Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên BC..[r]
(1)Trường THCS Phương Trung Đề thi học sinh giỏi toán Thêi gian : 120’ C©u : (3®) T×m sè h÷u tØ x, biÕt : a) ( x − )5 = - 243 b) x +2 + x +2 + x +2 = x+2 + x +2 11 12 13 c) x - √ x = 14 15 (x ) C©u : (3®) a, T×m sè nguyªn x vµ y biÕt : y + = x b, Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên biết : A = √ x+1 √x− (x ) C©u : (5®) 1) Cho a− = b+3 = c − và 5a - 3b - c = 46 Xác định a, b, c 2) Cho tØ lÖ thøc : a c = b d 2 2 Chøng minh : a −32 ab+ b = c − 32 cd+5 d Víi b +3 ab d +3 cd điều kiện mẫu thức xác định C©u 4: (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = |x − 2001|+|x − 1| C©u 5: (7® ) Cho tam gi¸c c©n ABC, AB=AC Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D Trªn Tia đối tia BC lấy điểm E cho BD=BE Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E c¾t AB vµ AC lÇn lît ë M vµ N Chøng minh: a DM= ED b §êng th¼ng BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN c Đờng thẳng vuông góc với MN I luôn luôn qua điểm cố định D thay đổi trên BC §¸p ¸n C©u : ®iÓm Mçi c©u ®iÓm a) (x-1) ❑5 = (-3) ❑5 ⇒ x-1 = -3 ⇔ x = -3+1 ⇔ x = -2 b) (x+2)( + + − − ) = 11 12 13 14 15 (2) 1 1 + + − − 11 12 13 14 15 c) x - √x = ⇔ ( ⇒ x=0 hoÆc √ x - = ⇔ √ x ⇒ x+2 = ⇔ x=2 √ x ) ❑2 - √ x = ⇔ √ x ( √ x - 2) = ⇒ √x = =2 ⇔ x=4 C©u : ®iÓm Mçi c©u 1,5 ®iÓm y 2y + = , + = , = 1− y x x 8 x x(1 - 2y) = 40 ⇒ 1-2y lµ íc lÎ cña 40 ¦íc lÎ cña 40 lµ : a) §¸p sè : b) T×m x ± 1; ± x = 40 ; y = x = -40 ; y = x = ; y = -2 x = -8 ; y = z để A A nguyªn Z √x− A= √ x+1 =1+ √x− √ x −3 nguyªn ⇒ √ x −3 C¸c gi¸ trÞ cña x lµ : ; 4; 16 ; 25 ; 49 C©u : ®iÓm Mçi c©u 2,5 ®iÓm ¦(4) = -4 ; -2 ;-1; 1; 2; 4 1) Xác định a, b ,c a− b+3 c − = = = (a −1) = − 3(b+ 3) = − 4(c −5) = a −3 b − c −5 −9+ 20 =−2 10 −12 − 24 10 −12 −24 => a = -3 ; b = -11; c = -7 Cách : a− = b+3 = c − = t ; sau đó rút a, b ,c thay vào tìm t =- tìm a,b,c 2) Chøng minh §Æt a = c = k => a= kb ; c = kd Thay vµo c¸c biÓu thøc : b d 2 a −3 ab+ b2 c −3 cd +5 d k − k +5 k −3 k+ − = − =0 => ®pcm 2+3 k 2+3 k b2 +3 ab d +3 cd C©u (2 ®iÓm) Ta cã: A = |x − 2001|+|x − 1| = |x − 2001|+|1 − x|≥|x −2001+1 − x|=2000 Vậy biểu thức đã cho đạt giá trị nhỏ là 2000 x-2001 và 1-x cùng dấu, tức là : x 2001 C©u (7 ®iÓm) ( Häc sinh tù vÏ h×nh) 0.5đ a/∆ MDB=∆ NEC suy DN=EN 2® b/∆ MDI=∆ NEI suy IM=IN suy BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN 2® c/ Gäi H lµ ch©n ®ưêng cao vu«ng gãc kÎ tõ A xuèng BC ta cã ∆ AHB=∆ AHC suy HAB=HAC 0,5® (3) gọi O là giao AH với đờng thẳng vuông góc với MN kẻ từ I thì ∆ OAB=∆ OAC (c.g.c) nªn OBA = OCA(1) 0,5® ∆ OIM=∆ OIN suy OM=ON 0,5® suy ∆ OBN=∆ OCN (c.c.c) OBM=OCM(2) 0,5® Tõ (1) vµ (2) suy OCA=OCN=900 suy OC ┴ AC Vậy điểm O cố định 0,5® (4)