Đang tải... (xem toàn văn)
Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc C2, tiếp xúc với d và cắt C1 tại hai ñiểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d.. Viết phương trình mặt cầu ñi qua A,B và có tâm thuộc ñườ[r]
(1)ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC NĂM 2012 Môn : TOÁN; khối B I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm) Câu (2,0 ñiểm) Cho hàm số y = x3 − 3mx + 3m3 (1) , m là tham số thực a) Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có hai ñiểm cực trị A và B cho tam giác OAB có diện tích 48 Câu (1,0 ñiểm) Giải phương trình 2(cos x + sin x) cos x = cos x − sin x + Câu (1,0 ñiểm) Giải bất phương trình x + + x − x + ≥ x x3 Câu (1,0 ñiểm) Tính tích phân I = ∫ dx x + x + Câu (1,0 ñiểm) Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a Câu (1,0 ñiểm) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các ñiều kiện x + y + z = và x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x + y + z II PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) : Thí sinh ñược làm hai phần riêng (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 ñiểm) Trong mặt phẳng có hệ tọa ñộ Oxy, cho các ñường tròn (C1) : x + y = , (C2): x + y − 12 x + 18 = và ñường thẳng d: x − y − = Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc (C2), tiếp xúc với d và cắt (C1) hai ñiểm phân biệt A và B cho AB vuông góc với d x −1 y z Câu 8.a (1,0 ñiểm)Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñường thẳng d: và = = −2 hai ñiểm A(2;1;0), B(-2;3;2) Viết phương trình mặt cầu ñi qua A,B và có tâm thuộc ñường thẳng d Câu 9.a (1,0 ñiểm) Trong lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải bài tập Tính xác suất ñể học sinh ñược gọi có nam và n ữ B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 ñiểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và ñường tròn tiếp xúc với các cạnh hình thoi có phương trình x + y = Viết phương trình chính tắc elip (E) ñi qua các ñỉnh A, B, C, D hình thoi Biết A thuộc Ox Câu 8.b (1,0 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho A(0;0;3), M(1;2;0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy B, C cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc ñường thẳng AM Câu 9.b (1,0 ñiểm) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức phương trình z − 3iz − = Viết dạng lượng giác z1 và z2 BÀI GIẢI Câu 1: a) m= 1, hàm số thành : y = x3 – 3x2 + Tập xác ñịnh là R y’ = 3x2 – 6x; y’ = ⇔ x = hay x = 2; y(0) = 3; y(2) = -1 (2) lim y = −∞ và lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ x y’ y −∞ + −∞ Cð − +∞ + +∞ -1 CT Hàm số ñồng biến trên (−∞; 0) ; (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (0; 2) Hàm số ñạt cực ñại x = 0; y(0) = 3; hàm số ñạt cực tiểu x = 2; y(2) = -1 y" = 6x – 6; y” = ⇔ x = ðiểm uốn I (1; 1) y ðồ thị : -1 x b) y’ = 3x2 – 6mx, y’ = ⇔ x = hay x = 2m y có cực trị ⇔ m ≠ Vậy A (0; 3m3) và B (2m; -m3) S∆OAB = −6m4 = 48 ⇔ m4 = 16 ⇔ m = ±2 (nhận so với ñk) Câu : 2(cos x + sin x) cos x = cos x − sin x + ⇔ (2 cos x + 1)(cos x − 1) + sin x(2 cos x + 1) = ⇔ cos x + = hay cos x + sin x = ⇔ cos x = − ⇔ x=± π hay cos x − = 3 2π + k 2π hay x = k 2π , k ∈ ℤ Câu : Giải bất phương trình x + + x − x + ≥ x ðk : ≤ x ≤ − hay x ≥ + nhận xét x = là nghiệm (1) 1 + Với x ≠ 0, BPT ⇔ x + + x+ −4 ≥ x x 1 ðặt t = x + ⇒ x + = t2 – (t ≥ 2) x x t ≤ Ta có : t + t − ≥ ⇔ t − ≥ − t ⇔ t ≥ hay 2 t − ≥ − 6t + t ⇔ x+ ≥ ⇔ < x ≤ hay x ≥ 4 x Kết hợp với ñ k và (1) ⇒nghiệm bpt là ≤ x ≤ hay x ≥ 4 (3) dt Câu : ðặt t = x ⇒ = xdx ; x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = 1 tdt −1 I= ∫ = ∫ + dt t + 3t + 2 t + t + = ( ln − 3ln ) Câu Nối BH ta có tam giác ABH cân H, tính chất ñối xứng ⇒ SC ⊥ BH Vậy SC ⊥ ( ABH ) Gọi SD là chiều cao tam giác SAB a 15a a 15 a ⇒ SD = (2a) − = 4a − = ⇒ SD = 4 2 S( SAB ) S( SAB ) 2 S H O D B a 15 a 15 = a = 2 a 15 a 15 a 15 = S( SAC ) = AH SC = ⇒ AH = = 2.2a Ta có SH = (2a )2 − AH = 4a − C A 15a 49a 7a SH 7a = ⇒ SH = ⇒ = = 16 16 SC 4.2a a 15 a 15a a 44a SH 11a = = ; SO = − = ⇒ SO = − = V( SABC ) SC 12 12 3.2 a a 11 a 11 = V( SABH ) = 96 Câu Không tính tổng quát ta giả sử x ≥ y ≥ z ⇒ x ≥ ≥ z và x + y = − z ≥ (1) x + y + z = ( x + y)2 2 ⇒ xy = ( x + y ) − ≤ 0≤ x+ y ≤ ( kết hợp ñk (1) ) 2 2 x + y + z = P = x5 + y5 + z5 = x5 + y5 – (x + y)5 = -5xy(x3 + y3) – 10x2y2(x + y) = −5 xy ( x + y ) ( x + y ) − xy ) = −5 xy ( x + y )( ) 2 5 5 = − ( x + y )3 − ( x + y ) = − t + t ; với ≤ t = x + y ≤ = 2 2 3 5 15 Xét f(t) = − t + t ; f ’(t) = − t + ; f ’(t) = ⇔ t = ± 4 t V( SABH ) f’(t) f(t) + 36 – (4) Do ñó, P ≤ f ( 6 6 Và P = x = y = )= ;z = − 36 12 36 6 36 Câu 7a Phương trình ñường tròn (C) : x + y − 2ax − 2by + c = Vậy MaxP = Phương trình ñường thẳng AB : −2ax − 2by + c = ⇒ AB có vtcp v (b;-a) ðường thẳng (d) có vtcp u (1;1) vì (d ) ⊥ AB ⇔ u.v = ⇔ a = b (1) a −b−4 d(I,d) = = a + b − c ⇔ = 2a2 – c (2) I ∈ (C2 ) ⇔ a + b − 12a + 18 = (3) Thế (1) vào (3) ta có : a = b = Thế a = b = vào (2) ta có : c = 10 Vậy phương trình ñường tròn (C) : x + y − x − y + 10 = Cách khác : Gọi I (a;b) ∈ (C2 ) ; vì ñường tròn tâm I cắt (C1) tâm O A, B cho AB ⊥ (d ) Mà IO ⊥ AB ⇒ IO (d ) Vậy d(I/d) = d(O/d) = 2 = R a + b − 12a + 18 = (1) a + b − 12a + 18 = a − b = Ta có : ⇔ 2 a − b − = a + b − 12a + 18 = (2) a − b = Hệ (1) ⇔ a = ± 2; b = −1 ± 2 ; (loại) vì I và O phải cùng phía so với (d) Hệ (2) ⇔ a = b = ⇒ a − 6a + = ⇒ a = Phương trình ñường tròn : ( x − 3) + ( y − 3)2 = Câu 8a Gọi tâm mặt cầu là I ∈ (d ) ⇔ I (1 + 2t ; t ; −2t ) IA2 = 9t − 6t + , IB = 9t + 14t + 22 Ta có IA2 = IB ⇒ t = −1 ⇒ I (−1; −1; 2) , IA2 = R = 17 Vậy phương trình mặt cầu là : ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − 2) = 17 Câu 9a Số cách gọi học sinh lên bảng là : C254 = 25! = 12650 4!.21! Số cách gọi học sinh có nam lẫn nữ là : TH 1: nữ nam có : 10.C153 = 10.455 = 4550 TH 2: nữ nam có : C102 C152 = 4725 TH : nữ nam có : C103 C151 = 1800 Vậy số cách gọi học sinh có nam và nữ là : 4550 + 4725 + 1800 = 11075 11075 443 Vậy xác suất ñể học sinh ñược gọi có nam lẫn nữ là : = 12650 506 (5) Cách khác: Xác suất chọn không có nam: P1 = Xác suất chọn không có nữ : P2 = C104 21 = C25 1265 C154 273 = C25 2530 Xác xuất có nam và nữ : P = – (P1 + P2) = 443 506 B Theo chương trình Nâng cao Câu 7b ðặt AC = 2a , BD = a Bán kính ñường tròn nội tiếp hình thoi R = 1 Ta có = + = ⇒ a = 20 ⇒ a = ⇒ b = a a a x2 y Vậy phương trình (E) : + =1 20 Câu 8b Gọi B là giao ñiểm mặt phẳng với Ox, B(b;0;0) C là giao ñiểm mặt phẳng với Oy, C(0;c;0) x y z b c Vậy pt mặt phẳng có dạng : + + = và trọng tâm tam giác ABC là : G ; ;1 b c 3 x y z −3 AM = (1; 2; −3) Pt ñường thẳng AM : = = −3 b c Vì G ∈ AM nên = = ⇒ b = 2, c = Vậy pt mặt phẳng (P) là x + y + z − 12 = Câu 9b Phương trình z − 3iz − = có hai nghiệm là z1 = −1 + 3i, z2 = + 3i π π π π Vậy dạng lượng giác z1, z2 là : z1 = − cos + sin i ; z2 = cos + sin i 3 3 2π 2π π π z1 = 2(cos + isin ); z2 = cos + i sin 3 3 (6)