de thi chon HSG cap truong

PHÒNG GD& ĐT VÕ NHAI TRƯỜNG THCS TRÀNG XÁ.[r]

PHÒNG GD& ĐT VÕ NHAI TRƯỜNG THCS TRÀNG XÁ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN: TOÁN - LỚP Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức   2x  x  2x x  x  x   A      : 1 x x  1 x x  1 x  a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x 17  12 x  0; x  ; x 1 Với Bài 2: (4,0 điểm) a) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x3 + y3 b) Xác định a để các đường thẳng sau đây đồng quy 2x – y + = 0; x + y + = 0; ax - y - = Bài 3: (4,0 điểm): Giải các hệ phương trình sau a) b) √ x −2+ √ y −3=3 2(x2- 2x) + √ y+ 1=0 3(x2 – 2x) - √ y+ 1=−7 √ x −2 −3 √ y −3=− Bài 4.(6,0 điểm) Cho tam gi¸c ABC cã AB = c; AC = b; BC = a, ph©n gi¸c AD a) Chøng minh hÖ thøc AD2 = AB.AC – BD.DC b) Tính độ dài phân giác AD? Bài 5: (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: 1 1 A     1 2 3 2009  2010 - Hết - HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2013-2014 MÔN TOÁN LỚP Bài (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức (3 điểm)   2x  x  2x x  x  x     A   :  x  0;x  ;x 1        1 x x  1 x x   1 x   x 2x  x   x   x  2x  x  x    :   x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x  x     x x 1 x   x   x 1 x    :   x x1  x 1 x 1 x 1 x  x      x1  x  :  x       x  x  x x x                      x1 x   x             x 1  x   x x  1  x x x 1 : x1 : x1   x  x  x 1 :   1  x    x1 x x  0.5    0.75 0.75 0.5  0.5 b) Tính giá trị A x 17  12 (1 điểm) Tính  x 17  12   2     x  3 2     2 3  2    2  17  12 15  10  2 A   5 3 2 3 2 3 2 0.5 0.5 Bài (4 điểm) a) Ta có M = x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = x2 - xy + y2 ( vì x + y = 1) x2 y x2 y2 x y    xy   (x  y2 )  (  ) 2 2 2 M=  ( x2  y ) Suy M Mặt khác : x + y =1  x2 + y2 +2xy =  2(x2 + y2) – (x – y )2 =  2(x2 + y2) 1  Do đó : x2 + y2 0.5 0.5 0.5 0.5 Dấu “ = “ xảy và x = y = 1 1  ( x2  y )     Ta có M và x2 + y2  M 2 1  Vậy M , nên giá trị nhỏ biểu thức M x = y = 0.5 b) Phương trình 2x – y +3 = => y = 2x +3; và PT x +y + = => y = -x – 0,5 Giao điểm hai đường thẳng này có hoành độ là nghiệm PT: 2x + 3= -x-3 => x = -2; y = -1.Giao điểm hai đường thẳng này là M(-2;-1) Để ba đường 0.5 thẳng đồng quy thì tọa độ M phải thỏa mãn phương trình đường thẳng thứ ba tức là: a(-2) +1-1 = => a= 0.5 Bài (4điểm) Giải hệ phương trình a) Đặt: √ x −2=a ; √ x −2+ √ y −3=3 √ x −2 −3 √ y −3=− 0.5 √ y − 3=b a+b=3 Giải hệ này ta a = 1, b =2 => 2a – 3b = -4 => √ x −2=1  x-2 =1 x =3; Và √ y − 3=2  y- =4  y =7 b) 2(x2- 2x) + √ y+ 1=0 Đặt x2 -2x = a; 0.1 0.5 √ y+ 1=b 3(x2 – 2x) - √ y+ 1=−7 2a + b = 0.5 Giải hệ này ta a = -1; b = 3a – 2b = -7 => x2 – 2x = -1  x2 -2x + 1= Và √ y+ 1=2  ( x-1)2 =  x=1  y +1 =4  y =3 0.5 Bài (6 điểm) Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp Δ ABC Gäi E lµ giao ®iÓm cña AD vµ (O) a) Ta cã : Δ ABD ~ Δ CED (g –g) BD AD = ⇒ ⇒ AD.ED = BD.CD ED CD ⇒ AD(AE – AD) = BD.CD (1) ⇒ AD2 = AD.AE – BD.CD L¹i cã: Δ ABD ~ Δ AEC (g –g) AB AD = ⇒ ⇒ AB.AC = AD.AE (2) AE AC Tõ (1) vµ (2) suy ra: AD2 = AB.AC – BD.DC b) V× AD lµ ph©n gi¸c ⇒ DB BA = DC CA 0.5 0.5 A 0.5 0.5 C B D 0.5 0,5 E 0.5 DB DC DB+ DC a = =¿ = c b c+ b b+ c ac ab vµ DC = ⇒ DB = b+c b+c b+ c ¿ ¿ ⇒ AD = bc a bc ¿ ⇒ 0.5 0.5 0.5 Bài (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: 1 1 A     1 2 3 2009  2010 1 1    21   1  Ta có: 2 2    3 2 1 2 3 3   4 3 = 4 1 Tương tự ta có 1 1 A     1 2 3 2009  2010 =  1  2 4 =   2010  2010    2010  2009