Bài tập lớn haar 9.5 điểm

báo cáo bài tập lớn đại số tuyến tính hay nhất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA  BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ TÀI 23: GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI HAAR GVHD: THẦY BÙI ANH TUẤN LỚP: ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BỘ MÔN: VẬT LÝ ỨNG DỤNG  BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ TÀI 23: GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI HAAR GVHD: THẦY BÙI ANH TUẤN LỚP: DANH SÁCH THÀNH VIÊN STT HỌ VÀ TÊN MSSV 10 MỤC LỤC CHƯƠNG 1: ĐỀ TÀI Yêu cầu: - Giới thiệu phép biến đổi Haar - Viết chương trình sử dụng phép biến đổi Haar để nén liệu Nhiệm vụ: - Dùng matlab để triển khai việc nén ảnh thông qua phép biến đổi Haar CHƯƠNG 2: LỜI MỞ ĐẦU Cuộc sống phát triển nhu cầu thơng tin người phong phú, dẫn đến phát triển mạnh mẽ khoa học kỹ thuật, loại hình thơng tin vơ tuyến, hình thức xử lý tín hiệu, đặc biệt cơng nghệ xử lý ảnh Vấn đề đặt yêu cầu ngày cao việc xử lý tín hiệu để đảm bảo vừa nén liệu, tiết kiệm dung lượng đường truyền tín hiệu, vừa đảm bảo loại trừ nhiễu tín hiệu có khả khơi phục lại tín hiệu với chất lượng tốt Có nhiều phương pháp xử lý tín hiệu với nhiều thuật tốn, biến đổi toán học nghiên cứu Trong số đó, biến đổi Haar xem phép biến đổi mới, có nhiều tiềm năng, phát triển mạnh mẽ với ưu điểm vượt trội so với phép biến đổi truyền thống Haar cho phép phân tích tín hiệu miền thời gian tần số Do đó, biến đổi Haar ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực, từ y sinh tới công nghệ xử lý ảnh Trong báo cáo này, em xin phép giới thiệu về:"Tìm hiểu phép biến đổi Haar, khảo sát, phân tích xây dựng ứng dụng phép biến đổi Haar xử lý ảnh” CHƯƠNG 3: GIỚI THIỆU HAAR VÀ PHÉP ĐỔI HAAR WAVELET 3.1 Tổng quan: Trong toán học, wavelet Haar chuỗi chức “ hình vng” rescaled mà tạo thành gia đình wavelet sở Phân tích Wavelet tương tự phân tích Fourier chỗ cho phép hàm mục tiêu khoảng thời gian biểu diễn dạng sở trực giao Trình tự Haar cơng nhận sở wavelet biết đến sử dụng rộng rãi ví dụ giảng dạy Các chuỗi Haar đề xuất vào năm 1909 Alfréd Haar Haar sử dụng hàm để đưa ví dụ hệ thống trực giao cho không gian hàm tích phân vng khoảng thời gian đơn vị [0, 1] Các nghiên cứu wavelet, chí thuật ngữ "wavelet", khơng đến sau Như trường hợp đặc biệt wavelet Daubechies , wavelet Haar gọi Db1 Haar wavelet wavelet đơn giản Những bất lợi kỹ thuật wavelet Haar khơng phải liên tục , khơng phải khác biệt Tuy nhiên, tài sản lợi cho việc phân tích tín hiệu với chuyển đổi đột ngột, chẳng hạn giám sát lỗi công cụ máy 3.2 Haar Wavelet: Chúng ta bắt đầu với hàm wavelet Alphré Haar (nhà toán học Hungary) giới thiệu năm 1910 Hàm Haar wavelet thứ Hình 3.2.1 hàm Haar Wavelet gọi hàm scaling (scaling function), xác định sau: ϕ1(t) = ϕ(t) ≡ 1, ≤ t ≤1, Hàm Haar wavelet thứ hai gọi wavelet mẹ (mother wavelet): Giá trị hàm w(t) điểm rời rạc không quan trọng lắm, tương tự trường hợp khai triển Fourier ta quy ước cho w(t) = 0, điểm t=0,,1 Hàm Haar wavelet thứ ba hàm Haar wavelet thứ tư dạng nén hàm wavelet mẹ,được gọi hàm wavelet (daughter wavelet), xác định sau: Hàm scaling j(t) wavelet w(t) mở rộng lên toàn tập số thực R cách cho nhận giá trị bên ngồi khoảng bản: Khi ta biểu diễn (t)- ղ(t-1) (t) -2(t-) + ղ(t-1) 10 3.2 Biến đổi Haar: Biến đổi Haar đơn giản biến đổi wavelet Sự biến đổi nhân chéo hàm với Haar wavelet với thay đổi trải dài khác nhau, giống phép biến đổi Fourier nhân chéo hàm chống lại sóng sin với hai pha nhiều đoạn trải dài Biến đổi Haar chức biến đổi lâu đời nhất, đề xuất vào năm 1910 nhà tốn học người Hungary Alfréd Haar Nó tìm thấy hiệu ứng dụng nén tín hiệu hình ảnh kỹ thuật điện máy tính cung cấp cách tiếp cận đơn giản hiệu mặt tính tốn để phân tích khía cạnh địa phương tín hiệu Biến đổi Haar bắt nguồn từ ma trận Haar Các hàm Haar định nghĩa khoảng liên tục t [0, 1] 3.3 Cơ sở phép biến đổi Haar: - Họ hàm N Haar hk (t),(k=0,…,N-1) xác định khoảng t [0,1] Hình dạng hàm cụ thể số định phụ thuộc vào hai tham số p q Cơ sở phép biến đổi: k = 2p +q -1 - Với giá trị k ≥ 0, p q xác định cho 2p lũy thừa lớn chứa k (2p < k) q -1 - phần dư Ví dụ: N =16, p q xác định sau: k 10 11 12 13 14 15 p 0 1 2 2 3 3 3 3 q 1 2 4 11 Bây hàm haar định nghĩa sau: Khi K = 0, h0(t) = Khi k > 0, hk (t)= hp,q(t)= 3.4 Ma trận Haar: Các chức N Haar lấy mẫu t = , m chạy từ 0, ,N-1 để tạo thành ma trận NxN Chẳng hạn sau cho N=2, ta có: H2 = Và N = 4, ta có: H4 = Và N = 8: H8 = S S S Ta thấy tất hàm Haar hk (t) (k > 0) chứa hình dạng nguyên mẫu bao gồm sóng vng phiên âm nó: • p định độ lớn chiều rộng (hoặc tỷ lệ) hình dạng; 12 • q xác định vị trí (hoặc dịch chuyển) hình dạng Lưu ý rằng: ma trận biến đổi Haar không đại diện cho chi tiết tín hiệu thang đo khác (tương ứng với tần số khác nhau) mà vị trí chúng theo thời gian Tính chất phép biến đổi Haar Phép biến đổi Haar thực trực giao: H = H* H-1= HT HTH = I VD: Với N = Phép biến đổi Haar phép biến đổi nhanh Các vector sở ma trận Haar xếp liên tục Phép biến đổi Haar có khả nén lượng phép biến đổi đơn nguyên Ta xem vd sau VD 4.5.4 ( ĐSTT- Đặng Văn Vinh): Xét phương pháp nén liệu dựa biến đổi Haar Giả sử ta có đoạn liệu X0 = ( 152, 150, 156, 152,160,160, 152, 156)T ta chia liệu thành cặp tìm nửa tổng a nửa hiệu d cặp Khi ta 13 dãy X1 = (152, 154, 160, 154,2,2,0,-2)T với bốn số nửa tổng bốn cặp, bốn số nửa hiệu cặp Có thể dùng ma trân để mơ tả q trình sau Xét ma trận A = Các cột A tạo nên họ trực giao Nếu ta chia cột cho độ dài họ trực chuẩn ma trận tương ứng ma trận trực giao H sau: H= Khi nghịch đảo H HT Ta dùng ma trận H để nén liệu thay cho A Ta có Y1 = HX0 Giải nén liệu Y1 ta X0 = HTY1 Phép biến đổi trực giao H có tính chất quan trọng bảo tồn khoảng cách góc Thật vậy, === Tức đồ dài véctơ X độ dài véctơ HX Ngoài góc hai véctơ u v thỏa cos Qua phép biến đổi H, góc hai véctơ Hu Hv thỏa Cos cos Hay góc hai véctơ u v với góc hai ảnh Hu Hv Phép biến đổi trực giao H bảo toàn góc khoảng cách nên khơng làm thay đổi hình dạng ảnh q trình nén Ta tiếp tục trình nén sau: Véctơ Y1 = H1X0 = (152, 154, 160, 154,2,2,0,-2)T, với H1 ma trận H trên, có phần tử sau nhỏ phần tử đầu số lớn Giữ bốn số sau dãy lại Đối với bốn số đầu, ta chia làm hai cặp, tìm Y2 = H2Y1 = (306;314;-2;6;2;2;0;-2)T, với H2 = Tiếp tục trình trên, giữ số cuối Y2 lại Hai số đầu thay nửa tổng hiệu chúng, ta có Y3 = H3Y2 = (310;-4;-2;6;2;2;0;-2)T, với H3 = Tóm lại ta có Y3 = H3H2H1X0 Y3 = QX0 14 Véctơ Y3 chứa số sau nhỏ Giải nén dãy liệu Y3 tìm lại dãy X0 = Q-1Y3 X0 = QTY3, với Q= 15 Chương 4: CHƯƠNG TRÌNH GIẢI MATLAB 4.1 Các lệnh Matlab sử dụng: - A=Rgb2gray(Imread(‘picture.jpg’): Số hóa ảnh lưu vào ma trận cỡ 960 x 1280 - Figure; subplot(4,2,1), - imshow(A), title(‘Name of picture): hiển thị hình ảnh Imresize(im2double(‘’): chỉnh sửa kích cỡ ảnh Length: xác định kích thước cảu ma trận Zeros(m,n): tạo ma trận cỡ mxn Norm(v): độ dài vecto v theo tích vơ hướng tắc Eye(n): tạo ma trận đơn vị cấp n Axis: đặt lại giá trị trục toạ độ Vịng lặp while: dùng khơng thể biết trước số lần lặp while - phát biểu- end, - Vịng lặp for: dùng khơng thể biết trước số lần lặp for = :: - Imagesc(C): hiển thị liệu mảng C dạng hình ảnh màu - Imwrite(C,’name of output.jpg’): lưu hình ảnh tập file định 16 4.2 Chương trình giải: clc;clear; coverIM = imread('C:\Users\Win 8.1\Desktop\my_matlab\tien.jpg'); coverIM = rgb2gray(coverIM); XO = imresize(im2double(coverIM),[512 512]); subplot(2,1,1); imagesc(XO);title('Hinh anh ban dau') axis off; axis square; colormap gray ; n = length(XO); A = zeros(n,n); m = 8; Q =eye(1); dem = 0; while (m == 1) At=A; m = m/2; for i =1:m At(i,2*i-1) =1/2; At(i,2*i) = 1/2; At(i+m,2*i) =-1/2; At(i+m,2*i)=-1/2; end for i = m*2+1:n At(i,i) = 1; end for i =1:2*m At(:,i) = At(:,i)/norm(At(:,i)); end Q = At * Q; dem =dem + 1; end Y = Q * XO; subplot (2,1,2); imwrite(Y,'output.jpg'); imagesc(Y);title('Hinh anh sau dung bien doi Haar') axis off; axis square; colormap gray; 17 Ta có hình tương ứng sau: Hình 4.1.1: Ảnh ban đầu Hình 4.2.2: Ảnh(màu) sau dùng biến đổi Haar 18 CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN Với tìm hiểu, chuẩn bị cố gắng thành viên q trình làm bài, nhóm N11 hồn thành nhiệm vụ giao cho kết mong muốn qua việc sử dụng Matlab Qua phần tập lớn này, nhóm đã: - Biết phép biến đổi Haar vai trò thực tiễn đời sống - Nhận thấy việc sử dụng Matlab giúp tiết kiệm thao tác thời gian so với cách tính phổ thơng thuận tiện giao diện dễ sử dụng - Nâng cao hứng thú với môn học - Trao dồi kỹ học tập làm việc nhóm 19 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Giáo trình Đại số tuyến tính-Đặng Văn Vinh, trường ĐH Bách Khoa – ĐHQG TPHCM [2] http://www.zun.vn/tai-lieu/xu-ly-anh-so-cac-phep-bien-doi-anh42278/ [3] Tài liệu tạo trình dịch HTML LaTeX Phiên 2008 (1.71) Bản quyền © 1993, 1994, 1995, 1996, Nikos Drakos , Đơn vị Học tập dựa Máy tính, Đại học Leeds Bản quyền © 1997, 1998, 1999, Ross Moore , Khoa Toán học, Đại học Macquarie, Sydney 20 ... khía cạnh địa phương tín hiệu Biến đổi Haar bắt nguồn từ ma trận Haar Các hàm Haar định nghĩa khoảng liên tục t [0, 1] 3.3 Cơ sở phép biến đổi Haar: - Họ hàm N Haar hk (t),(k=0,…,N-1) xác định khoảng... biểu diễn dạng sở trực giao Trình tự Haar công nhận sở wavelet biết đến sử dụng rộng rãi ví dụ giảng dạy Các chuỗi Haar đề xuất vào năm 1909 Alfréd Haar Haar sử dụng hàm để đưa ví dụ hệ thống... giám sát lỗi công cụ máy 3.2 Haar Wavelet: Chúng ta bắt đầu với hàm wavelet Alphré Haar (nhà toán học Hungary) giới thiệu năm 1910 Hàm Haar wavelet thứ Hình 3.2.1 hàm Haar Wavelet gọi hàm scaling