Các tính chất vận chuyển của hệ hai chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÕ VĂN TÀI CÁC TÍNH CHẤT VẬN CHUYỂN CỦA HỆ HAI CHIỀU Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số chuyên ngành: 62 44 01 01 Phản biện 1: TS Cao Huy Thiện Phản biện 2: PGS TS Lê Thế Vinh Phản biện 3: TS Đỗ Ngọc Sơn Phản biện độc lập 1: PGS TS Lê Thế Vinh Phản biện độc lập 2: TS Huỳnh Anh Huy NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN QUỐC KHÁNH Tp Hồ Chí Minh – 2018 Lời cảm ơn Xin chân thành cảm ơn thầy môn Vật lý lý thuyết tận tình giúp đỡ cung cấp kiến thức vật lý năm qua Xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Quốc Khánh trực tiếp hướng dẫn, cung cấp kiến thức tài liệu để hoàn thành luận án tiến sĩ NCS Võ Văn Tài ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, thực hướng dẫn PGS TS Nguyễn Quốc Khánh Các số liệu, kết mà công bố luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác NCS Võ Văn Tài iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cảm ơn ii Lời cam đoan iii Mục lục iv Ký hiệu viết tắt viii Quy ước ký hiệu vectơ x Danh sách hình vẽ xii Danh sách bảng xiii Mở đầu 1 Lý thuyết vận chuyển hệ khí điện tử chuẩn hai chiều 1.1 1.2 Giếng lượng tử 1.1.1 Giếng tam giác 1.1.2 Giếng vuông vô hạn 11 Hiệu ứng chắn 12 1.2.1 Chắn tĩnh 13 1.2.2 Chắn động 13 1.3 Phương trình vận chuyển Boltzmann 17 1.4 Quy tắc Fermi 20 1.4.1 Quy tắc Fermi cho tĩnh 21 1.4.2 Quy tắc Fermi cho dao động 21 iv 1.5 Kết luận chương 22 Các chế tán xạ 2.1 Tán xạ đàn hồi phi đàn hồi 24 2.1.1 2.1.2 2.2 2.1.1.1 Thế tĩnh 24 2.1.1.2 Thế dao động điều hoà 25 Tán xạ phi đàn hồi 26 Tán xạ tạp chất ion 27 2.2.1.1 Tán xạ tạp chất ion điều biến (RIS) 28 2.2.1.2 Tán xạ tạp chất ion (BIS) 29 2.2.2 Tán xạ bề mặt nhám (IRS) 31 2.2.3 Tán xạ lệch vị 33 2.2.4 2.2.3.1 Lệch vị Coulomb (DC) 34 2.2.3.2 Lệch vị trường biến dạng (DS) 35 Tán xạ hợp kim (AL) 36 Tán xạ dao động điều hoà 39 2.3.1 2.3.2 2.4 Tán xạ đàn hồi 24 Tán xạ tĩnh 27 2.2.1 2.3 24 Tán xạ phonon âm 39 2.3.1.1 Thế biến dạng (DP) 40 2.3.1.2 Thế áp điện (PE) 42 Tán xạ phonon quang phân cực 48 Kết luận chương 51 Cấu trúc dị chất MgZnO/ZnO 3.1 53 Lý thuyết 55 3.1.1 Thời gian hồi phục vận chuyển 55 3.1.2 Hàm phân bố nhiễu loạn 56 3.1.3 Độ linh động 57 v 3.1.4 Quy tắc Matthiessen 58 3.2 Kết thảo luận 59 3.3 Kết luận chương 67 Giếng lượng tử GaP/AlP/GaP 4.1 68 Lý thuyết 70 4.1.1 Thời gian hồi phục đơn hạt 70 4.1.2 Điện trở suất 70 4.1.3 Chuyển tiếp kim loại-cách điện 70 4.1.4 Suất điện động nhiệt điện khuếch tán 71 4.2 Kết thảo luận 73 4.3 Kết luận chương 82 Kết luận chung 84 Danh mục công trình tác giả 86 Tài liệu tham khảo 87 A Hàm điện mơi, phân cực, phương trình Boltzmann quy tắc Fermi 99 A.1 Hàm điện môi 99 A.2 Hàm phân cực 101 A.3 Phương trình Boltzmann tuyến tính 103 A.4 Quy tắc Fermi 104 A.4.1 Quy tắc Fermi cho tĩnh 104 A.4.2 Quy tắc Fermi cho dao động 107 B Phương pháp ảnh điện, tán xạ tạp chất ion, bề mặt nhám phonon âm 108 B.1 Phương pháp ảnh điện 108 vi B.2 Tán xạ tạp chất ion hoá 109 B.3 Tán xạ bề mặt nhám 111 B.4 Phần tử ma trận tán xạ phonon âm 112 B.4.1 Hấp thụ phonon 112 B.4.2 Phát xạ phonon 113 C Suất điện động nhiệt điện 114 vii Ký hiệu viết tắt • 2DEG (Two-Dimensional Electron Gas): Khí điện tử hai chiều • Q2DEG (Quasi-Two-Dimensional Electron Gas): Khí điện tử chuẩn (giả) hai chiều • MBE (Molecular-Beam Epitaxy): Epitaxy chùm phân tử • HS (Heterostructure): Cấu trúc dị chất • 2DS (Two-dimensional system): Hệ hai chiều • Q2DS (Quasi-two-dimensional system): Hệ chuẩn (giả) hai chiều • MOSFET (Metal–Oxide–Semiconductor Field-Effect Transistor): Transis- tor hiệu ứng trường bán dẫn-oxít-kim loại • CGS (Centimetre–gram–second system of units): Hệ đơn vị CGS • SI (International System of Units): Hệ đơn vị quốc tế SI • RPA (Random Phase Approximation): Gần pha ngẫu nhiên • LFC (Local Field Correction): Hiệu chỉnh trường cục • STLS (the self-consistent formalism of Singwi, Tosi, Land and Sjă olande): Hỡnh thc lun t hp STLS ã BG (the Bloch-Gră uneisen regime): Min Bloch-Gră uneisen (Min nhit thp di nhit Bloch-Gră uneisen) • EP (Equipartition regime): Miền trung gian (Miền nhiệt độ trung gian ln hn nhit Bloch-Gră uneisen) viii ã RIS (Remote Ionized Impurity Scattering): Tán xạ tạp chất ion điều biến • IIS (Interface Ionized Impurity Scattering): Tán xạ tạp chất ion bề mặt • BIS (Background Ionized Impurity Scattering): Tán xạ tạp chất ion • IRS (Interface Roughness Scattering): Tán xạ bề mặt nhám • DC (Dislocation Scattering via Coulomb): Tán xạ lệch vị qua tương tác Coulomb • DS (Dislocation Scattering via strain fields): Tán xạ lệch vị qua trường biến dạng • AL (Alloy Scattering): Tán xạ hợp kim • DP (Deformation Potential scattering (acoustic phonon)): Tán xạ phonon âm biến dạng • PE (Piezoelectric Potential scattering (acoustic phonon)): Tán xạ phonon âm áp điện • LO (Longitudinal polar Optical phonon scattering): Tán xạ phonon quang phân cực dọc • MIT (Metal-Insulator Transition): Chuyển pha kim loại-cách điện • SCRT (Self-Consistent Current Relaxation Theory): Lý thuyết dịng hồi phục tự hợp • MSE (Multiple Scattering Effect): Hiệu ứng đa tán xạ ix Quy ước ký hiệu vectơ Để thống tiện đọc luận án, cần phân biệt vectơ hai chiều vectơ ba chiều, đặc biệt thường xuyên sử dụng việc mô tả hệ thấp chiều, cụ thể mơ tả cho vectơ vị trí vectơ sóng Trong hầu hết cấu trúc thấp chiều ni nhiều lớp phương ni phương vng góc với lớp Vectơ vị trí mặt phẳng (xy ) vng góc với phương ni viết với chữ thường in đậm r = (x, y ) ba chiều viết chữ hoa in đậm R = (x, y, z ) hay R = (r, z ) Điều tương tự cho vectơ sóng K = (k, kz ) Cũng giống qui ước thường thấy khác, luận án đại lượng in đậm viết thay cho dấu vectơ x Nhân hai vế (A.36) với ψf∗ (trạng thái “cuối”), lấy tích phân cho tồn khơng gian, sử dụng điều kiện trực giao ψf |ψj = δf j i iEf t ∂af (t) exp − ∂t = aj (t) exp − iEj t ˆ I (t) ψj ψf H (A.37) j Nhân hai vế (A.37) cho exp(iEf t/ ), i ∂af (t) = ∂t aj (t) exp i(Ef − Ej )t ˆ I (t) ψj ψf H (A.38) j ˆ I (t), Để tìm hiệu chỉnh cho cấp khác H ˆ I (t), với λ(0 ≤ λ ≤ 1) tham số nhiễu loạn viết Hamiltonian nhiễu loạn λH   ˆ (t) −→ λH ˆ I (t)  H   I (0) (1) (2) aj (t) = aj (t) + λaj (t) + λ2 aj (t) +    a (t) = a(0) (t) + λa(1) (t) + λ2 a(2) (t) + f f f (A.39) f Thay (A.39) vào (A.38) đồng số hạng hai vế với luỹ thừa λ thu được,  (0)  ∂af (t)    = 0,    i ∂t (s+1) ∂af (t) ∂t (A.40) = j (s) aj (t) exp i(Ef −Ej )t ˆ I (t) ψj ψf H Để khảo sát tiến triển theo thời gian toán, giả thiết nhiễu loạn đưa vào thời điểm t = nên hệ trạng thái dừng (không phụ thuộc thời gian) thời điểm t = Từ (A.40), thấy hệ số a(0) j (t) (gần “cấp 0”) số điều kiện ban đầu toán trước nhiễu loạn đưa vào Giả sử ban đầu hệ xác định trạng thái |ψi ,  a(0) (t = 0) = δij = i = j, j (0) a (t = 0) = f |i = f = i f 105 (A.41) Từ (A.40) (A.41), dẫn phương trình gần “cấp 1” t (1) af (t) = dt exp i i(Ef − Ei )t ˆ I (t ) ψi ψf H (A.42) ˆ I (t ) “nhỏ” (af (t) ≈ a(1) (t)) không thay Tiếp theo, giả sử Hamiltonian H f ˆ I (t ) = H ˆ (s) ), nên (A.42) viết lại đổi khoảng thời gian ≤ t ≤ t (H I sau, exp ˆ I ψi af (t) = − ψf H = −i exp i(Ef −Ei )t −1 Ef − Ei i(Ef − Ei )t ˆ I ψi ψf H sin (Ef −Ei )t Ef −Ei (A.43) Từ (A.43), ta dẫn xác suất tìm thấy điện tử trạng thái cuối af (t) = π ˆ I ψi ψf H sin2 t π (Ef −Ei )t (Ef −Ei ) (A.44) t Hình A.1: Hàm (A.45) theo α ứng với thời điểm khác t1 : t2 : t3 : t4 = : : : Khảo sát hàm số, f t (α ) = sin2 (αt) πα2 t , (A.45) theo α với t tham số (hình A.1) Với α = 0, hàm liên tục có giá trị t/π nên hàm phân kỳ gốc toạ độ t → +∞ Với α = 0, hàm có đường bao đường 106 cong 1/(πα2 t) Vậy (A.45) viết lại giới hạn t → +∞,   ∞, α = lim ft (α) = t→+∞  0, α = (A.46) Mặt khác, +∞ +∞ ft (α)dα = −∞ sin2 (αt) πα2 t +∞ dα = −∞ sin2 ξ π ξ2 dξ = (A.47) −∞ Như vậy, với thời gian t đủ dài từ định nghĩa hàm delta Dirac, xấp xỉ hàm ft (α) ft (α) ≈ δ (α) (A.48) Thay (A.48) vào (A.44) sử dụng tính chất hàm delta Dirac δ (ax) = δ (x)/|a|, viết lại (A.44) sau, af (t) A.4.2 ≈ 2π ˆ I ψi ψf H δ (Ef − Ei )t (A.49) Quy tắc Fermi cho dao động Loại nhiễu loạn thứ hai thay đổi cách điều hòa theo thời gian Một dao động mạng tinh thể tần số ωQ khoảng thời gian t dẫn đến điện tử chuyển từ trạng thái đầu |ψi ≡ k, i(z ), Q (Q trạng thái đầu phonon tinh thể) với lượng Ei sang trạng thái cuối ψf ≡ k , f (z ), Q (Q trạng thái cuối phonon tinh thể) với lượng Ef = Ei + ωQ (hấp thụ phonon) hay Ef = Ei − ωQ (phát xạ phonon) Dao động mạng tinh thể xem nhiễu loạn điều hịa, ˆ I (t) = H ˆ abs e−iωQ t + H ˆ ems eiωQ t , H I I (A.50) ˆ abs (hấp thụ) H ˆ ems (phát xạ) Hamiltonian nhiễu loạn không phụ thuộc với H I I thời gian Tương tự tĩnh, dẫn phương trình gần “cấp 1”, t af (t) = i ˆ abs ψi ψf H I dt e−iωQ t exp 107 i(Ef − Ei )t t + i ˆ ems ψi ψf H I dt eiωQ t exp i(Ef − Ei )t ˆ abs ψi exp = −i ψf H I i(Ef − Ei − ωQ )t sin ˆ ems ψi exp i(Ef − Ei + ωQ )t − i ψf H I 108 (Ef −Ei − ωQ )t Ef −Ei − ωQ (Ef −Ei + ωQ )t sin Ef −Ei + ωQ (A.51) Phụ lục B Phương pháp ảnh điện, tán xạ tạp chất ion, bề mặt nhám phonon âm B.1 Phương pháp ảnh điện Hình B.1: Phương pháp ảnh điện cấu trúc dị chất với số điện môi khác Điện tích q đặt vị trí (ri , −zi ) miền đồng (z < 0) với số điện môi κ2 cách biên tiếp xúc (z = 0) với miền đồng (z > 0) có số điện mơi κ1 (hình B.1) Theo điện động lực học, ta có • Miền z > 0, ∇D1 = κ1 ∇E = −κ1 ∇2 ϕ1 = (B.1) ∇D2 = κ2 ∇E = −κ2 ∇2 ϕ2 = ρ (B.2) • Miền z < 0, 109 Để tìm ϕ1 , giả sử hai miền có số điện mơi κ1 Như vậy, ϕ1 ảnh điện q đặt −zi gây ra: ϕ1 (ri , zi , r, z ) = q (r − ri )2 + (z + zi )2 κ1 (B.3) Tương tự với ϕ2 , giả sử hai miền có số điện môi κ2 Như vậy, ϕ2 điện tích thực q đặt −zi ảnh điện q đặt zi gây ra: ϕ2 (ri , zi , r, z ) = q (r − ri )2 + (z + zi )2 κ2 q + κ2 (r − ri )2 + (z − zi )2 (B.4) Từ điều kiện biên, dẫn giá trị điện tích ảnh q q theo điện tích thực q : • Thế phải liên tục mặt tiếp xúc, ϕ1 |z→0+ = ϕ2 |z→0− ⇒ q q+q = κ1 κ2 (B.5) • Nếu khơng có điện tích tự mặt tiếp xúc thành phần pháp tuyến vectơ cảm ứng điện thành phần tiếp tuyến vectơ cường độ điện trường liên tục, D1n |z→0+ = D2n |z→0− ⇒ κ1 E 1t |z→0+ = E 2t |z→0− ⇒ ∂ϕ1 ∂z ∂ϕ1 ∂r = κ2 z→0+ = z→0+ ∂ϕ2 ∂r ∂ϕ2 ∂z ⇒ q = q − q (B.6) z→0− ⇒ z→0− q q+q = κ1 κ2 (B.7) Từ (B.5), (B.6) (B.7), ta có κ1 − κ2 q, κ1 + κ2 2κ1 q = q κ1 + κ2 q =− B.2 (B.8a) (B.8b) Tán xạ tạp chất ion hoá Phần tử ma trận tán xạ điện tử-tạp chất ion hoá (Z ∗ = 1), NI M(s) k→k =− i=1 e2 k , f (z ) κ (x − xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2 110 k, i(z ) (B.9) Chiếu vectơ sóng vào khơng gian tọa độ sử dụng x| x |x = x x|x , NI M(s) k→k e2 k , f (z ) κ =− i=1 dx |x x| dy |y y| dz |z z| × (x − xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2 × x dx x NI e2 κ =− × dy dx dy dz k , f (z ) x |y |z x|x y|y k, i(z ) z|z × z dz z dz i=1 dx y dy y z k, i(z ) y x (x − xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2 (B.10) Từ x|x = δ (x − x ), ta có NI M(s) k→k e2 κ =− i=1 dx dz f (z )|z dy kx |x × ky |y z|i(z ) (x − xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2 x|kx y|ky (B.11) Chúng ta sử dụng ký hiệu bra-ket, z|i(z ) = ψi (z ) hàm sóng tìm từ √ việc giải phương trình Schrăodinger v x|kx = eikx x / Lx , NI M(s) k→k =− i=1 e2 κ Lx Ly dzψ ∗ (z )ψ (z ) dxe−i(kx −kx )x dye−i(ky −ky )y × (x − xi NI =− i=1 )2 e2 κA + (y − yi )2 + (z − zi )2 dzψ ∗ (z )ψ (z ) d2 r e−iqr (r − ri )2 + (z − zi )2 (B.12) Đổi biến tích phân thứ hai vế phải (B.12), r → r + ri NI M(s) k→k =− i=1 e2 e−iqri κ A dzψ ∗ (z )ψ (z ) e−iqr d2 r r2 + (z − zi )2 Tích phân I tính cách chuyển tích phân sang toạ độ cực, I= d2 r +∞ e−iqr r2 + (z − zi )2 = dr 2π r r2 111 + (z − zi )2 dϕe−iqr cos ϕ (B.13) +∞ =2 +∞ π r dr r2 + (z − zi )2 dϕ cos(qr cos ϕ) = 2π dr 0 rJ0 (qr) r2 + (z − zi )2 (B.14) Đặt u = qr, (B.14) viết lại sau +∞ I = 2π uJ0 (u) du u2 + [q (z − zi )]2 = 2π q e−q|z−zi | (B.15) Thay (B.15) vào (B.13), ta có NI M(s) k→k 2πe2 e−iqri =− i=1 B.3 κq dzψ ∗ (z ) exp(−q|z − zi |)ψ (z ) A (B.16) Tán xạ bề mặt nhám Chú ý rằng, biểu thức V0 ξ0 (z = 0) (2.40) trở nên không xác định trường hợp rào cao vô hạn V0 → ∞ ξ0 (0) → 0, dùng hàm sóng thử để tính hàm tự tương quan có sai số đáng kể tính tốn có sai khác hàm sóng thử hàm sóng thực, sai khác lớn lấy lũy thừa Vì thế, chúng tơi xác định FIRS theo cỏch khỏc xut phỏt t phng trỡnh Schrăodinger chiều (z ), ∂ ξ0 (z ) = −En ξ0 (z ) + Vtot (z )ξ0 (z ) 2mz ∂z (B.17) Nhân phải hai vế phương trình (B.17) với ∂ξ0 (z )/∂z , ta có ∂ ξ0 (z ) ∂ξ0 (z ) ∂ξ (z ) = −En ξ0 (z ) + 2mz ∂z ∂z ∂z ∂ ∂z ∂ ξ (z) ∂z 0 (z) [ ∂ξ∂z ] Vtot (z )ξ0 (z ) ∂ξ0 (z ) ∂z (B.18) (z) ∂ [Vtot (z)ξ02 (z)]−ξ02 (z) ∂Vtot ∂z ∂z Phương trình (B.18) viết lại sau, ∂ ∂z 2 2mz [ξ0 (z )] + [En − Vtot (z )] ξ02 (z ) + ξ02 (z ) ∂Vtot (z ) = 0, ∂z (B.19) với ξ0 (z ) = ∂ξ0 (z )/∂z Lấy tích phân hai vế phương trình (B.19) theo z được, 2mz +∞ +∞ [ξ0 (z )] + −∞ +∞ [En − Vtot (z )] ξ02 (z ) −∞ + −∞ 112 dz|ξ0 (z )|2 ∂Vtot (z ) = ∂z (B.20) Do ξ0 (z → ±∞) → ξ0 (z → ±∞) → 0, nên ta có +∞ dz|ξ0 (z )|2 ∂Vtot (z ) = ∂z (B.21) −∞ Mặt khác, ta biết Vtot (z ) = Vb (z ) + V (z ), với Vb (z ) rào, V (z ) giam giữ Q2DEG khác Lấy đạo hàm theo z rào Vb (z ) được, ∂ Θ(−z ) ∂ Vb (z ) = V0 = −V0 δ (z ) ∂z ∂z (B.22) Thay (B.22) vào biểu thức (B.21), ta có +∞ V0 |ξ0 (z = 0)|2 = dz|ξ0 (z )|2 ∂V (z ) ∂z (B.23) −∞ B.4 Phần tử ma trận tán xạ phonon âm B.4.1 Hấp thụ phonon Mặc dù mode không liên tục, tinh thể đủ lớn nên tổng (2.78a) chuyển thành tích phân, ˆ abs = H I αDP (Q)ei(qx x+qy y+qz z) aQ qx ,qy ,qz = Lx Ly Lz (2π )3 dqx dqy dqz αDP (Q)ei(qx x+qy y+qz z) aQ (B.24) Phần tử ma trận tán xạ có dạng, ˆ abs k, i(z ), Q Mabs k,Q→k ,Q = k , f (z ), Q HI = Lx Ly Lz (2π )3 dqx dqy dqz [M1 ] (B.25) Trong đó, M1 tính sau, M1 = k , f (z ), Q αDP (Q)ei(qx x+qy y+qz z) aQ k, i(z ), Q √ = αDP (Q) nQ k , f (z ) ei(qx x+qy y+qz z) k, i(z ) √ = αDP (Q) nQ f (z ) eiqz z i(z ) 113 kx eiqx x kx ky eiqy y ky (B.26) Chiếu toán tử vectơ trạng thái song song với mặt phân cách vào khơng gian tọa độ ta có, √ M1 = αDP (Q) nQ f (z ) eiqz z i(z ) × kx dx|x >< x| eiqx x dx |x >< x | × ky dy|y >< y| eiqy y dy |y >< y | kx ky √ Sử dụng ký hiệu bra-ket: x |kx = eikx x / Lx x|eiqx x |x (B.27) = eiqx x x|x = eiqx x δ (x − x ), ta có M1 = √ αDP (Q) nQ f (z ) eiqz z i(z ) dxeix(−kx +qx +kx ) Lx Ly (2π )2 √ αDP (Q) nQ f (z ) eiqz z i(z ) δ (−k + k + q) = Lx Ly Thay (B.28) vào (B.25) sử dụng Mabs k,Q→k ,Q = +∞ δ (t − T )f (t)dt −∞ Lx Ly Lz (2π )2 (2π )3 Lx Ly (B.28) = f (T ), ta có √ ˆ) dqz nQ αDP (q + qz k × f (z ) eiqz z i(z ) B.4.2 dyeiy(−ky +qy +ky ) δk ,k+q (B.29) Phát xạ phonon Tương tự hấp thụ phonon, từ (2.78b), phần tử ma trận tán xạ có dạng Mems k,Q→k ,Q = Lx Ly Lz (2π )3 dqx dqy dqz [M2 ], (B.30) với, M2 = (2π )2 Lx Ly † αDP (Q) nQ + f (z ) e−iqz z i(z ) δ (−k + k − q) (B.31) Thay (B.31) vào (B.30), ta có Mems k,Q→k ,Q = Lx Ly Lz (2π )2 (2π )3 Lx Ly dqz † nQ + 1αDP (−q + qz kˆ) × f (z ) e−iqz z i(z ) 114 δk ,k−q (B.32) Phụ lục C Suất điện động nhiệt điện Điện tử tinh thể hạt với điện tích âm −e chuyển động tạo dịng điện Tuy điện tử tinh thể điều kiện cân nhiệt, chúng mang nhiệt entropy Vì vậy, tinh thể có gradient nhiệt độ điện tử chuyển từ nơi có nhiệt độ cao đến nơi có nhiệt độ thấp gây dòng điện Mối quan hệ tượng nhiệt điện gọi hiệu ứng nhiệt điện Suất điện động nhiệt điện (thermopower) đại lượng đặc trưng hiệu ứng nhiệt điện Suất điện động nhiệt điện (S ) phụ thuộc mạnh vào thành phần, cấu trúc hệ, trường bao gồm: suất điện động nhiệt điện khuếch tán (hệ số Seebeck) (Sd ) suất điện động nhiệt điện phonon drag (Sg ) Để dẫn biểu thức tường minh cho Sd Sg , đầu tiên, có gradient nhiệt độ nên T ∈ r, hóa ζ ∈ T → ζ ∈ r dẫn đến hàm phân bố điện tử f (k) phonon NQ phụ thuộc vào r Do đó, từ (1.47), dẫn phương trình vận chuyển Boltzmann tuyến tính trạng thái dừng cho hàm phân bố điện tử phonon hệ Q2DEG,  ∂f (k) (−e)E ∂f (k) ∂f (k)   = ≡ Is [f ] + Ia [f ] + Ie [f ],  vk ∂ r + ∂k ∂t c  ∂N ∂NQ   vQ Q = ≡ Ip [NQ ] + Ia [NQ ] + Ie [NQ ] ∂r ∂t c (C.1a) (C.1b) Trong đó, • Hàm phân bố điện tử phonon điều kiện không cân bằng,  ∂f (k) g (k)   = f (k) + f (k)[1 − f (k)],  f (k) = f (k) − g (k) (C.2a) GQ ∂nQ   = nQ + nQ (1 − nQ ),  NQ = nQ − GQ kB T ∂ ( ωQ ) (C.2b) ∂Ek kB T với, f (k) dẫn từ (1.52), nQ dẫn từ (2.81) 115 • Số hạng tán xạ: - Từ tĩnh nguyên lý cân chi tiết (1.49), ta có s f (k ) [1 − f (k)] Pks →k − f (k) [1 − f (k )] Pk→k Is [f ] = k =− g (k) ∂f (k) f (k) − f (k) = τt (Ek ) τt (Ek ) ∂Ek (C.3) - Từ hấp thụ, phát xạ phonon nguyên lý cân chi tiết: f0 (k)[1 − a0(e0) e0(a0) f0 (k )]Pk→k = f0 (k )[1 − f0 (k)]Pk →k a f (k ) [1 − f (k)] Pka →k − f (k) [1 − f (k )] Pk→k Ia [f ] + Ie [f ] = k ,Q e f (k ) [1 − f (k)] Pke →k − f (k) [1 − f (k )] Pk→k + k ,Q = kB T [g (k ) − g (k)](Γk→k + Γk →k ) − GQ (Γk→k − Γk →k ) (C.4) k ,Q với,   Γk→k = f0 (k)[1 − f0 (k )]P a0 k→k (C.5)  Γk →k = f0 (k )[1 − f0 (k)]P a0 k →k - Từ tương tác phonon-phonon, Ip [NQ ] = − NQ − nQ ∂nQ GQ = τt(ac) (Ek ) τt(ac) (Ek ) ∂ ( ωQ ) (C.6) - Từ hấp thụ phát xạ phonon, a f (k) [1 − f (k )] Pk→k − f (k ) [1 − f (k)] Pke →k Ia [NQ ] + Ie [NQ ] = −2 k,k = kB T (k ) − g (k)]Γk→k − GQ Γk→k (C.7) k,k Thay (C.6) (C.7) vào phương trình (C.1b), ta có   ∂NQ −1  vQ GQ = FQ − [g (k ) − g (k)]Γk→k  , ∂r kB T (C.8) k,k với, FQ = ∂nQ − τt(ac) (Ek ) ∂ ( ωQ ) kB T 116 Γk→k k,k (C.9) Thay (C.3), (C.4), (C.8) vào phương trình (C.1a), ta có [L1 + L2 + L3 ] g (k) + −vk ∂f (k) (−e)E ∂f (k) − + UQ = 0, ∂r ∂k (C.10) với, ∂f (k) τt (Ek ) ∂Ek L2 = [g (k )/g (k) − 1] (Γk→k + Γk →k ) L1 = kB T L3 = − (C.11b) k ,Q (kB T )2 g (k) UQ = − (C.11a) kB T −1 FQ (Γk→k − Γk →k ) k ,Q [g (k ) − g (k)]Γk→k (C.11c) k,k −1 FQ (Γk→k − Γk →k )vQ (∂NQ /∂ r) (C.11d) k ,Q Khi bỏ qua nhiễu loạn phân bố phonon L3 (C.11c), UQ (C.11d) bị triệt tiêu trường hợp phương trình (C.10) phương trình Boltzmann tuyến tính điện tử Hai đại lượng L3 UQ mô tả hiệu ứng phonon drag lên hàm phân bố điện tử Khi liên kết điện tử-phonon yếu L2 , L3 L1 (C.10) viết lại sau: L1 g (k) + −vk ∂f (k) (−e)E ∂f (k) + UQ = − ∂r ∂k (C.12) Lời giải (C.12) dẫn sau, f1 (k) ≡ −g (k) ∂f (k) ∂f (k) (−e)E ∂f (k) = τt (Ek ) −vk − + τt (Ek )UQ ∂Ek ∂r ∂k = −τt (Ek ) vk − τt (Ek ) kB T −1 FQ (Γk→k − Γk →k )vQ k ,Q = τt (Ek ) − + τt (Ek ) kB T ∂f0 (k) (−e)E ∂f0 (k) + ∂r ∂k ∂nQ ∂r ∂f0 (k) E − ζ (T ) vk k (−∇T ) + (−e) E − ∇ζ (T ) ∂Ek T (−e) −1 FQ (Γk→k − Γk →k )vQ − k ,Q ∂nQ ∂ ( ωQ ) ωQ (−∇T ), T (C.13) đó, sử dụng giả thiết f (k) ≈ f0 (k), NQ ≈ nQ Tiếp theo, tính vectơ mật độ dịng điện je vectơ mật độ dòng 117 lượng (nhiệt) ju ,    g g    je = (−e) s ν2   (2π )  +∞ vk f1 (k)dk, (C.14a) −∞ +∞    g g   ju = s ν2   (2π )  vk [Ek − ζ (T )]f1 (k)dk (C.14b) −∞ Thay (C.13) vào (C.14a-C.14b) đặt, +∞ g g = s ν2 (2π ) (n) Lij dk vki vkj [Ek − ζ (T )](n) τt (Ek ) − −∞ +∞ Lgij = gs gν (2π )2 dk −∞   τt (Ek )  kB T ∂f0 (k) ∂Ek , (C.15a) −1 FQ (Γk→k − Γk →k )vki vQj k ,Q × − ∂nQ ∂ ( ωQ ) ωQ (C.15b) , ta thu được,  (−e) (1)   (je )i = (−e)2 L(0) Lij + Lgij (−∇j T ), ij (Etot )j + (C.16a) T   (ju )i = (−e)L(1) (Etot )j + L(2) + Lg (−∇j T ) ij ij ij (C.16b) T Xét trường hợp khí điện tử đẳng hướng (xy ), tenxơ L(n;g) = ij (n;g) + L(n;g) yy )/2 δij L(n;g) ⇒ L(n;g) = (Lxx +∞ L(n) g g = s ν2 2π Ek [Ek − ζ (T )](n) τt (Ek ) − dEk ∂f0 (Ek ) ∂Ek (C.17a) , +∞ Lg = gs gν 2(2π )2 kB T dk −∞   −1 FQ (Γk→k − Γk →k )vk vQ τt (Ek )  k ,Q × − ∂nQ ∂ ( ωQ ) Khi (C.16a-C.16b) viết lại sau,    je = (−e)2 L(0) E tot + (−e) [L(1) + Lg ](−∇T ), T   ju = (−e)L(1) E tot + [L(2) + Lg ](−∇T ) T 118 ωQ (C.17b) (C.18a) (C.18b) Từ hệ phương trình trên, ta xét trường hợp khơng có gradient nhiệt độ ∇T = nên ∇ζ (T ) = E tot = E Khi từ (C.18a), ta dẫn độ dẫn điện σ je = e2 L(0) E = σE ⇒ σ = e2 L(0) (C.19) Thay (C.19) vào (C.18a), ta có je = σ E + ∇ζ (T ) − S∇T e (C.20) Từ (C.20), ta thấy vectơ mật độ dòng điện je bao gồm ba thành phần: số hạng đóng góp từ trường ngồi, số hạng thứ hai từ tính khơng đồng hóa thế, số hạng thứ ba gradient nhiệt độ S = Sd + Sg 119 ... phân cách thể tính chất hệ hai chiều (2DS: điện tử chuyển động tự hai chiều không chuyển động chiều thứ ba) Tuy nhiên, 2DS mơ hình lý tưởng thực tế điện tử chuyển động chiều thứ ba nên hệ gọi hệ. .. lượng điện tử biến đổi Các cấu trúc với khí điện tử hai chiều (2DEG)1 có loạt tính chất khác thường so với hệ điện tử ba chiều [1] Các chất bán dẫn tồn tự nhiên nguyên tố hợp chất với cấu trúc tuần... nghiên cứu từ khối tinh thể sang hệ thấp chiều màng mỏng, cấu trúc lớp, v.v Trong hệ thấp chiều nêu trên, tính chất điện tử thay đổi cách đáng kể, đặc biệt, xuất tính chất gọi hiệu ứng kích thước