GIẢI đề GIỮA kỳ xác suất thống kê MI2020

lOMoARcPSD|9242611 HANOI UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY GIẢI ĐỀ GIỮA KỲ XSTK MI2020 [20181-20201] Tác giả: Tài liệu tham khảo: Made by Team XSTK • Giáo trình XSTK - Tống Đình Quỳ • Bài giảng XSTK - Nguyễn Thị Thu Thủy Hà Nội, 15 tháng năm 2021 Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) lOMoARcPSD|9242611 Mục lục Đề 20181 Lời giải Đề 20182 Lời giải Đề 20183 Lời giải Đề 20191 Lời giải Đề 20192 Lời giải Đề 20193 Lời giải Đề 20201 Lời giải Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) 11 12 14 15 18 19 22 23 lOMoARcPSD|9242611 Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Đề ĐỀ THI GIỮA KỲ - 20181 Câu Một hộp có 10 mảnh bìa đánh số thứ tự từ đến 10 Lấy ngẫu nhiên mảnh bìa a) Tính xác suất để mảnh bìa đầu có số theo thứ tự 1, 2, b) Giả sử mảnh bìa thứ k có số thứ tự lớn k mảnh Tính xác suất để số thứ tự số 10 Câu Một nhóm xạ thủ có người bắn tốt người bắn với xác suất bắn trúng lần bắn loại tương ứng 0,9 0,8 Chọn ngẫu nhiên xạ thủ cho người bắn lần a) Tính xác suất để lần bắn có người bắn trúng b) Biết lần có người bắn trượt, tính xác suất để người xạ thủ thuộc nhóm bắn tốt Câu Từ hộp bi có viên bi trắng bi đỏ lấy ngẫu nhiên viên viên bi trắng a) Lập bảng phân phối xác suất số viên bi lấy b) Tính kỳ vọng phương sai số viên bi đỏ số bi lấy Câu Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f (x) = A.e −(x−2)2 a) Tìm số A, hỏi X có phân phối gì? b) Tính P(0 < X < 4) Cho hàm Φ(0) = 0; Φ(1) = 0, 3413 Chúc bạn qua môn! Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) lOMoARcPSD|9242611 Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Giải đề kì 20181 Câu a) Xét phép thử lấy ngẫu nhiên mảnh bìa • Tổng số kết cục đồng khả là: n = 10! cách • Gọi A = Trên mảnh bìa thứ k có số thứ tự lớn k mảnh • Số kết cục thuận lợi cho A là:m = 1.1.1.7! cách Vậy P(A) = m 1.1.1.7! = = n 10! 720 b) Gọi Bk = {Trên mảnh bìa thứ k có số thứ tự lớn k mảnh đầu tiên} k 1.(k − 1)! C10 P(Bk ) = = k k C10 k! ⇒ P(B10 ) = 10 Xác suất cần tính là: P(B10 |Bk ) = P(B10 Bk ) P(B10 ) k = = P(Bk ) P(Bk ) 10 Câu Gọi Ai = {Có i người bắn tốt số người bắn}, i = 0, 1, Hệ {Ai } tạo thành hệ đầy đủ với: C32 C42 3.4 P(A0 ) = = , P(A1 ) = = , P(A2 ) = = 7 C7 C7 C7 a) Gọi H = {Trong lần bắn có người bắn trúng} P(H|A0 ) = 2.0, 2.0, = 0, 32; P(H|A1 ) = 0, 1.0, + 0, 2.0, = 0, 26; P(H|A2 ) = 2.0, 1.0, = 0, 18; Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: P(H) = P(A0 )P(H|A0 ) + P(A1 )P(H|A1 ) + P(A2 )P(H|A2 ) = 0, 32 + 0, 26 + 0, 18 = 0, 2657 7 b) Gọi B = {Trong lần bắn có người bắn trượt} P(B|A0 ) = − 0, 8.0, = 0, 36; P(B|A1 ) = − 0, 9.0, = 0, 28; P(B|A2 ) = − 0, 9.0, = 0, 19 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: P(B) = P(A0 )P(B|A0 ) + P(A1 )P(B|A1 ) + P(A2 )P(B|A2 ) = 0, 36 + 0, 27 + 0, 19 = 0, 29 7 Xác suất cần tính là: P(A2 |B) = P(A2 B) P(A2 )P(B|A2 ) 0, 19 19 = = = = 0, 0936 P(B) P(B) 0, 29 203 Chúc bạn qua môn! Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) lOMoARcPSD|9242611 Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Câu a) Gọi X biến ngẫu nhiên số bi lấy ra, X = {1, 2, 3, 4} Gọi {Ai } = {Có i bi đỏ có số bi lấy ra}, i = 0, 1, 2, 3 = 12 9 P(X = 2) = P(A1 ) = = 12 11 44 9 P(X = 3) = P(A2 ) = = 12 11 10 220 P(X = 4) = P(A3 ) = = 12 11 10 220 P(X = 1) = P(A0 ) = Ta có bảng phân phối xác suất: X p 3/4 9/44 9/220 1/220 b) Gọi Y biến ngẫu nhiên số bi đỏ lấy ra, Y = X − 9 + = 1, E(X) = + + 44 220 220 9 E(X ) = 12 + 22 + 32 + 42 = 2, 01 44 220 220 V (X) = E(X ) − (E(X))2 Vậy: E(Y ) = E(X − 1) = E(X) − = 1, − = 0, V (Y ) = V (X − 1) = V (X) = 0, 32 Câu a) Ta thấy X có phân phối chuẩn X ∼ N(2, 22 ) ⇒ E(X) = 2,V (X) = A= b) P(0 < X < 4) = Φ( 1 √ = √ σ 2π 2π 4−2 0−2 ) − Φ( ) = 2ϕ (1) = 2.0, 3413 = 0, 6826 2 Chúc bạn qua môn! Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) lOMoARcPSD|9242611 Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Đề ĐỀ THI GIỮA KỲ - 20182 Câu Lai hai giống hoa ly màu hồng màu vàng chủng, hệ F1 cho hoa màu trắng, vàng, hồng theo tỷ lệ 1:1:2 Lấy hạt giống hệ F1 mang gieo hoa Tính xác suất hoa đó: a) Có cho hoa màu hồng b) Có cho hoa màu vàng, biết có cho hoa màu hồng Câu Một kỹ sư nơng nghiệp có hộp đựng hạt giống (trong có hạt loại một, hạt loại hai) Biết hôm trước gieo hạt hôm sau lấy tiếp hạt để gieo Hãy tính xác suất để hạt giống hơm sau có hạt loại hạt loại hai Câu Tuổi thọ loại bóng đèn biến ngẫu nhiên X (năm) có hàm mật độ xác suất: f (x) = kx2 (4 − x) x ∈ [0; 4] x∈ / [0; 4] a) Tìm k tính P(X < 2) b) Xác định E(X) mod(X) Câu Tại điểm bán vé máy bay, trung bình 10 phút có người đến mua vé a) Tính xác suất để vịng 10 phút có người đến mua vé b) Biết vịng 10 phút có người đến mua vé, tính xác suất có người đến mua vé Chúc bạn qua môn! Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) lOMoARcPSD|9242611 Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Giải đề kì 20182 Câu a) Gọi A = {Có cho hoa màu hồng} P(A) = − P(A) = − 0, 55 = 0, 9688 b) Gọi B = {Có cho hoa màu vàng} Xác suất cần tính là: P(B|A) = P(BA) P(A) Với: P(BA) = − P(BA) = − P(A + B) = − [P(A) + P(B) − P(AB)] = − (0, 55 + 0, 755 − 0, 255 ) = 0, 7324 0, 7324 ⇒ P(B|A) = 0, 9688 Câu Gọi Ai = {Trong hạt gieo ngày hơm trước có i hạt loại 1}, i = 0, 1, 2, Gọi H = {Trong hạt gieo ngày hơm sau có hạt loại hạt loại 2} Hệ {Ai } tạo thành hệ đầy đủ với: P(A0 ) = C63 C63 C61 C62 C62 C61 9 = , P(A ) = = , P(A ) = = , P(A ) = = C1 23 11 C1 23 22 C1 23 22 C1 23 11 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: P(H) = P(A0 )P(H|A0 ) + P(A1 )P(H|A1 ) + P(A2 )P(H|A2 ) + P(A3 )P(H|A3 ) với: C52 C41 10 C62 C31 15 P(H|A ) = = = 28 21 C93 C93 2 C C C C P(H|A2 ) = = P(H|A3 ) = 3 = 14 14 C9 C9 P(H|A0 ) = Xác suất cần tính là: P(H) = 15 9 + + + = = 0, 4091 11 28 22 14 22 14 11 14 22 Câu a) Vì f (x) hàm mật độ xác suất X nên ta có:  f (x)    +∞    ∀x ∈ R(1) f (x)dx = (2) −∞ Chúc bạn qua môn! Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) lOMoARcPSD|9242611 Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê (1) ⇔ kx2 (4 − x) +∞ (2) ⇔ −∞ ⇔k 0, x ∈ [0, 4] ⇔ k f (x)dx = ⇔ +∞ 0dx + −∞ kx (4 − x)dx + 0dx kx2 (4 − x)dx = 64 =1 3 ⇔ k = (T M) 64   x2 (4 − x), x ∈ [0; 4] ⇒ f (x) = 64  0, x∈ / [0; 4] ⇔ k P(X < 2) = f (x)dx = −∞ = f (x)dx + −∞ f (x)dx x (4 − x)dx = = 0, 3125 64 16 b) +∞ E(X) = x f (x)dx = −∞ Ta lại có: −∞ 0dx + 3 x (4 − x) + 64 +∞ 0dx = 12 = 2, mod (X) = {x0 | f (x0 ) = max f (x), x ∈ [0; 4]} f ′ (x) = (8x − 3x2 ) 64 f ′ (x) = ⇔ x = ∨ x = 4 f (0) = 0, f = , f (4) = ⇒ max f (x) = x = 9 ⇒ Mod(X) = Câu Gọi X biến ngẫu nhiên số người mua vé 10 phút X ∼ P(4) a) Gọi A = {Trong 10 phút có người đến mua vé} P(A) = P(X = 7) = e−4 47 = 0, 0595 7! b) Gọi B = {Trong 10 phút có người đến mua vé} P(B) = − P(B) = − e−4 40 = 0, 9817 0! Xác suất cần tính là: P(A|B) = P(AB) P(A) 0, 0595 = = = 0, 0606 P(B) P(B) 0, 9817 Chúc bạn qua môn! Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) lOMoARcPSD|9242611 Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Đề ĐỀ THI GIỮA KỲ - 20183 Câu Có tiêu chí phổ biến A, B,C cho việc chọn xe tương ứng hộp số tự động, động điều hoà nhiệt độ Dựa liệu bán hàng trước ta có P(A) = P(B) = P(C) = 0, 7, P(A + B) = 0, 8, P(A +C) = 0, 9, P(B +C) = 0, 85 P(A + B +C) = 0, 95 Tính xác suất: a) Người mua chọn ba tiêu chí b) Người mua chọn xác ba tiêu chí Câu Có hai lơ hàng: lơ I có phẩm phế phẩm; lơ II có phẩm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm a) Tính xác suất để sản phẩm lấy phế phẩm b) Số sản phẩm cịn lại hai lơ hàng dồn vào thành lô, ký hiệu lô III Từ lô III lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm lấy từ lô III phế phẩm Câu Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất: f (x) = e−x , x > 0, 0, x ≤ a) Tính P(X ≥ 5) b) Xác định hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Y = −2X + Câu Có 10 máy sản xuất sản phẩm (độc lập nhau), máy sản suất 2% phế phẩm a) Từ máy sản xuất lấy ngẫu nhiên sản phẩm Hỏi xác suất lấy nhiều phế phẩm 10 sản phẩm bao nhiêu? b) Trung bình có sản phẩm sản xuất máy trước tạo phế phẩm (giả sử sản phẩm sản xuất độc lập)? Chúc bạn qua môn! Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) lOMoARcPSD|9242611 Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Giải đề kì 20183 Câu a) Gọi A, B,C người chọn mua tiêu chí A, B,C Gọi D người chọn mua tiêu chí ⇒ D = ABC ⇒ P(D) = P(ABC) Có: ⇒ D = ABC ⇒ P(D) = P(ABC) P(AB) = P(A) + P(B) − P(A + B) = 0, + 0, − 0, = 0, P(BC) = P(B) + P(C) − P(B +C) = 0, + 0, − 0, 85 = 0, 55 P(CA) = P(C) + P(A) − P(C + A) = 0, + 0, − 0, = 0, P(A + B +C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(BC) − P(CA) + P(ABC) ⇒ P(ABC) = P(A + B +C) − P(A) − P(B) − P(C) + P(AB) + P(BC) + P(CA) = 0, 95 − 0, − 0, − 0, + 0, + 0, 55 + 0, = 0, ⇒ P(D) = P(ABC) = 0, b) Gọi E = {Người mua chọn xác ba tiêu chí} = ABC + ABC + ABC ⇒E ⇒ P(E) = P ABC + ABC + ABC = P ABC + P ABC + P ABC Có: P ABC = P AB − P ABC = P A + B − P A + B +C = − P (A + B) − [1 − P (A + B +C)] = P (A + B +C) − P (A + B) = 0, 95 − 0, = 0, 15 Tương tự: P ABC = P (A + B +C) − P (A +C) = 0, 95 − 0, = 0, 05 P ABC = P (A + B +C) − P (B +C) = 0, 95 − 0, 85 = 0, ⇒ P(E) = 0, 15 + 0, 05 + 0, = 0, Câu a) Gọi Ai , Bi kiện có i phẩm lấy từ lơ I, II phẩm lấy phế phẩm} ⇒C i = 0, Gọi C = {Cả sản = Ao Bo ⇒ P (C) = P (Ao Bo ) = P (Ao ) P (Bo ) = = 0, 06 10 10 b) Hệ {A0 B0 , A0 B1 , A1 B0 , A1 B1 } tạo thành hệ đầy đủ với: = 0, 24 10 10 7 P (A1 B0 ) = = 0, 14 P (A1 B1 ) = = 0, 56 10 10 10 10 P (A0 B0 ) = 0, 06 P (A0 B1 ) = Chúc bạn qua môn! Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) lOMoARcPSD|9242611 Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Đề ĐỀ THI GIỮA KỲ - 20191 Câu Lớp MI2020 có 90 sinh viên có 30 sinh viên thuộc tổ I, 25 sinh viên thuộc tổ II 35 sinh viên thuộc tổ III Chọn ngẫu nhiên 10 sinh viên lớp tham dự trại hè Tính xác suất để tổ có sinh viên chọn Câu Có ba lơ hàng: Lơ I có phẩm, phế phẩm; lơ II có phẩm, phế phẩm; lơ III có phẩm, phế phẩm a) Lấy từ lô hàng sản phẩm Giả sử sản phẩm lấy có phế phẩm Tính xác suất để phế phẩm lơ II b) Chọn ngẫu nhiên lơ hàng từ lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm lấy có sản phẩm phế phẩm Câu Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất: f (x) = kx(4 − x2 ) x ∈ [0; 2] x∈ / [0; 2] a) Tìm số k b) Tính xác suất để sau lần lặp lại phép thử cách độc lập có lần X nhận giá trị khoảng 0; Câu Số khách hàng đến cửa hàng bán lẻ biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với trung bình khách hàng đến vịng Nếu có khách hàng đến khoảng thời gian từ 10:00 đến 11:00 xác suất để có khách hàng đến khoảng thời gian từ 10:00 đến 11:30 bao nhiêu? 11 Chúc bạn qua môn! Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) lOMoARcPSD|9242611 Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Giải đề kì 20191 Câu Xét phép thử chọn ngẫu nhiên 10 sinh viên lớp tham dự trại hè 10 cách Số kết cục đồng khả là: n = C90 Gọi A biến cố: "Mỗi tổ có sinh viên chọn" ⇒ A biến cố "Có tổ khơng có sinh viên chọn" 10 +C10 +C10 −C10 −C10 −C10 cách Số kết cục thuận lợi cho A: m = C55 30 60 65 25 35 10 +C10 +C10 −C10 −C10 −C10 m C55 30 60 65 25 35 ⇒ P(A) = = = 0, 0495 10 n C90 ⇒ P(A) = − P(A) = − 0, 0495 = 0, 9505 Câu a) Gọi Ai ={Lấy phế phẩm từ hộp i} (i = 1, 3) Gọi H = {Trong sản phẩm có phế phẩm} ⇒ H = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ⇒ P(H) = P(A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ) = P(A1 A2 A3 ) + P(A1 A2 A3 ) + P(A1 A2 A3 ) = 8 7 + + = 0, 452 10 10 10 10 10 10 10 10 10 P(A1 A2 A3 H) P(A1 )P(A2 )P(A3 ) 10 10 10 = 0, 3186 Xác suất cần tính là: P(A1 A2 A3 |H) = = = P(H) P(H) 0, 452 b) Gọi Bi ={Chọn lô hàng thứ i}, i = 1, Hệ Bi tạo thành hệ đầy đủ với: P(B1 ) = P(B2 ) = P(B3 ) = Gọi M ={Trọng sản phẩm lấy có sản phẩm phế phẩm} Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có: P(M) = P(B1 )(PM|B1 ) + P(B2 )P(M|B2 ) + P(B3 )P(M|B3 ) với: P(M|B1 ) = C82 28 = 45 C10 P(M|B2 ) = C72 = 15 C10 P(M|B3 ) = C62 = C10 28 1 64 ⇒ P(M) = + + = 45 15 3 135 ⇒ P(M) = − P(M) = 0, 5259 12 Chúc bạn qua môn! Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) lOMoARcPSD|9242611 Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Câu a) Vì f (x) hàm mật độ xác suất X nên: f (x) ≥ ∀x ∈ R (1) f (x)dx = (2) +∞ −∞ (1) ⇔ kx(4 − x2 ) ≥ 0, (2) ⇔ +∞ −∞ x ∈ [0, 2] ⇔ k ≥   x(4 − x2 ) x ∈ [0, 2] f (x)dx = ⇔ k = ⇔ f (x) =  x∈ / [0, 2] b) Ta có p = P < X < 2 f (x)dx = = x(4 − x2 )dx = 31 256 Gọi B ={Sau lần lặp có lần X nhận giá trị khoảng 0; ⇒ P(B) = C31 p1 (1 − p)2 = C31 31 31 1− 256 256 } ⇒ B ∼ B(3; p) 2 = 0, 2806 Câu Gọi X biến ngẫu nhiên số người trung bình đến cửa hàng 30 phút ⇒ X ∼ P(2) Xác suất cần tính là: P(X ≥ 3) = − P(X < 3) = − [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)] = − e−2 20 21 22 + + 0! 1! 2! = 0, 3233 13 Chúc bạn qua môn! Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) lOMoARcPSD|9242611 Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Đề ĐỀ THI GIỮA KỲ - 20192 Câu Một tổ gồm học sinh giỏi, học sinh học sinh trung bình Chọn ngẫu nhiên người Tính xác suất sau: a) Trong người có học sinh b) Trong người học sinh chiếm đa số (nhiều loại học sinh khác) Câu Một cơng ty có xe tải xe Biết xác suất cố tháng xe tải 0,1; xe 0,02 Trong tháng chọn ngẫu nhiên xe công ty để kiểm tra a) Tính xác suất để hai xe kiểm tra có xe bị cố b) Biết có xe bị cố xe kiểm tra Tính xác suất để số xe bị cố có xe Câu Một lơ hàng có 18 sản phẩm, có phế phẩm 15 sản phẩm tốt Chọn sản phẩm (khơng hồn lại) a) Hỏi trung bình có sản phẩm tốt sản phẩm chọn? b) Gọi Y số phế phẩm sản phẩm chọn đặt Z = + 2Y Tính trị trung bình độ lệch chuẩn Z Câu Sai số thiết bị đo (đơn vị mm) biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ: f (x) = Ae −12+8x−x2 a) Tìm số A tính E(X), V (X) b) Tính xác suất để sai số đo lệch với trung bình khơng q 2mm Phụ lục: Cho giá trị hàm Laplace: φ (1) = 0, 3413; φ (1, 5) = 0, 4332; φ (2) = 0, 4773 14 Chúc bạn qua môn! Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) lOMoARcPSD|9242611 Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Giải đề kì 20192 Câu Xét phép thử chọn ngẫu nhiên người = 330 cách Số kết cục đồng khả là: n = C11 a) Gọi A ={Trong người có học sinh khá} Số kết cục thuận lợi cho A là: m = C41 C73 = 140 cách ⇒ P(A) = m 14 = n 33 b) Gọi B ={Trong người học sinh chiếm đa số} Số kết cục thuận lợi cho B là: p = C42 C21 C51 +C43 C21 +C43 C51 +C44 = 89 cách ⇒ P(B) = 89 p = n 330 Câu a) Gọi Ai ={Trong xe có i xe tải}, i = 0, Hệ {Ai } tạo thành hệ đầy đủ với: P(A0 ) = C32 = , 28 C8 P(A1 ) = 3.5 15 = , 28 C82 P(A2 ) = C52 = 14 C8 Gọi A ={Trong xe kiểm tra có xe bị cố} Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có: P(A) = P(A0 )P(A|A0 ) + P(A1 )P(A|A1 ) + P(A2 )P(A|A2 ) với: P(A|A0 ) = 2.0, 02.0, 98 = 0, 0392, ⇒ P(A) = P(A|A1 ) = 0, 1.0, 98+0, 9.0, 02 = 0, 116, P(A|A2 )2.0, 1.0, = 0.18 15 0, 0392 + 0, 116 + 0, 18 = 0, 1306 28 28 14 b) Gọi B ={ Có xe bị cố xe kiểm tra} Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có: P(B) = P(A0 )P(B|A0 ) + P(A1 )P(B|A1 ) + P(A2 )P(B|A2 ) với: P(B|A0 ) = 0, 982 = 0, 9604, ⇒ P(B) = P(B|A1 ) = 0, 9.0, 98 = 0, 882, P(B|A2 ) = 0, 92 = 0, 81 15 0, 9604 + 0, 882 + 0, 81 = 0, 8647 28 28 14 ⇒ P(B) = − P(B) = − 0, 8647 = 0, 1353 15 Chúc bạn qua môn! Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) lOMoARcPSD|9242611 Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Gọi C ={Trong số xe bị cố có xe con} Xác suất cần tính là: P(CB) P(B) P(C|B) = Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có: P(CB) = P(A0 )P(CB|A0 ) + P(A1 )P(CB|A1 ) + P(A2 )P(CB|A2 ) với: P(CB|A0 ) = 2.0, 02.0.98 = 0, 0392, P(CB|A1 ) = 0, 02, P(CB|A2 ) = ⇒ P(CB) = 15 0, 0392 + 0, 02 + = 0, 0149 28 28 14 ⇒ P(C|B) = P(CB) 0, 0138 = = 0, 1101 P(B) 0, 1353 Câu a) Gọi X biến ngẫu nhiên số sản phẩm tốt lấy X={0,1,2,3} Gọi Ai ={Lấy i sản phẩm tốt}, i={0,1,2,3} P(A0 ) = P(X = 0) = C33 = 816 C18 P(A1 ) = P(X = 1) = 15.C32 15 = 272 C18 P(A2 ) = P(X = 2) = C15 105 = 272 C3 P(A3 ) = P(X = 3) = C15 455 = C18 816 Ta có bảng phân phối xác suất: X P ⇒ E(X) = 0 1/816 15/272 105/272 455/816 15 105 455 + + + = 2, 816 272 272 816 Vậy trung bình có 2,5 sản phẩm tốt sản phẩm chọn b) Gọi Y số phế phẩm sản phẩm chọn ⇒Y = 3−X ⇒ Z = + 2Y = + 2(3 − X) = − 2X mà E(X ) = 02 15 105 455 255 + 12 + 22 + 32 = 816 272 272 816 34 ⇒ V (X) = E(X ) − (E(X))2 = 225 25 − (2, 5)2 = 34 68 ⇒ E(Z) = E(7 − 2X) = − 2E(X) = − 2.2, = ⇒ V (Z) = V (7 − 2X) = (−2)2V (X) = 4V (X) = 25 25 = 68 17 16 Chúc bạn qua môn! Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) lOMoARcPSD|9242611 Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Câu −(x − 4)2 a) Ta có f (x) = A.e e Dễ thấy: X ∼ N(µ ; σ ) 1 với µ = 4, σ = ⇒ E(X) = µ = ⇒ A.e = √ ⇒ A = √ 2π 2eπ b) Xác suất cần tính là: P(|X − 4| < 2) = P(2 < X < 6) = Φ 6−4 2−4 − Φ( ) = 2Φ(1) = 2.0, 3413 = 0, 6826 2 17 Chúc bạn qua môn! Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) lOMoARcPSD|9242611 Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Đề ĐỀ THI GIỮA KỲ - 20193 Câu Có hai túi đựng bi Túi I có bi trắng, bi đỏ; Túi II có bi trắng bi đỏ Rút hú hoạ từ túi hai viên bi Tính xác suất để viên bi rút ra: a) Có hai bi trắng b) Số bi trắng rút từ túi c) Có bi đỏ, biết số bi trắng rút từ túi I nhiều từ túi II Câu Một phịng máy có 30 máy tính, 14 máy có xác suất hỏng ngày máy 0,1; 10 máy có xác suất hỏng máy 0,2 máy có xác suất hỏng máy 0,03 Giao hú hoạ cho sinh viên sử dụng máy ngày Tính xác suất để máy khơng hỏng Câu Số máy A, ký hiệu X, bán ngày siêu thị biến ngẫu nhiên tuân theo −λ x phân phối Poisson tham số λ (cho P(X = x) = e x!λ , x = 0, 1, 2, ) Theo thống kê biết xác suất bán máy A ngày siêu thị 45,12% a) Tính số máy A trung bình bán ngày siêu thị b) Tính xác suất để ngày siêu thị bán máy A Câu Cho biến ngẫu nhiên liên tục Y có hàm mật độ xác suất: fY (x) = ke−3|x| , x ∈ R a) Tìm k hàm phân phối xác suất Y b) Tính kỳ vọng phương sai Z = Y + 18 Chúc bạn qua môn! Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) lOMoARcPSD|9242611 Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Giải đề kì 20193 Câu Xét phép thử rút hú họa từ túi viên bi: Số kết cục đồng khả là: n = C62 C72 = 315 cách a) Gọi A ={Có bi trắng} Số kết cục thuận lợi cho A là: m = C22 C42 +C21 C41 C31 C41 +C42 C32 = 120 cách ⇒ P(A) = m 120 = = n 315 21 b) Gọi B ={Số bi trắng rút từ túi nhau} Số kết cục thuận lợi cho B là: p = C42 C42 +C21 C41 C31 C41 +C22 C32 = 135 cách ⇒ P(B) = p 135 = = n 315 c) Gọi C ={Số bi trắng rút từ túi I nhiều túi II} Số kết cục thuận lợi cho C là: k = C21 C41 C42 +C22 C31 C41 +C22 C42 = 66 cách 66 22 k = = n 315 105 Gọi D ={Có bi đỏ} ⇒ P(C) = Xác suất cần tính là: P(D|C) = P(DC) P(C) Số kết cục thuận lợi cho DC là: h = C22 C31 C41 = 12 cách ⇒ P(DC) = h 12 4/105 = = ⇒ P(D|C) = = n 315 105 22/105 11 Câu Đặt • Nhóm I={14 máy có xác suất hỏng 0, 1} • Nhóm II={10 máy có xác suất hỏng 0, 2} • Nhóm III={6 máy có xác suất hỏng 0, 03} Gọi Ai ={Sinh viên sử dụng máy thuộc nhóm i}, i = 1, Hệ {A1 A1 , A1 A2 , A1 A3 , A2 A2 , A2 A3 , A3 A3 } tạo thành hệ đầy đủ với: C14 91 P(A1 A2 ) = = C30 435 C10 P(A2 A2 ) = = C30 29 P(A1 A2 ) = 14.10 28 = 87 C32 10.6 P(A2 A3 ) = = 29 C3 P(A1 A3 ) = 28 14.6 = 145 C30 C62 P(A3 A3 ) = = C30 29 19 Chúc bạn qua môn! Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) lOMoARcPSD|9242611 Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Gọi H ={2 máy khơng hỏng} Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có: P(H) = P(A1 A1 )P(H|A1 A1 ) + P(A1 A2 )P(H|A1 A2 ) + P(A1 A3 )P(H|A1 A3 ) + P(A2 A2 )P(H|A2 A2 ) + P(A2 A3 )P(H|A2 A3 ) + P(A3 A3 )P(H|A3 A3 ) với: P(H|A1 A2 ) = 0, 92 = 0, 81 P(H|A1 A2 ) = 0, 9.0, = 0, 72 P(H|A1 A3 ) = 0, 9.0, 97 = 0, 873 P(H|A2 A2 ) = 0, 82 = 0, 64 P(H|A2 A3 ) = 0, 8.0, 97 = 0, 776 P(H|A3 A3 ) = 0, 97.0, 97 = 0, 9409 ⇒ P(H) = 28 28 91 0, 81 + 0, 72 + 0, 873 + 0, 64 + 0, 776 + 0, 9409 = 0, 7754 435 87 145 29 29 29 Câu Gọi X biến ngẫu nhiên số máy A bán ngày siêu thị X ∼ P(λ ) Gọi H ={Bán máy A ngày} P(H) = P(X > 0) = − P(X = 0) = − λ −λ e = 0, 4512 ⇒ λ = 0, 0! a) Số máy A trung bình bán ngày siêu thị là: E(X) = λ = 0, máy b) Gọi M ={Trong ngày siêu thị bán máy A} ⇒ P(M) = P(X ≥ 4) = − P(X < 4) = − P(X = 0) − P(X = 1) − P(X = 2) − P(X = 3) = 1− 0, 60 −0,6 0, 61 −0,6 0, 62 −0,6 0, 63 −0,6 e − e − e − e 0! 1! 2! 3! = 0, 0034 Câu a) Vì f (x) hàm mật độ xác suất X nên: f (x) ≥ ∀x ∈ R (3) f (x)dx = (4) +∞ −∞ (1) ⇔ ke−3|x| ≥ 0] ⇔ k ≥ (2) ⇔ ⇔ +∞ −∞ f (x)dx = ⇔ +∞ −∞ f (x)dx + 3 k k + = ⇔ k = ⇒ f (x) = e−3|x| , 3 2 0 f (x)dx = ⇔ −∞ +∞ ke3x dx + ke−3x dx = x∈R 20 Chúc bạn qua môn! Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) lOMoARcPSD|9242611 Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Hàm phân phối xác suất Y là: x FY (x) = −∞ f (t)dt • x 7) = − P(X = 8) − P(X = 9) − P(X = 10) 10 = −C10 0, 88 0, 22 −C10 0, 89 0, 21 −C10 0, 81 0.0, 20 = 0, 32222 23 Chúc bạn qua môn! Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) lOMoARcPSD|9242611 Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê b) Xác suất cần tính là: P(X ≥ 2|X ≥ 1) = P[(X ≥ 2)(X ≥ 1)] P(X ≥ 2) = P(X ≥ P(X ≥ 1) mà • P(X ≥ 2) = − P(X < 2) = − P(X = 0) − P(X = 1) = −C10 0, 80 0, 210 −C10 0, 81 0, 29 = 0, 9999958 • P(X ≥ 1) = − P(X < 1) = − P(X = 0) = −C10 0, 80 0, 210 = 0, 9999999 ⇒ P(X ≥ 2|X ≥ 1) = 0, 9999958 = 0, 9999996 0, 9999999 Câu Gọi X biến ngẫu nhiên chi phí cần chi • Trường hợp 1: Giai đoạn thất bại ⇒ X = 30000 + 10000.10 = 130000 ⇒ P(X = 130000) = 0, • Trường hợp 2: Giai đoạn thất bại ⇒ X = 30000 + 20000 + 10000.10 = 150000 ⇒ P(X = 150000) = 0, 9.0, = 0, 36 • Trường hợp 3: Nghiên cứu thành cơng ⇒ X = 30000 + 20000 + 10000.2, = 75000 ⇒ P(X = 75000) = 0, 9.0, = 0, 54 Ta có bảng phân phối xác suất sau: X P 75000 0,54 130000 0,36 150000 0,1 ⇒ E(X) = 75000.0, 54 + 130000.0, 36 + 150000.0, = 102300 Vậy số tiền để mua motor là: 10000.10 = 100000 Dễ thấy 102300 > 100000 ⇒ Công ty A nên mua motor để có chi phí thấp Câu Gọi X biến ngẫu nhiên số trai sinh X ∼ B(1000; 0, 49) Với n = 1000 đủ lớn, np = 1000.0, 49 = 490, np(1 − p) = 1000.0, 49.0, 51 = 249, đủ lớn 24 Chúc bạn qua môn! Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) lOMoARcPSD|9242611 Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Ta có xấp xỉ X ∼ N(490; 249, 9) Xác suất cần tính là: P(X ≥ 501) = 0, − φ ( = 0, − φ ( 501 − 0, − µ σ 501 − 0, − 490 √ 249, = 0, − φ (0, 6642) = 0, − 0, 2467 = 0, 2533 25 Chúc bạn qua môn! Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com) ...lOMoARcPSD|9242611 Mục lục Đề 20181 Lời giải Đề 20182 Lời giải Đề 20183 Lời giải Đề 20191 Lời giải Đề 20192 Lời giải Đề 20193 Lời giải Đề 20201 Lời giải ... lOMoARcPSD|9242611 Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Đề ĐỀ THI GIỮA KỲ - 20181 Câu Một hộp có 10 mảnh bìa đánh số thứ tự từ đến 10 Lấy ngẫu nhiên mảnh bìa a) Tính xác suất để mảnh bìa đầu có số theo... Xác suất thống kê Đề ĐỀ THI GIỮA KỲ - 20182 Câu Lai hai giống hoa ly màu hồng màu vàng chủng, hệ F1 cho hoa màu trắng, vàng, hồng theo tỷ lệ 1:1:2 Lấy hạt giống hệ F1 mang gieo hoa Tính xác suất