thì cũng chỉ cho ra 2 giá trị của a Còn nếu m#n lại cho ra 4 giá trị của a Tóm lại trường hợp này không thỏa mãn yêu cầu bài toán.[r]
(1)Tìm trên trục Oy các điểm mà từ điểm đó có thể vẽ tiếp tuyến với (C) y=x4-x2-2 Bài làm Gọi A là điểm nằm trên Oy ta có :A(0;b) Gọi (D) y=ax+b là đường thẳng qua A và tiếp xúc với (C) Xét (C) y’=4x3-2x ,(D) có hệ số góc là a (C) tiếp xúc với (D) => Hệ phương trình sau có nghiệm 4 x x ax b x x (4 x x) x b(1) x x a (2) 4 x x a Xét pt (1) =>x4-x2-2=4x4-2x2+b 3x4-x2+2+b=0 (*) Đặt t=x2 =>pt (1) trở thành :3t2-t+2+b=0 Để có thể qua A có tiếp tuyến tiếp xúc với (C) => phương trình (1) có ít là nghiệm và nghiệm vào pt (2) a khác TH1:pt(*) có nghiệm => pt(1) có nghiệm là và nghiệm dương 1 4.3.(2 b) 2 b 0 ĐK cần : P 0 1 4.3.(2 b) 2 b 0 23 b 12 b (nhận) t 0 x 0 x t Thử lại với b=-2 thì (1) trở thành :3t2-t=0 Với x=0 vào pt(2) =>a=0 2 Với x= => a= Với x= =>a= Trường hợp này với giá trị x cho giá trị a khác => nhận b=-2 => điểm trên Oy là A (0;-2) TH2 :pt(*) có nghiệm phân biệt => pt(1) có nghiệm dương phân biệt 1 4.3.(2 b) 1 S b 0 P => 23 b 12 1 0 3 b 23 2b 12 =>pt (1) có nghiệm dương phân biệt là t1 và t2 ( giả sử t1 t2 < ) t ; t ; t ; t 1 =>pt (*) có nghiệm phân biệt theo thứ tự là ( ) Để có tiếp tuyến => nghiệm pt(*)vào pt(2) cho a khác (2) số nghiệm vào pt(2) cho cùng a và khác giá trị a so với nghiệm còn lại -Xét các trường hợp sau: :2 nghiệm đối pt(*) VD :( t2 ; t2 ) và ( t1 ; t1 ) vào pt(2) cho các a đối và t2 t nên có giá trị a giá trị a Thật xét pt(2)đặt f(x)= 4x3-2x Gỉa sử Nếu f ( t1 ) m , f ( t1 ) f ( t2 ) Tương tự f ( t1 ) m , f ( t2 ) n f ( t2 ) n , đó m=n=> cho giá trị a f ( t1 ) f ( t2 ) f ( t1 ) f ( t2 ) f ( t1 ) f ( t2 ) thì cho giá trị a Còn m#n lại cho giá trị a Tóm lại trường hợp này không thỏa mãn yêu cầu bài toán Tìm trên trục Ox các điểm mà từ điểm đó vẽ x2 tiếp tuyến với (C) y= x Bài làm Gọi A là điểm trên trục Ox b ;0 Gọi (D) y=ax+b là đường thẳng qua A và tiếp xúc với (C)=>A( a ) x 2x Xét (C) y’= ( x 1) và (D) có hệ số góc là a (C) tiếp xúc với (D) => hệ phương trình sau có nghiệm x2 x2 x x b ( x 1) x 1 x x x2 a ax b ( x 1) x x # x x a ( x 1)2 ( x 9)( x 1) x( x x 9) b( x 1) (1) x 2x a(2) ( x 1) x # 1(3) Xét pt(1) (x2-9)(x+1)=x(x2+2x+9)+b(x+1)2 (3) x3+x2-9x-9=x3+2x2+9x+bx2+2bx+b bx2+x2+2bx+18x+9+b=0 x2(b+1)+x(2b+18)+9+b=0 (1) 1 TH1: Nếu b+1=0 b=-1 => pt(1) trở thành :20x+10=0 x= #-1 (nhận) .Thế vào hệ phương trình : x2 2x 33 =>a= ( x 1) => điểm A có tọa độ là ( 33 ;0) TH2 : Nếu b#-1 và pt(1) có nghiệm kép => 0 (2b+18)2-4(b+1)(9+b)=0 4b2+72b+324-36b-4b2-36-4b=0 32b+288=0 b=-9 (nhận) (2 18) =>lúc này pt có nghiệm kép x= 2( 1) =0#-1 (nhận) x2 x ( x 1) =>a= => Điểm A có tọa độ là (1;0) TH3: b#-1 và pt (1) có nghiệm phân biệt => 32b+288>0 b>-9 Xét các trường hợp sau : *1 nghiệm trùng với nghiệm (-1) ĐK cần pt (1): f(-1) =0 =>b+1-2b-18+9+b=0 -8=0 (vô lý ) Trường hợp này không thể xảy => nghiệm phân biết pt luôn khác với nghiệm -1 Để có tiếp tuyến với (C) => nghiệm phân biệt pt vào pt(2) cho cùng giá trị a x12 x1 x2 x2 ( x 1) ( x2 1) => ( x12 x1 9)( x2 x2 1) ( x2 x2 9)( x12 x1 1) x12 x2 x12 x2 x12 x1 x2 x1 x2 x1 x2 18 x2 2 2 2 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 x1 x2 x2 x1 18 x1 2 x2 x1 16 x2 16 x1 0 ( x2 x1 )( x2 x1 ) 2( x2 x1 ) 0 ( x2 x1 )( x2 x1 2) 0 2b 18 Vì nghiệm phân biệt nên => x1 x2 => b ( pt vô nghiệm ) (4) (5)