Đang tải... (xem toàn văn)
MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI Mục đích viết chuyên đề này nhằm giúp cho các em học sinh có thể xét dấu được tam thức bậc hai, giải được một số phương trình, bất phương trình, hệ bất ph[r]
(1)A PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Việc giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chương trình học lớp 10 nói riêng và lớp 11,12, ôn thi đại học nói chung phức tạp, nhiên ta có thể đưa tam thức bậc hai sử dụng dấu tam thức bậc hai để giải bài toán đơn giản nhiều, vì lí đó tôi soạn chuyên đề Tam thức bậc hai và số ứng dụng II MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI Mục đích viết chuyên đề này nhằm giúp cho các em học sinh có thể xét dấu tam thức bậc hai, giải số phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình cách sử dụng dấu tam thức bậc hai đưa tam thức bậc hai để giải Ưu điểm: Định lí dấu tam thức bậc hai ngắn gọn dễ hiểu dễ nhớ Khuyết điểm: Các dạng toán đa dạng nên học sinh dễ nhằm lẫn III PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Đại số và giải tích 10 nâng cao: Chương IV- bài 6, 7, B PHẦN NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN: 1/ Định nghĩa tam thức bậc hai: Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng ax2+bx+c đó a, b, c là số cho trước với a 2/ Định lí dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c (a 0) ' -Nếu <0 thì f(x) cùng dấu với a với x thuộc b 0 2a -Nếu = thì f(x) cùng dấu với a với x 0 -Nếu >0 thì f(x) có hai nghiệm x1 và x2 (x1<x2) Khi đó f(x) trái dấu ' ' với hệ số a với x nằm khoảng(x1;x2) ( tức là x1 < x < x2) và f(x) cùng dấu x ;x với a với x nằm ngoài đoạn ( tức là x < x1 x < x2) b2 4ac ' (b' )2 ac Với Ví dụ 1: f(x)= x2-x+1>0 x vì tam thức f(x) có = - < và a = > Có thể ghi kết bảng xét dấu sau: x x -x+1 - + + (2) Ví dụ 2: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= -x2-2x+3 Giải Vì a=-1<0 và tam thức f(x) có hai nghiệm x1=-3 ; x2= ( dễ thấy x1 < x2) nên ; 3 1; f(x) < (cùng dấu với a) x và f(x) > (trái dấu với a) 3;1 x Có thể ghi kết bảng xét dấu sau: x -x -2x+3 - -3 - + + - Ví dụ 3: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= x2-2x+1 Giải f(x)= x -2x+1 > x 1 vì tam thức f(x) có =0 và nghiệm kép x = 1, a = > Có thể ghi kết bảng xét dấu sau: x x -2x+1 - + + + Bài tập áp dụng: Xét dấu các tam thức sau: 1/ f(x)= -2x2 - 2x + 2/ f(x)= 9x2 - 12x + 3/f(x)= x2 - 2x + 4/f(x)= - x2 - 4x 5/f(x)= x2 - 6/f(x)= - x2 + 7/ f(x)= 3x2 + 2x 3/ Một số ứng dụng: 1/ Tìm tham số m để tam thức bậc hai không đổi dấu trên a x R,ax bx c a x R,ax bx c Cách giải: dựa vào nhân xét : Ví dụ 1: Với giá trị nào m thì đa thức f(x) = (2-m)x2 - 2x + luôn dương với x thuộc Giải (3) - Với m = thì f(x)= -2x+1 lấy giá trị âm Do đó m = không thỏa mãn điều kiện đề bài ' - Với m 2, f(x) là tam thức bậc hai với m Do đó: a 2 m m x , f x ' m 1 m m Vậy với m < thì tam thức luôn dương Bài tập áp dụng: Với giá trị nào m thì các đa thức sau luôn âm với x thuộc 1/f(x) = (m-1)x2 + (2m+1)x + m + 2/f(x) = - x2 + 2m x - 2m2 - 3/f(x) = (m-2)x2 - 2(m-3)x + m - Với giá trị nào m thì các đa thức sau luôn dương với x thuộc 1/f(x) = (m2+2)x2 - 2(m+1)x + 1/f(x) = (m+1)x2 + 2(m+2)x + m + 2/Giải bất phương trình bậc hai, bất phương trình tích và bất phương trình chứa ẩn mẫu Cách giải: - Đối với bất phương trình bậc hai ta xét dấu vế trái và dựa vào dấu bất phương trình kết luận nghiệm - Đối với bất phương trình tích xét dấu các nhân tử nhân các dấu đó lại với nhau, dựa vào dấu bất phương trình kết luận nghiệm - Đối với bất phương trình chứa ẩn mẫu ta phải đưa dạng P x P x P x P x 0; 0; 0; 0 Q x Q x Q x Q x , xét dấu vế trái và dựa vào dấu bất phương trình kết luận nghiệm Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau: 1/ - x2 + 2x + < 2/ x2 + 2x + > 3/ - x2 + 2x – > x 16 x 27 2 4/ x x 10 5/ (4 - 2x)(x2 + 7x + 12 ) < Giải (4) 1/ - x2 + 2x + < Ta có: - x2 + 2x + = có hai nghiệm x1=-1, x2=3, a=-1<0 Bảng xét dấu: x vt - -1 - + Vậy nghiệm bất phương trình là: S= + - ; 1 3; 2/ x2 + 2x + > Ta có: x2 + 2x + =0 có nghiệm kép x = -1, a=1>0 Bảng xét dấu: x vt - -1 + + + Vậy nghiệm bất phương trình là: S= \{-1} 3/ - x2 + 2x – > Ta có: - x2 + 2x – = vô nghiệm, a=-1<0 Bảng xét dấu: x vt - + - Vậy: bất phương trình vô nghiệm S= x 16 x 27 2 4/ x x 10 Bất phương trình trở thành: x 16 x 27 x x 10 x 16 x 27 2x 0 0 2 x x 10 x x 10 x x 10 Bảng xét dấu x - -2x+7 + | + - | + - (5) x2-7x+10 vt + + || - | + || + + + | + - 7 2; 5; Vậy nghiệm bất phương trình là: S= 5/ (4 - 2x)(x2 + 7x + 12) < Bảng xét dấu x 4-2x x +7x+12 vt - -4 + + + | 0 + - Vậy nghiệm bất phương trình là: S= -3 | 0 4; 3 2; Bài tập áp dụng: Giải các bất phương trình sau: 1/- 3x2 + 2x + < 2/ 9x2 + 12x + > 3/ - 2x2 + x – > 4/- 3x2 + 2x < 5/ x2 – > 6/ - 2x2 – > x 16 x 27 0 7/ x x 8/ (4 + x)(- x2 + 7x + 6) < x 1x 3 9/ x x 1 2 10/ x x x x 10 3/Giải hê bất phương trình Cách giải: Giải bất phương trình sau đó giao nghiệm lại Ví dụ 3: Giải hệ bất phương trình sau 3 x x x x Giải 1 ; 2; Bất phương trình thứ có tập nghiệm là S1= + + - (6) 3 1; Bất phương trình thứ hai có tập nghiệm là S2= 1 S S1 S2 1; 3 Tập nghiệm hệ là Ví dụ 4: Tìm các giá trị m để bất phương trình sau vô nghiệm (m-2)x2+2(m+1)x+2m > Giải Đặt f(x)=(m-2)x +2(m+1)x+2m Để bất phương trình vô nghiệm và f(x) 0 x Với m = ta có f(x)=6x+4 Khi đó f(x) nhận các giá trị dương Giá trị m=2 không thỏa mãn điều kiện đòi hỏi Với m 2 ta có: m m 3 10 m 3 10 m 3 10 Vậy bất phương trình vô nghiệm và m 3 10 a f x 0, x R ' 0 m m 6m 0 Bài tập áp dụng Bài 1: Giải các hệ bất phương trình sau 3 x x a/ x x 10 0 b/ 3 x x x 10 0 x ( x x 10) x 1 0 c/ Bài 2:Tìm các giá trị m để phương trình sau có nghiệm a/ (m-5)x2 - 4mx + m – = b/ (m+1)x2 + 2(m-1)x + 2m – = c/ x2 + (m-2)x - 2m + = Bài Chứng minh các phương trình sau vô nghiệm dù m lấy bất kì giá trị nào a/ x2 - 2(m+1)x + 2m2 + m + = b/ (m2 + 1)x2 + 2(m+2)mx + = Bài 4:Tìm các giá trị m để bất phương trình (m-1)x2 - 2(m+1)x + 3(m-2)> nghiệm đúng x Bài 5: Tìm các giá trị m để hệ bất phương trình sau có nghiệm (7) m 1 x 3 x x 15 4/Giải số phương trình và bất phương trình quy bậc hai a/ Phương trình và bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối g x 0 g x 0 f x g x f x g x Dạng 1: |f(x)|=g(x) f x 0 f x f x g x f x g x Dạng 2: |f(x)|>g(x) f x 0 f x f x g x f x g x Dạng 3: |f(x)|<g(x) b/ Phương trình và bất phương trình chứa ẩn dấu bậc hai Dạng 4: g x 0 f x g x f x g x Dạng 5: f x 0 f x g x g x 0 f x g x f x 0 g x 0 f x g x g x 0 f x g x Dạng 6: Ví dụ 5: Giải các phương trình sau: 1/ | x - 8x + 15| = x - 2 2/ 3x 24 x 22 2 x Giải 1/ | x - 8x + 15| = x - x 0 x 0 I II x -8x+15=x-3 x -8x+15=-x+3 x 3 x 3 x 3 Hpt I trởthành : x 3 x 6 x -9x+18=0 x 6 x 3 x 3 x 3 Hpt II trởthành : x 3 x 4 x -7x+12=0 x 4 Vaäy phöông trình coù nghieäm S 3; 4;6 (8) / x 24 x 22 2 x 1 2 x 0 x 2 3 x 24 x 22 4 x x x 20 x 21 0 x x x 21 x 21 Vaäy phöông trình coùnghieäm x 21 Ví dụ 6: Giải các bất phương trình sau: 1/ | x2 + 3x - 4| > x - 2/ x x x 3/ x x 15 x Giải 1/ | x2 + 3x - 4| > x - x 3x x x 0 I II x x x x 3x x x x 1 Heä pt I x x 1 S1 ; 1; x x x x x Heä pt II x S2 4;1 x x x 12 Vaäy baát phöông trình coù nghieäm S S1 S2 2/ x x x x x 0 x 0 I II x x 4x x 6x x 0 x 4 Heä baát phöông trình I x 0 S1 ; x x 3 9 Heä baát phöông trình II x S2 ; 2 x 9 Vaäy baát phöông trình coù nghieäm S S1 S2 ; ; 2 3/ x x 15 x x x 15 0 x x x 15 x x x x 5 x x x Vaäy baát phöông trình coù nghieäm S 5;6 (9) Bài tập áp dụng Bài 1:Giải các phương trình và bất phương trình sau: 1/ | x2 + x - 5| = |x - 1| 2/ | x - 1| = 2x - 3/ | x2 + 2x - 1| > x2 - 4/ | - x2 + 2x + 4| < 2x2 - 3x + 5/ x x 6/ x x 14 2 x 7/ x 2 x Bài 2:Tìm tập xác định hàm số sau: 1/ y | x x | x 2/ x2 x 1 | x 1| x 3/ 1 x 7x x 2x 4/ y x x 14 x Bài 3:Tìm m cho phương trình: x4 + (1-2m)x2 + m2 – = a/ Vô nghiệm b/ Có hai nghiệm phân biệt c/ Có bốn nghiệm phân biệt Bài 4: Tìm các giá trị a cho phương trình: (a-1)x4 - ax2 + a2 – = có ba nghiệm phân biệt Bài 5: Cho phương trình x4 + 4x3 + (3m+4)x2 + 2(3m+4)x + 6(m+1) = a/Tìm m để phương trình vô nghiệm b/ Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt c/ Tìm m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt d/Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt e/Tìm m để phương trình có đúng nghiệm II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ: Khi học sinh học ứng dụng dấu tam thức bậc hai để giải phương trình, bất phương trình , hệ bất phương trình nhiều em học sinh đã lúng túng xét dấu sai các tam thức bậc hai, kết luận nghiệm bất phương trình sai III ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP: (10) Để các em học sinh dễ hiểu, dễ nhớ ứng dụng dấu tam thức bậc hai cách thành thạo dạy phần này tôi đua các lỗi thường mắc phải các em thường thì minh họa ví dụ Cụ thể sau: 1- Đối với các bất phương trình có vế trái là tam thức bậc hai vô nghiệm, các em thường kết luận sai nghiệm VD: Giải bất phương trình x2+x+4>0 Sai: x2+x+4>0 Ta có x2+x+4=0 vô nghiệm nên bất phương trình vô nghiệm S= Đúng Ta có x2+x+4=0 vô nghiệm và a=1>0 nên x2+x+4>0 với x thuộc Vậy bất phương trình vô số nghiệm S= Hướng khắc phục:Sau tìm nghiệm vế trái các em lập bảng xét dấu và so sánh với dấu bất phương trình giống thì kết luận vô số nghiệm, còn khác thì bất phương trình vô nghiệm Đối với các bất phương trình chứa ẩn mẫu các em thường xét dấu P x P x P x P x 0 0, 0, 0 Q x Q x Q x Q x chưa đưa bất phương trình dạng VD : Giaûi baát phöông trình Sai : x 3x 1 x 5x x 3x 1 x 5x Bảng xét dấu x - -1 x -3x-4 + | | x -5x+6 + | + 0 vt + || + || Vậy nghiệm bất phương trình là S = (-1;2) (3;4) + - | + + + + Đúng x 3x x 5x x 3x x 3x x 10 1 1 0 0 2 x 5x x 5x x 5x x 5x Bảng xét dấu x 2x-10 x -5x+6 vt - + - | || + | || + - | + + + + (11) ;2 (3;5) Vậy nghiệm bất phương trình là S = Hướng khắc phục: Các bất phương trình chứa ẩn mẫu số ta phải chuyển vế P x Q x 0 cho vế phải tức là có dạng xét dấu vế trái 3- Khi giải các phương trình chứa ẩn dấu bậc hai các em thường đặt sai điều kiện Ví dụ: Giải phương trình: x 3x x Sai x x 0 x 3x x x x x x Vaäy phöông trình coùnghieäm x Đúng x x 1 x nhaän x 0 x 3x x x 3x x x x 2 x loại Vaäy phöông trình voâ nghieäm Hướng khắc phục : Các em học thuộc công thức, lở không nhớ điều kiện thi ta giải phương trình hệ quả, sau tìm nghiệm ta phải thử lại phương trình ban đầu kết luận nghiệm C PHẦN KẾT LUẬN Kết thu được: thông qua kiểm tra bài cũ, thông qua kiểm tra 15 phút, 45 phút sau: Lớp 10T1 Trên trung bình 90,6% Dưới trung bình 9,4% 10T2 93,75% 6,25% Tôi vừa trình bày chuyên đề Dấu tam thức bậc hai và số ứng dụng, nhiên tính chất đa dạng môn học nên khó tránh khỏi thiếu sót, mong quý đồng nghiệp góp ý để chuyên đề tôi ngày càng hoàn thiện Tân An, Ngày 10 tháng 11 năm 2012 Người thực VÕ THỊ MỘNG HẰNG (12) Mục lục Lí chọn đề tài Mục đích và nhiệm vụ đề tài Phạm vi nghiên cứu Cơ sở lí luận Thực trạng vấn đề Đề xuất giải pháp Kết luận Trang 1 9 10 Tài liệu nghiên cứu SGK đại số 10 nâng cao SGV đại số 10 nâng cao Phương pháp giải toán tam thức bậc hai tác giả: Ths Lê Hồng Đức( chủ biên) NGƯT Đào Thiện Khải Lê Bích Ngọc Lê Hữu Trí Nhà xuất bản: ĐH sư phạm (13)