Đang tải... (xem toàn văn)
Câu 6 1,0 điểm: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng SBC vuông góc với mặt đáy.. Tính theo a thể tích khối chóp S.A[r]
(1)ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn : TOÁN; khối D Câu (2,0 điểm): Cho hàm số y = x3 – 3x – (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M có hệ số góc Câu (1,0 điểm) : Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3z - z )(1 + i) – 5z = 8i – Tính môđun z (x 1) sin 2xdx Câu (1,0 điểm) : Tính tích phân I = Câu (1,0 điểm): a) Giải phương trình: log2(x – 1) – 2log4(3x – 2) + = b) Cho đa giác n đỉnh, n N và n Tìm n biết đa giác đã cho có 27 đường chéo Câu (1,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 6x + 3y – 2z – = và mặt cầu (S) : x + y2 + z2 – 6x – 4y – 2z – 11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) Tìm tọa độ tâm (C) Câu (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A, mặt bên SBC là tam giác cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách hai đường thẳng SA, BC Câu (1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A là điểm D (1; -1) Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y – = 0, tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y – = Viết phương trình đường thẳng BC Câu (1,0 điểm): Giải bất phương trình: (x 1) x (x 6) x x 7x 12 Câu (1,0 điểm): Cho hai số thực x, y thỏa mãn các điều kiện x 2; y Tìm giá trị nhỏ biểu thức : x 2y y 2x P = x 3y y 3x 4(x y 1) Bài giải Câu 1: a) Tập xác định là R y’ = 3x2 – 3; y’ = x = 1 x y’ y -1 + 0 CĐ lim y x và lim y x + + + -4 CT Hàm số đồng biến trên (∞; -1) ; (1; +∞); hàm số nghịch biến trên (-1; 1) Hàm số đạt cực đại x = -1; y(-1) = 0; hàm số đạt cực tiểu x = 1; y(1) = -4 y" = 6x; y” = x = Điểm uốn I (0; -2) Đồ thị : y -1 x -2 -4 (2) b) y’ (x) = 3x2 - = x = 2 y(-2) = -4; y(2) = Vậy hai điểm M là (-2; -4) và (2; 0) Câu 2: Giả thiết (3i – 2)z – (1 + i) z = 8i – Gọi z = a + ib (3i – 2)(a + ib) – (1 + i) (a – ib) = 8i – - 3a – 4b + (2a – b)i = 8i – 3a + 4b = và 2a – b = a = và b = -2 Vậy môđun z là : 13 /4 Câu 3: I x 1 s in2xdx Đặt u = x+1 du = dx dv = sin2xdx, chọn v = – cos2x /4 I= ( x 1) cos x /4 1 ( x 1) cos x sin x cos xdx 20 = 1 0 4 = Câu : a) log2(x – 1) – 2log4(3x – 2) + = log2(x – 1) – log2(3x – 2) = -2 x > và 4(x – 1) = 3x – x = x > và log2 x 1 log 3x b) Số các đoạn thẳng lập từ n đỉnh là Cn Số cạnh đa giác n đỉnh là n Vậy số đường chéo đa giác n đỉnh là: Cn -n n n n 1 n 27 Theo đề bài ta có C -n = 27 n 3n 54 0 n = hay n = -6 (loại) Câu 5:(S) : x2 + y2 + z2 – 6x – 4y – 2z – 11 = I (3; 2; 1); R = 11 = (P) : 6x + 3y – 2z – = |18 1| 21 3 36 d(I, (P)) = (P) cắt (S) theo đường tròn (C) n là đường thẳng qua I (3; 2; 1) và nhận P = (6; 3; -2) là vectơ phương Tâm đường tròn (C) là giao điểm và (P) thỏa hệ phương trình : x 3 6t (1) y 2 3t (2) z 1 2t (3) 6x 3y – 2z – Thế (1), (2), (3) vào (4) ta : 6(3 + 6t) + (2 + 3t) – 2(1 – 2t) – = 49t + 21 = t = (3) 3 x 3 3 y 2 7 13 z 1 Câu : Gọi I là trung điểm BC SI BC SI mp(ABC) BC a ABC vuông cân AI = S J a a a2 C A a S(ABC) = 2 I 1 a a2 a3 SI.SABC B 24 VS.ABC= Kẻ IJ vuông góc với SA, SIA vuông góc I, IJ là khoảng cách SA và BC 1 1 2 2 a 3a a IJ SI AI 4 IJ = Câu : Tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình : 3x 2y 0 x 2y 0 A (1; 3) Phương trình đường thẳng AD : x = Gọi là góc hợp AB và AD cos = 13 Phương trình AC có dạng : a(x – 1) + b(y – 3) = Gọi là góc hợp AD và AC = a 3 2 cos = a b = 13 4a2 = 9b2 Chọn b = a = (loại a = ) Phương trình AC : -3x + 2y – = Gọi là góc hợp đường tiếp tuyến A với đường tròn ngoại tiếp ABC và đường thẳng AC BC có pháp vectơ (m; n) 3m 2n 2 cos = 13 m n = cosB = 65 5(9m2+4n2+ 12mn) = m2 + n2 44m2 + 19n2 + 60mn = n 19 n m = hay m = 22 Vậy phương trình BC là : x - 2y - = hay 19x - 22y – 41 = Câu : Với Đk : x - thì bất pt (x 1)( x 2) (x 6)( x 3) x 2x (x 1)(x 2) (x 6)(x 2) (x 2)(x 4) x x (4) x 6 x 1 (x 2) (x 4) 0 x 7 3 x 2 2 (*) x 1 x 6 x 1 x 5 x 9 x x 7 3 = x+4 < x + x Ta có: x = Vậy (*) x – x Vậy -2 x là nghiệm bất phương trình Câu : x 2y y 2x P = x 3y y 3x 4(x y 1) 1 x 2 (x 1)(x 2) 0 x 3x y 3y 1 y 2 (y 1)(y 2) 0 x 2y y 2x P 3(x y) 3(x y) 4(x y 1) xy t = x y 4(x y 1) t 4(t 1) Đặt t = x + y, đk t t f(t) = t 4(t 1) , t [2; 4] 1 2 f’(t) = (t 1) 4(t 1) f’(t) = 2(t – 1) = (t + 1) 2t – = t + hay 2t – = -t – t = hay t = 1/3 (loại) Ta có f(3) = Khi t = x 1 x 2 y 1 y 2 x y 3 x 1 y 2 x 2 y 1 Vậy Pmin = x 1 y 2 hay x 2 y 1 (5)