Đang tải... (xem toàn văn)
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc ñường thẳng d, −1 2 1 cách mặt phẳng P một khoảng bằng 2 và cắt mặt phẳng P theo giao tuyến là ñường tròn có bán kính bằng 3... Vậy phương trình mặ[r]
(1)SỞ GD&ðT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT NAM SÁCH ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN NĂM 2013- 2014 MÔN: TOÁN; KHỐI: A, A1, B (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát ñề) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 ñiểm) Câu (2 ñiểm) Cho hàm số y = x − 2mx + (1), với m là tham số a) Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có ba ñiểm cực trị tạo thành tam giác có tâm ñường tròn ngoại tiếp trùng gốc tọa ñộ O Câu (1 ñiểm) Giải phương trình: cos x − cos x − − sin x + = cos x y − x + xy − x + = Câu (1 ñiểm) Giải hệ phương trình: 2 x − 3xy + y + xy = y ex x e x + + dx ∫0 ex +1 Câu (1 ñiểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a M, N là trung ñiểm AB và C’D’ Tính khoảng cách từ B’ ñến (A’MCN) Câu (1 ñiểm) Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng: ln Câu (1 ñiểm) Tính tích phân: I = ( 2a + b + c ) + ( 2b + c + a ) + ( 2c + a + b ) ≤ 2 2a + ( b + c ) 2b + ( c + a ) 2c + ( a + b ) 2 II PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) Thí sinh ñược làm hai phần riêng (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7a (1 ñiểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho ñường tròn (C) : (x − 1) + (y − 2) = và ñường thẳng (d) : x + y + = Tìm ñiểm M trên (d) cho qua ñiểm M kẻ ñược hai tiếp tuyến MA, MB phân biệt tới (C), ñồng thời ñường thẳng AB ñi qua ñiểm D(6; 3) (A, B là hai tiếp ñiểm) Câu 8a (1 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x − y − 2z − = và ñường x y +1 z − thẳng (d): = = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc ñường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) −1 khoảng và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là ñường tròn có bán kính Câu 9a (1 ñiểm) Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức w = z + − i trên mặt phẳng Oxy, biết số phức z thỏa mãn: 3z + i ≤ z.z + B Theo chương trình Nâng cao x2 y2 + = Viết phương trình ñường thẳng ∆ vuông góc với d cắt ( E ) hai ñiểm A, B cho diện tích tam giác AOB Câu 7b (1 ñiểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho ñường thẳng d: x + y + = và elip ( E ) : 1, với O là gốc tọa ñộ x −2 y z +1 = = và hai ñiểm A(1; -1; 2), −6 −8 B(3; -4; -2) Tìm ñiểm I trên ñường thẳng d cho IA +IB ñạt giá trị nhỏ Câu 8b (1 ñiểm) Trong không gian Oxyz, cho ñường thẳng d: 2013 Câu 9b (1 ñiểm) Tính tổng S = C2014 + C2014 + C2014 + + C2014 … Hết … Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ……………………………………………… Số báo danh: ……… (2) ðÁP ÁN MÔN TOÁN Lưu ý: ðây là cách giải, thí sinh làm cách khác ñúng thì cho ñiểm tương ứng ðIỂM CÂU Cho hàm số y = x − 2mx + (1), với m là tham số 1.0 a) Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) m = o 0.25 Tập xác định: D = R , y là hàm số chẵn Câu (2 ñiểm) 2o Sự biến thiên: 16 * Chiều biến thiên: Ta có y ' = x − x, x ∈ R 3 ⎡ x < −2 ⎡− < x < ⎡x = ; y' < ⇔ ⎢ y' = ⇔ ⎢ ; y' > ⇔ ⎢ ⎣0 < x < ⎣x > ⎣ x = ±2 Suy hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 0) và (2; + ∞) ; nghịch biến trên khoảng (−∞; − 2) và (0; 2) * Cực trị: Hàm số đạt cực đại điểm x = 0, giá trị cực đại yCĐ = ; hàm số đạt cực tiểu 10 các điểm x = −2 và x = 2, giá trị cực tiểu yCT = − 0.25 * Giới hạn vô cực: lim y = lim x ( − + ) = +∞ x → ±∞ x → ±∞ x 3x * Bảng biến thiên: x −∞ –2 − y' +∞ y − + − +∞ 2 10 0.25 + +∞ y − 10 3o Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng −2 O x 0.25 − 10 b) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có ba ñiểm cực trị tạo thành tam giác có tâm ñường tròn ngoại tiếp trùng gốc tọa ñộ O Ta có y ' = 4x x − 4mx = ( x − 3m) 3 1.0 0.25 Đồ thị hàm số có điểm cực trị ⇔ phương trình y '= có nghiệm phân biệt ⇔ m > Câu (2 ñiểm) Khi đó đồ thị hàm số có điểm cực trị là A(0; 2), B (− 3m ; − 3m ) và C ( 3m ; − 3m ) 0.25 Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng gốc tọa độ O và OA = OB = OC ⎡m = 1, m = 2 ⇔ = 3m + (2 − 3m ) ⇔ m(m − 1)(3m + 3m − 1) = ⇔ ⎢ ⎢m = − ± 21 ⎣⎢ 0.25 Kết hợp điều kiện m > ta có giá trị m là m = 1, m = − + 21 0.25 (3) Câu Giải phương trình: cos x − cos x − − sin x + = (1 cos x ñiểm) ðiều kiện cos x ≠ Phương trình ⇔ cos3 x − cos x − cos x − sin x cos x + = ⇔ cos x − sin x − cos x = 1.0 0.25 π ⇔ cos x = cos x − 3 π x = − + k 2π ⇔ ,(k ∈ ℤ) x = π + k 2π 15 Kết hợp với ñiều kiện ta có nghiệm phương trình là π π k 2π x = − + k 2π ; x = + ,(k ∈ ℤ) 15 Câu y − x + xy − x + = (1) (1 Giải hệ phương trình: 2 ñiểm) ( 2) x − xy + y + xy = y ðiều kiện: x ≥ 0, y ≥ Nhận thấy x = y = không thỏa mãn nghiệm hệ phương trình ñã cho ( ) x > Xét , phương trình (2) ⇔ x − xy + y − y + y > ( x − y )( x + y ) + ( x − y ) y = ⇔ xy + y x − xy + y + y ( 0.25 0.25 0.25 1.0 0.25 ) xy − y = 0.25 8x + y y = ⇔ x = y (vì x > 0, y > ) ⇔ ( x − y) + x − xy + y + y xy + y Thay y = x vào phương trình (1) ta có: x − x + x − x + = ( ) ⇔ − x − x = x − x + ≥ (vì x − x + = ( x − 1) + ≥ ) ⇔ x − x + ≤ ⇔ ( x − 1) 2 (x ) + x + ≤ ⇔ x = (vì x > ) Do ñó x = ⇒ y = Thử lại ta thấy thỏa mãn x =1 Vậy hệ phương trình có nghiệm y =1 ln ex Tính tích phân I= ∫ e x x + + x dx e +1 ln I= ∫ ln ln ex e2 x x e x +1+ x dx = ∫ e ( x + 1) dx + ∫ x dx e +1 e +1 0 x Câu ln (1 ðặt I1= e x ( x + 1) dx = e x ( x + 1) ∫0 ñiểm) ln ðặt I2= ∫ 0.25 0.25 1.0 0.25 ln ln − e2 x dx =1-ln3+ln2 ex + Vậy I=I1+I2=2ln2+1-ln3+ln2= ln +1 ∫ e dx = ln x 0.25 0.25 0.25 (4) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a M, N là trung ñiểm AB và C’D’ Tính khoảng cách từ B’ ñến (A’MCN) D/ C/ N A/ B/ 1.0 D A M C B Bốn tam giác vuông AA / M, BCM, CC/ N, A / D/ N (c.g.c) ⇒ A / M = MC = CN = NA / ⇒ A / MCN là hình thoi Câu Hai hình chóp B/A/MCN và B/.A/NC có chung ñường cao vẽ từ ñỉnh B/ và (1 S / = 2.SA/ NC nên: VB/ A / MCN = 2.VB/ A/ NC A MCN ñiểm) Mà: VB/ ANC = VC.A/ B/ N Ta có: SA / MCN = ⇒ SA/ MCN = a2 1 a3 a3 / = CC SA/ B/ N = a .a.a = ⇒ VB/ A/ MCN = 3 / A C.MN, với A / C = a 3; MN = BC/ = a 2 0.25 0.25 0.25 Gọi H là hình chiếu B/ trên (A/MCN), ta có: VB/ A / MCN = B/ H.SA / MCN / ⇒BH= 3.VB/ A/ MCN SA/ MCN a3 a a = : = 3 Câu Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng: 2 (1 2a + b + c ) 2b + c + a ) 2c + a + b ) ( ( ( ñiểm) + + ≤8 2 2a + ( b + c ) 2b + ( c + a ) 2c + ( a + b ) ðặt x = < x, y , z < 3a 3b 3c ;y= ;z = , ñó a+b+c a+b+c a+b+c x+ y+z =3 x2 + x + y2 + y + z2 + 6z + Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với: + + ≤8 3x − x + y − y + 3z − z + t + 6t + 25 Xét hàm số f ( t ) = − 11t + , với t ∈ ( 0;3) 3t − 6t + Lập bảng biến thiên: …………………………………………………… 0.25 1.0 0.25 0.25 t + 6t + 25 t + 6t + 25 − 11 t + ≤ ⇔ ≤ 11t − 2 3t − 6t + 3t − 6t + Thay t x, y, z cộng các bất ñẳng thức cùng chiều ta có : Từ bảng biến thiên suy x2 + x + y2 + y + z2 + 6z + + + ≤ 11( x + y + z ) − 25 = , 3x − x + y − y + 3z − z + dấu xảy x = y = z = ðpcm 0.5 (5) Trong mặt phẳng Oxy, cho ñường tròn (C) : (x − 1) + (y − 2) = và ñường thẳng (d) : x + y + = Tìm ñiểm M trên (d) cho qua ñiểm M kẻ ñược hai tiếp tuyến MA, MB phân biệt tới (C), ñồng thời ñường thẳng AB ñi qua ñiểm D(6; 3) (A, B là hai tiếp ñiểm) (C) có tâm I(1; 2), R = ðặt M(x ; −1 − x ) ∈ (d) ðể qua M có hai tiếp tuyến tới (C) ⇔ IM > R ⇔ (x − 1) + (x + 3) > ( ñúng ∀x0) - AB chính là giao tuyến chung ñường tròn (C) và ñường tròn ñường kính IM 1.0 0.25 x0 + 1 − x0 ; ) ⇒ Phương trình ñường tròn ñường kính 2 x +1 − x (x − 1) + (x + 3) D IM là: (x − ) + (y − ) = 2 A 2x − 4x − ⇔ x + y − (x + 1)x − (1 − x )y + =0 - Trung ñiểm E IM có tọa ñộ E( Câu 7a (1 ñiểm) 0.25 I E M B (d) x + y − 2x − 4y + = - Tọa ñộ A, B là nghiệm hệ: 2x 20 − 4x − x + y − (x + 1)x − (1 − x )y + =0 0 ⇒ (x − 1)x − (x + 3)y + (x + 3) = ⇒ phương trình AB: (x − 1)x − (x + 3)y + (x + 3) = 0.25 - Vì AB ñi qua D(6; 3) ⇒ 6(x − 1) − 3(x + 3) + (x + 3) = ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy M(3; −4) 0.25 Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x − y − 2z − = và ñường x y +1 z − thẳng (d): = = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc ñường thẳng (d), −1 cách mặt phẳng (P) khoảng và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là ñường tròn có bán kính 1.0 x = −t ðường thẳng (d) có phương trình tham số là: y = −1 + 2t ; t ∈ R z = + t Câu Gọi tâm mặt cầu là I Giả sử I(−t; −1 + 2t; 2+ t)∈(d) 8a (1 Vì tâm mặt cầu cách mặt phẳng (P) khoảng nên: ñiểm) t = | −2t + − 2t − − 2t − | | 6t + | d ( I ; ( P )) = = =3⇔ 3 t = − 0.25 0.25 8 17 ⇒ Có hai tâm mặt cầu: I − ; ; vµ I ; − ; − Vì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu 3 3 3 3 theo ñường tròn có bán kính nên mặt cầu có bán kính là R = 0.25 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: 0.25 (6) 2 2 1 8 x + + y − + z − = 25 vµ Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức 2 7 17 1 x − + y + + z + = 25 w = z + − i trên mặt phẳng Oxy, biết số phức z 1.0 thỏa mãn: 3z + i ≤ z.z + ðặt w = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) , tập hợp ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức w trên mặt phẳng Oxy Ta có: x + yi = z + − i ⇔ z = x − y +1 x − y +1 + i ⇒ z = − i 2 2 0.25 2 x − 3) y + 1) ( ( z z + = + +9 Do ñó: 4 Câu 2 9a (1 3x − ) y + 5) ( ( 3x − y + + + i Suy z + i = ñiểm) Ta có z + i = 2 4 3z + i 0.25 2 2 3x − ) y + 5) x − 3) y + 1) ( ( ( ( ≤ z z + ⇔ + ≤ + +9 4 4 7 73 ⇔ ( x − 3) + y + ≤ 16 73 −7 Vậy tập hợp ñiểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I 3; , bán kính R = x2 y2 + = Viết phương trình ñường thẳng ∆ vuông góc với d cắt ( E ) hai ñiểm A, B cho diện tích 0.25 0.25 Trong mặt phẳng Oxy, cho ñường thẳng d: x + y + = và elip ( E ) : 1.0 tam giác AOB 1, với O là gốc tọa ñộ Vì ∆ ⊥ d nên phương trình ∆ có dạng: x − y + m = Khi ñó A, B là nghiệm hệ: Câu 7b (1 ñiểm) x − y + m = x = 2y − m ⇔ x y2 ( *) + =1 8 y − 4my + m − = ∆ cắt ( E ) hai ñiểm phân biệt A, B ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = 32 − 4m > ⇔ −2 < m < 2 0.25 (1) Gọi A ( y1 − m; y1 ) , B ( y2 − m; y2 ) , ñó y1 , y2 là nghiệm (*) 2 ⇒ AB = ( y2 − y1 ) = ( y1 + y2 ) − y1 y2 = ( − m ) ðường cao OH = d ( O; ∆ ) = 0.25 m 2 OH AB 2 ⇒ SOAB = = m ( − m ) = ⇔ m = ⇔ m = ±2 (tm) 16 Vậy phương trình ñường thẳng ∆ cần lập là: x − y + = x − y − = x −2 y z +1 Câu = = Trong không gian Oxyz, cho ñường thẳng d: và hai ñiểm A(1; -1; 2), 8b (1 −6 −8 ñiểm) B(3; -4; -2) Tìm ñiểm I trên ñường thẳng d cho IA +IB ñạt giá trị nhỏ AB = ( 2; - 3; - 4); AB // d Gọi A’ là ñiểm ñối xứng A qua d Ta có: IA + IB = IA’ + IB ≥ A’B IA + IB ñạt giá trị nhỏ A’B Khi A’, I, B thẳng hàng ⇒ I là giao ñiểm A’B và d 0.25 0.25 1.0 0.25 (7) Do AB // d nên I là trung ñiểm A’B 36 33 15 Gọi H là hình chiếu A lên d Tìm ñược H ; ; 29 29 29 43 95 28 A’ ñối xứng với A qua H nên A’ ; ; − 29 29 29 65 −21 −43 I là trung ñiểm A’B suy I ; ; 29 58 29 0.25 0.25 0.25 2013 Tính tổng S = C2014 + C2014 + + C2014 Trong khai triển: (1 + x ) 2014 1.0 2014 = C2014 + xC2014 + x 2C2014 + x3C2014 + + x 2014C2014 2014 Khi x = ta có: C2014 + C2014 + C2014 + C2014 + + C2014 = 22014 2014 Khi x = -1 ta có: C2014 − C2014 + C2014 − C2014 + + C2014 =0 2013 Lấy (1) – (2) ta có: C2014 + C2014 + C2014 + C2014 + + C2014 = 22013 (1) ( 2) ( 3) Câu 2014 Xét số phức: (1 + i )2014 = C2014 + iC2014 + i 2C2014 + i 3C2014 + + i 2014C2014 9b (1 ñiểm) Do + i 2014 = + i 1007 = 2i 1007 = 21007 i1007 = −21007 i ( ) ( ) ( ) ( ) 2014 Nên: −21007 i = C2014 + iC12014 − C2014 − iC2014 + C2014 + iC2014 − − C2014 ( ) ( 0.25 ) 2012 2014 2013 = C2014 − C2014 + C2014 − + C2014 − C2014 + C2014 − C2014 + C2014 − + C2014 i 2013 Vậy : C12014 − C2014 = −2 + C2014 − C2014 + + C2014 1007 Lấy (3) + (4): Ta có S = 2012 −2 1006 HẾT - 0.25 (4) 0.25 0.25 (8)