Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox.. điểm của đường thẳng ..[r]
(1)ĐỀ SỐ Thời gian làm bài: 90 phút Câu I (4,0 điểm) 1) Tìm nguyên hàm F( x ) hàm số f ( x) 2 x sin x 2) Tính các tích phân sau: a) I x x dx ; b) J (3 x) cos xdx Câu II (1,0 điểm) Tìm phần thực, phần ảo, mô đun số phức z 9 15i (2 3i) Câu III (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–1; 0; 2), mặt phẳng (P): 2x – y – z +3 x y z = và đường thẳng (d): 1) Tìm giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và song song (P) 2) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) Câu IV ( 2,0 điểm) 1) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn các đường y x3 , y =0, x =0, x =1 quay xung quanh trục Ox 2) Tìm số phức z biết 1+3 i ¿2 (2 −3 i) z+(4 +i) z=− ¿ Câu V ( 1,0 điểm) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc điểm M (1;-1;2) trên : x y z 11 0 mặt phẳng -Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ Câu Mục I (4đ) Nội dung Điểm Tìm nguyên hàm F( x ) hàm số f ( x) 2 x sin x I.1 (1đ) I.2 (3đ) x Một nguyên hàm 2x là Một nguyên hàm sin x là cos x F ( x) x cos x Vậy nguyên hàm a) Tính tích phân I x x dx 1,0đ 0.25 0,25 0,5 0.5 1,5đ (2) Đặt : t x t 1 x 3t dt 2 xdx xdx t dt Đổi cận: x 0 t 1; x t 2 2 Đổi biến 3 I t dt t 1 b) Tính tích phân 1,5đ J (3 x) cos xdx u 3 x du 2dx sin x dv cos x v Đặt: I (3 x ) Tích phân từng phần 0.25 sin x sin xdx 6 cos x 6 8 ( ) ( ) (0 1) 2 4 4 J 2 Vậy Tìm phần thực, phần ảo, mô đun số phức z 9 15i (2 3i ) 2 Ta có z 9 15i (2 3i ) 9 15i 9i 12i 4 3i Phần thực = Phần ảo = -3 II (1đ) Mô đun z là III (2đ) III.1 (1đ) 0,5 0,25 0,5 45 I (16 1) 8 Vậy 0.25 z 42 ( 3)2 25 5 0,25 0,5 0,25 1đ 0,25 0,25 0,25 0,25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–1; 0; 2), mặt phẳng (P): 2x – y – z +3 = và đường thẳng (d): x y z 1) Tìm giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và song song (P) 1đ (3) x y z x = + 2t; y = + Đặt t = 4t và z = + t Thay vào (1) giải t = Thay t= lại (3) tọa độ giao điểm là M(5; 6; 7) * Do mặt phẳng (Q) qua A và song song (P) nên có phương trình dạng 2x – y – z + d = Vì (Q) qua A(–1; 0; 2), nên có d = Vậy pt (Q): 2x – y – z + = 2) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P).Tìm tọa độ tiếp điểm (S) và (P) 0,25 0,25 0,25 0,25 1đ * Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có bán kính III.2 (1đ) 2( 1) 1 1 R = d(A, (P)) = Phương trình mặt cầu là : 0,5 ( x 1) y ( z 2) 0,5 1) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn các đường y x ,y =0,x =0,x =1 1đ quay xung quanh trục Ox IV.a.1 (1đ) Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị y x và y=0: x3 0 x 0;1 Gọi V là thể tích vật thể cần tìm : 1 V ( x 1) dx ( x x 1)dx IV.a (2đ) 0,25 x7 1 23 x x 1 14 0 1+3 i¿2 Tìm số phức z biết (2 −3 i) z+(4 +i) z=− ¿ z x yi x, y IV.a.2 Giả sử (1đ) 6x 4y 8 Ta có 2x 2y x 2; y 5 z 5i V.a (1đ) 0,25 Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc điểm M (1; : x y z 11 0 1;2) trên mặt phẳng Điểm H, hình chiếu vuông góc điểm M trên mp là giao 0,5 1đ 0,25 0.25 0,25 0,25 1đ 0.25 (4) điểm đường thẳng qua M vàvuông góc n 2; 1; Đường thẳng vuông góc nhận làm VTCP Phương trình tham số x 1 2t : y t z 2 2t 0.25 Thế các biểu thức này vào , ta có t = -2 Ta H(-3;1;-2) 1) Cho hình phẳng giới hạn các đường y = – x2 và y = x3 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng đó nó quay quanh trục Ox Phương trình – x2 = x3 x = và x = –1 Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn các đường y = – x 2, x = 0, x = –1 và trục Ox hình phẳng đó quay quanh Ox: IV.b.1 (1đ) ( x )2 dx Có V2 = IV.b (2đ) =5 Có V1 = Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn các đường y = x 3, x = 0, x = -1 và trục Ox…: ( x )2 dx 1 = Vậy thể tích V cần tính là: V = IV.b.2 (1đ) V1 V2 = 35 (đvtt) V.b (1đ) t1 t2 Giải phương trình ta Nghiệm phương trình z1,2 i z1,2 1đ 0,25 0,25 0,25 1đ 0,25 0,25 0,25 0,25 Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc điểm M (1; : x y z 11 0 1;2) trên mặt phẳng Điểm H, hình chiếu vuông góc điểm M trên mp là giao điểm đường thẳng 0.25 0,25 2) Giải phương trình 3z z 0 trên tập số phức Đặt t = z2 Ta có 3t2 – 2t – = 0.25 qua M và vuông góc 1đ 0.25 (5) Đường thẳng vuông góc nhận Phương trình tham số n 2; 1; làm VTCP x 1 2t : y t z 2 2t 0,25 0.25 0,25 Thế các biểu thức này vào , ta có t = -2 Ta H(-3;1;-2) ĐỀ SỐ Thời gian làm bài: 90 phút Câu I (4,0 điểm) F x 1) Tìm nguyên hàm hàm số: 2) Tính các tích phân sau: f x x 1 x F 1 8 ,biết A x x dx a) Câu II (1,0 điểm) b) B x 1 sin 2xdx Z 1 2i i Tìm phần thực và phần ảo số phức Z ,biết Câu III (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;-2;-2) và mặt phẳng có phương trình là ( ) 1) Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với (P) Tìm tọa độ giao điểm d và (P) 2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với (P) Câu IV ( 2,0 điểm) 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau: P : x + 2y + 3z - = y = x + 2x - 3, y = và x = 0, x = 2 2i Z Z 4i 20 2) Tìm mô đun số phức Z ,biết Câu V ( 1,0 điểm) A( 1; 2;3) , B 1;0; Trong không gian Oxyz, cho điểm và mặt phẳng có phương trình là (P): 2x + y – 3z – = Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) cho ba điểm A, B, M thẳng hàng -Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ Câu Mục Nội dung Điểm (6) 1) Tìm nguyên hàm F x hàm số: f x x 1 x ,biết F 1 8 1;0 đ 1 F(x) 4x dx x F(x) 2x 4x ln | x | C 0.25 0.25 F(1) 8 C 10 0.25 Vậy : F(x) 2x 4x ln | x | 10 0.25 A x x dx a) Tính tích phân : 2 Đặt t x x 1 t t.dt xdx Khi : x = t 1 và x 1 t 0 0;25 Câu1;0 I đ (3đ) A t 2t t dt 0.25 1 0 0;25 t 2t t = Vậy : A = 105 0;25 b) B x 1 sin 2xdx u x dv sin 2x.dx Đặt du dx v cos 2x 0;25 1;0 đ (x 1) 12 B cos 2x| cos 2xdx 20 sin 2x | = B 1 Vậy : Câu II (1đ) 1;0 đ 0;25 0;25 0;25 Tìm phần thực và phần ảo số phức Z ,biết Z 1 Z 1 2i i 2i 2i = 2i Z 5 2i 0.25 0.25 0.25 (7) 0;25 Vậy : số phức Z có phần thực a = ,phần ảo b 1) Viết phương trình (d) qua A và vuông góc (P).Tìm độ giao điểm d và (P) . (d) qua điểm A(3;-2;-2) và d (P) (d) có Vtcp 0.25 u n (P) 1; 2;3 1;0 đ Câu III (2đ) x 3 t y 2t t R z 3t 0.25 Phương trình tham số (d) : Gọi A d (P) Thế x,y,z từ phương trình (d) vào phương trình (P) 0.25 t 2t 3t 0 t = Vậy : A(4;0;1) 0.25 2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với (P) A; (P) Vì (S) tiếp xúc với (P) bán kính R = 1;0 đ 0.25 0.5 R 14 2 S : x y2 z 2 14 Phương trình mặt cầu 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau 0.25 y = x + 2x - 3, y = và x = 0, x = Phương trình hoành độ giao điểm : x 0; x 2x 0 x 1 0; 1;0đ Câu IV.a (1đ) S x 2x 3 dx 2x 3 dx 0.25 x5 x5 2 x3 x3 3x |0 3x |1 3 = 0.25 0.25 x Vậy diện tích hình phẳng là S = 10 ( đ.v.d.t ) 2) Tìm mô đun số phức Z ,biết 2i 0.25 .Z Z 4i 20 a, b R Đặt Z = a + b.i gt 1;0 đ V.a (1đ) 4i a bi a bi 20 4i 2a 4b 20 4a 4b 4 a 4; b 3 Mô đun | Z |5 0;25 0;25 0;25 0;25 A( 1; 2;3) , B 1;0; Cho điểm và (P) : 2x + y – 3z – = Tìm điểm M nằm trên mặt phẳng (P) để ba điểm A,B,M thẳng hàng (8) Vì A,B,M thẳng hàng nên M thuộc đường thẳng AB 1;0 đ 0.25 x t M AB : y 2 t M( t; t;3 4t) z 3 4t 0.25 M (P) t t 4t 0 0.25 t = Vậy : M(0;1;-10 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) hàm số y 0.25 x 3x x 1 ;y=0 Phương trình hoành độ giao điểm : 0.25 2x 3x 0 x x 2 x 1 2 S 1;0 đ Câu IV.b (2;0đ) 2x x 1 dx 0.25 S x 5x 3ln | x 1| | 0.25 35 3ln Vậy : S = ( đ.v.d.t ) 0;25 2) Cho số phức Z là nghiệm phương trình Z2 i Z 2i 0 .Tìm phần thực ,phần ảo số phức Z ' i 1.2i 0 Phương trình có nghiệm kép Z = + I 1;0 đ 1 i Số phức Z 2 1 a b ,phần ảo là Vậy số phức Z có phần thực là 0;25 0;25 0;25 0;25 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 4x – 3y + 11z – 26 = và hai đường thẳng d1 : V.b (1đ) 1;0 đ x y z 1 x y z d2 : 2 và 1 Viết phương trình đường thẳng (d) nằm mặt phẳng (P) ,đồng thời cắt d1 và d Gọi A d1 (P) ; B d (P) (d) là đường thẳng qua A và B A(1;0;2) và B(3;-1;1) 0.25 (d) qua điểm A(1;0;2) và có Vtcp là 0.25 AB 2; 1; 1 0.25 (9) Phương trình đường thẳng (d) : x 1 2t y t z 2 t Hết - 0;25 (10)