Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm biết d cắt Oz và tạo với Oz một góc 600.. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b 2,0 điểm.[r]
(1)SỞ GD & ĐT THANH HÓA Trường THPT Lương Đắc Bằng KSCL CÁC MÔN THI ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối A – A1 –B- D Ngày thi: 07 tháng năm 2014 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x x 1 Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm tọa độ điểm M trên (C) cho khoảng cách từ điểm I( –1 ; 2) tới tiếp tuyến (C) M là lớn y Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình: sin 2x sin x 1 2cot 2x 2sin x sin 2x y3 x x 2 x y y 6x trên tập số thực Giải hệ phương trình : sin x 4 dx 2sin x cos x Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp OABC có cạnh OA, OB, OC vuông góc với đôi O, OB = a, OC = a và OA = a Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC ) Tính khoảng cách đường thẳng AB và OM 2 Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn x y z 3 Tìm giá trị lớn P xy yz zx biểu thức x yz PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mp tọa độ Oxy, cho ABC có A(2 ; 5), B(–4 ; 0), C(5 ; –1) Viết phương trình đường thẳng qua A và chia ABC thành phần có tỉ số diện tích 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm biết d cắt Oz và tạo với Oz góc 600 Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm các số phức z thỏa mãn B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) A 2; 5;0 Viết phương trình đường thẳng d qua A | z - 1| =| z + 3| 2 và | z | +z = 16 23 H ; 27 , phương trình Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm 5 K ; cạnh BC: x – 6y + = và trung điểm cạnh AB là 2 Viết phương trình các đường thẳng AB, AC 2 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z x y z 0 và mặt phẳng (P): x + y + z + 2012 = a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song mặt phẳng (P) và tiếp xúc (S) b) Từ M thuộc (P) vẽ tiếp tuyến MN đến mặt cầu (S) ; N (S) Xác định tọa độ điểm M cho độ dài đoạn MN đạt giá trị nhỏ x y 7.2 x y 8 4 log log3 x log log3 y 1 ; x, y R Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình (2) Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: ĐÁP ÁN Câu I (2,0đ) 2x y 2 x 1 x 1 0,25 Tập xác định: D = \{–1} lim y 2 Tiệm cận ngang: y 2 x lim y ; lim y x Tiệm cận đứng: x x x – y’ y 0,25 + y' –1 + + ( x 1) > 0, xD + 0,25 – Hàm số tăng trên khoảng xác định y 0,25 -5 -4 -3 -2 -1 x -1 -2 (C ) M x0 ; x Nếu thì tiếp tuyến M có phương trình 3 y 2 ( x x0 ) 3( x x0 ) ( x0 1) ( y 2) 3( x0 1) 0 x0 ( x0 1) hay 0,25 Khoảng cách từ I(–1 ; 2) tới tiếp tuyến là d 3( x0 ) 3( x0 1) x0 1 x0 ( x0 1) 0,25 ( x0 1) ( x0 1) ( x0 1) 2 6 ( x ) Theo bất đẳng thức Côsi , d Khoảng cách d lớn (x 1) 2 và (x 1) (x + 1)2 = x 0,25 Vậy có hai điểm M : Câu II (2,0đ) M 1 ; sin 2x sin x Giải phương trình: sin x 0 cos x 0 M ;2 0,25 1 2 cot 2x 2sin x sin 2x Điều kiện: (i) pt sin 2x sin 2x.sin x cos x 2 cos 2x 0,25 0,25 (3) cos 2x cos 2x cos x 0 cos 2x 0 cos x cos x 0 : VN 0,25 k x ( thỏa điều kiện (i) ) y3 x x x y y 6x Giải hệ phương trình: trên tập số thực Khi x = y = (0 ; 0) là nghiệm hpt Khi x 0 , ta có y3 y y x y3 9x x 9 x 3y x 9 x x x y x y y 6x y x 6 x Mà y y x 3y x 9 x x Do đó y 2 y 2 x 1 x 2 x x 3 Ta có Câu III (1,0đ) 0,25 y x 27 x Vậy HPT có nghiệm (0 ; 0) , (1 ; 2) , (2 ; 2) sin x 4 dx 2sin x cos x Tính tích phân I = = Đặt t = sinx – cosx dt = (cosx + sinx)dx 0,25 0,25 y x 3 y 2 x 0,25 0,25 sin x cos x sin x cos x 2 dx 0,25 Đổi cận: x = t=0 x= t=1 0,25 1 dt t 2 I= t tan u dt tan u du u Đặt ; I= u Câu IV (1,0đ) arctan tan u arctan tan u = 0,25 du 1 arctan 2 0,25 Trong tam giác OBC, vẽ đường cao OK Trong tam giác OAK, vẽ đường cao OH Chứng minh OH vuông góc mp (ABC) a 1 1 1 2 2 2 2 OH OA OK OA OB OC 3a a 15 Suy d(O, (ABC)) = OH = z A 0,25 0,25 N C O a B M y (4) x Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi đó O(0;0;0), A(0; 0; a 3); B( a; 0; 0), C (0; a 3; 0), a a M ; ; 2 a a 3 N 0; ; 2 a a a a 3 OM ; ; , ON 0; ; 2 2 3a a a [OM ; ON ] ; ; 4 , n ( 3; 1; 1) là VTPT mp ( OMN ) 0,25 Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ pháp tuyến n : x y z 0 d ( B; (OMN )) 3.a 11 Ta có: a a 15 Vậy: a 15 MN là đường trung bình tam giác ABC AB // MN d ( B; ( NOM )) AB //(OMN) d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = Câu V (1,0đ) Ta có : xy yz zx x y z Đặt t = x + y + z, ta có: t 3 d ( B; ( NOM )) x y2 z2 xy yz zx 0,25 a 15 x y z 3 t2 x y z 3 t2 ' t3 f t t 0, t t, t t Khi đó, ta có: 14 P f t f 3 Vậy ta có: 14 max P Dấu “=” xảy x = y = z = Vậy Câu VI.a S AMC 2 1 (2,0 điểm) S AMB TH1: Ta có: 0,25 0,25 P f t CM AH MC (1) 2 MB BM AH Trong ABC, dựng đường cao AH M ( 1; ) Khi đó: MC MB Pt đường thẳng d1: 16x – 9y – = S AMB 2 S AMC TH2: ) Cm tương tự: Pt đường thẳng d2: x – = Gọi K là giao điểm d và trục Oz K(0 ; ; k) AK 2;5; k ; k 0;0;1 M (2; 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 (5) k cos AK ; k cos 600 27 k 2 k 3 K 0;0; 3 , AK 2;5; 3 x y z x y z ; 3 Phương trình d : 0,25 0,25 0,25 (6) Câu VII.a (1,0 điểm) Câu VI.b (2,0đ) Gọi z = a + bi (a, b ), ta có: a | z - 1| =| z + 3| b R (1) a 1 a 1 2 | z | +z = ab 0 b 0 (2) 1 a b 0 Vậy z = –1 0,25 0,25 0,5 đt AH qua H vuông góc BC (AH) : 6x + y + = A thuộc AH suy A(a ; –6a – ) B thuộc BC suy B(6b – ; b) K trung điểm AB suy a = –1 ; b = Suy A(–1 ; 5) , B(–4 ; 0) Pt (AB): 5x – 3y + 20 = đường cao CH qua H , vuông góc AB : (CH) : 3x + 5y – 11 = HC cắt BC C suy C(2; 1) suy pt (AC) : 4x + 3y – 11 = a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song mặt phẳng (P) và tiếp xúc (S) (S) có tâm I(1 ; –2 ; 3) , bán kính R = (Q): x + y + z + D = (D 2012) d I , Q 4 D 4 0.25 0.25 0.25 0.25 0,25 0,25 0,25 Vậy (Q) : x + y + z 4 0 0,25 b) Từ M thuộc (P) vẽ tiếp tuyến MN đến mặt cầu (S) ; N (S) Xác định tọa độ điểm M cho độ dài đoạn MN đạt giá trị nhỏ MN2 = IM2 – R2 MN nhỏ IM nhỏ suy M là hình chiếu vuông góc I lên mặt phẳng (P) phương trình đường thẳng IM: x – = y + = z – x y z x y z 2012 0 Tọa độ điểm M là nghiệm hệ: 2017 2008 2023 M ; ; 3 Vậy Câu VII.b (1,0 điểm) x y 7.2 x y 8 4 log log3 x log log3 y 1 ; x, y R Giải hệ phương trình Điều kiện x > ; y > ìï x- 2y ìï 4x- 2y - 7.2x- 2y = ïï - 7.2x- 2y - = ï í í ï log ( log x) = log + log ( log y) ïï log2 ( log3 x) - log2 ( log3 y) = 2 ïî ïïî x y 8 x y log log3 x log log y x y 3 x 9 x 1 y y 0 y 3 hay y ( ) x 9 y 3 So điều kiện x > ; y > hệ phương trình có nghiệm 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (7) Đáp án HKG cổ điển cách a a 15 b) OM = MN = a , ON = SOMN = a2 OB = OM = MB = a OBM SOBM = a Gọi I là trung điểm OC NI là đường trung bình OAC NI (OBC) và NI = a3 VN.OBM = SOBM.NI = 3VNOBM 3a Mặt khác, V = S d[B,(OMN)] d[B,(OMN)] = SOMN = 15 N.OBM OMN MN là đường trung bình tam giác ABC AB // MN d ( B; ( NOM )) AB //(OMN) d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = 3a 15 a 15 (8)