UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2018 – 2019 MƠN: TỐN ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Thời gian làm 120 phút) Đề thi gồm 05 câu, 01 trang Câu (5,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a, b, x4 + 2x2 y + y − ( x + ) ( x + 3) ( x + ) ( x + ) − 24 − x3 − x2 − x : − x 1− x − x + x Cho biểu thức A = a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị biểu thức A c, Tìm giá trị x, để A < Câu (4,0 điểm) x+2 − = x − x x(x − 2) Giải phương trình sau: Tìm cặp số nguyên x − 2 = ÷ 3 ( x; y ) thỏa mãn phương trình: 5x + 10x + 2y + 4y3 − = Câu (3,0 điểm) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho Cho phương trình 2x − m x − + =3 x− x+ Tìm m ngun để phương trình có nghiệm dương Câu (6,0 điểm) Cho hình bình hành và BD K Gọi E, F hình chiếu hình chiếu a, Tứ giác b, c, ABCD BEDF AB.AH + AD.AK = AC AC > BD D ), O giao điểm xuống đường thẳng xuống đường thẳng hình bình hành ? CH CD = CK CB Câu (2,0 điểm) C B ( có AB AD AC AC Gọi Chứng minh: H Cho x + y =1 Cho ba số dương xy ≠ x, y , z P= Tính: thỏa mãn 2( x − y) x y − + 2 y −1 x −1 x y + 3 x+ y+z =6 Chứng minh x+ y ≥ xyz -Hết UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn Năm học 2018 - 2019 (HDC gồm 05 trang) Câu Câu 1 (2,0 điểm) (5,0 điểm) x4 + x2 y + y − a, Đáp án =( = = x4 + x2 y + y ) − Với 0,5 ( x + y − 3)( x + y + 3) 0,25 x ≠ ±1 x ≠ ±1 = = 1− x − x + x2 (1 − x )(1 + x) : 1− x (1 + x)(1 − x + x ) − x (1 + x) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1 − x)(1 + x + x ) − x (1 − x) (1 − x)(1 + x) : 1− x (1 + x)(1 − x + x ) 0,25 (1 − x)(1 + x ) (1 − x)(1 + x) : 1− x (1 + x )(1 − x ) 0,25 (1 + x ) : = = 0,25 , ta có: A= 0,25 ( x2 + y)2 − b, ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 12) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) (3,0 điểm) a) (1,25 điểm) ĐKXĐ: Điểm 1− x (1 + x )(1 − x ) b) (1,0 điểm) 0,25 Ta có: x − 2 = ⇔ x− = ÷ 3 3 ⇔ x =1 hoặc Với 3 0,25 (TMĐK) , ta có: 2 1 + ÷ 1 − ÷ A= Vậy x − 2 = ÷ 3 0,25 (không TMĐK) x= x= −1 x− = 3 A = = 10 = 20 27 20 27 0,25 0,25 c) (0,75 điểm) Ta có: A < ⇔ (1 + x )(1 − x) < Mà (1) x ≠ ±1 1+ x > với ⇔ 1− x < ⇔ x > 0,25 Nên (1) Vậy với x > A < 2.1) (2,0 điểm) ĐKXĐ: x ≠ 0; x Câu (4 điểm) 0,25 ≠ x+2 − = x − x x(x − 2) x(x + 2) − (x − 2) = x(x − 2) x(x − 2) ⇔ 0,25 0,25 ⇒ x(x + 2) − (x − 2) = 0,25 ⇔ x + 2x − x + = 0,25 ⇔ x2 + x = 0,25 ⇔ x(x + 1) = 0,25 ⇒ 0,25 x = (loại) x = - 1(nhận) Vậy phương trình có nghiệm x = - 2.2) (2,0điểm) 5x + 10x + 2y + 4y3 − = ⇔ 0,25 ( 5x + 10x + 5) + ( 2y6 + 4y3 + ) = 13 0,25 0,25 ⇔ 5(x + 2x + 1) + 2(y + 2y + 1) = 13 ⇔ 5( x + 1) + 2(y + 1) = 13 2 0,25 Vì: Mà x + 1∈ Z x ∈ Z ⇒ y + ∈ Z y∈Z 0,25 5( x + 1) ≤ 13 ⇒ x + ≤ 0,25 Mặt khác x2 + ≥ với x ⇒ x2 + = 0,25 ⇒ x2 = ⇒ x = Với x=0 , ta có: + 2(y3 + 1) = 13 3 ⇒ 2(y + 1) = ⇒ (y + 1) = y3 + = ⇒ y + = −2 ⇒ Vì y ∈ Z nên y3 = ⇒ y3 = y = −3 0,25 0,25 0,25 y=1 ( x; y ) = ( 0;1) Câu (3 điểm) Vậy phương trình có nghiệm ngun 3.1 (1,5 điểm) ⇒ x + yM Gọi hai số thỏa mãn đầu x, y x + y = ( x + y ) ( x − xy + y ) Ta có: = ( x + y ) ( x + xy + y ) − xy = ( x + y ) ( x + y ) − xy Vì x + y M3 nên ( x + y) x + y ) ( x + y ) ⇒( 2 − xy M3 − xy M9 Vậy tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho 3.2 (1,5điểm) x ≠ ±2 ĐKXĐ: 2x − m x −1 + =3 x−2 x+2 ⇒ ( x − m ) ( x + ) + ( x − 1) ( x − ) = ( x − ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇔ x ( − m ) = 2m − 14 (*) Nếu m = phương trình (*) có dạng = -12 vơ nghiệm 2m− 14 x= 1− m m≠ Nếu phương trình (*) trở thành 0,25 0,25 Khi phương trình cho có nghiệm dương 2m − 14 1− m ≠ 2m − 14 ⇔ ≠ −2 − m m≠4 2m − 14 − m > ⇔ 1 < m < 0,25 Mà m nguyên Vậy m ∈ { 2;3;5;6} 0,25 thỏa mãn đầu Câu (6,0 điểm) 0,25 a) (2,0 điểm) ⊥ ⊥ Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) Xét ∆BEO ⇒ ∆DFO BE // DF (1) · · BEO = DFO = 900 Có: OB = OD (t/c hình bình hành) · · EOB = FOB 0,75 (đối đỉnh) ⇒ ∆BEO = ∆DFO ⇒ 0,75 (cạnh huyền – góc nhọn) 0,25 BE = DF (2) Từ (1) (2) ⇒ Tứ giác BEDF hình bình hành (đpcm) 0,25 b) (1,75 điểm) Ta có: ABCD hình bình hành (gt) Mà ⇒ ·ABC = ·ADC 0,25 ·ABC + HBC · · = ·ADC + KDC = 1800 0,25 · · ⇒ HBC = KDC Xét ∆CBH ∆CDK có: 0,25 0,5 · · BHC = DKC = 900 · · HBC = KDC (chứng minh trên) ⇒ ∆CBH : ∆CDK ( g − g ) ⇒ CH CK = CB CD 0,25 ⇒ CH CD = CK CB c) (2,0 điểm) Xét Có: ∆AFD (đpcm) 0,25 ∆AKC · D = ·AKC = 900 AF · FAD 0,5 chung ⇒ ∆AFD : ∆AKC ( g − g ) AF AK = ⇒ AD AK = AF AC AD AC ⇒ Xét Có: ∆CFD ∆AHC 0,25 (3) · D = ·AHC = 900 CF · · FCD = HAC 0,5 (so le trong) ⇒ ∆CFD : ∆AHC ( g − g ) ⇒ CF AH = CD AC ⇒ Mà : CD = AB Từ(3) (4) Câu (2,0điểm) 0,25 CF AH = ⇒ AB AH = CF AC AB AC ⇒ AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC 0,25 (4) = ( CF + AF ) AC = AC 0,25 (đpcm) 5.1(1,0 điểm) Ta có: x y − 3 y −1 x −1 = (x = x − x − y4 + y (y3 − 1)(x − 1) xy(y + y + 1)(x + x + 1) ( x − y) ( x + y) ( x = 0,25 − y ) − (x − y) + y ) − (x − y) xy(x y + y x + y + yx + xy + y + x + x + 1) 0,25 ( x − y ) (x + y − 1) xy x y + xy(x + y) + x + y + xy + = = ( x − y ) (x − x + y − y) xy x y + (x + y) + ( x − y ) [ x(x − 1) + y(y − 1) ] = = = = ⇒ xy(x y + 3) ( x − y ) [ x(− y) + y(− x)] xy(x y + 3) ( x − y ) (−2xy) ( x + y = ⇒ y - 1= -x x – = - y) 0,25 xy(x y + 3) −2(x − y) x y2 + −2(x − y) x y2 + 2(x − y) x y2 + 0,25 P= + =0 5.2(1,0 điểm) ( x + y ) ≥ 4xy Ta có: (1) ⇒ ( x + y ) + z ≥ 4(x + y)z ⇔ 36 ≥ 4(x + y)z (vì x+ y+z =6 ⇔ 36(x + y) ≥ 4(x + y) z 0,25 0,25 ) Từ (1) (2), ta có: (vì x, y dương nên x + y dương) 36(x + y) ≥ 16xyz x+ y 4 ≥ ⇔ x + y ≥ xyz ⇔ xyz 9 (2) 0,25 0,25 (đpcm) Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic - Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Với 4, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm -THẦY CƠ CẦN TRỌN BỘ ĐỀ HSG LỚP VÀ chĩ 90K - THẦY CÔ CẦN BỘ ĐỀ TUYỂN SINH 10, TRỌN BỘ 12 FILE (CÓ LỜI GIẢI CHI - TIẾT).ƯU ĐÃI GIẢM 50% TRONG THÁNG CHĨ CÒN 189K VUI LÒNG LIÊN HỆ ZALO 0907338923 HOẶC FB: https://www.facebook.com/hien.cogiao.52/ ... CÔ CẦN TRỌN BỘ ĐỀ HSG LỚP VÀ chĩ 90K - THẦY CÔ CẦN BỘ ĐỀ TUYỂN SINH 10, TRỌN BỘ 12 FILE (CÓ LỜI GIẢI CHI - TIẾT).ƯU ĐÃI GIẢM 50% TRONG THÁNG CHĨ CÒN 189 K VUI LÒNG LIÊN HỆ ZALO 09073 389 23 HOẶC FB:... (1,75 điểm) Ta có: ABCD hình bình hành (gt) Mà ⇒ ·ABC = ·ADC 0,25 ·ABC + HBC · · = ·ADC + KDC = 180 0 0,25 · · ⇒ HBC = KDC Xét ∆CBH ∆CDK có: 0,25 0,5 · · BHC = DKC = 900 · · HBC = KDC (chứng minh... HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn Năm học 20 18 - 2019 (HDC gồm 05 trang) Câu Câu 1 (2,0 điểm) (5,0 điểm) x4 + x2 y + y − a, Đáp án =( = = x4