Chủ yếu xoay quanh những kiersn thức hình học vốn có cho những ai có đam mê thi hsg lớp 9,................. ..đjjxjjjdjxhdjjsjsbxhxjsksknxndkskkskzmhdjdhsjjhhuviccjcjckckvigvjcjvjcjvivivkvivkvjcjchdhxjxhxhxjckvjvjnxnxndjs
Các bổ đề tam giác 1/Các quan hệ Bài toán: Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D,E,F chân đường cao hạ từ điểm A,B,C xuống cạnh BC,AC,AB Gọi H trực tâm ̂ = 𝐸𝐵𝐴 ̂ CMR: 𝑂𝐵𝐶 Hình vẽ: Bài làm Ta có : ̂ = 𝑂𝐶𝐵 ̂ = (180°-𝐵𝑂𝐶 ̂ )/2= 90°- (𝐵𝑂𝐶 ̂ )/2 = 90°- 𝐵𝐴𝐸 ̂ =𝐸𝐵𝐴 ̂ 𝑂𝐵𝐶 (do ∆ ABE vuông E) 2/ Mối quan hệ trực tâm H, Trọng tâm G đường tròn tâm O ( đường thẳng Euler) Bài toán: Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D,E,F chân đường cao hạ từ điểm A,B,C xuống cạnh BC,AC,AB Gọi H trực tâm, M trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABC, I điểm cung nhỏ BC CMR: a) AH=2OM H,G,O thẳng hàng b) HG=2GO AHIO hình bình hành Hình vẽ: Bài làm a) Gọi L giao điểm OC đường tròn tâm O OL đường kính LA ┴ AC LB ┴ BC Ta có LA ┴ AC BE ┴AC nên LA // BE (1) Mặt khác LB ┴ BC AD ┴ BC nên LB// AD (2) Từ (1) (2) => ALBH hình bình hành BL = AH (3) Xét ∆ CBL có O trung điểm LC M trung điểm BC nên OM đường trung bình ∆ CBL nên LB=2OM (4) Từ (3) (4) => AH = 2OM b) Gọi T giao điểm HO AM Xét ∆ AHT ∆ MOT có AH//OM 𝐴𝐻 𝐻𝑇 𝐴𝑇 𝑂𝑀=𝑂𝑇 =𝑀𝑇=2 (AH=2OM) (*) 𝐴𝐺 Mặt khác G trọng tâm ∆ ABC nên 𝑀𝐺=2 (**) 𝐻𝐺 Từ (*) (**) => T trùng với G => H,G,O thẳng hang => 𝑂𝐺 =2 Ta có I điểm cung BC nên OI = 2OM = AH OI//AH ( AH┴BC OI┴BC) AHIO hình bình hành 3/ Tính chất AO┴EF Bài toán : Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D,E,F chân đường cao hạ từ điểm A,B,C xuống cạnh BC,AC,AB Gọi H trực tâm CM AO ┴EF Hình vẽ: Bài làm Gọi Ax tiếp tuyến A đường tròn tâm O ̂ =𝐴𝐵𝐶 ̂ (= ½ cung AC) Ta có 𝐶𝐴𝑥 ̂ =𝐹𝐸𝐴 ̂ (FECB tứ giác nội tiếp) Mà 𝐴𝐵𝐶 ̂ =𝐹𝐸𝐴 ̂ ( Mà góc vị trí //) 𝐶𝐴𝑥 EF//Ax OA┴EF Đpcm 4/ Tính chất đối xứng qua trực tâm Bài toán: Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D,E,F chân đường cao hạ từ điểm A,B,C xuống cạnh BC,AC,AB Gọi H trực tâm, R điểm đối xứng với H qua BC CMR: R thuộc đường trịn tâm O Hình vẽ Bài làm Ta có R điểm đối xứng với H qua O nên HD=DR BC┴HR ∆ HBR tam giác cân B ̂ = 𝐵𝑅𝐻 ̂ 𝐵𝐻𝑅 Xét ∆BHD ∆𝐵𝐶𝐸 có: ̂ góc chung 𝐸𝐵𝐶 ̂ (=90°) ̂ =𝐵𝐸𝐶 𝐵𝐷𝐻 ∆BHD ~∆𝐵𝐶𝐸 ̂ Mà góc nhìn cung AB ̂ =𝐵𝐶𝐸 𝐵𝐻𝐷 ABRC nội tiếp đường tròn tâm O R thuộc đường tròn tâm O