Thong tin Toan hoc tap 18 so 1

OSCAR ZARISKI, 1899 - 1986 tiếp theo và hết David Mumford Mười lăm năm sau hoặc lâu hơn, 19381951, nếu xem khoảng thời gian giữa các bài báo của Zariski viết lại lý thuyết kỳ dị của các [r]

Hội Toán Học Việt Nam THÔNG TIN TOÁN HỌC Tháng Năm 2014 Tập 18 Số Thông Tin Toán Học (Lưu hành nội bộ) ∙ Tổng biên tập Ngô Việt Trung ∙ Phó tổng biên tập Nguyễn Thị Lê Hương ∙ Bản tin Thông Tin Toán Học nhằm mục đích phản ánh các sinh hoạt chuyên môn cộng đồng toán học Việt Nam và quốc tế Bản tin thường kỳ số năm ∙ Thư ký tòa soạn Đoàn Trung Cường ∙ Ban biên tập Trần Nguyên An Đào Phương Bắc Trần Nam Dũng Trịnh Thanh Đèo Đào Thị Thu Hà Đoàn Thế Hiếu Nguyễn An Khương Lê Công Trình Nguyễn Chu Gia Vượng ∙ Thể lệ gửi bài: Bài viết tiếng Việt Tất các bài, thông tin sinh hoạt toán học các khoa (bộ môn) toán, hướng nghiên cứu trao đổi phương pháp nghiên cứu và giảng dạy hoan nghênh Bản tin nhận đăng các bài giới thiệu tiềm khoa học các sở các bài giới thiệu các nhà toán học Bài viết xin gửi tòa soạn theo email địa trên Nếu bài đánh máy tính, xin gửi kèm theo file với phông chữ unicode ∙ Địa liên hệ Bản tin: Thông Tin Toán Học Viện Toán Học 18 Hoàng Quốc Việt, 10307 Hà Nội Email: ttth@vms.org.vn Trang web: http://www.vms.org.vn/ttth/ttth.htm c Hội Toán Học Việt Nam ○ Ảnh bìa Xem trang 20 Nguồn: Internet Trang web Hội Toán học: http://www.vms.org.vn Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi Ngô Việt Trung (Viện Toán học) Cặp số nguyên tố sinh đôi là cặp số nguyên tố liền có dạng (𝑛, 𝑛 + 2) Cặp số nguyên tố đầu tiên là (3, 5), sau đó là (5, 7), (11, 13), Số nguyên tố sinh đôi cực Tuy nhiên, sau vài năm người ta lại tìm thấy cặp số sinh đôi lớn Từ thời Hy Lạp cổ đại Ơclit (Euclide) đã tin có vô số các cặp số nguyên tố sinh đôi Đã hàng kỷ trôi qua mà chưa có chứng minh dự đoán Ơclit, đến mức nhiều người coi đó là điều bí hiểm Ngày người ta gọi điều này là giả thuyết số nguyên tố sinh đôi Cái khó đây là không có công thức mô tả các số nguyên tố Để tìm các số nguyên tố bảng số thì người ta thường loại bỏ dần các hợp số là bội các số nguyên tố trước đó Phương pháp này gọi là sàng Ơra-tô-xten (Erathostenes) theo tên nhà toán học Hy Lạp cổ đại Tuy nhiên phương pháp này hiệu tìm các số nguyên tố nhỏ hàng chục triệu Năm 1849 nhà toán học Pháp de Polignac đưa giả thuyết tổng quát là với số chẵn 𝑘 ≥ 2, tồn vô hạn các cặp số nguyên tố 𝑚, 𝑛 cho 𝑚−𝑛 = 𝑘 Giả thuyết này chưa giải cho số 𝑘 nào Người ta có thể tìm cách giải giả thuyết yếu là tồn vô hạn cặp số nguyên tố 𝑚, 𝑛 cho ≤ 𝑛−𝑚 ≤ 𝑘 Giả thuyết yếu này gọi là giả thuyết chặn trên cho khoảng cách các số nguyên tố Tuy nó không tương đương với giả thuyết de Polignac, trường hợp 𝑘 = thì nó chính là giả thuyết số nguyên tố sinh đôi Nhiều nhà toán học cho các phương pháp nghiên cứu chưa đủ sức giải giả thuyết yếu trên Nhà số học Goldston cho “Đây là vấn đề mà ta không loài người có thể giải được” Ngày 17/4/2013 tòa soạn tạp chí Annals of Mathematics nhận thảo nhà toán học vô danh là Yitang Zhang khẳng định đã giải giả thuyết yếu trên cho 𝑘 = 70 triệu Tuy 70 triệu còn xa với mục tiêu 𝑘 = 2, đây có thể coi là bước đột phá việc chứng minh giả thuyết số nguyên tố sinh đôi Khoảng cách và 70 triệu lớn không thấm gì so với khoảng cách 70 triệu và vô hạn! Công trình Zhang đã thẩm định và công bố Tập 179 Số tạp chí danh tiếng Annals of Mathematics, xuất tháng năm 2014 Andrew Granville, nhà số học có tiếng nói “Không biết Bỗng nhiên chứng minh kết lớn lịch sử lý thuyết số.” Yitang Zhang sinh năm 1955 Trung Quốc Năm 1985 ông sang Mỹ làm nghiên cứu sinh sau tham dự lớp cao học nhà toán học Hoa kiều ShiingShen Chern tổ chức Bắc Kinh Ông bảo vệ luận án tiến sỹ năm 1991 sau năm làm nghiên cứu sinh Đại học Purdue hướng dẫn Tzuong-Tsieng Moh Đề tài luận án ông chọn là giả thuyết Jacobian Đây là giả thuyết lâu đời nhà toán học Stephen Smale (huy chương Fields năm 1966) coi là 18 bài toán kỷ 21 Zhang tưởng mình đã chứng minh giả thuyết này, sau đó người ta phát kết sai Moh Zhang dùng chứng minh mình Yitang Zhang - ĐH New Hampshire, Mỹ Nguồn: Internet Cho đến Zhang công bố hai công trình toán học vào các năm 1985 (năm bảo vệ luận án thạc sỹ) và 2001 Ông là dạng nhà toán học chuyên tâm giải các vấn đề khó Cuộc đời Zhang có nhiều gian truân Sau bảo vệ luận án tiến sỹ ông không xin việc làm các trường đại học và ông đã phải làm nhiều việc thời vụ dọn bàn, đưa đồ ăn, trực khách sạn, kế toán, v.v Mãi đến năm 1999 ông nhận vào làm giảng viên Đại học New Hampshire không có chức danh chính thức và làm việc đó ngày Ngay sau công bố kết trên, Zhang nhận nhiều giải thưởng danh giá và nhiều trường đại học danh tiếng Mỹ, Trung Quốc và Đài Loan mời đến làm việc Tuy nhiên ông định lại Đại học New Hampshire Tại Đại hội Toán học giới năm Seoul ông mời đọc báo cáo toàn thể đặc biệt ngang hàng với các báo cáo giải thưởng Fields Nghiên cứu Zhang có xuất xứ từ bài báo Goldston, Pintz và Yildirim (GPY) công bố năm 2005 Bài báo này chứng minh luôn tồn các cặp số nguyên tố liền mà khoảng cách chúng nhỏ nhiều so với khoảng cách trung bình hai số nguyên tố liền Để có kết này GPY đã đưa phương pháp để lọc các cặp nguyên tố liền khoảng nào đó giống cái sàng Ơ-ratô-xten lọc các số nguyên tố Ngoài ra, họ còn dùng tham số gọi là mức phân bố số nguyên tố Người ta biết tham số này lớn 1/2 và điều này đủ để chứng minh kết GPY Họ nhận xét tham số này lớn 1/2 thì dùng cái sàng họ chứng minh tồn vô hạn cặp số nguyên tố liền bị chặn số 𝑘 nào đó Trong bài báo mình, GPY viết kết họ “chỉ cách kết đó bề dày sợi tóc” Zhang nghiên cứu lý thuyết số luận văn cao học nên ông để ý đọc bài báo GPY “Câu văn này gây ấn tượng với tôi”, ông hồi tưởng lại Ông bắt đầu tìm cách mở rộng kết GPY Trong ba năm sau đó, ông không tiến thêm bước nào “Tôi quá mỏi mệt”, ông nói Hè năm 2012 ông định nghỉ chút và thăm người bạn Colorado mà không mang tài liệu toán học nào Tuy nhiên ông bị ám ảnh giả thuyết chặn trên cho khoảng cách các số nguyên tố Trong lúc mơ màng ngoài vườn bạn, ông tìm ý tưởng cho lời giải “Tôi tin nó đúng” Để giải giả thuyết ông thấy không cần thiết phải lọc tất các số mà cần lọc các số có thừa số nguyên tố không lớn Như là cái sàng ông không tốt cái sàng GPY lại có độ linh hoạt đủ để giải vấn đề Theo ông, “Có nhiều may nghiệp bạn quan trọng là phải luôn luôn suy nghĩ” Daniel Goldston - ĐH bang San Jose, Mỹ Nguồn: Internet János Pintz - Viện Toán học Alfréd Rényi, Budapest, Hungary, và Cem Y Yildirim - ĐH Boğaziçi, Istanbul, Thổ Nhĩ Kỳ Nguồn: Internet Zhang tự nhận mình là người rụt rè, “khi làm báo cáo và tập trung vào toán học, tôi quên rụt rè tôi” Có người hỏi ông có cảm thấy cay đắng số phận long đong mình không thì ông trả lời “Cái đầu tôi luôn bình thản Tôi không quan tâm nhiều đến tiền tài hay danh vọng Tôi thích giữ im lặng và tiếp tục làm gì mà tôi quan tâm” Lại có người hỏi liệu ông có khuyên người khác làm theo ông không thì ông trả lời “khó nói lắm” và “tôi chọn đường mình và đó là đường riêng tôi” Gần đây ông bắt đầu nghiên cứu đề tài khác và không muốn thổ lộ cho người khác biết Ông nói “Hy vọng nó cho kết tốt” Theo Tzuong-Tsieng Moh, thầy Zhang, thì ông thích câu nói Khổng Tử “người biết nghề không sánh với người yêu nghề, người yêu nghề không sánh với người lấy nghề mình làm niềm vui” Kết Zhang dẫn đến câu hỏi có thể đưa chặn 70 triệu xuống nhỏ không, có thể đưa chặn đó thì ta có chứng minh cho giả thuyết số nguyên tố sinh đôi Thực ra, Zhang dùng chặn 70 triệu để làm cho chứng minh đơn giản Đến cuối tháng 5/2013 các nhà toán học đã cải thiện chặn trên Zhang xuống còn 60 triệu Tháng 6/2013 nhà toán học Terence Tao (huy chương Fields năm 2006) lập đề án trực tuyến Polymath để các nhà toán học có thể cùng tham gia thảo luận trực tuyến với mục đích giảm chặn trên xuống nhỏ Trong vài tuần sau đó thì tình hình cải thiện theo tốc độ chóng mặt, “cứ khoảng nửa tiếng lại có chặn trên tốt hơn”, Tao hồi tưởng lại Đến cuối tháng 7/2013 người ta đã đưa số 70 triệu chứng minh Zhang xuống còn 4680 Đề án Polymath này tập trung vào việc viết bài báo tập thể kết này Bản thảo đã dài 150 trang, dự kiến công bố trên tạp chí “Algebra and Number Theory” Câu chuyện chưa dừng lại đây vì đến ngày 19/11/2013, trên trang ArXiv(1) có nhà toán học trẻ tên là James Maynard đã đưa chặn trên là 600 với chứng minh hoàn toàn độc lập với chứng minh Zhang Đặc biệt hơn, phương pháp Maynard còn cho phép nghiên cứu không các cặp số nguyên tố mà còn các các số nguyên tố liền Maynard vừa bảo vệ (1)Trang web có sở liệu lớn mà các nhà toán học, vật lý, tin học công bố các công trình mình dạng tiền ấn phẩm trước công bố chính thức (TTTH) luận án tiến sĩ sàng các số nguyên tố và nghiên cứu sau tiến sĩ Đại học Montreal, Canada James Maynard - Nghiên cứu viên sau tiến sỹ ĐH Montreal, Canada Nguồn: Internet Công trình Maynard, theo nghĩa nào đó, khởi thủy từ bài báo GPY Trước đó, hai tác giả Goldston và Yildirim đã công bố phương pháp sàng cặp số nguyên tố liền Ngay sau người ta phát phương pháp này có lỗi Sau GPY thay đổi phương pháp sàng để sửa lỗi trên thì người đổ xô vào nghiên cứu bài báo mà quên hẳn phương pháp bị hổng trước đó Cách đây năm, Maynard định xem lại bài báo cũ Goldston và Yildirim Anh phát thấy có thể cải thiện phương pháp có lỗi đó cách hiệu cách GPY đã làm Ý tưởng Maynard đơn giản Người hướng dẫn sau tiến sĩ Maynard là Granville nhận xét “Đó là điều mà người tôi gõ vào trán và tự nhủ ta có thể chứng minh cái này bảy năm trước đây” Ngay sau công bố Maynard, đề án trực tuyến Polymath khác lập nhằm sử dụng phương pháp Maynard để đưa các chặn trên nhỏ Khi bài báo này viết, người ta đã giảm chặn trên xuống còn 252 Các đề án Polymath thu hút nhiều chuyên gia từ các hướng nghiên cứu khác tham gia Họ có thể tối ưu hóa các bước khác kỹ thuật chứng minh Zhang và Maynard để tìm các chặn trên nhỏ Công việc họ hoàn toàn phụ thuộc lẫn Nếu người tìm kết hay ý tưởng thì người khác phải thay đổi tương ứng các kiện nghiên cứu mình Chuyên gia tính toán Andrew Sutherland Viện công nghệ Massachusetts nói “Luật chơi thay đổi hàng ngày”, “Trong lúc tôi ngủ thì các đồng nghiệp Châu Âu đã tìm thấy chặn trên Nhiều khi, tôi thức đến sáng để thông báo ý tưởng mới” Trong Zhang và Maynard là dạng nhà toán học tài nghiên cứu mình vài năm đạt kết làm chấn động người thì các đề án Polymath khác hẳn Chúng cần hợp tác toàn diện từ nhiều người nhằm giải vấn đề toán học khó và phức tạp và thường có kết nhanh Tuy nhiên, không phải vấn đề toán học nào phù hợp với cách nghiên cứu tập thể Theo T Tao thì “cần có người sẵn sàng làm việc đơn độc và vượt qua lối suy nghĩ thông thường” Cuối cùng, ta có thể hy vọng gì từ các kỹ thuật chứng minh Zhang và Maynard cho việc giải giả thuyết số nguyên tố sinh đôi? Phương pháp Zhang có thể dẫn đến chặn trên 16 giải các vướng mắc còn tồn Trong đó phương pháp Maynard có thể giúp giảm chặn trên xuống còn 12 là cùng T Tao cho biết thêm công nhận giả thuyết Elliot-Halberstam thì có thể đưa chặn trên xuống còn Theo Maynard thì khó có thể dùng các phương pháp trên để nhận chặn trên cuối cùng là Anh nhận xét “Tôi cảm thấy chúng ta cần phải có đột phá lớn cách tiếp cận thì giải giả thuyết số nguyên tố sinh đôi” Như là chưa có gì đảm bảo cho việc giải giả thuyết này tương lai gần và giả thuyết này là thách thức trí tuệ người TÀI LIỆU [1] K Chang, Solving a Riddle of Primes, New York Times (2013) [2] E Klareich, Sudden Progress on Prime Number Problem Has Mathematicians Buzzing, Wired (2013) [3] E Klareich, Unheralded Mathematician Bridges the Prime Gap, Quanta Magazine (2013) [4] L Katz, Yitang Zhang: A prime-number proof and a world of persistence, Cnet (2013) [5] M McKee, First proof that infinitely many prime numbers come in pairs, Nature news (2013) [6] T-T Moh, "Zhang, Yitang’s life at Purdue, www.math.purdue.edu/ ttm/ZhangYt.pdf OSCAR ZARISKI, 1899 - 1986 (tiếp theo và hết) David Mumford Mười lăm năm sau lâu hơn, 19381951, xem khoảng thời gian các bài báo Zariski viết lại lý thuyết kỳ dị các đường cong phẳng thông qua lý thuyết định giá (valuation theory) và lý thuyết gây kinh ngạc "về các hàm chỉnh hình" (giới hạn các hàm hội tụ tô pô 𝐼-adic), người ta thấy sóng ý tưởng khai phá, độc đáo và sáng tạo đó công cụ nối tiếp công cụ từ đại số đã sử dụng để làm sáng tỏ ý tưởng hình học Mặc dù nhiều nhà toán học tuổi ngoài bốn mươi thường gặt hái kết từ công trình có tính chất khai phá từ trước đó, Zariski không nghi ngờ gì cao trào táo bạo thập kỷ này Ông trao đổi với André Weil, lúc đó quan tâm đến việc xây dựng lại hình học đại số và mở rộng sang đặc số 𝑝, cùng lúc hướng đến ứng dụng vào lý thuyết số Một chủ đề chính giai đoạn này hai người là xây dựng sở hình học đại số trên trường sở Zariski gọi lý thuyết rộng này là hình học đại số "trừu tượng" Dù đồng ý với nhau, người thấy công việc người gây hứng thú, chính Weil sau này đã nói Zariski là nhà hình học đại số có các công trình đáng tin cậy Cả hai đã xếp cùng thăm đại học São Paulo, Brazil năm 1945 để gặp Ở đó Zariski đã đọc giáo trình gồm ba bài giảng tuần với thính giả là André Weil Giai đoạn đó là năm cá nhân ông gặp bi kịch khủng khiếp Trong chiến tranh, hầu hết họ hàng ông Ba Lan đã bị quân Đức quốc xã giết hại Chỉ còn gia đình riêng ông và gia đình hai người anh chị đã chuyển đến Israel là thoát thảm sát Ngày Ba Lan bị chiếm, ông và Yole trên đường xuyên qua nước Mỹ hướng bờ biển phía đông Họ lắng nghe chương trình tin tức trên đài phát thanh, kênh thông tin ác mộng nửa nhân loại gặp phải Họ đã không làm gì! khẳng định chuẩn hoá (normalization) đa tạp 𝑋 là đa tạp cực đại 𝑋 ′ song hữu tỷ với 𝑋, cho các thớ ánh xạ 𝑋 ′ → 𝑋 là hữu hạn Grothendieck sau này đã tổng quát hoá thành khái niệm phân tích Stein các ánh xạ Trong giai đoạn nghiên cứu này, Zariski giải nhiều bài toán các phương pháp đại số ông tự tạo ra, công cụ vào thời đó Ông đã đọc bài tổng quan lý thuyết đó đại hội toán học giới đầu tiên sau chiến tranh, tổ chức Cambridge, Massachusetts, Mỹ, năm 1950 Ba chủ đề nghiên cứu ông là đặc biệt đẹp và sâu sắc Chủ đề đầu tiên là các nghiên cứu cấu xạ song hữu tỷ, dẫn đến kết tiếng biết đến rộng rãi với tên gọi "Zariski’s Main Theorem" (Định lý chính Zariski) Đây là kết chính từ phân tích có tính tảng các cấu xạ song hữu tỷ các đa tạp (1943) Cấu xạ song hữu tỷ là các tương ứng đại số mà là song ánh hầu hết các điểm có thể là blow-up (nổ) blowdown số điểm đặc biệt Zariski các điểm 𝑃, 𝑄 tập nguồn và tập đích là tương ứng cô lập, nghĩa là tập các điểm tương ứng với 𝑃 chứa 𝑄 không chứa đường cong nào qua 𝑄 và ngược lại, và nữa, 𝑃 , 𝑄 là các điểm chuẩn tắc (normal) đa tạp tương ứng, thì thực tế 𝑄 là điểm ứng với 𝑃 và ánh xạ là song chính quy 𝑃 và 𝑄 Dù ngắn, chứng minh Zariski tinh tế cách kỳ lạ Khái niệm mở rộng nguyên và khái niệm chuẩn tắc đã chứng tỏ vai trò cốt yếu lý thuyết số đại số và mở rộng cho các vành Noether từ năm 1930 Trong tay Zariski, khái niệm này trở thành công cụ chính hình học đại số "Main Theorem" dạng mạnh Federigo Enriques (5/1/1871 - 14/6/1946) Nguồn: Internet Chủ đề thứ hai là giải kỳ dị các đa tạp đại số, đỉnh cao là chứng minh Zariski tồn mô hình không kỳ dị (non-singular models) các đa tạp đại số có chiều tối đa (trên trường đặc số 0), nghĩa là đa tạp tương đương song hữu tỷ với đa tạp xạ ảnh không có kỳ dị (1939, 1940, 1944) Đây là bài toán mà lời giải luôn lẩn tránh hướng tiếp cận đơn sơ trường phái hình học Ý Thậm chí với các đa tạp chiều 2, mặc dù vài chứng minh cổ điển là đúng, đã có nhiều cách tiếp cận sai xuất trước đó Zariski công bài toán này với toàn kỹ thuật có, theo đuổi không ngừng nghỉ qua sáu bài báo với tổng số 200 trang giấy Có lẽ công cụ bật là việc ứng dụng lý thuyết định giá tổng quát vào các trường hàm và dẫn tới phương pháp dùng bất biến song hữu tỷ để mô tả các điểm phải giải kỳ dị Ở đây lần nữa, mặc dù cấu trúc các định giá đã tìm hiểu trước đó, chúng thực sống lại tay Zariski và dành lấy vị trí xứng đáng hình học đại số Mặc dù bị đẩy sang bên lề năm sau đó, không nghi ngờ gì lý thuyết này lại hồi sinh Kết này chứng minh cho giới toán học sức mạnh ý tưởng Trong nhiều năm, công trình này người ngành xem là có kỹ thuật khó hình học đại số Chỉ đến trường hợp đa tạp chiều trên trường đặc số dương Abhyankar (1956) và trường hợp đa tạp trên trường có đặc số Hironaka (1964) giải quyết, cái mốc này chính thức vượt qua Chủ đề thứ ba là lý thuyết "các hàm chỉnh hình" trừu tượng (1948, 1951) Ý tưởng là dùng khái niệm đầy đủ hoá vành iđêan (𝐼-adic completion) để thay cho khái niệm chuỗi lũy thừa hội tụ và xét các phần tử vành đầy đủ đó các tình hàm chỉnh hình cổ điển Do lý thuyết đầy đủ hoá ít phát triển vào thời điểm đó, Zariski đã viết số bài báo sở chủ đề này để chuẩn bị cho công trình trên, bao gồm việc phát triển lý thuyết đầy đủ hoá 𝐼-adic các vành Noether iđêan 𝐼 tuỳ ý Các bài báo hàm chỉnh hình ông thừa nhận là tảng, mặc dù ứng dụng chính lúc chủ yếu cho phiên mạnh "Định lý chính", gọi là "Định lý liên thông" (Connectedness theorem), khẳng định các thớ cấu xạ song hữu tỷ từ đa tạp xạ ảnh vào đa tạp chuẩn tắc (normal) luôn là liên thông Về sau, lý thuyết này qua tay Grothendieck đã trở thành công cụ trung tâm hình học đại số(1) Chuỗi các công trình Zariski trở thành tượng và giới toán học ghi nhận Năm 1944 ông nhận giải thưởng Cole Hội Toán học Mỹ Năm 1945 ông nhận chân giáo sư nghiên cứu đại học Illinois Ngay từ đầu năm bốn mươi, công trình ông đã gây chú ý G D Birkhoff và Birkhoff định ông phải đến đại học Harvard Thực tế ông nhận đề nghị và chuyển đến đại học Harvard năm 1947, ông đó cuối đời Zariski là người Do Thái đầu tiên gia nhập khoa toán Harvard ông thích nghi nhanh và thực thích thú với tập quán hình thức nơi đó Ông có ảnh hưởng lớn đến môi trường toán học Harvard và ông thích hội lôi kéo người giỏi đến Harvard trưng học trò giỏi mình Trưởng khoa Bundy thường ví ông là "cướp biển Ý" sắc sảo ông việc giữ cho việc theo cách riêng mình, dù theo các kênh thông thường hay không Bất nào, nguyên tắc bổ nhiệm Harvard, thường gọi là kế hoạch Graustein theo tên nhà toán học đã lập các nguyên tắc đó, hợp với ý định ông thì ông dùng, không thì ông giả vờ không biết nguyên tắc đó và nhấn mạnh trường hợp cần xem xét dựa trên đánh giá cụ thể Trong ba mươi năm tiếp theo, ông đã biến Harvard thành trung tâm hình học đại số giới Seminar ông đã đón Chow, (1)Phong cách Grothendieck trái ngược với Zariski Trong các chứng minh Zariski luôn có điểm nút, chỗ rẽ tinh tế chừng thì Grothendieck không dừng lại lúc bước có vẻ là tầm thường Với các hàm chỉnh hình, Grothendieck đồ các kết là sâu sắc Zariski vì ông chứng minh cho các nhóm đối đồng điều bậc Theo Grothendieck, cách dễ dàng là chứng minh cho nhóm đối đồng điều bậc cao trước, sau đó dùng quy nạp giảm dần (TG) Grothendieck, Hodge, Igusa, Kodaira, Nagata, Serre, Weil và nhiều người khác Những buổi tối hào hứng và ấm áp nhà ông với nồng nhiệt Oscar và Yole làm người khách không dễ quên Công việc xây dựng lại hình học đại số đã bắt đầu việc viết Các mặt đại số và đến bây giờ, Zariski cảm giác đã có đủ công cụ mạnh và tổng quát, cách tự nhiên ông muốn xem xét để hệ thống lại toàn kết chính lý thuyết các mặt Danh sách không đầy đủ số chủ đề ông đã làm lại gồm: (i) Quan hệ tính chất không kỳ dị hình học với khái niệm tính chính quy đại số (1947); (ii) Cơ sở hệ tuyến tính (linear systems - 1950, 1962); (iii) Các định lý triệt tiêu đối đồng điều (1952, đặc biệt là kết ông gọi là "bổ đề Enriques-Severi", sau đó Grothendieck và Serre tiếp tục); (iv) Bài toán tồn các mô hình không kỳ dị cực tiểu các lớp tương đương các mặt đại số (1958); (v) Phân loại các đa tạp theo Castelnuovo và Enriques (1958, ngày biết đến là phân loại theo chiều Kodaira); và (vi) Đối chiều các quỹ tích rẽ nhánh (1958) Với lĩnh vực này ông phơi bày trước các đồng nghiệp và học trò cách nhìn từ nhiều lĩnh vực để khảo sát triển vọng thú vị Ông đã viết sách giáo khoa mà ngày trở thành kinh điển đại số giao hoán nhằm hướng đến các ứng dụng hình học mà ông tiên phong Trong phạm vi công việc này, Zariski phát triển đầy đủ hướng tiếp cận với sở hình học đại số và viết lại hai tập đại số giao hoán nêu trên cùng với học trò là P Samuel Bản thân ông chào đón xuất định nghĩa và kỹ thuật hơn, dẫn đến kết mạnh hơn, vì ông đã không xuất công trình riêng mình sở hình học đại số vì nhận công trình đó chưa phải dạng hoàn tất Chấp nhận ngôn ngữ lý thuyết bó và đối đồng điều, ông đã dành thời gian Viện nghiên cứu Mùa hè Colorado vào năm 1953 để nghiên cứu các ý tưởng các lý thuyết này, mặc dù không dùng ngôn ngữ này các công trình mình Khi Grothendieck xuất hiện, ông mời đến Harvard Grothendieck phần mình trông đợi làm việc cùng Zariski Oscar Zariski ĐH Cambridge, Mỹ (1969) Nguồn: George M Bergman Giai đoạn cuối cùng nghiệp toán học Zariski là trở lại với các nghiên cứu kỳ dị (1965-1975) Zariski hoàn toàn không có khái niệm hưu, ông đã dành năm tuổi sáu mươi và bảy mươi mình phần còn lại tuổi tám mươi để công trên diện rộng bài toán đẳng kỳ dị Mục đích hướng đến là tìm cách phân tích tự nhiên đa tạp 𝑋 thành các mảnh 𝑌 , mảnh tạo thành từ đa tạp 𝑋 cách bỏ họ hữu hạn các đa tạp có chiều thấp hơn, cho dọc theo đa tạp 𝑌 , đa tạp 𝑋 có cùng loại kỳ dị điểm Zariski có bước tiến quan trọng để đạt các mục tiêu này, bài toán này khó, chí đến ngày công việc nghiên cứu tiến hành Tác giả David Mumford (huy chương Fields 1974) là học trò O Zariski Nguồn: Internet Với đóng góp phi thường cho lĩnh vực hình học đại số, Zariski đã cộng đồng ghi nhận nhiều danh hiệu Ông trao tiến sỹ danh dự Holy Cross (1959), Brandeis (1965), đại học Purdue (1974) và từ đại học Harvard (1981) Ông trao tặng Huy chương Khoa học Quốc gia (Mỹ - 1965), giải thưởng Steele cho thành tựu trọn đời (1981) và giải thưởng Wolf (1982) Trong năm cuối đời Zariski phải chiến đấu với vấn đề thính giác Ông sống động, toán học và hoạt động thường ngày với bạn bè, đồng nghiệp và sinh viên, sắc thái, lúc cuối đời ông lại bị bệnh ù tai công cùng với nhạy cảm với tiếng ồn và dần thính lực Điều này khiến ông thu mình lại công việc nghiên cứu và ít ngoài Chỉ có tình yêu vô bờ gia đình giữ ông năm cuối cùng mình Ông qua đời nhà riêng Brookline, Massachusetts vào ngày tháng Bảy năm 1986 Bạn bè, học trò và các đồng nghiệp ông nhớ mãi không các định lý tuyệt đẹp ông đã tìm mà mạnh mẽ và ấm áp người mà họ đã biết và yêu quí Người dịch: Đoàn Trung Cường (Viện Toán học) và Phạm An Vinh (ĐH Missouri) Lược dịch từ tiếng Anh với cho phép tác giả Giải thưởng Lê Văn Thiêm 2013 Hà Huy Khoái (Đại học Thăng Long) VỀ GIẢI THƯỞNG LÊ VĂN THIÊM Giáo sư Lê Văn Thiêm (1918-1991) là Chủ tịch đầu tiên Hội toán học Việt Nam Ông là nhà toán học tiếng, đã có đóng góp lớn nghiên cứu và ứng dụng toán học Ông là người đặt móng cho giáo dục đại học nước ta, là người thầy nhiều hệ các nhà toán học Việt nam Giáo sư Lê Văn Thiêm luôn giành quan tâm đặc biệt đến việc giảng dạy toán học các trường phổ thông Ông là người sáng lập hệ thống trường phổ thông chuyên toán và báo Toán học và Tuổi trẻ Giáo sư Lê Văn Thiêm đã Nhà nước tặng Huân chương độc lập hạng và Giải thưởng Hồ Chí Minh (đợt 1) Giải thưởng Lê Văn Thiêm Hội Toán học Việt Nam đặt 10 nhằm góp phần ghi nhận thành tích xuất sắc thầy giáo và học sinh phổ thông đã khắc phục khó khăn để dạy toán và học toán giỏi, động viên học sinh sâu vào môn học có vai trò đặc biệt quan trọng phát triển lâu dài khoa học nước nhà Giải thưởng mang tên Lê Văn Thiêm là ghi nhận công lao Giáo sư Lê Văn Thiêm, nhà toán học lớn, người thầy đã hết lòng vì nghiệp giáo dục GIẢI THƯỞNG LÊ VĂN THIÊM 2013 - Giải nhì HSG Quốc gia 2013 - Huy chương vàng IMO 2013 Chu Thị Thu Hiền, THPT chuyên Long An Em Hiền đã vượt nhiều khó khăn, đạt thành tích học tập xuất sắc: - Lớp 10: Huy chương bạc Olympic 30-4 - Lớp 11: Huy chương vàng Olympic 304; Giải nhì HSG toàn tỉnh Long An; Giải khuyến khích HSG Quốc gia - Lớp 12: Giải HSG tỉnh Long An; Giải ba HSG Quốc gia; Giải nhì thi giải toán báo Toán học và Tuổi trẻ Hội Toán học Việt Nam định trao Giải thưởng Lê Văn Thiêm 2013 cho giáo viên và học sinh sau đây: Phạm Tuấn Huy, THPT Năng khiếu ĐHQG Tp Hồ Chí Minh GIÁO VIÊN - Huy chương vàng IMO 2013 Thầy giáo Nguyễn Văn Thông, sinh năm 1960, là giáo viên Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng Lê Quốc Tùng, THPT Chuyên Quảng Trị Một số thành tích giảng dạy: - Tham gia dạy Toán 30 năm, đó dạy Chuyên Toán 18 năm - Cùng với tổ toán trường, tham gia bồi dưỡng nhiều học sinh đạt giải cao, đó có 20 học sinh đạt giải học sinh giỏi (HSG) cấp quốc gia, em đạt huy chương thi Toán quốc tế (IMO); nhiều học sinh đạt Huy chương vàng thi 30-4 - Có nhiều bài viết chuyên đề các hội thảo giảng dạy toán - 22 năm là giáo viên dạy giỏi và chiến sĩ thi đua - Danh hiệu Nhà giáo ưu tú (2008) HỌC SINH Võ Anh Đức, THPT Chuyên Hà Tĩnh, là sinh viên Khoa ToánTin học, ĐH Bách khoa Hà Nội - Giải nhì HSG Quốc gia 2012 - Giải HSG Quốc gia 2013 - Lớp 10: Huy chương Bạc môn Toán thi HSG Đồng Bắc Bộ - Lớp 11: Giải ba HSG Quốc gia - Lớp 12: Giải HSG Quốc gia Lễ trao giải đã tổ chức Gặp mặt đầu xuân Hội Toán học Việt Nam Hà Nội, ngày 22/2/2014 Đến dự và tham gia trao giải có nhiều nhà toán học, nhiều thầy cô giáo, đó có Giáo sư Đào Trọng Thi, Chủ nhiệm Ủy ban Văn hóa giáo dục - Thanh thiếu niên nhi đồng Quốc Hội, Giáo sư Trần Văn Nhung, Tổng thư ký HĐCDGSNN, nguyên Thứ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo; các Giáo sư Chủ tịch và nguyên chủ tịch Hội Toán học Việt Nam: Đỗ Long Vân, Phạm Thế Long, Lê Tuấn Hoa, Nguyễn Hữu Dư Hai em Chu Thị Thu Hiền và Phạm Tuấn Huy không có điều kiện tham dự gặp mặt Hà Nội trao giải buổi lễ tiến hành Tp Hồ Chí Minh 11 Toán học giúp định vị máy bay MH370 Hà Trung “Làm nào mà toán học có thể xác định đó đã chết“ là tít bài báo trên trang mạng SLATE, còn hãng thông tin CNN thì chạy tít “Làm nào mà tính toán ‘đột phá’ tìm thấy đường máy bay MH370” Đó là máy bay Hãng hàng không Malaysia tích ngày 8/3 cùng với 239 hành khách và nhân viên phục vụ Từ lúc đó trở đã có không nhiêu đoán số phận máy bay Tất đã chấm dứt ngày 24/3 Thủ tướng Malaysia tuyên bố máy bay MH370 đã rơi vùng biển phía nam Ấn Độ Dương và không sống sót Ngay người ta đặt câu hỏi là làm nào mà ông Thủ tướng Malaysia có thể khẳng định chưa tìm thấy mảnh vỡ nào máy bay Ai biết toàn liên lạc máy bay và mặt đất đã bị ngắt và các đa quân Malaysia cho biết là máy bay đã đổi hướng sau tín hiệu Sau đó là khoảng trống mênh mông và người ta không có dấu vết nào máy bay ngoài tín hiệu “ping” vô cùng bé nhỏ phát từ thiết bị radio trên máy bay trả lời tín hiệu thăm hỏi vệ tinh hãng INMARSAT Cứ tiếng lần vệ tinh hãng truyền tin INMARSAT truyền tín hiệu “ping” đến các thiết bị hệ thống và các thiết bị này phát tín hiệu trả lời Mục đích để kiểm tra thông suốt hệ thống Máy bay MH370 có thiết bị radio thuộc hệ thống INMARSAT Vì chuyện này không có gì quan trọng nên các phi công không biết thiết bị này trên máy bay tự động trả lời tín hiệu thăm hỏi vệ tinh Tín hiệu “ping” trả lời đầu tiên là sau máy bay liên lạc với mặt đất Tín hiệu “ping” trả lời cuối cùng là tín hiệu thứ tám Như là máy bay còn bay gần bảy đồng hồ sau đó Câu hỏi là nó bay đâu Rất tiếc là các tín hiệu này không cho biết vị trí máy bay Tuy nhiên người ta có thể dùng nó để xác định đường máy bay 370 các phương pháp toán học Đây thật là phát kiến CNN đã đưa tin Trước tiên, người ta biết khoảng thời gian từ lúc vệ tinh phát tín hiệu thăm hỏi lúc nhận tín hiệu trả lời từ máy bay Người ta biết giây thì tín hiệu radio bao xa Với liệu này người ta tính khoảng cách từ vệ tinh đến máy bay thời điểm nhận tín hiệu “ping” Vì người ta biết máy bay nằm trên cung tròn với tâm là vệ tinh và bán kính là khoảng cách tính được, không biết vị trí nào và nó bay theo phương nào Sau người ta lại phát hướng máy bay có thể dự đoán từ tần số tín hiệu Điều này giống ta nghe tiếng còi tàu mà có thể đoán tàu từ đâu đến Lý là âm (chính xác là sóng âm) bị nén lại hay nở tàu chuyển động đến gần xa chỗ đứng ta Tai ta có thể nhận biết biến đổi âm này và nhờ đó mà ta biết 12 hướng tàu chạy Trong Vật lý tượng này gọi là Hiệu ứng Doppler Dựa theo các nguyên lý trên, các nhân viên hãng INMARSAT đã lập nên thuật toán cho phép tính toán đường bay máy bay MH370 Thuật toán đã các chuyên gia hàng không thẩm định và thử nghiệm Khi chạy thuật toán này người ta thấy máy bay có thể rơi vùng biển phía nam Ấn Độ Dương, địa điểm mà các máy bay và vệ tinh tập trung tìm kiếm các mảnh vỡ Nơi này không có đất liền cho máy bay đậu nên Thủ tướng Malaysia có thể kết luận là không còn trên máy bay này sống sót sau hai tuần tích Đó chính là lý mà trang mạng SLATE chạy tít “Làm nào mà toán học có thể xác định đó đã chết” (Tổng hợp từ Internet) Lời khuyên cho nhà toán học trẻ Béla Bollobás(1) Hardy đã viết: “Không có địa vị lâu bền nào trên giới dành cho thứ toán học thô kệch”(2); tương tự vậy, tôi tin không có nơi nào trên giới dành cho nhà toán học thiếu nhiệt tình, chai lì Chỉ nên làm toán bạn đam mê nó, bạn làm toán chí dù phải tìm thời gian cho nó sau ngày vật lộn với nghề khác Như thơ và âm nhạc, toán học không phải nghề mà là nghiệp Khẩu vị giữ vị trí số Có điều kỳ diệu toán học là dường tất người trí với nào là toán học tốt Bạn nên làm việc lĩnh vực quan trọng và không dễ dàng khô cạn thời gian dài, nên làm việc với bài toán đẹp và quan trọng: lĩnh vực tốt có nhiều vấn đề thế, không phải có nhúm bài toán tiếng Hơn nữa, luôn nhắm đích quá cao bạn nhiều thời gian bế tắc: việc này có thể chấp nhận giai đoạn nào đó đời, tốt là nên tránh lúc bắt đầu nghiệp Hướng tới cân các hoạt động toán học: nghiên cứu nên và phải là ưu tiên hàng đầu với nhà toán học thực thụ, bên cạnh đó, nên đọc thật nhiều và giảng dạy cho tốt Luôn hứng thú với toán học tất các trình độ, bạn (hầu như) không nhận lợi ích gì (1)Nhà toán học Anh gốc Hungary Sinh năm 1943, ông là tác giả 350 bài báo khoa học và sách chuyên khảo Với các công trình tiêu biểu ngành tổ hợp, năm 2011 Bollobás bầu là hội viên Hội Hoàng gia, danh hiệu cao quý nước Anh cho nhà khoa học (ND) (2)G H Hardy, Lời xin lỗi nhà toán học; xem thêm dịch hoàn thành Nguyễn Ngọc Sơn, Trần Võ Thành và BBT Diễn đàn toán học http://diendantoanhoc.net/home/lịch-sử-toán-học/ 13 cho việc nghiên cứu Nên xem việc giảng dạy là nguồn cảm hứng là gánh nặng chúng không làm ảnh hưởng đến mức độ tiến triển bạn các bài toán thực thụ Khác với việc viết bài, đừng để (2) Ở mức độ thấp nữa, có bài toán không hẳn là vấn đề nghiên cứu nghiên cứu trở thành việc tẻ nhạt: (hoặc đã là vấn đề nghiên cứu hãy chọn vấn đề nào mà bạn thấy quá khứ) còn sức hấp khó có thể dừng nghĩ chúng Do đó dẫn, và giải chúng biết cách lôi chính mình vào các bài là việc thú vị: công việc này toán luôn tốt là làm nghiên cứu mang lại sảng khoái và tăng cường thể bị ép buộc Ở giai đoạn khởi nghiệp, khả sáng tạo bạn là nghiên cứu sinh, bạn nên nhờ thầy hướng dẫn có kinh nghiệm đánh giá các vấn đề bạn đã phát và thấy yêu thích, thay vì làm vấn đề Hãy kiên nhẫn và bền bỉ Khi nghĩ thầy giao cho, nó có thể không vấn đề nào đó, có lẽ cách hữu hiệu hợp với vị bạn Trên hết, thầy là luôn để bài toán tâm trí hướng dẫn cần phải ý thức tương lúc nào: Newton đã thành công cách đối rõ ràng liệu bài toán nào đó có đó, và nhiều người khác Hãy đáng để theo đuổi không, ông cho thân mình thời gian, đặc biệt chưa biết rõ sức mạnh và vị bạn công bài toán lớn; tự hứa với Về sau này, không còn phụ thuộc vào mình dành lượng thời gian thầy hướng dẫn nữa, bạn thường định cho bài toán lớn mà không kỳ tìm thấy cảm hứng thông qua trao đổi với vọng quá nhiều, sau đó tổng kết lại tình đồng nghiệp gần gũi và định phải làm gì Tôi thực lòng khuyên bạn nên thường trực có đầu bài toán thuộc hai loại sau để làm việc: (1) Một “giấc mơ”: bài toán lớn mà bạn muốn giải, không có lý để có thể tin mình làm (2) Một vài vấn đề khá quan trọng bạn thấy có nhiều khả giải được, miễn là có đủ thời gian, nỗ lực, và may mắn Ngoài ra, có hai loại bài toán khác bạn có thể cân nhắc, không quan trọng các vấn đề thuộc hai loại trước (1) Đôi khi, nên làm việc với bài toán tầm thấp mà bạn có thể chắn giải tương đối nhanh, thời gian dành cho Dành cho cách tiếp cận mình hội, đừng để bị trói buộc vào nó đến mức bỏ lỡ hướng công khác Hãy tư mềm dẻo: nói theo cách Paul Erdös, luôn giữ đầu óc mở Đừng ngại mắc sai lầm Sai lầm kỳ thủ là dấu chấm hết; nhà toán học, sai lầm là phần chơi Điều bạn nên lo sợ là tờ giấy trắng nằm im lìm trước mặt sau bạn đã nghĩ bài toán thời gian dài Nếu sau hồi suy nghĩ, thùng đựng rác bạn chứa đầy dấu tích thử nghiệm không thành, có thể bạn làm việc tốt Tránh lối tiếp cận dềnh dàng, ngược lại, hãy luôn vui vẻ lao vào công việc Cụ thể hơn, giải trường hợp đơn giản bài toán gây phí phạm thời gian và lại có thể hữu ích 14 Khi đã dành lượng thời gian đáng kể cho vấn đề, bạn dễ đánh giá quá thấp tiến đã đạt được, và bạn dễ đánh giá quá cao khả nhớ tất thứ Tốt viết các kết bạn, dù chúng hãy còn cục bộ: nhiều khả sau này cái bạn viết giúp tiết kiệm nhiều thời gian GS Noga Alon (trái) và GS Béla Bollobás (phải) Viện Nghiên cứu Toán Oberwolfach (MFO) năm 2009 Nguồn: Internet Nếu may mắn tạo đột phá, bạn dễ thấy hứng thú với kế hoạch thực và muốn dừng lại trên đỉnh vinh quang Hãy chống lại cám dỗ này và nhìn xem đột phá bạn tạo còn có thể mang lại điều gì Khi còn là nhà toán học trẻ, lợi chính bạn là có nhiều thời gian dành cho nghiên cứu Bạn có thể không nhận điều đó, khó có khả bạn lại có nhiều thời gian thuở ban đầu Ai cảm thấy không có đủ thời gian để làm toán, năm tháng qua cảm giác này ngày càng trở nên rõ rệt hơn, ngày càng trở nên chính xác Về việc đọc, người trẻ tuổi yếu hàm lượng toán học đã đọc, nên để bù đắp lại, hãy đọc đến mức nhiều có thể, lĩnh vực lớn bạn lẫn toán học nói chung Trong lĩnh vực nghiên cứu mình, hãy đảm bảo bạn đọc nhiều công trình tác giả xuất sắc Những công trình này thường không gọt dũa đến mức tối đa, chất lượng ý tưởng và các kết tưởng thưởng cho nỗ lực bạn quá trình đọc Dù bạn có đọc gì nữa, hãy giữ chủ động: cố gắng đoán trước điều tác giả làm và thử nghĩ tiếp cận tốt Nếu tác giả theo đường bạn có đầu, đó là niềm vui, và tác giả chọn đường khác, bạn có thể đọc tiếp để hiểu lý Đặt cho thân mình câu hỏi các kết và chứng minh, chúng có vẻ dễ hiểu: đó là việc có tác động sâu sắc đến hiểu biết bạn Mặt khác, không cần phải đọc tất thứ vấn đề mở mà bạn định công: đã nghĩ sâu nó và dường lâm vào bế tắc, bạn có thể (và nên) đọc thử nghiệm bất thành người khác Hãy giữ khả ngạc nhiên, đừng cho các tượng là bắt buộc phải thế, hãy cảm nhận các kết và ý tưởng bạn đọc Bạn dễ lầm tưởng mình hiểu tất thứ: mình đã đọc xong chứng minh hay sao? Những người xuất chúng thường đầu tư lượng thời gian đáng kể để tiêu hóa ý tưởng lạ Với họ, biết tập hợp các định lý và hiểu cách chứng minh chúng thôi chưa đủ: họ muốn cảm thấy chúng máu Khi nghiệp thân tiến triển, hãy luôn giữ đầu óc mở với ý tưởng và hướng mới: các lãnh thổ toán học luôn thay đổi theo thời gian, và có thể chính bạn phải thay đổi để không bị rớt lại phía sau Luôn mài sắc các công cụ mình và học thêm công cụ 15 Trên hết, hãy thưởng thức và nhiệt tình với toán học Thưởng thức thú nghiên cứu, sẵn sàng để đọc kết mới, nuôi dưỡng tình yêu toán học người khác, giải trí toán học nghỉ ngơi với vấn đề nho nhỏ lý thú bạn bắt gặp hay đồng nghiệp giới thiệu Nếu muốn tổng kết lại lời khuyên cho tất chúng ta để thành công khoa học và nghệ thuật, khó có gì tốt là nhắc lại câu Vitruvius(3) đã viết hai nghìn năm trước: Vì khiếu không trải qua đào luyện lẫn trải qua việc đào luyện mà không có khiếu không thể tạo nên nghệ sĩ hoàn hảo Người dịch: Nguyễn Đăng Hợp (Viện Toán học và ĐH Genoa, Ý) Nguồn: Mục “Lời khuyên cho nhà toán học trẻ” Cẩm nang toán học Princeton, Timothy Gowers, June Barrow-Green, Imre Leader (biên tập), NXB ĐH Princeton 2008 George Bernard Dantzig Trần Tất Đạt (Viện Max Planck - Leipzig, CHLB Đức) George Bernard Dantzig (08/11/1914 - 13/05/2005) là nhà toán học người Mỹ, biết đến cha đẻ Quy hoạch tuyến tính và người phát minh Phương pháp đơn hình Ông có nhiều đóng góp quan trọng Vận trù học, Khoa học Máy tính, Kinh tế và Thống kê Được sinh Portland, Oregon, Dantzig đặt theo tên nhà văn người Ailen, George Bernard Shaw, với kỳ vọng cha mẹ là ông trở thành nhà văn Mong ước này đã không thành thực mặc dù đời ông đã có lần háo hức để viết tiểu thuyết Trước vào trung học, Dantzig đã đam mê với Hình học, đặc biệt là Hình học xạ ảnh, ảnh hưởng từ cha ông, Tobias Dantzig, nhà toán học và ngôn ngữ học người Mỹ - sinh Latvian (từng là học trò Henri Poincaré) Dantzig nhận cử nhân Toán và Vật lý từ Đại học Maryland năm 1936 và thạc sỹ Toán Đại học Michigan năm 1937 Sau đó ông chuyển đến Washington và làm việc Cục Thống kê Lao động hai năm Năm 1939, ông bắt đầu làm nghiên cứu sinh Thống kê ĐH California Berkeley, Mỹ, hướng dẫn nhà toán học Jerzy Neyman Một câu chuyện (3)Marcus Vitruvius Pollio, sinh vào khoảng 80-70 TCN, vào khoảng 15 TCN, là kiến trúc sư, kỹ sư người La Mã Ông là tác giả sách tiếng Kiến trúc luận (Da Architectura) 16 thú vị đã xảy và trở thành huyền thoại giới toán học Một hôm ông đến muộn để dự bài giảng Thống kê Neyman, thấy hai bài toán ghi trên bảng ông ngỡ là các bài tập nhà Ông chép chúng, mang nhà và đã cố gắng giải chúng sau vài ngày Ông đã nghĩ rằng: “Các bài toán này dường khó chút so với bình thường” Vào sáng Chủ nhật sáu tuần sau đó, Neyman đã hào hứng thông báo với ông là các vấn đề mà ông đã giải chính là hai số các bài toán tiếng mà chưa có lời giải Thống kê, và ông ta đã chuẩn bị giúp Dantzig xuất hai chứng minh đó Chứng minh bài toán còn lại xuất sau đó cùng với Abraham Wald vào năm 1951 Cả hai bài toán sau đó đã trở thành hai phần độc lập luận án tiến sỹ ông Chiến tranh Thế giới thứ hai bùng nổ, từ năm 1941 đến 1946 Dantzig tạm dừng chương trình nghiên cứu sinh để đứng đầu chi nhánh Phân tích chiến đấu Văn phòng Điều khiển Thống kê Không quân Hoa Kỳ Chính đây ông đã phát mô hình toán học cho Quy hoạch tuyến tính Năm 1946, ông quay lại Berkeley để hoàn thành nốt chương trình nghiên cứu sinh và nhận tiến sỹ năm đó Mặc dù Berkeley mời ông lại làm việc ông đã trở Washington, nơi ông trở thành cố vấn toán Bộ Quốc phòng Mỹ với nhiệm vụ giới hóa quá trình lập kế hoạch Tại đó ông đã phát minh Thuật toán đơn hình Năm 1952, Dantzig tham gia vào Bộ môn Toán công ty RAND Ở đó, ông tiếp tục tăng cường sức mạnh tính toán Quy hoạch tuyến tính và mở rộng các ứng dụng nó Năm 1960, muốn tìm kiếm người kế nhiệm, ông rời RAND để quay ĐH California Berkeley làm giáo sư Khoa Kỹ thuật công nghiệp Ở đó ông thành lập và làm giám đốc Trung tâm Vận trù học Năm 1963, ông xuất sách “Linear Programming and Extensions” (Quy hoạch tuyến tính và các mở rộng), sau này trở thành “kinh thánh” Quy hoạch tuyến tính Năm 1966, ông chuyển đến Đại học Stanford làm giáo sư Vận trù học và Khoa học máy tính Năm 1973, ông thành lập Phòng thí nghiệm Tối ưu hóa hệ thống (SOL) Ông lãnh đạo nhóm Phương pháp luận Viện quốc tế Phân tích hệ thống ứng dụng (IIASA) Laxenburg, Áo Sau đó, ông nhận ghế giáo sư C.A Criley Khoa học vận tải và làm việc Stanford năm 1995 nghỉ hưu Dantzig là thành viên Viện hàn lâm Khoa học, Viện hàn lâm Kỹ thuật và Viện hàn lâm Nghệ thuật và Khoa học Mỹ Ông nhận nhiều giải thưởng và danh hiệu, đó có giải thưởng Lý thuyết John von Neumann (1974), Huy chương Khoa học Quốc gia Mỹ (1975), tiến sĩ danh dự trường ĐH Maryland (1976) Năm 1979, cộng đồng Quy hoạch toán học và Hội Toán học ứng dụng và công nghiệp (SIAM) đã vinh danh ông cách lập giải thưởng George B Dantzig Dantzig qua đời vào ngày 13/5/2005 nhà riêng Stanford, California, biến chứng bệnh tiểu đường và bệnh tim mạch Ông thọ 91 tuổi 17 Tin tức hội viên và hoạt động toán học LTS: Để tăng cường hiểu biết lẫn cộng đồng các nhà toán học Việt Nam, Tòa soạn mong nhận nhiều thông tin từ các hội viên HTHVN chính thân, quan đồng nghiệp mình Gặp mặt đầu xuân và Du xuân Giáp Ngọ 2014 Như thường lệ, đầu xuân Giáp Ngọ 2014 Hội Toán học Việt Nam lại tổ chức gặp mặt và du xuân cùng các hội viên khu vực Hà Nội và vùng lân cận Buổi gặp mặt đầu xuân và du xuân năm tổ chức vào ngày thứ Bảy 22/2/2014 (tức ngày 23 tháng Giêng năm Giáp Ngọ) với chút thay đổi so với các năm trước Các hội viên đã cùng gặp gỡ Viện Toán học - Viện hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, nghe thông tin số hoạt động Hội năm 2013, chứng kiến lễ trao giải thưởng Lê Văn Thiêm cho số giáo viên, học sinh trung học phổ thông và lễ trao Giải thưởng Viện Toán học Sau lễ trao thưởng, các hội viên đã có buổi giao lưu tiệc trà đầm ấm và vui vẻ, với có mặt trên 180 hội viên nhiều hệ các nhà toán học, từ nhà toán học lão thành, các hội viên kỳ cựu, các cựu chủ tịch và lãnh đạo hội qua các thời kỳ cùng nhiều nhà toán học trẻ Cuộc du xuân tổ chức sau đó tới hai trung tâm Phật giáo tiếng vùng Kinh Bắc là chùa Vĩnh Nghiêm - nơi phát tích Tam tổ phái Thiền Trúc Lâm Phật giáo Việt Nam, danh với mộc kinh Phật có từ 700 năm nay, và chùa Bút Tháp - di tích quốc gia đặc biệt xếp hạng từ năm 1962 - tiếng với các kiến trúc đá, tháp Cửu phẩm liên hoa và đặc biệt là tượng Quan Thế Âm nghìn mắt nghìn tay, kiệt tác tạc dựng từ kỷ 17 Buổi gặp mặt và du xuân tới vùng đất với di tích có nhiều giá trị lịch sử và nghệ thuật, tiết mưa xuân lất phất, đã mang tới cho các hội viên nhiều cảm xúc đặc biệt, hứa hẹn năm 2014 tràn đầy sức sống Các giáo sư là lãnh đạo Hội Toán học các thời kỳ chụp ảnh cùng các thầy giáo và học sinh nhận giải thưởng Lê Văn Thiêm năm 2013 Nguồn: Viện Toán học 18 Hội thảo hàng năm 2014 Viện Nghiên cứu cao cấp Toán (VIASM Annual Meeting 2014) tổ chức Viện NCCCT vào ngày 26/7/2014 Đây là hoạt động chính quy Viện tổ chức năm lần theo mô hình seminar Bourbaki Viện NCCCT mời các nhà khoa học có uy tín trên giới tới đọc các bài giảng số hướng nghiên cứu trung tâm toán học đại Các bài giảng mang đến cho người nghe thông tin vấn đề quan tâm chuyên ngành hẹp họ ý tưởng và kết Các bài giảng sau đó đăng trên số đặc biệt tạp chí Acta Mathematica Vietnamica Năm nay, các nhà toán học sau đã nhận lời đọc bài giảng hội thảo: Louis H Y Chen, Đại học Quốc gia Singapore, Singapore Endre Szemerédi, Đại học Rutgers, Mỹ Giáo sư Szemerédi là người nhận giải thưởng Abel năm 2012 Vũ Hà Văn, Đại học Yale, Mỹ Michael Vogelius, Đại học Rutgers, Mỹ Thông tin thêm hội thảo có thể tìm thấy địa http://viasm.edu.vn/hdkh/am2014 Giải thưởng Viện Toán học năm 2013 đã trao cho hai nhà toán học trẻ có thành tích xuất sắc là PGS TS Phạm Hoàng Hiệp, Trường ĐH Sư phạm Hà Nội, và TS Lê Quang Nẫm, Viện Toán học, Viện hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam PGS TS Phạm Hoàng Hiệp sinh năm 1982, làm việc Khoa ToánTin Trường ĐH Sư phạm Hà Nội Tốt nghiệp ĐH Sư phạm Hà Nội năm 2004, anh bảo vệ tiến sỹ năm 2008 Đại học Umea, Thụy Điển Năm 2011, anh phong chức danh phó giáo sư tuổi 29 và là phó giáo sư trẻ Việt Nam phong năm đó Hướng nghiên cứu chính anh là hàm nhiều biến phức và lý thuyết đa vị PGS Phạm Hoàng Hiệp đã công bố trên 30 bài báo khoa học đó số bài đăng tạp chí có chất lượng cao Acta Mathematica, Advances in Mathematics, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Transactions of the AMS TS Lê Quang Nẫm sinh năm 1980, là cán Phòng Phương trình vi phân, Viện Toán học, Viện hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam Tốt nghiệp Đại học KHTN Tp Hồ Chí Minh năm 2002, năm 2008 anh bảo vệ luận án tiến sỹ Viện các khoa học Toán Courant, ĐH New York, Mỹ Anh quan tâm đến nhiều lĩnh vực bao gồm Giải tích, Hình học, Phương trình đạo hàm riêng Hiện TS Lê Quang Nẫm đã công bố trên 20 bài báo khoa học, số đăng tập chí có chất lượng cao Archive for Rational Mechanics and Analysis, Journal of Functional Analysis, Annales de l’Institut Henri Poincaré, Mathematische Annalen Phạm Hoàng Hiệp (trái) và Lê Quang Nẫm (phải) Nguồn: Viện Toán học Giải thưởng Viện Toán học thành lập năm 1982 dành cho các cán nghiên cứu toán không quá 35 tuổi với tên gọi Giải thưởng "Công trình nghiên cứu khoa học cán trẻ" Giải thưởng này 19 sau đổi tên là "Giải thưởng khoa học cho cán trẻ", và là "Giải thưởng Viện Toán học", trao cho các nhà toán học có thành tích xuất sắc làm việc Việt Nam và có tuổi đời không quá 40 tuổi PGS Tạ Thị Hoài An đã bảo vệ thành công luận án tiến sỹ khoa học đại học Blaise Pascal, ClermontFerrand, Pháp, ngày 21/2/2014 với luận án mang tên "Value Distribution Theory, Functional Equations, and Hyperbolicity" Theo nhiều nguồn thông tin, chị là nữ tiến sỹ thứ hai Việt Nam bảo vệ thành công luận án tiến sỹ khoa học ngành Toán học PGS TSKH Tạ Thị Hoài An công tác Viện Toán học, chị bảo vệ luận án tiến sỹ năm 2001 Đại học Vinh hướng dẫn GS TSKH Hà Huy Khoái, và phong học hàm phó giáo sư năm 2009 Viện Toán học Từ 2001-2004 chị nhận học bổng sau tiến sỹ Viện Toán, Academia Sinica, Đài Loan Chị trao Giải thưởng Viện Toán học năm 2007, năm 2008 chị nhận học bổng nghiên cứu Quỹ Humboldt, CHLB Đức Hướng nghiên cứu chính PGS TSKH Tạ Thị Hoài An là Lý thuyết số đại số, Lý thuyết phân bố giá trị (Value Distribution Theory) và Hình học đại số Mục Tin tức hội viên và hoạt động toán học số này thực với cộng tác PGS TSKH Nguyễn Minh Trí (Viện Toán học) Tin toán học giới Trung tâm quốc tế Toán học lý thuyết và ứng dụng CIMPA vừa thông báo việc tuyển chọn các đề án nghiên cứu tổ chức hoạt động khoa học năm 2016 Thông tin chi tiết có thể xem địa www.cimpa-icpam.org/spip.php?article124 CIMPA là tổ chức thuộc UNESCO có trụ sở Nice, Pháp Hàng năm trung tâm này tài trợ nhiều hoạt động nghiên cứu, hội nghị, khóa học ngắn hạn khắp nơi trên giới Tại Việt Nam có nhiều quan đã tổ chức thành công các trường và hội nghị CIMPA tài trợ Giải thưởng Abel năm trao cho Yakov G Sinai, nhà toán học người Nga, giáo sư toán ĐH Princeton và đồng thời là nghiên cứu viên cao cấp Viện Vật lý lý thuyết Landau thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Nga cho "những đóng góp mang tính tảng ông các lĩnh vực hệ động lực, lý thuyết ergodic, và vật lý toán Sinai sinh ngày 21 tháng năm 1935 và là học trò A Kolmogorov Ông đánh giá là số nhà toán học có ảnh hưởng Thế kỉ 20 Ông đã đạt nhiều kết mang tính đột phá các lý thuyết hệ động lực, vật lý toán và lý thuyết xác suất Nhiều kết toán học mang tên ông, bao gồm entropy Kolmogorov-Sinai, billiard Sinai, du động ngẫu nhiên Sinai, độ đo Sinai-Ruelle-Bowen, và lý thuyết Pirogov-Sinai Sinai đặc biệt kính trọng hai cộng đồng toán học và vật lý và xem là người có đóng góp chính việc kết nối giới 20 các hệ (động lực ) tất định và giới các hệ (ngẫu nhiên) xác suất với Trong nghiệp khoa học mình Sinai đã viết 250 bài báo và nhiều sách, đã hướng dẫn 50 nghiên cứu sinh Nhờ vào các đóng góp sâu sắc mình vào thời đầu nghiệp, Sinai đã mời đọc báo cáo Đại hội Toán học giới năm 1962 Stockholm, Thụy Điển, và sau đó thêm lần Trước trao Giải thưởng Abel, Sinai đã nhận nhiều giải thưởng toán học cao quý khác, số đó gồm Giải thưởng Steele cho thành tựu trọn đời Hội toán học Mỹ (2013), Giải thưởng Wolf (1997), Giải thưởng Nemmers (2002), Giải thưởng Henry Poincaré Hội Vật lý Toán (2009) Người nhận giải thưởng Wolf năm 2014 mục Toán học công bố là Peter Sarnak, giáo sư Viện Nghiên cứu cao cấp IAS Princeton và ĐH Princeton, Mỹ Được miêu tả là nhà toán học có phổ hiểu biết rộng lớn và tầm nhìn sâu rộng, Peter Sarnak ảnh hưởng đến phát triển số lĩnh vực toán học, thường cách phát kết nối bất ngờ và sâu sắc Trong lời giới thiệu quỹ Wolf, hiểu biết mình và luôn sẵn sàng chia sẻ các ý tưởng, ông đã truyền cảm hứng cho các sinh viên các đồng nghiệp nhiều lĩnh vực khác Peter Sarnak sinh ngày 18/12/1953 Nam Phi Ông bảo vệ luận án tiến sỹ đại học Stanford, Mỹ, năm 1980 hướng dẫn nhà toán học tiếng Paul Cohen (người chứng minh độc lập giả thuyết continuum) Ngoài giải thưởng Wolf, ông đã nhận nhiều giải thưởng và danh hiệu khác Gerd Faltings trao giải thưởng quốc tế King Faisal 2014 mục Khoa học vì đóng góp sâu sắc ông cho các lĩnh vực hình học đại số và lý thuyết số Faltings là giám đốc Viện Toán Max Planck Bonn đồng thời là giáo sư ĐH Bonn, CHLB Đức Ông nhận Huy chương Fields năm 1986 Giải thưởng Faisal trao gồm giấy chứng nhận viết tiếng Ả Rập cùng với huy chương vàng 24 carat thiết kế cho lần trao và khoản tiền mặt 750,000 riyal tiền Ả Rập Saudi (khoảng 200.000USD) Đố vui: Đây là ai? Người ảnh bìa kỳ này là ai? Giải thưởng 300.000 đồng Thông tin Toán học tặng cho độc giả gửi câu trả lời chính xác tên nhà khoa học này cùng bài viết hay nhất, không quá 500 từ ông Tên người đoạt giải và bài viết đăng số TTTH Câu trả lời và bài viết xin gửi ttth@vms.org.vn trước ngày 15/6/2014 Giải đố kỳ trước: Người ảnh bìa Tập 17 Số là nhà toán học George Bernard Dantzig (8/11/1914 - 13/5/2005) Chúc mừng người nhận giải thưởng giải câu đố kỳ trước là Trần Tất Đạt (Viện Max Planck - Leipzig, CHLB Đức) (xem bài trang 15) 21 Dành cho các bạn trẻ LTS: "Dành cho các bạn trẻ" là mục dành cho Sinh viên, Học sinh và tất các bạn trẻ yêu Toán Tòa soạn mong nhận các bài viết bài dịch có giá trị cho chuyên mục ĐỒ THỊ: TÍNH CHẴN LẺ VÀ CHU TRÌNH EULER Phan Thị Hà Dương (Viện Toán học) tập các cạnh 𝐸 đó cạnh ứng với hai đỉnh (không thiết phân biệt) gọi là các đầu mút cạnh Có thể vẽ hình trên với nét vẽ (không nhấc bút khỏi tờ giấy)? GIỚI THIỆU Lý thuyết đồ thị là chuyên ngành quan trọng và phát triển mạnh mẽ Toán học đại Rất nhiều bài toán các ngành toán học cổ điển hình học, đại số, số học có thể mô hình hóa các đồ thị và có thể giải cách sử dụng các định lý lý thuyết đồ thị Việc hiểu sâu sắc các khái niệm và kết lý thuyết đồ thị có thể giúp các giáo viên và học sinh xây dựng và giải lớp các bài toán có thể phát biểu khác có cùng chất đồ thị Trong bài viết này, chúng tôi đề cập đến chuyên đề lý thuyết đồ thị: chu trình Euler và tính chẵn lẻ đồ thị MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 2.1 Đồ thị, bậc Định nghĩa 2.1 Một đồ thị là cặp 𝐺 = (𝑉, 𝐸) gồm tập các đỉnh 𝑉 , Khi ta không phân biệt thứ tự các đầu mút các cạnh, đồ thị gọi là vô hướng Ngược lại, cạnh cho tương ứng đỉnh đầu và đỉnh cuối thì đồ thị gọi là có hướng Để mô tả đồ thị đã cho, chúng ta thường biểu diễn nó hình vẽ trên mặt phẳng: đỉnh tương ứng với điểm nào đó mặt phẳng và biểu diễn cạnh đường liên tục hai đỉnh đầu mút nó a x y t c b z d G H Đồ thị có hướng và đồ thị vô hướng Nếu có cạnh (𝑎, 𝑏) thì 𝑎 và 𝑏 gọi là kề nhau, hay láng giềng nhau, cạnh (𝑎, 𝑏) và đỉnh 𝑎 (hay đỉnh 𝑏) gọi là liên thuộc với Một đỉnh không 22 có cạnh liên thuộc gọi là đỉnh cô lập Bậc đỉnh là số cạnh liên thuộc với nó Ta kí hiệu deg𝐺 (𝑎) bậc đỉnh 𝑎 đồ thị 𝐺 Nếu đồ thị 𝐺 hiểu cách rõ ràng, ta kí hiệu deg(𝑎) thay vì deg𝐺 (𝑎) Một cạnh nối đỉnh với chính nó gọi là khuyên Đồ thị đơn là đồ thị không có khuyên và hai đỉnh 𝑎, 𝑏 bất kì có nhiều là cạnh, đồ thị là vô hướng, và có nhiều cạnh xuất phát từ 𝑎 và kết thúc 𝑏 trường hợp đồ thị có hướng Đa đồ thị là đồ thị không đơn Như vậy, hai ví dụ trên đây, đồ thị có hướng là đơn còn đồ thị vô hướng là không đơn Trong bài này, chúng ta quan tâm đến các đồ thị hữu hạn, nghĩa là các đồ thị có hữu hạn đỉnh và cạnh Nếu không có ghi chú đặc biệt, thì từ ta ngầm định đồ thị là đồ thị đơn, hữu hạn Định lý 2.2 (Bổ đề bắt tay) Trong đồ thị vô hướng, tổng số bậc các đỉnh hai lần số cạnh Chứng minh Mỗi cạnh đồ thị làm tăng bậc hai đỉnh liên thuộc nó lên đơn vị, nên cạnh tính là tổng số bậc  Hệ trực tiếp hay áp dụng định lý này là Hệ 2.3 Số đỉnh bậc lẻ đồ thị là số chẵn 2.2 Đồ thị con, đồ thị cảm sinh Định nghĩa 2.4 Đồ thị 𝐻 = (𝑉 ′ , 𝐸 ′ ) đồ thị 𝐺 = (𝑉, 𝐸) là đồ thị cho tập đỉnh nó là tập tập đỉnh 𝐺 và tập cạnh nó là tập tập cạnh 𝐺 (𝑉 ′ ⊂ 𝑉, 𝐸 ′ ⊂ 𝐸) Đồ thị cảm sinh 𝐻 = (𝑉 ′ , 𝐸 ′ ) 𝐺 là đồ thị cho cạnh 𝐺 nối hai đỉnh 𝐻 là cạnh 𝐻 Ký hiệu 𝐻 = 𝐺[𝑉 ′ ] Định lý 2.5 (Gallai) Cho 𝐺 = (𝑉, 𝐸) là đồ thị vô hướng Tập đỉnh 𝑉 có thể phân hoạch thành hai tập hợp 𝑉1 và 𝑉2 cho đỉnh các đồ thị cảm sinh trên 𝑉1 và 𝑉2 có bậc chẵn Chứng minh Chứng minh quy nạp theo số đỉnh đồ thị Trường hợp đồ thị có đỉnh là tầm thường Giả sử kết luận đúng với đồ thị có ít 𝑛 đỉnh Xét đồ thị 𝐺 có 𝑛 đỉnh Nếu tất các đỉnh 𝑉 có bậc chẵn Khi đó lấy 𝑉1 = 𝑉 Nếu có đỉnh 𝑎 bậc lẻ Gọi 𝑆 là tập các đỉnh kề 𝑎 Định nghĩa đồ thị 𝐻 sau: tập đỉnh là 𝑉 (𝐻) = 𝑉 (𝐺)∖{𝑎}; tập cạnh là: (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐸(𝐻) ⇔ (𝑢, 𝑣) ∈ / 𝐸(𝐺) 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑆, và (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐸(𝐻) ⇔ (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐸(𝐺) 𝑢 𝑣 không thuộc 𝑆 Đồ thị 𝐻 có 𝑛 − đỉnh, nên theo giả thiết quy nạp, 𝑉 (𝐻) chia thành hai tập 𝑈1 và 𝑈2 có đồ thị cảm sinh 𝐻 trên đó có bậc chẵn Vì 𝑆 có lực lượng lẻ, nên có thể giả sử 𝑆 ∩ 𝑈1 chẵn và 𝑆 ∩ 𝑈2 lẻ Ta lấy 𝑉1 = 𝑈1 ∪ {𝑎}, 𝑉2 = 𝑈2 Ta chứng minh 𝑉1 và 𝑉2 là hai tập cần tìm Thật vậy, xét 𝑥 ∈ 𝑉1 ∙ Nếu 𝑥 = 𝑎, đó bậc 𝑎 𝐺[𝑉1 ] = 𝑆 ∩ 𝑈1 chẵn ∙ Nếu 𝑥 ∈ / 𝑆, đó deg𝐺[𝑉1 ] (𝑥) = deg𝐻[𝑉1 ] (𝑥) là số chẵn ∙ Nếu 𝑥 ∈ 𝑆, ta có deg𝐺[𝑉1 ] (𝑥) = deg𝐺[𝑉1 ∖𝑆] (𝑥) + deg𝐺[𝑉1 ∩𝑆] (𝑥) = + deg𝐻[𝑉1 ∖𝑆] (𝑥) + |𝑉1 ∩ 𝑆| − − deg𝐻[𝑉1 ∩𝑆] (𝑥) = deg𝐻[𝑉1 ] (𝑥) + |𝑉1 ∩ 𝑆| − deg𝐻[𝑉1 ∩𝑆] (𝑥), là số chẵn Tương tự với 𝑥 ∈ 𝑉2 Vậy ta có điều phải chứng minh  23 Bài 1: Có thể xếp 27 đồng xu giống trên bàn cho đồng xu chạm vào đúng đồng khác hay không? Bài 2: Chứng minh trên trái đất này có ít hai người có cùng số bạn Bài 3: Có thể nào có nhóm 10 người, mà số bạn tương ứng người là (a) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? (b) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8? (c) 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8? Chuyên đề Một dãy 𝑛 số tự nhiên gọi là dãy bậc tồn đồ thị mà dãy các bậc các đỉnh nó dãy số đã cho Nghiên cứu các tính chất dãy bậc Khi nào thì dãy số là dãy bậc? Bài 4.: Chứng minh tập đỉnh 𝑉 đồ thị vô hướng có thể phân chia thành hai tập hợp rời 𝑉1 và 𝑉2 cho đồ thị cảm sinh trên 𝑉1 có bậc chẵn và đồ thị cảm sinh trên 𝑉2 có bậc lẻ Bài 5.: Trên trần nhà, các bóng điện phân bố các đỉnh lưới chữ nhật các hình vuông đơn vị Bóng đèn điều khiển bảng các công tắc Theo thiết kế, ấn công tắc đèn tương ứng, trạng thái bóng đèn thay đổi: từ tắt sang bật từ bật sang tắt Tuy nhiên, vì sơ xuất người thợ điện, người ta ấn công tắc, không bóng đèn tương ứng bị thay đổi trạng thái mà bóng đèn bên cạnh vậy! Ban đầu tất các bóng đèn tắt Hỏi có thể bật sáng bóng đèn trên trần hay không? Bài 2: Trong nhóm 𝑛 người thì số các người quen người có thể là 0, 1, , 𝑛 − Nhưng không thể xảy trường hợp có người không quen và người quen 𝑛 − người Từ đó suy điều phải chứng minh Bài 3: Tất các trường hợp bài không xảy Trường hợp đầu tiên không thể xảy theo lập luận bài trước Trường hợp thứ ta có thể suy luận sau Có người không quen ai, vì thể bỏ người này thì ta có tập người với số các người quen tương ứng (trong số các người đó) là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Có người quen người còn lại Nói riêng, người quen ít người đó Do đó không thể có người quen người khác Trường hợp thứ mâu thuẫn với kiện: số các người có số người quen lẻ là số chẵn Chuyên đề Bạn đọc có thể tìm hiểu thêm kết sau đây ∙ Định lý Havel-Hakimi nói dãy (𝑑1 , , 𝑑𝑛 ) (với 𝑛 ≥ và ≤ 𝑑1 ≤ 𝑑2 ≤ · · · ≤ 𝑑𝑛 ) là dãy các bậc đồ thị đơn, vô hướng và (𝑑1 − 1, 𝑑2 − 1, , 𝑑𝑑1 +1 − 1), 𝑑𝑑1 +2 , 𝑑𝑑1 +3 , , 𝑑𝑛 ) là dãy bậc ∙ Định lý Erdös-Gallai khẳng định dãy các số tự nhiên 𝑑1 , , 𝑑𝑛 là dãy các bậc đồ thị đơn vô hướng và 𝑑1 +· · ·+𝑑𝑛 là số chẵn và với 𝑘 ≤ 𝑛 − thì 𝑘 ∑︁ 𝑖=1 Hướng dẫn giải Bài 1: Xây dựng đồ thị trên tập đỉnh là 27 đồng xu và các cạnh thể mối quan hệ "2 đồng xu chạm nhau" Đồ thị đã cho không thể có tất 27 đỉnh bậc 3, là số lẻ, 𝑑𝑖 ≤ 𝑘(𝑘 − 1) + 𝑛 ∑︁ min(𝑘, 𝑑𝑗 ) 𝑗=𝑘+1 Bài 4: Lấy đỉnh 𝑂 ngoài đồ thị, nối nó với tất các đỉnh đồ thị, đồ thị 𝑇 Theo phần trước, 𝑉 (𝑇 ) phân thành hai phần 𝑊1 và 𝑊2 Nếu 𝑂 thuộc 𝑊2 ta lấy 𝑉1 = 𝑊1 , 𝑉2 = 𝑊2 ∖{𝑂} Thử lại thấy đúng 24 Bài 5: Câu trả lời là có Ta thiết lập kết tổng quát sau: Giả sử đỉnh đồ thị có cái đèn và công tắc Lúc đầu tất đèn tắt Ấn vào công tắc thay đổi trạng thái nó và các đèn các đỉnh kề nó Thế thì có thể ấn vào số công tắc cho tấ các đèn bật Xét tập hợp 𝑆 công tắc ấn vào (1 lần) Ta chứng minh tồn tập 𝑆 cho đỉnh 𝑆 nối với số chẵn các đỉnh thuộc 𝑆, và đỉnh ngoài 𝑆 nối với số lẻ các đỉnh thuộc 𝑆 Xét đồ thị 𝐺 Thêm đỉnh 𝑂 Nối 𝑂 với tất các đỉnh có bậc chẵn 𝐺 Ta đồ thị 𝐻 theo câu a), 𝑉 (𝐻) chia thành hai tập 𝑊1 và 𝑊2 có đồ thị cảm sinh 𝐻 có bậc chẵn Có thể giả sử 𝑂 ∈ 𝑊2 Khi đó lấy 𝑆 = 𝑊1 Nếu 𝑣 ∈ 𝑊1 = 𝑆, thì 𝑣 nối với số chẵn đỉnh thuộc 𝑆 Giả sử 𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺) ∩ 𝑊2 Nếu 𝑣 nối với 𝑂 𝑊2 thì đỉnh 𝑣 𝐺 có bậc chẵn Trong 𝑊2 , 𝑣 có bậc chẵn (kể cạnh nối với 𝑂, 𝑣 nối với số lẻ đỉnh 𝑊2 , và đó với số lẻ đỉnh 𝑆 Tương tự cho 𝑣 không nối với 𝑂 Ta có điều phải chứng minh 2.3 Đường Tính liên thông Ta có định nghĩa sau, có nghĩa cho đồ thị tổng quát: đơn hay không đơn, vô hướng hay có hướng Định nghĩa 2.6 Một đường 𝐺 = (𝑉, 𝐸) là dãy các đỉnh 𝑣0 , 𝑣1 , , 𝑣𝑘 đó (𝑣𝑖 , 𝑣𝑖+1 ) ∈ 𝐸 với 𝑖 = 0, , 𝑘 − Khi đó 𝑘 là độ dài đường đi, 𝑣0 là đỉnh đầu, 𝑣𝑘 là đỉnh cuối Một chu trình là đường mà đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng Một đồ thị gọi là liên thông từ đỉnh luôn có đường đến đỉnh khác Một thành phần liên thông đồ thị (vô hướng) là đồ thị cảm sinh liên thông cực đại đồ thị đó Như vậy, đồ thị (vô hướng) phân hoạch thành hợp rời các thành phần liên thông nó y z v x u G H a b w e c d K Nhận xét Trong các bài toán trên, để thay đổi tính chẵn lẻ bậc đỉnh đồ thị, ta có thể sử dụng hai kỹ thuật: ∙ Xét đồ thị bù Theo định nghĩa, đồ thị bù đồ thị (đơn) 𝐺 = (𝑉, 𝐸) là đồ thị 𝐺𝑐 = (𝑉, 𝐸 𝑐 ) trên cùng tập đỉnh và với 𝑎 ̸= 𝑏 ∈ 𝑉 , 𝑎 kề với 𝑏 𝐺𝑐 và 𝑎 không kề với 𝑏 𝐺 ∙ Thêm đỉnh vào đồ thị và nối đỉnh đó với đỉnh cần thay đổi tính chẵn lẻ bậc Ví dụ về: đồ thị có hướng không liên thông (G); có hướng liên thông (H); và vô hướng với hai thành phần liên thông (K) Bài 6: Cho đa diện 𝑃 với tất các mặt là tam giác Tô màu các đỉnh 𝑃 ba màu Chứng minh số các mặt có đỉnh tô màu khác là số chẵn Bài 7: Chứng minh số các đồ thị đồ thị liên thông 𝐺 mà có cùng tập đỉnh với 𝐺 và có tất các đỉnh có 25 bậc chẵn 2𝑚−𝑛+1 , với 𝑚 = |𝐸(𝐺)| và 𝑛 = |𝑉 (𝐺)| Hướng dẫn giải Bài 6: Ta gọi màu là xanh, đỏ, vàng Gọi 𝑒, 𝑓 tương ứng là số các cạnh đa diện 𝑃 Do mặt có cạnh nên 2𝑒 = 3𝑓 : (vế phải đếm số cạnh 𝑃 , cạnh tính đúng lần.) Gọi 𝑓1 là số các mặt với đỉnh tô màu phân biệt và 𝑓2 là số các mặt còn lại Như 𝑓1 + 𝑓2 = 𝑓 Chú ý rằng, mặt với đỉnh có màu phân biệt, số cạnh xanh-đỏ 1, trong mặt với đỉnh tô ≤ màu, số các cạnh xanhđỏ Nói cách khác, vế phải đẳng thức 2𝑒 = 3𝑓1 + 3𝑓2 , mặt số 𝑓1 mặt màu đóng góp cạnh xanh-đỏ còn mặt 𝑓2 mặt còn lại đóng góp cạnh xanh đỏ Nhưng hiển nhiên số các cạnh xanh-đỏ vế trái là số chẵn Từ đó suy 𝑓1 ≡ (mod 2) Bài 7: Ta gọi đồ thị là tốt nó có cùng tập đỉnh với đồ thị đã cho và cho tất các đỉnh có bậc chẵn Trước hết, qui nạp theo số đỉnh, ta dễ dàng đồ thị liên thông trên 𝑛 đỉnh có ít 𝑛 − cạnh (trong trường hợp có đúng 𝑛 − cạnh thì đồ thị gọi là cây) Hơn nữa, với đồ thị liên thông trên 𝑛 đỉnh và 𝑛 − cạnh, dựa vào bổ đề bắt tay, ta dễ dàng luôn luôn tồn đỉnh bậc Rõ ràng rằng, với đồ thị vậy, bỏ đỉnh bậc cho ta đồ thị liên thông trên 𝑛 − đỉnh với 𝑛 − cạnh Ta chú ý rằng, qui nạp, ta có thể đồ thi liên thông trên 𝑛 ≥ đỉnh và 𝑚 ≥ 𝑛 cạnh luôn có chu trình Ta chứng minh khẳng định bài toán theo quy nạp theo số cạnh 𝑚 các đồ thị liên thông Xét trường hợp 𝐺 liên thông với 𝑛 đỉnh và 𝑚 = 𝑛 − cạnh Ta dễ dàng 𝐺 có đồ thị tốt, đó chính là đồ thị trên tập đỉnh 𝐺 và bỏ tất các cạnh 𝐺 Thật vậy, giả sử 𝐻 là đồ thị tốt 𝐺 Ta biết 𝐺 có đỉnh bậc 1, chẳng hạn 𝑎 Dễ thấy, cạnh với đầu mút là a không thể nằm 𝐸(𝐻) Bằng cách loại bỏ 𝑎 và làm việc với các đồ thị 𝐺′ , 𝐻 ′ còn lại (và suy luận qui nạp chẳng hạn) ta dễ dàng kết luận Như vậy, khẳng định bài toán là đúng cho trường hợp này Giả sử công thức đúng cho các đồ thị với 𝑚 ≥ 𝑛 − 1, ta chứng minh đúng cho các đồ thị với 𝑚 + cạnh Xét đồ thị 𝐺 liên thông gồm 𝑛 đỉnh, và 𝑚 + cạnh Do 𝑚 ≥ 𝑛, ta biết 𝐺 có chu trình 𝐶 Gọi 𝑒 là cạnh thuộc chu trình 𝐺 Dễ thấy, việc 𝑒 thuộc chu trình 𝐶 đảm bảo đồ thị 𝐻 nhận từ 𝐺 cách loại bỏ 𝑒 còn liên thông Theo giả thiết qui nạp, công thức đúng cho 𝐻, ta chứng minh công thúc đúng cho 𝐺 Một cách tương đương, ta số đồ thị tốt 𝐺 lần số đồ thị tốt 𝐻 Một đồ thị tốt 𝐺 mà không chứa 𝑒 là đồ thị tốt 𝐺 Vậy ta cần chứng minh số đồ thị tốt 𝐻 chứa 𝑒 Một đồ thị 𝐴 chứa 𝑒 tốt 𝐻 tương ứng - với đồ thị 𝐵 không chứa 𝑒, tốt 𝐻 qua ánh xạ 𝐸(𝐵) = 𝐸(𝐴)∆𝐸(𝐶) Vậy số đồ thị tốt 𝐻 chứa 𝑒 = số đồ thị tốt 𝐻 không chứa 𝑒 Đây là điều phải chứng minh (còn nữa) THÔNG TIN TOÁN HỌC, Tập 18 Số (2014) Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi Ngô Việt Trung Oscar Zariski, 1899-1986 (tiếp theo và hết) David Mumford Đoàn Trung Cường và Phạm An Vinh dịch Giải thưởng Lê Văn Thiêm 2013 Hà Huy Khoái Toán học giúp định vị máy bay MH370 Hà Trung 11 Lời khuyên cho nhà toán học trẻ Béla Bollobás Nguyễn Đăng Hợp dịch 12 George Bernard Dantzig Trần Tất Đạt 15 Tin tức hội viên và hoạt động toán học 17 Tin toán học giới 19 Dành cho các bạn trẻ Đồ thị: Tính chẵn lẻ và chu trình Euler Phan Thị Hà Dương 21