Viết phương trình đường tròn C có tâm I thuộc đường thẳng d, C cắt Ox tại A, B, cắt Oy tại M, N sao cho diện tích của hai tam giác IAB và IMN đều bằng 12.. D sao cho ABCD là một hình tha[r]
(1)Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà và các huyện lân cận các lớp 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 15 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệm miến phí TT LUYỆN THI TẦM CAO MỚI TỔ TOÁN TCM-ĐH-T25A ĐỀ THAM KHẢO THI ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM HỌC 2013 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x x a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc (C) (khác gốc tọa độ O) cho tiếp tuyến (C) M vuông góc với đường thẳng OM 11 10sin x 10cosx cos x 2 cos x Câu (1,0 điểm) Giải phương trình x 3 x x x ( x ) Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 2 (sin 4x sin 2x).e cos x dx Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân A, AB = a Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Biết A’G vuông góc với mặt đáy (ABC) và A’B tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp A’.BCC’B’ và tính khoảng cách hai đường thẳng AG và A’C theo a Câu (1,0 điểm) Cho x, y là hai số thực không âm Tìm giá trị nhỏ biểu thức (1 x )3 (1 y )3 P 4(e e ) 3 3x 3y II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần riêng (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x y 0 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc đường thẳng d, (C) cắt Ox A, B, cắt Oy M, N cho diện tích hai tam giác IAB và IMN 12 Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1), B (2;3; 1) , đường thẳng : x y z 1 1 và mặt phẳng ( P) : x y z 0 Viết phương trình đường thẳng d cắt (P) C, cắt D cho ABCD là hình thang vuông các đỉnh A, B Câu 9.a (1,0 điểm) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn 2 An 44 Tìm số hạng không phụ thuộc vào x n x4 x khai triển nhị thức Niu-tơn B Theo chương trình Nâng cao 2 Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C ) : x ( y 1) 2 , (C ') : ( x 4) ( y 5) 8 Cho AB là đường kính thay đổi đường tròn (C ') và M là điểm di động trên đường tròn (C) Tìm tọa độ các điểm M, A, B cho diện tích tam giác MAB lớn Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (3;4;0) và đường thẳng : x y z 1 1 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB 12 (2) Câu 9.b (1,0 điểm) Viết dạng lượng giác số phức z biết z z 16 và i z có acgumen 2 NỘI DUNG ĐIỂM điểm điểm Câu I a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x x * Tập xác định: * Sự biến thiên: y 3 x 2; y 0 x = * Hàm số đồng biến trên yCĐ = ; yCT = * Bảng biến thiên x biến trên ( 6 ; ) 3 ; + 0,25đ 0,25 đ y’ 6 ) ( ; ) và ; nghịch ( ; 6 x = 6 0 + y 0,25đ * Vẽ đúng đồ thị -0,25đ b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) (khác gốc tọa độ O) cho tiếp tuyến (C) M vuông -góc với đường thẳng OM 3 điểm Gọi M ( m, m 2m) Ta có OM (m, m 2m) Gọi d là tiếp tuyến (C) M Hệ số góc đường thẳng d là kd f '(m) 3m2 nd (3m 2; 1) ud (1;3m2 2) Theo giả thiết ta có ud OM 0 m.1 (m3 2m).(3m 2) 0 3m5 8m3 5m 0 0,25đ 0,25đ m.(3m 8m 5) 0 15 m 0 m 1 15 15 15 15 M (1;1), M ( 1; 1), M ( , ), M ( ; ) 9 Đáp số m Câu Giải phương trình 11 10sin x 10cosx cos x 2 cos x 0,25đ 0,25đ điểm (3) Điều kiện cos x x k 2 Phương trình 11 10sin x 10cos x (cos x sin x) 2 2cos x sin x 10sin x cos x 8cos x sin x 10sin x 25 cos2 x 8cos x 16 (sin x 5) (cos x 4)2 0,25đ sin x cos x sin x 4 cos x sin x cosx sin x cosx sin x cos x sin( x ) 1 +) Với (Vô nghiệm) 0,25đ x k 2 x k 2 sin x cos x sin( x ) x ( ) k 2 x k 2 4 +) Với x k 2 Đáp số Câu 0,25đ 0,25đ điểm x 3 x x x ( x ) Giải phương trình x Điều kiện Phương trình x 5( x 3) 3( x 2) x x 12 2x ( x 5) x ( x 3)( x 4) 2x ( x 5)2 x x 0,25đ 2( x 3) x ( x 3)( x 4) 2x ( x 5) x x 3 23 x x (*) x 3 ( x 5)2 x Ta có x x x x 3 x 0 x x 2 x 2 x Từ đó x ( x 5) ( x 2) x 3 ( x 5) x 0,25đ x x x Do đó 23 x 2 2x 0,25đ 1 Mặt khác Suy VT (*) x Vậy phương trình (*) không xảy Đáp số x 3 Câu 0,25đ điểm (4) 2 (sin 4x sin 2x).e cos x dx Tính tích phân I Ta có I 2 (2sin 2xcos2x sin 2x).e cos x dx (2cos2x 1).e cos x sin 2xdx 0 x 0 t 1; x t 0 2 Đặt t cos x dt sin 2xdx và 0,25đ I (2(2t 1) 1).et ( dt ) (4t 1).et dt Ta có 0,25đ u 4t du 4dt t t dv e dt v e Đặt Ta có 1 I (4t 1).e t e t 4dt 3e 4e t 0 0,25đ 0,25đ điểm 5 e Câu Tính thể tích khối chóp A’.BCC’B’ và tính khoảng cách hai đường thẳng AG và A’C theo a B’ M’ C’ A’ M B C G A Theo giả thiết ta có A ' BG 60 Gọi M, M’ là trung điểm BC và B’C’ Trong tam giác ABC ta có a 2 a 5a a a 15 BG A ' G BG.tan A ' BG 36 3 a 15 VABC A ' B ' C ' VA ' ABC A ' G.S ABC A ' G.S ABC A ' G AB AC 3 BG BM GM Từ đó VA '.BCC ' B ' 0,25đ (5) Ta có 0,25đ d ( AG , A ' C ) d ( AG,( A ' CM ')) d ( A,( A ' CM ')) 3VA A ' CM ' S A ' CM ' a 15 VA A ' CM ' VM '.ACA ' VM ACA ' VA ' ACM A ' G.S AMC 36 Ta có a 2a A' M ' ; A ' C A ' G GC Ta có Ta có BC AM , BC A ' G BC ( AA ' M ) BC AA ' BC CC ' 0,25đ Do đó CM ' CC '2 C ' M '2 AA '2 CM Từ đó 'M ' cosCA 17 a 2a a 86 A ' C A ' M '2 CM '2 ' M ' cos CA ' M ' 39 sin CA A ' C A ' M ' 40 10 ' M ' a 39 SCA ' M ' A ' C A ' M '.sin CA 12 a 15 15 a 65 d ( AG , A ' C ) 36 a 39 13 a 39 12 Vậy 0,25đ Chú ý: Có thể tính d ( AG, A ' C ) cách dựng hình bình hành CMGN, sau đó hạ GH A ' N và chứng minh GH ( A ' NC ) Từ đó d ( AG , A ' C ) GH a 65 13 Câu điểm Cho x, y là hai số thực không âm Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 4(e3 x e3 y ) (1 x)3 (1 y )3 Ta có (e x e y )(e x e y ) 0 e3x e3 y e x e y (e x e y ) 4(e3x e3 y ) e3x e3 y 3e x e y (e x e y ) e x e y 3 4(e3x e y ) e x e y Mặt khác ta có (1 x )3 (1 y )3 Suy P e x e y Xét hàm số (1 x)3 (1 y )3 (1 x) (1 y ) f (t ) et (1 2t )3 với t 0 0,25đ (6) (1 2t ) 2 t f '(t ) e et 2t , t e t e 2.0 f ''(t ) et 0 t 0 2t 2t 2t Ta có f '(t ) f '(0) 0 t 0 f (t ) f (0) Do đó Vậy P f ( x) f ( y) Khi x = y = thì Câu 7.a P 4 0,25đ 0,25đ t 0 x, y 0 0,25đ Vậy giá trị nhỏ P điểm Cho đường thẳng d : x y 0 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d, (C) cắt Ox A, B, cắt Oy M, N cho diện tích hai tam giác IAB và IMN 12 Gọi I, R là tâm và bán kính đường tròn (C) Ta có I d I (t; t 1) Gọi H và K là hình chiếu vuông góc I trên Ox, Oy Ta có IH d ( I ,Ox) t AB 2AH 2 R IH 2 R (t 1) S IAB IH AB t R (t 1) 12 (1) và IK d ( I ,Oy) t MN 2 MK 2 R IK 2 R t S IMN IK MN t R t 12 (2) 0,25đ Từ (1) và (2) ta suy (t 1) R (t 1) t R t R t (t 1) t (t 1) t (t 1) 0 t 2 2 2 R t (t 1) R t (t 1) 0,25đ 1 2305 t I( ; ) R2 2 Thay vào (2) ta suy Vậy phương trình (C) là Trường hợp 1: 1 2305 ( x ) ( y )2 2 t t 12 t t 12 R t (t 1) Trường hợp 2: Thay vào (2) ta suy t t 12 (Vô nghiệm) Vậy t t 4 +) Với 0,25đ 2 t ta có I ( 3; 4), R 5 Vậy phương trình (C) là ( x 3) ( y 4) 25 2 +) Với t 4 ta có I (4;3), R 5 Vậy phương trình (C) là ( x 4) ( y 3) 25 Câu 8.a x y z 1 1 và mặt phẳng ( P ) : x y z 0 Viết phương trình đường thẳng d cắt (P) C, cắt D cho ABCD là hình thang Cho A(1;1;1), B(2;3; 1) , đường thẳng vuông các đỉnh A, B : 0,25đ điểm (7) Ta có D D(1 t; t; 2t ) Ta có AB (1; 2; 2), AD (t ; t 1;2t 2) Theo đề bài BAD 900 AB AD 0 1.t 2(t 1) 2(2t 2) 0 t 2 D(3;2;3) u Từ đó ta BC AD (2;1;2) Vậy phương trình đường thẳng BC là x 2 2t y 3 t C (2 2c;3 c; 2c) z 2t Thay Mặt khác C thuộc mp(P) nên ta có 0,25đ 0,25đ 2c (3 c) ( 2c) 0 c 2 C (6;5;3) CD ( 3; 3;0) ud (1;1;0) Vậy phương trình d là Ta có x 3 t y 2 t z 3 Câu 9.a 0,25đ 0,25đ điểm Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn 2 An 44 Tìm số hạng không phụ thuộc vào x n x4 x khai triển nhị thức Niu-tơn Điều kiện n 3 Ta có n(n 1)(n 2) 2n(n 1) 44 n3 15n 14n 264 0 (n 12).(n 3n 22) 0 n = 12 n 3n 40 0 (Loại vì n là số nguyên dương) Cn3 2 An2 44 Với n = 12 ta có 12 n 12 k k 1 24 k 12 12 41 12 k k x x x C x x C x 12 12 x k 0 k 0 24 3k 0 k 8 Số hạng không phụ thuộc vào x ứng với k thỏa mãn 12 Vậy số hạng không chứa x là C 495 Câu 7.b 2 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ điểm 2 Cho hai đường tròn (C ) : x ( y 1) 2 , (C ') : ( x 4) ( y 5) 8 Cho AB là đường kính thay đổi đường tròn (C ') và M là điểm di động trên đường tròn (C) Tìm tọa độ các điểm M, A, B cho diện tích tam giác MAB lớn Đường tròn (C) có tâm I (0;1) và có bán kính R Đường tròn (C’) có tâm I '(4;5) và có bán kính R ' 2 Ta có II ' 4 R Do đó I’ nằm ngoài đường tròn (C) Gọi H là hình chiếu vuông góc M trên đường thẳng AB Ta có Mặt khác ta có Do đó 1 S MAB MH AB MH R ' 2.MH 2 MH MI ' MI II ' 5 0,25đ S MAB 2.MH 2.5 10 0,25đ (8) Dấu xảy và H I ' và M là giao điểm đường thẳng II’ với (C) và I thuộc đoạn thẳng I’M Như AB là đường kính (C’) vuông góc với II’ x t M (t ;1 t ) Phương trình đường thẳng II’ là y 1 t Thay M (C ) ta t 1 Suy M (1;2) M ( 1;0) 0,25đ Ta có I ' M II ' M ( 1;0) Phương trình đường thẳng AB là x y 0 Suy tọa độ các điểm A, B thỏa mãn hệ x y 0 y 9 x y 9 x 2 2 ( x 4) ( y 5) 8 ( x 4) (9 x 5) 8 ( x 4) 4 Vậy A(2;7), B(6;3), M ( 1;0) A(6;3), B(2;7), M ( 1;0) x 2; y 7 x 6; y 3 Câu 8.b 0,25đ điểm x y z 1 : I (3;4;0) 1 Viết phương trình mặt cầu (S) có Cho điểm và đường thẳng tâm I và cắt hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB 12 H là trung điểm AB Ta có qua M (1;2; 1) và có u (1;1; 4) Gọi u , MI 0,25đ IH d ( I ; ) 3 u Ta có 2S 2.12 AB IAB 8 IH Suy AB AH 4 R AH IH 25 Do đó 0,25đ 0,25đ 2 Vậy phương trình mặt cầu (S) cần tìm là ( x 3) ( y 4) z 25 0,25đ điểm Câu 9.b i z Viết dạng lượng giác số phức z biết z z 16 và có acgumen 2 z z 16 z z 2 16 z 16 z 2 Ta có Gọi là acgumen z Ta có z 2(cos i.sin ) i.z 2i.(cos i.sin ) 2(sin i.cos ) 2 cos i.sin 2 2 Từ đó suy Chọn cho z 2 cos i.sin 3 Vậy z có dạng lượng giác là 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ (9)