Mot so bai toan kho V10 nam 1314

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.[r]

Bài 5: ( 1,0 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi Ký hiệu a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ a 4b 9c S   b c  a c a  b a b  c biểu thức Với a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác có chu vi nên a  b  c 2 Đặt b  c  a x; c  a  b y; a  b  c z a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác nên x, y,z  yz xz xy ;b ;c 2 Suy x  y  z 2 (do a  b  c 2 ) và y  z 4 x  z 9 x  y  y  z 4 x  z  9 x  y  S        2x 2y 2z 2 x y z  a Khi đó   y 4x   z 9x   4z 9y              x y   x z   y z  y 4x  y x      2 x y  x y Ta có: z 9x  z x   3   6 x z  x z 4z 9y  z y   3   12 12 y z  y z  S     12  11 Dấu “=” xảy  x    y 2x  z 3x    y   2z 3y   x  y  z 2  z 1  a ;b ;c   2 2 Khi đó: a b  c  ABC vuông a ;b ;c Vậy Smin 11  ABC vuông Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=1 a2 b2 c2    Chứng minh rằng: a  b b  c c  a Áp dụng BĐT cô si ta có: a2 a b b2 b c c2 c a  a;  b;  c a b b c c a a2 b2 c2 a b bc ca a bc   (a  b  c)  (   )  4 2 Suy a  b b  c c  a a2 b2 c2    Vậy a  b b  c c  a Câu (1,0 điểm) Cho các số thực x, y thoả mãn x2 + y2 = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức M = xy + y2 a  b2 ab   2ab a  b  (a  b) 0 +Ta có: (đúng với a, b), đẳng thức xảy <=> a = b Do đó: xy + y2 = ( x).y + y2 M= 2 Mà x + y = => M     3.x  y 2 , dấu “=” xảy <=>  y2  3x  y  y 3( x  y )  2  x ; y   3.x  y 2    2  1   x  y 1 ;y x  2 3 1 x y x và và Vậy giá trị lớn M là , đạt và  y +Xét 2M + = 2( xy + y2) +1 = xy + 2y2 + (x2 + y2) = x2 + 2x y + 3y2 = (x + y)2  với x, y  x  y 1  1 1   x  y x y x  y   và Suy M , dấu “=” xảy và 1  3 x y x và và Vậy giá trị nhỏ M là , đạt và 1 y Bài 5: (1,0 điểm) x  x  2014 A x2 Với x 0 , tìm giá trị nhỏ biểu thức: x  x  2014  Ax  x  x  2014   A  1 x  x  2014 0  1 x * Với A 1  x 1007  ' 1  2014  A  1 1  2014 A  2014 2014 A  2013 * Với A 1 PT (1) là pt bậc ẩn x có 2013  ' 0  2014 A  2013 0  A  2014 PT (1) có nghiệm A Kết hợp với trường hợp A=1 ta có Amin  2013 2014 C©u 5: (1,0 ®iÓm) y 2x    2x  y 1 Cho c¸c sè thùc d¬ng x, y tháa m·n T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: Q = xy – 3y - 2x – y 2x    2x  y 1  y y  y (2x  3) 2x   2x  3       y  2x   y   Cã y  2x   y  (2x  3) 0  y(2x  3)  2x   y  2x  0 y  y 2x   2x   y  2x  với x, y dương  y  2x  =  y = 2x +  Q = x(2x + 3) – 3(2x + ) – 2x – = 2x2 + 3x – 6x - – 2x -3  25  25    x  x   12  x  2.x     12 16     = 2x – 5x – 12 = =  121 121  2 x     4 8 víi mäi x > =  5 22 11  x   y 2    4 DÊu b»ng x¶y x - = 121 11   x  GTNN cña Q = vµ y =  3x Câu (1,0 điểm Giải phương trình :  6x   x   2 x  x  x  Câu (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = a2 b2 c2 + +  Chứng minh rằng: a+b b+c c+a Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số không âm ta có: b2 b c c2 c a  b;  c b + c c + a Tương tự: a2 b2 c2 + + a + b b + c c+a + + +  a + b + c  a2 a b a2 a  b  2 a a b a b a2 b2 c2 + + a + b b + c c+a +   a2 b2 c2 + + a +b b+c c+a +   a2 b2 c2 + + a + b b + c c + a  (đpcm  Câu V (1,5 điểm): Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: abc = P 1   a  ab  b  bc  c  ca  Tính giá trị biểu thức: giải phương trình: x 3+7 x +6 x +1=4 x2 +3 x Câu V(0,5 điểm) y  Cho hai số x, y thỏa mãn  x 3 và Tìm giá trị lớn biểu thức 2 2 2 M= x y  x y  24 xy  x  18 y  28 xy  x  21 y  Ta có : ¿ 1≤ x ≤ ≤y≤ ⇔ ¿ x2 − x+ 3≤ y −7 y +2 ≤0 ⇒ ( x − x +3 ) ( y −7 y +2 ) ≥ ⇒ M ≥ ¿{ ¿ y  Ta nhận thấy : M không có Max vì hai số x , y thỏa mãn : x 3 và Vì với điều kiện này M nhận Min mà thôi Bài 4: (1,5 điểm) 2 Cho phương trình x  x  m  0 (*) (x là ẩn số) x a) Định m để phương trình (*) có nghiệm b) Định m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa điều kiện: x14  x24 x13  x23 2 a/ Phương trình (*) có nghiệm x =    m  0  m 1  m 1 2 b/ ∆’ = 16  8m  8(1  m ) x x x  x x13  x23 thỏa 2 đó Khi m = 1 thì ta có ∆’ = tức là : Điều kiện cần để phương trình sau có nghiệm phân biệt là: m  hay   m  Khi m  hay   m  ta có    x  x   x  x   x  x   x  x  x x  (Do x khác x ) 2 x14  x24 x13  x23  x1  x2   x1  x2   x12  x22 2 2 2 1 2 2  x1.x2  2   x1  x2    x1  x2   x1 x2  ( x1  x2 )  x1.x2    S ( S  P ) S  P  1(12  P) 12  P (Vì S = 1)  P 0  m  0 (vô nghiệm) Do đó yêu cầu bài toán  m 1 Bài V: ( 0,5 điểm) x2  Giải phương trình : x2  x  1 15 a+ b Áp dụng Bất đẳng thức CôSi cho số dương √ ab ≤ Ta có x+ x + y x + y = (1) 2 y +2 y + x y + x = (2) √ y ( y + x )≤ 2 √ 3( x + y ) √ 3(x + y ) = √3 P= ≥ Từ (1) và (2) ta có √ x (2 x+ y)+ √ y (2 y+ x) x+ y 3 Min(P)= √ ⇔ 3 x =2 x + y y=2 y + x ⇔ x= y ¿{ √ x (2 x+ y) ≤ 2 Câu (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 1 Chứng minh: ab  2c bc  2a ac  2b   2  ab  ba  ca  ab  c  bc  a  ac  b Bài 6: Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn  x  ,  y  Chứng minh x  y  x  y2  y  x  3 2 BĐT cần cm tương đương  3.x  3.y  3.x  y  3.y  x 0 3  (2x  3.x  )  (2y  3.y  )  (x  3.x  y   3y )  (y  3.y  x   3x ) 0 2 2   3 3   x     y    x  2      Dấu “=” xảy và x y    y2     y 1  x   0 (thỏa mãn ĐK  x; y  ) luôn đúng Vậy BĐT chứng minh Bài (0,5 điểm): Cho các số thực dương x, y thảo mãn (x + y - 1)2 = xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức P xy 1   xy x  y x y + Ta có: ( x  y )2    x  y 2 (1) * (x + y - 1) = xy * x  y 2 xy   * P xy xy (2) 1   (a  0, b  0) (3) a b a b 1 xy   xy x  y ( x  y )2  1   xy   P       2   xy  xy x  y   xy ( x  y )  ( x  y) + Áp dụng (1), (2), (3) ta có: Dấu "=" xảy ra x = y Thay x = y vào đẳng thức: (x + y - 1)2 = xy tìm x = y = Vậy P =  x = y =