NỘI DUNG SKKN TAM THUC BAC 2

A PHN M U I Lí DO V MC CH CHN TI: Trong quỏ trỡnh ging dy hc sinh THPT chỳng tụi thy vic gii mt s phng trỡnh, bt phng trỡnh, h bt phng trỡnh chng trỡnh hc lp 10 núi riờng v lp 11,12, ụn thi i hc núi chung rt hay v cú nhng bi toỏn khú, nhiờn gii quyt mt s bi toỏn dng trờn ta cú th a v tam thc bc hai v s dng nh lý v du ca tam thc bc hai gii bi toỏn s n gin hn nhiu, vỡ nhng lớ ú chỳng tụi chn chuyờn Du tam thc bc hai v ng dng gii bt phng trỡnh giỳp cỏc em hc sinh cú th xột du c tam thc bc hai, gii c mt s phng trỡnh, bt phng trỡnh, h bt phng trỡnh bng cỏch s dng nh lý v du ca tam thc bc hai gii bi toỏn II I TNG V PHM VI NGHIấN CU i tng nghiờn cu: Hc sinh lp 10 trng THPT Phm vi nghiờn cu: - i s v gii tớch 10 c bn: Chng IV bi 5, - i s v gii tớch 10 nõng cao: Chng IV- bi 6, 7, B PHN NI DUNG I C S L LUN: nh ngha tam thc bc hai: Tam thc bc hai (i vi x) l biu thc dng ax2+bx+c ú a, b, c l nhng s cho trc vi a nh lớ v du ca tam thc bc hai: ( ) ' ' Cho tam thc bc hai f(x)=ax2+bx+c (a 0) v = b 4ac = (b ) ac ( ) b - Nu = ( = 0) thỡ f(x) cựng du vi a vi mi x 2a - Nu > ( > 0) thỡ f(x) cú hai nghim x v x (x 0, x vỡ tam thc f(x) cú a = > 0, ' = tam thc cú , Cú th ghi kt qu bng xột du sau: nghim kộp x = x - x2-2x+1 + Bi ỏp dng: Xột du cỏc tam thc sau: f(x)= -3x2 - 2x + 1; f(x)= 9x2 - 12x + 4; f(x)= x2 - 2x + 3; f(x)= - x2 + 3x; f(x)= x2 9; f(x)= - x2 + 1; f(x)= 2x2 + 5x Mt s ng dng: + + a) Tỡm iu kin tam thc bc hai f ( x) = ax + bx + c,(a 0) khụng i du trờn Ă Cỏch gii: Da vo nhõn xột: a > ax2 + bx + c > 0, x Ă < a < ax2 + bx + c < 0, x Ă < Vớ d 1: Vi nhng giỏ tr no ca m thỡ a thc f(x) = mx2 - 2x + luụn dng vi mi x thuc Ă Gii: Trng hp 1: Vi m = thỡ f(x)= -2x+1 ly c giỏ tr õm v dng Do ú m = khụng tha iu kin bi Trng hp 2: Vi m 0, f(x) l tam thc bc hai vi ' = m Do ú: a > m> m> f ( x) > 0,x Ă ' m> 1 m < m > < Vy vi m > thỡ tam thc luụn dng Bi ỏp dng: Bi Vi nhng giỏ tr no ca m thỡ cỏc a thc sau luụn õm vi mi x thuc Ă a) f(x) = (m-4)x2 + (m+1)x 2m 1; b) f(x) = - x2 + 4(m + 1)x +1-m; c) f(x) = (m+2)x2 + 5x Bi Vi nhng giỏ tr no ca m thỡ cỏc a thc sau luụn dng vi mi x thuc Ă a) f(x) = (2m2+1)x2 4mx + 2; b) f(x) = (3m+1)x2 (3m+2)x + m + b) Gii bt phng trỡnh bc hai, bt phng trỡnh tớch v bt phng trỡnh cha n di mu Cỏch gii: - i vi bt phng trỡnh bc hai ta xột du v trỏi v da vo du bt phng trỡnh kt lun nghim - i vi bt phng trỡnh tớch xột du cỏc nhõn t ri nhõn cỏc du ú li vi nhau, da vo du ca bt phng trỡnh ri kt lun nghim - i vi bt phng trỡnh cha n di mu ta phi a v dng P ( x) P ( x) P ( x) P ( x) < 0; > 0; 0; 0ữ , ri mi xột du v trỏi v da vo Q ( x) ữ Q ( x) Q ( x) Q ( x) du bt phng trỡnh kt lun nghim Vớ d 2: Gii cỏc bt phng trỡnh sau: a) b) c) d) x2 + 2x - < ; -x2 + 2x - > ; - x2 + 2x > ; (5 - x)(x2 + 7x + 12) 0; 4x2 e) x + x+ Gii : a) x2 + 2x - < Tam thc f(x) = x2 + 2x - cú hai nghim x1=1, x2=-3, a=1 > Bng xột du tam thc : x f(x) -3 + - + + Vy nghim ca bt phng trỡnh l: N= [-3 ; 1] b) -x2 + 2x - < Tam thc f(x) = -x2 + 2x - cú nghim kộp x = -1, a=-1 0; - 3x2 + 2x < 0; x2 > 0; - 2x2 > 0; x2 16x 27 0; x2 7x + (4 + x)(- x2 + 7x + 6) < 0; x2 1x 3; x2 x + 5 + + 10 1 x2 x + x2 7x + 10 c) Gii hờ bt phng trỡnh Cỏch gii: Gii tng bt phng trỡnh sau ú giao nghim li 3x2 7x + > Vớ d 3: Gii h bt phng trỡnh sau: 2x + x + > Gii Xột tam thc: f (x) = 3x2 7x + 2, ta cú: a = > 0, = 25 tam thc cú hai nghim x1 = , x2 = Bng xột du: - x 3x2 -7x+2 + + - + Bt phng trỡnh th nht cú nghim l S = ; ữ ( 2;+ ) Tng t, ta xột bt phng trỡnh th hai Ta cú, nghim l T = 1; ữ Tp nghim ca h l N = S T = 1; ữ Vớ d 4: Tỡm cỏc giỏ tr ca m bt phng trỡnh sau vụ nghim (m-2)x2+2(m+1)x+2m > Gii: t f(x)=(m-2)x +2(m+1)x+2m Bt phng trỡnh vụ nghim v ch f(x) 0, x Ă Trng hp 1: Vi m = ta cú f(x)=6x+4 Khi ú vi mi x Ă , f(x) nhn c giỏ tr õm v dng Vy m=2 khụng tha iu kin bi Trng hp 2: Vi m ta cú: a < f ( x) 0,x R ' m< m < m 10 m + 6m+ m 3+ 10 m 10 Vy bt phng trỡnh vụ nghim v ch m 10 Bi ỏp dng Bi 1: Gii cỏc h bt phng trỡnh sau 3x < 3x + a) x 7x + 10 3x2 > b) x 7x + 10 x2 < c) (x 7x + 10)( 2x 1) Bi 2: Tỡm cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh sau cú nghim a) (m-5)x2 - 4mx + m = 0; b) (m+1)x2 + 2(m-1)x + 2m = 0; c) x2 + (m-2)x - 2m + = Bi 3: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau vụ nghim dự m ly bt kỡ giỏ tr no a) x2 - 2(m+1)x + 2m2 + m + = 0; b) (m2 + 1)x2 + 2(m+2)mx + = Bi 4: Tỡm cỏc giỏ tr thc ca tham s m bt phng trỡnh: (m-1)x2 2(m+1)x + 3(m-2)> 0, nghim ỳng x Ă Bi 5: Tỡm cỏc giỏ tr ca m h bt phng trỡnh sau cú nghim ( m+ 1) x x + 2x 15 < d) Gii mt s phng trỡnh v bt phng trỡnh quy v bc hai Phng trỡnh v bt phng trỡnh cha n du giỏ tr tuyt i g( x) g( x) hoaở c Dng 1: |f(x)|=g(x) f ( x) = g( x) f ( x) = g( x) f ( x) f ( x) < hoaở c Dng 2: |f(x)|>g(x) f ( x) > g( x) f ( x) > g( x) f ( x) f ( x) < hoaở c Dng 3: |f(x)| x 8; b) x2 4x > x 3; c) x2 2x 15 < x Gii: a) | x2 + 3x - 4| x 2 x + 3x x + 3x < (I) (II) x + 3x x x 3x + x x x x H bpt (I) x1 x + x + 0, x S = ( ;4 1;+ ) 4< x < < x < < x < T = ( 4;1) H (II) x x + x 12 Vy h bpt N = S T = Ă b) x2 4x > x x2 4x (I) hoc x < x (II) 2 x x > x x + x x x S = ( ;0 H bpt (I) x < x H bpt (II) x > T = ;+ ữ 2 x > Vy bpt ó cho cú nghim: N = S T = ( ;0 ; + ữ c) x2 2x 15 < x x x2 2x 15 x x 3> x > x < x2 2x 15 < x2 6x + x < Vy bpt ó cho cú nghim: N = [ 5;6 ) Bi ỏp dng Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh v bt phng trỡnh sau: a)|x2 + x - 5| = |x - 1| b) |x - 1| = 2x - 10 c) |x2 + 2x - 1| > x2 - d) |- x2 + 2x + 4| < 2x2 - 3x + 1; e) 2x2 > x; f) x2 5x 14 2x 1; g) 2x 2x Bi 2: Tỡm xỏc nh ca mi hm s sau: a) y = | x2 + 3x 4| x + b) x2 + x + |2x 1| x c) 1 x2 7x + x2 + 2x + d) y = x2 5x 14 x + Bi 3: Tỡm m cho phng trỡnh: x4 + (1-2m)x2 + m2 = a) Vụ nghim b) Cú hai nghim phõn bit c) Cú bn nghim phõn bit Bi 4: Tỡm cỏc giỏ tr ca a cho phng trỡnh: (a-1)x4 - ax2 + a2 = cú ba nghim phõn bit Bi 5: Cho phng trỡnh x4 + 4x3 + (3m+4)x2 + 2(3m+4)x + 6(m+1) = a) Tỡm m phng trỡnh vụ nghim b) Tỡm m phng trỡnh cú bn nghim phõn bit c) Tỡm m phng trỡnh cú ỳng ba nghim phõn bit d) Tỡm m phng trỡnh cú ỳng hai nghim phõn bit e) Tỡm m phng trỡnh cú ỳng mt nghim III.THC TRNG CA VN : Trong quỏ trỡnh thc hnh ng dng gii toỏn cỏc em hc sinh ó gp khú khn, lỳng tỳng nờn xột du sai cỏc tam thc bc hai Do ú dn n kt lun sai nghim ca bt phng trỡnh IV XUT GII PHP: 11 cỏc em hc sinh d hiu, d nh ng dng c du ca tam thc bc hai mt cỏch thnh tho dy phn ny chỳng tụi ó nờu mt s li m cỏc em thng mc phi gii toỏn C th nh sau: i vi cỏc bt phng trỡnh cú v trỏi l tam thc bc hai vụ nghim, cỏc em thng kt lun sai nghim VD: Gii bt phng trỡnh 2x2+x+2>0 Sai: 2x2+x+2>0 Ta cú 2x2+x+2=0 vụ nghim nờn bt phng trỡnh vụ nghim S= ỳng: Ta cú 2x2+x+2=0 vụ nghim v a=2>0 v nờn 2x2+x+2>0 vi mi x thuc Ă Vy bt phng trỡnh vụ s nghim N= Ă Hng khc phc: Sau tỡm nghim v trỏi cỏc em lp bng xột du v so sỏnh vi du ca bt phng trỡnh nu ging thỡ kt lun vụ s nghim, cũn nu khỏc thỡ bt phng trỡnh mi vụ nghim i vi cỏc bt phng trỡnh cha n di mu cỏc em thng xột du cha a bt phng trỡnh v dng : P ( x) P ( x) P ( x) P ( x) < 0, > 0, 0, 0ữ Q ( x) ữ Q( x) Q x Q x ( ) ( ) x2 3x Vớ d: Gii bt phng trỡnh 0; x2 16x 27 0; x2 7x + (4 + x)(- x2 + 7x + 6) < 0; x2 1x 3; x2 x + 5 + + 10 1 x2 x + x2 7x... = 3+ 2 Vy phng trỡnh cú nghim N = {1; 2} b) 3x2 + 24 x + 22 = 2x + 2x + 2 3x + 24 x + 22 = 4x + 4x + x x x = 21 x = x2 20 x 21 = x = 21 Vy phng trỡnh cú nghim: x = 21 Vớ... = 2x - 10 c) |x2 + 2x - 1| > x2 - d) |- x2 + 2x + 4| < 2x2 - 3x + 1; e) 2x2 > x; f) x2 5x 14 2x 1; g) 2x 2x Bi 2: Tỡm xỏc nh ca mi hm s sau: a) y = | x2 + 3x 4| x + b) x2 + x + |2x