Các tính chất vận chuyển của cấu trúc lớp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG KHÁNH LINH CÁC TÍNH CHẤT VẬN CHUYỂN CỦA CẤU TRÚC LỚP LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ TP Hồ Chí Minh – Năm 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG KHÁNH LINH CÁC TÍNH CHẤT VẬN CHUYỂN CỦA CẤU TRÚC LỚP Ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số ngành: 62440103 Phản biện 1: PGS.TS Huỳnh Vĩnh Phúc Phản biện 2: TS Đồn Trí Dũng Phản biện 3: TS Ngô Sơn Tùng Phản biện độc lập 1: PGS.TS Huỳnh Vĩnh Phúc Phản biện độc lập 2: TS Ngô Sơn Tùng NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Nguyễn Quốc KhánhPGS TS NGUYỄN QUỐC KHÁNH TP Hồ Chí Minh – Năm 2019 Lời cám ơn Luận án hồn thành kết q trình dài, gian nan với cố gắng đức tin, trơng cậy tơi tình u thương, ủng hộ, động viên Ba Mẹ quý Thầy Cô Tôi xin cám ơn Ba Mẹ hiểu đồng hành, động viên, ủng hộ, giúp đỡ thời gian dài qua, vật chất lẫn tinh thần Thời gian dài gian nan mà gia đình tơi trải qua, Ba Mẹ tơi dành khỏe để lo lắng, hỗ trợ cho tơi, để tơi tiếp tục đường học tập, nghiên cứu khoa học kết ngày hôm Con xin cám ơn Ba Mẹ Tôi xin cám ơn Thầy Nguyễn Quốc Khánh hiểu, chấp nhận tôi, hỗ trợ, động viên giúp đỡ thời gian dài qua, vật chất lẫn chuyên môn Thầy nhận người Thầy hướng dẫn cho Từ ngày đầu chập chững bước vào lĩnh vực thời gian dài sau đó, tơi gặp nhiều khó khăn chun môn, dậm chân chỗ tưởng chừng kết quả, Thầy kiên trì giúp đỡ cho tôi, cho hội thời gian để tích lũy kiến thức, giải khó khăn chuyên môn từ hỗ trợ, giúp đỡ Thầy Con xin cám ơn Thầy Tôi xin cám ơn quý Thầy Bộ môn Vật lý Lý thuyết, đặc biệt Thầy Nguyễn Nhật Khanh dạy dỗ, ủng hộ tơi suốt q trình tơi học đại học tốt nghiệp Thạc sĩ, giúp cho tơi cảm nhận gắn bó với mơn, cho tơi khơng có nhiều hội thời gian tiếp xúc gần gũi với quý Thầy Cô Tôi xin cám ơn quý Thầy Cô trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh ủng hộ, tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành việc học đại học, cao học ngày hôm Nghiên cứu sinh Đặng Khánh Linh i Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, thực hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh Các kết nêu luận án trung thực chưa khác công bố Đặng Khánh Linh Đặng Khánh Linh ii Mục lục Lời cám ơn i Lời cam đoan ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt vi Bảng hình vẽ vii Phần mở đầu Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA CÁC CẤU TRÚC LỚP .5 1.1 Mở đầu 1.2 Các hệ khí điện tử hai chiều 1.3 Bilayer graphene 13 1.3.1 Cấu trúc mạng bilayer graphene 16 1.3.2 Các trạng thái lượng hạt tải bilayer graphene 18 1.4 Cấu trúc lớp đôi 21 1.4.1 Tương tác Coulomb điện tử - điện tử 23 1.5 Kết luận 26 Chương LÝ THUYẾT VẬN CHUYỂN TRONG CẤU TRÚC LỚP 27 2.1 Mở đầu 27 2.2 Phương trình vận chuyển Boltzmann gần thời gian hồi phục .28 2.2.1 Phương trình vận chuyển Boltzmann 29 2.2.2 Gần thời gian hồi phục .31 2.3 Hiệu ứng chắn hàm điện môi 37 2.3.1 Hiệu ứng chắn 37 2.3.2 Hàm điện môi BLG 38 iii 2.3.3 Hàm điện môi hệ lớp đôi RPA 40 2.4 Các đặc trưng vận chuyển 41 2.4.1 Các hệ số vận chuyển 42 2.4.2 Các đặc trưng vận chuyển BLG .44 2.5 Kết luận 46 Chương CÁC ĐẶC TRƯNG VẬN CHUYỂN CỦA BILAYER GRAPHENE DO TÁN XẠ TẠP CHẤT TÍCH ĐIỆN 47 3.1 Mở đầu 47 3.2 Lý thuyết 48 3.3 Các kết 49 3.3.1 Độ dẫn điện hàm mật độ điện tử 49 3.3.2 Độ dẫn điện độ dẫn nhiệt hàm nhiệt độ 51 3.3.3 Sự phụ thuộc suất nhiệt điện vào tham số hệ 53 3.4 Kết luận thảo luận 56 Chương ĐỘ DẪN ĐIỆN CỦA HỆ LỚP ĐÔI BILAYER GRAPHENE TẠI NHIỆT ĐỘ HỮU HẠN 58 4.1 Mở đầu 58 4.2 Lý thuyết 59 4.3 Các kết 60 4.3.1 Trường hợp nhiệt độ thấp: 60 4.3.2 Trường hợp nhiệt độ cao 68 4.4 Kết luận 71 Chương ĐỘ DẪN ĐIỆN CỦA HỆ LỚP ĐÔI DỊ CHẤT DIRAC/SCHRӦDINGER TẠI NHIỆT ĐỘ HỮU HẠN 73 5.1 Mở đầu 73 5.2 Lý thuyết 73 iv 5.3 Các kết 74 5.3.1 Sự phụ thuộc hàm điện môi hệ lớp đôi dị chất BLG-GaAs vào tham số hệ 75 5.3.2 Sự phụ thuộc độ dẫn điện lớp BLG hệ lớp đôi BLG-GaAs vào tham số hệ 78 5.3.3 So sánh độ dẫn điện lớp BLG hệ lớp đôi BLG với hệ lớp đôi dị chất BLG-GaAs 82 5.3.4 So sánh độ dẫn điện lớp BLG hệ lớp đôi dị chất BLG- 2DEG khác .83 5.4 Kết luận thảo luận 84 PHẦN KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 85 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ 90 Tài liệu tham khảo .91 Phụ lục TÍNH HÀM PHÂN CỰC MỘT SỐ CẤU TRÚC LỚP 99 v Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt Trong luận án này, dùng dấu chấm ( “.” ) để ngăn cách phần nguyên với phần thập phân số Viết tắt STT Viết đầy đủ MBE Molecular – Beam Epitaxy MOCVD Metal – Organic Chemical Vapor Deposition DOS Density of states FBZ First Brillouin zone 2D Two dimensional 2DEG Two dimensional electron gas MLG Monolayer graphene BLG Bilayer graphene MLGG Monolayer gapped graphene 10 TF Thomas – Fermi 11 RPA Random phase approximation 12 BLG-BLG 2BLG vi Bảng hình vẽ Hình 1.1 Giản đồ lượng tiếp xúc dị chất pha tạp điều biến AlGaAs/ GaAs Hình 1.2 Cấu trúc tinh thể dạng tổ ong MLG 14 Hình 1.3 Mạng đảo MLG 15 Hình 1.4 Cấu trúc vùng lượng (tại vùng lượng thấp) MLG 15 Hình 1.5 Hình vẽ mơ tả cấu trúc tinh thể AB-stacked BLG 17 Hình 1.6 Mạng đảo vùng Brillouin thứ (FBZ) MLG BLG 18 Hình 1.7 Cấu trúc vùng lượng (vùng lượng thấp) BLG với tham số 𝛾0 = 3.033𝑒𝑉, 𝑆0 = 0.129𝑒𝑉, 𝛾1 = 0.39𝑒𝑉 20 Hình 1.8 Một cấu trúc BLG lớp đôi đặt ba môi trường điện môi với số điện môi 𝜀1 = 𝜀𝐴𝑖𝑟 = , 𝜀2 𝜀3 22 Hình 2.1 Mối quan hệ góc vectơ phương trình vận chuyển Boltzmann 35 Hình 2.2 Giản đồ Feynman cho hàm phân cực 𝛱𝑅𝑃𝐴 RPA 39 Hình 3.1 Độ dẫn điện 𝑇 = 0𝐾 hàm mật độ hạt tải với κ = 2.5 ni = × 1012 cm-2 bốn mơ hình chắn: “khơng chắn”, “quá chắn”, TF RPA 50 Hình 3.2 Độ dẫn điện 𝑇 = 0K hàm mật độ hạt tải với κ = ni = × 1011 cm-2 bốn mơ hình chắn “không chắn”, “quá chắn”, TF RPA 50 Hình 3.3 𝜎 hàm nhiệt độ ba mơ hình TF, RPA 𝑇 = 0K nhiệt độ hữu hạn cho BLG với c = d = 0, κ = 2.5 n = ni = × 1012 cm-2 51 Hình 3.4 𝜅𝑒 hàm nhiệt độ ba mơ hình TF, RPA 𝑇 = 0K nhiệt độ hữu hạn cho BLG với c = d = 0, κ = 2.5 n = ni = × 1012 cm-2 52 vii Hình 3.5 Độ dẫn điện σ tỷ số độ dẫn điện σ/σ0 hàm theo nhiệt độ T trường hợp κ = 2.5 , n = ni = × 1012 cm-2 vài giá trị khác c, d 53 Hình 3.6 Sd theo T cho BLG với đế SiO2 sử dụng tham số vật liệu κ = 2.5, n = ni = × 1012 cm-2 vài giá trị khác c, d 54 Hình 3.7 Sd theo T cho BLG với đế HfO2 (κ=11.5), SiO2 BLG không đế (κ=1) sử dụng n = ni = × 1012 cm-2 55 Hình 3.8 Sd theo n 𝑇 = 300K cho BLG với đế HfO2, SiO2 cho BLG không đế 55 Hình 3.9 Sd theo n 𝑇 = 300𝐾 cho BLG với đế HfO2, SiO2 vài giá trị c, d 56 Hình 4.1 Một cấu trúc BLG lớp đôi đặt ba môi trường điện môi với số điện môi 𝜀1 = 𝜀𝐴𝑖𝑟 = , 𝜀2 𝜀3 59 Hình 4.2 Hàm điện môi 2BLG với 𝜀2 = 𝜀ℎ−𝐵𝑁 = , 𝜀3 = 𝜀𝐴𝑙2𝑂3 = 12.53 BLG với số điện mơi trung bình κ hàm nhiệt độ hai trường hợp a) q = kF b) q = 2kF 61 Hình 4.3 Hàm điện môi 2BLG với 𝜀2 = 𝜀ℎ−𝐵𝑁 = , 𝜀3 = 𝜀𝐴𝑙2𝑂3 = 12.53 BLG với số điện mơi trung bình 𝜅 = 𝜀1 +𝜀2 = 2.5 hàm 𝑞/𝑘𝐹 hai trường hợp a) 𝑇 = 0.42𝐾 b) 𝑇 = 42𝐾 62 Hình 4.4 Hàm điện mơi 2BLG với 𝜀2 = , 𝜀3 = 12.53 hàm khoảng cách d cho ba giá trị nhiệt độ T hai trường hợp a) q = kF b) q = 2kF 63 Hình 4.5 Hàm điện mơi 2BLG với with 𝜀3 = 12.53 , d = 1nm hàm ε2 cho ba giá trị khác nhiệt độ T hai trường hợp a) q = kF b) q = 2kF 64 viii 22 Digish K Patel (2015) Transport properties of monolayer and bilayer graphene (Doctoral thesis) The Maharaja Sayajirao University Of Baroda, India 23 Dragica Vasileska (2010) Rode’s Method: Theory and Implementation (Lectures) 24 Dragica Vasileska, Stephen M Goodnick (2006) Computational Electronics Morgan and Claypool Publishers United States of America 25 Edward McCann (2012) Electronic properties of monolayer and bilayer graphene.( in Graphene Nanoelectronics: Metrology, Synthesis, Properties and Applications Springer Verlag, Berlin Heidelberg, pp 237-275 ) 26 Edward McCann, Mikito Koshino (2013), “The electronic properties of bilayer graphene “,Rep Prog Phys 76 (5), 056503 27 E McCann, V I Falko (2006), “Landau-Level Degeneracy and Quantum Hall Effect in a Graphite Bilayer “,Phys Rev Lett., 96, 086805 28 E H Hwang Static polarizability and conductivity of bilayer graphene (Unpublished) 29 E H Hwang, S Das Sarma (2008), “Screening, Kohn Anomaly, Friedel Oscillation, and RKKY Interaction in Bilayer Graphene “,Phys Rev Lett ,101, 156802 30 E.H Hwang, S Adam, S Das Sarma (2007), “Carrier Transport in TwoDimensional Graphene Layers ”, Phys Rev Lett , 98 ,186806 31 E.H Hwang, S Das Sarma (2007), “Dielectric function, screening, and plasmons in two-dimensional graphene “,Phys Rev B, 75, 205418 32 E.H Hwang and S Das Sarma (2008), “Single-particle relaxation time versus transport scattering time in a two-dimensional graphene layer “,Phys Rev B, 77, 195412 33 E.H Hwang, S Das Sarma (2009), “Screening-induced temperaturedependent transport in two-dimensional graphene “,Phys Rev B, 79, 165404 93 34 E Rossi, S Das Sarma (2008), “Ground State of Graphene in the Presence of Random Charged Impurities “,Phys Rev Lett., 101, 166803 35 E Rossi, S Adam, S Das Sarma (2009), “Effective medium theory for disordered two-dimensional graphene “,Phys Rev B, 79, 245423 36 Fariborz Parhizgar, Reza Asgari (2014), “Magnetoresistance of a double-layer hybrid system in a tilted magnetic field “,Phys Rev B, 90, 035438 37 G Gonzalez de la Cruz (2015), “Role of metallic substrate on the plasmon modes in double-layer graphene structures “,Solid State Commun 213-214 (2015) 38 G Grosso, G P Parravicini (2014), Solid State Physics Academic Press, New York 39 Hamze Mousavi, Jabbar Khodadadi (2013), “Electronic heat capacity and conductivity of gapped graphene “,Physica E, 50, 11 40 H Ehrenreich and M H Cohen (1959), “Self-Consistent Field Approach to the Many-Electron Problem “,Phys Rev., 115, 786 41 Hengyi Xu, T Heinzel, Igor Zozoulenko (2011), “Conductivity and scattering in graphene bilayers: Numerically exact results versus Boltzmann approach “,Phys Rev B, 84, 115409 42 J Duan, X Wang, X Lai, G Li, K Wantanabe, T Taniguchi, M Zebarjadi, E Y Andrei (2016), “High thermoelectricpower factor in graphene/hBN devices “,Proc Natl Acad Sci 113 14272 43 J.H Chen, C Jang, S Adam, M.S Fuhrer, E.D Williams, and M Ishigami (2008), “Charged-impurity scattering in graphene “,Nature Physics 4, 377 44 Junhua Zhang, E Rossi (2013), “Chiral Superfluid States in Hybrid Graphene Heterostructures “,Phys Rev Lett 111, 086804 45 J Hu, T.Wu, J.Tian, N.N.Klimov, D.B.Newell, Y.P.Chen (2017), “Coulomb drag and counterflow Seebeck coefficient in bilayer-graphene double layers “,Nano Energy 40, 42 94 46 John H Davies (1998) The physics of low dimensional semiconductors – An introduction Cambridge Press New York 47 Jung-Jung Su, Allan H MacDonald (2017), “Spatially indirect exciton condensate phases in double bilayer graphene “,Phys Rev B, 95, 045416 48 K Lee, J Xue, D C Dillen, K Watanabe, T Taniguchi, E Tutuc (2016), “Giant Frictional Drag in Double Bilayer Graphene Heterostructures “,Phys Rev Lett 117, 046803 49 K Hosono, K Wakabayashi (2013), “Dielectric environment effect on carrier mobility of graphene double-layer structure “,Appl Phys Lett., 103, 033102 50 K Hosono, K Wakabayashi (2014), “Theory of carrier transport in graphene double-layer structure with carrier imbalance “,Japan J Appl Phys., 53 (6S), 06JD07 51 K S Bhargavi, S S Kubakaddi (2013), “Scattering mechanisms and diffusion thermopower in a bilayer graphene “,Physica E, 52, 116 52 Luis E F Foa Torres, Stephan Roche, Jean-Christophe Charlier (2014), Introduction to graphene – based nanomaterials From electronic structure to quantum transport Cambridge University Press, Cambridge 53 Martin Dressel, George Gruner (2002) Electrodynamics of Solids – Optical Properties of electrons in matter Cambridge University Press 54 M Rodriguez-Vega, J Fischer, S Das Sarma, E Rossi (2014), “Ground state of graphene heterostructures in the presence of random charged impurities “,Phys Rev B, 90, 035406 55 Mikito Kosino, Tsuneya Ando (2006), “Transport in bilayer graphene: Calculations within a self-consistent Born approximation “ , Phys Rev B, 73, 245403 56 Min Lv, Shaolong Wan (2010), “Screening-induced transport at finite temperature in bilayer graphene “,Phys Rev B, 81, 195409 57 M M Asmar, S E Ulloa (2014), “Spin-Orbit Interaction and Isotropic Electronic Transport in Graphene “,Phys Rev Lett., 112, 136602 95 58 Neil W Ashcroft, N David Mermin (1976), Solid Sate Physics, Thomson Learning Inc, New York 59 Nguyen Quoc Khanh, Vo Van Tai (2016), “Transport properties of the twodimensional electron gas in wide AlP quantum wells: The effects of background charged impurity and acoustic phonon scattering “,Superlatt Microstruct., 100, 792 60 Nguyen Quoc Khanh, Vo Van Tai (2014), “Transport properties of the twodimensional electron gas in AlP quantum wells at finite temperature including magnetic field and exchange – correlation effects”, Physica E, 58, 84 61 Nguyen Van Men, Nguyen Quoc Khanh (2017), “ Plasmon modes in graphene–GaAs heterostructures “ , Physics Letters A, 381, 3779 62 N M R Peres, J M B Lopes Dos Santos , A H Castro Neto (2011), “Coulomb drag and high-resistivity behavior in double-layer graphene “,EPL 95, 18001 63 N.S Sankeshwar, S.S Kubakaddi and B.G Mulimani (2013) Thermoelectric Power in Graphene ( in Advances in Graphene Science IntechOpen, chapter 9) 64 Pauline Simonet, Szymon Hennel, Hiske Overweg, Richard Steinacher, Marius Eich, Riccardo Pisoni, Yongjin Lee, Peter Märki, Thomas Ihn, Klaus Ensslin (2017), “Anomalous Coulomb drag between bilayer graphene and a GaAs electron gas “, New J Phys., 19, 103042 65 Pierre F Maldague (1978), “Many-body corrections to the polarizability of the two-dimensional electron gas “,Surface Science 73, 296 66 P A D Goncalves, N M R Peres (2016) An introduction to graphene plasmonics World Scientific Publishing Co Pte Ltd 67 Qiuzi Li, E H Hwang, E Rossi (2012), “Effect of charged impurity correlations on transport in monolayer and bilayer graphene “,Solid State Commun., 152, 1390 96 68 R G Vaidya (2013) Some electronic properties of semiconductor and carbon nanostructures (Doctoral thesis) Karnatak University, India 69 Radi A Jishi (2013) Feynman diagram techniques in condensed matter physics Cambridge University Press, Cambridge 70 Rajdeep Sensarma, E H Hwang, S Das Sarma (2010), “Dynamic screening and low-energy collective modes in bilayer graphene “,Phys Rev B, 82, 195428 71 S Adam, S Das Sarma (2008), “Boltzmann transport and residual conductivity in bilayer graphene “,Phys Rev B 77, 115436 72 S Adam and S Das Sarma (2009), “Theory of charged impurity scattering in two-dimensional graphene “, Solid State Commun , 149, 27-28, 1072 73 S Adam, E.H Hwang, V.M Galitski, S Das Sarma (2007), “A self-consistent theory for graphene transport ”, PNAS, 104, 18392 74 S Das Sarma, E H Hwang, E Rossi (2010), “Theory of carrier transport in bilayer graphene” , Phys Rev B 81, 161407 75 S H Zang, W Xu, S M Badalyan, and F M Peeters (2013), “Piezoelectric surface acoustical phonon limited mobility of electrons in graphene on a GaAs substrate “, Phys Rev B, 87, 075443 76 S.S Ashraf, D Patel and A.C Sharma (2013), “Charge carrier transport in bilayer graphene”, AIP Conf Proc., 1536, 329 77 S V Morozov, K S Novoselov, M I Katsnelson, F Schedin, D C Elias, J A Jaszczak, A K Geim (2008), “Giant Intrinsic Carrier Mobilities in Graphene and Its Bilayer”, Phys Rev Lett., 100, 016602 78 Shudong Xiao, Jian-Hao Chen, Shaffique Adam, Ellen D Williams, Michael S Fuhrer (2010), “Charged impurity scattering in bilayer graphene “, Phys Rev B, 82, 041406(R) 79 Terry M Tritt (2004) Thermal conductivity – Theory, Properties, and Applications Kluwer Academic/Plenum Publishers New York 97 80 Tsuneya Ando, Alan B Fowler, and Frank Stern (1982), “Electronic properties of two-dimensional systems “,Rev Mod Phys., 54, 437 81 V.S Katti, S.S Kubakaddi (2013), “Electronic thermal conductivity in suspended and supported bilayer graphene “,Physica E, 47, 188 82 V.S Katti (2012), “Some transport properties of semiconductor nanostructures and graphene “.(Doctoral thesis) Karnatak University, India 83 Vo Van Tai, Nguyen Quoc Khanh (2015), “Diffusion thermopower of the twodimensional electron gas in AIP quantum wells including exchange and correlation effects “,Superlatt Microstruct., 88 ,474 84 Yongke Sun, Scott E Thompson, Toshikazu Nishida (2010) Strain effect in semiconductors – Theory and device Applications Springer New York 85 Zheng Yan, Zhiwei Peng, Zhengzong Sun, Jun Yao, Yu Zhu, Zheng Liu, Pulickel M Ajayan, James M Tour (2011), “Growth of Bilayer Graphene on Insulating Substrates” , ACS Nano, 5, 8187 98 Phụ lục TÍNH HÀM PHÂN CỰC MỘT SỐ CẤU TRÚC LỚP Xác định hàm phân cực số cấu trúc lớp tức xác định hàm phản hồi hay hàm Lindhard hệ 2D Trong phần này, chọn dẫn công thức tổng quát hàm Lindhard hệ 2D theo cách tiếp cận tác giả Martin Dressel George Gruner [53] Xét hệ 2DEG đồng với mật độ n Khi đưa vào hệ trường 𝑉𝑒𝑥𝑡 (𝑟⃗, 𝑡) hệ phân bố lại, gây mật độ điện tích cảm sinh 𝑛𝑖𝑛𝑑 (𝑟⃗, 𝑡) liên hệ với cảm sinh 𝑉𝑖𝑛𝑑 (𝑟⃗, 𝑡) phương trình Poisson 2D: ∇2 𝑉𝑖𝑛𝑑 (𝑟⃗, 𝑡 ) = −2𝜋𝑒 𝑛𝑖𝑛𝑑 (𝑟⃗, 𝑡 ) (𝐴 1) Mật độ điện tích hệ trở thành: 𝑛(𝑟⃗, 𝑡 ) = 𝑛𝑒𝑥𝑡 (𝑟⃗, 𝑡 ) + 𝑛𝑖𝑛𝑑 (𝑟⃗, 𝑡 ) (𝐴 2) Thế toàn phần điện tử là: 𝑉 (𝑟⃗, 𝑡 ) = 𝑉𝑒𝑥𝑡 (𝑟⃗, 𝑡 ) + 𝑉𝑖𝑛𝑑 (𝑟⃗, 𝑡 ), (𝐴 3) đây, cảm sinh 𝑉𝑖𝑛𝑑 (𝑟⃗, 𝑡 ) diễn tả hiệu ứng chắn khí điện tử điện tử vị trí 𝑟⃗ vào thời điểm 𝑡 Hàm điện môi 𝜀 (𝑟⃗, 𝑡 ) định nghĩa tỷ số: 𝜀(𝑟⃗, 𝑡 ) = 𝑉𝑒𝑥𝑡 (𝑟⃗, 𝑡 ) 𝑉 (𝑟⃗, 𝑡 ) (𝐴 4) Biến đổi Fourier (A.4), ta có: 𝜀(𝑞⃗, 𝜔) = 𝑉𝑒𝑥𝑡 (𝑞⃗, 𝜔) 𝑉 (𝑞⃗, 𝜔) (𝐴 5) 99 Định nghĩa hàm điện môi (A.4), (A.5) cho biết độ mạnh yếu trường 𝑉𝑒𝑥𝑡 (𝑟⃗, 𝑡 ) (𝑉𝑒𝑥𝑡 (𝑞⃗, 𝜔)) bị chắn phân cực khí điện tử gây Chúng ta định nghĩa hàm phản hồi mật độ bị chắn (hay độ cảm mật độ bị chắn): 𝜒(𝑞⃗, 𝜔) = 𝑛𝑖𝑛𝑑 (𝑞⃗, 𝜔) 𝑉 (𝑞⃗, 𝜔) (𝐴 6) Biến đổi (A.5) sử dụng (A.6), ta có: 𝜀 (𝑞⃗, 𝜔) = = 𝑉𝑒𝑥𝑡 (𝑞⃗, 𝜔) 𝑉 (𝑞⃗, 𝜔) 𝑉 (𝑞⃗, 𝜔) − 𝑉𝑖𝑛𝑑 (𝑞⃗, 𝜔) 𝑉 (𝑞⃗, 𝜔) =1− 𝑉𝑖𝑛𝑑 (𝑞⃗, 𝜔) 𝑉 (𝑞⃗, 𝜔) = − 𝑉𝑐 (𝑞⃗ )𝜒(𝑞⃗, 𝜔), (𝐴 7) 𝑉𝑖𝑛𝑑 (𝑞⃗, 𝜔) = 𝑉𝑐 (𝑞⃗ )𝑛𝑖𝑛𝑑 (𝑞⃗, 𝜔) với 𝑉𝑐 (𝑞⃗ ) = 2𝜋𝑒 𝑞 tương tác Coulomb 2D Bây giờ, để tính hàm điện mơi 𝜀 (𝑞⃗, 𝜔) hàm phản hồi 𝜒(𝑞⃗, 𝜔), bắt đầu ̂: với phương trình Heisenberg cho tốn tử mật độ số điện tử 𝑁 𝑖ℏ 𝜕 ̂ = [𝐻 ̂, 𝑁 ̂ ], 𝑁 𝜕𝑡 (𝐴 8) ̂ toán tử Hamiltonian toàn phần với: đây, 𝐻 ̂=𝐻 ̂0 + 𝑉̂ , 𝐻 ̂=𝑁 ̂0 + 𝛿𝑁, 𝑁 (𝐴 9) ̂0 , 𝑁 ̂0 tốn tử khơng nhiễu loạn với: 𝐻 ̂0 |𝑘⃗⃗ 𝑙⟩ = 𝐸𝑘⃗⃗𝑙 |𝑘⃗⃗ 𝑙⟩, 𝐻 ̂0 |𝑘⃗⃗ 𝑙⟩ = 𝑓0 (𝐸𝑘⃗⃗𝑙 )|𝑘⃗⃗ 𝑙⟩, 𝑁 100 (𝐴 10) |𝑘⃗⃗ 𝑙⟩ hàm sóng Bloch hệ 2DEG (chẳng hạn hàm sóng (1.4) chuyến tiếp dị chất, với l số đại diện cho số spin 𝜎, vùng n, vùng s) ̂0 toán tử mật độ không nhiễu loạn với: 𝑁 𝑖ℏ 𝜕 ̂ = [𝐻 ̂0 , 𝑁 ̂0 ] 𝑁 𝜕𝑡 (𝐴 11) 𝛿𝑁 nhiễu mật độ điện tử Thế (A.9) vào (A.8) giữ số hạng bậc một, ta có: 𝑖ℏ 𝜕 ̂0 , 𝛿𝑁] + [𝑉̂ , 𝑁 ̂0 ] 𝛿𝑁 = [𝐻 𝜕𝑡 (𝐴 12) Biến đổi Fourier 𝑉 (𝑟⃗, 𝑡 ), ta có: ′ 𝑉 (𝑟⃗, 𝑡 ) = ∑ 𝑉(𝑞⃗ ′ , 𝑡)𝑒 𝑖𝑞⃗⃗ 𝑟⃗ (𝐴 13) 𝑞⃗⃗ ′ Thế (A.13) vào (A.12) thì: 𝑖ℏ 𝜕 ̂0 , 𝛿𝑁] + [∑ 𝑉(𝑞⃗′ , 𝑡)𝑒 𝑖𝑞⃗⃗′𝑟⃗ , 𝑁 ̂0 ] 𝛿𝑁 = [𝐻 𝜕𝑡 ′ (𝐴 14) 𝑞⃗⃗ Phần tử ma trận |𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ ⟩ |𝑘⃗⃗ 𝑙⟩ là: 𝜕 ̂0 , 𝛿𝑁]|𝑘⃗⃗𝑙⟩ + ⟨𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ |[∑𝑞⃗⃗′ 𝑉(𝑞⃗ ′ , 𝑡)𝑒 𝑖𝑞⃗⃗ 𝑟⃗ , 𝑁 ̂0 ]|𝑘⃗⃗𝑙⟩ (A.15) 𝑖ℏ 𝜕𝑡 ⟨𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ |𝛿𝑁|𝑘⃗⃗𝑙⟩ = ⟨𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ |[𝐻 ′ Số hạng vế phải (A.15) biến đổi thành: ̂0 , 𝛿𝑁]|𝑘⃗⃗ 𝑙⟩ = (𝐸𝑘⃗⃗+𝑞⃗⃗,𝑙′ − 𝐸𝑘⃗⃗𝑙 )⟨𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ |𝛿𝑁|𝑘⃗⃗ 𝑙⟩ ⟨𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ |[𝐻 Số hạng thứ hai vế phải (A.15) biến đổi thành: ′ ̂0 ]|𝑘⃗⃗ 𝑙⟩ ⟨𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ |[∑𝑞⃗⃗′ 𝑉(𝑞⃗ ′ , 𝑡)𝑒 𝑖𝑞⃗⃗ 𝑟⃗ , 𝑁 ′ = (𝑓0 (𝐸⃗𝑘⃗ 𝑙 ) − 𝑓0 (𝐸⃗𝑘⃗ +𝑞⃗⃗,𝑙′ )) ⟨𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ | ∑𝑞⃗⃗′ 𝑉 (𝑞⃗ ′ , 𝑡 )𝑒 𝑖𝑞⃗⃗ 𝑟⃗ |𝑘⃗⃗ 𝑙⟩ 101 (𝐴 16) = (𝑓0 (𝐸𝑘⃗⃗𝑙 ) − 𝑓0 (𝐸𝑘⃗⃗+𝑞⃗⃗,𝑙′ )) 𝑉 (𝑞⃗, 𝑡 )⟨𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ |𝑒 𝑖𝑞⃗⃗𝑟⃗ |𝑘⃗⃗ 𝑙⟩ (𝐴 17) Thay (A.16), (A.17) vào (A.15), có: 𝑖ℏ 𝜕 ⟨𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ |𝛿𝑁|𝑘⃗⃗ 𝑙⟩ =(𝐸⃗𝑘⃗ +𝑞⃗⃗,𝑙′ − 𝐸⃗𝑘⃗ 𝑙 )⟨𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ |𝛿𝑁|𝑘⃗⃗ 𝑙⟩ 𝜕𝑡 + (𝑓0 (𝐸𝑘⃗⃗𝑙 ) − 𝑓0 (𝐸𝑘⃗⃗+𝑞⃗⃗,𝑙′ )) 𝑉 (𝑞⃗, 𝑡 )⟨𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ |𝑒 𝑖𝑞⃗⃗𝑟⃗ |𝑘⃗⃗ 𝑙⟩ (𝐴 18) Bây giờ, ấn định cho 𝑉𝑒𝑥𝑡 (𝑟⃗, 𝑡 ) phụ thuộc thời gian cụ thể Để làm điều này, sử dụng gần đoạn nhiệt với giả sử nhiễu loạn bật từ từ 𝑡 = −∞ với phụ thuộc thời gian dạng 𝑒 𝜂𝑡 (𝜂 đại lượng vô nhỏ mà lấy giới hạn 𝜂 ⟶ trước biểu thức thích hợp cho hàm phản hồi dẫn ra) Với giả thiết này, chọn thành phần Fourier làm phụ thuộc thời gian 𝑉𝑒𝑥𝑡 (𝑟⃗, 𝑡 ) (những thành phần Fourier độc lập nên cần thành phần đủ) 𝑉𝑒𝑥𝑡 (𝑟⃗, 𝑡 ) = lim 𝑉𝑒𝑥𝑡 (𝑟⃗, 𝜔) 𝑒 −𝑖𝜔𝑡+𝜂𝑡 (𝐴 19) 𝜂⟶0 Chúng ta giả sử toàn phần 𝑉(𝑟⃗, 𝑡), chắn cảm sinh 𝑉𝑖𝑛𝑑 (𝑟⃗, 𝑡 ) thăng giáng mật độ 𝛿𝑁(𝑟⃗, 𝑡) có phụ thuộc thời gian 𝑒 −𝑖𝜔𝑡+𝜂𝑡 𝑉𝑒𝑥𝑡 (𝑟⃗, 𝑡 ) Với giả thiết này, viết lại (A.18) sau: lim (ℏ𝜔 − 𝑖ℏ𝜂) ⟨𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ |𝛿𝑁|𝑘⃗⃗ 𝑙⟩ = (𝐸𝑘⃗⃗+𝑞⃗⃗,𝑙′ − 𝐸𝑘⃗⃗𝑙 )⟨𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ |𝛿𝑁|𝑘⃗⃗ 𝑙⟩ + 𝜂⟶0 (𝑓0 (𝐸𝑘⃗⃗𝑙 ) − 𝑓0 (𝐸𝑘⃗⃗+𝑞⃗⃗,𝑙′ )) 𝑉 (𝑞⃗, 𝑡 )⟨𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ |𝑒 𝑖𝑞⃗⃗𝑟⃗ |𝑘⃗⃗ 𝑙⟩ (𝐴 20) Suy ra: ⟨𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ |𝛿𝑁|𝑘⃗⃗ 𝑙⟩ = lim 𝑓0 (𝐸⃗𝑘⃗+𝑞 )−𝑓0 (𝐸⃗𝑘⃗𝑙 ) ⃗⃗,𝑙′ −𝐸𝑘 𝜂⟶0 𝐸𝑘 ⃗⃗+𝑞 ⃗⃗𝑙 −ℏ𝜔−𝑖ℏ𝜂 ⃗⃗,𝑙′ 𝑉 (𝑞⃗, 𝑡 )⟨𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ |𝑒 𝑖𝑞⃗⃗𝑟⃗ |𝑘⃗⃗ 𝑙⟩ (𝐴 21) Trong học lượng tử, phương trình Poisson 2D (A.1) viết dạng: ∇2 𝑉𝑖𝑛𝑑 (𝑟⃗, 𝑡 ) = −2𝜋𝑒 〈𝛿𝑁(𝑟⃗, 𝑡 )〉 (𝐴 22) 102 Chúng ta có mối liên hệ tốn tử mật độ điện tích 𝜌 tốn tử mật độ số hạt là: 〈𝜌〉 = −𝑒〈𝑁〉 = −𝑒𝑇𝑟{𝑁𝛿 (𝑟⃗ − 𝑟⃗0 )} (𝐴 23) Tr vết ma trận 𝑟⃗0 xác định vị trí điện tử Từ (A.23), có: 〈𝑁〉 = 𝑇𝑟{𝑁𝛿 (𝑟⃗ − 𝑟⃗0 )} (𝐴 24) Sử dụng (A.24) đẳng thức ∑𝑘⃗⃗𝑙|𝑘⃗⃗ 𝑙⟩⟨𝑘⃗⃗ 𝑙| = 1, ta có: 〈𝛿𝑁〉 = ∑ ⟨𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ |𝛿𝑁|𝑘⃗⃗ 𝑙⟩⟨𝑘⃗⃗ 𝑙|𝛿 (𝑟⃗ − 𝑟⃗0 )|𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ ⟩ (𝐴 25) ⃗⃗ ,𝑞⃗⃗,𝑙,𝑙 ′ 𝑘 Thế (A.25) vào (A.22) biến đổi Fourier, ta có: 𝑉𝑖𝑛𝑑 (𝑞⃗, 𝑡 ) = 𝑉𝑐 (𝑞⃗) ∑ ⟨𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ |𝛿𝑁|𝑘⃗⃗ 𝑙⟩⟨𝑘⃗⃗ 𝑙|𝑒 −𝑖𝑞⃗⃗𝑟⃗ |𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ ⟩ 𝐿2 (𝐴 26) ⃗𝑘⃗ ,𝑙,𝑙 ′ Thế (A.21) vào (A.26) thì: 𝑉𝑖𝑛𝑑 (𝑞⃗, 𝑡 ) = 𝑉𝑐 (𝑞⃗) lim 𝜂⟶0 𝐿2 ∑𝑘⃗⃗,𝑙,𝑙′ 𝑓0 (𝐸⃗𝑘⃗+𝑞 )−𝑓0 (𝐸⃗𝑘⃗𝑙 ) ⃗⃗,𝑙′ 𝐸𝑘 −𝐸𝑘 ⃗⃗+𝑞 ⃗⃗𝑙 −ℏ𝜔−𝑖ℏ𝜂 ⃗⃗,𝑙′ |⟨𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ |𝑒 𝑖𝑞⃗⃗𝑟⃗ |𝑘⃗⃗ 𝑙⟩| (𝐴 27) Từ (A.7) (A.27), có: 𝜀(𝑞⃗, 𝜔) = − 𝑉𝑐 (𝑞⃗) lim 𝜂⟶0 𝐿2 ∑𝑘⃗⃗,𝑙,𝑙′ 𝑓0 (𝐸⃗𝑘⃗+𝑞 )−𝑓0 (𝐸⃗𝑘⃗𝑙 ) ⃗⃗,𝑙′ 𝐸⃗𝑘⃗+𝑞 −𝐸⃗𝑘⃗𝑙 ⃗⃗,𝑙′ ⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙 ′ |𝑒 𝑖𝑞⃗⃗𝑟⃗ |𝑘 ⃗⃗ 𝑙⟩| |⟨𝑘 −ℏ𝜔−𝑖ℏ𝜂 (𝐴 28) Từ (A.28), hàm phản hồi có dạng: 𝑓0 (𝐸⃗𝑘⃗ +𝑞⃗⃗,𝑙′ ) − 𝑓0 (𝐸⃗𝑘⃗ 𝑙 ) ⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ |𝑒 𝑖𝑞⃗⃗𝑟⃗ |𝑘⃗⃗ 𝑙⟩| ∑ |⟨𝑘 𝜂⟶0 𝐿2 𝐸⃗𝑘⃗ +𝑞⃗⃗,𝑙′ − 𝐸⃗𝑘⃗ 𝑙 − ℏ𝜔 − 𝑖ℏ𝜂 𝜒(𝑞⃗, 𝜔) = lim (𝐴 29) ⃗⃗ ,𝑙,𝑙 ′ 𝑘 Hàm phản hồi (A.29) gọi hàm Lindhard hay hàm phân cực Xét trường hợp hàm phân cực tĩnh 𝜔 = 0, hàm phân cực có dạng đơn giản: 103 𝜒(𝑞⃗ ) = 𝑓0 (𝐸⃗𝑘⃗ +𝑞⃗⃗,𝑙′ ) − 𝑓0 (𝐸⃗𝑘⃗ 𝑙 ) −1 ⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ |𝑒 𝑖𝑞⃗⃗𝑟⃗ |𝑘⃗⃗ 𝑙⟩| , ∑ |⟨𝑘 𝐿2 𝐸⃗𝑘⃗ +𝑞⃗⃗,𝑙′ − 𝐸⃗𝑘⃗ 𝑙 − ℏ𝜔 − 𝑖ℏ𝜂 (𝐴 30) ⃗⃗ ,𝑙,𝑙 ′ 𝑘 (Ở đây, 𝜒(𝑞⃗) viết dạng (A.30) hàm điện môi có dạng 𝜀 (𝑞⃗ ) = + 𝑉𝑐 (𝑞⃗)𝜒(𝑞⃗)) Xét trường hợp hệ 2DEG thật bỏ qua đóng góp liên vùng vùng hóa trị vùng dẫn vào phân cực Hệ 2DEG lựa chọn chuyển tiếp dị chất hàm Bloch có dạng (1.4) Điều kiện hệ 2DEG thật dẫn đến 𝑛 = 𝑛′ = (trạng thái bản) điều kiện xét đóng góp vùng (mà chọn vùng dẫn) cho ta 𝑠 = 𝑠 ′ = +1 Chuyển từ ∑ sang ∫ cơng thức (A.30), có: 𝛱 (𝑞⃗, 𝑇) ≡ 𝜒(𝑞⃗, 𝑇) = − 𝑓0 (𝐸⃗𝑘⃗ +𝑞⃗⃗ ) − 𝑓0 (𝐸⃗𝑘⃗ ) 2 ∫ 𝑑 𝑘 , (2𝜋)2 𝐸⃗𝑘⃗ +𝑞⃗⃗ − 𝐸⃗𝑘⃗ (𝐴 31) đây: |⟨𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ |𝑒 𝑖𝑞⃗⃗𝑟⃗ |𝑘⃗⃗ 𝑙⟩| = hệ số xuất (A.31) suy biến spin 𝑛𝑠 = Tại 𝑇 = 0𝐾 theo F Stern [80], ta có: 𝛱 2𝐷𝐸𝐺 ( 𝐷0 = 2𝑘𝐹2𝐷𝐸𝐺 ) Θ(𝑞 − 2𝑘𝐹2𝐷𝐸𝐺 )], 𝑞, 𝑇 = 0) = 𝐷0 [1 − √1 − ( 𝑞 𝑛𝜈 𝑚2𝐷𝐸𝐺 𝜋ℏ2 (𝐴 32) mật độ trạng thái hệ 2DEG (tương tự (1.24)) Tại T hữu hạn theo Maldague [59,60,65], ta có: 𝛱 2𝐷𝐸𝐺 ( 𝑞, 𝑇) = ∞ Π0 (𝑞, 𝑇 = 0, 𝜇′ ) ∫ 𝑑𝜇′ , 4𝑘𝐵 𝑇 (𝜇 2𝐷𝐸𝐺 − 𝜇′ )] 𝑐𝑜𝑠ℎ2 [ 2𝑘B 𝑇 với 𝜇2𝐷𝐸𝐺 có dạng (1.29) hóa hệ 2DEG, 𝛱0 (𝑞, 𝑇 = 0, 𝜇′ ) có dạng: 104 (𝐴 33) 0( 𝛱 𝑞, 𝑇 = 0, 𝜇 ′ với 𝜇 = ℏ2 𝑘 ′ ′) 2𝑘 ′ √ = 𝐷0 [1 − − ( ) Θ(𝑞 − 2𝑘 ′ )], 𝑞 (𝐴 34) 2𝑚2𝐷𝐸𝐺 Xét trường hợp BLG, l số đại diện cho số vùng s (1.41) Sử dụng (1.41), tính được: 1+𝑠𝑠 |⟨𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝑙′ |𝑒 𝑖𝑞⃗⃗𝑟⃗ |𝑘⃗⃗ 𝑙⟩| = ′ cos(2𝜃) , (𝐴 35) đây: 𝑘⃗⃗ ′ = 𝑘⃗⃗ + 𝑞⃗, 𝜃 ≡ 𝜃𝑘⃗⃗𝑘⃗⃗ ′ Đặt 𝐹𝑠𝑠′ = 1+𝑠𝑠 ′ 𝑐𝑜𝑠(2𝜃) 𝛱𝐵𝐿𝐺 (𝑞, 𝑇) = , hàm phân cực BLG có dạng: 𝑓0 (𝐸𝑠𝑘⃗⃗ ) − 𝑓0 (𝐸𝑠′⃗𝑘⃗ ′ ) −𝑔 ∑ 𝐹𝑠𝑠′ (𝑘⃗⃗ , 𝑘⃗⃗ ′ ), 𝐿 𝐸𝑠𝑘⃗⃗ − 𝐸𝑠′𝑘⃗⃗ ′ (𝐴 36) ⃗𝑘⃗ 𝑠𝑠 ′ với 𝑔 = 𝑛𝑠 𝑛𝜈 = Tại T hữu hạn theo Min Lv Shaolong Wan [56], ta viết: 𝐵𝐿𝐺 ( 𝐵𝐿𝐺 ( 𝛱𝐵𝐿𝐺 (𝑞, 𝑇) = 𝛱𝑖𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑞, 𝑇) + 𝛱𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑞, 𝑇), (𝐴 37) 𝐵𝐿𝐺 ( 𝐵𝐿𝐺 ( với 𝛱𝑖𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑞, 𝑇), 𝛱𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑞, 𝑇) phân cực chuyển dời nội vùng (dẫn hay hóa trị), chuyển dời vùng xác định sau: 𝐵𝐿𝐺 ( 𝛱𝑖𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑞, 𝑇) = 𝑓0 (𝐸𝑠𝑘⃗⃗ ) − 𝑓0 (𝐸𝑠′⃗𝑘⃗ ′ ) + 𝑐𝑜𝑠(2𝜃) −𝑔 ∑ [ ], 𝐿 𝐸𝑠𝑘⃗⃗ − 𝐸𝑠′𝑘⃗⃗′ (𝐴 38) 𝑓0 (𝐸𝑠𝑘⃗⃗ ) − 𝑓0 (𝐸𝑠′𝑘⃗⃗′ ) − 𝑐𝑜𝑠(2𝜃) −𝑔 ∑ [ ] 𝐿2 𝐸𝑠𝑘⃗⃗ − 𝐸−𝑠′⃗𝑘⃗ ′ (𝐴 39) ⃗𝑘⃗ 𝑠 𝐵𝐿𝐺 ( 𝛱𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑞, 𝑇) = ⃗⃗ 𝑠 𝑘 Chuyển từ ∑ sang ∫ , Min Lv Và Shaolong Wan [56] tính được: 105 𝐵𝐿𝐺 ( 𝛱𝑖𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑞, 𝑇) ∞ 𝑑𝑘 [𝑓 (𝐸 ) + 𝑓0 (𝐸⃗𝑘⃗ + 2𝜇𝐵𝐿𝐺 )] [𝑘 − |𝑘 − 𝑞2 | 𝑘 ⃗𝑘⃗ = 𝑁0 ∫ + (2𝑘 − 𝑞2 )2 𝑞√𝑞2 − 4𝑘 ∞ 𝐵𝐿𝐺 ( 𝛱𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑞, 𝑇) = 𝑁0 ∫ 𝜃(𝑞 − 2𝑘 )], (𝐴 40) 𝑑𝑘 [√4𝑘4 + 𝑞4 − 𝑘 − |𝑘 − 𝑞2 | − {𝑓0 (𝐸𝑘⃗⃗ ) 𝑘 + 𝑓0 (𝐸⃗𝑘⃗ + 2𝜇𝐵𝐿𝐺 )}] [√4𝑘 + 𝑞4 − 𝑘 − |𝑘 − 𝑞2 |] , ∞ 𝑑𝑘 𝛱𝐵𝐿𝐺 (𝑞, 𝑇) = 𝑁0 ∫0 𝑘3 (𝐴 41) {√4𝑘 + 𝑞4 − 𝑘 − |𝑘 − 𝑞2 | + [𝑓(𝐸⃗𝑘⃗ ) + 𝑓(𝐸⃗𝑘⃗ + 2𝜇𝐵𝐿𝐺 )] [2𝑘 − √4𝑘 + 𝑞4 + (2𝑘 −𝑞2 ) 𝑞√𝑞2 −4𝑘 𝜃(𝑞 − 2𝑘 )]}, (𝐴 42) hóa 𝜇𝐵𝐿𝐺 xác định từ bảo toàn mật độ điện tử toàn phần 𝑛𝑒 Trong BLG, mật độ hạt tải điện tử 𝑛𝑐 xác định sau: ∞ 𝑛𝑐 = |𝑛𝑒 − 𝑛ℎ | = ∫ 𝑑𝐸𝑁0 𝑓0 (𝐸 ) − ∫ 𝑑𝐸𝑁0 (1 − 𝑓0 (𝐸 )) (𝐴 43) −∞ Tại 𝑇 = 0𝐾, hóa lượng Fermi 𝜇𝐵𝐿𝐺 = 𝐸𝐹𝐵𝐿𝐺 = 𝐵𝐿𝐺 ℏ2 (𝑘𝐹 ) 2𝑚𝐵𝐿𝐺 (𝐴 44) Khi đó, phương trình (A.43) trở thành: 𝑛𝑐 = 2𝑚𝐵𝐿𝐺 ∞ 2𝑚𝐵𝐿𝐺 𝐸𝐹𝐵𝐿𝐺 𝐵𝐿𝐺 )) 𝐵𝐿𝐺 ))] ∫ 𝑑𝐸[(1 − Θ(𝐸 − 𝐸 − (1 − Θ(𝐸 + 𝐸 = , (𝐴 45) 𝐹 𝐹 𝜋ℏ2 𝜋ℏ2 Θ(𝑥) hàm bước nhảy Heaviside Thế (A.45) vào (A.43), có: ∞ 2𝑚𝐵𝐿𝐺 𝐸𝐹𝐵𝐿𝐺 2𝑚𝐵𝐿𝐺 (∫ = 𝑑𝐸 𝜋ℏ2 𝜋ℏ2 ∞ 1+𝑒 − ∫ 𝑑𝐸 𝐸−𝜇𝐵𝐿𝐺 𝑘𝐵 𝑇 106 1+ 𝐸+𝜇𝐵𝐿𝐺 𝑒 𝑘𝐵 𝑇 ), sử dụng tham số không thứ nguyên: ∞ ∫ 𝑑𝑥 1+𝑒 ∞ 𝑥−𝑠 − ∫ 𝑑𝑥 𝑦 𝑥 𝑠 𝑦 𝑦 𝐸 𝐸𝐹𝐵𝐿𝐺 1+ 𝑥+𝑠 𝑒 𝑦 = 𝑥, 𝜇𝐵𝐿𝐺 𝐸𝐹𝐵𝐿𝐺 = 𝑠, 𝑇 𝑇𝐹𝐵𝐿𝐺 = = 𝑦, có: (𝐴 46) Đặt 𝐿 = , 𝑇 = , phương trình (A.46) trở thành : ∞ ∞ 1 = ∫ 𝑑𝐿 − ∫ 𝑑𝐿 𝐿−𝑇 𝑦 1+𝑒 + 𝑒 𝐿+𝑇 0 (𝐴 47) ∞ Giải phương trình (A.47) với ý tích phân ∫0 𝑑𝐿 = 𝐿𝑜𝑔(1 + 𝑒 𝑇 ) , 1+𝑒 𝐿−𝑇 thu được: 𝑇= ⇒ 𝑠 = 𝑦 (𝐴 48) Phương trình (A.48) cho thấy 𝜇𝐵𝐿𝐺 (𝑇) = 𝐸𝐵𝐿𝐺 𝐹 (𝐴 49) tức hóa BLG khơng phụ thuộc nhiệt độ 107 ... trưng vận chuyển lớp thứ cấu trúc lớp đôi dựa BLG Những lý phân tích thúc đẩy thực luận án “ Các tính chất vận chuyển cấu trúc lớp “ Mục đích luận án tập trung khảo sát số đặc trưng vận chuyển. .. lượng điện tử Trong cấu trúc lớp đôi, trình bày cấu trúc tương tác Coulomb điện tử điện tử lớp đơi Chương 2, trình bày lý thuyết vận chuyển cấu trúc lớp bao gồm phương trình vận chuyển Boltzmann...