Trong đề thi vào trường Chuyên KHTN Hà Nội năm 2014, vòng I có câu BĐT, vòng II có câu tìm GTLN-GTNN.. Cả hai câu này gây không ít khó khăn cho các em học sinh.[r]
(1)Trong đề thi vào trường Chuyên KHTN Hà Nội năm 2014, vòng I có câu BĐT, vòng II có câu tìm GTLN-GTNN Cả hai câu này gây không ít khó khăn cho các em học sinh Xin giới thiệu lời giải hai câu đó: BẤT ĐẲNG THỨC KHTN-VÒNG I-9/6/2014 Câu IV Cho a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1 Chứng minh rằng: 2abc a b c a 4b b4 c2 c a 1 Lời giải: Áp dụng BĐT Cau-chy ta có: a 4b c a ab ab ab ab 4 a 4b c a a bc 9 9 c a b 4c ca ca ca ca 4 c a b 4c c ab 9 9 b c a 4b bc bc bc bc 4 b4c a 4b b 2ca 9 9 Cộng BĐT trên theo vế ta được: ab bc ca a 2bc b2ca c 2ab a 4b2 b 4c c4 a abc a b c ab bc ca 1 10 1 a 4b b 4c c 4a 4abc a b c Mặt khác: 2 8 a 4b b 4c c a abc a b c abc a b c 9 3 a 4b b c c a BĐT đã cho CM chọn vẹn CM được: 8 abc a b c 2 3abc a b c 1 3abc a b c ab bc ca Thật vậy: ab bc ca 1 2 ab bc bc ca ca ab BĐT này hiển nhiên đúng Từ đó suy đpcm GV: Bùi Hải Quang-THCS Văn Lang Việt Trì PT (2) CÂU GTLN-GTNN - KHTN-VÒNG II-10/6/2014 Câu II Giả sử x; y là số thực không âm thỏa mãn x 3+ y3 + xy=x 2+ y Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức 1+ x 2+ x P= √ + √ 2+ √ y 1+ √ y Lời giải: 3 2 Ta có: x y xy x y x y x xy y x y xy 0 x y xy x y 1 0 x y 1 x y y 0 x y 1 x y 0 x y 0 P + TH 1: + TH 2: x y 1 , theo giả thiết x, y 0 nên ta có: 1 x x 1 P 4 2 Dấu xảy x 1, y 0 x y 1 P 1 - Với x, y 0 ta chứng minh Thật 1 1 x x y 1 y y 4 y y x y x y 4 y y xy x xy x y 15 8 12 y y xy x 3 y y x y 1 BĐT hiển nhiên đúng x, y 0 Dấu xảy x 0, y 1 Từ các TH trên ta có: + P x; y 0;1 + max P 4 x; y 1; GV: Bùi Hải Quang-THCS Văn Lang Việt Trì PT (3)