1.b Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị C tại điểm M có hoành độ Tìm tọa độ các giao điểm của tiếp tuyến d với đồ thị C... Pt hđ giao điểm của d và C:..[r]
(1)ĐỀ THI THỬ THQG NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C) điểm M có hoành độ các giao điểm tiếp tuyến d với đồ thị (C) Câu (1,0 điểm) log x 2 Tìm tọa độ x 1 log (2 x 1) log a) Giải bất phương trình b) Một ban văn nghệ đã chuẩn bị tiết mục múa, tiết mục đơn ca và tiết mục hợp ca Nhưng thời gian buổi biểu diễn văn nghệ có giới hạn, ban tổ chức cho phép biểu diễn tiết mục múa, tiết mục đơn ca và tiết mục hợp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn các tiết mục tham gia biểu diễn? tan x cot x tan x Câu (1,0 điểm) Giải phương trình Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I dx x 3x 1 A (2;1; 1), AB (1; 0;3) Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm Chứng minh ba điểm A, B, O không thẳng hàng Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng OA cho tam giác MAB vuông M Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mp(ABCD) trùng với giao điểm O hai đường chéo AC và BD Biết SA a 2, AC 2a, SM a , với M là trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng SM và AC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AD // BC) có phương trình đường thẳng AB : x y 0 và đường thẳng AC : y 0 Gọi I là giao điểm hai đường chéo AC và BD Tìm tọa độ các đỉnh hình thang cân ABCD, biết IB IA , M 1;3 hoành độ điểm I: xI và nằm trên đường thẳng BD (1 y )( x y 3) x ( y 1)3 x ( x, y ) x y x3 2( y 2) Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x y Câu (1,0 điểm) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2 xy y 5( x y ) 24 8( x y) ( x y 3) Hết -NGUYỄN ĐÌNH NGHỊ - ĐT:0909544238 NGUYỄN ĐÌNH NGHỊ - ĐT:0909544238 (2) Câu Nội dung Điểm 1,00 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y x x TXĐ: Giới hạn: 0,25 lim y , lim y x x 0,25 x 0 y 1 y / 0 y x x, x x 1 y 2 / Sự biến thiên: Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; 0) và (1; ) , hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 1) và (0;1) Bảng biến thiên x y’ 1.a y + -1 - 0 + - 0,25 Đồ thị có điểm cực đại A(-1;2), B(1;2) và điểm cực tiểu N(0;1) Vẽ đồ thị (C) 1.b Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C) điểm M có hoành độ Tìm tọa độ các giao điểm tiếp tuyến d với đồ thị (C) x 2 7 M ; (C ) y/ ( ) 2 Ta có Và 2 y y / x y 2x 2 Pttt (d) có dạng Pt hđ giao điểm d và (C): x4 x2 x x x x 0 NGUYỄN ĐÌNH NGHỊ - ĐT:0909544238 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 (3) 2 x x x 0 x , x , x 2 2 7 2 2 1 1 M ; , M / , , M / / , 4 4 4 Vậy có điểm: Giải bất phương trình ĐKXĐ 2.a log 2 x 1 log3 (2 x 1) log 2 (*) log (2 x 1) log (2 x 1) 1 log 0,25 0,50 x 1 x Với đk (*), pt 0,25 log 3.log3 (2 x 1) log (2 x 1) 1 log log 1 log (2 x 1) 1 log log (2 x 1) 1 x 3 x 1 S ;1 Đối chiếu (*), tập nghiệm: 2.b Một ban văn nghệ đã chuẩn bị tiết mục múa, tiết mục đơn ca và tiết mục hợp ca Nhưng thời gian buổi biểu diễn văn nghệ có giới hạn, ban tổ chức cho phép biểu diễn tiết mục múa, tiết mục đơn ca và tiết mục hợp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn các tiết mục tham gia biểu diễn? Mỗi cách chọn tiết mục múa tiết mục múa là tổ hợp chập 3, suy số cách chọn tiết mục múa: C3 3 Mỗi cách chọn tiết mục đơn ca tiết mục đơn ca là tổ hợp chập C52 10 5, suy số cách chọn tiết mục đơn ca: Mỗi cách chọn tiết mục hợp ca tiết mục hợp ca là tổ hợp chập 3 4, suy số cách chọn tiết mục hợp ca: C4 4 Theo quy tắc nhân, số cách chọn các tiết mục tham gia biểu diễn: 3.10.4 = 120 tan x cot x tan x Giải phương trình sin x 0 x k cos x 0 tan x x k ĐK: 0,50 0,25 0,25 1,00 0,25 tan x tan x 2 4 Với ĐK pt 0,25 0,25 0,25 x x k x k , k Kết hợp ĐK, ta có nghiệm: NGUYỄN ĐÌNH NGHỊ - ĐT:0909544238 0,25 (4) 1,00 Tính tích phân I dx x 3x t x 1, t 0 x t 1 dx tdt 3 Đặt 0,25 x 1 t 2; x 5 t 4 Đổi cận: 4 0,25 0,25 1 I 2 dt I ( )dt t t 1 t I ln t ln t I 2 ln ln Cho điểm A(2;1; 1), AB (1;0;3) Chứng minh ba điểm A, B, O không thẳng hàng Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng OA cho tam giác MAB vuông M OB OA AB (3;1; 2) B (3;1; 2) Tacó OA (2;1; 1), AB (1;0;3) không cùng phương: O, A, B không thẳng hàng * OM t OA (2t; t ; t ) M (2t ; t; t ) và Ta có AM (2t 2; t 1; t 1), BM (2t 3; t 1; t 2) Tam giác MAB vuông M thì Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mp(ABCD) trùng với giao điểm O hai đường chéo AC và SA a 2, AC 2a, SM 0.25 0.25 0.25 AM BM 0 (2t 2)(2t 3) (t 1)(t 1) ( t 1))( t 2) 0 6t 11t 0 t 1, t 5 5 t M ( ; ; ) t M (2;1; 1) A 6 thỏa bài toán (loại) và 0,25 1,00 a , với M là trung điểm cạnh AB Tính BD Biết theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng SM và AC NGUYỄN ĐÌNH NGHỊ - ĐT:0909544238 0,25 1,00 (5) 2 Từ giả thiết SO ( ABCD) SO AC , OA a , SO SA OA a 0,25 OSM O : OM SM SO a Ta có ABC B : BC 2MO a, AB AC BC 3a VS ABCD AB.BC.SO a 3 N trung điểm BC MN / / AC d ( SM , AC ) d ( AC , ( SMN )) d (O, ( SMN )) 0,25 Gọi OMN O : OMN O : OH MN , SO MN MN (SOH ) 0,25 SOH O : OK SH OK ( SMN ) OK d (O, ( SMN ) OMN O : ON a a, OM , OH MN OH a 2 SOH O : d ( SM , AC ) OK OS OH OS OH 57 a 19 Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) có phương trình đường thẳng AB : x y 0 và đường thẳng AC : y 0 Gọi I là giao điểm hai đường chéo AC và BD Tìm tọa độ các đỉnh hình thang cân ABCD, biết IB IA , hoành độ điểm I: xI và M 1;3 nằm trên đường thẳng BD NGUYỄN ĐÌNH NGHỊ - ĐT:0909544238 0,25 1,00 (6) Ta có A là giao điểm AB và AC nên Lấy điểm E 0; AC Gọi A 1; F 2a 3; a AB 0,25 cho EF // BD EF AE EF BI EF AE BI AI AE AI 0,25 Khi đó 2a a Với a 1 thì là n 1; 1 a 1 2 a 11 EF 1; 1 là vtcp đường thẳng BD Nên chọn vtpt BD BD AC I 2; Pt BD : x y 0 BD AB B 5; 1 IB IB ID ID ID D 2; 2 ID IA Ta có IA IA IA IC IC IC C 2; IC IB 1 11 EF ; a 5 là vtcp đường thẳng BD Nên chọn vtpt Với thì n 1; I 8; BD là Do đó, BD : x y 22 0 (loại) IB (1 y )( x y 3) x ( y 1)3 x (1) ( x , y ) x y x3 2( y 2) (2) Giải hệ phương trình (I) 2 x y 0 x y x 0, y 1 x 1, y 1 ĐKXĐ: Nhận xét x 1, y 1 không là nghiệm hệ Xét y thì pt (1) hệ (I) x x( y 1) 3( y 1)2 ( y 1) x( y 1) 0 x x 3 y y 1 0,25 0,25 1,00 0,25 x 0 y x ,t y Khi đó, pt (1) trở thành t t t 0 t 1 t t 2t 3 0 t 1 t Với t = 1, thì 0,25 x 1 y x y , vào pt(2), ta 0,25 NGUYỄN ĐÌNH NGHỊ - ĐT:0909544238 (7) x x x 2 x 1 x x x x 1 0 x2 x 0 x x 16 2 3 x x 1 x x 1 x2 x x x 1 0 2 3 3 x x 1 x x 1 1 x x 0 x x 1 0,25 1 3 x y 2 Với 1 ; 2 Đối chiếu ĐK, hệ phương có nghiệm Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn x y 7 Tìm giá trị nhỏ x; y biểu thức 1,00 P 2 xy y 5( x y ) 24 8( x y ) ( x y 3) 2x y 6( x 1)( y 1) (2 x 2)(3 y 3) 36 x y xy 5 Ta có Ta có 5( x y ) x y 2 5( x y ) 2 x y 0,25 và ( x y 3) x y xy x y 0 2( x y xy 3) 8( x y ) ( x y 3) 0,25 Suy P 2( xy x y ) 24 2( x y xy 3) Đặt t x y xy , t 0;5 f / (t ) 2 , P f (t ) 2t 24 2t 24.2 3 (2t 6) 2 (2t 6)2 (2t 6) 0, t 0;5 0,25 Ta có Vậy hàm số f(t) nghịch biến trên khoảng 0;5 Suy f (t ) f (5) 10 48 x 2 P 10 48 2, y 1 Vậy 0,25 Chú ý: Mọi cách giải khác đúng cho điểm tối đa Hết -NGUYỄN ĐÌNH NGHỊ - ĐT:0909544238 (8) NGUYỄN ĐÌNH NGHỊ - ĐT:0909544238 (9)