CUNG CHỨA GÓC Lyù thuyeát Cho đoạn thẳng AB, quỹ tích các điểm M sao cho góc AMB cosoos đo bằng a không đổi 00< a < 1800 là hai cung tròn có số đo 3600- 2a đối xứng nhau qua AB Quỹ tíc[r]
(1)2013 - 2014 Bài 1: Góc tâm Số đo cung Cho đường tròn (O; R) và dây AB = R Tính số đo góc tâm AOB và số đo các cung AB Cho đường tròn (O; R) và hai bán kính OB, OC vuông góc với Tính số đo cung lớn BC Cho đường tròn (O; 3cm) và điểm A trên đường tròn, trên tiếp tuyến A với đường tròn lấy điểm B cho OB = 6cm Tia OB cắt đường tròn (O) C Tính số đo các cung AC Cho đường tròn tâm (O; R) và dây AB R Tính số đo cung AB lớn Cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đường tròn (O; R) Biết AB = 8cm, AC = 6cm, tính R Violympic Cho tam giác ABC có B 70 ; C 50 Gọi (O) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC, tiêp xúc với AB, AC D và E Tính số đo cung DE Đề thi kì II 2007- 2008 Lấy hai điểm H, K trên đường tròn (O; R) cho HK = R thì số đo cung HK lớn A 2400 B 1200 C 600 D 3000 Dang Cho đường tròn (O), trên đó lấy hai điểm A và B cho AOB 72 Tính số đo cung AB lớn Đề thi kì II 2009 – 2010 Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN đến (O) (M, N là hai tiếp điểm) Biết MAN 50 , tính số đo cung lớn MN Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là hai tiếp điểm) Biết AMB 48 , tính số đo cung AB lớn Từ điểm nằm ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là hai tiếp điểm) Biết MA = R , tính số đo cung AB lớn Trên đường tròn (O; R) vẽ các dây AB, AC cho tao AO nằm hai tai AB, AC và sđ AB 90 ; AC = R Tính số đo cung BC không chứa điểm A Cho MN là dây cung đường tròn (O; R) và MN = R Tính số đo cung lớn MN Hai tiếp tuyến hai điểm A và B đường tròn (O) cắt tai M và tạo thành AMB 30 Tính số đo góc tâm chắn cung AB Cho đường tròn (O; R) Qua điểm A thuộc đường tròn, kẻ tiếp tuyến Ax, trên đó lấy điểm B cho AB = OA, OB cắt đường tròn (O) C Tính số đo góc tâm AOC và số đo cung lớn AC Cho đường tròn (O; R) Qua điểm A thuộc đường tròn, kẻ tiếp tuyến Ax, trên đó lấy điểm B cho OB R , OB cắt đường tròn (O) C Tính số đo góc tâm tạo hai bán kính OA, OC Trên đường tròn (O; R) lấy hai điểm A, B cho AB R Tính số đo góc tâm AOB Cho tam giác ABC cân nội tiếp đường tròn đường kính BC Tính số đo cung AB lớn Cho tam giác ABC có A : B : C 3 : : Vẽ đường tròn tâm A bán kính AC và đường tròn tâm B bán kính BC, chúng cắt D Tính góc tâm CAD và góc tâm CBD Cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đường tròn (O; R) có AB = R a) Tính số đo các cung AB, AC , BC b) Trung trực BC cắt AC N và cắt tiếp tuyến A (O) M Chứng minh tam giác AMN Tính diện tích tam giác AMN Đề thi kì II 2007 – 2008 Cho tam giác ABC vuông A ngoại tiếp đường tròn (O) thì BOC A 1000 B 1200 C 1350 D 900 Cho OAO ' (OA > O’A) Vẽ đường tròn (O; OA) và đường tròn (O’, O’A) chúng cắt B Tia phân giác góc OAO’ cắt đường tròn (O) C, cắt đường tròn (O’) D So sánh hai góc tâm AOC và AO’D Bài 2: Liên hệ cung và dây Cho tam giác ABC cân A, vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC So sánh AB và AC (2) Từ điểm A trên đường tròn (O; R) đặt liên tiếp các điểm A, B, C, D cho AB = R, BC R và CD R Chứng minh AD = BC Dang Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có góc A 600, góc B 500 So sánh các cạnh tam giác ABC và các cung lớn AB, AC, BC Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC có B 45 So sánh các cạnh tam giác ABC và các cung nhỏ AB, BC, AC Cho tam giác ABC vuông A nội tiếp (O), đường thẳng qua O song song AB cắt cung AC M So sánh các cung AM và CM Cho dây cung có độ dài là 12cm và cách tâm đường tròn khoảng 8cm Khi đó dây cung có độ dài 6cm cách tâm khoảng là bao nhiêu? Cho tam giác ABC có A B , vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC So sánh CB và AC Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt A và B Kẻ các đường kính AOC, AO’D Gọi E là giao điểm thứ hai AC với đường tròn (O’) So sánh các cung nhỏ BC, BD Cho tam giác ABC Trên tia đối cùa tia AB lấy điểm D cho AD = AC Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC Từ O hạ các đường vuông góc OH, OK với BC và BD (H thuộc BC, K thuộc BD) a) Chứng minh OH > OK b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC Bài 3: Góc nội tiếp Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn (O; R) có ABC 35 Tính số đo cung AC lớn Cho nửa đường tròn đường kính AB, trên đó lấy điểm D cho sđ AD 122 Tính DAB Trên đường tròn (O) lấy hai điểm A, B cho góc OAB 320 thì góc nội tiếp chắn cung AB nhỏ có số đo A 640 B 320 C 160 D 1490 Đề thi kì II 2007 – 2008 Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) biết B 32 ; C 40 thì góc tâm BOC A 720 B 1080 C 1440 D 2160 Cho nửa đường tròn đường kính AB, trên đó lấy điểm D cho sđ AD 122 Tính DAB Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AH cắt đường tròn (O) M, đường cao BK cắt đường tròn (O) N Chứng minh a) CM CN b) AC là tia phân giác góc MAN Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O), M là điểm trên BC , AM cắt dây BC N a) Chứng minh BMA BCA b) Chứng minh AM.AN = AB2 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O; R), AB < AC Vẽ đường cao AH và đường kính AOD, AH cắt đường tròn (O) điểm thứ hai là E Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD vuông góc M là điểm trên BC a) Chứng minh MD là phân giác AMB b) Trên tia MA lấy điểm E cho ME = MB Chứng minh D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) M là điểm trên BC , trên tia MA lấy điểm D cho MD = MC a) Chứng minh tam giác MDC b) Chứng minh ADC BMC Suy vị trí M để MA + MB + MC có giá trị lớn Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) và BC = R Tính góc BAC và khoảng cách từ O đến BC theo R Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) Gọi H là trực tâm tam giác, M là trung điểm BC Chứng minh AH = 2OM a AH Tính số đo cung BC Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O có AB = AC = a, đường cao AH (3) Đề tuyển sinh (Năm học 2007 - 2008) Quan sát hình Biết MD = 14cm, MC = 8cm, MB = 16cm thì MA A 8cm B 9cm C 7cm D 6cm Qua điểm M ngoài đường tròn (O) kẻ hai cát tuyến MAB và MCD Biết MA = 3cm, MB = 6cm, MC = 4cm Tính MD Đề tuyển sinh (Khóa ngày 16/6/2008) Hai dây AB và CD đường tròn (O) cắt M nằm đường tròn (M khác O) Biết AM = 5cm, BM = 12cm, MC = 6cm thì MD A 10cm B 14cm C 12cm D 8cm Đề tuyển sinh (Khóa ngày 18/6/2009) Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt A và B Một đường thẳng qua A cắt R ' BD (O) C và cắt (O’) D Chứng minh R BC Đề thì kì II 2009 - 2010 Cho đường tròn (O), đường kính AB vuông góc với dây EF I Chứng minh rằng: EF2 = 4AI.BI Đề tuyển sinh (Khóa ngày 21/6/2006) Cho đường tròn (O; R), hai dây cung AB và CD vuông góc với (AB, CD không qua O) Chứng minh AC2 + BD2 = 4R2 Đề thi kì II 2012 – 2013 Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), vẽ đường tròn đường kính AC tâm O, đường tròn này cắt BC H (H khác C) Gọi I là điểm đối xứng với B qua H Chứng minh OH AI Dạng 3: Trong hình bên AB là đường kính, ADE 50 Tính BAE 0 Trên hình bên có AD là đường kính đường tròn (O), ABC 50 Khi đó CAD A 450 B 400 C 500 D 550 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), đường cao AH ( H thuộc BC), tia AO cắt đường tròn D Chứng minh AB AC AH 2R D AC Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB Trên nửa đường tròn lấy hai điểm C và D , cho COD 90 Các tia AD và BC cắt P, AC và BD cắt H Chứng minh a) Tam giác ACP và tam giác BDP là các tam giác vuông cân b) PH vuông góc với AB Bài 4: Góc tạo bới tuyếp tuyến và dây cung Đề thi kì II 09 – 10 Cho đường tròn (O), vẽ dây AB cho AOB 120 Hai tiếp tuyến (O) A và B cắt S Tính SAB Từ điểm A bên ngoài đường tròn (O; R) vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm) và cát tuyến ACD Chứng minh AB2 = AC.AD = AO2 – R2 Qua điểm M ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến MI ( I là tiếp điểm) và cát tuyến MAB Biết MA = 4cm, MB = 9cm, tính MI Đề thi kì II 07– 08 Qua điểm M ngoài đường tròn (O; R) kẻ tiếp tuyến MT ( T là tiếp điểm) và cát tuyến MAB qua O (A, B thuộc đường tròn (O;R)) Biết MT = 6cm, MA = 4cm thì R A 2,5cm B 3cm C 5cm D 4,5cm (4) Cho hai đường tròn (I) và (O) tiếp xúc ngoài A Trên tiếp tuyến chung A hai đường tròn lấy điểm M (M khác A), vẽ cát tuyến MBC với đường tròn (O) và cát tuyến MDE với đường tròn (I) Chứng minh MB.MC = MA2 = MD.ME Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó Qua A kẻ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD Chứng minh AB2 = AC.AD Đề thi kì II 08 – 09 Trên đường tròn tâm O, đường kính AB 2R, lấy điểm M (khác A và B) Vẽ tiếp tuyến với (O) A Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến trên C, chứng minh BM.BC = 4R2 Đề thi kì II 2011 - 2012 Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O) Qua M kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC với đường tròn Chứng minh: MA2 = MB.MC Đề thi kì II 2012 – 2013 Cho điểm A ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AB (B là tiếp điểm), kẻ cát tuyến ACD (C nằm A và D) Chứng minh ACB ABD Dạng Cho đường tròn (O), dây cung MN, tiếp tuyến Mx Trên Mx lấy điểm T cho MT = MN Đường thẳng TN cắt đường tròn S Chứng minh SMT T 0 14/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có C 36 , kẻ tiếp tuyến Ax đường tròn (O) Biết xAC 40 , tính góc BAC và góc tâm BOC / Cho đường tròn đường kính AB Qua A và B kẻ hai tiếp tuyến đường tròn đó Gọi M là điểm trên đường tròn Các đường thẳng AM và BM cắt các tiếp tuyến trên B’ và A’ Chứng minh AA’.BB’=AB2 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến Ax Gọi C là điểm trên nửa đường tròn Tia phân giác góc CAx cắt nửa đường tròn E, AE và BC cắt K a) Tam giác ABK là tam giác gì? Vì sao? b) Gọi I là giao điểm AC và BE Chứng minh KI // Ax c) Chứng minh OE // BC Cho đường tròn tâm O đường kính AC, trên tiếp tuyến Ax đường tròn lấy điểm M, MC cắt đường tròn điểm thứ hai là B Gọi I là trung điểm BC a/ Chứng minh MAO OIM từ đó có kết luận gì tứ giác AMIO b/ Chứng minh MÀ2 = MB.MC c/ Xác định vị trí điểm E trên cung nhỏ BC để OB vuông góc với AE Trong trường hợp này AE cắt BC K, chứng minh K đối xứng với M qua B Bài 5: Góc có đỉnh nằm nên đường tròn Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn Đề thi kì II 2010 – 2011 Cho đường tròn tâm O và hai dây AB, AC Trên cung nhỏ AC lấy điểm E (E khác A và C) Gọi S là giao điểm AE và BC Chứng minh ASC ACE Đề tuyển sinh (Khóa ngày 18/6/2008) Trong hình bên, số đo cung nhỏ CFE đường tròn (O) là 1500, số đo cung nhỏ FE là 700 Tổng số đo góc CAE và góc BFD là A 700 B 1500 0 C 140 D 75 Đề tuyển sinh (Năm học 2007 - 2008) Số đo cung nhỏ MN đường tròn tâm O đường kính AB hình A 600 B 500 C 700 D 800 Đề thi kì II 07 – 08 Trong hình vẽ (1) Biết M 32 ; sđ AmC 30 đó sđ BnD (5) A 940 B 680 C 340 D 620 C 480 D 240 Đề thi kì II 07 – 08 Trong hình vẽ (2) 0 Biết ADC 18 và BCD 42 đó M A 120 B 300 0 Qua M đường tròn tâm (O), kẻ hai cát tuyến MAB và MCD, biết số đo cung AC 40 , số đo cung BD =70 Tính AMD Qua điểm M ngoài đường tròn (O), kẻ hai cát tuyến MAB và MCD theo thứ tự đó, biết AC 50 , M 54 Tính BD Qua M đường tròn tâm (O), kẻ hai cát tuyến MAB và MCD, biết số đo cung AC 35 , số đo góc BMD 65 Tính số đo cung BD Qua điểm M ngoài đường tròn (O), kẻ hai cát tuyến MAB và MCD theo thứ tự đó, biết BD 150 , M 42 Tính BD 0 Qua điểm M đường tròn (O), kẻ hai cát tuyến MAB và MCD, biết ADC 25 , M 28 Tính BCD Qua điểm M ngoài đường tròn (O), kẻ hai cát tuyến MAB và MCD, biết số đo cung BD 110 , sđ BD gấp đôi sđ AC Tính M 0 Qua điểm M ngoài đường tròn (O) kẻ cát tuyến MAB và MCD theo thứ tự đó Biết sđ AC 40 và sđ BD 80 , Tính M Qua điểm M ngoài đường tròn (O), kẻ hai cát tuyến MAB và MCD cho MA = 5cm, MB =12cm, MC = 4cm Tính MC Qua điểm M ngoài đường tròn (O) kẻ hai cát tuyến MAB và MCD Biết AB vuông góc với CD, sđ BD gấp đôi sđ AC Tính sđ BD Từ điểm P ngoài đường tròn (O), kẻ hai cát tuyến PAB và PCD tới đường tròn Gọi Q là điểm nằm trên cung 0 nhỏ BD (không chứa điểm A và C) cho sđ BQ 42 và sđ QD 38 Tính tổng BPD AQC Đề thi kì II 07 – 08 Qua điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai cát tuyến ABC và AMN theo thứ tự đó (B, C, M, N thuộc đường tròn (O)) BN cắt CM S, đó A BSM A 4CMN B CMN C 3CMN D 2CMN Cho AB, AC là hai dây cung đường tròn (O) M là điểm chính AB và N là điểm chình AC MN cắt AB, AC D, E Chứng minh tam giác ADE cân Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Phân giác góc B và góc C cắt I và cắt đường tròn D và E Tứ giác ADIE là hình gì? Vì sao? Cho đường tròn (O) và hai đường kính AB, CD vuông góc với Lấy điểm M trên cung AC vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) M Tiếp tuyến này cắt đường thẳng CD S Chứng minh MSD 2MBA Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Phân giác góc A cắt đường tròn M Qua M kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt AB và AC D và E Chứng minh BC//DE Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai cát tuyến MAB, MCD Biết sđ BD = 1000, sđ AC = 300 Tính BMD Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai cát tuyến MAB, MCD Biết sđ BD = 1300, sđ AC = 400 Tính BMD Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai cát tuyến SHI, SLK Biết sđ IK = 700, sđ HL = 300 Tính ISK (6) Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến MA và cát tuyến MCB (C nằm M và B) Phân giác góc BAC cắt BC D và cắt đường tròn (O) N Chứng minh MA = MD Dạng Cho hình vẽ, có AOD 100 , BDC 30 Tính BFC Đề thi kì II 08 – 09 Trong hình vẽ bên, biết cung BcE và cung CbD 1350 và 450 Chứng minh CD vuông góc với CD P 45 Cho hình vẽ có góc NPQ 450 góc PQM 300 Tính số đo góc NKQ ? M K 30 O N Q Hai dây AB và CD đường tròn tâm O cắt I ( I không trùng với O), ADC 40 , BOD 70 Tính AIC Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O Đường thẳng d song song với BC cắt cung nhỏ AC N, cắt dây AC P; AN kéo dài cắt đường thẳng BC S Chứng minh a) ACN ASC b) AN2 = AC.AP Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến A (O) cắt đường thẳng BC S, phân giác góc BAC cắt cung BC và BC D và E Chưng minh tam giác SAE cân Cho (O) và (O’) cắt A và B (O và O’ thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB Qua A kẻ cát tuyến cắt đường tròn (O) C, cắt (O’) D Các tiếp tuyến hai đường tròn kẻ từ C và D cắt I Chứng minh cát tuyến CAD thay đổi thì: a) Góc CBD không đổi b) Góc CID không đổi Violympic Cho tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn (O) Điểm I di động trên cung nhỏ BC Gọi N là giao điểm AC và BI Tính số đo AIN Bài 6: Cung chứa góc Cho đường tròn (O), đường kính BC, A là điểm di động trên đường tròn Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm I Cho (O) và điểm A cố định trên đường tròn, B là điểm di động trên (O).Gọi I là trung điểm AB Tìm quỹ tích điểm I Dạng Cho (O) và điểm P nằm bên đường tròn Vẽ dây cung PAB, gọi I là trung điểm AB Tìm quỹ tích I PAB thay đổi Bài 7: Tứ giác nội tiếp Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao BE và CF Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD và CE Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn Đề thi tuyển sinh (Năm học 2007 - 2008) Nếu tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn và B 2 D thì số đo góc B A 1200 B 1600 C 800 D 600 Đề thi tuyển sinh (Khóa ngày 18/6/2008)Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính CD Biết góc DAB có số đo 1250 thì số đo cung nhỏ BC A 250 B 350 C 500 D 700 Đề thi tuyển sinh (Khóa ngày 18/6/2009)Trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB lấy hai điểm E và F cho AE AF E A; F B HD OA D OA, D O , các đoạn thẳng AF và BE cắt H Vẽ HD Chứng minh tứ giác DEFO nội tiếp đường tròn (7) Đề thi tuyển sinh (Khóa ngày 22/6/2010) Từ điểm A ngoài đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến AB ( B là tiếp điểm) và cát tuyến AMN với đường tròn, cho tia OA nằm hai tia AB và AM Gọi I là trung điểm dây MN Chứng minh a) Chứng minh tứ giác ABOI nội tiếp b) AB2 = AM.AN Cho điểm M bên ngoài đường tròn (O;R) Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD, C nằm hai tia MA, MO Gọi H là giao điểm AB và MO Chứng minh tứ giác CDOH nội tiếp Cho điểm M bên ngoài đường tròn (O;R) Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD, C nằm hai tia MA, MO Gọi H là giao điểm AB và MO Chứng minh CM.OD = CH.CM Đề thi tuyển sinh (Khóa ngày 26/6/2011) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB Đường thẳng BC cắt tiếp tuyến A đường tròn (O) S Gọi E là giao điểm tia BD và AS Chứng minh tứ giác CDES nội tiếp Đề thi tuyển sinh (Khóa ngày 26/6/2012) Cho đường tròn (O) đường kính AB, M là trung điểm OA Qua M vẽ dây cung CD vuông góc với OA c) Chứng minh tứ giác ACOD là hình thoi d) Tia CO cắt BD I Chứng minh tứ giác DIOM nội tiếp Đề thi tuyển sinh (Khóa ngày 26/6/2012) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By N O, N A cùng phía với nửa đường tròn, M là điểm chính cung AB, N là điểm thuộc đoạn OA Đường thẳng vuông góc với MN M cắt Ax và By C và D Chứng minh AC = BN Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), qua A kẻ cát tuyến theo thứ tự ABC và ADE Gọi I, K là trung điểm BE và DE Chứng minh IOK BCD Cho tam giác ABC vuông A, AB < AC, đường cao AH Trên đoạn HC lấy điểm D cho HB = HD Từ C kẻ CE vuông góc với AD Chứng minh CB là tia phân giác góc ACE Cho tam giác ABC, B 60 Hai tia phân giác góc A và C cắt các cạnh BC và BA A’ và C’ và cắt I Chứng minh tứ giác BA’IC’ nội tiếp đường tròn Cho tứ giác ABCD, trên tia đối AB lấy điểm I cho IAD C Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến xAx’; đường thẳng d // xx’ cắt AB, AC D, E Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến xAx’; đường thẳng d // xx’ cắt AB, AC D, E Tính BDE ECB Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH Gọi I là điểm đối xứng với H qua AC Chứng minh AICH là tứ giác nội tiếp Từ điểm A ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN Gọi I là trung điểm MN Chứng minh CIBA nội tiếp Từ điểm A ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN đường tròn đó Gọi I là trung điểm dây MN a) Chứng minh năm điểm A, B, I, O, C cùng nằm trên đường tròn b) Nếu AB = OB thì tứ giác AOBC là hình gì? Vì sao? H BC Gọi N và M là trung điểm AC và Đề thi kì II 08 – 09 Tam giác ABC vuông A có đường cao AH HC Chứng minh ABMN là tứ giác nội tiếp Đề thì kì II 2009 - 2010 Từ M ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm) và cát tuyến MBC không cắt bán kính OA Gọi N là trung điểm dây BC Chứng minh tứ giác MAON nội tiếp đường tròn Đề thi kì II 2010 – 2011 Cho tam giác ABC vuông A, lấy điểm I nằm hai điểm A và C Vẽ IK vuông góc với BC K Chứng minh tứ giác ABKI nội tiếp Đề thi kì II 2010 – 2011 Cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O Qua A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm) và cát tuyến ACD (C nằm A và D) Gọi I là trung điểm AB, lấy K đối xứng với A qua B Chứng minh tứ giác IKDC nội tiếp đường tròn (8) Đề thi kì II 2011 - 2012 Cho đường tròn (O) đường kính AB, vẽ dây cung CD vuông góc với OA Lấy điểm M trên cung nhỏ BC M C , M B , MA cắt CD H Trên MD lấy điểm E cho MC = ME Chứng minh tứ giác ADEH nội tiếp Đề thi kì II 2012 – 2013 Cho điểm M ngoài đường tròn (O), qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đường tròn (A, B là hai tiếp điểm) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, vẽ đường kính MN ( Không trùng với AB ) ,tiếp tuyến B đường tròn (O) cắt AM , AN C và D.Chứng minh MNDC là tứ giác nội tiếp Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC Kẻ đường cao AH, gọi I là trung điểm AC Chứng minh tứ giác AHIO nội tiếp đường tròn Cho đường tròn đường kính AB, gọi M là điểm trên AB (M khác A và B), K là trung điểm AM Qua K kẻ dây DE vuông góc AB, EM cắt BD I Chứng minh tứ giác DKMI nội tiếp đường tròn Cho góc nhọn xOy Trên cạnh Ox lấy hai điểm A và B cho OA = 2cm, OB = 6cm, trên cạnh Oy lấy hai điểm C và D cho OC = 1,5cm, OD = 8cm Chứng minh a) Tam giác OBC đồng dạng với tam giác ODA b) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn c) BDC OAC Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt E Biết AE.EC = BE ED Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D cho DB = DC và DCB ACB Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp Xác định tâm đường tròn qua bốn điểm A, B, C, D Cho tam giác ABC có A 70 Đường phân giác BAC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác I Vẽ hai dây cung IE, IF cắt cạnh BC M, N a) Tính BIC b) Chứng minh tứ giác MNFE nội tiếp đường tròn Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Các đoạn thẳng AB và DC kéo dài cắt M; các đoạn thẳng BC và N M BAD 900 AD kéo dài cắt N Chứng minh Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm C là điểm chính cung AB, M là điểm trên cung CD Qua C kẻ CN vuông góc AM a) Chứng minh tam giác MNC vuông cân b) Chứng minh góc OCN OAN Cho hình vuông ABCD, M là điểm trên cạnh BC (M khác B và C) Đường tròn đường kính AM cắt đoạn thẳng BD B và N Chứng minh tam giác AMN vuông cân 0 Cho tứ giác ABCD nội tiếp, biết BAD 80 và DBC 50 Tính BDC Cho tứ giác MNPQ có PQN 42 , MPQ 38 , NMP 42 Tính MNQ Cho tứ giác ABCD có DAC 60 , ABC 100 , ADC 80 Tính ABD Đề thi kì II 07 – 08 Cho tứ giác ABCD có ADC 110 ; ABC 70 ; BAC 60 thì ADB A 500 B 1200 C 600 D 700 Cho tam giác ABC vuông A, trên cạnh AC lấy điểm lấy điểm D vẽ đường tròn (O) nhận CD làm đường kính BD cắt (O) E; AE cắt (O) F Chứng minh a) ABCE là tứ giác nội tiếp b) BCA ACF Cho tam giác nhọn ABC Gọi H là giao điểm các đường cao BE và CK Chứng minh tứ giác AKHE nội tiếp Cho tam giác nhọn ABC Gọi K là giao điểm các đường cao BM và CN Chứng minh tứ giác ANKM nội tiếp (9) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (không cân A) nội tiếp đường tròn (O) Gọi H là giao điểm các đường cao BE và CK a) Chứng minh AK.AB = AE.AC b) Chứng minh tứ giác BKEC nội tiếp C AD Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB, gọi C và D là điểm trên nửa đường tròn AC và BD cắt AEF ABC E, AD và BC cắt F Chứng minh Đề tuyển sinh 19/6/2013 Cho đường tròn (O), từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B, C là hai tiếp điểm) Gọi M là giao điểm OA và BC, D là điểm nằm trên đường tròn (O) cho D không nằm trên đường thẳng OA, kẻ dây cung DE qua điểm M Chứng minh tứ giác ADOE nội tiếp Hai đường tròn (O) và (O’) cắt A, B Vẽ dây AC đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’) Vẽ dây AD cỏa đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) E là điểm đối xứng A qua B Chứng minh tứ giác ACED nội tiếp Dạng Cho đường tròn ( O ; R) và dây cung AB cho số đo cung AB 1200 Hai tiếp tuyến đường tròn A và B cắt S Số đo góc ASB : A 1200 B 900 C 600 D.450 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn và A C 30 Tính góc A và góc C Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Biết ABC ADC 30 Tính các góc ABC; ADC Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) Trên tia đối tia AB và CA lấy theo thứ tự hai điểm M, N cho MA = CN a) So sánh OAB và OCA b) Chứng minh AOM CON c) Chứng minh tứ giác OAMN nội tiếp đường tròn Tam giác ABC cân A có cạnh đáy nhỏ cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến B và C đường tròn cắt tia AC và tia AB D và E Chứng minh a) BD2 = AD.CD b) Tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp c) BC song song với DE Cho tam giác nhọn ABC, đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC E và D, CE cắt BD H a) Chứng minh AH vuông góc với BC F b) Chứng minh tứ giác BEHF nội tiếp c) EF cắt đường tròn (O) K (K khác E) Chứng minh DK // AF Tứ giác không thể nội tiếp đường tròn? A Hình thang vuông B Hình vuông C Hình thang cân D Hình chữ nhật Bài 8: Dường tròn ngoại tiếp Dường tròn nội tiếp Đề thi kì I 07 – 08 Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm : A Ba đường trung trực tam giác B Ba đường cao tam giác C Ba đường trung tuyến tam giác D Ba đường phân giác tam giác Đề thi kì II 07 – 08 Tam giác ABC vuông A nội tiếp đường tròn (O; R), biết AB = 15cm, AC = 20cm thì R A 10cm B 25cm D 7,5cm D 12,5cm Đề thi kì II 2012 – 2013 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AC, tâm O Biết AC = 6cm; AB = 3 cm Chứng minh tam giác OBC Đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD có bán kính là 5cm Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABCD Dạng Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giac có cạnh Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh 6cm là: (10) A.1cm B cm C cm D cm Cho tam giác ABC vuông A, AB = 3cm, AC = 4cm Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Cho hình vuông nội tiếp đường tròn (O; cm) Tính diện tích hình vuông 2/ Dựng tam giác ABC, biết BC = 4cm, A 60 , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác 1cm Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; 6cm) Tính chu vi tam giác ABC Cho tam giác có cạnh là 3 nội tiếp đường tròn (O; R) Tính R Cho hình vuông có chu vi là 12 12 cm nội tiếp đường tròn (O; R) Tính R Đề thi kì I 06 – 07 Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh góc vuông a Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC : a a A a B 2a C D Đề tuyển sinh (Năm học 2007 – 2008) Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC hình Biết B 58 ; C 42 Số đo AOD A 500 B 400 C 1000 D 800 Đề tuyển sinh (Năm học 2007 – 2008) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BC Gọi I là trung điểm AC, tia BI cắt cung nhỏ AC M Khi đó kết tính MC theo BC BC BC 11 BC 10 BC 10 A 11 B 10 C 11 D 10 Đề tuyển sinh (Khóa ngày 18/6/2008) Đường tròn (O; 2cm) nội tiếp tam giác ABC thì độ dài cạnh tam giác ABC là A cm B cm C cm D cm Đề tuyển sinh (Khóa ngày 18/6/2008 Cho tam giác ABC có số đo chu vi (đơn vị: cm) số đo diện tích (đơn vị: cm2) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là A 3cm B 4cm C 2cm D 5cm Bài 9: Độ dài đường tròn, cung tròn Đề thi kì II 2007- 2008 Hình vuông có cạnh cm nội tiếp đường tròn (O; R) thì độ dài đường tròn là a) 6 (cm) b) 2 (cm) c) 3 (cm) d) 12 (cm) Cho đường tròn có độ dài là 6,28cm Trên đường tròn đó lấy hai điểm A và B cho AB 50 Tính độ dài cung AB này Đề thi kì II 2011- 2012 Một hình tròn có bán kính 2cm Tính chu vi hình tròn đó (Cho 3,14 ) Đề thi kì II 2012 – 2013 Cho đường tròn có bán kính 8cm Tính độ dài đường tròn Cho tam giác ABC vuông A có AB = 5cm, AC = 12cm Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác đó 2/ Cho tam giác cân ABC có B̂ =1200, AC = 6cm Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác đó 0 Cho hình thang ABCD ( đáy nhỏ AB) nội tiếp đường tròn (O; R) cho trước Biết sđ AB 55 ; sđ AD 95 Tính độ dài các cung CD, BC Dạng 4 AB Cho cung có độ dài là cm đường tròn (O, 6cm) Tính số đo cung AB 5 cm Cho cung AB có độ dài là đường tròn (O, 2cm) Tính số đo góc tâm AOB Cạnh bên tam giác cân 8cm, góc đáy tam giác 300 Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác Tính độ dài cung 480 đường tròn có bán kính 18,4m (11) Đề thi kì II 2007- 2008 Đường tròn (O, 9cm) có cung AB dài 14,13cm thì số đo cung AB lấy = 3,14 là A 900 B 600 C 1200 D 1800 Cho đường tròn (O) ngoại tiếp hình vuông có cạnh là cm Tính chu vi hình tròn trên Cho đường tròn (O; 8cm) Tính độ dài cung tròn có số đo 1200 đường tròn trên Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn (O; 6cm) có ABC 120 Tính độ dài cung ABC nhỏ Cho đường tròn (O; R) Trên (O) lấy hai điểm A và C cho AC 120 Tính độ dài AC theo R Chu vi đường tròn là 220cm, cung AB đường tròn có độ dài là 20cm Tính góc tâm AOB Cung nhỏ AB đường tròn (O) có số đo 1200 Độ dài cung nhỏ AB là: 2 R A 4 R B R C 5 R D Bài 10: Diện tích hình tròn, hình quạt tròn Dạng 10 Đề thi kì II 2010 – 2011 Cho hình tròn có bán kính 8cm Tính diện tích hình tròn Đề thi kì II 08 – 09 Tính diện tích hình tròn có đường kính 10cm Đề thi kì II 2007- 2008 Hình tròn (O; R) có diện tích 530,66cm2 lấy 3,14 thì R A 10cm B 13cm C 84,5cm D 169cm Cho đường tròn có chu vi 75,36cm Tính diện tích hình tròn trên Đề thi kì II 07 – 08 Đường tròn có chu vi là 50,24cm thì diện tích hình tròn trên lấy = 3,14 là A 401,92cm2 B 25,12cm2 C 100,48cm2 D 200,96cm2 3,14 Cho đường tròn có chu vi 62,8cm thì diện tích hình tròn đó là: A 314cm2 B 31,4cm2 C 1256cm2 D 1256cm Đề tuyển sinh (Khóa ngày 18/6/2009) Tính diện tích hình tròn biết chu vi nó 31,4cm (Cho 3,14 ) Đề tuyển sinh (Năm học 2007 – 2008)) Hình tròn có chu vi 10 (cm) thì diện tích A 25 (cm2) B 25 (cm2) C 10 (cm2) D (cm2) Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác cân ABC, biết  = 1200, AB = AC = 4cm Đề thì kì II 2009 - 2010 Tính chu vi hình tròn có diện tích 32 (cm2) Cho hình tròn có diện tích 254,34cm2 Tính chu vi đường tròn trên Đề tuyển sinh (Khóa ngày 26/6/2012) Cho AB là dây cung đường tròn tâm O bán kính 12cm Biết AB = 12cm Tính diện tích hình quạt tạo hai bán kính OA, OB và cung nhỏ AB Đề tuyển sinh (Khóa ngày 18/6/2008) Hai bán kính OA, OB đường tròn (O; R) tạo thành góc tâm có số đo 1200 thì diện tích hình quạt tròn giới hạn hai bán kính OA, OB và cung lớn AB R2 3 R 2 R R2 A B C D 32 Cho hình quạt tròn có diện tích là , bán kính hình quạt là 4cm Khi đó số cung tròn hình quạt là bao nhiêu? Tính diện tích hình quạt tròn có bán kính là và góc tâm tương ứng là 500 Tính diện tích hình quạt tròn có bán kính 6cm, số đo cung là 360 Cho đường tròn (O; R) và dây cung MN = R Tính diện tích viên phân giới hạn cung MN và dây MN theo R Cho đường tròn (O; 9cm) Tính diện tích hình quạt tròn có số đo cung quạt là 2400 đường tròn (12) Cho đường tròn (O) ngoại tiếp hình vuông có cạnh là 6cm Tính tổng diện tích bốn viên phân tạo hình vuông và đường tròn Trên đường tròn (O; 12cm) lấy hai điểm A, B cho AOB 60 Tính diện tích hình viên phân tạo hình tròn với tam giác OAB Cho đường tròn (O; 3cm), đường kính AB Vẽ dây AC căng cung có số đo 90 Tính diện tích hình viên phân tạo dây AC và cung nhỏ AC Cho tam giác cân ABC, A 120 , AB = AC = 4cm Qua C vẽ CH BA H Vẽ đường tròn (A, AH) và đường tròn (A; AB) Tính diện tích hình vành khăn nằm hai đường tròn trên Cho đường tròn (O; R), biết diện tích hình quạt tròn có số đo cung quạt 600 là 75,36cm2 Tính R Tính diện tích hình viên phân giới hạn cung 600 và dây căng cung đó hình tròn là 4cm Đề thi kì II (2007 - 2008) Diện tích hình vành khăn tạo đường tròn (O; 5cm) với đường tròn (O; 3cm) A.4 (cm2) B (cm2) C 16 (cm2) D (cm2) Đề tuyển sinh (Khóa ngày 18/6/2008) Diện tích hình vành khăn tạo đường tròn (O; R) với đường tròn (O; 6cm) 45 cm2 Nếu R > (cm) thì R A 9cm B 8cm C 10cm D 7cm Đề tuyển sinh (Năm học 2007 - 2008) Chu vi hình quạt tròn hình là 2 A (cm) B (cm) 2 C (cm) D (cm) Đề tuyển sinh (Năm học 2007 - 2008) Trong các khẳng định sau, khẳng định sai là A Trong đường tròn, số đo góc tâm gấp đôi số đo góc nội tiếp cùng chắn cung B Nếu hai đường tròn cắt thì dây chung là đường trung trực đoạn thẳng nối hai tâm hai đường tròn trên C Tứ giác nội tiếp đường tròn có tổng số đo hai góc đối 1800 D Hai hình tròn có chu vi thì chúng có diện tích Ôn tập chương N C , N D Đường tròn Đề tuyển sinh (Khóa ngày 21/6/2006) Cho hình vuông ABCD Trên cạnh CD lấy điểm N E C ngoại tiếp tam giác BNC cắt AC E 1) Chứng minh tam giác BEN vuông cân 2) Tia BE cắt AD M, BN cắt AC F Chứng minh tứ giác ABFM nội tiếp 3) MF cắt NE H Chứng minh BH MN 4) Gọi J là giao điểm BH và AC Chứng minh BC.EJ = EA.BJ Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Vẽ đường kính OD vuông góc với dây BC I Tiếp tuyến với đường tròn (O) C và D cắt M Chứng minh BAD DCM Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), có B 46 , C 72 Tia phân giác góc A cắt đường tròn M, tia phân giác góc B cắt đường tròn N Gọi I là giao điểm AM và BN, chứng minh MB = MC = MI Cho đường tròn (O; R) đường kính BC, trên BC lấy hai điểm A và D cho sñAB sñ AD sñ DC a) Chứng minh tứ giác BADC là hình thang cân b) Tính diện tích hình thang cân BADC theo R Cho đường tròn (O; 5cm) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn, biết OM = 10cm Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là tiếp điểm) a) Tam giác MAB là tam giác gì? Vì sao? b) Tính độ dài các cung AB đường tròn (13) c) Tính diện tích phần tứ giác AMBO nằm ngoài đường tròn (O) Cho đường tròn (O; R), biết độ dài cung tròn có số đo 450 là 2,862cm Tính R Tia OB cắt đườg tròn (O) C Tính chu vi hình phẳng giới hạn AB, AC , BC theo R Bánh xe đạp bơm căng có đường kính là 73cm a) Hỏi xe bao nhiêu km, bánh xe quay 1000 vòng b) Hỏi bánh xe quay bao nhiêu vòng xe 4km Dựng tam giác ABC, biết AB = 3cm, C 60 , đường cao CH = 2cm Dựng tam giác ABC, biết BC = 3cm, A 50 , và đường cao trung tuyến ứng với cạnh BC là 3cm Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O; R), AH là đường cao a) Cho BC = 6cm, AH = 4cm Tính chu vi tam giác ABC và R b) Gọi B’ đối xứng với B qua O, kẻ CB’ vuông góc AI I Chứng minh AI là tiếp tuyến (O; R) c) Kẻ AK vuông góc BB’ Chứng minh AI = AK 0 Trên đường tròn (O) lấy theo thứ tự các điểm A, B, C, D cho sñAB 80 , sñ BC 100 , sñCD 120 a) Chứng minh ba điểm A, O, C thẳng hàng b) BD cắt AC I Tính BIC c) DA cắt BC K Tính DKC Cho đường tròn (O; R) và điểm A trên đường tròn, trên tiếp tuyến A đường tròn lấy điểm B cho OB = 2R Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), đường kính AD Gọi E là trung điểm cạnh AC, tia DE cắt đường tròn F Tính BE, DE theo R Cho (O), dây AB Trên AB lấy điểm C, D cho AC = CD = DB Các tia OC và OD cắt cung nhỏ AB E và F Chứng minh AE FB Cho AB, AC là hai dây cung (O), BAC 60 M, N theo thứ tự là điểm chính các cung AB, AC Đường thẳng MN cắt dây cung AB, AC theo thứ tự E, F Tam giác AEF là tam giác gì? Vì sao? A, B, C là ba điểm thuộc đường tròn (O) cho tiếp tuyến A cắt tia BC D Tia phân giác BAC cắt đường tròn M, tia phân giác D̂ cắt AM I Chứng minh DI AM Cho tam giác cân ABC, A 120 , AB = AC = 4cm Qua C vẽ CH BA H Vẽ đường tròn (A, AH) và đường tròn (A; AB) Chứng minh đường tròn (A; AH) tiếp xúc với cạnh BC ÔN TUYỂN SINH XIV/ ĐƯỜNG TRÒN, TỨ GIÁC NỘI TIẾP Tam giác ABC vuông A có BC = 2AB Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, BO cắt AC M Chứng 1 minh BM = OM Cho đđường tròn (O; R) và các đường kính AB và CD vuông góc với Gọi I là trung điểm OB, tia CI cắt đường tròn E, EA cắt CD K Tính DK theo R Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AD Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C biết AB = BC = (cm) và CD = 6cm Tính bán kính đường tròn Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; 3cm), BAC 80 , các đường cao xuất phát từ A và B cắt BC và AC E và F a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp b) Tính cung BC nhỏ; chiều dài BC nhỏ; S quạt (OBAC) c) Kẻ đường CH tam giác ABC Chứng minh EA là phân giác HEF Đề thi kì II 07 – 08 Tam giác ABC có hai lần góc B tổng góc A và góc C đó góc B A 600 B 900 C 1200 D 450 tham khaûo (14) GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN GÓC Ở TÂM SỐ ĐO CUNG Lyù thuyeát Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn gọi là góc tâm Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắng cung đó Số đo cung lớn 3600 trừ số đo cung nhỏ Số đo đường tròn 1800 Neáu C laø moät ñieåm naèm treân cung AB thì SñAB = SñAC + SñCB Baøi taäp Cho đường tròn (O), hai tiếp tuyến đường tròn A và B cắt M Biết AMB = 650 a/ Tính số đo góc tâm tạo hai bán kính OA, OB b/ Tính số đo cung nhỏ AB và số đo cung lớn AB (Kiến thức cũ: Tổng số đo các góc tứ giác 3600) LIÊN HỆ GIỮA CUNG VAØ DÂY Lyù thuyeát Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn baèng nhau: Hai cung baèng caêng hai daây baèng Hai daây baèng caêng hai cung baèng Cung lớn căng dây lớn hôn Dây lớn căng cung lớn hôn Baøi taäp Cho đường tròn (O) và dây cung AB không qua O Trên dây AB laáy ba ñieåm C, D, E cho AC = CD = DE = EB Caùc tia OC, OD, OE cắt đường tròn M, N, P Chứng minh a/ AM = PB vaø MN = NP b/ AM < MN (Kiến thức cũ: Trong tam giác cân đường cao xuất phát từ đỉnh chính là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực hai đường chéo hình bình hành cắt trung điểm đường) GOÙC NOÄI TIEÁP Lyù thuyeát Goùc noäi tieáp laø goùc coù ñænh naèm treân đường tròn và hai cạnh cắt đường tròn đó Cung naèm beân goùc laø cung bò chaén Số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bò chaén Trong đường tròn: Caùc goùc noäi tieáp cuøng chaén moät cung chắn các cung thì baèng Mọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông Mọi góc nội tiếp (nhỏ 900) có số đo nửa số đo góc tâm cùng chắn cung Baøi taäp Bài 1: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB Trên nửa đường tròn lấy hai điểm C và D (D AC) cho COD = 900 Các tia AD và BC cắt P, AC và BD cắt H Chứng minh: a/ Tam giaùc ACP vaø tam giaùc BDP laø caùc tam giaùc vuoâng caân b/ PH vuông góc với AB (Kiến thức cũ: Giao điểm ba đường cao tam giác gọi là trực tâm tam giác đó) Bài 2: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường troøn (O) D laø moät ñieåm tuøy yù treân caïnh BC, tia AD caét đường tròn (O) E Chứng minh: a/ AEC = ACB b/ AEC ~ ACD c/ Tính AE.AD không đổi điểm D thay đổi trên cạnh BC (15) GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VAØ DÂY CUNG Lyù thuyeát Góc tạo tai tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, cạnh là tia tiếp tuyến đường tròn, cạnh chứa dây cung đường tròn Cung naèm beân goùc laø cung bò chaén Số đo góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung nửa số đo cung bị chắn Baøi taäp Cho đường tròn (O), điểm M nằm bên ngoài đường tròn, qua điểm M kẻ tai tiếp tuyến MT với đường tròn (T là tiếp điểm) và cát tuyến MAB (A nằm M và B) a/ So saùnh hai goùc ATM vaø goùc ABT b/ Chứng minh MT2 = MA.MB GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG HAY BÊN NGOAI ĐƯỜNG TRÒN Lyù thuyeát Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chaén Số đo góc có đỉnh bên ngoài đường tròn nửa hiệu số đo hai cung bị chaén Baøi taäp Trên đường tròn (O)lấy theo thứ tự điểm A, B, C, D cho AB = 1000, BC = 300, CD = 600 a/ Tính các góc cua tứ giác ABCD b/ Gọi I và J là giao điểm AB và DC, AC vaø BD Tính caùc goùc AID vaø AJD CUNG CHỨA GÓC Lyù thuyeát Cho đoạn thẳng AB, quỹ tích các điểm M cho góc AMB cosoos đo a không đổi (00< a < 1800) là hai cung tròn có số đo 3600- 2a đối xứng qua AB Quỹ tích này gọi là cung chứa góc a dựng trên đoạn thẳng AB Cách giải bài toán quỹ tích Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần: Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H dều có tính chất T Từ đó rút kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất T là hình H TỨ GIÁC NỘI TIẾP Baøi taäp Cho tam giaùc ABC coù caïnh BC coá ñònh, goùc A = 600 không đổi Tìm quyõ tích giao điểm Iba đường phaân giaùc cuûa tam giaùc ABC Baøi taäp Cho đường tròn (O) và đường thẳng d nằm bên ngoài đường tròn Từ O kẻ OH vuông góc với d, qua H kẻ đường thẳng cắt đường tròn (O) A và B Tiếp tuýen đường tròn A và B cất d D và E a/ Chứng minh bốn điểm A, O, D, H cùng thuộc đườngt ròn và bốn điểm O, H, B, E cùng thuộc đường tròn b/ So saùnh caùc goùc ADO; AHO vaø BEO c/ Chứng minh H là trung điểm DE ĐỘ DAØI ĐƯỜNG TRÒN – DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN Lyù thuyeát Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn gọi làtứ gác nội tiếp đường tròn(gọi tắt là tứ giác nội tiếp) Nếu tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800 Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn Lyù thuyeát Độ dài C (chu vi) đường tròn bán kính R tính theo công thức: C=2 π R Baøi taäp a/ Tính độ dài cung 720 cuûa moät (16) 22 3,14) Trên đường tròn bán kính R, dộ dài l cung n0 tính theo công thức: π Rn l = 180 Diện tích hình tròn bán kính R tính theo công thức: S = π R2 Trong hình tròn bán kính R, diện tích hình quạt n0 tính theo công thức: lR πR2 n S= hay S = 360 ( π = đường tròn có bán kính 17,5 dm b/ Tính baùn kính cuûa đường tròn, biết độ dài cung 450 đường tròn đó là 14,1372 dm c/ Tính dieän tích hình tròn ngoại tiếp tam giaùc caân ABC, bieát A = 1200, AB = AC = cm BAØI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm C là diểm chính cung AB, M là điểm thay đổi treân cung CB Qua C keû CN vuoâng goùc voùi AM a/ chứng minh tam giác MNC vuông cân b/ Chứng minh OCN = OAN c/ Điểm M nằm vị trí nào trên cung BC thì tam giác OMC là tam giác đều? Baøi 2: Cho goùc nhoïn xOy Treân caïnh Ox laáy hai ñieåm A vaø B cho OA = 2cm, OB = 6cm, treân caïnh Oy laáy hai điểm C và D cho OC = 1,5 cm, OD = cm Chứng minh: a/ Δ OBC ~ Δ ODA b/ Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn c/ BDC = OAC Bài 3: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) Trên tia đối các tia AB và CA lấy theo thứ tự hai ñieåm M vaø N cho MA = CN a/ So saùnh hai goùc OAB vaø OCA b/ Chứng minh Δ AOM = Δ CON c/ Chứng minh tứ giác OAMN nội tiếp đường tròn Bài 4: Cho tam gáic ABC nội tiếp đường tròn (O) vẽ hình bình hành ABCD Gọi H và H’ là trực tâm tam giác ABD và ABC, còn I là trung điểm cạnh AB Chứng minh: a/ H’ thuộc đường tròn (O) và CH’ là đương kính đường tròn (O) b/ Ba ñieåm H, I, H’ thaúng haøng Bài 5: Trên đường tròn (O) lấy hai điểm B và D Gọi A là điểm chính cung lớn BD Các tia AD, AB cắt tiếp tuyến Bx và Dy đường tròn N và M Chứng minh: a/ Tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn b/ MN // BD c/ MA.MB = MD2 hình truï – hình noùn – hình caàu Noäi dung Dieän tích xung quanh Diện tích toàn phần Theå tích Hình truï Sxq = π rh r:bán kính đáy h: Chieàu cao Stp = π rh + π r2 V = Sh = π r2h S: diện tích đáy Hình noùn π Sxq = rl r:bán kính đáy l: đường sinh Stp = π rl + π r2 π r2h V= h: Chieàu cao Hình caàu Dieän tích maët caàu: S = π R2 R: baùn kính maët caàu V= πR (17) (18)