Phân tích và bình luận các bài toán bất đẳng thức và cực trị trong đề thi HSG toán THCS

Trong chủ đề này, chúng tôi đã tuyển chọn và giới thiệu một số bài toán về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất được trích trong các đề thi học sinh giỏi môn toán cấp tỉnh của các cấp học trong các năm gần đây. Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp con em mình học tập. Hy vọng tuyển tập các bài toán về bất đẳng thức này sẽ có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung. Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này

Tailieumontoan.com  PHÂN TÍCH VÀ BÌNH LUẬN CÁC BÀI TỐN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI TỐN THCS Thanh Hóa, tháng năm 2019 Website:tailieumontoan.com TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đ{p ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh c{c chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em tuyển tập phân tích lời giải tốn bất đẳng thức c{c đề thi HSG lớp Chuyên toán nước Chúng kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề nhằm đ{p ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng toán bất đẳng thức kì thi gần đ}y.Trong c{c kì thi học sinh giỏi môn To{n c{c cấp, nội dung bất đẳng thức v| gi{ trị lớn – gi{ trị nhỏ xuất c{ch đặn c{c đề thi với c{c b|i to{n ng|y c|ng hay v| khó Trong chủ đề n|y, tuyển chọn v| giới thiệu số b|i to{n bất đẳng thức v| gi{ trị lớn nhất, nhỏ trích c{c đề thi học sinh giỏi môn to{n cấp tỉnh c{c cấp học c{c năm gần đ}y Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng chuyên đề n|y để giúp em học tập Hy vọng tuyển tập tốn bất đẳng thức giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Trong c{c kì thi học sinh giỏi môn To{n c{c cấp, nội dung bất đẳng thức v| gi{ trị lớn – gi{ trị nhỏ xuất c{ch đặn c{c đề thi với c{c b|i to{n ng|y c|ng hay v| khó Trong chủ đề n|y, chúng tơi tuyển chọn v| giới thiệu số b|i to{n bất đẳng thức v| gi{ trị lớn nhất, nhỏ trích c{c đề thi học sinh giỏi mơn to{n cấp tỉnh c{c cấp học c{c năm gần đ}y Bài Cho a, b, c l| c{c số thực dương Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức: 4  a   b   c  P      a b  bc   ca  Trích đề thi chọn HSG mơn Tốn Tỉnh Nghệ An năm học 2018 – 2019 Lời giải Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức 1  1  x  1  y  2  với x, y l| c{c số thực xy  dương Thật vậy, biến đổi tương đương bất đẳng thức ta có  1  x  1  y  2        xy  1 x  y  2x  2y   x  2x  y  2y  xy     2xy  x y  x y  xy   xy  1  xy  x  y   2 Do bất đẳng thức cuối ln nên ta có điều cần chứng minh Trở lại toán Do a, b, c l| c{c số nguyên dương nên biểu thức P viết lại th|nh 4             P        b    c    a  a  b  c  Đặt x  b c a ; y  ; z  , ta x, y, z dương thỏa mãn xyz  Ta viết lại biểu thức P a b c v| {p dụng đ{nh gi{ quen thuộc 4        1  P        3    x 2   y 2   z 2   1 x   1 y   1 z    Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Đặt Q  1   1  x  1  y  1  z  Q  ta có xyz  Áp dụng bổ đề ta  1  x  1  y  1  z  Ta chứng minh  1    xy 1  z 2 1  z 1  z   z  z   z  1 z   Thật vậy, biến đổi bất đẳng thức ta z   z  1 z  z  1  z      z  z   x  2z  2 z   z  1 4  z  1      4z  4z   3z  6z   z  2z     z  1  Bất đẳng thức cuối ln Do ta có Từ ta Q  z   , dấu xẩy z  z   z  1 1 , dấu xẩy v| x  y  z  Suy P  Q2   3 16 16 , dấu xẩy v| a  b  c Vậy gi{ trị nhỏ P l| , xẩy v| a  b  c 16 Nhận xét Ta chứng minh 1   1  x  1  y  1  z  2 theo c{ch kh{c sau đ}y  np mp mn ; y  ; z  Khi bất đẳng 2 m n p Do xyz  nên tồn c{c số dương m, n, p thỏa mãn x  thức viết lại th|nh m m4  np  n n4   mp p4   p 2  mn   Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng ph}n thức m  n  p      m  np  n  mp  p  mn   m  np   n  mp   p m4 2 2 p4 n4 2 m  n  p  V| ta cần chứng minh  m  np   n  mp   p 2 2  2 2 2  mn  2  2  mn  hay ta cần chứng minh  m4  n4  p4  m2 n2  n2 p2  p2 m2  6mnp  m  n  p  Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Dễ thấy m4  n4  p4  m2 n2  n2 p2  p2 m2 ; m2 n2  n2 p2  p2 m  mnp  m  n  p      Nên m4  n4  p4  m2 n2  n2 p2  p2 m2  m2 n  n p2  p2 m  6mnp  m  n  p  Như bất đẳng thức 1   1  x  1  y  1  z  2  3 hay Q  4 Bài Chứng minh a, b, c l| độ d|i ba cạnh tam gi{c có chu vi ln có: 3a2  3b2  3c2  4abc  13 Trích đề thi chọn HSG mơn Tốn Tỉnh Thái Bình năm học 2018 – 2019 Lời giải Từ giả thiết b|i to{n ta a  b  c  Do vai trị a, b, c nên khơng tính tổng qu{t ta giả sử  a  b  c Đặt T  3a  3b2  3c2  4abc Do a, b, c l| ba cạnh tam gi{c nên ta có a  b  c , từ giả thiết b|i to{n ta  a  b  c  c  c  2c  c  Do ta  c   a  b  c  3c  c  Đến đ}y ta biến đổi biểu thức T   T  3a  3b2  3c  4abc  a  b  3c  4abc 2   a  b   2ab   3c  4abc   a  b   3c  2ab   2c       c   3c  2ab   2c  Để ý  2c  ab  2 1 a  b     c  nên ta lại có  4 T    c   3c  2ab   2c     c   3c   c    2c   27  c  6c   3c  c  6c    2c   c  c  2 2 1  c  2c  c  c  2c   13  c  c  1   c  1  13  13 2       Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy v| a  b  c  Bài Cho c{c số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện  a  c  b  c   4c Tìm gi{ trị lớn v| gi{ trị nhỏ biểu thức P  Tác giả: Nguyễn Công Lợi a b ab   b  3c a  3c bc  ca TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Trích đề thi chọn HSG mơn Tốn Tỉnh Bắc Ninh năm học 2018 – 2019 Lời giải Do a, b, c số thực dương nên giả thiết b|i to{n viết lại th|nh  a  c  b  c     a  1 b  1  c  c2  c    a b Đặt x  ; y   x  0; y   Khi giả thiết trở th|nh  x  1 y  1  c c Cũng từ a  cx; b  cy , thay v|o biểu thức P ta cy c xy y xy cx x P      cy  3c cx  3c c x  c y y  x  x  y Đến đ}y ta xử lí b|i to{n sau Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức P Từ  x  1 y  1  ta xy    x  y  Đặt t  x  y  v| {p dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 1 x  y   xy nên suy  t  t hay t  4t  12  nên t   4 Như ta có  t  Biểu thức P viết lại th|nh x  y   x  y  xy  x  y    x  y   2xy  xy y xy x P      y3 x3 xy xy xy   x  y    x   y   x  y  t  3t    t   t  3t   t t  5t   t  t  1 t    t t 3         t 2t  12 t t t 2  t  6 Lại {p dụng bất đẳng thức AM – GM ta lại có t 3  2  Do P   t 2 a  b  c  t x  y    Dấu xẩy v|   t    t ab  c   xy     Vậy gi{ trị nhỏ biểu thức P l|     , đạt a  b  c 6;ab  c  Tìm gi{ trị lớn biểu thức P Như ta có  t  P  P Tác giả: Nguyễn Công Lợi t 3   Do ta có biến đổi t  t   t  3  t 3 t  3t  t  5t      1 t 2t 2t 2t TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Do  t  nên ta có  t   t    Do suy P  Dấu xẩy v| 2t x  y  x  t2  abc xy  y  Vậy gi{ trị lớn biểu thức P l| 1, đạt a  b  c Bài Với c{c số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện a2  b2  c2  2abc  Tìm gi{ trị lớn biểu thức P  ab  bc  ca  abc Trích đề thi chọn HSG mơn Tốn Thành phố Hà Nội năm học 2018 – 2019 Lời giải  Lời giải Trong ba số a, b, c tồn hai số lớn nhỏ , Khơng tính tổng qu{t ta giả sử hai số l| a v| b Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có a  b2  2ab , a2  b2  c2  2abc  c2  2ab  2abc Từ suy  c  2ab 1  c  hay ta  c  2ab 1  c  nên  c  2ab   2ab  c Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta lại có  2ab  c  2abc nên suy abc  Theo giả sử ta có  2a  1 2b  1   4ab    a  b  hay 4abc  c  2ac  2bc Kết hợp c{c kết ta 2ab  2bc  2ca  2abc  2ab  4abc  c  2abc  2ab  c  2abc    5 Do ta 2P   ab  bc  ca  abc   nên P  , dấu đẳng thức xẩy v| a  b2  c  2abc   1  abc a  b; abc    2ab  c  Vậy gi{ trị lớn P l| , đạt a  b  c    Lời giải Từ giải thiết ta 2abc   a  b2  c Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi  TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do ta có 2P   ab  bc  ca   2abc   ab  bc  ca    a  b2  c   a  b  c   Để ý từ giả thiết b|i to{n ta  a, b,c  nên ta có biến đổi  a  b2  c  2abc   c  2abc   a  b2       c  2abc  a b2   a  b2  a b2   c  ab    a  b2 1  a 1  b   c  1  a 1  b   ab  c  ab  2 Do c     ab   a  b2 2 1  a 1  b   2ab    a  b   Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta  a  b2   2 Cũng theo bất đẳng thức AM – GM ta a  b   a  b  a  b Do ta có a  b  c   2  a   b2  a  b   2 a  b  1   a  b   2 2 2 3 Đến đ}y ta thu 2P        P  Dấu xẩy a  b  c  2  Lời giải Do a, b, c l| c{c số thực dương nên ta viết lại giả thiết b|i to{n   a  b  c  2abc   abc a  b  c  2abc  abc    2abc   a b   a b  b c  c 2a  3abc  a bc  ab 3c  abc 2     b c  c 2a  a bc  ab 3c  abc   abc  a c  a b  a bc  abc  a b  b c  ab c  abc  b c  c 2a  abc 2 2  2 2 2  abc  c 2a  a b  a bc  b c  abc  ab c  a b c        a bc  c 2a  ab  a bc  b ca  a b  bc  ab c  c ab  b c  ca  abc     2a bc  c 2a  ab  a bc  2bc bc  c 2a  ab  a bc    a  b  ca  c  ab   b  c  ab  a  bc   c  a  bc  b  ca    a  bc  b  ca  c  ab   a b c   2 a  bc b  ca c  ab Khi {p dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng ph}n thức ta có a  b  c  a b c a2 b2 c2 2       a  bc b  ca c  ab a  abc b  abc c  abc a  b2  c  3abc   Hay ta a  b2  c  3abc   a  b  c   a  b2  c  6abc   ab  bc  ca  M| ta có a2  b2  c2  2abc  nên ta có bất đẳng thức  4abc   ab  bc  ca    ab  bc  ca  abc   2abc  Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do ta  ab  bc  ca  abc   Do P  , dấu đẳng thức xẩy v| a  b  c  Vậy gi{ trị lớn P l| , đạt a  b  c  Bài Cho ba số thực dương thỏa mãn x  y  z   xyz Chứng minh rằng: Chứng minh tương tự ta abc  xyz6   xy  yz  zx  Trích đề thi chọn HSG mơn Tốn Tỉnh Quảng Bình năm học 2018 – 2019 Lời giải Biến đổi giả thiết b|i to{n ta x  y  z   xyz  xy  x  y   yz  y  z   zx  z  x   xyz  xy  yz  zx  x  y  z    x  1 y  1   y  1 z  1   z  1 x  1   x  1 y  1 z  x   Đặt a  1   1 x1 y 1 z1 1 ta a  b  c  ;b  ;c  x1 y 1 z 1 Ta có x  1a 1 b 1 c Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại th|nh ;y  ;z  a b c  1a 1 b 1 c   6  2 a b c    bc ca a b   6  2 Hay a b c   1  a 1  b   1  b 1  c   1  c 1  a   ab   ca  b  c  c  a    c  a a  b   a  b  b  c   ab bc Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta Tương tự ta có bc  b  c  c  a   b  c  c  a   c  c ab  c  a  a  b    a  a bc c   ca b b a b a  a  b  b  c    b  b ca a c Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta thu  2    b  c  c  a    c  a a  b   a  b  b  c    b  c  c  a  a  b  ab bc ca   a b c Do bất đẳng thức cho chứng minh Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Dấu đẳng thức xẩy v| a  b  c  hay x  y  z  Bài Cho x, y, z l| c{c số thực dương thỏa mãn x  y  z   Tìm gi{ trị lớn biểu thức P x3 y3  x  yz  y  zx  z  xy  Trích đề thi chọn HSG mơn Tốn Tỉnh Thanh Hóa năm học 2018 – 2019 Lời giải Do x, y, z l| c{c số thực dương v| kết hợp với giả thiết b|i to{n ta có x y 2  yz   zx  1       z     z   2z  z   z  1 x  y   y x 4z   z  1  z  1 z 4z 4z 1 1 1  2 2 xy x  y  z  1  z  1  z  1 2   z  1    z  1  yz   zx  z  Từ ta       z  1      x y xy       z  1   z  1  Ta lại có  z  1  z  1  z  1    z  1  12  z  1   z  1 Áp dụng bất đẳng thức MA – GM ta có Và  z  1    z  1   12  z   z  1 z 1 z 1 z 1 z 1   33  8  z  1 8 12  z  1 12  z  1  2 6 z 1 z 1 Cộng theo vế c{c bất đẳng ta  z  1   z  1  z    12    z   z  1  z  1 12 15   nên suy z   z  1 2   z  13   27 2 27    hay     z  1      Dấu xẩy v| x  y  2; z    27   x  yz  y  zx  z  xy    27   yz   zx  z Từ ta   hay          x  y  xy    x3 y3    Tác giả: Nguyễn Công Lợi 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 36 Website:tailieumontoan.com a  b  c a  b  a   bc b  ca  2c  a  b  a  b   a   bc b  ca    a     bc b2  ca   a  b  c  a  b   Hay ta cần chứng minh a  bc b2  ca  c  a  b  a  b  Do a  b  c  nên ta có a  bc  a   a  b  b2  ca  bc  ca  c  a  b     Do bất đẳng thức a  bc b2  ca  c  a  b  a  b  Vậy phép chứng minh ho|n tất Bài 35 Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức:   P  a  b4  c  ab  bc  ca a b  b2 c  c 2a Trích đề thi chọn HSG mơn Tốn THPT Tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm học 2014 – 2015 Lời giải Không tính tổng qu{t ta giả sử b nằm a v| c, ta có c  a  b  b  c   Hay ta  a b  b2c  c 2a  b a  ca  c      Từ ta a b  b2c  c 2a  ab  bc  ca   b a  ca  c ab  bc  ca  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số dương ta  b a  ca  c   3b  a ab  bc  ca    ca  c  ab  bc  ca  34 Lại có 3b  a  ca  c  ab  bc  ca   a  c   3b  b a  c    Từ giả thiết a  b  c  ta suy a  c   b nên ta có 3b  a  ca  c  ab  bc  ca    b   3b  b   b       Do ta có a b  b2 c  c 2a  ab  bc  ca   Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta lại có a  b4  c a   b2  c  Sử dụng c{c kết kết hợp với bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 37 Website:tailieumontoan.com  ab  bc  ca  ab  bc  ca P 7 a b c   a  b4  c  2 a bb cc a a b  b c  c 2a  ab  bc  ca     4  a  b2  c 41  a  b  c  18.9      ab  bc  ca  a   2   41 a  b  c 18    a  b  c  ab  bc  ca  ab  bc  ca  18.3  b2  c  2   ab  bc  ca  18  22  a  b  c  81  22 Vậy gi{ trị nhỏ P l| 22, xẩy v| a  b  c  Bài 36 Chứng minh với số thực dương a, b ta có bất đẳng thức sau:   a b2 a  b2    a  b  ab  1 Trích đề thi chọn HSG cấp THPT Tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2014 – 2015 Lời giải Đặt a  b  x;ab  y với x, y dương ta có x2  4y   Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại dạng y2 x2  2y   x  y  1 Đến đ}y ta xét c{c trường hợp sau  Trường hợp Nếu y  ta có x  Khi xy2  y   2y2  y   Do     y x  2y   x  y  1  x xy  y   2y  2y    y y.y  y   2y  2y  y  y 1    y 1 y  y 1  Điều n|y có nghĩa l| bất đẳng thức cần chứng minh  Trường hợp Nếu y  ta có   x  y  1  y x  2y   x  y  1  y  4y  2y    x  y  1  2y  y  1    y  1 y  y  1  y  1 y  y  1   x  2y  2   y  1   y  2y 2 Điều n|y có nghĩa l| bất đẳng thức cần chứng minh Vậy b|i to{n chứng minh Dấu đẳng thức xảy v| a  b  Bài 37 Cho a, b, c l| c{c số thực thỏa mãn  a  b  b  c  c  a   10 Chứng minh rằng: a  b2  b    c c  a  12a b2 c  30 Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Bình Dương năm học 2015 – 2016 Lời giải Từ giả thiết ta có a  b b  c  c  a   10  a b  ab 2  b2c  bc  c 2a  ca  2abc  Lại có Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 38 Website:tailieumontoan.com a  b  b  c  c  a   a b  a b  b c  b c  c a  c a  a b  b c  c a  a b c    a b  b c  c a  a b c    a b  b c  c a  abc    ab  bc  ca  abc  2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 2  2a b2 c 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có  a b  b c  c a  abc   ab  bc  ca  abc    a b  b c  c a  abc  ab  bc  ca 2 2 2   Từ ta a  b2 a   b  b2 2 2  abc  2 1  a  b  b  c  c  a   4abc    10  4abc  2   b 2   c2 c2  a2  2  10  4abc  Từ ta    c c  a  12a b c   10  4abc   12a b c   100  80abc  16a b2 c  12a b2 c  20a b2 c  40abc  50    20 a b2 c  2abc   30  20  abc  1  30  30 Vậy bất đẳng thức chứng minh abc   Dấu xẩy v|  a  b  b  c  c  a   10  2 2 2 a b  b c  c a  abc  ab  bc  ca  abc Bài 38 Cho x, y, z l| c{c số thực dương Chứng minh rằng: x xy z3  yz  y  z3 yz3 x3   z  xy  x  y3 zx3 y   z  xy  x  y3   Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Trường ĐHKHTN Hà Nội năm học 2015 – 2016 Lời giải     Trước hết ta thấy y3  z3  yz  y  z   y  z3   y  z  y  z       Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có y3  z3   y  z  y2  z2  yz y  z2 Lại có x2  yz  2x yz Do ta  x  yz   y  z    x  yz  x  yz  y  z   2xyz  y  z  x  yz  Để ý  y  z  x  yz   x y  x z  yz  y  z   x y  x z  2y z 2 2  Từ suy x2  yz Tác giả: Nguyễn Công Lợi 3 2  y  2 2  3 2 2 2 2 2   z3  2xyz x2 y2  x2 z2  2y z2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 39 Website:tailieumontoan.com Từ suy x xy z  yz  y  z3  y2 z2 Áp dụng tương tự ta có bất đẳng x2 y  x2 z2  2y z  thức x xy z  yz  y  z3 yz x   z  xy  x  y3 zx y   z  xy  x  y3   y2 z2 x2 y2 1 z2 x2   2     x y  x z  2y z x y  y z  2z x y z  z x  2x y  Phép chứng minh kết thúc ta y2 z2 x2 y2 z2 x2  2  2  2 2 2 2 2 2 2 x y  x z  2y z x y  y z  2z x y z  z x  2x y Đặt a  x2 y2 ; b  y2 z2 ; c  z2 x2 ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh th|nh a b c    b  c  2a c  a  2b a  b  2c Bất đẳng thức tương đương với bc ca ab    b  c  2a c  a  2b a  b  2c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có bc ca ab   b  c  2a c  a  2b a  b  2c  b  c c  a  a  b      b  c  b  c  2a   c  a  c  a  2b   a  b a  b  2c  a  b  b  c  c  a    b  c  b  c  2a    c  a  c  a  2b    a  b a  b  2c  a  b  c    a  b  c    ab  bc  ca  2 2 2 2   M| ta lại có  a  b  c   a  b2  c   ab  bc  ca    a  b  c    ab  bc  ca  Từ suy Như ta có  a  b  c   2 a  b  c   ab  bc  ca  2 2  bc ca ab    b  c  2a c  a  2b a  b  2c Vậy bất đẳng thức cho chứng minh Dấu xẩy v| x  y  z Bài 39 Cho x, y, z l| c{c số thực dương thỏa mãn x  y  z  Tìm gi{ trị lớn biểu thức: Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 40 Website:tailieumontoan.com P x2 y y2 z z2 x   4x  5y 4y  5z 4z  5x Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Trường ĐHKHTN Hà Nội năm học 2015 – 2016 Lời giải Ta có x2 y y2 z y z2 x x z    xy  yz  zx 4x  5y 4y  5z 4z  5x 4x  5y 4y  5z 4z  5x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có xy y x z  yz  zx 4x  5y 4y  5z 4z  5x  x y z    xy  yz  zx       4x  5y 4y  5z 4z  5x   x y z    Ta chứng minh P   xy  yz  zx    4x  5y 4y  5z 4z  5x   Để ý x  y  z  ta suy xy  yz  zx  Ta có  5y 4y 4x 4z 5z 5x     3    4x  5y 4y  5z 4z  5x  4x  5y 4y  5z 4z  5x  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz v| để ý đến x  y  z  ta có x  y  z 5y 5z 5x     2 4x  5y 4y  5z 4z  5x  xy  yz  zx   x  y  z   xy  yz  zx   Từ suy  4y 4x 4z    3 4x  5y 4y  5z 4z  5x   xy  yz  zx  Như phép chứng minh kết thúc ta   xy  yz  zx  3    Đặt a  xy  yz  zx ta có a     xy  yz  zx   Bất đẳng thức viết lại th|nh a  10  18a    a3     90a  162a  20  24a   6a   6a   162a  114a  20    3a  1 27a  10   Dễ thấy bất đẳng thức cuối a   x y z    Như ta có P   xy  yz  zx     4x  5y 4y  5z 4z  5x  Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 41 Website:tailieumontoan.com Vậy gi{ trị nhỏ P l| 1 , xẩy x  y  z  Bài 40 Cho x, y, z l| c{c số thực thỏa mãn điều kiện xyz  Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức   P  xy  yz  zx 15 x2  y  z2   x  y  z     Trích đề thi chọn HSG mơn Tốn THPT Tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2015 – 2016 Lời giải   Đặt a  z xya  1 P  xy  ya  ax 15 x2  y  a   x  y  a     Đến đ}y ta xét hai trường hợp sau  Trường hợp Nếu ba số x, y,a }m Khi {p dụng bất đẳng thức AM – GM ta xy  ya  ax  3 x2 y2a  Do ta 15 x2  y2  a   x  y  a   15 3 x2 y 2a  7.3 xya  15  21  16 Do suy P  48   49  Trường hợp Nếu ba số x, y, a có số }m, hai số dương Không tổng qu{t ta giả sử x v| y }m v| a dương Đặt x1  x  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta x12  y2  a  2y  2a  x1  1 1 Do ta có P        2y  2a  x1    y  a  x1   Khi  x1 y a     1 1 1 P       4x1  y  a     x1  y a    49  x  y a  x1 y a    Dấu đẳng thức xảy v| y  a  2x1  x1 ya  hay y  a  x Vậy Pmin  49 Đẳng thức xẩy chẳng hạn 3 3 2 x; y; z     2; 2;    Bài 41 Cho ba số thực dương thay đổi a, b,c thỏa mãn a  b2  c   a  b  c  ab  bc  ca Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức: P  a  a  2b    b  b  2c    c  c  2a    Tác giả: Nguyễn Công Lợi abc TÀI LIỆU TOÁN HỌC 42 Website:tailieumontoan.com Trích đề thi chọn HSG mơn Tốn THPT tỉnh Nghệ An năm học 2015 – 2016 Lời giải Biến đổi tương đương giải thiết b|i to{n ta a  b  c   a  b  c   ab  bc  ca   ab  bc  ca     a  b  c  ab  bc  ca a  b  c  ab  bc  ca   a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c   ab  bc  ca    b  c  a   4bc  1 Vì vai trị a, b, c nên giả sử a  a, b,c Khi từ (1) ta có b  c  a  bc Đến đ}y kết hợp với bất đẳng thức AM – GM ta có P  a  b2  c   ab  bc  ca    a  b  c   abc  a  b  c   1   b  c  a   4a  abc abc 1  bc  bc  4a   4 bc.2 bc.4a 8 abc abc Dấu xảy chẳng hạn a  b  ;c  2 Vậy gi{ trị nhỏ P l| Dấu xảy chẳng hạn a  b  Bài 42 Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn a  b  c  3 ;c  2 Tìm gi{ trị lớn biểu thức: M 1  2  2 a  b  b  c  c  a2  Trích đề thi chọn HSG mơn Tốn THPT Tỉnh Long An năm học 2015 – 2016 Lời giải Dự đo{n gi{ trị lớn M l| Ta chứng minh M  a  b  c  2 1 1  2   2 a  b 3 b c 3 c a 3 2 Thật vậy, bất đẳng thức viết lại th|nh 1  1  1  3   2    2 a b 3  b c 3  c a 3  a  b2 b2  c c2  a2     2 2 a  b 3 b c 3 c a 3 Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 43 Website:tailieumontoan.com Đặt P  a  b2 b2  c c2  a2   a  b2  b2  c  c  a  Do vại trò a, b, c nên khơng tính tổng qu{t ta giả sử a  b  c a  b  a  b a  b2  Để ý đến phép biến đổi 2 a  b  a  b2  a  b2  2     Áp dụng tương tự đồng thời {p dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng ph}n thức ta có a  b  b  c  c  a   a  b  b  c  a  c  P    a  b2  c  18 a  b  c   a  c    a  b  c  18 P 2 P  a  b2  c  18 a  b  c   a  c    a  b2  c  a  b  c   a  c  Như phép chứng minh kết thúc ta   a b c 9 2 2  Biến đổi bất đẳng thức ta a  b  c   a  c     a  b2  c     a  b  c   a  c   a    a  b  c    a  b  c   a  c   a  b2  c  a  b  c  2 2  2   a  b  c    a  c   a  b  c  27 2  b2  c 2   b2  ab  bc  ca    a  b  b  c   Bất đẳng thức cuối a  b  c Vậy b|i to{n giải ho|n to|n Bài 43 Cho x, y, z l| c{c số thực dương thỏa mãn xyz  Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức: P y2 x2 z2   3 x  y  z y  z  x z  x  y Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Cần Thơ năm học 2015 – 2016 Lời giải Đặt a  P 1 ; b  ; z  , ta abc  Biểu thức P viết lại th|nh x y c a bc 1  2a  bc  b2 ca 1  2b  ca Ta viết biểu thức P th|nh P  Tác giả: Nguyễn Công Lợi  c 2ab 1  2c  ab  a 1  2a  bc  b 1  2b  c a  c 1  2c  ab a b c 2a 2b2 2c      bc ca a b bc ca a b TÀI LIỆU TOÁN HỌC 44 Website:tailieumontoan.com Dễ d|ng chứng minh a b c    bc ca a  b Mặt kh{c theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng ph}n thức ta a  b  c  a2 b2 c2 a  b  c 3 abc       b  c c  a a  b a  b  c  2 2 DO ta P  3 9   Vậy gi{ trị nhỏ P l| 2 2 Đẳng thức xẩy v| a  b  c   x  y  z  Bài 44 Cho a, b, c l| c{c số thực khơng }m khơng có hai số n|o Chứng minh rằng: 1    2 ab  bc  ca a  ab  b b  bc  c c  ca  a Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2015 – 2016 Lời giải Vì vai trị c{c biến nên khơng tính tổng qu{t ta giả sử c l| số nhỏ ba số a, b, c Khi ta b2  bc  c  b  c  b  c   b a  ac  c  a  c  a  c   a ab  bc  ca  ab  c  a  b   ab Từ ta có V| lại có 1 1     2 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a a  ab  b a b  ab  bc  ca ab Phép chứng minh ho|n tất ta 1  2  2 ab a b a  ab  b Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với 1 1 1   2   0 2 a ab b ab a  ab  b ab a  b ab  a ab  b2 2ab  a  b      0 3 a b ab a  ab  b2 ab a b2 a  ab  b     Bất đẳng thức cuối Vậy b|i to{n chứng minh xong Bài 45 Cho a, b, c l| độ d|i ba cạnh tam gi{c v| a  b  c  Chứng minh rằng: 4 1      9 a b bc ca a b c Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 45 Website:tailieumontoan.com Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Thành Phố Hà Nội năm học 2015 – 2016 Lời giải  Lời giải Để ý đến giả thiết lại viết lại bất đẳng thức th|nh a  b  c  a  b  c  a  b  c  abc abc abc   9 ab bc ca a b c 4c 4a 4b bc ac ab     12     12 a b bc ca a b c 4c 4a 4b bc ac ab       a b bc ca a b c   Áp dụng bất đẳng thức AM – GM dạng  1 , ta   x y xy a  b bc c a 1 1  1   1  4a 4b 4c    a    b    c      c a b c b  a c   a b  bc c a a  b Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy v| a  b  c  Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 4 1      9 1 c 1a 1 b a b c Ta chứng minh   18c  Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với 1 c c 5c   c 1  c 18c    5c   21c  3c  18c   3c  1  2c  1  Do a, b, c l| ba cạnh tam gi{c v| a  b  c  nên 2c   2c   a  b  c   c   a  b   Do bất đẳng thức Vậy b|i to{n chứng minh xong Bài 46 Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn a  b  c  a b c   Tìm gi{ trị lớn b c a biểu thức: P a  b1 bc 1 c a 1  3  3 a  b  b  c  c  a3  Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Trường Đại học Vinh năm học 2015 – 2016 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho giả thiết ta a  b  c  a b c   3 b c a Mặt kh{c {p dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng ph}n thức cho giả thiết ta a b c a  b  c  abc      ab  bc  ca  a  b  c b c a ab  bc  ca Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 46 Website:tailieumontoan.com Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có a Do ta    b   a  b  1  a  b  3 2   a  b  1 a  2   b2  a  b1  3 a  b  a  b2  Ho|n to|n tương tự ta thu P  Ta chứng minh 3  2  2 a  b  b  c  c  a2  1  2  1 a  b  b  c  c  a2  Thật vậy, bất đẳng thức viết lại th|nh a  b2 b2  c c2  a2   2 a  b2  b2  c  c  a  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng ph}n thức ta a b b c c a  2  2 a  b  b  c  c  a2  2 2 2   a  b2  b2  c  c  a    2 a  b2  c  Phép chứng minh ho|n tất ta   a  b2  b2  c  c  a a  b2  b  b  c2    a  b  c   2  2  c  c2 c2  a2  a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có 2    a c  a  a  b2  c   b2  b   c  b2  ac Hoàn toàn tương tự ta bất đẳng thức a  b2  b  b  c2    c  c2 c2  a2     a c2  a  a  b2  c2  ab  bc  ca M| từ giả thiết ta ab  bc  ca  Do ta a  b2  b  b  c2    c  c2 c2  a2     a c  a  a  b2  c  Vậy bất đẳng thức chứng minh Suy gi{ trị nhỏ P l| Đẳng thức xẩy v| a  b  c  Bài 47 Cho a, b, c l| c{c số thực không }m Chứng minh rằng: a  bc    b  ca    c  ab 2   a  b  b  c  c  a  Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Đăk Lăk năm học 2015 – 2016 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 47 Website:tailieumontoan.com  a  bc    b  ca  2  a  bc  b  ca   Khi ta  a  bc    b  ca    c  ab  2  a  b   c  1  2  a  b   c  1  2 2   c  ab  2 Cũng theo bất đẳng thức AM – GM ta có  a  b   c  1 2   c  ab   2  a  b  c  1 c  ab    a  b  c  1 c  ab  B|i to{n quy chứng minh  a  b  c  1 c  ab    a  b  b  c  c  a    c  1 c  ab    b  c  c  a   c  abc  bc  ca  c  a  1 b  1  Theo ngun lí Dirrichlet ba số a, b, c ln tìm hai số phía với so với Vì vai trị a, b, c nên khơng tính tổng qu{t ta giả sử hai số l| a v| b Khi bất đẳng thức cuối Vậy b|i to{n chứng minh xong Bài 48 Cho x, y, z l| c{c số thực dương thỏa mãn x  y  z  Chứng minh rằng: x3  2x2  x x  y  z  y  2y  y y z  x  z3  2z2  z z x  y  3 Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Kiên Giang năm học 2015 – 2016 Lời giải Áp dụng giả thiết x  y  z  ta x3  2x2  x x  y  z  x 1  x  x 1  x   x 1  x   x  x x Áp dụng tương tự ta x3  2x2  x x  y  z Ta cần chứng minh  y  2y  y y z  x  z  2z  z z x  y   x  y  z  x x x y x z   x  y  z  x x x y x z   3 Từ x  y  z   x  y  z  Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có     Do ta x x  y y  z z  Tác giả: Nguyễn Công Lợi  x  y  z x x  y y  z z  x  y  z x x y y z z  Từ ta có TÀI LIỆU TỐN HỌC 48 Website:tailieumontoan.com   x  y  z  x x x y x z    3 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy v| x  y  z  Bài 49 Cho x, y, z l| ba số thực thuộc đoạn 1;  x  y; x  z Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức: P y 1 y z      10y  x  y  z z  x  Trích đề thi chọn HSG mơn Tốn 12 Tỉnh Quảng Ngãi năm học 2016 – 2017 Lời giải Trước hết ta chứng minh b|i to{n phụ: Với a, b dương thỏa mãn ab  ta có bất đẳng thức 1    a  b  ab Thật vậy, a, b l| c{c số thực dương nên biến đổi tương đương bất đẳng thức ta   1     ab  a  b     a  1 b  1  a  b  ab  a  b  ab  a  b    ab  2ab  2a  2b     ab  a  b   2ab  a  b  ab       ab a  b  ab  a  b  ab    a b   ab   Dễ thấy với ab  bất đẳng thức cuối ln Vậy b|i to{n phụ chứng minh Dấu xảy v| a  b ab  Trở lại toán Áp dụng bất đẳng thức b|i to{n phụ ta y z   yz zx z 1 y  x 1 z  x 1 y    1 1  1     Từ ta suy P  x 2 z x x x 10  1   10  1  y y z y y   Đặt t  x Do x, y, z thuộc đoạn 1;  x  y; x  z nên ta có t  1; 3 y Ta chứng minh 1   đoạn 1;  10  t  t Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 49 Website:tailieumontoan.com Thật vậy, biến đổi tương đương bất đẳng thức ta    1    t   10  t   t  1 10  t 2 10  t  t   2t  22  2t  t  t  10t  10  t  t  8t  12    t    t    Dễ thấy với t  1; 3 bất đẳng thức cuối Do ta có 1 1   nên suy P  2 10  t  t v| x  4y  2z Vậy gi{ trị nhỏ P l|   Bài 50 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn y  z  x y  z2 Tìm giá trị nhỏ P biểu thức: 1    x  1  y  1  z  1 2   x  1 y  1 z  1 Trích đề thi chọn HSG mơn Tốn 12 Tỉnh Bắc Giang năm học 2016 – 2017 Lời giải   Theo giả thiết ta có y  z  x y  z  2 x  y  z  nên ta y  z  x Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 1   y  1  z  1 2    y  1 z  1  y  z      x  1 y  1 z  1  x  1 y  z  2 Do suy P   2x  4x 1  x  1  x  1  x  Xét biểu thức M  2 2x  6x  x  1  x  Hay ta cần chứng minh   2   x  2   1  x   x2     2x  6x  x  1  x  2 2x  6x  x  1  x     x  1 x2  x  1 3 với x  Ta chứng minh M   2x 91 108 91 với x  108 Thật vậy, biến đổi bất đẳng thức ta thu 2x  6x  x  1  x     91  108 2x  6x  x   91  x  1 108  216x  648x  108x  108  91x  273x  273x  91  125x  375x  165x  17    5x  1  5x  17   Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 50 Website:tailieumontoan.com Dễ thấy bất đẳng thức cuối với x  Do ta có 2x  6x  x  1  x  Vậy gi{ trị nhỏ P l|  91 91 91 Từ suy M  nên P  108 108 108 91 đạt x  ; y  z  108 x y  xy  y z  yz  z x  zx  6xyz   x y  xy  y z  yz  z x  zx  2xyz    x y  xy  y z  yz  z x  zx  3xyz   x  y  y  z  z  x    x  y  z  xy  yz  zx   Vậy b|i to{n chứng minh xong Dấu xẩy v| a  b  c  Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC ... tập phân tích lời giải toán bất đẳng thức c{c đề thi HSG lớp Chuyên toán nước Chúng kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề nhằm đ{p ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng toán bất đẳng thức. .. dung bất đẳng thức v| gi{ trị lớn – gi{ trị nhỏ xuất c{ch đặn c{c đề thi với c{c b|i to{n ng|y c|ng hay v| khó Trong chủ đề n|y, tuyển chọn v| giới thi? ??u số b|i to{n bất đẳng thức v| gi{ trị lớn... CHỌN CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đ{p ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh c{c chuyên đề tốn THCS, website tailieumontoan.com giới thi? ??u