b Tìm m để đường thẳng d cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại M và N sao cho tam giác OMN có diện tích bằng 1... Giải1/ Đường thẳng.[r]
(1)I CÁC BÀI CÓ HƯỚNG DẪN Hàm số bậc Bài 1: 1) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) 2) Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng trên với trục tung và trục hoành Hướng dẫn : 2) Gọi pt đường thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b 2 a b a 3 b Do đường thẳng qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt : a b Vậy pt đường thẳng cần tìm là y = 3x – 1 2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ -1 ; Đồ thị cắt trục hoành điểm có hoành độ Bài Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 1) Tìm điều kiện m để hàm số luôn nghịch biến 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ 3) Tìmm để đồ thị hàm số trên và các đồ thị các hàm số y = -x + 2; y = 2x –1đồng quy.tìm tọa độ giao điểm Hướng dẫn : 1) Hàm số y = (m – 2)x + m + m–2<0 m < 2) Do đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ Suy : x= ; y = Thay x= ; y = vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta m y x ⇔ 3) Giao điểm hai đồ thị y = -x + ; y = 2x – là nghiệm hệ pt : y 2 x (x;y) = (1;1) Để đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + và y = 2x – đồng quy cần : (x;y) = (1;1) là nghiệm pt : 1 y = (m – 2)x + m + 3.Với (x;y) = (1;1) m thì các đường thẳng trên đồng qui điểm có tọa độ(1;1) B ài 3: Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn qua với m Hướng dẫn : 1) Để hai đồ thị hàm số song song với cần : m – = - m = -1 Vậy với m = -1 đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + Ta : m = -3 Vậy với m = -3 thì đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn qua là M(x0 ;y0) Ta có x0 1 ⇔ y0 2 y0 = (m – 1)x0 + m + (x0 – 1)m – x0 – y0 + = Vậy với m thì đồ thị luôn qua điểm cố định (1;2) Bài : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1) 1) Viết phương trình đường thẳng AB 2) Tìm các giá trị m để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đường thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) Hướng dẫn : 2) Gọi pt đường thẳng AB có dạng : y = ax + b 1 a b a b 3 Do đường thẳng qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt : 2a b Vậy pt đường thẳng cần tìm là y = - 2x + (2) 2) Để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đường thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) ta m2 3m m 2m 2 cần : m = Vậy m = thì đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đường thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) Bài : Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 1) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh đồ thị hàm số luôn qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ x = Hướng dẫn : 1) m = 2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn qua là M(x0 ;y0) Ta có 1 x0 y y0 = (2m – 1)x0 + m – (2x0 + 1)m – x0 – y0 – = 1 5 ; Vậy với m thì đồ thị luôn qua điểm cố định ( 2 ) Bài tập luyện 6 x 4x Bài Tìm giá trị k để các đường thẳng sau : y = ; y = và y = kx + k + cắt điểm Bài 7:Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b Xác định a, b để (d) qua hai điểm A(1; 3) và B(-3; -1) Bài : Cho hàm số : y = x + m (D) Tìm các giá trị m để đường thẳng (D) : 1) Đi qua điểm A(1; 2013) 2) Song song với đường thẳng x – y + = Hàm số bậc -Hàm số bậc J Dạng 1: Tìm hoành độ giao điểm Parabol và đường thẳng Ví dụ 1: Tìm hoành độ giao điểm Parabol (P) y = x2 với đường thẳng (d) y = x + GiảiTa có hoành độ giao điểm Parabol (P) y = x2 với đường thẳng (d) y = x + là nghiệm ph trình: x2 = x + x2 –x – = D = b2 – 4ac = (–1)2 – 4.1.( –6) = + 24 = 25, D =5 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b D 15 3 2a x2 b D 1 2a Vậy hoành độ giao điểm (P) và (d) là: và – Ví dụ 2: Tìm hoành độ giao điểm Parabol (P) y = –x2 với đường thẳng (d) y = – 5x + Giải Ta có hoành độ giao điểm Parabol (P) y = –x với đường thẳng (d) y = –5x + là nghiệm phương trình: –x2 = –5x + x2 –5x + = Vì a + b + c = + (–5) + = nên x1 = 1; x2 = Vậy hoành độ giao điểm (P) và (d) là: và J Dạng 2: Tìm toạ độ giao điểm Parabol và đường thẳng y x2 và đường thẳng (d): y = 3x – Ví dụ 3: Tìm toạ độ giao điểm Parabol (P) (3) Giải y x2 và đường thẳng (d): y = 3x – là nghiệm ph trình: Hoành độ giao điểm Parabol (P) x 3x x 6x 0 D' = b'2 – ac = (–3)2 – 1.8 = – = 1, D' = Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b' D ' 4 a x2 b' D ' 2 a Thay x1 = vào ta y1 = 8, Thay x2 = vào ta y2 = Vậy toạ độ giao điểm (P) và (d) là: (4; 8); (2; 2) y x2 và đờng thẳng (a): y = 2x – Ví dụ 4: Tìm toạ độ giao điểm Parabol (P) Giải y x2 và đờng thẳng (a): Hoành độ giao điểm Parabol (P) x 2x x 6x 0 y = 2x – là nghiệm phương trình: D' = b'2 – ac = (–3)2 – 1.9 = – = x1 x b' 3 a Phơng trình có nghiệm kép: Thay x = vào ta đợc y = Vậy toạ độ giao điểm (P) và (a) là: (3; 3) J Dạng 3: Chứng minh vị trí tương đối Parabol và đường thẳng Ví dụ 5: Chứng tỏ Parabol (P) y 4x luôn tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 4mx + m2 m thay đổi Giải Ta có hoành độ giao điểm Parabol (P) y = –4x2 với đường thẳng (d) y = 4mx + m2 là nghiệm ph trình: –4x2 = 4mx + m2 4x2 + 4mx + m2 = D = b2 – 4ac = (4m)2 – 4.4.m2 = 16m2 – 16m2 = " m Ph trình có nghiệm kép Do đó Parabol (P) luôn tiếp xúc với (d) y = 4mx + m2 m thay đổi Ví dụ 6: Chứng tỏ Parabol (P) y x luôn có điểm chung với đường thẳng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + m thay đổi Giải Ta có hoành độ giao điểm Parabol (P) y = x với đờng thẳng (d) y = 2(m – 1)x – 2m + là nghiệm phương trình: x2 = 2(m – 1)x – 2m + x2 – 2(m – 1)x + 2m – = D' = b'2 – ac = [(m – 1)]2 – (2m – 3) = m2 – 2m +1 – 2m + = m2 – 4m +4 = (m – 2)2 ³ " m Phương trình luôn có nghiệm Do đó Parabol (P) luôn luôn có điểm chung với đường thẳng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + m thay đổi J Dạng 4: Chứng minh tính chất, vị trí giao điểm m.phẳng toạ độ Parabol và đường thẳng (4) Ví dụ 7: Chứng tỏ Parabol (P) y 3x cắt đường thẳng (d): y = 5x – hai điểm nằm cùng phía trục tung Giải Ta có hoành độ giao điểm Parabol (P) y = 3x với đường thẳng (d) y = 5x – là nghiệm phương trình: 3x2 = 5x – 3x2 – 5x + = Ta có a + b + c= + (–5) + = c x2 a Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 1 ; Ta thấy hai nghiệm này cùng dương Suy hoành độ giao điểm dương Do đó giao điểm chúng cùng nằm cùng phía trục tung.( góc phần tư thứ I Trong hệ trục Oxy) Ví dụ 8: Chứng tỏ Parabol (P) y x cắt đờng thẳng (d): y = 2x – 2007 hai điểm thuộc hai phía trục tung Giải Ta có hoành độ giao điểm Parabol (P) y = -x với đờng thẳng (d) y = 2x – 2013 là nghiệm phơng trình: –x2 = 2x – 2013 x2 + 2x – 2013 = Vì có a.c = –2013 < nên phương trình có hai nghiệm trái dấu Do đó giao điểm thuộc hai phía trục tung J Dạng 5: Biện luận số giao điểm đường thẳng và Parabol Ví dụ 9: Cho Parabol (P) y x cắt đờng thẳng (D): y = 2(m +1)x – m2 – Tìm m để: a) (D) cắt (P) hai điểm phân biệt b) (D) tiếp xúc với (P) c) (D) không cắt (P) Giải Hoành độ giao điểm Parabol (P) y = x với đường thẳng (D) y = 2(m +1)x – m2 – là nghiệm phương trình: x2 = 2(m +1)x – m2 – 9 x2 – 2(m +1)x + m2 +9= (1) D' = b'2 – ac = [(m + 1)]2 – (m2 + 9) = m2 + 2m +1 – m2 – = 2m – a) (D) cắt (P) hai điểm phân biệt <=> Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt <=> D' > <=> 2m – > 0<=> 2m > 8<=> m > 4Vậy với m > thì (D) cắt (P) hai điểm phân biệt b) (D) tiếp xúc với (P) <=> Phương trình (1) có nghiệm kép <=> D' = 0<=> 2m – = 0<=> 2m = 8<=> m = Vậy với m = thì (D) tiếp xúc với (P) c) (D) không cắt (P) <=> Phương trình (1) vô nghiệm <=> D' < 0<=> 2m – < 0<=> 2m < 8<=> m < 4Vậy với m < thì (D) không cắt (P) Ví dụ 10: Cho Parabol (P) y x cắt đường thẳng (D): y = 4x + 2m a) Với giá trị nào m thì (D) tiếp xúc với (P) b) Với giá trị nào m thì (D) cắt (P) hai điểm phân biệt A và B Tìm toạ độ giao điểm Giải Hoành độ giao điểm Parabol (P) y = x2 với đường thẳng (D) y = 4x + 2m là nghiệm phương trình: x2 = 4x + 2m x2 – 4x – 2m = (*) D' = b'2 – ac = (–2)2 – (–2m) = + 2m m (5) a) (D) tiếp xúc với (P) <=> Phương trình (*) có nghiệm kép<=> D' = <=> + 2m = 0<=> m = –2 Vậy với m = –2 thì (D) tiếp xúc với (P) b) (D) cắt (P) hai điểm phân biệt <=> Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt <=> D' > 0<=> + 2m > 0<=> m > –2 Vậy với m > –2 thì (D) cắt (P) hai điểm phân biệt Khi m thì hoành độ giao điểm A, B là nghiệm phương trình: x2 – 4x – =0 D' = b'2 – ac = (–2)2 – 1(–3) = + = ; D ' x1 b ' D ' b ' D ' 2 x 2 a a Thay x1 =2 + vào ta y1 = 11 +4 7 Thay x1 =2 – vào ta y1 = 11 –4 Từ đó suy toạ độ giao điểm A, B (P) và (D) là:A(2 + ; 11 +4 ); B(2 ; 11 – ) J Dạng 6: Lập phương trình tiếp tuyến Parabol và đường thẳng y x Ví dụ 11: Cho Parabol (P) a) Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) điểm M có hoành độ – y x b) Viết phương trình tiếp tuyến (P) viết tiếp tuyến này song song với đường thẳng c) Viết phương trình đường thẳng qua A(1; ) và tiếp xúc với (P) Giải Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b a) Thay x = –2 vào phương trình Parabol ta y = – Vậy M(–2; –2) vì đường thẳng qua M(–2; –2) nên ta có:–2 = –2a + b => b = 2a – (1) Mặt khác, đường thẳng này là tiếp tuyến (P) nên phương trình: Có nghiệm kép x ax b Có nghiệm kép x 2ax 2b 0 D' = 0 a2 – 2b =0 (2) Thay (1) vào (2) ta được: a2 – 2(2a – 2) = a2 – 4a +4 =0 (a – 2)2 = 0 a = Với a = thay vào (1) ta b = 2.2 – = Vậy phương trình đường thẳng qua M và tiếp xúc với (P) là:y = 2x + 1 y x b) Vì tiếp tuyến song song với nên ta có a = Suy phương trình đường thẳng có dạng 1 y xb x2 x b 2 Vì đường thẳng này tiếp xúc với (P) nên phương trình: có nghiệm kép x2 + x + 2b = (I) có nghiệm kép D = b2 – 4ac = 12 – 4.1.2b = – 8b (6) Để phương trình (I) có nghiệm kép thì D = – 8b = b = 1 y x Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 3 a b c)Đường thẳng (d) qua A(1; ) nên ta có: => b = – a (3) Vì đường thẳng tiếp xúc với Parabol nên phương trình: x ax b x 2ax 2b 0(II) Có nghiệm kép Có nghiệm kép Ta có: D' = a2 – 2b Để phương trình (II) có nghiệm kép thì a2 – 2b = (4) Thay (3) vào (4) ta được: a2 – 2( –a) = 0 a2 + 2a – = Suy a = và a = – 3 * Với a = thay vào (3) ta b = * Với a = thay vào (3) ta đợc b = 3 y x y 3x ; Vậy qua A(1; ) có hai tiếp tuyến với Parabol (P) là: J Dạng 7: Tìm giá trị tham số để vị trí tương giao thoả mãn điều kiện cho trước Ví dụ 12: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) y x và đường thẳng (d) có phương trình y = mx – a) Chứng minh với m (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A, B x x ³2 b) Gọi hoành độ giao điểm A và B là x1; x2 Chứng minh Giải a) Hoành độ giao điểm Parabol (P) y = –x2 với đường thẳng (d) y = mx – là nghiệm phương trình: –x2 = mx – 1 x2 + mx – 1= (*) D = b2 – 4ac = m2 – 4.1.( –1) = m2 + > " m Vì D > " m, nên phơng trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt => (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A, B b) Ta có x1; x2 là hai nghiệm phương trình (*) nên theo định lí Vi-ét có: x1.x2 = –1 x1 x x => x2 1 1 x1 x1 ³2 x1 2 x x x x 1 Vì x1 và cùng dấu nên: Vậy x1 x ³2 II CÁC BÀI LUYỆN TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho hàm số y= (m-2)x+n (d) Tìm giá trị m và n để đồ thị (d) hàm số : a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4) b) Cắt trục tung điểm có tung độ 1- và cắt trục hoành điểm có hoành độ 2+ c) Cắt đường thẳng -2y+x-3=0 d Song song vối đường thẳng 3x+2y=1 Bài 2: Cho hàm số : y 2 x (P) a) Vẽ đồ thị (P) b.Tìm trên đồ thị các điểm cách hai trục toạ độ c.Xét số giao điểm (P) với đường thẳng (d) y mx theo m d.Viết phương trình đường thẳng (d') qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P) Bài : Cho (P) y x và đường thẳng (d) y 2 x m 1.Xác định m để hai đường đó : (7) a.Tiếp xúc Tìm toạ độ tiếp điểm b.Cắt hai điểm phân biệt A và B , điểm có hoành độ x=-1 Tìm hoành độ điểm còn lại Tìm toạ độ A và B 2.Trong trường hợp tổng quát , giả sử (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M và N Tìm toạ độ trung điểm I đoạn MN theo m và tìm quỹ tích điểm I m thay đổi Bài 4: Cho đường thẳng (d) 2( m 1) x ( m 2) y 2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) y x hai điểm phân biệt A và B Tìm toạ độ trung điểm I đoạn AB theo m Tìm m để (d) cách gốc toạ độ khoảng Max( lớn nhất) Tìm điểm cố định mà (d) qua m thay đổi Bài 5: Cho (P) y x a) b) c) d) a.Tìm tập hợp các điểm M cho từ đó có thể kẻ hai đường thẳng vuông góc với và tiếp xúc với (P) b.Tìm trên (P) các điểm cho khoảng cách tới gốc toạ độ y x Bài 6: Cho đường thẳng (d) a) Vẽ (d) b) Tính diện tích tam giác tạo thành (d) và hai trục toạ độ c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d) Bài 7: Với giá trị nào m thì hai đường thẳng : (d) y ( m 1) x (d') y 3 x a.Song song với b.Cắt c.Vuông góc với Bài 8: Tìm giá trị a để ba đường thẳng : (d1 ) y 2 x (d2 ) y x (d3 ) y a.x 12 đồng quy điểm mặt phẳng toạ độ Bài 9: CMR m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y=1 luôn qua điểm cố định y x2 và đường thẳng (d) y=a.x+b Xác định a và b để đường thẳng (d) qua điểm A(-1;0) và Bài 10: Cho (P) tiếp xúc với (P) x2 y và (d) y=x+m Bài 11: Cho (P) a) Vẽ (P) b) Xác định m để (P) và (d) cắt hai điểm phân biệt A và B c) Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) điểm có tung độ -4 d) Xác định phương trình đường thẳng (d'') vuông góc với (d') và qua giao điểm (d') và (P) Bài 12: Cho điểm A(-2;2) và đường thẳng ( d1 ) y=-2(x+1) a) Điểm A có thuộc ( d1 ) ? Vì ? b) Tìm a để hàm số y a.x (P) qua A c) Xác định phương trình đường thẳng ( d ) qua A và vuụng gúc với ( d1 ) d) Gọi A và B là giao điểm (P) và ( d ) ; C là giao điểm ( d1 ) với trục tung Tìm toạ độ B và C Tính diện tích tam giác ABC y x2 và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) cú hoành độ lầm lượt là -2 và Bài 13: Cho (P) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (P) hàm số trên b) Viết phương trình đường thẳng (d) x 2; c) Tìm điểm M trên cung AB (P) tương ứng hoành độ cho t giác MAB có diện tích lớn (8) x2 và điểm M (1;-2) Bài 14: Cho (P) a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và có hệ số góc là m b) CMR (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A và B m thay đổi x x x A xB2 c) Gọi x A ; xB là hoành độ A và B Xác định m để A B đạt giá trị nhỏ và tính giá trị đó Bài 15: Cho hàm số y x (P) y a) Vẽ (P) b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ là -1 và Viết phương trình đường thẳng AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) y x Bài 16: Trong hệ toạ độ Oxy cho Parabol (P) và đường thẳng (d) y mx 2m a) Tìm m cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm b) Chứng tỏ (d) luôn qua điểm cố định y x Bài 17: Cho (P) và điểm I(0;-2) Gọi (d) là đường thẳng qua I và có hệ số góc m a) Vẽ (P) CMR (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A và B "m R b) Tỡm giỏ trị m để đoạn AB ngắn x2 y ;1 và đường thẳng (d) qua điểm I( ) có hệ số góc là m Bài 18: Cho (P) a) Vẽ (P) và viết phương trình (d) b) Tìm m cho (d) tiếp xúc (P), Tìm tọa độ tiếp điểm c) Tìm m cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt x2 x y y và đường thẳng (d) Bài 19: Cho (P) a) Vẽ (P) và (d) b) Tỡm toạ độ giao điểm (P) và (d) c) Tỡm toạ độ điểm thuộc (P) cho đú đường tiếp tuyến (P) song song với (d) Bài 20: Cho (P) y x a) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ là -1 và Viết phương trình đường thẳng AB b) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) III- CÁC BÀI VỀ HÀM SỐ ( MỨC ĐỘ, YÊU CẦU, BIỂU ĐIỂM ) THI VÀO LỚP 10 : 2012-2013 Câu 2) ( 1đ) Hải Dương 2011 Cho hai đường thẳng (d1): y 2 x ; (d2): y x cắt I Tìm m để đường thẳng (d 3): y (m 1) x 2m qua điểm I y 2 x Giải Do I là giao điểm (d1) và (d2) nên toạ độ I là nghiệm hệ phương trình: y x Giải hệ tìm I(-1; 3)Do (d3) qua I nên ta có = (m+ 1)(-1) + 2m -1 Giải phương trình tìm m = Câu 2) ( 1đ) Hải Dương 1- 2012 2) Với giá trị nào m thì đồ thị hai hàm số y 12 x m và y 2 x m cắt điểm trªn trôc tung Giải : Câu 2/Đồ thị y= 12x + (7-m) cắt trục tung điểm A(0;7-m); đồ thị y=2x+(3+m) cắt trục tung điểm B(0;3+m) theo yêu cầu bài toán A B 7-m=3+m tức là m=2 Câu (3,0 điểm) Biến tre 2011 Cho các hàm số y = x2 có đồ thị là (P) và y = x + có đồ thị là (d) a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ vuông (đơn vị trên các trục nhau) (9) b) Xác định tọa độ các giao điểm (P) và (d) phép tính 3 ; 0) (0; 1) 2 c) Tìm các điểm thuộc (P) cách hai điểm A và B ( Giải a) Bảng số giá trị tương ứng (P): x -2 -1 y 2 Vẽ (d): y = x + Cho x = y = (0; 2) (d) Cho x = y = (1; 3) (d) Đồ thị: b) Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): x2 = x + x2 – x – = x 2 x y (2;4) y 1 ( 1;1) Vậy:(d) cắt (P) hai điểm (2; 4) và (-1; 1) c) Gọi M(xM; yM) (P) và cách hai điểm A, B Ta có: xM2 và MA = MB 1 Đặt xM = x, a = yM = MA2 = (xA – xM )2 + (yA – yM )2 = (a – x)2 + (0 – x2)2 = a2 – 2ax + x2 + x4 MB2 = (xB – xM )2 + (yB – yM )2 = (0 – x)2 + (a – x2)2 = x2 + a2 – 2ax2 + x4 MA = MB MA2 = MB2 a2 – 2ax + x2 + x4 = x2 + a2 – 2ax2 + x4 x 0 y (0;0) x 1 y 1 (1; 1) 2ax2 – 2ax = x2 – x = Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài: O(0; 0) và M(1; 1) Bài 2: (1,5 điểm) TPHCM-2012 1 y x2 y x và đường thẳng (D): a) Vẽ đồ thị (P) hàm số trên cùng hệ trục toạ độ b) Tìm toạ độ các giao điểm (P) và (D) câu trên phép tính (10) Giải: a) Đồ thị: 4; , 2;1 (D) qua x x 2 b) PT hoành độ giao điểm (P) và (D) là x2 + 2x – = x hay x 2 4; , 2;1 y(-4) = 4, y(2) = Vậy toạ độ giao điểm (P) và (D) là Bài 3: (1,5 điểm)Đà Nẵng 2012Biết đường cong hình vẽ bên là parabol y = ax2 1) Tìm hệ số a 2) Gọi M và N là các giao điểm đường thẳng y = x + với parabol Tìm tọa độ các điểm M và N Giải 1)Theo đồ thị ta có y(2) = = a.22 a = ½ 2 x x 2) Phương trình hoành độ giao điểm y = và đường thẳng y = x + là :x + = x2 – 2x – = x = -2 hay x = 4, y(-2) = ; y(4) = Vậy tọa độ các điểm M và N là (-2 ; 2) và (4 ; 8) Câu IV (2,0 điểm) Hải Dương -2012 Lưu ý: (P) qua O(0;0), 2;1 , 4; , y = x2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x - m +1 và parabol (P): 1) Tìm m để đường thẳng (d) qua điểm A(-1; 3) 2) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) cho : x1x y1 + y 48 0 Giải Vì (d) qua điểm A(-1; 3) nên thay x = -1 và y = vào hàm số y = 2x – m + ta có 2.(-1) – m +1 = -1 – m = m = -4 Vậy m = -4 thì (d) qua điểm A(-1; 3) x 2 x m 1 Hoành độ giao điểm (d) và (P) là nghiệm phương trình x x 2m 0 (1) ; Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt nên (1) có hai nghiệm phân biệt D ' 2m m Vì (x1; y1) và (x2; y2) là tọa độ giao điểm (d) và (P) nên x1; x2 là nghiệm phương trình (1) và y1 = x1 m , y = x2 m x x y +y 48 0 Theo hệ thức Vi-et ta có x1 + x = 4, x1x = 2m-2 Thay y1,y2 vào 2 có x1x 2x1 +2x -2m+2 48 0 (2m - 2)(10 - 2m) + 48 = m - 6m - = m=-1(thỏa mãn m<3) m=7(không thỏa mãn m<3)Vậy m = -1 thỏa mãn đề bài Câu (2,0 điểm ) Thanh Hóa - 2012 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x + Chứng minh (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt Gọi A và B là các điểm chung (d) và (P) Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc toạ độ) Giải:1 Chứng minh (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt Hoành độ giao điểm đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm phương trình x2 = 2x + => x2 – 2x – = có a – b + c = Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = -1 và x2 = c 3 a ,Với x1 = -1 => y1 = (-1)2 = => A (-1; 1), Với x2 = => y2 = 32 = => B (3; 9) Vậy (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt A và B Gọi A và B là các điểm chung (d) và (P) Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc toạ độ) Ta biểu diễn các điểm A và B trên mặt phẳng toạ độ Oxy hình vẽ (11) AD BC 1 BC.CO 9.3 AD.DO 1.1 DC 20 S BOC 13,5 S AOD 0,5 2 2 2 , , Theo công thức cộng diện tích ta có:S(ABC) = S(ABCD) - S(BCO) - S(ADO) = 20 – 13,5 – 0,5 = (đvdt) S ABCD Câu 3: (2 điểm) Hà Nam-2012 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình: y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình: y = 2mx – 2m + (m là tham số) a) Tìm toạ độ các điểm thuộc (P) biết tung độ chúng b) Chứng minh (P) và (d) cắt hai điểm phân biệt với m c.Gọi y1 , y là các tung độ giao điểm (P) và (d), tìm m để y1 y Bài 2: (3,0 điểm)Ninh Thuận : 2012 Cho hai hàm số y = x2 và y = x + a Vẽ đồ thị hai hàm số đã cho trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b.Bằng phép tính hãy xác định tọa độ các giao điểm A, B hai đồ thị trên (điểm A có hoành độ âm) c.Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ) Giải:a) Vẽ (d) và (P) trên cùng hệ trục tọa độ b) Tọa độ giao điểm (P) và (d) là nghiệm hệ phương trình: y x x x x x 0 x 1; x2 2 y1 1; y2 4 y x y x y x Tọa độ các giao điểm (d) và (P): A (-1;1) và B (2;4) 1 c) SOAB = (1+4).3 - 1.1 - 2.4 = Bài 2: (1,5 điểm) Hưng Yên-2012Cho đường thẳng (d): y = 2x + m – a) Khi m = 3, tìm a để điểm A(a; -4) thuộc đường thẳng (d) b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt các trục tọa độ Ox, Oy M và N cho tam giác OMN có diện tích Giải Thay m = vào phương trình đường thẳng ta có: y = 2x + Để điểm A(a; -4) thuộc đường thẳng (d) và khi: -4 = 2a + suy a = -3 (12) a) Cho x = suy y = m – suy ra: 1 m m OM hayOM 2 ON m 1 m x suy , cho y = suy Để diện tích tam giác OMN = và khi: OM.ON = và m m 2 Khi và (m – 1)2 = và khi: m – = m – = -2 suy m = m = -1 Vậy để diện tích tam giác OMN = và m = m = -1 Câu : ( 2,0 điểm) Đông Nai-2012 Cho parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = mx (d), với m là tham số 1/ Tìm các giá trị m để (P) và (d) cắt điểm có tung độ 2/ Tìm các giá trị m để (P) và (d) cắt điểm, mà khoảng cách hai điểm này x 0 x mx 0 x( x m) 0 x2 m Giải1/ P.trình hoành độ giao điểm (P) và (d) : 2 Vì giao điểm ( P) : y x y m Với y = => m2 = (m = v m = -3) Vậy với m 3 thì (P) và (d) cắt điểm có tung độ 2/ Từ câu => (P) và (d) luôn cắt hai điểm phân biệt m 0 Khi đó giao điểm thứ là gốc toạ độ O ( x = 0; y = 0), giao điểm thứ là điểm A có ( x = m; y = m2) 4 Khoảng cách hai giao điểm : AO = m m m m 0 2 Đặt t m ;(t ³0) (1) t t 0 (t1 = ( nhận ) v t2 = - ( loại)) (1) Với t1 = m2 = , m ( nhận) Vậy với m thì (P) cắt (d) hai điểm có khoảng cách P : y x và đường thẳng d : y 2 x m2 (m là tham số) Bài 2: (2,0 điểm) Quảng Ngãi -2012Cho parapol d song song với đường thẳng d ' : y 2m2 x m2 m 1/ Xác định tất các giá trị m để d luôn cắt P hai điểm phân biệt A và B 2/ Chứng minh với m, 2 3/ Ký hiệu x A ; xB là hoành độ điểm A và điểm B Tìm m cho x A xB 14 Giải1/ Đường thẳng d : y 2 x m2 song song với đường thẳng d ' : y 2m2 x m2 m m 1 m 1 m m m 1 m 1 d và P là x 2 x m2 x x m2 0 là phương trình 2/ Phương trình hoành độ giao điểm d luôn cắt P hai bậc hai có ac m với m nên luôn có hai nghiệm phân biệt với m Do đó điểm phân biệt A và B với m 3/ Cách 1: Ký hiệu x A ; xB là hoành độ điểm A và điểm B thì x A ; xB là nghiệm phương trình 2 2m 2 m m m x x m 0 2 Giải phương trình x x m 0 D ' 1 m2 m2 Phương trình có hai nghiệm là D ' m2 x A 1 m 2; xB 1 m2 (13) Do đó x A2 xB 14 m 2 1 m2 14 m2 m m m 14 2m 14 2m 8 m 4 m 2 Cách 2: Ký hiệu x A ; xB là hoành độ điểm A và điểm B thì x A ; xB là nghiệm phương trình S x A xB 2 x x m 0 Áp dụng hệ thức Viet ta có: P x A xB m đó x A2 xB 14 x A xB x A xB 14 22 m 1 14 2m 14 m 2 (14)