Dap an de thi HSG Toan QTri 2014

Tính diện tích tứ giác APQB theo R Giải: Câu 1: Cách 1: Sử dụng máy tính bỏ túi tính góc BAH, sau đó dùng tỉ số lượng giác tính CH rồi từ đó tính SABC Cách 2: Chia góc HAD thành ba góc b[r]

 x y   x  y Bài 1: Cho biểu thức P =  x  y  1     x  y   x y  a) Tìm điều kiện x và y để biểu thức P có nghĩa b) Rút gọn P c) Tính giá trị P x = 52 ; y = 5 Giải: a) Điều kiện x > 0, y > 0, x ≠ y b) P = xy c) x = 52   ; y = 5   Thay vào P = Bài 2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh 4a 9b 16c   26 M = b c  a c a  b a b  c Giải: Đặt b + c – a = x; c + a – b = y; a + b – c = z Ta có yz xz x y a = , b = ; c = Khi đó M=  4( y  z ) 9( x  z ) 16( x  y )   y z x z 16 x 16 y     2  x  x  y  y  z  z   x y z      y x   z 16 x   z 16 y             x y   x z   y z   = Do a, b, c là ba cạnh tam giác nên a + b > c, a + c > b và b + c > a nên x, y, z là các số dương Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho cặp số ngoặc, ta có:  y 9x z 16 x z 16 y      6   12 26 2 x y x z y z  M≥ Vậy M ≥ 26  Bài 3: Giải phương trình x 5    x   x  x  10 3 (*) Giải: Điều kiện x ≥ -2 Đặt a  x  5; b  x  đó a > b ≥ (a  b )(1  ab) 3   2 a  b  Khi đó ta có hệ phương trình sau:  (a  b)(1  ab) 3  (a  b)(a  b) 3  a  b 1  ab  (a  1)(b  1) 0 Nếu a = thì x  1  x  (không thỏa mãn điều kiện) Nếu b = thì x  1  x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm phương trình là x = -1 Bài 4: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 + < xy + 3y + 2z Giải: x2 + y2 + z2 + < xy + 3y + 2z ⇔ x2 + y2 + z2 + – xy – 3y – 2z <  4x2 + 4y2 + 4z2 – 4xy – 12y – 8z + 12 < ⇔ (4x2 – 4xy + y2) + (3y2 – 12y + 12) + (4z2 – 8z + 4) < ⇔(2x – y)2 + 3(y – 2)2 + 4(z – 1)2 < Nếu z ≠ thì 4(z – 1)2 ≥ Suy VT ≥ VP, không thỏa đề bài nên z = Bất phương trình trên trở thành: (2x – y)2 + 3(y – 2)2 < (*) Nếu y  2 thì VT > VP nên y  1  (2 x  1)   y   (2 x  3)  không có nghiệm  TH ⇒ y = y = đó (*) ⇔ nguyên TH y  0 ⇒ y = đó (*)⇔ (2x – 2)2 < 4⇔ (x – 1)2 < 1⇔ x= Vậy các số nguyên (x, y, z) là (1; 2; 1) Bài 5: 1) Cho tam giác ABC có độ dài đường cao AH = 6cm, BH = 3cm (H nằm BC), số đo góc CAH ba lần số đo góc BAH Tính diện tích tam giác ABC 2) Cho đường tròn tâm O bán kính R Vẽ hai đường kính AE và BF vuông góc với Trên cung nhỏ EF lấy điểm C Dây AC cắt đường kính BF P, dây BC cắt đường kính AE Q Tính diện tích tứ giác APQB theo R Giải: Câu 1: Cách 1: Sử dụng máy tính bỏ túi tính góc BAH, sau đó dùng tỉ số lượng giác tính CH từ đó tính SABC Cách 2: Chia góc HAD thành ba góc trên hình Kẻ DK vuông góc với AE Đặt DE = x, EC = y Theo tính chất đường phân giác tam giác AHE ta có AE/DE = 6/3 = Suy AE = 2x Ta dễ dàng chứng minh AH = AK = 6cm, DK = HD =3cm Suy KE = 2x – Áp dụng định lý Pyta go cho tam giác DEK ta có phương trình: x2 – = (2x – 6)2 ⇔ x2 – 8x + 15 = Giải thấy nghiệm x = là thỏa mãn Trong tam giác ADC, theo tính chất đường phân giác ta có DE EC y    AD AC AC Trong tam giác ABC, theo tính chất đường phân giác ta có: BD DC 5 y y 5         AC 15 AB AC AC AC AC AC 5 ⇒ y = 25 ⇒ BC = 36 SABC = 6.36:2 = 108 cm2 Câu 2: Nối AF, BE, CF, CE AQC ∽ BQE ( g  g )  AQ AC BQ AC   AQ  BQ BE BE (1) APF ∽ BPC ( g  g )  AP AF AP.BC   BP  BP BC AF (2) AOP ∽ ACE ( g  g )  AO AP AO AE   AP  AC AE AC vào (2) ta có AO AE.BC R BC BC BP   R AC AF AC AC.R BOQ ∽ BCF ( g  g )  AQ  BO BQ BO.BF   BQ  BC BF BC vào (1) ta có BO.BF AC AC R BC.BE BC AC BC R R R BC AC SABQP = AQ.BP=