Giáo án dạy thêm toán 9 năm học 2020 - 2021

Giáo án dạy thêm Toán Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− LUYỆN TẬP CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A./ KIẾN THỨC CƠ BẢN: Căn bậc hai - Định nghĩa: Căn bậc hai số thực a số x cho x2 = a - Chú ý: + Mỗi số thực a > 0, có bậc hai số đối số dương + Số có bậc hai nó: A2 = A a , số âm − a =0 + Số thực a < khơng có bậc hai (tức a khơng có nghĩa a < 0) Căn bậc hai số học - Định nghĩa: Với a ≥ số x = a gọi bậc hai số học a Số gọi bậc hai số học - Chú ý: Việc tìm bậc hai số học số không âm gọi phép khai phương - Định lý: Với a, b > 0, ta có: + Nếu a < b ⇒ a < b + Nếu a < b ⇒ a < b Căn thức bậc hai - Cho A biểu thức biểu thức A gọi thức bậc hai A ; A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu - A có nghĩa (hay xác định hay tồn tại) ⇔ A ≥ Hằng đẳng thức A2 = A - Định lý : Với số thực a, ta có : a2 = a - Tổng quát : Với A biểu thức, ta có :  A nêu A ≥ A2 = A =  -A nêu A 0) nên CBH − 2 −1 − + Dạng : So sánh bậc hai số học * Phương pháp : - Xác định bình phương hai số - So sánh bình phương hai số - So sánh giá trị CBHSH bình phương hai số Bài : So sánh a) b) 47 c) 33 10 d) − e) 5- g) + 11 +5 G a) Vì > nên > 3⇒ > 49 > 47 ⇒ > 47 b) Vì 49 > 47 nên c) Vì 33 > 25 nên 33 > 25 ⇒ 33 > ⇒ 33 > 10 d) Vì > nên > ⇒ > ⇒ −1 > −1 ⇒ > −1 e) * Cách 1: Ta có: <  ⇒ + < 5⇒ < 5− 8 <  * Cách 2: Giả sử < − ⇔ + < ⇔ ( 3+ ) < 52 ⇔ + 24 + < 25 ⇔ 24 < 14 ⇔ 24 < ⇔ 24 < 49 Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức g) Ta có: <   ⇒ + 11 < + 11 <  Dạng 3: Tìm điều kiện để thức xác định: Bài 3: Tìm điều kiện x để biểu thức sau xác định a) x− b) x + c) A xác định ⇔ A ≥ 1+ x 2x − d ) 3x − + G Để thức có nghĩa a) 2 x− ≥0⇔ x≥ ⇔ x≥ 5 10 b) Ta có: x + > 0, ∀x ⇒ x + xác định với x c) 1 + x ≥ 1 + x ≤ 1+ x ≥0⇔  2x − 2 x − > 2 x − < Page 2 x−4 Giáo án dạy thêm Toán Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−  x ≥ −1 1 + x ≥  ⇔ + Với  ⇔x> 2 x − >  x >  x ≤ −1 1 + x ≤  ⇔ + Với  ⇔ x ≤ −1 2 x − <  x < Vậy thức xác định x > x ≤ −1 3 x − ≥  3 x − ≥  x ≥ ⇔ ⇔ 3⇔ x>4 d)  x − >  x − ≥  x > Dạng : Rút gọn biểu thức Bài 4: Rút gọn biểu thức sau: a) A = + + − c) C = x − x ( x < 0) b) B = + + − d) D = x − + 16 − x + x ( x > 4) LG ( a) Cách : A = ) ( +1 + ) −1 = +1 + −1 = A2 = + + − + (4 − 3).(4 + 3) = + 16 − 12 = + 2.2 = 12 Cách : ⇒ A=2 b) B = ( ) c) C = ( 3x ) +1 + ( ) −1 = +1+ −1 = − x = x − x = −3x − x = −5 x (vi x < 0) d) D = x − + 16 − x + x = x − + (4 − x) = x − + − x = x − + x − = 2( x − 4) (vi x > 4) Dạng : Tìm Min, Max Bài : Tìm Min a) y = x − x + b) y = x2 x − +1 G a) Ta có : x − x + = ( x − 1) + ≥ ⇒ x − x + ≥ = Vậy Miny = dấu ‘‘ = ’’ xảy x – = => x = b) Ta có : x2 x  x  35 35 − +1 =  − ÷ + ≥ ⇒ y=   36 36 Miny = x2 x 35 35 − +1 ≥ = 36 x x 1 35 Dấu « = » xảy − = ⇔ = ⇔ x = 6 Page Giáo án dạy thêm Toán Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− LUYỆN TẬP HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG A./ KIẾN THỨC CƠ BẢN Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH cho ta có : AH = h, BC = a, AB = c, AC = b, BH = c ' , CH = b ' : 1) b = a.b' ; c = a.c ' A 2) h = b' c ' 3) b.c = a.h 1 4) = + h b c 5) a = b + c ( Pitago) b c B h c' b' C H a B./ BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài : Tìm x, y hình vẽ sau a) + Ta có : BC = AB + AC ( Pitago) A ⇒ BC = 42 + 62 = 52 ≈ 7, 21 + Áp dụng định lý : AB = BC.BH ⇒ 42 = 52.x ⇒ x ≈ 2, 22 x B y AC = BC.CH ⇒ 62 = 52 y ⇒ y ≈ 4,99 C H Hay y = BC – x = 7,21 – 2,22 = 4,99 - Xét tam giác ABC vuông A áp dụng định lý ta có : b) A AC = BC.CH ⇒ 122 = 18 y ⇒ y = ⇒ x = BC − y = 18 − = 10 12 x B y C H 18 c) * Cách : AH2 = BH.CH = 4.9 = 36 => AH = Theo Pitago cho tam giác vng AHB; AHC ta có: A y x x = BH + AH = 42 + 62 = 52 B H C y = CH + AH = 62 + 92 = 117 * Cách 2: Áp dụng định lý ta có: Page Giáo án dạy thêm Tốn Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− AB = BC.BH = ( BH + CH ).BH = (4 + 9).4 = 52 ⇒ AB = 52 ⇒ x = 52 AC = BC.CH = ( BH + CH ).CH = (4 + 9).9 = 117 ⇒ AC = 117 ⇒ y = 117 d) Áp dụng định lý 2, ta có: AH = BH CH ⇒ x = 3.7 = 21 ⇔ x = 21 A Áp dụng định lý ta có : AC = BC.CH = ( BH + CH ).CH y x ⇒ y = (3 + 7).7 = 70 ⇔ y = 70 B C H e) ( y = x + CH = 21 + 49 = 70) Theo Pitago, ta có : BC = AB + AC ⇒ y = 132 + 17 = 458 A Áp dụng định lý 3, ta có : 13 AB AC = BC AH 17 x ⇒ 13.17 = 458.x ⇔ x = B 221 ≈ 10,33 458 C H y g) Áp dụng định lý 2, ta có : A AH = BH CH ⇒ 52 = 4.x ⇔ x = Theo Pitago cho tam giác AHC vng H, ta có : y B y = AH + CH = 52 + 6, 252 ≈ x 52 = 6, 25 C H ( DL1: y = BC.x = (4 + 6, 25).6, 25 ⇔ y ≈ 8) Bài : Cho ∆ABC vng A, có cạnh góc vng AB = 15cm, AC = 20cm Từ C kẻ đường vng góc với cạnh huyền, đường cắt đường thẳng AB D Tính AD CD D µ = 900 , CA ⊥ BD Theo định lý ∆BCD, C có : CA2 = AB AD ⇒ 202 = 15 AD ⇔ AD = x 3, ta 80 Theo Pitago tgiác ACD vuông A, ta y A 15 B 80 100 có : CD = AD + CA2 =  ÷ + 202 =   20 C Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm Từ D kẻ đường thẳng vng góc với đường chéo AC, đường thẳng cắt AC E AB F Tính độ dài EA, EC, ED, FB, FD Page Giáo án dạy thêm Toán Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− LG Xét tam giác ADC vng D, ta có: AC = AD + CD = 322 + 602 = 68 Theo định lý 1: AD = AC AE ⇔ AE = F A 60 B AD 322 256 = = AC 68 17 Theo định lý 1, ta có: CD = AC.CE ⇒ CE = E 32 CD 602 900 = = AC 68 17 Theo định lý 2, ta có: 480 17 AD 544 = = Xét tam giác DAF, theo định lý 1: AD = DF DE ⇒ DF = DE 15 256 256 644 ⇒ FB = AB − AF = 60 − = Theo Pitago: AF = DF − AD = = 15 15 15 C D DE = AE.EC = = Bài 4: Cho hình vng ABCD Gọi E điểm nằm A, B Tia DE tia CB cắt F Kẻ đường thẳng qua D vng góc với DE, cắt đường thẳng BC G Chứng minh rằng: a) Tam giác DEG cân b) Tổng 1 + không đổi E chuyển động AB DE DF ¶ =D ¶ (cùng phụ với D ¶ ) F a) Ta có: D xét ∆ADE ∆CDG ta có : A D E B   ∠D1 = ∠D3 ( cmt )  ⇒ ∆ADE = ∆CDG ( g c.g )  ∠A = ∠C = 900  ⇒ DE = DG ⇒ ∆DEG cân D AD = DC ( gt ) 1 = DE DG 1 1 + = + ta có : 2 DE DF DG DF C b) DE = DG ⇒ G xét tam giác DGF vng D, ta có : 1 = + (định lý 4) 2 CD DG DF Vì khơng đổi E chuyển động AB, suy CD tổng 1 1 + = + không đổi E 2 DE DF DG DF thay đổi AB LUYỆN TẬP CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CĂN THỨC BẬC HAI Page Giáo án dạy thêm Toán Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− A./ KIẾN THỨC CƠ BẢN : Khai phương tích Nhân bậc hai a) Định lý : a; b ≥ 0, ta có: a.b = a b b) Quy tắc khai phương tích : Muốn khai phương tích số khơng âm, ta khai phương thừa số nhân kết với ( a; b ≥ 0, ta có: a.b = a b ) c) Quy tắc nhân bậc hai : Muốn nhân CBH số khơng âm, ta nhân số dấu với khai phương kết ( a; b ≥ 0: a b = a.b ) d) Chú ý : - Với A > ta có : ( A) = A2 = A - Nếu A, B biểu thức : A; B ≥ ta có: A.B = A B - Mở rộng : A.B.C = A B C ( A, B, C ≥ 0) Khai phương thương Chia bậc hai a) Định lý : a ≥ 0, b > ta có: a a = b b a , số a b b) Quy tắc khai phương thương : Muốn khai phương thương không âm số b dương, ta khai phương số a số b, lấy kết thứ a a = ) b b chia cho kết thứ hai ( a ≥ 0, b > ta có: c) Quy tắc chia hai CBH : Muốn chia CBH số a không âm cho số b dương, ta có a a = ) b b thể chia số a cho số b khai phương kết ( a ≥ 0, b > : d) Chú ý : Nếu A, B biểu thức : A ≥ 0, B > : A A = B B Đưa thừa số ngoài, vào dấu  A B ( A ≥ 0; B ≥ 0) A2 B = A B =   − A B ( A < 0; B ≥ 0) − A ≥ 0; B ≥ : A B = A2 B − A < 0; B ≥ : A B = − A2 B Khử mẫu biểu thức lấy : A.B ≥ 0; B ≠ : A = B A.B B Trục thức mẫu a) B > : A A B = B B c) A, B ≥ 0; A ≠ B : C C = A± B b) A ≥ 0; A ≠ B : ( Am B ) ( C A mB C = A − B2 A±B A− B B./ BÀI TẬP ÁP DỤNG : Dạng : Tính Page ) Giáo án dạy thêm Toán Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Bài : Thực phép tính 2 24 49 81 63 7 9   a ) 0, 01 = =  ÷  ÷  ÷ = = 25 16 25 16 100 10 200      10  b) 2, 25.1, 46 − 2, 25.0, 02 = 2, 25(1, 46 − 0, 02) = 2, 25.1, 44 = (1,5.1, 2) = 1,5.1, = 1,8 25 169 (5.13) 5.13 13 = = = 10 10 102 10 c ) 2,5.16,9 = d ) 117,52 − 26,52 − 1440 = (117,5 + 26,5).(117,5 − 26,5) − 1440 = 144.91 − 144.10 = 144(91 − 10) = 144.81 = (12.9) = 108 Dạng : Rút gọn biểu thức Bài : Tính giá trị biểu thức a ) A = 0,1 + 0,9 + 6, + 0, + 44,1 = = 64 441 + + + + 10 10 10 10 10 2 35 35 10 10 + + + + = = = 10 10 10 10 10 10 10 b) B = c) C = = ( ) ( ) 3+ 3+ + 14 = = = 2 + 28 3+2 2( + 7) ( )( ) ( )( )( 3+ 4+ + 3− 4− 3+ 3− + = 4− 4+ 4+ 4− ( ) ) 12 + 3 + + 15 + 12 − 3 − + 15 24 + 15 = 16 − 13 Bài : Rút gọn biểu thức a) ( x − ) b) x2 ( x − 2) c) 108 x 12 x d) ( x ≥ 5) = x − = ( x − 5) ( x < 0) = x x − = −x ( − x ) = x ( x − 2) 108 x = x = x = 3x ( x > 0) = 12 x 13 x y 208 x y ( x < 0; y ≠ ) = 13 x y 1 −1 = = = = 6 208 x y 16 x x −4 x x Dạng : Chứng minh Bài : Chứng minh biểu thức sau a) + 35 − 35 = VT = (6 + 35).(6 − 35) = 36 − 35 = = VP b) − 17 + 17 = VT = (9 − 17 ).(9 + 17 ) = 81 −17 = 64 = = VP Page Giáo án dạy thêm Toán c) ( ) Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 2 −1 = − d) ( ) ( ) 4− ) = 49 − 48 VT = − 12 + = − 22.3 = −   ⇒ VT = VP VP = − = −  VT = − 2 + = − 2   ⇒ VT = VP VP = − 2 = − 2  e) 2 − 3 + − 2 ( +6 =9 VT = − 6 + − + + 6 = = VP g ) − 15 − + 15 = −2 ( − VT = ) ( + + 3) = ( − ) − ( ) = − − − = −2 = VP + − ( = 5− 3− 5+ 5+ ) Dạng 4: Đưa nhân tử ngoài, vào dấu Bài 5: Đưa nhân tử dấu a ) 125 x ( x > ) ( 4y ) 2 = b) 80 y ( c) − ) ( d ) 27 − e) g) ( − 10 ( ) 1− ( 5x ) = x = x x = y = 1− = ) ) 2 = = ( ) −1 = − 3.32 = − 10 = 1− ( = 10 − = ( ) 2( ( 10 + )( 10 − ) 5 = = 75  b) = 42.3 = 48   48 > 45 ⇒ 48 > 45 ⇒ > 5 = 32.5 = 45  c) 72 Ta có: = 2.2 = 98 98 > 72 ⇒ 98 > 72 ⇒ > 72 d) Bài 7: Đưa nhân tử vào dấu rút gọn Page ( 10 + ) Giáo án dạy thêm Toán Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 2a ( a − ) a) ( − a ) 2a ( a > 2) a−2 b) ( x − ) x ( < x < 5) = − 25 − x c) ( a − b ) 3a ( a − b ) 3a < a < b) = − =− 2 ( b −a b2 − a =− a−2 = − 2a ( a − ) x ( − x) ( − x ) ( + x ) =− ( − a < 0) x ( − x) 3a ( b − a ) ( x − < 0) ( + x) ( b − a ) ( b + a ) =− 3a ( b − a ) ( b + a) Dạng 5: Thực phép tính rút gọn biểu thức Bài 8: Thực phép tính a ) 125 − 45 + 20 − 80 = = 5 − 12 + − = −5 b) 27 48 75 − − = = 3− 3− = = 16 c) 49 25 1 −7 −7 − + = = − + = = = 18 2 2 − 27 + d ) 20 − 12 + 15 52 − = 5.2 − 3.2 + 15 = 10 − + − 12 + ( e) + + 28 − 10 = − 4.3 + ( + 4) ( − 4) = 13 − 18 + = 13 − 17 2+ ) + ( 5− ) = 2+ +5− = Bài 9: Rút gọn biểu thức với giả thiết biểu thức chữ có nghĩa a) x x+y y = b) c) x+ y ( ( x > 0; y > ) − xy )( x + y x − xy + y x+ y a + ab b + ab (x ( a; b ≥ ) )( y +y x = x− y )− xy = x − xy + y − xy = x − xy + y = ( b( a )= a) a+ b b+ ) xy ( )( x+ y x− y xy = ( x − 2) + ( x − 2) = ( ) + ) a b )= ( )( x+ y ( +2+ ) x − y =x−y d ) A = x + 2 ( x − 2) + x − 2 ( x − 2) = x + x−2 + x− y ( x > 0; y > ) xy = ( ( x − 2) ( x − 2) − ( x − 2) x−2 − ) = x−2+ 2+ + x−2 ( x − 2) 2 +2 x−2 − - Nếu x−2 ≥ ⇒ x−2≥ 2⇒ x ≥ ⇒ A= x−2 + + x−2 − = x−2 - Nếu x−2 < ⇒ x−2< 2⇒ x < ⇒ A= x−2 + − x−2 + = 2 Page 10 Giáo án dạy thêm Toán Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− · · Do đó: CKA = DIA ⇒ tứ giác CKID nt đường trịn đường kính CD CI ⊥ MD b) xét tam giác MCD, ta có: DK ⊥ MC CI × DK =    ⇒ A trực tâm t.giác MCD ⇒ MA ⊥ CD (1) A mà AB ⊥ CD (2) từ (1) (2) suy điểm M, A, B thẳng hàng đpcm Bài 5: Cho đtrịn (O) đường kính AB, M điểm đtròn; C điểm nằm A B qua M kẻ đthẳng vng góc với CM, đthẳng cắt tiếp tuyến (O) kẻ từ A B E F CMR: a) Các tứ giác: AEMC, BCMF nt b) Tam giác ECF vuông C E M F A 1 C O B ¶ = 900 + 900 = 1800 , mà góc A góc M góc vị trí đối a) xét tứ giác AEMC có: µA + M diện, tứ giác AEMC nt chứng minh tương tự ta có tứ giác BCMF nt µ (cùng chắn cung MC) b) tứ giác ACME nt ⇒ µA1 = E (1) µ =F µ (cùng chắn cung MC) tứ giác BCMF nt ⇒ B 1 (2) µ = 900 ta có: ·AMB = 900 (góc nt chắn nửa đtrịn) µA1 + B (3) µ +F µ = 900 từ (1); (2) (3) ⇒ E 1 µ +F µ = 900 ⇒ ECF · = 900 ⇒ ∆ ECF vuông C xét tam giác ECF, có: E 1 Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn nt đtrịn (O), có đường cao BB’ CC a) CMR: tứ giác BCB’C’ nt b) Tia AO cắt đtròn (O) D cắt B’C’ I CMR: tứ giác BDIC’ nt c) Chứng minh OA vuông góc với B’C’ Page 83 Giáo án dạy thêm Tốn Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− A B' I O C' C D B · 'C = BC · 'C = 900 ⇒ tứ giác BCB’C’ nt a) xét tứ giác BCB’C’ có BB b) ta có: ·ACB = ·ADB (cùng chắn cung AB) (1) · ' B ' + ·ACB = 1800 (2) mặt khác tứ giác BCB’C’ nt ⇒ BC ’ · ' B ' + ·ADB = 1800 hay BC · ' I + IDB · từ (1) (2) ⇒ BC = 1800 , suy tứ giác BDIC nt · ' BD = 900 c) ta có: ·ABD = 900 (góc nt chắn nửa đtrịn) ⇒ C · ' BD + C · ' ID = 1800 ⇒ C · ' ID = 900 ⇒ AO ⊥ B 'C ' tứ giác BDIC’ nt ⇒ C Bài 7: Cho hình vng ABCD Gọi M, N điểm cạnh BC CD cho · MAN = 450 AM AN cắt đường chéo BD P Q Gọi H giao điểm MQ NP CMR: a) Tứ giác ABMQ nt b) Tam giác AQM vuông cân c) AH vng góc với MN A 450 B P M H Q D C N a) ABCD hình vng có BD đường chéo, nên BD phân giác góc ABC µ =B ¶ = 900 = 450 ⇒ B ¶ = QAM · ⇒B = 450 ⇒ tứ giác ABMQ nt 2 b) tứ giác ABMQ nt ⇒ ·ABM + ·AQM = 1800 ⇒ 900 + ·AQM = 1800 ⇒ ·AQM = 900 ⇒ MQ ⊥ AN µA = 450  xét tam giác AQM, có: ·  ⇒ ∆ AQM vng cân Q AQM = 900  c) ta có: DB đường chéo hình vng ABCD nên DB phân giác góc ADC ¶ =D ¶ = 900 = 450 ⇒D 2 Page 84 Giáo án dạy thêm Tốn Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− · ¶ = 450 ⇒ tứ giác ADNP nt =D tứ giác ADNP có ⇒ DAN ·ADN + ·APN = 1800 ⇒ 900 + ·APN = 1800 ⇒ ·APN = 900 ⇒ NP ⊥ AM MQ ⊥ AN   Xét tam giác AMN, ta có: NP ⊥ AM  ⇒ H trực tâm tam giác AMN ⇒ AH ⊥ MN MQ × NP = H  **************************************************************** PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A Kiến thức bản: Phương trình trùng phương - dạng tổng quát: ax + bx + c = ( a ≠ ) - cách giải: dùng phương pháp đặt ẩn phụ, đặt x = t ( t ≥ ) Khi ta có pt: at + bt + c = (đây pt bậc hai ẩn) Phương trình chứa ẩn mẫu: Các bước giải - Tìm đk xác định pt - Quy đồng mẫu thức vế pt, khử mẫu - Giải pt vừa nhận - Kết luận: so sánh nghiệm tìm với đk xác định pt Phương trình tích - dạng tổng quát: A( x ) B( x ) =  A( x ) = - cách giải: A( x ) B( x ) = ⇔   B( x ) = B Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải phương trình a) x − x + = b) x + x − = c) x − 29 x + 100 = d ) x − 13 x + 36 = Bài 2: Giải phương trình a) + = ( x − 1) x − 30 13 + 18 x c) − = x −1 x + x + x −1 Bài 3: Giải phương trình a ) ( x − x + 1) ( x − 3x + ) = c) ( x + ) + ( x − ) + ( x − ) ( x + ) = 12 x − 23 2 b) 2x +1 x + 8x2 + = − 18 x + x − x − x + x − 38 d) + = x + 2x − x −1 b) x ( x − ) − ( x − ) = ( x + 1) d ) ( x + ) − 10 x − 15 x = e) x − x − x + = Page 85 Giáo án dạy thêm Toán Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Bài 4: Tìm m để pt ẩn x sau có nghiệm: x − x + m = (1) Đặt x = t ( t ≥ ) Khi pt (1) trở thành: t − 6t + m = (2) Để pt (1) có nghiệm pt (2) phải có nghiệm phân biệt dương ∆ ' = − m >  ⇔ t1 + t2 = > ⇔ < m < t t = m > 1 Bài 5: Tìm m để pt có nghiệm: x − ( m − 1) x + m − = (1) 2 Đặt x = t ( t ≥ ) Khi pt (1) trở thành: t − ( m − 1) t + m − = (2) Để pt (1) có nghiệm pt (2) phải có nghiệm dương (hay có nghiệm trái dấu)  3 ( − m ) − ( m − 3) > ∆ ' > m − 3m + > m −  ÷ + > ⇔ ∀m ⇔ m < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  2  m < m − < t1.t2 < m <  m − <  Bài 6: Cho pt: mx + ( m + 3) x + m = (1) Với giá trị m pt có nghiệm? 2 Đặt x = t ( t ≥ ) Khi pt (1) trở thành: mt + ( m + 3) t + m = (2) Để pt (1) có nghiệm pt (2) phải có nghiệm dương phân biệt: a = m ≠   ' m ≠ 2 m ≠ ∆ = ( m + 3) − m >   −3 −3   ⇔ ⇔ m + > ⇔ ⇔ 0 t1 + t2 = m +  m   *************************************************************** GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Kiến thức bản: - bước giải toán cách lập pt (hpt): bước B Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm số biết tổng chúng 17 tổng bình phương chúng 157 Gọi số thứ x (x < 17) Số thứ hai là: 17 – x Theo ta có pt: x + ( 17 − x ) = 157 ⇔ ⇔ x − 34 x + 132 = ⇔ x1 = 11; x2 = Vậy số cần tìm là: 11 Page 86 Giáo án dạy thêm Toán Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Bài 2: Hai tổ đánh cá tháng đầu bắt 590 cá, tháng sau tổ vượt mức 10%, tổ vượt mức 15%, cuối tháng hai tổ bắt 660 cá Tính xem tháng đầu tổ bắt cá * Cách 1: lập pt Tháng đầu Tháng sau x x + 10%.x Tổ 590 − x Tổ ( 590 − x ) + 15% ( 590 − x ) …… Ta có pt: x + 10%.x + ( 590 − x ) + 15% ( 590 − x ) = 660 ⇔ x = 370 Vậy tổ 1: 370 cá; tổ 2: 220 cá * Cách 2: lập pt Tháng đầu x Tổ y Tổ ……… Tháng sau x + 10%.x = 1,1x y + 15% y = 1,5 y  x + y = 590  x = 370 ⇔ 1,1x + 1,5 y = 660  y = 220 Ta có hpt:  Bài 3: Lấy số có chữ số chia cho số viết theo thứ tự ngược lại thương dư 15 lấy số trừ số tổng bình phương chữ số Tìm số này? Gọi số cần tìm xy ( x, y ∈ N ;0 < x, y ≤ ) Số viết theo thứ tự ngược lại là: yx Vì lấy xy đem chia cho yx thương dư 15 nên ta có: xy = yx + 15 ⇔ x − 13 y = (1) Lấy xy trừ số tổng bình phương chữ số, nên ta có: xy − = x + y ⇔ 10 x + y − = x + y (2)  x − 13 y = x = ⇔ ⇔  ⇒ xy = 91 y =1 10 x + y − = x + y Từ (1) (2) ta có hpt:  2 Bài 4: hai vịi nước chảy vào bể sau thời gian đầy bể Nếu vịi chảy lâu 2h đầy bể so với vịi, vịi chảy phải lâu 4,5h đầy bể so với vòi Hỏi chảy vịi chảy đầy bể? Cả vòi Vòi Vòi x x + 4,5 x+2 TGHTCV 1 1h chảy x Ta có pt: x+2 x + 4,5 1 + = ⇔ ⇔ x = ⇔ x = ±3 x + x + 4,5 x Nghiệm thỏa mãn x = Page 87 Giáo án dạy thêm Toán Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Bài 5: cơng nhân phải hồn thành 50 sản phẩm thời gian quy định Do cải tiến kỹ thuật nên tăng suất thêm sản phẩm người hoàn thành kế hoaahj sớm thời gian quy định 1h40ph Tính số sản phẩm người phải làm theo dự định Số sản phẩm làm TGHTCV x 50 Dự định x 50 x+5 x+5 Thực tế …… Ta có pt: 50 50 − = ⇔ ⇔ x + x − 150 = x x+5 ⇔ x1 = 10; x2 = −15 Nghiệm thỏa mãn x = 10 Bài 6: thuyền khởi hành từ bến sông A sau 2h40ph ca nô chạy từ A đuổi theo gặp thuyền cách bến A 10km Hỏi vận tốc thuyền, biết vận tốc ca nô vận tốc thuyền 12km/h S V T x + 12 10 Ca nô 10 Thuyền 10 x + 12 10 x x … ta có pt: 10 10 − = ⇔ 30 ( x + 12 ) − 30 x = x ( x + 12 ) ⇔ ⇔ x + 96 x − 360 = x x + 12 ⇔ x1 = 3; x2 = −15 Giá trị thỏa mãn x = Bài 7: khoảng cách bến sông A B 30km ca nô từ A đến B, nghỉ 40ph B, lại trở A thời gian kể từ lúc đến lúc trở A 6h Tính vận tốc ca nơ nước n lặng, biết vận tốc dịng nước 3km/h V S T x Nước yên lặng x+3 30 xuôi 30 Ngược x −3 x+3 30 x−3 30 Ta có phương trình: 30 30 30 30 16 −3 + + =6⇔ + = ⇔ x − 90 x − 72 = ⇔ x1 = 12; x2 = x+3 x−3 x+3 x−3 Bài 8: phịng họp có 360 ghế xếp thành dãy số ghế dãy Nếu số dãy tăng thêm số ghế dãy tăng thêm thì phịng họp có 400 ghế Tính số dãy ghế số ghế dãy lúc ban đầu Page 88 Giáo án dạy thêm Toán Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Số dãy Ban đầu Sau thay đổi Ta có hpt: Số ghế dãy y y +1 x x +1  xy = 360  xy = 360 ⇔ ⇒  ( x + 1) ( y + 1) = 400  x + y = 39 Số ghế phòng xy ( x + 1) ( y + 1) x, y nghiệm pt bậc hai: t − 39t + 360 = ⇔ t1 = 24; t2 = 15 Vậy: - Nếu số dãy ghế 24 số ghế dãy 15 - Nếu số dãy ghế 15 số ghế dãy 24 Bài 9: xuồng máy xi dịng 30km, ngược dịng 28km hết thời gian thời gian mà xuồng máy 59,5km mặt hồ yên lặng Tính vận tốc xuồng hồ yên lặng, biết vận tốc nước 3km/h V S T x 59,5 119 Nước yên lặng 59,5 x xuôi x+3 30 Ngược x −3 28 = 2x 30 x+3 28 x−3 … Ta có pt: 119 30 28 = + ⇔ 119 ( x + 3) ( x − 3) = x.30 ( x − ) + x.28 ( x + 3) 2x x + x − ⇔ x + 12 x − 1071 = ⇔ x + x − 357 = ⇔ x1 = 17; x2 = −21 Bài 10: lâm trường dự định trồng 75ha rừng số tuần lễ Do tuần trồng vượt mức 5ha so với kế hoạch nên trồng 80ha hoàn thành sớm tuần Hỏi tuần lâm trường dự định trồng rừng? tuần trồng số TGHTCV x 75 Kế hoạch x 80 x+5 x+5 Thực tế … Ta có pt: 75 80 − = ⇔ x + 10 x − 375 = ⇔ x1 = 15; x2 = −25 x x+5 Bài 11: ca nô xuôi từ A đến B cách 24km, lúc từ A đến B bè nứa trồi với vận tốc dịng nước 4km/h Khi đến B ca nơ quay trở lại gặp bè nứa điểm C cách A 8km Tính vận tốc thực ca nô A C B Gọi vận tốc thực ca nô là: x (km/h; x > 4) Vận tốc xuôi: x + (km/h) Vận tốc xuôi: x - (km/h) Page 89 Giáo án dạy thêm Toán Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Thời gian xuôi từ A đến B: 24 (h) x+4 Quãng đường BC: 24 – = 16 (km) 16 (h) x−4 Thời gian bè nứa từ A đến C: = (h) 24 16 + = ⇔ x − 40 x = ⇔ x1 = 0; x2 = 20 Ta có pt: x+4 x−4 Thời gian ngược từ B đến C: BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài Hai thành phố A B cách 50km Một người xe đạp từ A đến B Sau 1giờ 30phút xe máy từ A đến B trước người xe đạp Tính vận tốc người biết vận tốc người xe máy 2,5 lần vân tốc người xe đạp * Lập bảng Quãng đường Vận tốc Thời gian 50 Xe đạp 50 x Xe máy * Ta có phương trình: 50 2,5x x 50 2,5.x 50 50 − = + , nghiệm x = 12 x 2,5.x Bài 2: Một ô tô từ Hải Phòng Hà Nội, đường dài 100km, người lái xe tính tăng vận tốc thêm 10 km/h đến Hà Nội sớm nửa Tính vận tốc ô tô không tăng * Lập bảng Quãng đường Vận tốc Thời gian Không tăng 100 x 100/x Tăng 100 x + 10 100/x + 10 * Ta có phương trình: 100 100 − = x x + 10 Bài Một ô tô quãng đường AB dài 840km, sau nửa đường xe dừng lại 30 phút nên quãng đường lại, xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h để đến B hẹn Tính vận tốc ban đầu tô + Gọi vân tốc ban đầu ô tô x (km/h, x > 0) + Thời gian hết quãng đường AB theo dự định là: + Nửa quãng đường đầu ô tô hết: 840 (h) x 420 (h) x + Vận tốc ô tô nửa quãng đường lại là: x + (km/h) + Thời gian ô tô nửa quãng đường lại là: 420 (h) x+2 Page 90 Giáo án dạy thêm Toán Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− + Theo ta có phương trình sau: 840 420 420 = + + ⇔ ⇔ x1 = 40; x2 = −42 x x x+2 Bài Quãng sông từ A đến B dài 36km, ca nô xuôi từ A đến B ngược từ B A hết tổng cộng Tính vận tốc thực ca nơ biết vận tốc dịng nước 3km/h V thực V nước V xuôi V ngược S t Xuôi x x+3 36 36/x+3 Ngược x–3 36/x-3 * ta có pt sau: 36 36 + = ⇔ x = 15; x = −0, x −3 x +3 Bài Lúc ô tô từ A đến B Lúc 7giờ 30 phút xe máy từ B đến A với vận tốc vận tốc tơ 24km/h Ơ tơ đến B 20 phút xe máy đến A Tính vận tốc xe , biết quãng đường AB dài 120km * lập bảng V S T Ơ tơ x 120 120/x Xe máy x-24 120 120/x-24 - thời gian xe máy nhiều tơ là: - ta có pt: − = ( h) 120 120 − = ⇔ x − 24 x − 3456 = ⇔ x = 72; x = −48 x − 24 x Bài 6: Một người đoạn đường dài 640 km với ô tô tàu hỏa Hỏi vận tốc cuả ô tô tàu hỏa biết vận tốc cuả tàu hỏa vận tốc cuả ô tô km/h * lập bảng V T S ô tô x 4x Tàu hỏa x+5 7(x+5) * ta có pt : 4x + 7(x + 5) = 640 => x = 55 Bài Một ca nô xuôi từ A đến B, lúc người đi từ dọc bờ sông hướng B Sau chạy 24km, ca nô quay trở lại gặp người C cách A 8km Tính vận tốc ca nơ nước n lặng , biết vận tốc người vận tốc dịng nước 4km/h Tốn suất * Chú ý: - Năng suất (NS) số sản phẩm làm đơn vị thời gian (t) - (NS) x (t) = Tổng sản phẩm thu hoạch Bài Hai công nhân phải làm theo thứ tự 810 900 dụng cụ thời gian Mỗi ngày người thứ hai làm nhiều người thứ dụng cụ Kết người thứ hoàn thành trước thời hạn ngày, người thứ hai hoàn thành trước thời hạn ngày Tính số dụng cụ người phải làm ngày * Lập bảng Tổng số sản phẩm cần làm Mỗi ngày làm TGHTCV Người 810 x 810/x Page 91 Giáo án dạy thêm Toán Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Người 900 y 900/y y − x =  ⇔ x + 34 x − 1080 = ⇔ x1 = 20; x2 = −54 , sau tìm y 900 * Ta có hệ phtrình:  810 + = +  x y  Bài Hai đội công nhân, đội phải sửa quãng đường dài 20km, tuần hai đội làm tổng cộng 9km Tính xem đội sửa km tuần, biết thời gian đội I làm nhiều đội II làm tuần * Lập bảng Tổng số quãng đường phải Mỗi tuần làm TGHTCV sửa Đội 20 x 20/x Đội 20 9–x 20/9 – x * Ta có phtrình: 20 20 − = ⇔ x − 49 x + 180 = ⇔ x = 45; x = x 9− x Bài Một đội cơng nhân dự định hồn thành cơng việc với 500 ngày cơng thợ Hãy tính số người đội, biết bổ sung thêm cơng nhân số ngày hồn thành cơng việc giảm ngày * Lập bảng Tổng số ngày công Số công nhân TGHTCV Lúc đầu 500 x 500/x Sau bổ sung 500 x+5 500/ x + * Ta có phtrình: 500 500 − = ⇔ x + x − 500 = ⇔ x = −25; x = 20 x x+5 *************************************************************** ƠN TẬP HÌNH HỌC Bài 1: Từ điểm M (O), vẽ tiếp tuyến MA, MB với đtròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD vng góc với AB, CE vng góc với MA, CF vng góc với MB Gọi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC DF CMR: a) Tứ giác AECD nt; tứ giác BFCD nt b) CD2 = CE.CF c) Tứ giác ICKD nt d) IK vng góc với CD Page 92 Giáo án dạy thêm Toán Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− A O I D E K 1C 22 F B M · · a) Ta có: ·AEC = ·ADC = BDC = BFC = 900 (gt) + xét tứ giác AECD, ta có: AECD nt + xét tứ giác BFCD, ta có: BFCD nt ·AEC + ·ADC = 1800 , mà góc vị trí đối suy tứ giác · · BDC + BFC = 1800 , mà góc vị trí đối suy tứ giác µ (cùng chắn cung AC) b) ta có: µA1 = B µ =B µ (cùng chắn cung CD) + tứ giác BFCD nt F 1 µ =µ A1 Suy ra: F (1) ¶ (cùng chắn cung CE) + tứ giác AECD nt àA1 = D (2) =D ả =B µ Từ (1) (2) suy ra: F 1 ¶ (cùng chắn cung BC) Mặt khác: ¶A2 = B ¶ (cùng chắn cung CD) + tứ giác AECD nt ¶A2 = E ¶ =B ¶ Suy ra: E 2 (3) ¶ =B ¶ (cùng chắn cung CF) + tứ giác BFCD nt D 2 (4) ¶ =D ¶ =A ¶ Từ (3) (4) suy ra: E 2 Xét tam giác CDE tam giác CDF, ta có: ¶ =F µ D 1 ¶ =D ¶ E  CD CE = ⇒ CD = CE.CF  ⇒ ∆CDE : ∆CFD ( g g ) ⇒ CF CD 2  · · · ¶ +D ¶ = ·ACB + B +A ả = 1800 (tng cỏc gúc + IDK = ICK +D c) Xét tứ giác ICKD, ta có: ICK 2 · ; IDK · tam giác ABC), mà ICK góc vị trí đối nhau, suy tứ giác ICKD nt ¶ (cùng chắn cung CK), mà D ¶ =A ¶ (cmt) d) ta có tứ giác ICKD nt Iµ1 = D 2 ả , m Ià ; A ¶ góc vị trí đồng vị nên IK // AB, lại AB vng góc với CD, Suy Iµ1 = A 2 nên IK vng góc với CD Page 93 Giáo án dạy thêm Toán Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Bài 2: Cho tam giác ABC cân A nt đtròn (O), điểm D thuộc tia đối tia AB, CD cắt (O) E, tiếp tuyến (O) B cắt EA F CMR: a) Tứ giác BFDE nt b) FD // BC D F A E O 1 B C µ =E µ (cùng bù với E ¶ ) a) ta có: B 1 µ =C µ (do tam giác ABC cân A) mà B 1 µ =C µ suy ra: E 1 (1) ả =C =B ả (cùng chắn cung AB) mặt khác: E 2 (2) =B ả nh B, E cựng nhìn xuống cạnh DF dới góc nhau, từ (1) (2) suy E suy tứ giác BFDE nt ¶ =D ¶ (cùng chắn cung BF), mà ∠ E2 = ∠ B2 = ∠ C1 = ∠ B1, suy b) tứ giác BFDE nt E ∠ D1 = ∠ B1 (2 góc vị trí so le trong) => FD // BC Bài 3: Cho hình vng ABCD, điểm M thuộc cạnh AD Vẽ đtrịn (O) đường kính MB, cắt AC E (khác A) Gọi giao điểm ME DC CMR: a) Tam giác BEM vuông cân b) EM = ED c) điểm B, M, D, K thuộc đtròn d) BK tiếp tuyến (O) A B O M D E 1 C K Page 94 Giáo án dạy thêm Toán Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− a) tứ giác ABEM nt => ∠ BAM + ∠ BEM = 1800 => 900 + ∠ BEM = 1800 => ∠ BEM = 900 (1) Mặt khác: ∠ A1 = ∠ A2 (tính chất hình vng) => sđ cung BE = sđ cung ME => BE=ME (2) Từ (1) (2) suy tam giác BEM vuông cân E b) xét tam giác BCE tam giác DCE, ta có: CE: chung ∠ C1 = ∠ C2 (tính chất hình vng) CB = CD (gt) Do ∆BCE = ∆DCE (c.g.c) => BE = DE (cạnh tương ứng) (3) Từ (2) (3) => EM = ED (= BE) (4) ¶ +M ¶ = 900  K 1  ¶ ¶ ¶ ¶ D + D = 90 c) ta có:  ⇒ K1 = D1 ⇒ ∆EDK cân E => ED = EK ¶ =D ¶ ( ∆EDM cân EM = ED )  M  (5) (4) (5) => EB = EM = ED = EK => điểm B, M, D, K thuộc đtrịn có tâm E · · · d) tứ giác BKDM nt (E) ⇒ MDK + MBK = 1800 ⇒ MBK = 900 ⇒ BK ⊥ BM ⇒ BK tiếp tuyến đtròn (O) Bài 4: Cho tam giác ABC cân A có cạnh đáy nhỏ cạnh bên nội tiếp đtròn (O) Tiếp tuyến B C đtròn cắt tia AC tia AB D E CMR: a) BD2 = AD.CD b) Tứ giác BCDE nt c) BC // DE A O B 1j 2 E C D a) ta có: ∠ A1 = ∠ B2 (cùng chắn cung BC) xét tam giác ABD tam giác BCD, ta có: Page 95 Giáo án dạy thêm Toán Năm học 2020−2021 àA = B ả AD BD = ⇒ BD = AD.CD  ⇒ ∆ABD : ∆BCD ( g g ) ⇒ ¶D : chung  BD CD  b) ta có: ( ( ) )  µ = sd »AC − sd BC » E    ¶ ¶D = sd »AB − sd BC » µ  ⇒ D1 = E1 ⇒ điểm D E nhìn xuống cạnh BC 2  » » mà AB = AC ⇒ sd AB = sd AC    góc => tứ giác BCDE nt µ =C µ (gt), mà tứ giác BCDE nt => ∠ BED = ∠ C1 (cùng bù với ∠ BCD) c) ta có: B 1 ∠ B1 = ∠ BED (2 góc vị trí đồng vị) => BC // DE Bài 5: Cho tứ giác ACBD nt đtròn (O), đường chéo AB CD vng góc với I trung tuyến IM tam giác AIC cắt BD K, đường cao IH tam giác AIC cắt BD N a) CMR: IK vng góc với BD b) Chứng minh N trung điểm BD c) Tứ giác OMIN hình gì? Tại sao? d) Chứng minh OM = BD; ON = AC C M O H A 1 I B N D K a) ta có: ∠ B1 = ∠ C1 (cùng chắn cung AD) (1) + IM trung tuyến tam giác AIC => IM = MA => tam giác MAI cân M => ∠ A1= ∠ MIA + mà ∠ MIA = ∠ KIB (đối đỉnh) => ∠ KIB = ∠ A1 (2) Từ (1) (2) => ∠ B1 + ∠ BIK = ∠ C1 + ∠ A1 = 900 => ∠ IKB = 900 suy IK vng góc với BD b) ta có: ∠ CIH = ∠ DIN (đối đỉnh), mà ∠ CIH + ∠ C1 = 900, đó: ∠ DIN + ∠ C1 = 900 + mà ∠ C1 = ∠ B1 suy ra: ∠ DIN + ∠ B1 = 900 (*) + mặt khác: ∠ DIN + ∠ BIN = 900 (**) (*) (**) suy ra: ∠ B1 = ∠ BIN => tam giác BIN cân N => NB = NI (3) + lại có: Page 96 Giáo án dạy thêm Toán Năm học 2020−2021 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∠ IDN + ∠ B1 = 900 ∠ DIN + ∠ B1 = 900 Do đó: ∠ IDN = ∠ DIN => tam giác NID cân N => NI = ND (4) (3) (4) => NB = ND => N trung điểm BD c) ta có: M, N trung điểm AC BD => OM vng góc với AC; ON vng góc với BD => OM // IN (cùng vng góc với AC); ON // IM (cùng vng góc vói BD) Do tứ giác DMIN hình bình hành (vì có cạnh đối song song) d) tứ giác OMIN hình bình hành => OM = IN; ON = IM 2 mà IN = BD; IM = AC nên OM = BD; ON = AC Page 97 ... 1,5.1, = 1,8 25 1 69 (5.13) 5.13 13 = = = 10 10 102 10 c ) 2,5.16 ,9 = d ) 117,52 − 26,52 − 1440 = (117,5 + 26,5).(117,5 − 26,5) − 1440 = 144 .91 − 144.10 = 144 (91 − 10) = 144.81 = (12 .9) = 108 Dạng... lý : AB = BC.BH ⇒ 42 = 52.x ⇒ x ≈ 2, 22 x B y AC = BC.CH ⇒ 62 = 52 y ⇒ y ≈ 4 ,99 C H Hay y = BC – x = 7,21 – 2,22 = 4 ,99 - Xét tam giác ABC vuông A áp dụng định lý ta có : b) A AC = BC.CH ⇒ 122... −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− dk : x ≥ x − 5.2 x + 7.3 x = 28 ⇔ 13 x = 28 ⇔ x = 28 784 392 ⇔ 2x = ⇔x= ( tm ) 13 1 69 1 69 x − 45 = ( ) ( ) ⇔ 4( x − 5) + x − − 9( x − 5) = dk : x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x − + x − − x − = ⇔ x − = ⇔ x