quan he vuong gocnguyenduckien2

www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 DẠNG 3: Xác định thiết diện đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước Pp: Tìm 2 đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với đường th[r]

www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 BÀI 1: VECTO TRONG KHÔNG GIAN A LÝ THUYẾT Định nghĩa và các phép toán  Định nghĩa, tính chất, các phép tốn vectơ không gian xây dựng hồn tồn tương tự mặt phẳng  Lưu ý:    + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB  BC  AC    + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB  AD  AC     + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có: AB  AD  AA '  AC ' + Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý    IA  IB  ; Ta có:    OA  OB  2OI + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm tam giác ABC, O tuỳ ý Ta có:     GA  GB  GC  0;     OA  OB  OC  3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm tứ diện ABCD, O tuỳ ý Ta có:           GA  GB  GC  GD  0; OA  OB  OC  OD  4OG       + Điều kiện hai vectơ cùng phương: a vaø b cuøng phöông (a  0)  ! k  R : b  ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), O tuỳ ý Ta có:    OA  kOB OM  1k   MA  kMB; Sự đồng phẳng ba vectơ  Ba vectơ gọi là đồng phẳng các giá chúng cùng song song với mặt phẳng       Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a , b , c , đó a vaø b không cùng phương Khi       đó: a , b , c đồng phẳng  ! m, n  R: c  ma  nb      Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý  Khi đó:    ! m, n, p  R: x  ma  nb  pc Tích vô hướng hai vectơ  Góc hai vectơ không gian:         AB  u , AC  v  (u , v )  BAC (0  BAC  1800 )  Khi xác định góc vecto ko cùng gốc ta phải cố gắng đưa cùng gốc để xác định góc cách dựng vecto vecto ban đầu  Tích vô hướng hai vectơ không gian:         u.v  u v cos(u ,v )      + Với u  v  Qui ước: u.v  + Cho u , v  Khi đó: CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN    + u  v  u.v  01649802923 B BÀI TẬP DẠNG 1: Chứng minh đẳng thức vecto Pp: Dùng các quy tắc, công thức đã học để cm: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là hình chữ nhật Chứng minh rằng:     a SA  SC  SB  SD     b SA  SC  SB  SD Giải    a Gọi O là tâm hình chữ nhật Vì OA – OC nên: SA  SC  SO    Vì OB = OD nên SB  SD  2SO     So sánh (1) và (2) ta suy SA  SC  SB  SD b Ta có: S        SA  (SO  OA)  SO  OA  2SO.OA    Mà OA  OC  nên      SA  SC  SO  OA  OC      B Tương tự ta có: SB  SD  SO  OB  OD Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có     OA  OB  OC  OD     Từ đó suy SA  SC  SB  SD (1) (2) C O A D Hìn h 6.2 Bài 2: Cho tứ diện ABCD Gọi M và N là trung điểm AB và CD, G là trung điểm đoạn MN Chứng minh rằng:      a AD  BC  AC  BD  MN      b GA  GB  GC  GD  A      c PA  PB  PC  PD  PG với P là điểm bất kì M Giải:     G a Ta có: MN  MA  AD  DN và B     MN  MB  BC  CN        N Suy ra: MN  ( MA  MB )  AD  BC  ( DN  CN ) C         Hìn h Vì MA  MB  DN  CN  nên 2MN  AD  BC      Ta suy ra: AD  BC  AC  BD  2MN              b Vì GA  GB  2GM , GC  GD  2GN , GM  GN  nên GA  GB  GC  D c Với điểm P bất kì, từ kết trên ta có: CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN          ( PA  PG )  ( PB  PG )  ( PC  PG )  ( PD  PG )       Do đó: PA  PB  PC  PD  PG 01649802923 DẠNG chứng minh vecto đồng phẳng và phân tích vecto theo vecto ko đồng phẳng Pp:  Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh các cách: + Chứng minh các giá ba vectơ cùng song song với mặt phẳng + Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:       Nếu có m, n  R: c  ma  nb thì a , b , c đồng phẳng      Để phân tích vectơ x theo ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p cho:     x  ma  nb  pc BÀI TẬP Bài 1: Cho hình tứ diện ABCD Gọi P và Q là trung điểm các cạnh AB và CD Trên các cạnh AC và BD ta lấy các điểm M,N cho    PQ, PM , PN đồng phẳng AM BN   k ( k  0) Chứng minh ba vectơ AC BD Giải: A Vì Q là trung điểm cạnh DC nên ta có:        PQ  ( PC  PD)  [( AC  AP)  ( BD  BP) P 2      [( AC  BD)  ( AP  BP)] G B        M Vì AP  BP  nên PQ  ( AC  BD )      C Theo giả thiết ta có AC  AM và BD  BN Hình 6.4 k k    Do đó PQ  ( AM  BN ) 2k            Vì: AM  AP  PM và BN  BP  PN nên PQ  ( AP  PM  BP  PN ) 2k    Vậy: PQ  PM  PN 2k 2k    Từ hệ thức trên ta suy ba vectơ PQ, PM , PN đồng phẳng BÀI TẬP TƯƠNG TỰ N D Q Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm ngồi mặt phẳng (ABC) Trên đoạn SA lấy điểm M cho        MS  2MA và trên đoạn BC lấy điểm N cho NB   NC Chứng minh ba vectơ AB , MN , SC đồng phẳng    3 HD: Chứng minh MN  AB  SC Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi M, N, I, J, K, L là trung điểm các cạnh AE, CG, AD, DH, GH, FG; P và Q là trung điểm NG và JH    a) Chứng minh ba vectơ MN , FH , PQ đồng phẳng CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923    b) Chứng minh ba vectơ IL, JK , AH đồng phẳng    HD: a) MN , FH , PQ có giá cùng song song với (ABCD)    b) IL, JK , AH có giá cùng song song với (BDG) Cho hình lăng trụ ABC.DEF Gọi G, H, I, J, K là trung điểm AE, EC, CD, BC, BE    a) Chứng minh ba vectơ AJ , GI , HK đồng phẳng FM CN   Các đường thẳng vẽ từ M và N FA CE    song song với CF cắt DF và EF P và Q Chứng minh ba vectơ MN , PQ, CF đồng phẳng b) Gọi M, N là hai điểm trên AF và CE cho Cho hình hộp ABCD.ABCD Gọi M và N là trung điểm CD và DD; G và G là trọng tâm các tứ diện ADMN và BCCD Chứng minh đường thẳng GG và mặt phẳng (ABBA) song song với       HD: Chứng minh GG '   5AB  AA '   AB , AA ', GG ' đồng phẳng     Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng và vectơ d    a) Cho d  ma  nb với m và n  Chứng minh các ba vectơ sau không đồng phẳng:       i) b , c , d ii) a , c , d     b) Cho d  ma  nb  pc với m, n và p  Chứng minh các ba vectơ sau không đồng phẳng: i)          ii) b , c , d iii) a , c , d a , b ,d HD: Sử dụng phương pháp phản chứng     Cho ba vectơ a , b , c khác và ba số thực m, n, p  Chứng minh ba vectơ          x  ma  nb , y  pb  mc , z  nc  pa đồng phẳng     HD: Chứng minh px  ny  mz          Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có AA '  a , AB  b , AC  c Hãy phân tích các vectơ B ' C , BC ' theo    các vectơ a , b , c         HD: a) B ' C  c  a  b b) BC '  a  c  b Cho tứ diện OABC Gọi G là trọng tâm tam giác ABC     a) Phân tích vectơ OG theo các ba OA, OB,OC     b) Gọi D là trọng tâm tứ diện OABC Phân tích vectơ OD theo ba vectơ OA,OB, OC      HD: a) OG  OA  OB  OC     b) OD  OA  OB  OC  Cho hình hộp OABC.DEFG Gọi I là tâm hình hộp      a) Phân tích hai vectơ OI vaø AG theo ba vectơ OA, OC ,OD     b) Phân tích vectơ BI theo ba vectơ FE , FG , FI         HD: a) OI   OA  OC  OD  , AG  OA  OC  OD 10 Cho hình lập phương ABCD.EFGH  a) Phân tích vectơ AE theo ba vectơ  b) Phân tích vectơ AG theo ba vectơ     HD: a) AE   AF  AH  AC  CHƯƠNG HÌNH HỌC 11     b) BI  FE  FG  FI    AC , AF , AH    AC , AF , AH     b) AG   AF  AH  AC  www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN DẠNG Hai đường thẳng vuông góc 01649802923 PP: Chứng minh góc hai đường thẳng đó 900 Chứng minh vectơ phương đường thẳng đó vuông góc với Sử dụng các tính chất hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …) BÀI TẬP Bài 1: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối diện là AB và CD, AC và DB vuông góc với Chứng minh       a) AB.CD  AC DB  AD.BC  b) cặp cạnh đối diện còn lại là AD và BC vuông góc với Giải:       a): AB.CD  AC DB  AD.BC  Ta có:          AB.CD  AB.( AD  AC )  AB AD  AB AC (1)          AC.DB  AC.( AB  AD)  AC AB  AC AD (2)          AD.BC  AD.( AC  AB )  AD AC  AD AB (3)       Từ (1), (2), (3) ta suy AB.CD  AC DB  AD.BC      b) theo câu a, ABCD nghĩa là AB.CD  và AC  DB nghĩa là AC.DB  thì từ hệ thức (4) ta suy   AD.BC  nghĩa là AD  BC Bài 2:( VD2 trang 170 TT vân anh) Bài ( VD1: trang 385 L H Đ) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ   BSC   CSA  Chứng minh SA  BC, SB Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và ASB  AC, SC  AB   HD: Chứng minh SA.BC = Cho tứ diện ABCD, cạnh a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD a) Chứng minh AO vuông góc với CD b) Gọi M là trung điểm CD Tính góc AC và BM HD: 3 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c a) CMR đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện thì vuông góc với cạnh đó b) Tính góc hợp các cạnh đối tứ diện HD:  b) cos(AC , BM)  b) arccos a2  c b2  c2 a2  b2 ; arccos ; arccos 2 b a c2 Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân A, M là điểm trên cạnh AD (M  A và D) Mặt phẳng (P) qua M song song với mp(SAB) cắt BC, SC, SD N, P, Q a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông b) Đặt AM = x Tính diện tích MNPQ theo a và x CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất các cạnh Chứng minh AC  BD, AB  CD, AD  CB BÀI 2: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A LÝ THUYẾT Định nghĩa d  (P)  d  a, a  (P) Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng a , b  (P), a  b  O  d  (P)  d  a , d  b Tính chất  Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm nó Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đó a b  (P)  b (P)  a  a  b  a b a  (P), b  (P) (P)  (Q)  a  (Q) a  (P)   (P)  (Q)  (P) Q) (P)  a ,(Q)  a  a  (P) ba b  (P)  a  (P)  a P) a  b,(P)  b  Định lí ba đường vuông góc Cho a  (P), b  (P) , a là hình chiếu a trên (P) Khi đó b  a  b  a Góc đường thẳng và mặt phẳng  Nếu d  (P) thì  d ,(P) = 90  Nếu d  (P) thì  d ,(P) =  d , d '  với d là hình chiếu d trên (P) Chú ý: 00   d ,(P)  90 B BÀI TẬP DẠNG 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mp Hai đường thẳng vuộng góc Pp: chứng minh đường thẳng vuông góc với mp Chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và c cắt nằm mặt phẳng () Chứng minh đường thẳng a song song với b và b vuông góc với mặt phẳng () Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mp() và () song song () b  ( ), c  ( ), b x c    a  ( ) a  b, a  c  a // b    a  ( ) b  ( )  ( ) //(  )    a  ( ) a  ( )  Chứng minh a là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  () CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 Chứng minh đường thẳng a nằm () và vuông góc với giao tuyến b hai mặt phẳng () và () vuông góc a  (  )  ( )   ( )  (  )  b   a  ( )  ab  Chứng minh đường thẳng a là giao tuyến hai mặt phẳng () và() cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba () a  ( )  (  )   (  )  ( )   a  ( )  ( )  ( )  Pp: chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng ( a, b )  90 o  a  b Dùng định nghĩa :   Với u, v là vectơ phương a và b thì a  b   u v = Dùng tích vô hướng b // c   a b a  c Chứng minh đường thẳng a vuông góc đường thẳng c song song với b Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng () chứa đường thẳng b a  ( )  a b b  ( )  Chứng minh a và b đồng phẳng áp dụng tính chất hình học phẳng : Pytago đảo, trung tuyến tam giác cân, tính chất đường cao, … Chứng minh a nằm mp () và a vuông góc với hình chiếu b’ b trên mặt phẳng () (định lí đvg) a  ( )   a b a  b '  ch ( ) b  Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mp (P) và (P) song song với đường thẳng b a  ( P) a b b //( P )  Bài tập Bài Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có ABC là tam giác vuông B a Chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng (SAB) và BC b Gọi AH là đường cao tam giác SAB Chứng minh AH SB SC Bài Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Gọi H và K là hình chiếu vuông góc điểm A trên SB và SD a Chứng minh BC (SAB), CD b Chứng minh SC (AHK) và HK (SAD), BD (SAC) (SAC) Bài Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA = SC, SB = SD CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN a Chứng minh đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) b Gọi M, N là trung điểm SB và SD Chứng minh MN 01649802923 (SAC) Bài 4: (ĐH Khối B năm 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Gọi M, N, P là trung điểm BB’, CD, A’D’ Chứng minh: MP  C ' N Giải: Gọi E là trung điểm CC’ Ta có: ME// A’D’, MP  ( MED ' A ') (1) Hai tam giác vuông C’CN và D’C’E '  C     CNC ' ED '  CC 'N C ' NC  900  C ' N  ED ' (2) Do ME // BC  ME  (CDD ' C ')  ME  C ' N (3) N Từ (2) và (3)  C ' N  ( MED ' A ')  C ' N  MP Bài 5: (ĐH Khối A năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAD là tam giác và mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P là trung điểm SB, BC, CD Chứng minh AM  BP Giải : Gọi H là trung điểm AD, tam giác SAD nên SH  AD S Vì (SAD)  (ABCD), suy SH  (ABCD) suy SH  BP (1) Dễ thấy hai tam giác vuông BPC và CHD nhau, nên ta có M    CBP   HCB   900  BP  CH CBP  DCH (2) B Từ (1) và (2) suy ra: BP   SHC  (3) A Do HC // AN, MN // SC   SHC  / /  MAN  (4) N H D Từ (3) và (4) suy ra: BP   MAN   AM  BP (đpcm) C P Bài 6: (ĐH khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a Gọi E là điểm đối xứng điểm D qua trung điểm SA Gọi M, N là trung điểm AE, BC Chứng minh E MN  BD S Giải Ta có SEAD là hình bình hành  SE / / DA và SE = DA M  SEBC là hình bình hành  SC / / EB Gọi P là trung điểm AB Khi đó các tam giác EAB và ABC ta có MP // EB, PN // AC P A D Từ đó suy (MNP) // (SAC) (1) N Ta có DB  AC và BD  SH  SH  (ABCD)   BD   SAC  H B (2) Từ (1) và (2) suy ra: DB   MNP   BD  MN C (đpcm) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O SA  (ABCD) Gọi H, I, K là hình chiếu vuông góc A trên SB, SC, SD a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC) CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC Từ đó suy đường thẳng AH, AI, AK cùng nằm mặt phẳng c) CMR: HK  (SAC) Từ đó suy HK  AI Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông B; SA  (ABC) a) Chứng minh: BC  (SAB) b) Gọi AH là đường cao SAB Chứng minh: AH  SC Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết: SA = SC, SB = SD a) Chứng minh: SO  (ABCD) b) Gọi I, J là trung điểm các cạnh BA, BC CMR: IJ  (SBD) Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là tam giác Gọi I là trung điểm BC a) Chứng minh: BC  (AID) b) Vẽ đường cao AH AID Chứng minh: AH  (BCD) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với Gọi H là hình chiếu vuông góc điểm O trên mp(ABC) Chứng minh rằng: a) BC  (OAH) b) H là trực tâm tam giác ABC c) 1 1    OH OA2 OB2 OC d) Các góc tam giác ABC nhọn Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều; SAD là tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J là trung điểm AB và CD a) Tính các cạnh SIJ và chứng minh SI  (SCD), SJ  (SAB) b) Gọi H là hình chiếu vuông góc S trên IJ CMR: SH  AC c) Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD cho: BM  SA Tính AM theo a HD: a) a, a a , 2 c) a Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác và SC = a Gọi H và K là trung điểm các cạnh AB và AD a) CMR: SH  (ABCD) b) Chứng minh: AC  SK và CK  SD Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a , mặt bên SBC vuông B, mặt bên SCD vuông D có SD = a a) Chứng minh: SA  (ABCD) và tính SA b) Đường thẳng qua A và vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD I, J Gọi H là hình chiếu A trên SC Hãy xác định các giao điểm K, L SB, SD với mp(HIJ) CMR: AK  (SBC), AL  (SCD) c) Tính diện tích tứ giác AKHL HD: a) a c) 8a 15 Gọi I là điểm bất kì đường tròn (O;R) CD là dây cung (O) qua I Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) I ta lấy điểm S với OS = R Gọi E là điểm đối tâm D trên đường tròn (O) Chứng minh rằng: a) Tam giác SDE vuông S b) SD  CE c) Tam giác SCD vuông 10 Cho MAB vuông M mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vuông góc với (P) A ta lấy điểm C, D hai bên điểm A Gọi C là hình chiếu C trên MD, H là giao điểm AM và CC a) Chứng minh: CC  (MBD) b) Gọi K là hình chiếu H trên AB CMR: K là trực tâm BCD 11 Cho hình tứ diện ABCD a) Chứng minh rằng: AB  CD  AC2 – AD2 = BC2 – BD2 CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 b) Từ đó suy tứ diện có cặp cạnh đối vuông góc với thì cặp cạnh đối còn lại vuông góc với DẠNG 2: góc đường và mặt Pp: Xác định góc đường thẳng a và mặt phẳng (P)  Tìm giao điểm O a với (P)   (a  Chon điểm A  a và dựng AH  (P) Khi đó AOH ,(P)) BÀI TẬP Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SO  (ABCD) Gọi M, N  là trung điểm các cạnh SA và BC Biết (MN ,(ABCD))  60 a) Tính MN và SO b) Tính góc MN và (SBD) HD: a 10 a 30  ; SO = b) sin (MN ,(SBD))  2 Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA  (ABCD) và SA = a Tính góc giữa: a) SC và (ABCD) b) SC và (SAB) c) SB và (SAC) d) AC và (SBC) HD: a) MN = a) 60 b) arctan c) arcsin 14 d) arcsin 21 Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA  (ABCD) Cạnh SC = a hợp với đáy góc  và hợp với mặt bên SAB góc  a) Tính SA b) CMR: AB = a cos(   ).cos(   ) HD: a) a.sin    Biết SA, SB, SC hợp với Cho hình chóp SABC, có ABC là tam giác cân, AB = AC = a, BAC mặt phẳng (ABC) góc  a) CMR: hình chiếu S trên mp(ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC b) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC)  a.sin HD: cos  Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy là tam giác cạnh a, AA  (ABC) Đường chéo BC mặt bên BCCB hợp với (ABBA) góc 300 a) Tính AA b) Tính khoảng cách từ trung điểm M AC đến (BAC) c) Gọi N là trung điểm cạnh BB Tính góc MN và (BAC) HD: b) a) a b) a 66 11 c) arcsin 54 55 Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân A; AA  (ABC) Đoạn nối trung điểm M AB và trung điểm N BC có độ dài a, MN hợp với đáy góc  và mặt bên BCCB góc  a) Tính các cạnh đáy và cạnh bên lăng trụ theo a và  b) Chứng minh rằng: cos = sin HD: a) AB = AC = 2a.cos; BC = 2a cos; AA = a.sin CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 www.DeThiThuDaiHoc.com 10 www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 DẠNG 3: Xác định thiết diện qua điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước Pp: Tìm đường thẳng cắt cùng vuông góc với đường thẳng đã cho, đó mặt phẳng cắt song song (hoặc chứa) với đường thẳng BÀI TẬP Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình thang vuông A và B với AB = BC = a, AD = 2a; SA  (ABCD) và SA = 2a Gọi M là điểm trên cạnh AB Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với AB Đặt AM = x (0 < x < a) a) Tìm thiết diện hình chóp với (P) Thiết diện là hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a và x HD: a) Hình thang vuông b) S = 2a(a – x) Cho tứ diện SABC, có đáy là tam giác cạnh a; SA  (ABC) và SA = 2a Mặt phẳng (P) qua B và vuông góc với SC Tìm thiết diện tứ diện với (P) và tính diện tích thiết diện này HD: b) S = x(a – x); S lớn x = a Cho hình tứ diện SABC với ABC là tam giác cạnh a, SA  (ABC) và SA = a Tìm thiết diện tứ diện với mặt phẳng (P) và tính diện tích thiết diện các trường hợp sau: a) (P) qua S và vuông góc với BC b) (P) qua A và vuông góc với trung tuyến SI tam giác SBC c) (P) qua trung điểm M SC và vuông góc với AB HD: a2 15 20 Cho tứ diện SABC với ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a SA  (ABC) và SA = a M là điểm tuỳ ý trên cạnh AB, đặt AM = x (0 < x < a) Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB a) Tìm thiết diện tứ diện với (P) b) Tính diện tích thiết diện đó theo a và x Tìm x để diện tích thiết diện có giá trị lớn HD: S= a) a2 b) 2a2 21 49 c) 5a2 32 Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a Vẽ đường cao AH tam giác SAB a) CMR: SH  SB b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB (P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện HD: b) S = 5a2 18 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC A.LÝ THUYẾT: 1.Góc hai mặt phẳng: a) Định nghĩa: Góc mặt phẳng là góc đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó * Nhận xét: Nếu mặt phẳng song song trùng nhauthì ta nói góc mặt phẳng đó o b)Cách xác định góc mặt phẳng cắt nhau: Cho (P)  (Q) = c, lấy I bất kì thuộc c Trong (P) qua I kẻ a  c.Trong (Q) qua I kẻ b  c Khi đó góc (P), (Q) = góc (a, b) c)Diện tích hình chiếu đa giác: S’ = S cos  Với S là diện tích đa giác nằm (P), S’ là diện tích hình chiếu vuông góc đa giác đó trên (Q),  = góc ((P), (Q)) 2.Hai mặt phẳng vuông góc: a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với góc chúng 90 o CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 www.DeThiThuDaiHoc.com 11 www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 + Hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau, kí hiệu : (P)  (Q) hay (Q)  (P) b)Tính chất : * Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng vuông góc với là mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Tóm tắt : (P)  (Q)  a  ( P ) : a  (Q) * Nếu mặt phẳng vuông góc với thì đường thẳng nào nằm mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng Tóm tắt : (P)  (Q), (P)  (Q) = c, a  ( P ), a  c  a  (Q ) * Nếu mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với và A là điểm nằm (P) thì đường thẳng a qua điểm A và vuông góc với (Q) nằm (P) Tóm tắt : (P)  (Q), A  ( P), A, a  (Q)  a  ( P) * Nếu mặt phẳng cắt và cùn vuông góc với mặt phẳng thì giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng đó Tóm tắt: (P)  (Q), ( P)  ( R), (Q)  ( R)  a  ( R ) * Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P) Tóm tắt: a  ( P)  !(Q)  a, (Q )  ( P ) 3.Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương: a)Hình lăng trụ đứng: * Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy * Nhận xét: Các mặt bên hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy b)Hình lăng trụ đều: * Định nghĩa: Hình lăng tru là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác * Nhận xét: Các mặt bên hình lăng trụ là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy c)Hình hộp đứng: * Định nghĩa: Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành * Nhận xét: Trong hình hộp đứng mặt bên là hình chữ nhật d)Hình hộp chữ nhật: * Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật * Nhận xét: Tất mặt hình hộp chữ nhật là hình chữ nhật e)Hình lập phương : * Định nghĩa: Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất các cạnh 4.Hình chóp và hình chóp cụt đều: a)Hình chóp đều: * Định nghĩa: Một hình chóp gọi là hình chóp đáy nó là đa giác và các cạnh bên * Nhận xét: + Đường vuông góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh gọi là đường cao hình chóp + Một hình chóp là hình chóp  đáy nó là đa giác và chân đường cao hình chóp trùng với tâm đáy + Một hình chóp là hình chóp  đáy nó là đa giác và các cạnh bên tạo voéi mặt đáy các góc b)Hình chóp cụt: * Định nghĩa: Khi cắt hình chóp mặt phẳng song song với đáy để hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó gọi là hình chóp cụt * Nhận xét: + Hai đáy hình chóp cụt là đa giác đồng dạng với + Đoạn nối tâm đáy gọi là đường cao hình chóp cụt + Trong hình chóp cụt các mặt bên là hình thang cân CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 www.DeThiThuDaiHoc.com 12 www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN B.BÀI TẬP 01649802923 DẠNG 1: Xác định góc mp Pp: Phương pháp :  Xác định góc hai mặt phẳng Phương pháp :  Cách : Dùng định nghĩa : a   P   P  ,  Q     a , b  đó :   b   Q     Cách : Dùng nhận xét : q  R        P   Q   P  ,  Q     p,q  R    P   p      R    Q   q  p   H  h ch  P  M   H N  m   P   Q   P , Q   M NH   R P Cách : Dùng hệ : M  Q  Q B B ÀI TẬP Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA  (ABC) và SA = a Gọi E, F là trung điểm các cạnh AB và AC a) Tính góc hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SEF) và (SBC) HD: 3 a)  ( SAC ),(SBC )  = 60 b) cos (( SEF ),(SBC ))  10 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA  (ABCD) Tính SA theo a để số đo góc hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) 60 HD: SA = a Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a; SA  (ABCD) và SA = a a) Tính góc mặt phẳng (SAD) và (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SBC) và (SCD) HD: a) tan (( SAD),(SBC ))  b) cos (( SBC ),(SCD))  10 Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a Tính góc các cặp mặt phẳng sau: a) (SBC) và (ABC) b) (SBD) và (ABD) c) (SAB) và (SCD) HD: a) 60 b) arctan c) 30 Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB = a a ; SA  (ABCD) và SO = 3  vuông a) Chứng minh ASC b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc c) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) HD: c) 60 CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 www.DeThiThuDaiHoc.com 13 www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 Cho hình chóp SABCD có SA  (ABCD) và SA = a , đáy ABCD là hình thang vuông A và D với AB = 2a, AD = DC = a Tính góc các cặp mặt phẳng: a) (SBC) và (ABC) b) (SAB) và (SBC) c) (SBC) và (SCD) HD: a) 45 b) 60 c) arccos DẠNG 2: chứng minh 2mp vuông góc Pp: +) Chứng minh mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng +) Dựa vào cách xác định góc mặt phẳng BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chóp S ABC có SA  (ABC) Trong tam giác ABC vẽ các đường cao AE và CF cắt O Gọi H là trực tâm tam giác SBC MR: a) S, H, E thẳng hàng b) (SBC)  (SAE), (SBC)  (CFH) c) OH  (SBC) Giải: a) + SA  (ABC), AE  BC  SE  BC (Theo định lí đường vuông góc) Mà H là trực tâm tam giác SBC nên S, H, E thẳng hàng b) * Ta có : BC  AE, BC  SE c)  BC  (SAE) Mà BC  (SBC) nên (SBC)  (SAE) * Vì SA  (ABC)  SA  CF và AB  CF  CF  (SAB)  CF  SB Mặt khác H là trực tâm tam giác SBC  CH  SB Từ đó suy SB  (CFH), mà SB  ( SBC )  ( SBC )  (CFH ) d) Theo chứng minh trên ta có: + BC  (SAE), OH  ( SAE)  BC  OH + SB  (CFH), OH  (CFH )  SB  OH Mà BC và SB cắt B mặt phẳng (SBC)  OH  (SBC) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có các cạnh bên SA = SB = SC = a Chứng minh: a Mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) b Tam giác SBD vuông S Giải a ABCD là hình thoi nên có AC  BD O Mặt khác SA = SC nên có AC  SO Vậy AC  (SBD) Mặt phẳng (ABCD) chứa AC  (SBD) nên (ABCD)  (SBD) b Ta có: SAC = BAC (c – c – c) mà OA = OC nên SO = BO Mặt khác BO = DO nên SO=OB=OD Ta suy tam giác SBD vuông S Bài Hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi H và K là trực tâm các tam giác ABC và SBC a Chứng minh rằNG (SAC)  (BHK) và (SBC)  (BHK) S K B A H A' Hình 10 CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 www.DeThiThuDaiHoc.com C 14 www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 b Tính diện tích tam giác ABC biết tam giác SBC có SB = 15cm, SC = 14cm, BC = 13cm và có góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 30 Giải: a Gọi A’ là giao điểm AH và BC Ta có BCAA’ và BCSA suy BC(SAA’) Do đó BCSA’ Vậy SA’ qua K vì K là trực tâm tam giác SBC Vì BH  AC và BH  SA suy BH  (SAC) BH  SC  Do đó   SC  ( BHK ) BK  SC  (SAC)  (BHK) BC  (SAA’) đó BC  HK; SC  (BHK) đó SC  HK Từ đó suy HK  (SBC) và (BHK)  (SBC) b Gọi SSBC là diện tích tam giác SBC Theo công thức Hê – rông, ta có: Vậy: S SBC  p ( p  a )( p  b )( p  c) đó p = ½ (13+14+15) = 21 Do đó S SBC  21(21  13)(21  14)(21  15)  84(cm ) Ta có tam giác ABC là hình chiếu vuông góc tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC) Áp dụng công thức S’ = S cos đó  = 300 là góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) ta có: SABC = S’ = 84.cos300 = 42 (cm2) Bài 4: Cho hình vuông ABCD Gọi S là điểm không gian cho SAB là tam giác và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) a)CMR: (SAB)  (SAD), (SAB)  (SBC) b)Tính góc mặt phẳng (SAD) và (SBC) c)Gọi H và I lần lượt là trung điểm AB và BC Chứng minh (SHC)  (SDI) Gài a)* Gọi H là trung điểm AB - Vì SAB là tam giác  SH  AB Do (SAB)  (ABCD), (SAB)  (ABCD) = AB  SH  (ABCD)  SH  AD (1) - Vì ABCD là hình vuông  AB  AD (2) - Từ (1) và (2)  AD  (SAB) Mà AD  (SAD) Vậy (SAD)  (SAB) * Lập luận tương tự ta có (SBC)  (SAB) b)* Xác định góc mặt phẳng (SAD) A và (SBC): - Ta có AD  (SAD), BC  (SBC), AD // BC  (SAD)  (SBC) = St // AD - Vì (SAD)  (SAB), (SBC)  (SAB)  St  (SAB)  St  SA, St  SB Vậy góc mặt phẳng (SAD) và (SBC) là góc ASB * Tính góc ASB: Vì tam giác SAB nên góc ÁB = 60o Vậy góc mặt phẳng (SAD) và (SBC) 60o c)Vì ABCD là hình vuông, H, I là trung điểm AB và BC nên HC  DI Mặt khác SH  (ABCD)  SH  DI Vậy DI  (sHC), mà DI  (SDI )  ( SDI )  ( SHC ) Bài 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, AB = a, BC = 2a và SO  (ABCD), Đặt SO = h Gọi M, N là trung điểm AB và CD a) Tính góc mặt phẳng (SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD) Tìm hệ thức liên hệ h và a để (SMN)  (SAB), (SMN)  SCD) CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 15 www.DeThiThuDaiHoc.com t www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 b) Tính góc mặt phẳng (SAB) và (SCD) Tính h theo a để mặt Sphẳng đó vuông góc Giải: a)* Ta có SO  (ABCD)  SO  AB Từ giả thiết  MN  AB  AB  (SMN ) , mà AB  (SAB) nên (SAB)  (SMN) Vậy góc (SMN) và (SAB) 90 o * Lập luận tương tự ta có (SCD)  (SMN) B  góc (SMN) và (SCD) 90 o * Căn vào kết trên ta thấy với h M tuỳ ý ta luôn có mặt phẳng (SMN) vuông N góc với mặt phẳng (SAB) và (SCD) O b)* Xác định góc mặt phẳng (SAB) và (SCD): A C D - AB  ( SAB), CD  (SCD ), AB // CD  ( SAB)  ( SCD)  St // AB // CD - Vì (SAB)  (SMN ), (SCD )  ( SMN )  St  ( SMN )  St  SM , St  SN Do SM  (SAB), SN  ( SCD)  góc mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc đường thẳng SM và SN Giả sử góc MSN =  đặt  = góc (SM,SN)  cos  = cos  *Tính góc  : - Ta có SM2 = SN2 = h2 + a2, MN = 2a - Xét tam giác SMN: MN2 = SM2 + SN2 – SM.SN.cos  h2  a2 h2  a2 cos (1)    h2  a2 h2  a2 Vậy góc mặt phẳng (SAB) và (SCD) là  mà cos  thoả mãn (1) *(SAB)  (SCD)   = 90o  cos    h = a :BÀI (ĐH Khối B năm 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a , SA = a và SA  ( ABCD ) Gọi M là trung điểm AD Chứng minh ( SAC )  ( SMB ) Giải: S Giả sử I là giao điểm AC và MB Ta có MA = MD và AD // BC nên theo định lý Talet suy AI  IC a2 AC  AD  DC  3a , AI  AC  M A D a 2   I 1 a 2 a MI  MB   B   a   C a 9       4a2= 2(h2 + a2) – 2(h2+ a2).cos   cos  = a2 a2  a  Từ đó suy AI  MI       MA   Vậy AMI là tam giác vuông I  MB  AC (1) Mặt khác SA  ( ABCD )  SA  MB (2) Từ (1),(2) suy MB  ( SAC )  ( SMB )  ( SAC )  đpcm BÀI 7: (ĐH khối A năm 2003) Cho hình hộp chữ nhật ABCD,A’B’C’D’ đáy là hình vuông ABCD cạnh a, AA’ = b Gọi M là trung a điểm CC’ Xác định tỷ số để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với b CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 www.DeThiThuDaiHoc.com 16 www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN Giải : Ta có A’B = A’D  A ' O  BD ( O là tâm cua hình vuông ABCD ) Lại có MB  MD  MO  BD B'  Từ đó A ' OM là góc hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) b Vì ( A ' BD )  ( MBD )   A ' OM  900 (1)  A ' O  OM  A ' M có A ' O  A ' B  BO Ta 01649802923 A' D' C' M D A O B a C a 2 a2  a  b     b    OM  MC  CO  (2) b2 a2  A ' M  A ' C '2  C ' M  2a  Từ (1), (2), (3) và (4) suy (3) b2 (4) 5b b2  a  2a   b  a (do a , b >0) 4 a  thì ( A ' BD )  ( MBD ) b BÀI 8: (ĐH Hải Phòng năm 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC đáy ABC là tam giác cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Gọi I là trung điểm BC Chứng minh hai mặt phẳng (SAI) S và (SBC) vuông góc với Giải: Do AB = AC  AI  BC (1) Vì AB = AC  SB = SC  SI  BC (2) A Từ (1) và (2) suy BC  (SAI)  (SBC)  (SAI)  dpcm Vậy với C I B BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Cho tam giác ABC, cạnh a Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vuông góc vơi mp(ABC) D lấy điểm S cho SD = a Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD cùng vuông góc với đáy DBC Vẽ các đường cao BE, DF BCD, đường cao DK ACD a) Chứng minh: AB  (BCD) b) Chứng minh mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC) c) Gọi O và H là trực tâm tam giác BCD và ADC CMR: OH  (ADC) Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA  (ABCD) a) Chứng minh (SAC)  (SBD) b) Tính góc hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) c) Gọi BE, DF là hai đường cao SBD CMR: (ACF)  (SBC), (AEF)  (SAC) HD: b) 90 CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 www.DeThiThuDaiHoc.com 17 www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) Gọi M, N là điểm trên cạnh BC, DC cho BM = a 3a , DN = Chứng minh mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với Cho tam giác ABC vuông A Vẽ BB và CC cùng vuông góc với mp(ABC) a) Chứng minh (ABB)  (ACC) b) Gọi AH, AK là các đường cao ABC và ABC Chứng minh mặt phẳng (BCCB) và (ABC) cùng vuông góc với mặt phẳng (AHK) Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác và vuông góc với đáy Gọi I là trung điểm AB a) Chứng minh SI  (ABCD), AD  (SAB) b) Tính góc BD và mp(SAD) c) Tính góc SD và mp(SCI) HD: b) arcsin c) arcsin 10 BÀI 5: KHOẢNG CÁCH A LÝ THUYẾT Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng , đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách hai điểm M và H, đó H là hình chiếu điểm M trên đường thẳng a ( trên mp(P)) O O a H P d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH Khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ điểm nào đó a đến mp(P) d(a;(P)) = OH Khoảng cách hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ điểm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng d((P);(Q)) = OH CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 H O P Q 4.Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng đó d(a;b) = AB a) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng đó O a P H a H A b www.DeThiThuDaiHoc.com B 18 www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 B BÀI TẬP DẠNG 1: Tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (hoặc đến đường thẳng) PP: - Xác định chân đường vuông góc trên mặt phẳng (hoặc trên đường thẳng) mà cần tính khoảng cách từ điểm cho trước đến nó d (M , a)  MH đó H là hình chiếu M trên a (P) d (M ,(P))  MH - Sử dụng các hệ thức lượng tam giác vuông (Bao hàm định lý Pitago), lượng giác để tính các khoảng cách cần tìm BÀI 1: Bài toán Cho tứ diện OABC đó OA, OB, OC đôi vuông góc với Kẻ OH  (ABC) a/ Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC b/ Chứng minh hệ thức 1 1    2 OH OA OB OC Giải: a/ Kẻ OH  (ABC), AH  BC = M Ta có   OA  OB  OA  (OBC)  OH  BC , BC  OA   OA  OC    BC  (AOH)  BC  AH Lập luận tương tự BH  AC A H O C Vậy H là trực tâm tam giác ABC b/ Theo định lý ba đường vuông góc, suy MO  BC Theo hệ thức lượng tam giác vuông AOM 1   2 OH OA OM ta có M B (1) Theo hệ thức lượng tam giác vuông OBC ta có Từ (1) và (2) suy 1 (2)  2 OM OB OC 1 1     đpcm 2 OH OA OB OC Nhận xét : Đây là các kết nhất, có ứng dụng to lớn các bài toán “quan hệ vuông góc” hình học không gian Các ví dụ , đây minh hoạ cho điều đó BÀI 2: (ĐH khối D năm 2002) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), ngoài AD = AC = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm Tìm khoảng cách từ A đến D (BCD) Giải : Vì AD = AC = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm , H suy ABC là tam giác vuông A.Vậy AB, AC, AD đôi vuông góc với C 1 1 1       2 2 AH AB AC AD 16 16 34  AH  17 Theo ví dụ ta có : CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 www.DeThiThuDaiHoc.com A B 19 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN www.MATHVN.com 01649802923 BÀI 3: (ĐH khối D năm 2008) Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông có BA = BC = a, cạnh bên AA’ = a Gọi M là trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM và B’C Giải: Gọi E là trung điểm BB’ A' C' Ta có EM // B’C suy B’C / / (AEM) Suy d(B’C,AM) = d(B’C,(AEM)) = d(C,(AEM)) = B' d(B,(AEM)) (vì MB = MC) Do tam giác ABC vuông B nên tứ diện BAEM có BA, BE, E BM đôi vuông góc với C A Theo ví dụ gọi BH là chiều cao kẻ từ B tứ diện ABCD ( H  ( AEM ) ) thì M B 1 1 1 a         BH  2 2 a a BH BA BE BM a a a  d ( AM , B ' C )  DẠNG 2: Khoảng cách hai đường thẳng chéo PP: 1) Nếu d1 // (P), đó d2 chứa (P) thì khoảng cách d1 , d2 khoảng cách d1 và (P) 2) Nếu d1 chứa (P), d2 chứa (Q) mà (P) // (Q) thì khoảng cách d1 và d2 khoảng cách (P) và (Q) +) Lưu ý: d1 // (P) thì khoảng cách d1 và (P) khoảng cách từ điểm d1 đến (P) Tương tự khoảng cách hai mặt phẳng song song (P) và (Q) khoảng cách từ điểm mặt phẳng này đến mặt phẳng Nhu cuối cùng ta lại quy bài toán tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo bài toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng BÀI TẬP BÀI (ĐH khối D năm 2008) Đó chính là ví dụ , loại vừa xét trên BÀI 2: (ĐH khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a Gọi E là điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M , N là trung điểm AE và BC Tìm khoảng cách hai đường thẳng MN, AC theo a Giải : E Gọi P là trung điểm AB Khi đó MP // AB (1) Ta có SE // DA và SE = DA  SE // BC S Có SE = BC  SEBC là hình bình hành  EB // SC (2) M Vậy từ (1) , (2)  MP // SC Lại có PN // AC nên (MNP) // (SAC)  d(MN, AC) = d((MNP),(SAC)) = d(H,(SAC)) = OH = A P a BD  4 H O (với H, O là giao điểm BD với NP và AC) BÀI 3: (Đề thi tuyển sinh ĐH khối A – 2006) CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 www.DeThiThuDaiHoc.com D N C 20 B GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN www.MATHVN.com 01649802923 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh Gọi M , N là trung điểm AB và CD Tìm khoảng cách hai đường thẳng A’C và MN Giải : Ta có : BC // MN  MN // (A’BC)  d(MN,A’C) = d(MN,(A’BC)) = d(M,(A’BC)) (1) Ta có : AI  A'B ( AB'  A'B = I) A' D' Lại có BC  (BAA'B')  BC  AI Từ đó AI  (A'BC) Vì kẻ MH // AI (H  A'B) B' a thì MH  (A'BC) và d(M,(A'BC)) = MH = AI = Từ (1) , (2) suy d(MN,A'C) = C' I (2) A H D M N B C Chú ý : Các em (học sinh lớp 12) có thể giải ví dụ này phương pháp thể tích DẠNG 3: Bài toán xác định đường vuông góc chung PP Nguyên tắc chung để giải bài toán này sau: Xác định điểm M  a, N  b cho MN  a, MN  b , đó MN là đường vuông góc chung a và b Vấn đề chỗ là làm nào để xác định hai điểm M, N? Phương pháp tổng quát tiến hành sau: - Dựng mp(P) chứa a và song song với b Lấy điểm B trên b, kẻ BB’  (P), B’  (P) - Trong (P) qua B’ dựng b’ // b N b B - Gọi M = a  b ' Từ M kẻ MN // BB’ (N  b) - Khi đó MN là đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo a và b b' Tuy nhiên a và b có cấu trúc dặc biệt (thí dụ a và b B' M vuông góc với …) thì ta lại có cách xử lý tương ứng a P và đơn giản BÀI TẬP BÀI Trình bày cách dựng đường vuông góc chung với hai đường thẳng chéo và vuông góc với Giải : a Giả sử đường thẳng a, b chéo và vuông góc Dựng (P) qua b vuông góc với a M Giả sử a  (P) = M b N Trong (P) dựng MN vuông góc với b Khi đó MN là đường P vuông góc chung a và b Xem ứng dụng ví dụ sau đây: BÀI 2: (ĐH khối B năm 2002) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a Tìm khoảng cách hai đường thẳng A1B và B1D Giải : Ta có AB1  A1B (vì BAA1B1 là hình vuông) a A1 A1B  AD (vì AD  (BAA1B1)) D1  A1B  (B1AD)  A1B  B1D (1) Ví DD1  (A1B1C1D1)  DD1  A1C1 B1 C1 G Do A1B1C1D1 là hình vuông nên A1C1  B1D1 H A Từ đó A1C1  (B1DD1)  A1C1  B1D (2) D CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 21 www.DeThiThuDaiHoc.com B C GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN www.MATHVN.com 01649802923 Từ (1) và (2) suy : B1D  (A1BC1) (3) Bây ta tìm giao điểm B1D với (A1BC1) Gọi H là giao điểm AB1 và A1B Trong mặt chéo (B1A1DA) rõ ràng : HC1  B1D = G 1 C1D  GH = GC1  G là trọng tâm tam giác A1BC1 2 là tam giác nên GH  A1B , còn GH  B1D vì B1D  (A1B1C1) Như Do B1H = HA = Vì A1BC1 GH là đường vuông góc chung A1B và B1D nên nó chính là khoảng cách A1B và B1D Ta có : GH  C1 H  a a a   d ( A1 B, B1 D )  6 Nhận xét : Trong ví dụ này vì A1B  B1D nên cách làm ví dụ trên chính là thực hành các bước đã nêu ví dụ BÀI Cho hình tứ diện ABCD cạnh a = cm Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng AB và CD Giải: Gọi M và N tương ứng là các trung điểm AB và CD Do A ABCD là tứ diện , nên ta có CM  AB và DM  AB  AB  (MCD)  AN  MN M Lý luận tương tự ta có : CD  (ANB)  CD  MN Vậy MN là đường vuông góc chung AB và CD B 3 Vậy MN  MC  CN  (3 6)  (3 )  36  MN  6cm D Ta có : MC = MD = N C BÀI 4: Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác cạnh a và AD = a, AD  BC Khoảng cách từ A đến BC là a Gọi M là trung điểm BC Xác định và tính đoạn vuông góc chung AD và BC Giải Gọi M là trung điểm BC Có DM  BC ( trung tuyến tam giác BCD đều) AD  BC (gt)  BC  (ADM) có M = BC  (ADM) Trong (ADM) kẻ MN  AD Vì BC  (ADM) nên BC  MN Suy ra, MN là đoạn vuông góc chung AD và BC 1 Xét  AMD có S AMD  MN AD  AH MD (1) 2 Với H là trung điểm MD  AH  MD (  AMD cân A) 3 a 13 Có AD = a, MD = a , AH  AD  DH  a  a  16 a 13 a AH MD  a 39 Từ (1) suy MN   AD a CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 www.DeThiThuDaiHoc.com 22 www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN BÀI 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Dựng và tính đoạn vuông góc chung BD’ và CB’ Giải 01649802923 Gọi H = B’C  BC’ Ta có, BC’  B’C ( đường chéo hình vuông) AB  B’C ( vì AB  (BCC’B’), B’C  (BCC’B’))  B’C  (ABC’)  (ABC’D’) có H = B’C  (ABC’D’) Trong (ABC’D’) kẻ MK  BD’ Vì B’C  (ABC’D’) nên B’C  MK Suy ra, MK là đoạn vuông góc chung B’C và BD’ Xét BHK  BD 'C ' vì B̂ chung, Kˆ  Cˆ '  90 HK BH D' C '.BH   HK  (1)  D' C ' BD' BD' a Có D’C’ = a, BH = , BD’ = a ( đường chéo hình lập phương) a a D' C '.BH a Từ (1) suy HK   BD' a BÀI 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O và SA  (ABCD) SA = a a) Dựng và tính đoạn vuông góc chung các đường thẳng SC và BD b) Dựng và tính đoạn vuông góc chung SC và AD Giải a) Ta có BD  AC ( đường chéo hình vuông) SA  BD ( SA  (ABCD))  BD  (SAC) mà SC  (SAC) và O  BD  (SAC ) Trong (SAC) kẻ OI  SC Vì BD  (SAC) nên BD  OI Suy ra, OH là đoạn vuông góc chung BD và SC Xét COI  CSA vì Ĉ chung, Iˆ  Aˆ  90 OI CO CO.SA   OI  (1)  SA SC SC Có OC = a , SA = a SC  SA  AC  6a  2a  2a (  SAC vuông A) a a CO.SA a Từ (1) suy OI    SC 2a b) Ta có AD // BC  AD // (SBC) mà SC  (SBC) Có BC  AB và BC  SA  BC  (SAB) mà BC  (SBC)  (SAB)  (SBC) có SB = (SAB)  (SBC) Trong (SAB) kẻ AH  SB  AH  (SBC) Trong (SBC) kẻ HM // BC cắt SC = M Từ M kẻ MN // = AH cắt AD N Vì AH  (SBC) nên AH  SC hay MN  SC = M AD // (SBC) nên AH  AD hay MN  AD = N Suy ra, MN là đoạn vuông góc chung SC và AD CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 www.DeThiThuDaiHoc.com 23 www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 1 SA.AB Xét  SAB có S SAB  AH SB  SA AB  AH  (2) 2 SB 01649802923 Có SA = a , AB = a, SB  SA  AB  6a  a  a Từ (2) suy AH  SA AB a a a 42   SB a BÀI 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a tâm O và BAˆ D  60 Có SA = SC, SB = SD = a a) Dựng và tính đoạn vuông góc chung AD và SB b) Dựng và tính đoạn vuông góc chung hai đường thẳng BD và SC Giải a) Đoạn vuông góc chung AD và SB Ta có, AD // BC  AD // (SBC) mà SB  (SBC) Trong (ABCD) qua O kẻ IJ  BC, AD Khi đó, BC  IJ, BC  SO nên BC  (SIJ) Hay (SBC)  (SIJ) mà SI = (SIJ)  (SBC) Trong (SIJ) kẻ JF  SI  JF  (SBC) Trong (SBC) kẻ FM // BC cắt SB M Từ M dựng MN // = JF cắt AD N Vì JF  (SBC) nên JF  SB hay MN  SB = M AD // (SBC) nên JF  AD hay MN  AD = N Suy ra, MN là đoạn vuông góc chung AD và SB 1 SO.IJ Xét  SIJ có S SIJ  JF SI  SO.IJ  JF  2 SI Vì ABCD là hình thoi có BAˆ D  60 nên BD = a, AC = a 1 4 16 a       OI  2 OI OB OC a 3a 3a a a 13 Trong  SOB có SO  SB  OB  3a   Trong  OAB có Trong  SOI có SI  SO  OI  13a 3a   16 55a a 55  16 a 13 a SO.IJ  a 39 Suy JF   SI a 55 55 Vậy đoạn vuông góc chung AD và SB là MN = JF  a 39 55 b) Đoạn vuông góc chung BD và SC Ta có, BD  AC và BD  SO nên BD  (SAC) Trong (SAC) kẻ OE  SC Vì OE  (SAC) nên BD  OE Suy OE là đoạn vuông góc chung BD và SC 1 4 64 a 39 Xét  SOC có       OE  2 2 OE SO OC 13a 3a 39a a Vậy đoạn vuôngg góc chung BD và SC là OE = CHƯƠNG HÌNH HỌC 11 www.DeThiThuDaiHoc.com 24