De chuyen KHTN, DHSP, NN, HN, TPHCM

PTC_0910QĐ_01 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2009- 2010 Môn thi: TOÁN- Vòng I Câu I. 1) Giải phương trình 122 22 +−=+− xxxx 2) Giải hệ phương trình      +=+ =+− 33 1 2 22 yyx xyyx Câu II. 1) Tìm chữ số tận cùng của chữ số 2009613 2009613 ++ 2) Với a, b là những chữ số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức )54()54( abbbaa ba P +++ + = Câu III. Cho hình thoi ABCD. Gọi H là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Biết rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng a và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD bằng b. 1) Chứng minh rằng b a BH AH = 2) Tính diện tích hình thoi ABCD theo các bán kính a, b Câu IV. Với a, b, c là những số thực dương, chứng minh rằng 5 148314831483 22 2 22 2 22 2 cba caac c bccb b abba a ++ ≥ ++ + ++ + ++ Hết Qdien80@gmail.com PTC_0910QĐ_02 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2009- 2010 Môn thi: TOÁN- Vòng II Câu I. 1) Giải phương trình 353684163514 2 +++=+++ xxxx 2) Chứng minh rằng 14)12(4 12 34 3 14 1 2 2 444 + = −+ − ++ + + + n n n n Với mọi n nguyên dương Câu II. 1) Tìm chữ số nguyên dương n sao cho tất cả các số n + 1, n + 5, n + 7, n + 13, n + 17, n + 25, n + 37 Đều là nguyên tố 2) Mỗi lần cho phép thay thế cặp số (a,b) thuộc tập hợp { } )8,78(),62,6(),32,4(),2,16(=M bằng cặp số (a + c, b + d) trong đó cặp số (c, d) cũng thuộc M. Hỏi sau một số hữu hạn lần thay thế ta có thể nhận được tập hợp các cặp số { } )912,2240(),2176,1056(),2104,844(),702,2018( 1 =M hay không? Câu III. Cho đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Trên đường thẳng AB ta lấy một điểm M bất kỳ sao cho điểm A nằm trong đoạn BM ( ) AM ≠ .Từ điểm M kẻ tới đường tròn (O’) các tiếp tuyến MC và MD (C và D là các tiếp điểm, C nằm ngoài (O)). Đường thẳng AC cắt lần thứ hai đường tròn (O) tại điểm P và đường thẳng AD cắt lần thứ hai đường tròn (O) tại Q. Đường thẳng CD cắt PQ tại K. 1) Chứng minh rằng hai tam giác BCD và BPQ đồng dạng 2) Chứng minh rằng khi M thay đổi thì đường tròn ngoại tiếp tam giác KCP luôn đi qua điểm cố định. Câu IV. Giả sử x,y,z là những số thực thoả mãn điều kiện 2,,0 ≤≤ zyx và x+ y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức : ( ) )1)(1(112 444 zyxzyxM −−−+++= Hết Qdien80@gmail.com PTC_1011QĐ_01 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2010- 2011 Môn thi: TOÁN- Vòng I Câu I 1) Giải hệ phương trình      =+ =++ .2 231283 22 22 yx xyyx 2) Giải phương trình .183124312 32 ++=+−++ xxxx Câu II 1) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức ( )( ) ( )( ) .2512411 22 =++++++ xyyxxyyx 2) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có. ( ) n nn nn =       + ++ ++ 1 1 3.2 7 2.1 3 2 Câu III Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc 0 30=ACB . Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thăng BC với đường tròn (O). 1) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R. 2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC. Câu IV Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức 4 9 )1)(1( =++ ba , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 44 11 baP +++= . Hết Qdien80@gmail.com PTC_1011QĐ_02 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2010- 2011 Môn thi: TOÁN- Vòng II Câu I 1) Giải phương trình 4133 =+++ xx 2) Giải hệ phương trình ( )( )    =−++ =++ .1123 26225 22 yxyxx xyyx Câu II 1) Tìm tất cả các số nguyên dương n để 391 2 +n là số chính phương. 2) Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện 1=++ zyx . Chứng minh rằng .1 1 22 22 ≥ + +++ xy yxzxy Câu III Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là điểm nằm trong tam giác. Kí hiệu H là hình chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng MB, MC, AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng. 1) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC. 2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp. Câu IV Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự 201021 , ,, aaa , ta đánh dấu tất cả các số âm và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương. (Ví dụ với dãy số -8,-4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005 thì các số được đánh dấu là 2,1,4,4 5432 =−==−= aaaa ). Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cả các số được đánh dấu là một số dương. Hết Qdien80@gmail.com PTC_0910QĐ_03 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2009- 2010 Môn thi: TOÁN- Vòng I Câu 1: Cho biểu thức 64169220 24 ++++= aaaA B = a 4 + 20a 3 + 102a 2 + 40a + 200 a- Rút gọn A b- Tìm a để: A + B = 0 Câu 2: Hai công nhân cùng làm một công việc 18h xong. Nếu người thứ nhất làm 6h và người thứ 2 làm 12 h thì được 50% công việc. Hỏi nếu làm riêng mỗi người hoàn thành công việc trên bao lâu? Câu 3: Cho Parabol y = x 2 và đường thẳng (d) có phương trình y = mx +1 a- Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A;B với mọi m b- Gọi A(x 1 ;y 1 ) và B(x 2 ;y 2 ) .Tìm giá trị lớn nhất của M = (y 1 - 1)(y 2 - 1) Câu 4: Cho tam giác ABC với 10;53;5 === BCACAB . Phân giác BK góc ABC cắt đường cao AH, trung tuyến AM của tam giác ABC tại O và T (K ∈ AC; H, M ∈ BC) a- Tính AH b- Tính diện tích tam giác AOT Câu 5: Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức : ( ) ( ) 111 22 =++++ yyxx Chứng minh x + y = 0 Hết Qdien80@gmail.com PTC_0910QĐ_04 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2009- 2010 Môn thi: TOÁN- Vòng II Câu 1 Các số thực x, y thoả mãn 2≠xy và 2−≠xy . Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y 333 3 3 22 3 22 2 . 222 2 4 22 − − +         + − + − = xy xy xy xy xy xy yx xy P Câu 2 1) Cho phương trình 0 2 =++ cbxx , trong đó cá tham số b và c thoả mãn đẳng thức b + c = 4. Tìm các giá trị của b và c để phương trình có hai nghiệm phân biệt 21 , xx sao cho 2 2 21 xxx += 2) Giả sử (x, y, z) là một nghiệm của hệ phương trình:        =++ =−+ 1 3510 1 4123 zyx zyx Hãy tính giá trị của A = x + y + z Câu 3 Ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn các điều kiện: i) ap + 1 chia hết cho q. ii) aq + 1 chia hết cho p. Chứng minh )(2 qp pq a + > Câu 4 Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (C không trùng với A, B và trung điểm cung AB). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Đường tròn (O 1 ) đường kính AH cắt CA tại E, đường tròn (O 2 ) đường kính BH cắt CB tại F. 1) Chứng minh tứ giác AEFB là tứ giác nội tiếp. 2) Gọi (O 3 ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D là điểm đối xứng của C qua O. Chứng minh ba điểm H, O 3 , D thẳng hàng. 3) Gọi S là giao của các đường thẳng EF và AB, K là giao điểm thứ hai của SC với đường tròn (O). Chứng minh KE vuông góc với KF. Câu 5 Một hình vuông có độ dài bằng 1 được chia thành 100 hình chữ nhật có chu vi bằng nhau (hai hình chữ nhật bất kỳ không có điểm chung). Kí hiệu P là chu vi của mỗi hình chữ nhật trong 100 hình chữ nhật này. 1) Hãy chỉ ra một cách để chia P = 2,02. 2) Hãy tìm giá trị lớn nhất của P. Hết Qdien80@gmail.com PTC_1011QĐ_03 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2010- 2011 Môn thi: TOÁN- Vòng I Câu 1: 4 3 2 4 2 7 6 2 3 1 (4 1) 4 29 78 2 1 6 6 3 12 36 x x x x x x A x x x x x x x        + − − − + + = − − ÷    ÷ ÷  ÷ + + − − + −        1. Rút gọn biểu thức A 2. Tìm tất các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên Câu 2: Cho hai đường thẳng (d1 ): y = (2m 2 + 1 )x + 2m – 1 (d2): y = m 2 x + m – 2 Với m là tham số 1. Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 theo m 2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đường thẳng cố định. Câu 3 : Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ    =+−+ +=+ )2(0107 )1(1 2 zzxy zyx 1. Chứng minh x 2 + y 2 = -z 2 + 12z – 19 2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x 2 + y 2 = 17 Câu 4 : Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng cạnh a. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho tam giác ABK đều. Các đường thẳng BK và AD cắt nhau ở P. 1. Tính độ dài KC theo a 2. Trên AD lấy I sao cho . 3 3 a DI = CI cắt BP ở H. Chứng minh CHDP là nội tiếp. 3. Gọi M và L lần lượt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM = 2 a Câu 5: Giải phương trình : (x 2 -5x + 1)(x 2 - 4) = 6(x-1) 2 Hết Qdien80@gmail.com PTC_1011QĐ_04 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2010- 2011 Môn thi: TOÁN- Vòng II Câu 1: 1.Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thoả mãn 22 11 abba −−−=− Chứng minh rằng 1 22 =+ ba 2.Chứng minh rằng số 2222 20102010.20092009 ++ là số nguyên dương Câu 2: Giả sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai điều kiện sau i) Phương trình 052 2 =−− dcxx có 2 nghiêm a và b ii) Phương trình 052 2 =−− baxx có 2 nghiêm c và d Chứng minh rằng: 1. a – c = c – b = d - a 2. a + b + c + d = 30 Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dương với n>1 .Đặt nmnmS 44 22 +−= Chứng minh rằng: 1. Nếu m>n thì ( ) 422 2 2 2 nmSnmn <<− 2. Nếu S là số chính phương thì m=n Câu 4 Cho tam gíac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN 1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM 2.Qua M và N ta kẻ đường thẳng MP song song với BC và NQ song song với CA );( CBQCAP ∈∈ .Chứng minh CP=CQ. 3.Cho góc ACB = 90 0 , góc CAB = 30 0 và AB = a . Tính diện tích tam giác MCN theo a. Câu 5 Trên bảng đen viết ba số 2 1 ;2;2 .Ta bắt đầu thực hiện trò chơi như sau : Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đó trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi viết vào 2 vị trí vừa xoá hai số mới 2 ba + và 2 ba − đồng thời giữ nguyên số còn lại .Như vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có ba số .Chứng minh rằng dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không đồng thời có ba số 21;2; 22 1 + . Hết Qdien80@gmail.com PTC_0910QĐ_05 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐH NGOẠI NGỮ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2009- 2010 Môn thi: TOÁN Câu 1: (2điểm) Cho biểu thức 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 4 . 2 2 2 2: 2 8 xx x x x x x x x x A + −         − ++         + + + − = ( )0;8;8 ≠−≠≠ xxx Chứng minh A không phụ thuộc biến số Câu 2 : ( 2 điểm) Cho phương trình bậc 2 : x 2 -2(m+1)x+4m-m 2 =0 ( tham số m) 1-Chứng minh PT có 2 nghiệm phân biệt với mọi m 2-Gọi x 1 ;x 2 là 2 nghiệm của phương trình .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 21 xxM −= Câu 3: ( 2 điểm) Giải hệ phương trình      =+−++ =++++ 0424 0)(2 22 22 yxyx xyyxyx Câu 4:(3 điểm) Trên (O;R) lấy 2 điểm A;B tuỳ ý ;C thuộc đoạn AB (C khác A;B). Kẻ đường kính AD Cát tuyến đi qua C vuông góc với AD tại H,cắt (O) tại M; N. .Đường thẳng đi Qua Mvà D cắt AB tại E.Kẻ EG vuông góc với AD tại G a- Chứng minh tứ giác BDHC,AMEG nội tiếp. b- Chứng minh AM 2 =AC.AB c- Chứng minh AE.AB+DE.DM=4R 2 Câu 5: ( 1 điểm) Với x,y là số thực thoả mãn: x + y + xy = 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x 2 + y 2 Hết Qdien80@gmail.com PTC_1011QĐ_05 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐH NGOẠI NGỮ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2010- 2011 Môn thi: TOÁN Câu 1 ( 2,0 điểm ) Cho biểu thức x 2x x 1 2 P : . 9 x 3 x x 3 x x     − = + −  ÷  ÷  ÷  ÷ − + −     1) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P. 2) Tìm giá trị của x để P 4 3 = − Câu 2 ( 2,0 điểm ) 1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x 2 + 4x + 1 = y 4 . 2) Giải hệ phương trình: 2 2 3 x xy y 3 x 3(y x) 1  + + =   + − =   . Câu 3 ( 2,0 điểm ) Cho phương trình ẩn x: (m-10)x 2 + 2(m-10)x + 2 =0 1) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x 1 ; x 2 . 2) Chứng minh rằng khi đó ta có: 3 3 2 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x 4+ + + < − Câu 4 ( 3,0 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB<AC vẽ đường cao AD và đường phân giác AO của tam giác ABC (D, O ∈ BC) Vẽ đường tròn tâm O tiếm xúc với AB, AC lần lượt tại M và N. 1) Chứng minh rằng D, O, M, N, A cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh · · BDM CDN = 3) Đường thẳng qua O vuông góc với BC cắt MN tại I. Đường thẳng AI cát BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC. Câu 5 ( 1,0 điểm ) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+ab+bc+ca=6. Chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 a b c 3 b c a + + ≥ + + ≥a b c Hết Qdien80@gmail.com [...]... 1/ Chứng minh AD.AC=AE.AB 2/ Tia AO cắt BC tại A1và cắt cung nhỏ BC tại A2 Tia BO cắt AC tại B1và cắt cung nhỏ AC tại B2 Tia CO cắt BA tại C1và cắt cung nhỏ AB tại C2 Chứng minh: ++=1 3/ Từ A vẽ tia Ax DE Cho cạnh BC cố định , đỉnh A di động trên cung lớn BC sao cho ∆ABC có ba góc nhọn Chứng minh tia Ax luôn đi qua một điểm cố định Bài IV (1 điểm) Cho đa thức P(x)= x4+ax3+bx2+cx+d (a, b, c, d là các . AD tại G a- Chứng minh tứ giác BDHC,AMEG nội tiếp. b- Chứng minh AM 2 =AC.AB c- Chứng minh AE.AB +DE. DM=4R 2 Câu 5: ( 1 điểm) Với x,y là số thực thoả mãn: x + y + xy = 8 Tìm giá trị nhỏ nhất. tại B 2 . Tia CO cắt BA tại C 1 và cắt cung nhỏ AB tại C 2 . Chứng minh: ++=1 3/ Từ A vẽ tia Ax DE. Cho cạnh BC cố định , đỉnh A di động trên cung lớn BC sao cho ∆ABC có ba góc nhọn. Chứng minh