Chú ý : Nếu học sinh làm khác đáp án nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.[r]
(1)Đáp án đề thi học sinh giỏi khối 10 Nội dung Câu Câu 1a (2đ) Câu 1b (2đ) Đặt t = √ x2 − x+5 , đk t 0.5 t=−1(l) ọ ¿ t=3 ⇔ Có pt t −2 t − 3=0 ¿ ¿ ¿ ¿ Với t = ta có √ x − x+5 =3 ⇔ x − x − 4=0 ⇔ x=2+2 √ ¿ x=2 −2 √ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ √ x2 −2 x − 2=2 x −5 Pt tương đương với 0.5 0.5 0.5 Đk x ≥ 2 x −5 ¿ x −2 x − 2=¿ 0.5 2 ⇔ x − x −2=4 x − 20 x+25 ⇔ x − x+ 9=0 ⇔ x=3 Câu (4đ) Điểm 0.5 Hệ phương trình tương đương: x3 y y 9 2 3 x y 3 x y x y y 3( x y ) 9 3( x y ) x3 x x y y 12 y 0.5 ( x 1)3 ( y 2)3 x y x y 0.5 Thế vào phương trình (2) ta thu được: y y 0 33 y 33 y 33 33 33 y x 3 4 Với 0.5 0.5 0.5 (2) Với y 33 33 33 x 3 4 0.5 Vậy phương trình có hai nghiệm: 3 x; y 33 ; 33 ; x −2 x − m2+ m −3=0 Câu 3a m− 2¿ với ∀ m (1.5đ) Lập Δ' =¿ 33 33 ; 4 x; y 0.25 pt đã cho luôn có nghiệm ⇒ x 1=1+|m−2| ¿ x 2=1−|m− 2| Tính ¿ ¿ ¿ ¿ x =5 x ⇔ 1+|m−2|=5 −|m −2| Giả thiết Giải m= m= M = (x 1+1) x đạt giá trị lớn Câu 3b Ta có M = (2+|m −2|).(1 −|m− 2|) (1.5đ) Đặt t = |m− 2| đk t Suy M = 2− t −t Ta có −1 t + ¿2 ≤ 1 t+ ¿ ≥ ⇒ −¿ ¿ ⇒ M= ⇒ t+ ¿ 2 −¿ M ⇒ GTLN M = 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 Đạt t=0 ⇔m=2 Câu 4a (1.5đ) Câu 4b 1 − ∘ sin 18 sin 54∘ sin 54∘ −sin 18∘ = sin 54∘ sin 18∘ cos 36∘ sin 18∘ = sin 54∘ sin 18∘ ∘ sin 54 =2 = sin 54∘ π 23π 5π 27π B = sin + sin +sin +sin A= 0.5 0.5 0.5 (3) (1.5đ) π π π π π π = sin + sin ( − )+ sin ( + )+ sin ( π − ) 0.5 π π π π = sin + cos +cos +sin = Câu Cho a , b , c là số dương và a+b+c = Chứng minh a2 b2 c2 (3đ) + + ≥ b+c c +a a+b Vai trò a , b , c nên ta có thể coi a=b=c lúc đó 0.5 a2 b +c = = a=b=c =1 ⇒ ( điểm rơi là ) b+c Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho số dương a2 b+c và b+c ta 0.5 có a b+c + b+c Tương tự ta có a2 b+c (1) =a b+ c c+ a b2 b c +a + =b c+ a c +a √ c2 a+b Và + √ √ a+b (2) c2 a+b =c a+b (3) Cộng (1) , (2) và (3) vế theo vế ta : 2 a b c a+ b+c + + ≥ b+c c +a a+b 2 2 a b c + + ≥ b+c c +a a+b Câu Cho đường tròn (C) có phương trình : x 2+ y −2 x − y +1=0 và (3đ) đường thẳng d có phương trình : x+ y +1=0 Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho đường tròn ( C1 ) có tâm M tiếp xúc ngoài với (C) và bán kính ( C1 ) lần bán kính (C) ⇔ Đường tròn (C) viết lại y − ¿ =4 x −1 ¿ +¿ ¿ Suy (C) có tâm I (1;2) và bán kính R=2 Gọi M thuộc d ⇒ tọa độ M (-2a-1;a) Giả thiết đường tròn ( C' ¿ tiếp xúc ngoài với (C) nên IM=3R=6 a− 2¿ ¿ 2 a+2 ¿ +¿ ¿ ⇔ √¿ ⇔ a 2+ a − 28=0 0.5 0.5 0.5 0.5 (4) Giải a=2 ¿ − 14 a= ¿ ¿ ¿ ¿ 0.5 Với a = ta tính tọa độ M (-5;2) Với a = − 14 0.5 23 ta tính tọa độ M ( ; − 14 ) Hết Chú ý : Nếu học sinh làm khác đáp án đúng cho điểm tối đa (5)