Bài 3 Gọi a, b là hai ước nguyến tố khác nhau của số nguyên dương N, với a... Bất đẳng thức cuối sai khi a≠b, do đó dất đẳng thức đã cho sai khi a≠b.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO (2) HƯỚNG DẪN GIẢI Bài ĐK: y≠0 x Đặt t = x + , u = y y t = t = t − u = t + t − = u = −3 ⇒ ⇔ ⇔ t = −2 ⇔ t = −2 t + u = −2 t + u = −2 t + u = −2 u = x = x = y = −1 y = −1 x = −2 x = −2 Do đó ⇔ y = y = 3 x = x = y = −1 y = −1 Bài S = + 2.2 + 3.22 + 4.23 + + 2015.22014 1/ = 2015(22014 + 22013 + 22012 + + + 1) −(22013 + 22012 + 22011 + + + 1) −(22012 + 22011 + 22010 + + + 1) − = 2015(2 − 1)(2 2014 + 22013 + 22012 + + + 1) −(2 − 1)(22013 + 22012 + 22011 + + + 1) −(2 − 1)(22012 + 22011 + 22010 + + + 1) − = 2015(22015 − 1) − (22014 − 1) − (22013 − 1) − = 2015.22015 − (22014 + 22013 + 22012 + + + 1) = 2015.22015 − (22015 − 1) = 2014.22015 + Cách khác: S = S − S = 2(1 + 2.2 + 3.2 + 4.23 + + 2015.22014 ) −(1 + 2.2 + 3.22 + 4.23 + + 2015.22014 ) = (2 + 2.22 + 3.23 + 4.2 + + 2015.22015 ) −(1 + 2.2 + 3.22 + 4.23 + + 2015.22014 ) = 2015.22015 − (22014 + 22013 + 22012 + + + 1) (3) = 2015.22015 − [(2 − 1)(22014 + 22013 + 22012 + + + 1)] = 2015.22015 − (22015 − 1) = 2014.22015 + 2/ x − x + 11 = x + x + + x − x + (1) 11 11 15 15 ∀x ∈ ℝ : x + x + = ( x + )2 + ≥ ; x − x + = ( x − )2 + ≥ 4 4 11 15 Đặt u = x + x + 3; v = x − x + (u ≥ ,v ≥ ) 2 u2 + v = x + x + + x − x + = 2( x − x + 11) − 13 Ta có u2 + v + 13 ⇒ x − x + 11 = Do đó (1) trở thành: u2 + v + 13 = 3u + 2v ⇔ u2 + v + 13 = 6u + 4v ⇔ (u2 − 6u + 9) + (v2 − 4v + 4) = ⇔ (u − 3)2 + (v − 2)2 = (2) Vì (u − 3)2 ≥ ∀u;(v − 2)2 ≥ ∀v nên: u = (u − 3) = (thỏa ĐK) (2) ⇔ ⇔ v = ( v − 2) = Suyra: 2 x + x + = x + x − = ⇔ x − x + = x − x + =2 x = x = −3 ⇔ ⇔ x=2 x=2 x = Bài Gọi a, b là hai ước nguyến tố khác số nguyên dương N, với a<b 1/ Ta có N = ax.by với x, y ∈ ℕ * Số ước dương N là (x+1)(y+1) Số N có ước dương, nên (x+1)(y+1) = ⇒ (x; y)=(1; 2) (x; y)=(2; 1) Do đó N = a.b2 N = a2.b Vì a<b nên a2.b<a.b2 và N lớn ⇒ N = a.b2 Tổng hai ước nguyên tố là 18 ⇒ a+b = 18 Hai số nguyên tố có tổng 18 là và 13 và 11 Suy ra: (4) a = b = 13 a = b = 11 Ta có: 5.132 =845; 7.112 = 847 Vậy N = 847 2/ TO hay nhỏ 1) Ví dụ kiểm chứng: 2 6+4 + 62 + 42 62 + 42 = 25; = 26 ⇒ a = 6; b=4 ⇒ < 2 2 2) Những gì đã biết: a + b a2 + b2 a2 + 2ab + b2 a2 + b2 ≥ ⇔ ≥ ⇔ a2 + 2ab + b ≥ 2(a2 + b2 ) ⇔ ab ≥ a2 + b2 ⇔ (a − b)2 ≤ Bất đẳng thức cuối sai a≠b, đó dất đẳng thức đã cho sai a≠b 3) Kết quả: a + b a2 + b2 ( a − b) ≥ ⇔ ∀a, b ∈ ℝ (*) ≤ 2 Đẳng thức xảy và a=b 3) Phát triển tự nhiên: a + b 2 a2 + b2 2 a+b a +b ⇔ ≤ ≤ 2 2 2 2 a + b (a ) + (b ) (do (*)) ≤ 2 2 a + b ( a )2 + ( b ) a + b a4 + b4 ≤ ⇔ ⇔ ∀a, b ∈ ℝ ≤ 2 Đẳng thức xảy và a=b 4) Tổng quát: 2n n n a+b a2 + b2 ∀a,b ∈ ℝ;∀n ∈ ℕ ≤ Đẳng thức xảy và a=b Dạng tổng quát khác: 2n a+b a2 n + b2 n ∀a,b ∈ ℝ;∀n ∈ ℕ * (*) ≤ a) n = thì không tồn số dạng 00 (5) b) Chứng minh qui nạp: *) Với n = 1; (*) đúng *) Giả sử (*) đúng với n = k, nghĩa là: 2k a+b a2 k + b2 k ≤ 2k 2 a + b a + b a2 k + b2 k a + b a2 k + b2 k a + b2 ⇔ ≤ ≤ 2 a k + + b k + + a k b + a b k a k + + b k +2 a k + + b k + − a k b − a b k = = − 4 k +2 k +2 2 2k 2k +b a (a − b )(a − b ) = − a2 ≥ b2 k 2k a ≥ b a ≥ b ∀a, b ∈ ℝ; ⇔ 2 a < b a < b a2 k < b2 k (a2 − b2 )(a2 k − b k ) ≥ ⇔ ⇔ (a2 − b2 )(a2 k − b2 k ) ≥ 2k 2k (a − b )(a − b ) > (a2 − b2 )(a2 k − b2 k ) ⇔− ≤0 a2 k +2 + b2 k +2 (a2 − b2 )(a2 k − b k ) a2 k +2 + b k +2 ⇔ − ≤ 2( k +1) a+b a2( k +1) + b2( k +1) Hay: ≤ Do đó: (*) đúng với n = k+1 *) Vậy (*) đúng ∀n ∈ ℕ * Bài (6) 1/ PAF = PDF = 450 ⇒ Tứ giác APFD nội tiếp Tứ giác APFD nội tiếp ⇒ EPF = ADF = 90 Tương tự, tứ giác APEQ nội tiếp ⇒ EQF = ECF = 90 Do đó Q, P, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính EF Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác CEPQF là trung điểm đoạn EF 2/ AQE = 90 ⇒ ∆AQE vuông cân Q ⇒ AE = AQ QAE = 45 ⇒ AQP 3/ S Tứ giác EPQF nội tiếp đường tròn đường kính EF AEF ⇒ SAPQ SAEF ⇒ APQ = AFE AQ = = ⇒ SAEF = 2SAPQ = AE CPD = CMD ⇒ Tứ giác CPMD nội tiếp ⇒ MPD = MCD CPD = APD (BD là trung trực AC) Do đó CMD = MCD Mặt khác, M là trung điểm AE nên M thuộc trung trực CD Suy MCD = MDC = CMD ⇒ ∆MCD ⇒ MDC = 60 ⇒ MDA = 30 ⇒ DAM = DMA = 750 ⇒ MAB = 150 GV toán - trường THCS Phú Long - Hàm Thuận Bắc - Bình Thuận (7)