sin x +cos x=sin x+ cos x 1994 1994 ⇔sin x (sin x −1)=cos x (1 −cos x) ¿ sin x ≥ sin 1994 x ≤1 Ta thấy ⇒ sin2 x (sin 1994 x − 1) ≤ 0, ∀ x ¿{ ¿ ¿ cos x ≥ 1− cos1994 x ≥0 Mà ⇒cos x (1 −cos 1994 x)≥0, ∀ x ¿{ ¿ (2) (4) ⇔ 1994 sin x( sin x − 1)=0 cos x (1− cos1994 x )=0 ⇔ sin x=0 ¿ sin x=± ¿ cos x=0 ¿ cos x=± ¿ ¿⇔ ¿ x=mπ ¿ Do đó (2) π x= +mπ ¿ π x = + nπ ¿ x =nπ ¿ ¿(m , n∈ Z ) ¿ ¿ ¿¿ ¿ ¿ ¿ ¿¿ ¿ ¿¿ π Vậy nghiệm phương trình là: x=k (k ∈ Z ) π ĐS x=k (k ∈ Z ) Áp dụng phương pháp đối lập, ta có thể suy cách giải nhanh chóng phương trình lượng giác các dạng đặc biệt đây: (5) sin ax sin bx=1⇔ ¿ sin ax=1 sin bx=1 ¿ ¿ ¿ sin ax=−1 ¿ ¿ sin bx=−1 ¿ ¿ ¿ sin ax sin bx=−1 ⇔ ¿ sin ax=1 sin bx=− ¿ ¿ ¿ sin ax=−1 ¿ ¿ sin bx=1 ¿ ¿ ¿ Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng: cos ax cos bx=1 cos ax cos bx=− sin ax cos bx=1 sin ax cos bx=−1 III PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM Tuỳ theo dạng và điều kiện phương trình, ta tính nhẩm nghiệm phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là cách thông sụng sau: Dùng tính chất đại số Áp dụng tính đơn điệu hàm số Phương trình f ( x)=0 có nghiệm x=α ∈( a ,b) và hàm f đơn điệu (a , b) thì f (x)=0 có nghiệm là x=α Phương trình f ( x)=g ( x) có nghiệm x=α ∈(a ,b) , f (x) tăng (giảm) (a , b) , g( x) giảm (tăng) (a , b) thì phương trình f ( x)=g ( x) có nghiệm x=α là Bài Giải phương trình: cos x=1 − x2 với x> (6) GIẢI Ta thấy phương trình có nghiệm x=0 x −1 là biểu thức hàm số có đạo hàm Đặt f ' ( x)=− sin x+ x >0, ∀ x> (vì |x|>|sin x|, ∀ x ) ⇒ Hàm f luôn đơn điệu tăng ( ,+∞ ) ⇒ f ( x)=0 có nghiệm ( ,+∞ ) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=0 f (x)=cos x+ B.CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Bài 1: Giải phương trình: x −2 x cos x −2 sin x+ 2=0 (1) GIẢI Ta có (1) 2 ⇔ x − x cos x +cos x+ sin x −2 sin x+1=0 ¿ x − cos x=0 sin x −1=0 ¿ ⇔ ¿ cos x=x ¿ sin x=1 sin x −1 ¿2 =0 ¿ ⇔ x − cos x ¿ 2+ ¿ ¿ ¿⇔¿ Phương trình vô nghiệm Bài 2: Giải phương trình: 15 sin x +cos x=1 GIẢI Ta có: 15 sin x +cos x=1 15 2 ⇔ sin x +cos x=sin x +cos x ⇔ sin x (sin x −1)=cos x (1 −cos 13 x ) (1) Vì sin2 x(sin2 x −1)≤ 0, ∀ x Và cos x (1− cos13 x) ≥0, ∀ x (7) ⇔ sin x( sin2 x −1)=0 cos x (1− cos13 x)=0 ¿{ Do đó (1) ⇔ sin x=0 ¿ sin x=± ¿ cos x=0 ¿ cos x=1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ x=mπ ¿ π x= +mπ ¿ π x= +nπ ¿ x=2 nπ ¿ ¿(m, n ∈ Z) ¿ ¿ ¿¿ ¿ ¿ ¿ π ĐS x= +kπ hay x=2 kπ , (k ∈ Z) C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐỀ THI Bài 3: Giải các phương trình: π 4 sin x +cos ( x + )= (1) 4 tan x + cot x ¿n =cos n x +sin n x(n=2,3,4, .) ¿ (8) GIẢI Ta có: (1) 1− cos x ¿ ¿ ¿ ⇔¿ 1− sin x ¿2=1 −cos x ¿ 2+ ¿ ⇔¿ ⇔ cos x +sin x=1 π ⇔ cos (2 x − )= √ ⇔ x=kπ ¿ π x= +kπ ¿ (k∈ Z) ¿ ¿ ¿ π 2.Với điều kiện x ≠ k ta có tan x và cot x luôn cùng dấu nên: n 1 1 tan x + cot x =|tan x|+ cot x ≥ tan x ⋅ cot x =1 ⇒ tan x+ cot x ≥1 4 4 1 Dấu "=" xảy ⇔|tan x|= cot x ⇔ tan x= ⇔ tan x=± 2 n=2 tan x + cot x =1 có nghiệm cho bởi: Với : phương trình 1 tan x=± ⇔ x=± arctan + kπ (k ∈ Z ) 2 n ∈ Z , n>2 Với thì: n n 2 cos x +sin x ≤ cos x+ sin x=1 ⇔ π x=k n=2m ¿ π Dấu xảy x=2 kπ hay x= +2 kπ n=2m+1 ¿ (k , m∈ Z ) ¿ ¿ ¿ π (đều không thoả mãn điều kiện x ≠ k phương trình) | | | | √| | | | | ( ) | (9) Vậy với n>2 , n ∈ Z thì phương trình vô nghiệm ĐS x=± arctan +kπ (k ∈ Z) Bài 4: Giải phương trình: cos x √ 1 −1+cos x −1=1 (1) cos x cos x √ GIẢI ¿ cos x >0 Điều kiện: cos x> ¿{ ¿ Khi đó (1) ⇔ √ cos x −cos x + √ cos x − cos2 x=1 1 a − ¿2 ≥ ⇒ a − a2 ≤ Vì a2 − a+ =¿ 1 2 Do đó cos x − cos x ≤ và cos x − cos x ≤ 1 ⇒ √ cos x − cos2 x ≤ và √ cos x −cos x ≤ 2 ⇔ cos x − cos x= cos x − cos2 x= ⇔ Dấu xảy ¿ cos x= cos x= ⇔ x ∈∅ ¿{ Vậy phương trình (1) vô nghiệm D.CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Giải phương trình: sin3 x+cos3 x=2− sin4 x HƯỚNG DẪN (10) sin x ≤ sin x , ∀ x cos x ≤ cos x , ∀ x ⇒ sin3 x+ cos3 x ≤ , ∀ x −sin x ≥1 , ∀ x ¿ sin x+ cos3 x=1 2− sin x=1 ¿{ ¿ Vậy phương trình tương đương: π ĐS x= +2 kπ ( k ∈ Z ) Bài 2: Giải phương trình: sin x+ tan x − x=0 π với ≤ x ≤ HƯỚNG DẪN Dễ thấy phương trình có nghiệm x=0 Đặt f ( x)=sin x + tan x −2 x liên tục trên ¿ Có đạo hàm: f ' (x)= ( cos x − 1)(cos x −cos x −1) ≥0,∀ x∈¿ cos2 x − √5 1+ <0 ≤ cos x ≤ 1< √ ⇒ cos2 x − cos x −1<0 2 ⇒ f đơn điệu tăng trên ¿ Bài 3: Giải phương trình: ( cos x − cos x )2=5+ sin3 x π ĐS x= +2 kπ ( k ∈ Z ) Bài 4: Giải phương trình: 4 cos x −sin x=|cos x|+|sin x| ĐS x=kπ (k ∈ Z) Bài 5: Giải phương trình: x −2 sin xy+1=0 ¿ x=1 π ĐS y= +2 kπ ¿{ ¿ hay ¿ x=−1 π y= +2 kπ ¿{ ¿ (k ∈ Z) (11) (12)