tap de thi hsg toan 8 tu soan

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD... HƯỚNG DẪN CHẤM THI.[r]

PHÒNG GD BÌNH LỤC TRƯỜNG THCS TRÀNG AN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỀ SUẤT TOÁN NĂM HỌC 13-14 Câu 1(4 điểm) 1  x  B Cho biểu thức:  x2    x3    x3  :   x  x    x    x a) Tìm x để B có nghĩa b) Rút gọn B c) Chứng minh B luôn dương với x thoả mãn điều kiện xác định B Câu 2(4 điểm) a Phân tích các đa thức sau thừa số: x4   x    x    x    x    24 b Giải phương trình: x  30x  31x  30  c) Cho a , b , c là cạnh một tam giác Chứng minh rằng A= a b c + + ≥3 b+c − a a+c −b a+b − c Câu (3 điểm) Một người xe đạp, một người xe máy và một người ô tô xuất phát từ địa điểm A lúc giờ, giờ, 10 với vận tốc theo thứ tự là 10km/h, 30km/h và 50km/h Hỏi đến thì ô tô vị trí cách xe đạp và xe máy? Câu 4: (8,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F là hình chiếu B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K là hình chiếu C xuống đường thẳng AB và AD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng : CD.OF = OE.AD d) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2 Câu 5( điểm): Chứng minh rằng biểu thức P cho sau đây không là số tự nhiên P 1 1     2 20142 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Câu1 Điểm 4.0 a ĐKXĐ: x b 1  x  B 1x 1  1.5 2    x3    x3  :   x  x    x    x 1.5 2 1  x  :  1  x 1  x B  1 x 2 2 1  x  B 1 x   (1  x ) B  x2 c 0.75 0,5 0,25 B  x2 Với x  1 ta có 1,0 B  x >0 vơí mọi x mà 1+x2 > với x nên Cau a 4,0 x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) 1,5 = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) x  30x  31x  30  <=> x   x   x  5  x  6  (*) 0,5 Vì x2 - x + = (x - )2 + > x b 0,25 (*) <=> (x - 5)(x + 6) =  x  0  x  0   0,25  x 5  x   0, Vậy………… Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Từ đó suy c a yz xz xy ;b  ;c  2 ; 0,5 y+z x+z x+ y y x x z y z Thay vào ta A= x + y + z = ( x + y )+( z + x )+( z + y ) [ 1,0 ] 0,25 Từ đó suy A (2+2+2) hay A Câu3 3,0 Gọi thời gian ô tô đến vị trí cách xe đạp và xe máy là x(h) điều kiện x>0 => Thời gian xe đạp là x + (h) Thời gian xe máy là x + (h) => Quãng đường ô tô là 50x (km) Quãng đường xe đạp là 10(x + 2) (km) Quãng đường xe máy là 30(x + 1) (km) Vì đến 10 thì xe máy đã vượt trước xe đạp => ô tô vị trí cách xe đạp và xe máy x nghiệm đúng phương trình: 50x – 10(x + 2) = 30(x + 1) – 50x <=> 60x =50 0.5 0,5 0,5 0,5 <=> x = (h) = 50 phút (TMĐK) 0,5 Vậy đến 10h50 phút thì ô tô vị trí cách xe đạp và xe máy 0,5 Bài 8,0 H C B 0,25 F O E A D a K 2,0 Ta có : BE  AC (gt); DF  AC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh : BEO DFO( g  c  g ) 0,5 => BE = DF 0,25 Suy : Tứ giác : BEDF là hình bình hành 0,25 b 2,0     Ta có: ABC  ADC  HBC KDC 0,5 Chứng minh : CBH CDK ( g  g ) 1,0  CH CK   CH CD CK CB CB CD c, 0,5 1,0 CD OD  Chứng minh : AD OB 0,25 OD OE  Chứng minh OB OF 0,25 Suy : CD.OF = AD.OE 0.5 d, 1,75 Chứng minh : AFD AKC ( g  g ) 0,25 AF AK   AD.AK AF AC AD AC 0,25  Chứng minh : CFD AHC ( g  g )  CF AH  CD AC Mà : CD = AB 0,25 0,25  CF AH   AB AH CF AC AB AC Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) 1 1     2 20142 1 1      2.2 3.3 4.4 2014.2014 1 1 Câu      1.2 2.3 3.4 2013.2014 1 1 1       2 2013 2014 2013 1   1 2014 2014 P Mà 0<P Vậy P không là số tự nhiên 0,5 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25