CHỦ ĐỀ DÃY SỐ 2021 ÔN HSG TOÁN THPT

GVBS: Nguyễn Hồng Vinh [ƠN DỰ TUYỂN 2021] CHỦ ĐỀ DÃY SỐ 2021 – 2022 DÃY SỐ SINH BỞI NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Với số nguyên dương n, ta đặt x n l| nghiệm thuộc  0;1 phương trình cos x  nx (đã chứng minh đ}y l| nghiệm vùng  0;1 phương trình n|y) a Đặt Sn  x1  x2   xn , chứng minh lim Sn     b Tìm số thực a để lim na  nxn  1 l| số thực kh{c c Chứng minh x1 x2 x3 x n 1     n  n  ln ; n  1; 2; 3; x2 x3 x4 x n 1 Lời giải: a Ta có cos x   x2 x2 ; x   0;1  nx n  cos x n   n  x n  v| từ đ}y suy c}u a 2 n  n2  b Ta có nxn  cos xn   xn   lim xn   lim nxn  lim cos xn  n Lại có đ{nh gi{: x2n x2n x4n n x2n n x2n n x4n x2 x4 cos x      nxn       n  nx n  1    24 2 24 2 24 1 Mà lim nxn  1; lim n xn4  nên suy lim n  nxn  1   Từ đ}y suy lim n  nxn  1   2 hay a = c Theo định lý Lagrange v| lưu ý dãy  x n  giảm  sin   x n  x n 1   cos x n  cos x n 1  n  x n  x n 1   x n 1  x n 1   n  sin   x n  x n 1   Cộng theo vế v| lưu ý: xn 1  1 1 x n 1 n  sin  n 1 1  1  1  1 n 1     ln     ln      ln     ln v| suy kết n  2  3  n Bài 2: Với số nguyên dương n, xét phương trình x  nx2  Trang GVBS: Nguyễn Hồng Vinh [ƠN DỰ TUYỂN 2021] a Chứng minh phương trình ln có nghiệm dương v| kí hiệu l| x n b Tính lim xn ; lim  xn  n  n x  c Tìm số thực k để lim n k  n   l| số thực kh{c  n  Lời giải: a Tự l|m, cần lũy thừa hai vế để xét h|m số cho dễ  1 b Từ bảng biến thiên v| kết hợp f  n   0; f  n     n  x n  n  , n  1; 2; 3; n n   x   xn   xn  x  x  c Từ giả thiết ta có        lim  n  n  n      lim n  n     n   n   n  n  n    n  lim xn  n  x  x  x  Nếu k > lim n k  n    lim  n k 3 n  n      lim n  n    1; lim n k 3    n   n   n    x  x  x  Nếu k < lim n k  n    lim  3k n  n     lim n  n    1; lim 3k  n  n   n   n  n Vậy, k = l| gi{ trị cần tìm Bài 3: Với số nguyên dương n, xét phương trình 1  x x  n x  n 1 a Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm ph}n biệt a n  bn  c n b Tính lim a n ; lim bn c ; lim n n n c Tính lim n  bn  n  d bn   Lời giải: Trang 2   n  1  n  , n  2; 3; 4; (Kí hiệu { } l| phần lẻ) GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [ÔN DỰ TUYỂN 2021] c Từ bảng biến thiên, ta có b n l| nghiệm phương trình  n; n  1 Sử dụng bảng biến thiên v| xét h|m số f  x   1   x có x  n x  n 1   n2   n 1 fn   n2 n  0; f  n   n 1 n  v| điều n|y suy   n2 n 1 n2 n 1 n n 1   n  1 n n hay suy  bn  n   n  bn  n   ; n  1; 2; 3; n2 n 1 n2 n 1 Theo định lý kẹp ta có: lim n  bn  n   d Ta nhận xét câu d chặn bất đẳng thức chặt câu c ( bn  n  ) n 1 Do n  bn  n    bn   n Đặt yn  bn  n  yn  bn  v| từ giả thiết cho ta: y n  n  1    v| từ đ}y giải bất yn  yn yn phương trình suy kết Bài 4: Với n nguyên dương lớn 1, xét phương trình x  n x   n x  a Chứng minh phương trình ln có nghiệm dương x n b Tìm lim xn c Chứng minh: xn   22 , n  2; 3; 20n  Lời giải: a Tự l|m b Xét n > , theo bất đẳng thức Bernoulli ta có: xn  n xn   n xn    xn  xn  2 2n   1  xn       xn  n n n n2  n Mặt kh{c, từ bảng biến thiên cho ta xn  nên  xn  Trang 2n   lim xn  theo định lý kẹp n2 [ƠN DỰ TUYỂN 2021] GVBS: Nguyễn Hồng Vinh c Với n = 2; n =3 x2 ; x3  nên kiểm tra bất đẳng thức Ta xét n  từ bảng biến thiên ta có f     xn   xn n 1  x n i 0 n  1  n  i  n  3   xn   n  x n i 0 V| điều n|y suy x n   n  2    nên  xn  i xn n n  x n  1 n 1  xn  n n  x n   n 1  xn xn   (Do  xn  ) 4n 5n 22 20n  Bài 5: Với số nguyên dương n, xét phương trình cosn x  x có nghiệm thuộc (0;1) a Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm v| kí hiệu l| x n Tìm lim xn b Chứng minh xn  c Chứng minh xn  ; n  1; 2; 3; n 1 n 1 1 ; n  1; 2; Lời giải: a Xét h|m số fn  x   x  cosn x  f 'n  x    n sin x.cosn 1 x  0; x   0;1 nên đ}y l| h|m số đồng biến (0;1) Mặt kh{c fn    1; fn 1   cosn   fn  x   có nghiệm (0;1) v| đ}y l| nghiệm   Lại có: fn  xn 1   xn 1  cosn xn 1  xn 1      f  x n   x n 1  x n hay đ}y l| dãy giảm  cos xn 1  M| lại bị chặn nên tồn lim, đặt lim xn  L  0;1 Nếu L > lim cosn xn  tồn gi{ trị M để M  xn  1; n  1; 2;   cosn xn  cosn M  1; lim cosn M  Trong đó, lim cosn xn  lim xn  L  nên vô lý Vậy L  Trang GVBS: Nguyễn Hồng Vinh [ƠN DỰ TUYỂN 2021] b Sử dụng định lý Lagrange ta có xn   cosn xn  cosn  n.sin  cosn 1  xn ,    0; xn  hay suy  xn  nxn sin  cos n 1   nx n  x n  n 1 c Cũng từ c}u trên, lại có sin   sin xn  xn   xn  nx n2  x n  n Bài 6: Với số nguyên dương n, xét phương trình  cos i 1 i  4n   n 1 1 x  nx i a Chứng minh phương trình ln có nghiệm dương v| kí hiệu l| x n b Chứng minh cosn x   nx2 ; x   0;1 c Tính lim xn Lời giải: a Tự chứng minh, ngo|i ta cịn có xn   0;1 b Xét h|m số f  x   cosn x v| dùng định lý Lagrange c Sử dụng c}u b đưa đến đ{nh gi{:  xn  n dùng định lý Stolz suy lim i i 1 n n n  x2  1 n 1    x   Đồng thời   2i    n n i 1  2n i 2n i i  i    dùng định lý kẹp ta có lim xn  Bài 7: Với số nguyên dương n > 1, xét phương trình xn  2x  a Chứng minh phương trình ln có nghiệm dương v| kí hiệu x n b Tính lim xn theo hai c{ch (định lý Weirestrass v| kẹp) c Tính lim n  xn  1 d Tìm số thực k để lim n k  xn  xn 1  l| số thực kh{c Lời giải: Bài 8: Với số nguyên dương n xét phương trình 2x  x  n  x  n  Trang GVBS: Nguyễn Hồng Vinh [ƠN DỰ TUYỂN 2021] a Chứng minh phương trình ln có nghiệm dương nhất, kí hiệu l| x n b Tính lim xn n c Chứng minh   n  n  xn ; n tính lim xn  n Lời giải: a Tự l|m b Cách 1: Đ{nh gi{ n  xn  n   lim Cách 2: Đ{nh gi{: xn  n   lim xn n   x xn 2x x 1   lim n  lim  n   n     suy  n n n n  n  kết c fn  x   2x  x  n  x  n  đồng biến  0;   có fn  n  n   0; fn  n  n     n  n  n  x n  n  n  n   n v| điều n|y       suy lim xn  n  Bài 9: Với n nguyên dương , xét phương trình 1    0 x x 1 xn thuộc khoảng (0, 1) a Chứng minh với n nguyên dương phương trình ln có nghiệm x n thuộc khoảng (0, 1) b Chứng minh dãy {xn} hội tụ; tìm giới hạn Lời giải: Xét hàm số fn  x   1    liên tục (0;1) nghịch biến (0;1) đồng thời x x 1 xn lim fn  x   ; lim fn  x    nên phương trình fn  x   có nghiệm xn   0;1 x0 x1 Ta có fn+1(xn) = fn(xn) + 1/(xn-n-1) = 1/(xn-n-1) < 0, fn+1(0+) > Theo tính chất hàm liên tục, khoảng (0, x n) có nghiệm fn+1(x) Nghiệm l| x n+1 Như ta Trang GVBS: Nguyễn Hồng Vinh [ƠN DỰ TUYỂN 2021] chứng minh xn+1 < xn Tức dãy số {xn} giảm Do dãy bị chặn nên dãy số có giới hạn Ta chứng minh giới hạn nói Để chứng minh điều này, ta cần đến kết quen thuộc sau: + 1/2 + 1/3 + < + 1/n > ln(n) (Có thể chứng minh dễ dàng cách sử dụng đ{nh gi{ ln(1+1/n) < 1/n) Thật vậy, giả sử lim xn = a > Khi đó, dãy số giảm nên ta có x n  a với n Do + 1/2 + 1/3 + < + 1/n   n   nên tồn N cho với n  N ta có + 1/2 + 1/3 + < + 1/n > 1/a Khi với n  N ta có 0= 1 1 1 1           0 xn xn  xn  n xn   n a a Mâu thuẫn Vậy ta phải có lim xn = Bài 9.1: Với n ngun dương phương trình có nghiệm xn   0;1 Tính lim xn x  x 1   xn Bài 10: Cho phương trình xn  nx  , n số nguyên dương lớn a Chứng minh phương trình ln có nghiệm dương kí hiệu x n b Tính lim xn c Chứng minh  n  1 xn  xn 1   xn   xn   ; n  từ suy nxn 1 Hn  ; n  với Hn     n 2n n Lời giải: a Tự làm, ngồi cịn xn  b Đặt fn  x   xn  nx  hàm số đồng biến  1;   n > Xét n  2,n  dễ dàng kiểm tra x n   n n  1  1  1 fn         n       n    0; n   n  n  n Kết hợp đồng biến cho ta kết quả: x n   Trang n  [ÔN DỰ TUYỂN 2021] GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh n       Ta có fn     1   n1     n   n  1  n  n   , với n > n  n n   Từ đ}y ta có:  suy kết  xn   n n c Ta chứng minh  x n  dãy giảm theo Lagrange   fn 1  x n   fn 1  x n 1    n  1  nn   x n  x n 1  ;  n   x n 1 ; x n     xnn 1   n  1 x n    n  1 x nn   x n  x n 1    n  1 nx n  x n  x n 1  Từ đ}y suy kết Lại sử dụng kết ta có:  n  1 xn 1  nxn   1  nxn   ; n  2; 3; 4; cộng theo nxn n 1 1 vế suy  n  1 xn 1  2x2  n      suy kết Lưu ý l| x  n 1 Bài 11: Chứng minh với số nguyên dương n phương trình xn  xn1    x  ln có nghiệm dương Ký hiệu nghiệm dương l| xn , chứng minh dāy số  xn  có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Lời giải: Quảng Nam TST 2019 – 2020 Đặt f n ( x)  x n  x n1    x  2, n  * Với n  * ta có f n ( x) hàm số liên tục, đồng biến [0; ) Lại có f n (0)  2, lim f n ( x)   nên phương trình f n ( x)  có nghiệm x  xn  (0;  ) Với n  ta có x1  Với n  ta có x2  Với n  f n (1)  n   suy xn  Do xn  (0;1), n  Hơn với n  * f n  xn1   xnn1  xnn11    xn1    xnn11  Suy xn1  xn hay  xn  dãy số đơn điệu giảm, dãy  xn  có giới hạn hữu hạn Đặt L  lim xn , L  [0;1) Từ giả thiểt, với n  xnn  xnn 1    xn    Lấy giới hạn, kết hợp với lim xnn1  ta Vậy lim xn  xnn 1  3 xn  1 3 L L 1 Bài 12: Cho số thực a  Đặt f n ( x)  a10 x n10  x n  x  1(n  1, 2,) Chứng minh với n phương trình f n ( x)  a có nghiệm xn  (0; ) Chứng minh dãy số  xn  có giới hạn hữu hạn n   tính giới hạn Lời giải: Trang GVBS: Nguyễn Hồng Vinh [ƠN DỰ TUYỂN 2021] Với n , đặt gn ( x)  f n ( x)  a ; g n ( x) hàm liên tục, tăng [0; ) Ta có gn (0)   a  ; gn (1)  a10  n   a  nên gn ( x)  có nghiệm xn (0; ) Để chứng minh tồn giới hạn lim xn , ta chứng minh dãy  xn  tăng v| bị chặn n   1  1   n 10 a  1  1 Ta có g n 1    a10 1      a  a a  1  a 1    a n 1  (a  1) Suy xn   a n 1  1  a  a 1    a n 1   9   a 1    1   a   1  n Mặt khác, từ gn  xn   a10 xnn10  xnn   a  , suy xn g n  xn   a10 xnn 11  xnn 1  xn  axn   g n 1  xn   xn g n  xn    axn  a  axn   a  xn   a Do g n 1 l| h|m tăng v|  gn1  xn1   gn1  xn  nên xn  xn1 Vậy dãy  xn  tăng v| bị chặn nên tồn lim xn n  n 1 xnn1 10 n 10  x     lim x  Do  n  , từ giả thiết ta có a xn  1 x  a , lấy lim hai vế suy n a n lim x n  1 a Bài 13: Với n  * , xét hàm số f n ( x)  x 2n  sin x với x   1/ Chứng minh hàm f n ( x) đạt giá trị nhỏ điểm xn 2/ Gọi un giá trị nhỏ hàm f n ( x) Chứng minh dãy  un  có giới hạn hữu hạn Lời giải: Vinh TST 2019 - 2020      1/ Ta thấy f n ( x)  với x [1,0] Mặt khác f n         4  4 2n nên x f n ( x)  Do ta cần xét f n ( x) [1, 0] Ta có f n '( x)  2nx2n1  2cos 2, f n ''( x)  2n(2n 1) x 2n2  4sin x  với x [1, 0] Suy f n '( x) đồng biến [1, 0] Mặt khác f n '(1)  2n  2cos(2)  0, Trang f n (0)   [ƠN DỰ TUYỂN 2021] GVBS: Nguyễn Hồng Vinh f n ( x) liên tục nên phương trình f n ( x)  có nghiệm xn [1, 0] đồng thời f n '( x ) đổi dấu từ }m sang dương x qua xn h|m f n ( x) đạt giá trị nhỏ xn 2/ Ta có un  min[ 1,0] f n ( x)  f n  xn  Với x [1,0] ta có f n1 ( x)  x 2n2  sin x  x 2n  sin x  f n ( x) Từ suy un1  f n1  xn1   f n1  xn   f n  xn   un , n  1, 2 Do  un  dãy giảm Mặt khác un  f n  xn   xn2n  sin xn  2 với n nên  un  bị chặn Vậy  un  dãy giảm bị chặn nên có giới hạn hữu hạn  Bài 14: Cho phương trình x     x  2 n n  x , với n l| số nguyên dương lớn a Chứng minh phương trình ln có nghiệm lớn 2, kí hiệu l| xn , tìm lim xn  b Tính lim n xn   Lời giải:       x  2 a Xét fn x  x  n n  x  fn '  x   n  x  1 n1  n  x  2 n1   0; x  nên hàm số n|y đồng biến 2;  Đồng thời fn  2  0; fn  3  2n    nên phương trình     ln có nghiệm 2; v| đ}y l| nghiệm n  1  1 1 1 Lại xét: fn         n     Cn1  Cn2    0; n  Điều n|y suy n  n n n n n n   xn   suy lim xn  n    b Từ c}u a, lim xn    lim xn   n  nên lim  xn  1  n  ln  xn  1    ln  lim n ln  xn  1  ln  lim  n  xn  2  xn      ln  xn  1     lim n  xn  2  ln Lại có lim  xn  2   lim   xn     Bài 15:Với số tự nhiên n  , chứng minh phương trình n i1 nghiệm dương l| xn tìm lim xn Trang 10 1  i  i  1 x  i  ln có [ƠN DỰ TUYỂN 2021] GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh Lời giải: Xét h|m số fn  x   n 1   f ' x    0, x  nên đ}y l|     n i1 i  i  1 x  i  i1 i i  x  i    n   h|m nghịch biến 0;  Mặt kh{c fn  0  0; fn  2   1 1 11  0        1.2.3 2.3.4 n  n  1 n  2   n  1 n  2      Vậy suy fn x  có nghiệm 0; v| đ}y l| nghiệm Lại có: fn  2  fn  xn   fn '  c  xn  ; c   xn ; 2 nên   n  1 n  2 Vậy:   xn    i1 i  i  1 c  i   n  1 n  2 n n 1  i  i  1  i   x     x  n i1   xn   lim xn  n Bài 16: Cho phương trình  i1  x  i  1 i    i  1 i  , chứng minh với n > 23, phương trình cho ln có nghiệm l| xn , tìm lim xn Lời giải: Tương tự b|i 15 Trang 11 n ... Nghiệm l| x n+1 Như ta Trang GVBS: Nguyễn Hồng Vinh [ƠN DỰ TUYỂN 2021] chứng minh xn+1 < xn Tức dãy số {xn} giảm Do dãy bị chặn nên dãy số có giới hạn Ta chứng minh giới hạn nói Để chứng minh điều... 1 d Tìm số thực k để lim n k  xn  xn 1  l| số thực kh{c Lời giải: Bài 8: Với số nguyên dương n xét phương trình 2x  x  n  x  n  Trang GVBS: Nguyễn Hồng Vinh [ƠN DỰ TUYỂN 2021] a Chứng... Hồng Vinh [ƠN DỰ TUYỂN 2021] a Chứng minh phương trình ln có nghiệm dương v| kí hiệu l| x n b Tính lim xn ; lim  xn  n  n x  c Tìm số thực k để lim n k  n   l| số thực kh{c  n  Lời