THÔNG TIN TÀI LIỆU
Khóa học Online Bất đẳng thức K17 19/8 khai giảng Zalo: 0989.15.2268 BẤT ĐẲNG THỨC HAI SỐ PHẦN I – ĐỀ BÀI Bài Với a, b ta có: a b 2ab a b 2ab 1 a b a b Bài Cho số thực dương a, b thỏa mãn ab Bài Cho a, b Chứng minh Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b 1a b Bài Cho x y 0, xy Tìm giá trị nhỏ A a b x y2 x y 1 x y Bài Cho a, b thỏa mãn a b Chứng minh a 2b a b 32 4 2 Bài Cho biểu thức P a b ab Với a, b thỏa mãn a b ab Bài Cho x , y x y 6xy Tìm giá trị nhỏ P Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P 16 Bài Cho x , y Tìm giá trị nhỏ P x y a 4 Bài Cho a Chứng minh 2 a 16 a 2 a 8 x 1y 1 Bài 10 Cho a, b 0, a b Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ S 7a 7b Bài 11 Cho a 2b Tìm giá trị nhỏ P a 1 b 1 2 xy x y x x 2y Bài 13 Cho x , y thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ K y y x Bài 12 Cho x , y 0, x y Tìm giá trị nhỏ A 4xy Bài 14 Cho a, b 0, a b Tìm giá trị nhỏ M a b2 b a Bài 15 Cho a, b 0, a b Chứng minh a 3b b 3a 3a 3b Bài 16 Cho x , y x y Tìm giá trị lớn P x 14x 10y y 14y 10x Bài 17 Cho x, y thỏa mãn y x 4, x y Tìm giá trị lớn M x y Bài 18 Cho x, y thỏa mãn x y xy Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P x y Bài 19 Cho a, b thỏa mãn a b -1- Khóa học Online Bất đẳng thức K17 19/8 khai giảng Zalo: 0989.15.2268 Tìm giá trị lớn P a b 2b a b a 2a b Bài 20 Cho a, b Chứng minh 2a 3b b 2b a Bài 21 Cho a, b số thực dương thỏa mãn a b 2a b Tìm giá trị lớn P a b ab a b 1 2 a b b a a b Bài 23 Cho a, b Chứng minh a 1 3 a b 1 b Bài 22 Cho a, b Chứng minh Bài 24 Cho a, b Chứng minh a b b a b 2a b 8b Bài 25 Cho a, b 0, a b Chứng minh 5a 5b 1 21 a b2 a 2a b 2b 1 Bài 27 Cho a, b 0, ab Chứng minh P 2 a 2 b 2 Bài 26 Cho a, b 0, a b ab Chứng minh Bài 28 Cho a, b thỏa mãn a b 4ab 12 1 2020ab 2021 a 1b Bài 29 Cho a, b số dương thỏa mãn ab Chứng minh Tìm giá trị nhỏ P a b 2a b2 a b Bài 30 Cho x, y số tự nhiên thỏa mãn x y 99 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P x y Bài 31 Cho x, y số thực thỏa mãn x 2y 2xy 24 5x 5y Tìm giá trị lớn P x y x y 2xy Bài 32 Cho a, b 0, ab Chứng minh 1 a 1 b Bài 33 Cho a, b 0, ab Chứng minh a 1 b 1 a b Bài 34 Cho a, b ab Tìm giá trị lớn P a a 3 b b 3 Bài 35 Cho a, b số thực thỏa mãn a ab b a b Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P 2020 a b Bài 36 Cho x , y thỏa mãn x y xy Tìm giá trị nhỏ P Bài 37 Cho a, b thỏa mãn a b b a -2- y 2 x 2 x2 y Khóa học Online Bất đẳng thức K17 19/8 khai giảng Zalo: 0989.15.2268 1 a b a b Bài 38 Cho x y xy; x, y Tìm giá trị nhỏ P Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn P x y x 2y Bài 39 Cho x , y thỏa mãn x y 4x y 6x Tìm giá trị lớn x y Bài 40 Cho x , y thỏa mãn x xy y Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn A x xy y PHẦN THỨ HAI – HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Với a, b ta có: a b 2ab a b 2ab Lời giải a b 2ab a b 2ab a b Đúng đpcm a b 2ab a b 2ab a b Đúng đpcm 1 a b a b 1 b Bài Cho a, b Chứng minh Lời giải 1 1 a b a a b a b a b b a a 2ab b 1 1 0 Đúng đpcm a b ab ab Bài Cho số thực dương a, b thỏa mãn ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b 1a b a b Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô si: a b 2ab 2;a b ab P a b a b 1 a b P 2 a b a b Áp dụng bất đẳng thức Cô si: 7.2 13 a b a b 2 2 1 P 1 4 a b a b 13 a b Vậy P x y2 Bài Cho x y 0, xy Tìm giá trị nhỏ A x y Lời giải A x y 2xy 2 x y x y x y Áp dụng bất đẳng thức Cô si: x y 2 x y 2 x y x y A2 -3- Khóa học Online Bất đẳng thức K17 19/8 khai giảng Zalo: 0989.15.2268 6 x xy Vậy A 2 x y y Bài Cho x , y x y 6xy Tìm giá trị nhỏ P 1 x y Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô si: x y 3 x 3y 3xy 9xy xy P 1 1 2 2 Vậy P x y x y xy Bài Cho a, b thỏa mãn a b Chứng minh a 2b a b 32 Lời giải Ta có: 4ab a b 8ab a b 4.2ab a b a b 2ab a b 2 1 4ab 8ab a b a b a b 2ab 32 32 1 (đpcm) a 2b a b a b 32 32 Bài Cho biểu thức P a b ab Với a, b thỏa mãn a b ab Từ suy ra: a 2b a b Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P Lời giải Ta có: a b ab P a b2 2a 2b ab P 3 ab 2a 2b ab a 2b 7ab Đặt t ab Từ a b a b 2ab 2t 3t a b ab t Từ a b a b 2ab 2t a b ab 2t t t t 3 3 t 49 85 P P t t 7t t t 7 85 P P t t 2 9 7 85 7 Xét hiệu P t P 1 t t P t P 1 1 t t 8 với 3 t P t P 1 2 1 7 Xét hiệu P t P 3 t P t P 3 t 3t 4 với 3 t P t P 3 21 -4- Khóa học Online Bất đẳng thức K17 19/8 khai giảng Zalo: 0989.15.2268 a b 1 ab 2 a b 1 a b a b ab max P 21 t 3 a b a b 16 Bài Cho x , y Tìm giá trị nhỏ P x y x 1y 1 Vậy P t Lời giải Phân tích dự đốn điểm rơi: x y Theo bất đẳng thức Cô si, ta có: x 2x x x 1 y 2y y y 1 x 1 y 1 22 x 1y 1 x y P x 1y 1 x 1y 1 6 x y Áp dụng đẳng thức Cô si, ta có: x 1y 1 x 1y 1 x 1y 1 2 x 1y 1 4 P 4.4 10 Vậy P 10 x y a 4 Bài Cho a Chứng minh 2 a 16 a 2 a 8 Lời giải Phân tích dự đốn điểm rơi a 2 a 4 a 2 1 1 0 Bất đẳng thức cần chứng minh tương tự với: a 16 a 8 2 a 8a a 16 16a a 8a a 8a 0 0 a 16 a 8 a a 16 a 8a 16a a a 4 a a 16 0 a a 16 , Bài 10 Cho a, b 0, a b Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ S 7a 7b Lời giải Áp dụng bất đẳng thức 2AB A2 B A B A2 B S 7a 7b 9 2.25 S 2 Ta có a a a 1 a a , tương tự b b Vậy max S a b S 7a 7b a 6a b 6b S a b -5- Khóa học Online Bất đẳng thức K17 19/8 khai giảng Zalo: 0989.15.2268 a b Vậy S Bài 11 Cho a 2b Tìm giá trị nhỏ P a 1 b 1 2 Lời giải Có a + 2b = 3(gt) a 2b a P = ( a – 1) + ( b – 1) P b a b a 2b 2 Vậy GTNN P = a = b = Bài 12 Cho x , y 0, x y Tìm giá trị nhỏ A 4xy Lời giải Với x, y > (gt) ta có : x y xy xy xy x y (thỏa mãn bđt AM – GM) xy 1 xy 2 xy x y xy xy x y xy 1 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: xy xy 2 xy xy 1 4 4 Áp dụng bất đẳng thức Svac xơ có: 2 2 x y xy x xy y x y Có A 4xy Có x, y > A 11 Vậy GTNN A = 11 x y 4xy Bài 13 Cho x , y thỏa mãn x x 2y Tìm giá trị nhỏ K y y x Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có x x x 2 4 y y y x x y y y x Do K x y 31 y x y 31 31 33 2 y 16x 16 x y 16x 16 4 Vậy K 33 x y Bài 14 Cho a, b 0, a b Tìm giá trị nhỏ M Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có a 1 b 1 a b2 b a a 1 b 1 2 a b a2 b2 a2 b2 b 2a; a 2b 2a 2b b a a b b a b a a a ;b b a b a b 2.2 Do M a b Vậy M a b Bài 15 Cho a, b 0, a b Chứng minh a 3b b 3a 3a 3b -6- Khóa học Online Bất đẳng thức K17 19/8 khai giảng Zalo: 0989.15.2268 Lời giải Đặt P a 3b b 3a 3a 3b 2P 2a 3b 2b 3a 3a 3b Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 2P 4a 3b 4b 3a 3a 2 3b 2 2 9 a b a b 2 Lại có a 2a,1 b 2b a b a b a b a b 2P a b Bài 16 Cho x , y x y Suy 2P 18 P Vậy max P a b Tìm giá trị lớn P x 14x 10y y 14y 10x Lời giải Ta có x 2x; y 2y x y x y Theo giả thiết, ta có x y x y x y Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 24P 24x 14x 10y 24y 14y 10x 6P 24 x y 48 P 48 24x 14x 10y 24y 14y 10x 2 24 Vậy max P x y 6 Bài 17 Cho x, y thỏa mãn y x 4, x y Tìm giá trị lớn M x y Lời giải Từ giả thiết suy y x M x y x 7 x 2x 14x 49 + TH1 x M 2x 14x 49 x 3x 4 25 y x x x Với x x 3x 4 M 25 Đẳng thức xảy x y x + TH2 x Từ giả thiết x y y M 32 32 18 25 x y Bài 18 Cho x, y thỏa mãn x y xy Vậy max M 25 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P x y Lời giải Từ x y 2xy x y ; x y x y x y xy P xy P P P 4 P 2 -7- x y2 x y2 xy 2 Khóa học Online Bất đẳng thức K17 19/8 khai giảng Zalo: 0989.15.2268 x x y Vậy P x y xy y x y max P x y 2 x y xy 1 Bài 19 Cho a, b thỏa mãn a b 1 Tìm giá trị lớn P 2 a b 2b a b a 2a b 1 Lời giải Đặt x a 0, y b x y 2xy x y Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 2xy x y xy xy xy Viết lại biểu thức P 1 2 x y 2xy y x 2x 2y Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: x y 2x 2y; y x 2xy Suy P 1 1 2 2 2x y 2xy 2xy 2x y 2xy x y xy x y 2x y 1 Vậy max x y a b 2 2 2x y Bài 20 Cho a, b Chứng minh 2a 3b b 2b a Vì xy nên P Lời giải Ta có P 2a 3b b 2b a 1 1 2a 3b 2 16 8b 2a b 2 Theo bất đẳng thức Svac-xơ, ta có: P 42 (1) 2a 3b Ta chứng minh 2a 3b 8b 2a b (2) Thật vậy, ta có (2) 2a 3b 8b 2a b 2a 3b 8b 8a 8ab 2b 2 4a 9b 12ab 8a 10b 8ab 4a b 4ab 2a b , Từ (1) (2) suy P 42 2a 3b 16 8b 2a b 2 -8- suy đpcm Khóa học Online Bất đẳng thức K17 19/8 khai giảng Zalo: 0989.15.2268 a 2a b Đẳng thức xảy a b b Bài 21 Cho a, b số thực dương thỏa mãn a b 2a b Tìm giá trị lớn P a b ab a a 1 b 2a b Lời giải Từ giả thiết suy a b 2a b a2 a2 b 2a b 4 a2 3a ab 2a b P P Đẳng thức xảy b a 2, b Vậy max P a 2, b Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: 3.2 Bài 22 Cho a, b Chứng minh a b 1 2 a b b a a b Lời giải Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: a a a 1 a X Y với X2 Y Sử dụng bất đẳng thức A, B , ta có: A B AB a 1 a b a b2 b 2 1 a b a b 1 1 a b Suy 2 a b a b3 a b a 1 a b 2 b 1 a b a a b2 b a b3 2 suy đpcm Đẳng thức xảy a b Bài 23 Cho a, b Chứng minh a 1 3 a b 1 b Lời giải Ta có a 1 3 a b 1 b a 1 3b a ab b b 2 a 2b a ab b ab a 2 a b a 4 a ab a a 2b a 2 (1) 2 Ta có b a a 2 4a a 2 a a 2 a 4 VT (1) , đpcm 2 Bài 24 Cho a, b Chứng minh a b b a b 2a b 8b Lời giải Ta có b a b b a b a b b a b 2a 3b Ta chứng minh 2a 3b 2a 3b 8b Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với 4a 9b 12ab 8a 8ab 10b 4a b 2ab 3a a b , Suy đpcm Đẳng thức xảy a b -9- Khóa học Online Bất đẳng thức K17 19/8 khai giảng Zalo: 0989.15.2268 Bài 25 Cho a, b 0, a b Chứng minh 5a 5b Lời giải Từ a,b 0, a b a,b a a, b b 5a a 4a a 2, 5b b 4b b 5a 5b a b Đẳng thức xảy a 1,b a 0, b Bài 26 Cho a, b 0, a b ab Chứng minh 1 a 2a b 2b 1 a 1 b 214 2 Lời giải ab a b ab ab ab a b 1 a 1 b a b a b a b 1 a 1 b ab a b 2 2 2 2ab 1 ab 2 2 Theo bất đẳng thức Svac-xơ, ta có: 1 4 2 a 2a b 2b a b a b a b 2ab a b 2 Suy P 1 a 2a b 2b 1 a 1 b a b 1 a b Q a b a b a b a b a b 21 Q 33 2 16 16 16 16 a b a b Đẳng thức xảy a b 1 Bài 27 Cho a, b 0, ab Chứng minh P a2 b2 Lời giải Ta có A B A2 B 2AB A2 B A B 2 1 b a 1 P P a b a ab b ab ab a b ab a b ab P Đẳng thức xảy a b Bài 28 Cho a, b thỏa mãn a b 4ab 12 Chứng minh 1 2020ab 2021 a 1b Lời giải Từ giả thiết ta có 12 4ab a b 4ab ab Đặt x ab 12 4x 8x 2x x x 1x 2x 3 x 1 x 1 2 x Với x ab ta chứng minh 1 a b ab Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với 2 a b ab 1 a b ab - 10 - Khóa học Online Bất đẳng thức K17 19/8 khai giảng Zalo: 0989.15.2268 a b ab ab ab a b ab ab a b 1 ab , 2 2020x f (x ) với x Ta có f (1) 2021 1x 1x f (x ) f (1) 2020x 2020 2020 x 1x 1 1x 1x x x 1 x 1 2020 x 1 2020 x 2x 2019 0; x 1 1x x 1 2020 x 2x 2019 Suy f (x ) f (1) 2021 P 2021 suy đpcm Do P Đẳng thức xảy a b Bài 29 Cho a, b số dương thỏa mãn ab Tìm giá trị nhỏ P a b 2a b2 a b Lời giải Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có a b ab a b 2ab a b a b a b 4 2a b Do P a b 2 a b 2 a b Vậy P a b Bài 30 Cho x, y số tự nhiên thỏa mãn x y 99 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P x y Lời giải Ta có P x y 1 x 1 y 101 x y xy 101 100 xy Từ giả thiết x y 99 , ta có xy x 99 x 99x x f (x ) với x 99, x x f (x ) 0, f (x ) x 99 Suy P 121 P 11 Ta có f (49) f (50) 49.50 2450 , ta chứng minh f (x ) 49.50 f (x ) 49.50 50x x 49x 49.50 x 50 x 49 x 50 50 x x 49 Q + Nếu x 49 Q x 49 50 x + Nếu 50 x Q 50 x x 49 Suy P 101 100 49.50 101 50.51 P 50 51 Đẳng thức xảy x 49, y 50 x 50, y 49 Vậy P 11, max P 50 51 Bài 31 Cho x, y số thực thỏa mãn x 2y 2xy 24 5x 5y Tìm giá trị lớn P x y x y 2xy Lời giải Ta có P x y x y - 11 - Khóa học Online Bất đẳng thức K17 19/8 khai giảng Zalo: 0989.15.2268 Từ giả thiết ta có x y y x y 24 Đặt a x y ; từ y a 5a 24 a 5a 24 a 3a 8 8 a 1 Do P a a a 2 2 17 17 1 578 578 571 Với 8 a a a P 2 2 4 4 17 a 8 x 8 571 a Vậy max P 2 y0 y y 1 Bài 32 Cho a, b 0, ab Chứng minh 2 1 a 1 b a Lời giải Ta có ab b Do 1 a 1 b 1 a 1 a a2 1 a Lại có a 1 a 2a a 1 a 1 2 a2 1 a suy đpcm Đẳng thức xảy a Bài 33 Cho a, b 0, ab Chứng minh a 1 b 1 a b Lời giải Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: a a ab a b a 2a a b Tương tự, ta có b 1 2a a b 3a b 2 a 3b 2 Do a 1 b 1 2a 2b a b Đẳng thức xảy a b Bài 34 Cho a, b ab Tìm giá trị lớn P a a4 b b4 Lời giải Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có a a 2a a 1 a 1 2 a a 1 Tương tự, ta có b b 1 2 a b a ab a a b a ab a a 1 a 1 Vậy max P a b Bài 35 Cho a, b số thực thỏa mãn a ab b a b Do P Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P 2020 a b Lời giải Từ giả thiết a ab b a b a b 3ab a b a b a b 3ab - 12 - Khóa học Online Bất đẳng thức K17 19/8 khai giảng Zalo: 0989.15.2268 a b Ta có a b a b 2ab a b 4ab ab 2 2 Suy a b a b 3ab a b 2 a b a b a b 4 a b a b 4 a b Do P 4.2020 8080 Vậy P a b 0, max P 8080 a b Bài 36 Cho x , y thỏa mãn x y xy Tìm giá trị nhỏ P Lời giải Từ giả thiết suy y 2 x 2 x2 y 1 Vì x, y nên đặt a x 0, b y x y Từ x y xy a b a 1b 1 a b ab a b ab b 0 a 1 a a 1 a a 1 a 1 b 1 a 1 a 1 1a a P 2 2 2 a a 1 a 1 b 1 a 1 1 a a 1 a 1 a a 1a 1 a 1 a a 1 Vậy P a b x y a a 1 a a 1 2 Bài 37 Cho a, b thỏa mãn a b b a 1 a b a b A2 B Lời giải Ta có: A B AB với A, B a b2 b2 a Từ giả thiết ta có a b a a 2 a b2 a b2 a b2 b a Tìm giá trị nhỏ P Lại có: a b a b a b 2 Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu, ta có: P 1 a b a b a b a b Vậy P a b Bài 38 Cho x y xy; x, y Từ a b P Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn P x y x 2y Lời giải Ta có P x y 3x 2y 1 xy 3x 2y 2x 2y 2xy 2 Ta có x y x y 2xy xy 2xy xy Lại có x y x y 2xy xy 2xy 3xy 1 xy - 13 - Khóa học Online Bất đẳng thức K17 19/8 khai giảng Zalo: 0989.15.2268 Đặt a xy a 1 P P (a ) 2a 2a a 2 2 2 5 5 1 1 1 25 a a 2 a 2 2 18 25 18 18 a xy 1 x y ;max P x y Vậy P x y Suy P Bài 39 Cho x , y thỏa mãn x y 4x y 6x Tìm giá trị lớn x y Lời giải Đặt M x y Từ giả thiết, ta có x y x y x 2x 1 M M x 1 M M M M M 1 M M 2 3 M 1 M M M 4 x x 1 Vậy max M y x y 1 Bài 40 Cho x , y thỏa mãn x xy y Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn A x xy y Lời giải Từ giả thiết: A 2 x y2 x xy y 2 A x xy y A xy 2 x, y ta có: x y 2xy x y A 2 A A A 2 A9 A x y x Vậy max A x xy y y x, y ta có: x y x y 2xy A A 2 - 14 - x y Khóa học Online Bất đẳng thức K17 19/8 khai giảng Zalo: 0989.15.2268 3A A1 2 x y 1 2 x y 1 x xy y 2 Mở rộng tập tương tự: Cho x y xy Tính giá trị nhỏ giá trị lớn Vậy A x y A x y ( Đáp số: A 8) - 15 - ... 20 20 x 1x 1 1x 1x x x 1 x 1 ? ?20 20 x 1 ? ?20 20 x 2x 20 19 0; x 1 1x x 1 20 20 x 2x 20 19 Suy f (x ) f (1) 20 21 P 20 21 suy... ab a b 2 2 2 2ab 1 ab 2 2 Theo bất đẳng thức Svac-xơ, ta có: 1 4 2 a 2a b 2b a b a b a b 2ab a b ? ?2 Suy P 1 a 2a b 2b 1 a 1 b... có: 2xy x y xy xy xy Viết lại biểu thức P 1 2 x y 2xy y x 2x 2y Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: x y 2x 2y; y x 2xy Suy P 1 1 2 2 2x y 2xy 2xy
Ngày đăng: 07/09/2021, 22:50
Xem thêm: