Bài viết đưa ra một điều kiện về bậc nhỏ nhất của đồ thị liên thông không đầy đủ G để G có cf c(G) = 2. Kết quả đạt được là một mở rộng của một kết quả trong bài báo của Chang và các cộng sự. Để hiểu rõ hơn mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết của bài viết này.
HNUE JOURNAL OF SCIENCE Natural Sciences, 2021, Volume 66, Issue 1, pp 25-29 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DOI: 10.18173/2354-1059.2021-0003 MỘT ĐIỀU KIỆN MỚI ĐỂ MỘT ĐỒ THỊ CĨ SỐ LIÊN THƠNG KHƠNG XUNG ĐỘT LÀ Phạm Ngọc Diệp Trường Trung học phổ thông Chuyên Nguyễn Huệ Tóm tắt Trong đồ thị có cạnh tơ màu, đường gọi không xung đột có màu sử dụng cạnh đường lần Một đồ thị có cạnh tô màu gọi đồ thị liên thơng khơng xung đột hai đỉnh đồ thị nối với đường liên thông không xung đột Đặt cf c(G) số màu nhỏ cho ta dùng màu để tơ cạnh đồ thị G cho G đồ thị liên thông không xung đột Trong báo này, đưa điều kiện bậc nhỏ đồ thị liên thơng khơng đầy đủ G để G có cf c(G) = Kết đạt mở rộng kết báo [1] Chang cộng Từ khóa: tơ màu cạnh, số liên thông không xung đột, bậc đỉnh Mở đầu Trong báo này, để đơn giản hóa kí hiệu, kí hiệu [k] cho tập {1, 2, , k} với k số nguyên dương Chúng ta sử dụng thuật ngữ tài liệu [2] cho thuật ngữ không định nghĩa báo Xét đồ thị G đơn, liên thông, hữu hạn hướng Ta kí hiệu tập đỉnh, tập cạnh, số đỉnh (cấp G) số cạnh V (G), E(G), n m Với đỉnh v ∈ V (G), ta kí hiệu N (v) lân cận v G kí hiệu dG (v) = |N (v)| bậc v G Ta kí hiệu bậc nhỏ G δ(G) = minv∈V (G) {dG (v)} Một cạnh đồ thị gọi cạnh cắt bỏ cạnh khỏi đồ thị (vẫn giữ nguyên hai đầu mút) đồ thị có số thành phần liên thông lớn số thành phần liên thông đồ thị ban đầu Đồ thị đầy đủ cấp t kí hiệu Kt Nếu u, v ∈ V (G) hai đỉnh phân biệt kề G, ta thường viết uv cạnh chứa hai đỉnh u, v Ta định nghĩa C(G) đồ thị G cảm sinh tập cạnh cắt G Một đường P (path) đồ thị tô màu G gọi đường cầu vồng cạnh P tô màu khác Một đồ thị tô màu G gọi liên thơng cầu vồng hai đỉnh phân biệt đồ thị nối đường cầu vồng G Đối với đồ thị liên thơng G, số liên thơng cầu vồng G, kí hiệu rc(G), định nghĩa số màu nhỏ để G trở thành đồ thị liên thông cầu vồng Khái niệm số liên thông cầu vồng lần giới thiệu Chartrand cộng [3] vào năm 2008 Việc nghiên cứu số rc(G) Ngày nhận bài: 11/3/2021 Ngày sửa bài: 23/3/2021 Ngày nhận đăng: 30/3/2021 Tác giả liên hệ: Phạm Ngọc Diệp Địa e-mail: ngocdiep23394@gmail.com 25 Phạm Ngọc Diệp vấn đề cốt lõi tốn tơ màu lí thuyết đồ thị Bạn đọc tìm hiểu thêm chủ đề tài liệu [4, 5] Gần đây, Czap cộng [6] giới thiệu khái niệm liên thông không xung đột Khái niệm có nhiều mối quan hệ mật thiết với khái niệm liên thông cầu vồng Một đường đồ thị tô màu G gọi không xung đột (conflict-free) có màu dùng lần cạnh Một đồ thị tơ màu G gọi đồ thị liên thông không xung đột hai đỉnh nối với đường khơng xung đột Số liên thông không xung đột đồ thị liên thông G, kí hiệu cf c(G), số màu nhỏ để tô cạnh G cho G đồ thị liên thông không xung đột Ta dễ ràng nhận thấy cf c(G) ≤ rc(G) Việc nghiên cứu số cf c(G) nhiều nhà toán học tiếng quan tâm nghiên cứu Để biết thêm kết đạt được, bạn đọc xem tài liệu [1, 6-8] Chúng ta giới thiệu kết liên thơng xung đột Định lí 1.1 [1] Cho G đồ thị liên thơng khơng đầy đủ có cấp n ≥ 25 Nếu C(G) rừng tuyến tính δ(G) ≥ n−4 cf c(G) = Ở báo mở rộng kết định lí Để làm điều này, mục mở rộng kết số cạnh cắt đồ thị Áp dụng kết làm mục kết trước [1], chúng tơi đưa kết mục Số cạnh cắt đồ thị Đầu tiên, định nghĩa hai lớp đồ thị liên thơng đóng vai trò quan trọng kết báo Định nghĩa 2.1 Xét n = kt, với t ≥ k ≥ hai số nguyên Ta kí hiệu H đồ thị liên thơng với cấp n δ(H) = t − = n−k k chứa tập gồm k − cạnh cắt (được gọi B) xác k thành phần với cấp t (được gọi Fi ⊆ H \ B, ∀i ∈ [k]) Hơn nữa, với i ∈ [k], tồn đỉnh vi ∈ V (Fi ), cho N (vi ) ⊆ V (Fi ) dG (vi ) = t − Đặt H tập tất đồ thị liên thơng H (để xem ví dụ H, xem Hình 1) Hình Hai đồ thị H1 (k = t = 3), H2 (k = 3, t = 4) chứa H Định nghĩa 2.2 Cho k ≥ số ngun Ta kí hiệu B0 đồ thị đầy đủ cấp k − 1, Bi đồ thị đầy đủ cấp k với i ∈ [k − 2] Bk−1 liên thông cấp k + có k đỉnh với bậc lớn k − đỉnh (gọi uk−1 ) có bậc lớn k − Đặt V (B0 ) = {v1 , , vk−1 } tập đỉnh B0 Ta xây dựng đồ thị liên thông F cách thêm cạnh nối vi ∈ V (B0 ) uj ∈ V (Bj ), ∀j ∈ [k − 1] Cụ thể hơn, F chứa k − cạnh cắt, n = |V (F )| = k2 δ(F ) = k − = n−k k Kí hiệu F tập đồ thị liên thơng F (xem Hình cho ta ví dụ F ) Trong [1], tác giả xác định số cạnh cắt nhỏ phụ thuộc vào bậc nhỏ đồ thị liên thông kết sau 26 Một điều kiện để đồ thị có số liên thơng khơng xung đột Hình Một đồ thị liên thơng F thuộc vào F Định lí 2.1 [1] Cho G đồ thị liên thông cấp n ≥ k2 , k ≥ Nếu δ(G) ≥ nhiều k − cạnh cắt n−k+1 , k G có Hơn nữa, tác giả ví dụ để thầy ta thay điều kiện bậc nhỏ δ(G) = n−k k đồ thị chứa k − cạnh cắt Do điều kiện định lí tối ưu Các điều kiện để đồ thị có số cạnh cắt đồ thị bị chặn nghiên cứu tài liệu [1] Một câu hỏi tự nhiên đặt liệu xác định tất đồ thị liên thông G cho δ(G) = n−k k G chứa k − cạnh cắt Mục đích mục đưa câu trả lời cho câu hỏi Cụ thể, chứng minh kết sau Định lí 2.2 Cho G đồ thị liên thông cấp n ≥ k2 , với k ≥ Nếu δ(G) ≥ k − cạnh cắt trừ G ∈ H ∪ F n−k k G có nhiều Chứng minh Chúng ta chứng minh định lí phản chứng Giả sử G có k − cạnh cắt Đặt B tập gồm k − cạnh cắt G Do đó, G \ B có xác k thành phần, gọi G1 , G2 , , Gk Bây xét hai trường hợp sau: Trường hợp Với j ∈ [k], tồn đỉnh vj ∈ V (Gj ) cho N (vj ) ⊆ V (Gj ) Do n n−k + = , ∀j ∈ [k] |V (Gj )| ≥ dG (vj ) + = k k k |V (Gj )| ≥ k ⇒ n = |V (G)| = j=1 n = n k Đẳng thức xảy |V (Gj )| = nk = t dG (vj ) = |V (Gj )| − = t − 1, ∀vj ∈ V (Gj ) Hơn ta có δ(G) ≥ n−k = t − ⇒ δ(G) = t − k Khi G đẳng cấu với đồ thị H H Trường hợp Tồn i ∈ [k] cho N (v) V (Gi ) với đỉnh v ∈ V (Gi ) 27 Phạm Ngọc Diệp Bây ta xét số i kí hiệu a = |V (Gi )| Khi ta có a ≤ k − Do N (v) V (Gi ) với đỉnh v ∈ V (Gi ) nên đỉnh v ∈ V (Gi ) đỉnh cạnh cắt B Đặt mi tổng bậc tất đỉnh |V (Gi )| đồ thị cảm sinh từ G G[V (Gi ) ∪ B], ta có n−k a ≤ mi ≤ a(a − 1) + k − k ⇒ a(a − n ) + k − ≥ k Kết hợp với ≤ a ≤ k − 1, ta suy (k − 1)(k − − n ) + k − ≥ k Sau số bước biến đổi ta thu n ≤ k2 Kết hợp với giả thiết, ta có dấu đẳng thức xảy sau: n = k a=k−1 dG (v) = n−k k = k − 1, ∀v ∈ V (Gi ) Khi đỉnh v ∈ V (Gi ) đỉnh xác cạnh cắt B Hơn nữa, Gi không chứa cạnh cắt G Ta dễ dàng thu Gi = Kk−1 Ta có: |V (Gj )| = n − |V (Gi )| = k2 − k + j=i Mặt khác, cho ∀j ∈ [k] \ {i}, có xác đỉnh vj ∈ V (Gj ) đỉnh xác cạnh cắt thuộc B Do δ(G) ≥ n−k k = k − nên ta có |V (Gj )| ≥ k, ∀j ∈ [k] \ {i} Suy ra, với j ∈ [k] \ {i}, ln tồn đỉnh vj ∈ V (Gj ) cho N (vj ) ⊆ V (Gj ) Dễ dàng thấy k − thành phần Gj đồ thị đầy đủ cấp k, với j ∈ [k − 1] \ {i} thành phần cịn lại có cấp k + chứa k đỉnh bậc nhỏ lớn k − mà chúng đỉnh cạnh cắt G, đỉnh bậc k − đỉnh xác cạnh cắt G Do đó, G đẳng cấu với đồ thị F Vậy định lí chứng minh Đồ thị có số liên thơng khơng xung đột Trước xem xét kết quả, ta phát biểu số kết đồ thị liên thông không xung đột Ta gọi lại C(G) đồ thị G cảm sinh từ G tập cạnh cắt G Chú ý C(G) rỗng Trong [6], Czap cộng chứng minh bổ đề cho biết điều kiện cần cho đồ thị G chứa cạnh cắt có cf c(G) = Bổ đề 3.1 [6] Nếu cf c(G) = với đồ thị G có cạnh cắt, C(G) rừng tuyến tính (tức thành phần liên thơng đường) mà thành phần có nhiều cạnh Hơn nữa, [6], Czap cộng đưa điều kiện đủ C(G) để G có cf c(G) = 28 Một điều kiện để đồ thị có số liên thơng khơng xung đột Định lí 3.1 [6] Nếu G đồ thị liên thơng C(G) rừng tuyến tính mà thành phần có cấp 2, cf c(G) = Mặt khác, C(G) rừng tuyến tính chứa k (k ≥ 0) thành phần Q1 , Q2 , , Qk với ni = |V (Qi )| thỏa mãn ≤ n1 ≤ n2 ≤ ≤ nk , Chang cộng [1] mở rộng chứng minh Định lí 3.1 kết sau Định lí 3.2 [1] Nếu G đồ thị liên thông không đầy đủ có C(G) rừng tuyến tính với = n1 = n2 = = nk−1 ≤ nk ≤ C(G) khơng chứa cạnh, cf c(G) = Trong báo này, ta mở rộng Định lí 1.1 kết sau Định lí 3.3 Cho G đồ thị liên thơng khơng đầy đủ có cấp n ≥ 25 Nếu C(G) cảm sinh rừng tuyến tính, δ(G) ≥ n−5 G không thuộc lớp đồ thị H ∪ F, cf c(G) = Chứng minh Kết hợp Định lí 2.2 G ∈ / H ∪ F với δ(G) ≥ n−5 , C(G) chứa nhiều cạnh Hơn C(G) rừng tuyến tính nên áp dụng Định lí 3.2, ta suy cf c(G) = TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] H Chang, T D Doan, Z Huang, S Jendrol’, X Li, I Schiermeyer, 2018 Graphs with Conflict-Free Connection Number Two Graphs and Combinatorics, 34, 1553-1563 D B West, 2001 Introduction to Graph Theory, Prentice Hall G Chartrand, G L Johns, K A McKeon, P Zhang, 2008 Rainbow connection in graphs Math Bohemica, 133, 85-98 X Li, Y Shi, Y Sun, 2013 Rainbow connections of graphs: A survey Graphs & Combin., 29, 1-38 X Li, Y Sun, 2012 Rainbow Connections of Graphs, Springer Briefs in Math., Springer, New York J Czap, S Jendrol’, J Valiska, 2018 Conflict-free connections of graphs Discuss Math Graph Theory, 38, 1007-1021 H Chang, Z Huang, X Li, Y Mao, H, Zhao, Nordhaus-Gaddum-type theorem for conflict-free connection number of graphs, arXiv:1705.08316v1[math.CO] P Cheilaris, B Keszegh D P alvă oigyi, 2013 Unique-maximum and conflict-free coloring for hypergraphs and tree graphs, SIAM J Discrete Math, 27, 1775-1787 ABSTRACT A new condition for a graph having conflict free connection number Pham Ngoc Diep Nguyen Hue High School for the Gifted A path in an edge-coloured graph is called conflict-free if there is a colour used on exactly one of its edges An edge-coloured graph is said to be conflict-free connected if any two distinct vertices of the graph are connected by a conflict-free path The conflict-free connection number, denoted by cf c(G), is the smallest number of colours needed in order to make G conflict-free connected In this paper, we give a new condition to show that a connected non-complete graph G having cf c(G) = This is an extension of a result by Chang et al [1] Keywords: edge-colouring, conflict-free connection number, degree of vertices 29 ... cộng đưa điều kiện đủ C(G) để G có cf c(G) = 28 Một điều kiện để đồ thị có số liên thơng khơng xung đột Định lí 3.1 [6] Nếu G đồ thị liên thông C(G) rừng tuyến tính mà thành phần có cấp 2, cf c(G)... kiện để đồ thị có số liên thơng khơng xung đột Hình Một đồ thị liên thơng F thuộc vào F Định lí 2. 1 [1] Cho G đồ thị liên thông cấp n ≥ k2 , k ≥ Nếu δ(G) ≥ nhiều k − cạnh cắt n−k+1 , k G có Hơn... thị F Vậy định lí chứng minh Đồ thị có số liên thông không xung đột Trước xem xét kết quả, ta phát biểu số kết đồ thị liên thông không xung đột Ta gọi lại C(G) đồ thị G cảm sinh từ G tập cạnh