Tiểu luận Tìm hiểu quan hệ và ứng dụng

MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU PHẦN I: CỞ SỞ KHOA HỌC I QUAN HỆ VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NÓ 1.1 ĐỊNH NGHĨA 1.2 ÁNH XÃ CŨNG NHƢ MỘT QUAN HỆ (HÀM CŨNG LÀ MỘT QUAN HỆ) 1.3 CÁC QUAN HỆ TRÊN MỘT TẬP HỢP 1.4 CÁC TÍNH CHẤT CỦA QUAN HỆ 1.5 TỔ HỢP CÁC QUAN HỆ II QUAN HỆ TƢƠNG ĐƢƠNG 2.1 ĐỊNH NGHĨA 2.2 CÁC LỚP TƢƠNG ĐƢƠNG 2.2.2 MỆNH ĐỀ: 2.2.3 Định nghĩa: Tập thƣơng A theo quan hệ R 2.3 PHÂN HOẠCH 2.3.2 Mệnh đề: III QUAN HỆ THỨ TỰ 3.1 Định nghĩa 1: QUAN HỆ THỨ TỰ 3.2 Định nghĩa 2: QUAN HỆ THỨ TỰ TOÀN PHẦN 10 3.3 Định nghĩa 3: PHẦN TỬ LỚN NHẤT (NHỎ NHẤT) 10 3.4 Định nghĩa 4: CHẶN TRÊN (CHẶN DƢỚI) 11 3.5 Định nghĩa 5: CÂN TRÊN, CẬN DƢỚI 12 3.6 Định nghĩa 6: PHẦN TỬ TỐI ĐẠI (TỐI TIỂU) 13 3.7 Mệnh đề: 13 3.12 Bổ đề Zore: 14 PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG 15 I BÀI TẬP MINH HỌA CÁC TÍNH CHẤT CỦA QUAN HỆ 15 II MÔT SỐ BÀI TẬP QUAN HỆ TƢƠNG ĐƢƠNG 18 III MỘT SỐ BÀI TẬP QUAN HỆ THỨ TỰ 20 IV MỘT SỐ BÀI TẬP QUAN HỆ TUẦN TỰ - DÀN 23 PHẦN III: ỨNG DỤNG CỦA QUAN HỆ 25 Tạo bao đóng phản xạ 25 Tạo bao đóng đối xứng 25 Tạo bao đóng bắc cầu 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 PHẦN I: CỞ SỞ KHOA HỌC I QUAN HỆ VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NĨ Cách trực tiếp để biểu diễn mối quan hệ phần tử hai tập hợp dùng cặp tạo hai phần tử có quan hệ Vì lí đó, tập cặp gọi quan hệ hai ngơi Sau dùng quan hệ để giải tốn có liên quan với mạng thơng tin, nhận dạng phần tử tâp hợp có tính chất chung 1.1 ĐỊNH NGHĨA Cho hai tập A B Một quan hệ hai từ A đến B tập tích Descartes A x B Ta nói phần tử a A có quan hệ với phần tử b B ký hiệu a b (a, b) Ví dụ 1: Cho A tập sinh viên Đại học Huế B tập hợp môn học cho R quan hệ bao hàm gồm tập (a, b) a sinh viên học môn b Chẳng hạn, bạn An bạn Tùng sinh viên Đại học Huế học mơn đại số có mã NMDSO, cặp (An, NMDSO) (Tùng, NMDSO) thuộc R Nếu An cịn học mơn Giải tích có mã số GTICH1 cặp (Tùng, GTICH1) khơng thuộc R Ví dụ 2: Cho A tập hợp quận, huyện B tập hợp tỉnh thành phố Việt Nam Ta định nghĩa quan hệ R cách rõ (a, b) thuộc R quận hay huyện a thuộc tỉnh hay thành phố b Chẳng hạn (Phú Lộc, Thừa Thiên Huế), (Ba Đình, Hà Nội), (Phú quốc, Kiên Giang), (Nam Đàn, Nghệ An), thuộc R Ví dụ 3: Cho A = {0, 1, 2} B {a, b} Khi {(0, a), (0, b),(1,a), (2, b)} quan hệ từ A đến B Điều có nghĩa là, chẳn hạn 0Ra 1Rb (1 không quan hệ với b) Trang: 1.2 ÁNH XÃ CŨNG NHƢ MỘT QUAN HỆ (HÀM CŨNG LÀ MỘT QUAN HỆ) Hãy nhớ ánh xạ f từ tập hợp A đến tập hợp B gán cho phần tử A phần tử B Đồ thị f tập cặp (a, b) cho b = f(a) Vì đồ thị f tập A x B, nên quan hệ từ A đến B Ngược lại, qu an hệ từ A đến B cho phần tử A phần tử cặp với , định nghĩa ánh xạ đồ thị Điều làm cách gán cho phần tử a phần tử b B cho (a, b) A Một quan hệ dùng để biểu diễn mối quan hệ nhiều phần tử hai tập hợp A B, phần tử A có quan hệ với phần tử B Trong đó, ánh xạ biểu diễn quan hệ phần tử A có quan hệ với phần tử B Quan hệ tổng quát hóa khái niệm hàm; chúng dùng để biểu diễn lớp rộng lớn mối quan hệ tập hợp 1.3 CÁC QUAN HỆ TRÊN MỘT TẬP HỢP Định nghĩa: Một quan hệ tập A quan hệ từ A đến A Nói cách khác, quan hệ tập A tập tập A × A Ví dụ 1: i) Quan hệ "nhỏ bằng" ( ) quan hệ tập hợp số thực ii) Quan hệ "chia hết" (|) quan hệ tập N số tự nhiên iii) Quan hệ "vng góc" (┴) quan hệ tập hợp đường thẳng mặt phẳng iiii) Với n số nguyên dương, R= {(x, y) quan hệ x | x - y chia hết cho n} , gọi quan hệ đồng dư môđulô n Khi xRy, ta viết x y (modn) iiiii) Quan hệ "cùng tuổi" quan hệ tập hợp người trái đất Ví dụ 2: Cho A tập phần tử {1, 2, 3, 4} Hỏi tập thuộc quan hệ R = {(a,b) | b chia hết cho a}? Trang: Giải Vì (a, b) thuộc R a b số nguyên dương không vượt cho b chia hết cho a, ta có: R = {(1, 1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (2,2), (2,4), (3,3), (4,4)} Ví dụ 3: Có quan hệ tập có n phần tử? Giải: Một quan hệ tập A tập A x A Vì A x A có n phần tử A có n phần tử tập gồm m phần tử có 2m tập con, nên A x A có 2n tập Vì cậy có 2n quan hệ tập n phần tử Víu dụ 23 = = 512 quan hệ 2 tập {a, b, c} 1.4 CÁC TÍNH CHẤT CỦA QUAN HỆ 14.1 Định nghĩa: Quan hệ R gọi có tính phản xạ với a ∈ A, (a, a)∈R với a ∈ A 1.4.2 Định nghĩa: Quan hệ R tập A gọi đối xứng với a, b ∈ A, a R b b R a 1.4.3 Định nghĩa: Quan hệ R tập A đuợc gọi có tính phản đối xứng hay phản xứng với a, b ∈ A, (a, b)∈R (b, a)∈R a = b 1.4.4 Định nghĩa: Một quan hệ R tập A gọi có tính bắc cầu a, b, c ∈ A, (a, b) ∈R (b, c)∈R (a, c) ∈R i) Quan hệ "bằng nhau" (=) tập X tùy ý có tính chất: phản xạ, đối xứng, phản đối xứng bắc cầu ii) Quan hệ tập hợp X, với X tập tùy ý R, có tính chất: phản xạ, phản đối xứng bắc cầu iii) Quan hệ "đồng dư modn" tập hợp có tính chất: phản xạ, đối xứng, bắc cầu iiii) Quan hệ "chia hết" tập * số nguyên dương có tính chất: phản xạ, phản đối xứng bắc cầu Tuy nhiên, xét tập quan hệ có tính bắc cầu iiiii) Quan hệ bao hàm ( ) tập hợp P(X) tất tập tập hợp X tùy ý có tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu Trang: 1.5 TỔ HỢP CÁC QUAN HỆ Vì quan hệ từ A đến B tậ p tập A×B, nên hai quan hệ từ A đến B đuợc tổ hợp hai tập hợp Chẳng hạn, với R R2 hai quan hệ từ A đến B ta có quan hệ R1 R2, R1 R2, R1\ R2 R2 từ A đến B 1.5.1 Định nghĩa: Cho R quan hệ từ tập A đến tập B S quan hệ từ tập B đến tập C Hợp thành R S quan hệ chứa cặp (a, c) a∈A c∈C chúng tồn phần tử b∈B cho (a, b)∈R (b, c)∈ S Ta ký hiệu hợp thành R S SoR, xác định SoR = {(a,c) ∈ A x C| ∃b ∈ B, (a, b) ∈ R (b, c) ∈ S} Đặc biệt, R đồ thị ánh xạ f S đồ thị ánh xạ g S o R đồ thị ánh xạ gof 1.5.2 Định nghĩa: Cho R quan hệ tập A Lũy thừa Rn với n = 1, 2, 3, …được định nghĩa quy nạp sau: R1 = R Rn+1 =RnoR Như vậy, (a, b) ∈ Rn tồn x1, x2, , xn-1 ∈ A cho (a, x1), (x1, x2), , (xn-1, b) ∈ R 1.5 Mệnh đề: Quan hệ R tập A có tính chất bắc cầu va R n  R với n  II QUAN HỆ TƢƠNG ĐƢƠNG Các số nguyên a b quan hệ với phép “đồng dư theo môdun 4” a – b chia hết cho Dưới ta quan hệ phản xạ, đối xứng bắc cầu Dễ dàng thấy a quan hệ với b a b có số dư chia cho Từ suy quan hệ tách tập hợp số nguyên thành lớp khác Khi ta cần quan tâm số nguyên chia cho cho số dư nào, cần biết thuộc lớp khơng cần biết giá trị Quan hệ R phép đồng dư theo môdun ví dụ quan hệ tương đương, cụ thể quan hệ có tính chất phản xã, đối xứng bắc cầu Trong mục chúng Trang: ta quan hệ tách tác tập thành lớp rời gồm phần tử tương đương Khi ta quan tâm phần tử tập thuộc lớp không cần quan tâm tới đặc điểm Trong mục nghiên cứu quan hệ với tổ hợp đặc biệt tính chất cho phép cúng dùng để liên hệ đối tượng tương đương theo định nghĩa 2.1 ĐỊNH NGHĨA Quan hệ cho tập A gọi tương đương phản xạ, đối xứng bắc cầu Ví dụ Quan hệ đồng dư "modn" tập hợp quan hệ tương đương Ví dụ Quan hệ "đồng dạng" tập hợp tam giác quan hệ tương đương Ví dụ Quan hệ "cùng phương" (song song trùng nhau) tập hợp đường thẳng mặt phẳng quan hệ tương đương Ví dụ 4: = {(m, n)  x | m – n chẵn} quan hệ tương đương 2.2 CÁC LỚP TƢƠNG ĐƢƠNG Cho A tập tất sinh viên trường tốt nghiệp phổ thông Xét quan hệ R A gồm tất cặp (x, y), x y tốt nghiệp trường phổ thông Vơi sinh viên x cho, ta lấy tập sinh viên tương đương với x R Tập gồm tất sinh viên tốt nghiệp phổ thông trường với x Tâp A gọi lớp tương đương quan hệ 2.2.1 Định nghĩa: Cho R quan hệ tương đương tập hợp A a ∈ A Tập hợp {x ∈ A | xRa} gọi lớp tương đương phần tử a, ký hiệu [a] C(a) Nói cách khác, R quan hệ tương đương tậ Athì lớp tương đương phần tử a [a] = {s | (a, s)  R} Nếu b  [a] b gọi đại diện lớp tương đương Ví dụ: Xác định lớp tương đương quan hệ đồng dư môdun Lớp tương đương chứa tất số a cho a  0(mod 4) Trang: Các số nguyên thuộc lớp sơ ngun chia hết cho 4, lớp tương đương quan hệ là: [0] = {…, -8, - 8, 0, 4, 8, 12,… } Tương tự, lớp tương đương chứa tất số a cho a  1(mod 4), số nguyên a chia cho dư Vì lớp tương đương là: [1] = {…, -7, - 3, 1, 5, 9, 13,… } 2.2.2 MỆNH ĐỀ: Cho R quan hệ tương đương tập hợp A a, b ∈ A Khi ta có: i) ≠ ii) = aRb iii) = = 2.2.3 Định nghĩa: Tập thƣơng A theo quan hệ R Cho R quan hệ tương đương tập hợp A Khi A chia thành lớp tương đương khác rỗng, rời đôi Tập hợp lớp tương đương gọi tập thương A theo quan hệ tương đương R ký hiệu A/R Như vậy, A/R = { | a ∈ A} Ví dụ 1: Xét quan hệ tương đương "cùng phương" tập hợp D tất đường mặt phẳng Khi với đường thẳng a ∈ D, lớp tương đương tập hợp gồm a đường thẳng D song song với a Trong toán học, người ta coi lớp tương đương nói phương mặt phẳng Vì coi tập thương tập hợp phương mặt phẳng Ví dụ 2: Cho X= {1, 2, 3, 4} Trên P(X), xét quan hệ R sau: A, B ∈ P(X), A R B |A| = |B| Dễ dàng có R quan hệ tương đương P(X) Các lớp tương đương theo quan hệ R là: C0= { (tập X khơng có phần tử nào), C1= {{1}, {2}, {3}, {4}} (các tập X có phần tử), C2= {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}} (các tập X có phần tử), Trang: C3= {{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}} (các tập X có phần tử), C4= {{X}} (tập X có phần tử) Tập thương X theo quan hệ R P(X)/R= {C0, C1, C2, C3, C4} 2.3 PHÂN HOẠCH Cho R quan hệ tương đương tập A Hợp lớp tương đương R toàn tập A, phần tử a  A thuộc lớp tương đương riêng nó, cụ thể lớp [a]k Nói cách khác, [a] R = A a A Thêm vào đó, theo mệnh đề suy lớp tương đương rời nhau, nghĩa là: [a]R  [b]R =  [a]R  [b]R Nhận xét chứng tỏ lớp tương đương tạo nên phân hoạch tập A, tách tập A thành tập rời Nói cách khác phân hoạch tập S tập hợp tập khơng rỗng rời S có S hợp chúng Nói cách khác, tập tập Ai , i  I (ở I tập số) tạo nên phân hoạch S nếu: Ai   với i  I Ai  Aj i  j Ai  S iI 2.3.1 Định nghĩa: Một phân hoạch cặp tập hợp A họ (Ai)i ∈I tập A cho Ai ( , Ai Aj = ( ≠ j), = A Như vậy, có quan hệ tương đương tập hợp A họ gồm tất lớp tương đương theo quan hệ tạo thành phân hoạch cặp tạp hợp A 2.3.2 Mệnh đề: Mỗi phân hoạch cặp tập hợp A xác định quan hệ tương đương A Trang: III QUAN HỆ THỨ TỰ Chúng ta thường dùng quan hệ để xếp số hay tất phần tử tập Ví du, để xếp từ dùng quan hệ chứa cắp (x, y) x trước y từ điển Chúng ta lập lịch thực dự án cách dùng quan hệ chứa cặp (x, y) x, y nhiệm vụ án cho x phản hồn tốn trước y bắt đầu Chúng ta xếp tập số nguyên dùng quan hệ chứa cắp (x, y) x nhỏ y Khi thêm tất cặp dang (x, x) vào quan hệ nhận quan hệ phản xạ, đối xứng bắc cầu Đó tính chất đặc trưng cho quan hệ dùng để xếp phần tử tập có dùng kích cỡ tương đối chúng 3.1 Định nghĩa 1: QUAN HỆ THỨ TỰ Một quan hệ tập hợp A gọi quan hệ thứ tự có tính chất phản xạ, phản đối xứng bắc cầu Người ta thường ký hiệu quan hệ thứ tự ký hiệu Nếu tập hợp A có quan hệ thứ tự ta nói A tập hợp xếp thứ tự A (trong A xếp thứ tự quan hệ thứ tự Với hai phần tử a, b ), ta có a b ta cịn viết b A, ta xác định quan hệ < sau: Khi có quan hệ thứ tự a, b A, a < b a a b a ≠ b Nếu có a < b, ta cịn viết b > a Ta mô tả việc xếp thứ tự tập hữu hạn A (với quan hệ thứ tự ) biểu đồ gọi biểu đồ Hasse Đó biểu đồ biểu diễn phần tử A dấu chấm có a b (a, b A) nối a với b đoạn thẳng từ lên Ví dụ Quan hệ thơng thường tập hợp số , , , quan hệ thứ tự Ví dụ Quan hệ "chia hết" tập hợp Trang: * quan hệ thứ tự Ví dụ Quan hệ "bao hàm" tập hợp P(X) tập tập hợp X quan hệ thứ tự 3.2 Định nghĩa 2: QUAN HỆ THỨ TỰ TOÀN PHẦN Cho A tập hợp xếp thứ tự (bởi quan hệ A, ta có a b b khơng có a b lẫn b ) Với hai phần tử a, b a ta nói a b so sánh với nhau, cịn ta a ta nói a b khơng so sánh với Tập hợp thứ tự A gọi tập hợp thứ tự toàn phần hai phần tử a, b A ln so sánh với Khi ta gọi quan hệ thứ tự toàn phần quan hệ thứ tự Trong trường hợp ngược lại, tức tồn hai phần tử a, b A không so sánh với ta gọi A tập hợp thứ tự phận quan hệ thứ tự quan hệ phận thơng thường tập hợp Ví dụ 1: Quan hệ thứ tự số tự nhiên quan hệ thứ thự tồn phần Ví dụ 2: Tập hợp * số tự nhiên khác không với quan hệ thứ tự "chia hết" tập hợp thứ tự phận, chẳng hạn, ta khơng có 2|3 khơng có 3|2 Ví dụ 3: Quan hệ "bao hàm" tập hợp P(X) tập tập hợp X, |X| > 1, quan hệ thứ tự phận, chẳng hạn, với x, y X, x y, ta có hai phần tử {x} {y} P(X) không so sánh với Với X= X= {x}, ta dễ nhận thấy P(X) thứ tự toàn phần quan hệ 3.3 Định nghĩa 3: PHẦN TỬ LỚN NHẤT (NHỎ NHẤT) Cho tập hợp thứ tự A quan hệ X tập khác rỗng A Phần tử a X gọi phần tử lớn (t.ư nhỏ nhất) X với x a (t.ư x X ta có x a) Phân tử lớn (t.ư nhỏ nhất) X tồn Thật a b hai phần tử lớn (t.ư nhỏ nhất) X theo định nghĩa ta có a theo tính chất phản đối xứng , ta có a = b Trang: 10 b, b a; 3.6 Định nghĩa 6: PHẦN TỬ TỐI ĐẠI (TỐI TIỂU) X tập khác rỗng Cho tập hợp thứ tự A quan hệ X gọi phần tử tối đại (t.ư tối tiểu) X với x A Phần tử m X ta có: m x x = m (t.ư x m x = m), tức không tồn phần tử x X cho x > m (t.ư x < m) Rõ ràng phần tử tối đại (t.ư tối tiểu) m A cho m X phần tử tối đại (t.ư tối tiểu) X Tuy nhiên, m phần tử tối đại (t.ư tối tiểu) X chưa m phần tử tối đại (t.ư tối tiểu) A Phần tử tối đại (t.ư tối tiểu) tập hợp khơng có tồn tại, có 3.7 Mệnh đề: Cho tập hợp thứ tự A quan hệ X tập khác rỗng A Khi đó: i) Nếu X có phần tử lớn (t.ư nhỏ nhất) a a phần tử tối đại (t.ư tối tiểu) X ii) Nếu X thứ tự tồn phần quan hệ phần tử a X phần tử lớn (t.ư nhỏ nhất) X a phần tử tối đại (t.ư tối tiểu) X Ví dụ: i) Tập hợp * với quan hệ "chia hết" có phần tử tối tiểu 1, phần tử nhỏ Tập X = * * , không tồn phần tử tối đại \ {1} * có phần tử tối tiểu số ngun tố khơng có phần tử tối đại Tập X' = {2, 3, 4, 6, 9, 12, 19, 24} * có phần tử tối tiểu 2, 3, 19 phần tử tối đại 9, 19, 24 ii) cho tập hợp X= {x1, x2, , xn} Xét tập hợp A= P(X) \ { với quan hệ "bao hàm" Khi A có phần tử tối tiểu tập phần tử: { x 1}, { x2}, Trang: 13 , { xn} có phần tử tối đại tập n - phần tử: {x2, x3, , xn}, {x1, x3, , xn}, , {x1, x2, , xn-1} 3.8 Định nghĩa: Cho tập hợp thứ thự A quan hệ Ta nói A thứ tự tốt quan hệ tập khác rỗng A đểu có phần tử nhỏ 3.9 Hệ quả: Nếu tập hợp thứ tự tốt quan hệ thứ tự tồn phần quan hệ Ví dụ: i) Tập hợp thứ tự tốt quan hệ ii) Tập hợp * thông thường không thứ tự tốt quan hệ "chia hết" iii) Các tập hợp , , không thứ tự tốt quan hệ thông thường 3.10 Định nghĩa: Tập hợp thứ tự A gọi dàn với hai phần tử a, b A, tập hợp {a, b} ln có cận cận Cận cận {a, b} ký hiệu a  b a  b 3.11 Tính chất: Cho A dàn Khi với a, b, c A, ta có: i) Luật lũy đẳng: a  a  a, a  a  a ii) Luật giao hoán: a  b = b  a, a  b = b  a iii) Luật kết hợp:  a  b   c  a  (b  c),  a  b   c  a  (b  c) iiii) Luật hấp thụ: a  (a  b)  a, a  (a  b)  a Ví dụ: i) Tập hợp * với quan hệ chia hết dàn với m, n * , ta có m  n BCNN(m, n) m  n UCLN(m, n) ii) tập hợp P(X) với qua hệ "bao hàm" dàn với A, B P(X), ta có A  B A B A  B A B 3.12 Bổ đề Zore: Nếu tập hợp khác rỗng X thứ tự quy nạp nghĩa tập thứ tự tồn phần có chặn X có phần tử tối đại Trang: 14 PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG I BÀI TẬP MINH HỌA CÁC TÍNH CHẤT CỦA QUAN HỆ Bài 1: Cho S={0, 1, 2, 3} Quan hệ “thứ tự nhỏ” S xác định tập: L ={ (0,1), (0,2), (0,3), (1, 2), (1, 3), (2,3)} Quan hệ “bằng” xác định S tập: E = { (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} Quan hệ “chẵn lẻ” S xác định bởi: P = {(0,0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (0, 2), (2, 0), (1, 3), (3, 1)} Giải: * Tính phản xạ: Quan hệ L khơng có tính phản xạ cặp (0,0)  L Quan hệ E P có tính phản xạ tất cặp dạng (a, a), cụ thể (0, 0), (1, 1),(2, 2),(3,3)  E P * Tính đối xứng: Quan hệ L khơng đối xứng trường hợp (a, b) thuộc quan hệ khơng có (b, a) thuộc quan hệ Quan hệ E P đối xứng có cặp (a, b) thuộc quan hệ có (b, a) thuộc quan hệ * Tính phản xứng: Quan hệ E có tính phản xứng vợi a, b thuộc S, (a, b) thuộc E (b, a) thuộc L có a=b Quan hệ P khơng có tính phản xứng có cặp ( 0, 2) thuộc P (2, 0) thuộc P  Quan hệ L khơng có tính phản xứng có cặp ( a, b) thuộc L (b, a) thuộc L mà a = b * Tính bắc cầu: Quan hệ L có tính bắc cầu có (0, 1) (1, 2) thuộc L có (0, 2) thuộc L Quan hệ E khơng có tính bắc cầu khơng có (a, b) (b,c) thuôc E mà (a, c) thuộc E Trang: 15 Quan hệ P có tính bắc cầu tồn (1, 3), ( 3, 1) thuộc P (1,1) thuộc P Bài 2: Cho tập {1, , 3, 4} xét quan hệ sau: R1= {(1,1),(1,2),(2,1)(2,2),(3,4),(4,1),(4,4)} R2 = {{1,1),(1,2),(2,1)} R3 = {(1,1), (1,2), (1,4)(2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} R4 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} R5 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (44)} R6 = {(3,4)} Giải: * Tính phản xạ: Quan hệ R3 có tính phản xạ tất cặp dạng (a, a), cụ thể là: (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) thuộc R3 Tương tự, quan hệ R5 có tính phản xạ Quan hệ R1 khơng có tính phản xạ cặp (3, 3) không thuộc R1 Tương tự, quan hệ R2, R4, R6 khơng có tính phản xạ * Tính đối xứng : Các quan hệ R2, R3 đối xứng trường hợp (a, b) thuộc quan hệ có (b, a) thuộc quan hệ Quan hệ R1 khơng đối xứng có cặp (3, 4) thuộc R1 (4, 3) không thuộc R1 Tương tự, dễ dàng kiểm ta quan hệ cịn lại khơng có tính đối xứng cách tìm cặp (a, b) thuộc quan hệ (b, a) không thuộc quan hệ *Tính phản xứng: Quan hệ R1 khơng phản xứng có cặp (1, 2) (2, 1) thuộc R1 ≠ Tương tự R2 không phản xứng Quan hệ R3, R4, R6 không phản xứng Quan hệ R5 phản xứng * Tính bắc cầu: Trang: 16 Quan hệ R1 khơng có tính bắc cầu (3, 4) (4, 1) thuộc R1 (3, 1) khơng thuộc R1 Quan hệ R4 có tính bắc cầu (3, 2) (2, 1) thuộc R4 (3, 1) thuộc R4 Tương tự, (4, 2), (2, 1), (4, 1) (4, 3), (3, 1), (4, 1) thuộc R4 Quan hệ R2, R3, R5, R6 khơng có tính bắc cầu Bài 3: Quan hệ “chia hết” tập số tự nhiên Giải: * Tính phản xạ: Vì a|a với a số tự nhiên nên quan hệ “chia hết” có tính phản xạ * Tính phản xứng: Vì với số tự nhiên a, b, a| b b|a ta có a = b Do quan hệ chia hết tập số ngun dương có tính phản xứng * Tính đối xứng: Khơng có tinh đối xứng * Tính bắc cầu: Vì tồn a, b, c thuộc số tự nhiên , giả sử aRb bRc a|b b|c=> a|c=>aRc, nên có tính bác cầu Bài 4: Cho R quan hệ tập số thực : aRb a a-b  => b-a= -(a-b)  => bRa, nên có tính đối xứng * Tính phản xứng: R khơng phản xứng lấy a=1, b=4 thuộc A ta có 1R4 4R1  * Tính bắc cầu: Vì  a, b, c  A, giả sử aRb  bRc => a-b  b- c  Ta có: (a-b)+(b-c)= (a-c)  => aRc, nên có tính bắc cầu II MÔT SỐ BÀI TẬP QUAN HỆ TƢƠNG ĐƢƠNG Bài Cho R quan hệ tập số thực cho aRb (a - b) số nguyên R có quan hệ tương đương khơng? Giải: Vì a – a = số nguyên với số thực a, nên R phản xạ Giải sử aRb Khi (a – b) số nguyên (b – a ) số nguyên Vậy bRa nên R đối xứng Nếu aRb bRc (a – b) (b – c) số nguyên Khi a – c = (a – b) + (b – c) số nguyên Vậy aRc, tức R bắc cầu Do đó, R quan hệ tương đương Bài Đồng dư theo môdun m Cho m số nguyên dương lớn Chứng minh quan hệ R = {(a, b) | a  b (mod m)} quan hệ tương đương tập số nguyên Giải: Ta biết a  b (mod m) (a – b) chia hết cho m Mà a – a = chia hết cho m, = 0.m, nên a  a (mod m), R phản xạ Gia sử a  b (mod m), (a – b) chia hết cho m, nghĩa a – b = km, với k số nguyên Từ suy (b – a) = - km, b  a (mod m), R đối xứng Giả thuyết a  b (mod m) b  c (mod m) Khi đố (a – b) (b – c) chia hết cho m Do đó, tồn số nguyên k l cho (a – b) = km (b – c) = lm Cộng phương trình ta được: a – c = km + lm = (k+l)m Suy a  c (mod m) Do đó, R có tính bắc cầu Trang: 18 Vậy, quan hệ theo đồng dư môdun m quan hệ tương đương Bài Cho R quan hệ tập số số nguyên cho aRb a = b hoăc a = - b Xác định lớp tương đương số nguyên quan hệ R Giải: Dễ dàng chứng minh quan hệ R tập số nguyên quan hệ tương đương: Theo định nghĩa ta chứng minh R phản xã, đối xứng bắc cầu Xác định lớp tương đương: Vì số ngun tương đương với số đối quan hệ tương đương này, suy [a] = {-a, a} Tập chứa hai số nguyên phân biệt, trừ trường hợp a = Ví dụ, [7] ={-7, 7}; [5] = {-5, 5} [0] = {0} Bài Hãy liệt kê cặp xếp quan hệ tương đương R tạo phân hoạch A1 ={1, 2, 3}, A2 = {4, 5}, A3 = {6} tập S = {1,2, 3, 4, 5, 6} Giải: Các tập phân hoạch lớp tương đương R Cặp (a, b)  R a b thuộc tập phân hoạch Các cặp (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) thuộc R A1 = {1,2,3} lớp tương đương Các cặp (4,4), (4,5), (5,4), (5,5) thuộc R A2 = {4,5} lớp tương đương Cặp (6,6) thuộc R A3 = {6} lớp tương đương Khơng cịn cặp khác thuộc R Bài Xác định tập phân hoạch số nguyên tạo quan hệ đồng dư theo môdun Giải: Có bốn lớp đồng dư theo mơdun tương ứng [0]4, [1]4, [2]4, [3]4 Đó tập hợp: [0]4 = {…, -8, -4, 0, 4, 8, …}, [1]4 = {…, - 7, -3, 1, 5, 9,…}, [2]4 = {…, - 6, -2, 2, 6, 10,…}, [3]4 = {…, - 5, - 1, 3, 7, 11}, Các lớp đồng dư rời số nguyên thuộc xác bốn lớp Nói cách khác theo định nghĩa, lớp đồng dư tạo nên phân hoạch Trang: 19 III MỘT SỐ BÀI TẬP QUAN HỆ THỨ TỰ Bài 1: Trên tập hợp xét quan hệ chia hết sau : a, b  * * , a/b  a ước số b a Chứng minh : quan hệ chia hết quan hệ thứ tự * b Tìm phần tử lớn nhất, nhỏ nhất, tối đại, tối tiểu tập A= 2,3, 4,5,6,10,12,15,30,60  Giải : a) Tính phản xạ : a  * , ta có a/a  a ước số a + Tính phản đối xứng : a, b  + Tính bắc cầu: a, b,c  * * a / b  a uoc so cua b a b b/a b uoc so cua a   ,  , a / b  a uoc so cua b  a uoc so cua c  a/c  b/c  b uoc so cua c  Vậy quan hệ chia hết quan hệ thứ tự * b) + Phần tử lớn : 60 + Phần tử tối đại : 60 + Phần tử nhỏ nhất: khơng có + Phẩn tử tối tiểu : 2,3,5 Bài : Cho tập X= 1, 2,3 Kí hiệu P(X) tập hợp tất tập X a) CMR : Quan hệ bao hàm quan hệ thứ tự P(X) b) Tìm phần tử nhỏ nhât, lớn nhất, tối đại, tối tiểu P(X) P(X)\  , P(X)\X Giải a) +Tính phản xạ : A  P(X) , ta có A  A + Tính phản đối xứng : A,B  P(X) , A  B B  A A=B + Tính bắc cầu : A,B,C  P(X) A  B , B  C A  C Trang: 20 Vậy quan hệ bao hàm quan hệ thứ tự P(X) b) Đối với tập P(X) + Phần tử lớn : X + Phần tử tối đại : X + Phần tử nhỏ nhất:  + Phẩn tử tối tiểu :  Đối với tập P(X)\  + Phần tử lớn X + Phần tử tối đại : X + Phần tử tối tiểu : 1  , 2 ,3 + Phần từ nhỏ : Đối với tập P(X)\X + Phần tử lớn : khơng có + Phần tử tối đại : 1, 2 ;1,3 ;2,3 + Phần tử tối tiểu :  + Phần từ nhỏ :  Bài 3: Giả sử ƒ đơn ánh từ tập hợp X đến tập hợp số tự nhiên N S quan hệ X xác định sau : xSx’ ƒ(x)  ƒ(x’) a) Chứng minh S quan hệ thứ tự toàn phần b) S có phải quan hệ thứ tự tốt không? Tại sao? Giải a) Kiểm tra theo định nghĩa ( tc phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu) + x X ,ta ln có: f (x)  f (x)  xSx (tính phản xạ)  f ( x)  f ( y )  f ( x)  f ( y )  f ( y )  f ( x) + x,y  X , mà xSy, y Sx   Do f đơn ánh nên x = y (tính phản đối xứng)  f ( x)  f ( y )  f ( x)  f ( z )  xSz  f ( y)  f ( z) + x,y, z X , mà xSy, y Sz  (tính bắc cầu) Vậy S quan hệ thứ tự Trang: 21  f ( x)  f ( y )  xSy  + x,y X f (x), f ( y)     f ( y )  f ( x)  ySx Vậy S quan hệ thứ tự toàn phần b) Nêu định nghĩa quan hệ thứ tự tốt ( Nếu quan hệ thứ tự tồn phần tử tối đại tối tiểu) AX f (A) ฀ Do ฀là quan hệ thứ tự tốt nên tồn n0 minf ( A)฀ x0 A : f (x0 ) n0 f (x0 ) f (x) xA x0Sx xA x0 phần tử tối tiểu A Vậy S quan hệ thứ tự tốt Bài 4: Trên ฀฀, định nghĩa quan hệ “ ” sau: x  x ' ( x; y )  ( x '; y ')   y  y' a)Chứng minh “ ” quan hệ thứ tự ฀฀ b)Quan hệ có quan hệ thứ tự tồn phần khơng? Tại sao? Giải a) + (x,y) ฀฀, ta ln có: x  x  ( x; y )  ( x; y )  y  y (tính phản xạ) + (x,y),(x ', y ')฀฀mà (x; y) (x '; y ') (x '; y ') (x; y) thì: x  x ' x '  x x  x ' (tính phản đối xứng)     ( x, y)  ( x ', y ') y  y' y  y '  y '  y + (x,y), (x ', y '), (x '', y '')฀฀mà (x; y) (x '; y ') (x '; y ')  (x ''; y '') x  x '  x" x  x"    ( x, y )  ( x ", y ") (tính bắc cầu) y  y '  y" y  y" Vậy là quan hệ thứ tự b) Quan hệ  không phải quan hệ thứ tự tồn phần (1; 2),(2;1) không Trang: 22 so sánh với IV MỘT SỐ BÀI TẬP QUAN HỆ TUẦN TỰ - DÀN Bài Tập hợp N* với quan hệ chia hết gọi dàn với m, n N*, ta có m∨ n BCNN(m,n) m ∧ n UCLN(m,n) Bài Tập hợp P(X) với quan hệ “bao hàm” dàn với A, B  P( X ) A, ta có A ∨ B A ∪B A ∧ B A ∩ B Bài Cho A={1,2,3} Vẽ dàn đầy đủ A Ta có P(X) = { ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},A} {1,2,3} {1,2} {1,3} {1} Bài Một tập thứ tự {2} {2,3} {3} gọi dàn đầy đủ tập khác rỗng có cận cận Chứng minh rằng: a) Một dàn đầy đủ chứa phần tử nhỏ phần tử lớn b) Tập P(X) gồm tất tập X với quan hệ bao hàm dàn đầy đủ c) Tập + số nguyên dương với quan hệ thứ tự quan hệ chia hết dàn đầy đủ Giải: Trang: 23 a) Phần tử nhỏ dàn đầy đủ inf phần tử lớn sup sup T b) inf T Do tập P(X) gồm tất tập X với quan hệ bao hàm dàn đầy đủ c) Theo câu a ta thấy + khơng phải dàn đầy đủ khơng chứa phần tử lớn Bài Cho X tập tùy ý, S tập quan hệ tương đương X Chứng minh tập S với quan hệ thứ tự quan hệ bao hàm dàn đầy đủ Giải: , inf giao quan hệ tương đương thuộc sup quan hệ tương đương nhỏ X chứa quan hệ thuộc Do S với quan hệ thứ tự quan hệ bao hàm dàn đầy đủ Bài Chứng minh tập thứ tự L dàn đầy đủ thỏa mãn điều kiện sau đây: a) Tập L chứa phần tử lớn tập khác rỗng L có cận b) Tập L chưa phần tử nhỏ tập khác rỗng L có cận Giải: , tồn a) chặn A, chẳng hạn phần tử lớn Gọi tập chặn A Khi , d = inf B( tồn theo giả thiết) , Mặt khác , chặn A , Vì d= sup A , tồn b) chặn A, chẳng hạn phần tử nhỏ Gọi tập chặn A Khi , d = sup B( tồn theo giả thiết) , Mặt khác , chặn A Trang: 24 , Vì d= inf A PHẦN III: ỨNG DỤNG CỦA QUAN HỆ Bài tốn Bao đóng ứng dụng cụ thể Quan Hệ Cho quan hệ R tập A R có khơng có tính chất P (phản xạ, đối xứng bắc cầu) Nếu tồn quan hệ S cho: S có tính chất P S chứa R S tập tất quan hệ có tính chất P chứa R (S tập nhỏ có tính chất P) S bao đóng R tính chất P Có loại bao đóng: ??? Tạo bao đóng phản xạ Tạo bao đóng đối xứng Trang: 25 Tạo bao đóng bắc cầu Trang: 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO Giáo trình Cớ sở tốn học – Thầy Nguyễn Gia Định, trường Đại học Khoa học Huế Toán học rời rạc ứng dụng tin học – Kenneth H Rosen (Bản dịch tiếng Việt), Nhà xuất Giáo dục năm 2007 Trang: 27 ... xứng: Quan hệ L khơng đối xứng trường hợp (a, b) thuộc quan hệ khơng có (b, a) thuộc quan hệ Quan hệ E P đối xứng có cặp (a, b) thuộc quan hệ có (b, a) thuộc quan hệ * Tính phản xứng: Quan hệ. .. lớn mối quan hệ tập hợp 1.3 CÁC QUAN HỆ TRÊN MỘT TẬP HỢP Định nghĩa: Một quan hệ tập A quan hệ từ A đến A Nói cách khác, quan hệ tập A tập tập A × A Ví dụ 1: i) Quan hệ "nhỏ bằng" ( ) quan hệ tập... R1 Tương tự, quan hệ R2, R4, R6 khơng có tính phản xạ * Tính đối xứng : Các quan hệ R2, R3 đối xứng trường hợp (a, b) thuộc quan hệ có (b, a) thuộc quan hệ Quan hệ R1 không đối xứng có cặp (3,