GIAO AN DAY THEM TOAN 6

Chuyªn ®Ị båi dìng líp CHƯƠNG TRÌNH DẠY THÊM KHỐI (30 BUỔI) STT 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 TÊN CHUN ĐỀ Điền số tự nhiên,ghi số tự nhiên ,tìm số Các phép tính số tự nhiên,Đếm số Lũy thừa với số mũ tự nhiên Các dáu hiệu chia hết Ơn tập phép tính tập hợp số tự nhiên Ơn tập lũy thừa phép tốn Tính chất chia hết tổng,một hiệu tích Điểm,đường thẳng,tia Ước chung Bội chung Số ngun tố Hợp số ƯCLN,BCNN Bài tốn lien quan Ơn tập kiểm tra chủ đề Đọan thẳng,trung điểm đoạn thẳng Tập hợp Z số ngun Phép cộng số ngun Phép trừ số ngun Quy tắc dấu ngoặc-Quy tắc chuyển vế Phép nhân số ngun-Bội ước số ngun Ơn tập kiểm tra chủ đề số ngun Góc-Tia phân giác góc Phân số-Phân số Tính chất phân số-Rút gọn phân số Quy đồng mẫu số nhiều phấn số Cộng,trừ phân số Nhân ,chia phân số Ơn tập hỗn số,số thập phân,phần trăm Các Bài tốn phân số(buổi 1) Các Bài tốn phân số(buổi 2) Các Bài tốn tổng hợp phân số Ơn tập kiểm tra chủ đề GHI CHÚ Hợp Hòa ngày 10 tháng năm 2012 Giáo viên mơn Nguyễn Thị Minh Chuyªn ®Ị båi dìng líp Buổi ĐIỀN SỐ TỰ NHIÊN,GHI SỐ TỰ NHIÊN,TÌM SỐ I/ KiÕn thøc c¬ b¶n 1, §Ỉc ®iĨm cđa ghi sè tù nhiªn hƯ thËp ph©n - Dïng 10 ch÷ sè 0; 1; 2; 3; ®Ĩ ghi mäi sè tù nhiªn - Cø 10 ®¬n vÞ cđa mét hµng b»ng mét ®¬n vÞ cđa hµng tríc VÝ dơ: ab = 10a+b abc = 100a + 10b+c 2, So s¸nh sè tù nhiªn + a > b a n»m ë bªn tr¸i sè b trªn tia sè + a < b a n»m ë bªn ph¶i sè b trªn tia sè 3, TÝnh ch½n lỴ: a, Sè tù nhiªn cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0; 2; 4; 6; lµ sè ch½n (2b;b ∈N) b, Sè tù nhiªn cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1; 3; 5; 7; lµ sè lỴ (2b+1;b ∈N) 4, Sè tù nhiªn liªn tiÕp a, Hai sè tù nhiªn liªn tiÕp h¬n kÐm hai ®¬n vÞ a; a+1 (a ∈ N) b, Hai sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp h¬n kÐm hai ®¬n vÞ 2b; 2b + (b ∈ N) c, Hai sè tù nhiªn lỴ liªn tiÕp h¬n kÐm hai ®¬n vÞ 2b + ; II/ Bµi tËp 2b + (b ∈ N) Chuyªn ®Ị båi dìng líp Bµi tËp 1: Cã bao nhiªu ch÷ sè cã ch÷ sè mµ tỉng c¸c ch÷ sè b»ng 3? Giải 3=0+0+3=0+1+1+1=1+2+0+0 3000 1011 2001 1110 2100 1200 1101 2010 1020 1002 + + = 10 sè Bµi tËp 2: C¸c sè tù nhiªn tõ 1000 ®Õn 10000 cã bao nhiªu sè cã ®óng ba ch÷ sè gièng nhau? Giải Cã nhÊt sè 10000 cã ch÷ sè kh«ng tho¶ m·n ®Ị bµi vËy c¸c sè ®Ịu cã d¹ng bbab bbba abbb babb (a≠ b) XÐt sè abbb ch÷ sè a cã c¸ch chän (a≠ b) Víi a ®· chän ta cã c¸ch chän (b≠ a) => Cã 9.9 = 81 sè cã d¹ng abbb T¬ng tù: => Cã 81.4=324 sè Bµi tËp 3: ViÕt c¸c sè tù nhiªn liªn tiÕp tõ ->100 tõ tr¸i sang ph¶i thµnh d·y a, D·y trªn cã tÊt c¶ bao nhiªu ch÷ sè? b, Ch÷ sè thø 100 kĨ tõ tr¸i sang ph¶i lµ ch÷ sè nµo? Giải a, Sè cã ch÷ sè: sè => 9.1 = ch÷ sè Sè cã ch÷ sè: 99 – = 90 sè => 90.2 = 180 ch÷ sè Sè ch÷ sè: 100 => ch÷ sè VËy d·y trªn cã + 180 + = 192 ch÷ sè b, Ch÷ sè thø 100 r¬i vµo kho¶ng sè cã ch÷ sè B¾t ®Çu tõ 1011 lµ ch÷ sè thø 91 91 – 2.45 + Sè thø 45 kĨ tõ 10 lµ: (45 - 1) + 10 = 54 VËy ch÷ sè thø 100 lµ ch÷ sè Bµi tËp 4: ViÕt liªn tiÕp 15 sè tù nhiªn lỴ ®Çu tiªn t¹o thµnh mét Chuyªn ®Ị båi dìng líp sè tù nhiªn h·y xo¸ ®i 15 ch÷ sè ®Ĩ ®ỵc.a, Sè lín nhÊt (9 923 252 729) b, Sè nhá nhÊt (1 111 111 122) Bµi tËp 5: NÕu sè cã ch÷ sè biÕt r»ng nÕu viÕt thªm ch÷ sè vµo bªn ph¶i sè ®ã th× nã t¨ng 1112 ®¬n vÞ ( abc =123) Bµi tËp 6: T×m sè cã ch÷ sè BiÕt r»ng nÕu xo¸ ®i ch÷ sè hµng chơc vµ hµng ®¬n vÞ th× sè ®ã gi¶m ®i 4455 ®¬n vÞ Giải abcd - ab = 4455 => cd = 99.(45- ab ) cd < 100 => (45- ab ) < 100 => 45 - ab = => NÕu ab = 45 => cd = NÕu ab = 44 => cd = 99 VËy sè ph¶i t×m 4500 44996 Bµi tËp 7: T×m sè cã ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã gÊp lÇn tỉng c¸c ch÷ sè cđa nã Giải ab = 5(a+b) => 5a = 4b => b  => b = NÕu b = => a = lo¹i NÕu b = th× a = => ab = 45 Bµi tËp 8: T×m sè cã ch÷ sè biÕt r»ng lÊy sè ®ã chia cho tỉng c¸c ch÷ sè cđa nã ®ỵc th¬ng lµ d 12 Giải ab = 5(a+b) + 12 => 5a = 4(b+3) => b + : => b = NÕu b = => a = NÕu b = => a = => ab = 42 87 Chuyªn ®Ị båi dìng líp Bµi tËp 9: Kh«ng lµm phÐp tÝnh h·y kiĨm tra kÕt qu¶ phÐp tÝnh a, 136 136 – 42 = 1960 b, ab ab - 8557 = (ch÷ sè tËn cïng) Bµi tËp 10: T×m sè cã ch÷ sè biÕt r»ng nÕu viÕt thªm ch÷ sè vµo bªn tr¸i sè ®ã ta ®ỵc mét sè gÊp 26 lÇn sè ®ã (260) Bµi tËp 11: T×m sè cã ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu lÊy sè ®ã chia cho hiƯu cđa ch÷ sè hµng chơc vµ ch÷ sè hµng ®¬n vÞ ta cã th¬ng lµ 26 d Giải ab = (a - b) 26 + => 27b = 16 a + ab 16a ch½n => 16a + lỴ => b lỴ => b = => a = ab = 53 Bµi tËp 12: T×m sè cã ch÷ sè kh¸c nhau, biÕt r»ng sè ®ã b»ng tỉng c¸c sè cã ch÷ sè kh¸c lËp tõ ch÷ sè cđa sè ph¶i Giải abc = ab + ac + bc + ba + ca + cb => abc = 22(a + b + c) Bµi tËp 13: §iỊn ch÷ sè thÝch hỵp thay cho c¸c ch÷ c¸i : a, ab + 36 = ab b, abc - cb = ca c, abc + acc + dbc = bcc Chuyªn ®Ị båi dìng líp Buổi 2:CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ TỰ NHIÊN-ĐẾM SỐ I/ KiÕn thøc c¬ b¶n 1) C¸c tÝnh chÊt: Giao ho¸n: KÕt hỵp: a + b = b + a; a.b = b.a a + (b + c) = (a + b) + c; a.(b.c) = (a.b).c Ph©n phèi cđa phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng vµ phÐp trõ: a.(b+c) = a.b + a.c a.(b-c) = a.b - a.c Mét sè trõ ®i mét tỉng: a – (b+c) = a - b – c Mét sè trõ ®i mét hiƯu: a – (b-c) = a - b + c 2) C«ng thøc vỊ d·y sè c¸ch ®Ịu: Sè sè h¹ng = (sè ci – sè ®Çu) : kho¶ng c¸ch + Tỉng = (sè ci + sè ®Çu) Sè sè h¹ng : I/ Bµi tËp Bµi tËp 1: TÝnh b»ng c¸ch nhanh chãng a, 29 + 132 + 237 + 868 + 763 = 29 + (132 + 868) + (237 + 763) = 29 + 1000 + 1000 = 2029 b, 652 + 327 + 148 + 15 + 73 = (652 + 148) + (327 + 73) + 15 = 700 + 400 + 15 = 1115 Bµi tËp 2: Thay c¸c ch÷ bëi c¸c ch÷ sè thÝch hỵp a, ab + bc + ca = abc => ab + ca = a00 => + ab ac aoo => a = => b = => c = => 19 + 98 + 81 = 198 b, abc + ab + a = 874 => aaa + bb + c = 874 Chuyªn ®Ị båi dìng líp Do bb + c < 110 => 874 ≥ aaa > 874 – 110 = 764 => a = => bb + c = 874 – 777 = 97 Ta cã: 97 ≥ bb > 97 – 10 = 87 => bb = 88 => c = Ta ®ỵc: 789 + 78 + = 874 Bµi tËp 3: §iỊn c¸c sè tõ ®Õn vµo ma ph¬ng x cho tỉng c¸c hµng thø tù lµ ; 16; 23 vµ tỉng c¸c cét 14; 12;19 Bµi tËp 4: Cho sè 1; 3; 5; .; 17 cã thĨ chia sè ®· cho thµnh nhãm cho: a, Tỉng c¸c sè nhãm I gÊp ®«i tỉng c¸c sè nhãm II a, Tỉng c¸c sè nhãm I b»ng tỉng c¸c sè nhãm II Giải a, Cã thĨ: (chia hÕt cho 3) Nhãm I: + + + 13 + 15 + 17 = 54 Nhãm II: + + 11 = 27 b, Kh«ng v× tỉng ®ã kh«ng chia hÕt cho Bµi tËp 5: T×m x biÕt: a, 135 – (x + 37 ) = 80 => x + 37 = 135 – 80 => x + 37 = 55 => x = 55 – 37 = 18 b, (x - 17) + 52 = 158 => x – 17 = 158 - 52 => x – 17 = 106 => x = 106 + 17 = 123 Bµi tËp 6: Mét phÐp trõ cã tỉng cđa sè bÞ trõ, sè trõ vµ hiƯu b»ng 490 hiƯu lín h¬n sè trõ lµ 129 T×m sè trõ vµ sè bÞ trõ Giải SBT = a ; ST = b; a + b + c = 490 H = c=> a – b = c (2)c – b + c 129 (1) vµ (2) => a = 490 : = 245 (3) (1) Chuyªn ®Ị båi dìng líp (2) vµ (3) => a + 2c = 619 => c= 619 − 245 = 187 => b = 245 – 187 = 58 Bµi tËp Thay dÊu * bëi c¸c ch÷ sè thÝch hỵp **** - *** = ** BiÕt r»ng c¸c sè ®Ịu kh«ng ®ỉi ®äc tõ ph¶i sang tr¸i hc lµ tõ tr¸i sang ph¶i Giải *** => ch÷ sè hµng ngh×n cđa tỉng lµ => ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cđa + ** **** tỉng còng b»ng Ch÷ sè hµng tr¨m cđa sè h¹ng thø nhÊt lµ => Ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cđa sè h¹ng thø nhÊt lµ => Bµi tËp 8: Mét tr¨m sè tù nhiªn tõ -> 100 chia thµnh líp ch½n vµ lỴ a, Tỉng c¸c sè cđa nhãm, nhãm nµo lín h¬n? b, Tỉng c¸c ch÷ sè cđa nhãm, nhãm nµo lín h¬n? Giải a) 99 10 100 11 13 10 12 b) 99 100 98 Bµi tËp 9: §em sè cã ch÷ sè gièng chia cho sè cã ch÷ sè gièng th× ®ỵc th¬ng lµ 16 vµ sè d lµ NÕu sè bÞ chia vµ sè chia ®Ịu bít ®i mét ch÷ sè th× th¬ng kh«ng ®ỉi vµ sè d gi¶m 200 ®¬n vÞ, t×m c¸c sè ®ã? Giải aaaa = 16 bbb + r => aaa = 16 bb + (r - 200) Víi 200 ≤ r < + 200 bbb Tõ ®¼ng thøc => 1000 a = 1600 b Chuyªn ®Ị båi dìng líp => 5a = 8b + => a = vµ b = Bµi tËp 10: §Ĩ ®¸nh sè mét cn s¸ch cÇn dïng 1995 ch÷ sè: a, Cn s¸ch ®ã cã bao nhiªu trang ? b, Ch÷ sè thø 1000 ë trang nµo vµ lµ ch÷ sè nµo? Giải a) §Ĩ viÕt c¸c sè cã ; ch÷ sè cÇn + 90 = 189 ch÷ sè VËy sè trang lµ sè cã ch÷ sè Sè c¸c sè cã ch÷ sè lµ 1995 − 189 = 602 Sè thø nhÊt cã ch÷ sè lµ 100 VËy sè thø 602 lµ 100 + 602 – = 701 Cn s¸ch cã 701 trang b) Ch÷ sè thø 1000 thc sè cã ch÷ sè (1000 – 189 = 811) 811 = 270 + Sè thø 270 lµ 100 + 270 – = 369 VËy ch÷ sè thø 1000 lµ ch÷ sè hµng tr¨m cđa 370 (ch÷ sè 3) Bµi tËp 11: Khi viÕt c¸c sè tù nhiªn tõ ®Õn 100 th× a, ch÷ sè ®ỵc biÕt bao nhiªu lÇn ? (11 lÇn) b, ch÷ sè ®ỵc biÕt bao nhiªu lÇn ? (21 lÇn) c, ch÷ sè ; ®ỵc biÕt bao nhiªu lÇn ? (20 lÇn) Bµi tËp 12: Trong c¸c sè tù nhiªn tõ 100 ®Õn 10000 cã bao nhiªu sè mµ c¸ch viÕt cđa chóng cã ch÷ sè gièng Giải :Lo¹i cã ch÷ sè: aaa Lo¹i cã ch÷ sè: cã sè aaab Cã c¸ch chän; b cã c¸ch chän vµ b cã vÞ trÝ kh¸c => cã = 324 sè VËy cã + 324 = 333 sè Bµi tËp 13: Chuyªn ®Ị båi dìng líp a, TÝnh tỉng cđa c¸c sè tù nhiªn lỴ tõ -> 999 b, ViÕt liªn tiÕp c¸c sè tù nhiªn tõ ®Õn 999 TÝnh tỉng c¸c ch÷ sè Giải :a, Sè h¹ng cđa d·y lµ: 999 − + = 500 Tỉng cđa d©y lµ: (1 + 999) 500 = 250000 b, 999 lµ sè cã tỉng c¸c ch÷ sè lµ 27 Ta thÊy + 998 = 999 + 997 = 999 Cã 499 cỈp => Tỉng c¸c ch÷ sè lµ 27.500 = 13500 Bµi tËp 14: Trong c¸c sè tù nhiªn cã d·y sè Cã bao nhiªu sè kh«ng chøa ch÷ sè Giải:C¸c sè tù nhiªn ph¶i ®Õm cã d¹ng a cã c¸ch chän tõ -> b cã c¸ch chän tõ -> c cã c¸ch chän tõ -> VËy cã: = 648 (sè lỴ chøa ch÷ sè 9) Buổi 3:LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN I/ KiÕn thøc c¬ b¶n 1, §Þnh nghÜa: an = a a a (a, n ∈ N ; n ≥ ) VÝ dơ: 23 = = = 53 Quy íc: a0 = (a≠ 0) 2, Nh©n hai l thõa cïng c¬ sè (chia) a, b, VÝ dơ: am an = am+n am : an = am-n 35 32 = 35+2 = 37 22 23 = 21+2+3 = 26 (a≠ ; m ≥ n ) Chuyªn ®Ị båi dìng líp 11 16 58 36 12 19 18 26 & ; b) & ; c ) & ; d ) & 32 49 89 53 37 54 53 78 13 34 25 74 58 36 e) & ;f) & ; h) & 79 204 103 295 63 55 a) CÁCH 5: Dùng tính chất sau với m ≠ : a a a+m * 1⇒ > b b b+m a a a+m * =1⇒ = b b b+m a c a+c * = = b d b+d 1011 − 1010 + Bài tập 1: So sánh A = 12 & B = 11 ? 10 − 10 + 11 10 − Ta có : A = 12 < (vì tử < mẫu) ⇒ 10 − 11 11 10 − (10 − 1) + 11 1011 + 10 1010 + A = 12 < = = =B 10 − (1012 − 1) + 11 1012 + 10 1011 + Vậy A < B Bài tập 2: So sánh M = 2004 2005 2004 + 2005 + &N = ? 2005 2006 2005 + 2006 2004 2004  > 2005 2005 + 2006  Ta có :  Cộng theo vế ta có kết M > 2005 2005  > 2006 2005 + 2006  N 37 3737 & ? 39 3939 37 3700 3700 + 37 3737 a c a+c = = = ) Giải: (áp dụng = = 39 3900 3900 + 39 3939 b d b+d Bài tập 3:So sánh CÁCH 6: Đổi phân số lớn đơn vò hỗn số để so sánh : + Hỗn số có phần nguyên lớn hỗn số lớn + Nếu phần nguyên xét so sánh phân số kèm theo Bài tập 1:Sắp xếp phân số 134 55 77 116 ; ; ; theo thứ tự 43 21 19 37 Chuyªn ®Ị båi dìng líp tăng dần 13 ; ; ;3 43 21 19 37 13 5 55 134 116 77 < < < Ta thấy: < < < nên 21 43 37 19 21 43 37 19 108 + 108 Bài tập 2: So sánh A = & B = ? 10 − 10 − 3 3 Giải: A = & B = mà < ⇒ A < B 10 − 10 − 10 − 10 − 47 17 27 37 ; ; ; Bài tập 3: Sắp xếp phân số theo 223 98 148 183 Giải: đổi hỗn số : thứ tự tăng dần 223 98 148 183 ; ; ; , đổi 47 17 27 37 35 13 13 35 hỗn số : ;5 ;5 ; 47 17 27 37 13 13 35 35 17 27 37 47 a c b d ⇒ < < < (vì < ⇒ > ) Ta thấy: > > > 17 27 37 47 98 148 183 223 b d a c Giải: Xét phân số nghòch đảo: Bài tập 4: So sánh phân số : 3535.232323 3535 2323 A= ;B = ;C = ? 353535.2323 3534 2322 Hướng dẫn giải: Rút gọn A=1 , đổi B;C hỗn số ⇒ A 41 410 413 c) Xét phần bù , ý : Chuyªn ®Ị båi dìng líp 53 530 = Xét phần bù đến đơn vò 57 570 1010 1010 > e)Chú ý: phần bù đến đơn vò là: = ) 26 26260 26261 d)Chú ý: Bài tập 2: Không thực phép tính mẫu , dùng tính chất phân số để so sánh phân số sau: a) A = 244.395 − 151 423134.846267 − 423133 &B = 244 + 395.243 423133.846267 + 423134 Hướng dẫn giải:Sử dụng tính chất a(b + c)= ab + ac +Viết 244.395=(243+1).395=243.395+395 +Viết 423134.846267=(423133+1).846267=… +Kết A=B=1 b) M = 53.71 − 18 54.107 − 53 135.269 − 133 ;N = ;P = ? 71.52 + 53 53.107 + 54 134.269 + 135 (Gợi ý: làm câu a ,kết M=N=1,P>1) 33.103 3774 &B = Bài tập 3: So sánh A = 3 5.10 + 7000 5217 33 3774 :111 34 = Gợi ý: 7000=7.103 ,rút gọn A = & B = 47 5217 :111 47 6 Bài tập 4: So sánh A = + + + + & B = + + + + ? 7 7 7 7 153 329 Gợi ý: Chỉ tính + = = & + = = 7 7 7 Từ kết luận dễ dàng : A < B Bài tập 5:So sánh M = 1919.171717 18 &N = ? 191919.1717 19 Gợi ý: 1919=19.101 & 191919=19.10101 ; Kết M>N ⇒ Mở rộng : 123123123=123.1001001 ;… 17 1717 & ? 19 1919 a c a+c 17 1700 ; ý : = Gợi ý: +Cách 1: Sử dụng = = b d b+d 19 1900 Bài tập 6: So sánh +Cách 2: Rút gọn phân số sau cho 101… Bài tập 7: Cho a,m,n ∈ N* Hãy so sánh : A= 10 10 11 + n &B = m + n ? m a a a a  10   10  A =  m + n ÷+ n & B =  m + n ÷+ m Giải: a  a a  a a a Muốn so sánh A & B ,ta so sánh xét trường hợp sau: a)Với a=1 am = an ⇒ A=B b) Với a ≠ 0: 1 cách n & a am Chuyªn ®Ị båi dìng líp • Nếu m= n am = an ⇒ A=B 1 > n ⇒A < B m a a 1 > an ⇒ m < n ⇒ A >B a a • Nếu m< n am < an ⇒ • Nếu m > n am Bài tập 8: So sánh P Q, biết rằng: 31 32 33 60 P = & Q = 1.3.5.7 59 ? 2 2 31 32 33 60 31.32.33 60 (31.32.33.60).(1.2.3 30) P = = = 2 2 230 230.(1.2.3 30) (1.3.5 59).(2.4.6 60) = = 1.3.5 59 = Q 2.4.6 60 Vậy P = Q Bài tập 9: So sánh M = Giải: M= 7.9 + 14.27 + 21.36 37 &N = ? 21.27 + 42.81 + 63.108 333 Rút 7.9 + 14.27 + 21.36 7.9.(1 + 2.3 + 3.4) 37 : 37 = &N = = 21.27 + 42.81 + 63.108 21.27.(1 + 2.3 + 3.4) 333 : 37 gọn Vậy M = N Bài tập 10: Sắp xếp phân số 21 62 93 ; & theo 49 97 140 thứ tự tăng dần ? Gợi ý: Quy đồng tử so sánh Bài tập 11: Tìm số nguyên x,y biết: x y < < < 18 12 ? Gợi ý : Quy đồng mẫu , ta 3x y ⇒ < 3x < < < < 36 36 36 36 4y < Do x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2 Bài tập 12: So sánh     3   a) A =  ÷ & B =  ÷ ; b )C =  ÷ & D =  ÷  80   243  8  243  n n x xn Giải: p dụng công thức:  ÷ = n & ( x m ) = x m.n y  y 7 6 1 1   1 1   1 a ) A =  ÷ >  ÷ =  ÷ = 28 & B =  = ÷  ÷ = 30 ;Vì 28 > 30 ⇒ A > B 3  80   81     243    5 3     243     125 b)C =  ÷ =  ÷ = 15 & D =  ÷ =  ÷ = 15 8 2   243    125 125 125 Chọn 15 làm phân số trung gian ,so sánh 15 > 15 ⇒ 2 C > D Chuyªn ®Ị båi dìng líp 99 100 & N = 100 101 Bài tập 13: Cho M = a)Chứng minh: M < N b) Tìm tích M.N c) Chứng minh: M < 10 Giải: Nhận xét M N có 45 thừa số 99 100 < ; < ; < ; < nên M < N 100 101 b) Tích M.N = 101 c)Vì M.N = mà M < N nên ta suy : M.M < 101 a)Và 1 < 101 100 1 ⇒ M< 10 10 10 1 Bài tập 14: Cho tổng : S = + + + Chứng minh: 31 32 60 tức M.M <  + + + ÷+  + + + ÷+  + + + ÷ 40   50 50 50   60 60 60   40 40 10 10 10 37 36 ⇒ S> + + tức : S > > Vậy S > (2) 40 50 60 60 60 Từ (1) (2) suy :đpcm mét sè ph¬ng ph¸p tÝnh tỉng Chuyªn ®Ị båi dìng líp I > Ph¬ng ph¸p dù ®o¸n vµ quy n¹p : Trong mét sè trêng hỵp gỈp bµi to¸n tÝnh tỉng h÷u h¹n Sn = a1 + a2 + an (1) B»ng c¸ch nµo ®ã ta biÕt ®ỵc kÕt qu¶ (dù ®o¸n , hc bµi to¸n chøng minh ®· cho biÕt kÕt qu¶) Th× ta nªn sư dơng ph¬ng ph¸p nµy vµ hÇu nh thÕ nµo còng chøng minh ®ỵc VÝ dơ : TÝnh tỉng Sn =1+3+5 + + (2n -1 ) Thư trùc tiÕp ta thÊy : S1 = S2 = + =22 S3 = 1+ 3+ = = 32 Ta dù ®o¸n Sn = n Víi n = 1;2;3 ta thÊy kÕt qu¶ ®óng gi¶ sư víi n= k ( k ≥ 1) ta cã Sk = k (2) ta cÇn ph¶i chøng minh Sk + = ( k +1 ) ( 3) ThËt vËy céng vÕ cđa ( 2) víi 2k +1 ta cã 1+3+5 + + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) v× k2 + ( 2k +1) = ( k +1) nªn ta cã (3) tøc lµ Sk+1 = ( k +1) theo nguyªn lý quy n¹p bµi to¸n ®ỵc chøng minh vËy Sn = 1+3=5 + + ( 2n -1) = n2 T¬ng tù ta cã thĨ chøng minh c¸c kÕt qu¶ sau ®©y b»ng ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) 2, 12 + 2 + + n =  n(n + 1)  3, 13+23 + + n3 =     4, 15 + 25 + + n5 = n2 (n + 1) 12 1, + 2+3 + + n = ( 2n2 + 2n – ) II > Ph¬ng ph¸p khư liªn tiÕp : Gi¶ sư ta cÇn tÝnh tỉng (1) mµ ta cã thĨ biĨu diƠn a i , i = 1,2,3 ,n , qua hiƯu hai sè h¹ng liªn tiÕp cđa d·y sè kh¸c , chÝnh x¸c h¬n , gi¶ sư : a1 = b1 - b2 a2 = b - b an = bn – bn+ ®ã ta cã : Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + ) Chuyªn ®Ị båi dìng líp = b1 – bn + VÝ dơ : tÝnh tỉng : 1 1 + + + + 10.11 11 12 12.13 99.100 1 1 1 = − = − Ta cã : , 10.11 10 11 11 12 11 12 S= , Do ®ã : S= 1 = − 99.100 99 100 1 1 1 1 − + − + + − = − = 10 11 11 12 99 100 10 100 100 • D¹ng tỉng qu¸t 1 Sn = 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) ( n > ) = 1- n = n +1 n +1 VÝ dơ : tÝnh tỉng 1 1 Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n(n + 1)(n + 2) Ta cã Sn = Sn = Sn =  1 1  1 1  1 1  − − −  +   + +   1.2 2.3   2.3 3.4   n(n + 1) (n + 1)(n + 2)   1 1 1 1   − + − + + −  1.2 2.3 2.3 3.4 n( n + 1) (n + 1)(n + 2)   1 1 n(n + 3)   = −  1.2 ( n + 1)(n + 2)  4(n + 1)(n + 2) VÝ dơ : tÝnh tỉng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n n! ( n! = 1.2.3 n ) Ta cã : 1! = 2! -1! 2.2! = ! -2! 3.3! = 4! -3! n.n! = (n + 1) –n! VËy Sn = 2! - 1! +3! – ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - VÝ dơ : tÝnh tỉng 2n + Sn = (1.2) + (2.3) + + [ n(n + 1)] 2i + 1 = − ; Ta cã : [ i (i + 1) i (i + 1)] i = ; ; 3; ; n Chuyªn ®Ị båi dìng líp Do ®ã 1 1  1 1  ) +  −  + +  − 2 (n + 1)  2  n n( n + 2) = 1- (n + 1) = (n + 1) Sn = ( 1- III > Ph¬ng ph¸p Giải ph¬ng tr×nh víi Èn lµ tỉng cÇn tÝnh: VÝ dơ : TÝnh tỉng S = 1+2+22 + + 2100 ( 4) ta viÕt l¹i S nh sau : S = 1+2 (1+2+22 + + 299 ) S = 1+2 ( +2+22+ + 299 + 100 - 2100 ) => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5) 101 Tõ (5) suy S = 1+ 2S -2  S = 2101-1 VÝ dơ : tÝnh tỉng Sn = 1+ p + p + p3 + + pn ( p ≠ 1) Ta viÕt l¹i Sn díi d¹ng sau : Sn = 1+p ( 1+p+p2 + + pn-1 ) Sn = + p ( 1+p +p2 + + p n-1 + p n –p n )  Sn = 1+p ( Sn –pn )  Sn = +p.Sn –p n+1  Sn ( p -1 ) = pn+1 -1 P n +1 −  Sn = p −1 VÝ dơ : TÝnh tỉng Sn = 1+ 2p +3p + + ( n+1 ) pn , ( p ≠ 1) Ta cã : p.Sn = p + 2p + 3p3 + + ( n+ 1) p n +1 = 2p –p +3p –p2 + 4p3–p3 + + (n+1) pn - pn + (n+1)pn – pn + ( n+1) pn+1 = ( 2p + 3p2 +4p3 + +(n+1) pn ) – ( p +p + p + p n ) + ( n+1) pn+1 = ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ + ( n+1) pn ) – ( + p+ p2 + + p n ) + ( n +1 ) pn+1 P n +1 − + (n + 1) P n +1 ( theo VD ) P −1 p n +1 − L¹i cã (p-1)Sn = (n+1)pn+1 P −1 n +1 n +1 (n + 1) P p −1 −  Sn = p −1 ( P − 1) p.Sn=Sn- Chuyªn ®Ị båi dìng líp IV > Ph¬ng ph¸p tÝnh qua c¸c tỉng ®· biÕt • C¸c kÝ hiƯu : n ∑a i =1 i = a1 + a + a3 + + a n • C¸c tÝnh chÊt : 1, 2, n ∑ (a i =1 n i ∑ a.a i =1 n n i =1 i =1 + bi ) = ∑ + ∑ bi n i = a ∑ i =1 VÝ dơ : TÝnh tỉng : Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n( n+1) n n n n i =1 i =1 i =1 i =1 2 Ta cã : Sn = ∑ i(i + 1) = ∑ (i + i ) = ∑ i + ∑ i V× : n ∑ i = + + + + n = i =1 n( n + 1) (Theo I ) n(n + 1)(2n + 1) i = ∑ i =1 n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)(n + 2) + = cho nªn : Sn = n VÝ dơ 10 : TÝnh tỉng : Sn =1.2+2.5+3.8+ .+n(3n-1) ta cã : Sn = n n ∑ i(3i − 1) = ∑ (3i − i) i =1 n i =1 n = 3∑ i − ∑ i i =1 i = =1 Theo (I) ta cã : Sn = 3n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) − = n (n + 1) VÝ dơ 11 TÝnh tỉng Sn = 13+ +23 +53 + + (2n +1 )3 ta cã : Sn = [( 13 +2 +33 +43 + +(2n+1)3 ] –[23+43 +63 + +(2n)3] = [13+23 +33 +43 + + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 + + n3 ) (2n + 1) (2n + 2) 8n (n + 1) − Sn = 4 ( theo (I) – ) =( n+1) 2(2n+1) – 2n2 (n+1)2 = (n +1 )2 (2n2 +4n +1) Chuyªn ®Ị båi dìng líp V/ VËn dơng trùc tiÕp c«ng thøc tÝnh tỉng c¸c sè h¹ng cđa d·y sè c¸ch ®Ịu ( Häc sinh líp ) • C¬ së lý thut : + ®Ĩ ®Õm sè h¹ng cđa d·y sè mµ sè h¹ng liªn tiÕp cđa d·y c¸ch cïng sè ®¬n vÞ , ta dïng c«ng thøc: Sè sè h¹ng = ( sè ci – sè ®Çu : ( kho¶ng c¸ch ) + + §Ĩ tÝnh tỉng c¸c sè h¹ng cđa mét d·y sè mµ sè h¹ng liªn tiÕp c¸ch cïng sè ®¬n vÞ , ta dïng c«ng thøc: Tỉng = ( sè ®Çu – sè ci ) ( sè sè h¹ng ) :2 VÝ dơ 12 : TÝnh tỉng A = 19 +20 +21 + + 132 Sè sè h¹ng cđa A lµ : ( 132 – 19 ) : +1 = 114 ( sè h¹ng )m A = 114 ( 132 +19 ) : = 8607 VÝ dơ 13 : TÝnh tỉng B = +5 +9 + .+ 2005 +2009 sè sè h¹ng cđa B lµ ( 2009 – ) : + = 503 B = ( 2009 +1 ) 503 :2 = 505515 VI / V©n dơng sè c«ng thøc chøng minh ®ỵc vµo lµm to¸n VÝ dơ 14 : Chøng minh r»ng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) Tõ ®ã tÝnh tỉng S = 2+2.3 + 3.4 + + n (n + 1) Chøng minh : c¸ch : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1) = k( k+1) [ (k + 2) − (k − 1)] = k (k+1) = 3k(k+1) (k + 2) − (k − 1) k (k + 1)(k + 2) k (k + 1)(k − 1) − = 3 C¸ch : Ta cã k ( k +1) = k(k+1) *  3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1) 1.2.3 0.1.2 − 3 2.3.4 1.2.3 2.3 = − 3 n( n + 1)( n + 2) ( n − 1) n( n + 1) n(n + 1) = − 3 −1.2.0 (n + 2)n(n + 1) ( n + 1)n(n + 2) + = S= 3 => 1.2 = VÝ dơ 15 : Chøng minh r»ng : k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) tõ ®ã tÝnh tỉng S = 1.2 + 2.3 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2) Chøng minh : VT = k( k+1) (k+2) [ (k + 3) − (k − 1)] Chuyªn ®Ị båi dìng líp = k( k+1) ( k +2 ) k (k + 1)(k + 2)(k + 3) (k − 1)k (k + 1)(k + 2) − 4 1.2.3.4 0.1.2.3 − ¸p dơng : 1.2.3 = 4 2.3.4.5 1.2.3.4 − 2.3.4 = 4 Rót : k(k+1) (k+2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) (n − 1)n(n + 1)(n + 2) − 4 n (n + 1)(n + 2)(n + 3) Céng vÕ víi vÕ ta ®ỵc S = * Bµi tËp ®Ị nghÞ : n(n+1) (n+2) = TÝnh c¸c tỉng sau 1, B = 2+ +10 + 14 + + 202 2, a, A = 1+2 +22 +23 + + 26.2 + b, S = + 52 + 53 + + 99 + 5100 c, C = + 10 + 13 + + 76 3, D = 49 +64 + 81+ + 169 4, S = 1.4 + + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , n = 1,2,3 , 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 99.100 4 + + + 6, S = 5.7 7.9 59.61 5 5 + + + + 7, A = 11 16 16.21 21.26 61.66 1 1 8, M = + + + + 2005 3 3 1 9, Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2) 2 + + + 10, Sn = 1.2.3 2.3.4 98.99.100 1 11, Sn = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + + n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 5, S = 12, M = + 99 + 999 + + 99 .9 50 ch÷ sè 13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9 S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 TÝnh S100 =? Trong qu¸ tr×nh båi dìng häc sinh giái , t«i ®· kÕt hỵp c¸c d¹ng to¸n cã liªn quan ®Õn d¹ng tÝnh tỉng ®Ĩ rÌn lun cho c¸c em , ch¼ng h¹n d¹ng to¸n t×m x : 14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070 b, + + + + + x = 820 Chuyªn ®Ị båi dìng líp 1 1989 c, + + + 10 + + x( x + 1) = 1991 Hay c¸c bµi to¸n chøng minh sù chia hÕt liªn quan 15, Chøng minh : a, A = 4+ 2 +23 +24 + + 220 lµ l thõa cđa b, B =2 + 22 + + + 60  ; 7; 15 c, C = + 33 +35 + + 31991  13 ; 41 d, D = 119 + 118 +117 + + 11 +1  «n tËp Bµi TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc 1 11    7 21 31 − 15 : b) − : + c)  + 2,5÷:  − ÷− 5 31 12 12 15 5      1 1 18 19 23 d)  +  ÷ − −  : e) + + −1 + f)  12 37 24 37 24       1 2 23  ( −2)  − 0,25÷:  − ÷ g)  ÷ + (4,5 − 2) + h) (−4) 4   6  5 a) 19 : 4 19 − 39 9 2  1  1 i)  − ÷ : − 2 − ÷  2  2 Chuyªn ®Ị båi dìng líp 5 −1 4  −1   j) 125%  ÷ :  − 1,5÷+ 20080 k) ( − 2) ⋅ +  − ÷: 24   12    16  12 27 − + 41 47 53 + 16 36 − + 41 47 53 1  1  m)  − + ÷:  − + ÷ n) 4  4  4 4 F= + + + + 2.4 4.6 6.8 2008.2010 1 1 + + + + p) F = 18 54 108 990 l) Bµi T×m x biÕt: 1 2 b) + : x = −7 c) x + (x − 1) = d) x= 2 3 3 (2x − 3)(6 − 2x) = 1 3 −2 e) x : + = − f) h) − ( 2x − 5) = g) x− − = 4 3 3 − 2x − = 1    i)  −0,6x − ÷ − (−1) = j) ( 3x − 1)  − x + 5÷ = k) 2    1 + : ( 2x − 1) = −5 3 1 3 1   l)  2x + ÷ − m) 3 3x − ÷ + = n)60%x+ x = ×6 =0 3 5 25 2   1 p) −5(x + ) − (x − ) = x − q) 3(x − ) − 5(x + ) = − x + 5 −3 Bµi T×m x nguyªn ®Ĩ c¸c ph©n sè sau lµ sè nguyªn a) b) x− a) − −4 3x + 4x − c) d) 2x − x− 3− x Bµi B¹n Nam ®äc mét cn s¸ch dÇy 200 trang ngµy Ngµy thø nhÊt b¹n ®äc ®ỵc trang cßn l¹i Hái: 1 sè trang s¸ch Ngµy thø hai b¹n ®äc ®ỵc sè Chuyªn ®Ị båi dìng líp a) Mçi ngµy b¹n Nam ®äc ®ỵc bao nhiªu trang s¸ch? b) TÝnh tØ sè sè trang s¸ch ngµy vµ ngµy c) Ngµy b¹n ®äc ®ỵc sè trang chiÕm bao nhiªu % sè trang cđa cn s¸ch Bµi Mét líp cã 45 häc sinh gåm lo¹i häc lùc: giái, kh¸, trung b×nh Sè häc sinh trung b×nh chiÕm sè häc sinh c¶ líp, sè häc sinh kh¸ b»ng 60% sè häc sinh cßn l¹i a) TÝnh sè häc sinh mçi lo¹i b)TÝnh tØ sè gi÷a sè häc sinh giái vµ häc sinh trung b×nh c) Sè häc sinh giái chiÕm bao nhiªu phÇn tr¨m häc sinh cđa c¶ líp? Bµi B¹n Nga ®äc mét cn s¸ch ngµy Ngµy b¹n ®äc ®ỵc sè trang s¸ch Ngµy b¹n ®äc ®ỵc sè trang s¸ch cßn l¹i Ngµy b¹n ®äc nèt 200 trang a) Cn s¸ch ®ã dÇy bao nhiªu trang? b) TÝnh sè trang s¸ch b¹n Nga ®äc ®ỵc ngµy 1; ngµy c) TÝnh tØ sè sè trang s¸ch mµ b¹n Nga ®äc ®ỵc ngµy vµ ngµy d) Ngµy b¹n ®äc ®ỵc sè trang s¸ch chiÕm bao nhiªu % cđa cn s¸ch? Bµi Mét cưa hµng b¸n g¹o b¸n hÕt sè g¹o cđa m×nh ngµy Ngµy thø nhÊt b¸n ®ỵc sè g¹o cđa cưa hµng Ngµy thø hai b¸n ®ỵc 26 tÊn Ngµy thø ba b¸n ®ỵc sè g¹o chØ b»ng 25% sè g¹o b¸n ®ỵc ngµy a) Ban ®Çu cưa hµng cã bao nhiªu tÊn g¹o? b) TÝnh sè g¹o mµ cưa hµng b¸n ®ỵc ngµy 1; ngµy c) TÝnh tØ sè sè g¹o cưa hµng b¸n ®ỵc ngµy vµ ngµy d) Sè g¹o cưa hµng b¸n ®ỵc ngµy chiÕm bao nhiªu % sè g¹o cđa cưa hµng? Chuyªn ®Ị båi dìng líp 1 Bµi Mét bµ b¸n cam b¸n lÇn ®Çu hÕt vµ qu¶ LÇn thø hai b¸n 3 cßn l¹i vµ qu¶ LÇn b¸n ®ỵc 29 qu¶ cam th× võa hÕt sè cam Hái ban ®Çu bµ cã bao nhiªu qu¶ cam? Bµi Chøng minh c¸c ph©n sè sau lµ c¸c ph©n sè tèi gi¶n: a)A = 12n + 30n + b)B = 14n + 17 21n + 25 Bµi 10 T×m x nguyªn ®Ĩ c¸c biĨu thøc sau ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt: a) A = ( x − 1) + 2008 D= b) B = x + + 1996 c) C = x+ x− x− d) Bµi 11 T×m x nguyªn ®Ĩ c¸c biĨu thøc sau ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt a) P = 2010 − ( x + 1) D= 2008 b) Q = 1010 − 3− x c) C = ( x − 3) +1 d) x− + Bµi 12 Chøng minh r»ng: 1 1 1 1 + + + + 371320 > 111979 Bài tập 7: Tìm n N cho: a) 50 < 2n < 100 b) 50