THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS TUYỂN CHỌN CÂU HỎI ĐIỂM 10 TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC KÌ , THI HSG , THI CHUYÊN VÀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI (Nhiều hay phù hợp cho học sinh lớp 10 tham khảo để ôn đội tuyển HSG trường huyện) Bài (PGD Đan Phượng 2015-2016) Cho số dương x, y, z thỏa mãn x+ y+ z =1 Tìm giá 2 2 2 trị nhỏ biểu thức P x xy y y yz z z zx x Hướng dẫn x xy y 5 2 x y x y � x y 4 Chứng minh tương tự cho hai thức cịn lại, sau cộng vế ta suy ra: P � ۳x y z 2 Bài (PGD Đan Phượng 2013-2014) Giải phương trình: x x x x Hướng dẫn Phương trình cho tương đương với x2 x 1 Bài (PGD Đan Phượng 2014-2015) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b2 b c c a a b2 c2 Chứng minh rằng: Hướng dẫn 2 Giả thiết tương đương: 2a b 2b c 2c a � b 2a b a c 2b c b a 2c a c � b2 a c2 b a2 c 0 P Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS � b2 a c b a c a b2 c2 Suy ra: Bài (PGD Đan Phượng 2010-2011) Giải phương trình: Hướng dẫn Phương trình cho tương đương với � x4 x 3.x x 2010 x 2010 x 2010 x 1 x x 1 � x4 � 2010 x 1 � x 1 � 2010 � � x x32 � x 3 2 � Bài (PGD Đan Phượng 2011- 2012) Cho x �2, tìm giá trị lớn biểu thức P x x x 2009 Hướng dẫn Ý tưởng: Biến đổi P dạng tổng bình phương cách tách hạng tử P 2 x x x 4018 2P 4023 P x 1 x 4023 4023 Bài (PGD Đan Phượng 2016-2017) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: ab c bc a ca b �2 Hướng dẫn Đặt P ab c bc a ca b Vì a b c nên ta có P ab c a b c bc a a b c ca b a b c a c b c a b a c a b b c Áp dụng bất đẳng thức cô si bản: CM tương tự có : a b a c x y xy � ta có: 2a b c � (2), a c b c a b b c a b 2c � (1) a 2b c � (3) Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ý giả thiết a b c Suy đpcm Bài (PGD Quận Hoàn Kiếm 2016-2017) Cho a, b hai số thực thỏa mãn a b2 a b ab Tìm giá trị lớn biểu thức M a b3 2000 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS Hướng dẫn a b Từ giả thiết ta có: a b 3ab 2 Đặt S a b, P ab , ta có S S 3P S �4 P Suy �S �4 Khi M S 3SP 2000 S 3S S2 S 2000 S 2000 �2016 Bài (THPT Chuyên Hà Nội AMSTERDAM) a) Giải phương trình: x x x b) Cho x, y hai số thực thỏa mãn biểu thức P x y x 1 y 1 x y Tìm giá trị lớn nhỏ Hướng dẫn x 1 x � a) Phương trình cho tương đương với � x 1 x 1 � x 1 x x �0 Suy �x �3 x y x y x y b) Từ giả thiết ta có: x y 17 � x y �x y � x y � a b Áp dụng bất đẳng thức 2 x y x y Vậy �2 a b ta có: � x y 1 max x y 2, x y 2 � x y x y �0 � x y �2 17 Bài (PGD Quận Thanh Xuân 2016-2017) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác 1 abc � 2abc Chứng minh rằng: a bc b ca c ab Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức cô si, ta có: a bc � a 2bc 2a bc a bc 2a bc 1 1 1 � Chứng minh tương tự, cộng vế lại ta được: a bc b ca c ab 2a bc 2b ca 2c ab Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 � Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS 1 ab bc ca � a bc b ca c ab 2abc (1) Mặt khác: ab bc ca ab bc ca � a bc 2 (2) Từ (1) (2) suy đpcm Bài 10 (Quận Đống Đa Hà Nội 2016-2017) Giải phương trình x x x Hướng dẫn Ta phát liên hợp x 2 x 1 Phương trình cho tương đương với � x 1 x 1 x 1 3x x x x x 1 Do ta sử dụng phương pháp nhân x 3x x 0 Kết luận: x Bài 11 (Quận Hai Bà Trưng Hà Nội 2016-2017) Cho a, b > Chứng minh rằng: ab � a 3a b b 3b a Hướng dẫn x y xy � với x, y �0 ta có: Áp dụng bất đẳng thức a 3a b a b a 3a b 4a 3a b � 4 (1) Chứng minh tương tự có: b 3b a Cộng vế theo vế (1) (2) ta được: ۳ ab a 3a b b 3b a 4b 3b a 7b a 4b 3b a � 4 (2) a 3a b b 3b a �2 a b (đpcm) x� ,y� Tìm giá trị nhỏ của: M x y x y 13 Bài 11 Cho Hướng dẫn Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Ta có: Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS M x 2 x 1.1 y 10 y 25 2x 1 1 4y 3 5 Do M �0 MinM = � x 1, y Bài 12 (Quận Ba Đình 2016-2017) Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: a b3 c3 �a ac b ba c cb b c a Hướng dẫn a b3 c �a b c • Chứng minh bổ đề: b c a (1) a3 b3 c3 ab �2a , bc �2b , ac �2c c a Áp dụng bất đẳng thức côsi, ta có: b a b3 c ab bc ca �2 a b2 c 2 Suy b c a mà a b c �ab bc ca a b3 c �a b2 c b c a Suy 2 • Chứng minh a b c �a ac b ba c cb Thật vậy: a b2 c a b c a b c a b c ab bc ca � 2 2 1 � a b2 c2 � a a c b b a c c b 2 ac ba c b � ac , � ba , � cb 2 2 Mà suy a b c �a ac b ba c cb (2) Từ (1) (2) suy đpcm 3 A x3 x 3 Bài 12 Cho x Tính giá trị biểu thức Hướng dẫn Ta có Suy x3 3 3x x x � x x 1 � x x Bài 13 Tính giá trị biểu thức 2017 P 2017 1 1 1 1 3 77 99 79 81 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS Hướng dẫn P 79 77 81 79 81 � P Bài 14 Cho bao nhiêu? a, b, c 0, abc 1, a b c Giá trị biểu thức A a b c Hướng dẫn Từ giả thiết ta có: a bc � � 1 � 1 b 1 c � � bc � (1) b 1 c 1 bc 1 � b c 1 1 1 � b c bc � bc b c b c bc 2 Suy a A Bài 15 Tìm giá trị lớn biểu thức P xy z yz x zx y xyz Hướng dẫn P z 1 z x2 x y z 1 x y 1 � y 2z 2 2 2x 3y Bài 16 (Phạm Như Tồn) Giải phương trình: x x Hướng dẫn x x x 3 � Đk: x �0 Phương trình tương đương với x 3x x 2 Điều kiện �x �3 Bình phương hai vế phương trình ta được: x 3x x x � x Cách 2: Phương trình cho tương đương với x 1 x � x 1 x 1 � � � x 1 � � � x x 1 x 3 2 x32� � x 1 1 1 abc � Bài 17 Cho a, b, c số dương thỏa mãn a b c Chứng minh Hướng dẫn b c Từ giả thiết ta có: a b c b c b c bc �2 1 b 1 c b c Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: a b c Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS ca ab � � c a c a b Chứng minh tương tự, có: b Nhân bất đẳng thức vế theo vế suy đpcm 36 x2 Bài 18 Tìm số thực x, y thỏa mãn đẳng thức Hướng dẫn 28 x y y 1 36 � �� x2 24 � � y � x2 �� � Đẳng thức cho tương đương � 2 � x2 6 x2 y 1 y 1 � � � y 1 � � x2 6 y 1 Suy x 11, y 2 Bài 19 Cho a, b số dương thỏa mãn a b �16 Tìm giá trị lớn biểu thức A a b a 8b b a b 8a Hướng dẫn b a 8b Áp dụng bất đẳng thức cô si: 1 9b a 8b 9b a 8b � 3 a 17 ab a b a 8b � Suy (1) b 17ab b a b 8a � Chứng minh tương tự ta có: (2) a b 34ab A� 2 A 3� a2 b2 Cộng vế (1) (2) ta được: mà 2ab �a b nên A 48 2 Bài 20 Cho �a, b, c �2, a b c Tìm giá trị lớn biểu thức A a b c Hướng dẫn Từ giả thiết ta có a b c �0 � abc ab bc ca a b c �0 � ab bc ca �abc A a b c ab bc ca ab bc ca Ta có Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS Suy A �9 abc abc �5 Max A = a, b, c 0,1, hoán vị x x x x Bài 21 Giải phương trình: Hướng dẫn Điều kiện: x �1 Khi phương trình tương đương với phương trình x 1 x 1 x 1 x 1 � � x 1 1 x 1 1 2 x 1 1 x 1 � x 1�1��� x 1 x 1 x 1 x Kết hợp điều kiện suy giá trị cần tìm x �x �2 Bài 22 Giải phương trình: x2 x 2 x2 x 2 �0 Điều kiện: x Đặt x2 3 x2 Hướng dẫn x2 t � t x2 x2 Khi phương trình trở thành: t 4t 3 t 1 � � t 1 t 3 � � t 3 � • Với t 1, ta có x 2 x2 1 x2 , 1 nên x � x 2 Khi x � x � x • Với t 3, ta có: x 2 x2 x2 3 � x � x 13 � x 13 x2 x2 Vậy tập nghiệm phương trình S 5; 13 Bài 23 Tìm giá trị lớn biểu thức A xyz x y y z z x biết x, y, z thỏa Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS mãn x y z Hướng dẫn x yz � xyz Áp dụng bất đẳng thức côsi cho ba số dương có: xyz �x y z � � � � � (1) x y yzzx� x y z � � � 27 (2) x y y z z x �� � Từ (1) (2) suy ra: A �8 MaxA = � x y z Bài 24 Tìm giá trị lớn biểu thức A x y biết x y Hướng dẫn a b Áp dụng bất đẳng thức: Ta có: A2 x y 1 2 �2 a b (các em tự chứng minh) �2 x y 1 x y 3 2 Do A khơng âm nên từ A � A (vì x y ) max A � x , y 2 Bài 25 Cho số không âm x, y thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ lớn biểu x y P y4 x4 thức Hướng dẫn Viết lại P x y x y y x x y y x , sau sử dụng BĐT Cauchy-shwarzt Bài 26 (Phạm Như Tồn) Tìm giá trị lớn biểu thức Hướng dẫn A 2y 3x z 1 x y z Sử dụng BĐT Cauchy Bài 27 Tìm giá trị lớn nhỏ y x 1 x 2x Hướng dẫn Lập bảng xét dấu, ta có: với 2 �x �4 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Tốn THCS • Với 2 �x �1 � y • Với 1 x �1 � y 4 x • Với x � y 2 x • Với �x �4 � y 6 Vẽ đồ thị hàm số ta thấy max y 6, y 6 Bài 28 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x x x x 10 Hướng dẫn Cách 1: Xét khoảng, dùng đồ thị hàm số để tìm Cách 2: Dùng tính chất bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: A �A với A P x x x 10 x �2 x x x 10 x Cách 3: Dùng bất đẳng thức trị tuyệt đối A B �A B 2 Bài 29 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x x x x Hướng dẫn A � Amin Cách 1: Vì A nên A2 � 2 x2 2 x4 x2 A x2 x x2 x Cách 2: áp dụng bất đẳng thức cô si: A �2 x x �2 Bài 30 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x y biết x, y số dương thỏa mãn x y Hướng dẫn � � � �2 � y � � �x� � � � �y �� � � � � Cách 1: �3 � A x y � � � x � �x y � � 2 �� �� � �� �� (theo bất đẳng thức buhiacopxki) A7 Cách 2: áp dụng bất đẳng thức cô si: 4x y 4x 3y �7 74 y x y x 10 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS Đến e tự giải tiếp tốn trở nên đơn giản Bài 50 Giải phương trình a) x 24 x 32 b) x x x Hướng dẫn x a) Thêm bớt ta phương trình tương đương với x x x � x 1 x b) 2 2x 6 2 f x ax bx c f ,f ,f Bài 51 (ƠN CHUN) Cho có tính chất số hữu tỉ Chứng minh a, b, c số hữu tỉ Hướng dẫn giải f 1 a b c �� (1) f 16a 4b c �� (2) f 81a 9b c �� (3) Từ (1),(2) suy 15a 3b ��� 5a b �� (4) Từ (1), (3) suy 80a 8b ��� 10a b �� (5) Từ (4), (5) suy 5a ��� a �� Từ (4) suy b �� Từ (1) a, b �� nên c �� 2 Bài 52 (ÔN CHUYÊN) Tìm a để nghiệm phương trình x x 2ax a 6a (1) nhỏ nhất, lớn Hướng dẫn giải Coi (1) phương trình bậc hai ẩn a Ta viết lại a 2a x 3 x x � x 3 x x x x x �0 Phương trình có nghiệm (tức tồn a) � x x 1 x x �0 � x x 1 �0 (vì x x x ) suy Giải ta 1 �x �2 Vậy nghiệm nhỏ lớn -1 Khi � a 2, a 5 x , y , z x y z Bài 53 Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y z3 Hướng dẫn giải 17 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS Áp dụng bất đẳng thức côsi: y �2 y, z �3 z Suy P �x y 3z 3 2�� 3� � 1�� P �x y 3z �x � � y � � 3z � �2 x y z y�� z� � x�� Suy (cô si) Suy P �3 2 Bài 54 Cho hai số thực x y thỏa mãn x xy y Tìm GTLN GTNN biểu thức 2 sau B x xy y Hướng dẫn giải Ta viết lại B x xy y x xy y Nếu y từ giả thiết ta x � B B Xét y �0 Chia tử mẫu B cho y ta B �x � x �y � y �� �x � x �y � y �� ,đặt t x y ta thu t2 t � B 1 t B 1 t B t t 1 (1) B 1 B 1 B B 14 B Coi (1) phương trình bậc ẩn t, ta có � B �7 14 �0 � B 14 B �0 � � B �7 14 � Giải điều kiện Dễ thấy B nên ta chọn B �7 14 3 Bài 55 Cho x,y số thực không âm thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu 2 thức P x y Hướng dẫn giải x y � x3 y (1) Vì x, y �0 nên từ (1) suy ��� x3 � 1 3 2 3 y x y x y P �y �1 Suy x x�,y��� x , tương tự ta có 4 Bài 56 Cho x, y số thực không âm thỏa mãn điều kiện x y Tìm GTNN biểu P x3 y x y xy 1 thức Hướng dẫn giải 18 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS �x �1 � �x, y �0 � �x �x � � � x y �x y �4 � � 4 �y �1 �y �y x y 1 � Từ giả thiết � P x3 y xy x y x y x y x y Đặt x y a Viết lại Do Vậy P a 3a a 1 3a �3a 3a 1 (bđt côsi) P 1 � a � x; y 0;1 , 1; Bài 57 Cho a, b, c số thực không âm không lớn thỏa mãn a b c Chứng 2 minh rằng: a b c �5 Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có �a, b, c �2 � a b c �0 � a b c ab bc ca abc �0 � ab bc ca abc �4 � 2 ab bc ca �4 abc (1) a b c a b c ab bc ca ab bc ca Ta có (2) 2 2 2 Từ (1) (2) suy a b c �9 abc abc abc �0 nên a b c �5 (đpcm) Bài 58 Cho x, y sô thực thay đổi thỏa mãn �x �y �5 Tìm GTNN biểu thức sau P x y x y xy Hướng dẫn P 2 x y 4 x y ��4 Từ giả thiết �x�y� x y , đặt t x y Bài tốn trở thành tìm GTNN P 2t 4t với 4 �t �0 P t 1 �5 Có Vậy minP = x y 1 2 Bài 59 Cho số thực x, y, z thỏa mãn x y z 200 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P xy yz zx Gợi ý 19 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS z� � 200 P x y z x y z �x y � z �0 2� � 200 Dấu xảy x; y; z � 10; 10;0 , 10;10; P A Bài 60 Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức Gợi ý x2 x2 x • MinA = A • x2 1 � 2 x x 1 �1 � 3 � max A x x2 � �2 x � Suy 3 2 Bài 61 Cho số dương x, y thỏa mãn x y x y Chứng minh x y Gợi ý Từ giả thiết suy x y Ta cần chứng minh � xy y x y x2 y x3 y3 x y (1) Thật (1) � x x y xy y x y (hiển nhiên với x y ) Bài 62 Cho số thực x, y thỏa mãn x �1, y �1 Tìm giá trị lớn biểu thức 1 x 1 y T xy x y y x 2 Gợi ý sau áp dụng bất đăng thức ab cd � y y y � � T x y y x2 y y � T � x x �y � ta có 2 2 Suy max T a b2 c Chứng minh Bài 63 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn 1 1 a b c abc Gợi ý 20 � a c b d Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương bc ca ab Từ ta nghĩ xem kết nối với giả thiết để chứng minh bđt 2 Có a b c xuất bc ca ab ta nghĩ đến kết hợp để tạo đẳng thức a b c 2bc 2ca 2ab a b c �0 Thật 1 1 a b c �2 bc ca ab � bc ca ab � � a b c abc (đpcm) Suy Bài 64 Giải phương trình x2 � 1� �x � x � x� Gợi ý Phương trình tương đương x2 x a b Áp dụng bất đẳng thức Suy �2 a b 2 x x � x x �2 Chứng minh tương tự ta có 2 ta có x2 x �2 x x (1) 1 �2 x2 x Cộng vế theo vế (1) với (2) suy 1 x2 x (2) x2 x 1 �4 x2 x � x2 x � � 1 � x 1 � x x � '' '' Dấu xảy x 1 y2 x , y Bài 65 Cho số thực thỏa mãn P x y thức y x Tính giá trị biểu Gợi ý Bài 66 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a b c Tìm giá trị lớn biểu thức P a 1 b c b 1 c a c 1 a b Gợi ý 3b c b c 1.1 b c � Sử dụng bất đẳng thức cô si: 21 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS 3a ab ac a 1 b c � Suy , thiết lập tương tự hai bất đẳng thức cịn lại sau cộng vế theo vế suy GTLN P Bài 67 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x x 2018 x �0 x2 Gợi ý 2018 �2018 2018 1 � 2017 P 1 � � � x2 x x x 2018 2018 � � � 2018 � 2018 � 2017 2017 P� � � � x 2018 � � � 2018 2018 Bài 68 Cho hai số thực a, b thay đổi thỏa mãn điều kiện a b �1, a Tìm giá trị nhỏ 8a b P b2 4a biểu thức Gợi ý Từ giả thiết ta dự đốn minP a b Bây ta biến đổi P để xuất giả thiết P 2a b b 1 ba ab b 2a b 2a b2 a a b2 4a 4a 4 4a 4a 1 � 1� 1 P �a b b �2 a � b � �1 4a 4a � � 2 Bài 69 Cho hai số thực x, y thỏa mãn nhỏ biểu thức S x y x y 1 x y y Tìm giá trị lớn Gợi ý Từ giả thiết ta suy x y 1 x y 1 4 y �4 � x y 1 x y 1 �0 � � xy x y Bài 70 Cho bốn số dương x, y , z , t có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y z x y P xyzt (Trích đề thi HSG Hà nội 2003-2004) Gợi ý 22 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 a b Áp dụng bđt x y z 2 �4ab �4 x y z (2) Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS � x y z t� � �4 x y z t : � , x y �4 xy (1) (3) Nhân (1), (2), (3) vế theo vế suy P �16 MinP = 16 x y 1 z t 4 �x, y, z P � xy yz zx x y z Bài 71 Cho �x y z Tìm GTNN biểu thức (Đề thi thử vào 10 lần 4- THPT Lương Thế Vinh Hà Nội) Gợi ý a b2 a b � mn Bổ đề: Ta chứng minh m n (1) với a, b m, n a n b m m n �mn a b Thật (1) tương đương với � an bm �0 2 � a n b m �2abmn (đúng) 3 22 32 P � 2 xy yz zx x y z xy yz zx x y z 2 Áp dụng kết (1) ta có: ۳ P 25 x y z 25 Vậy P 25 Các em tự dấu '' '' Chú ý: (1) gọi bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Bất đẳng thức hiệu cho bai toán dạng phân thức Bài 72 Cho a, b, c số dương thỏa mãn ab bc ca 3abc Tìm giá trị nhỏ a2 b2 c2 P c c a2 a a2 b b b2 c2 biểu thức (Đề thi thử vào 10 - THCS Trưng Vương Hà Nội) Gợi ý 1 3 Từ giả thiết suy a b c 23 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Ta có a2 c2 c2 c 2 2 c a c c a c Ta ln có c a� 2ca Do c c a2 P c 2ca Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS 1 � c a b � �2 2� 2 a b c �c a a b b c � 2a , lập luận tương tự suy 1 �1 1 � �1 1 � P � � � � � a b c �2a 2b 2c � �a b c � MinP � a b c 2 2 Bài 73 Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a b c abc Tìm giá trị lớn a b c P a bc b ca c ab biểu thức (Đề thi thử vào 10 năm 2018 - THCS Nguyễn Trường Tộ Hà Nội) Gợi ý a a bc � Áp dụng bất đẳng thức si ta có: a bc 2a bc 2bc ab bc ca ca.cb ab.ac ab.bc P� 2ab 2bc 2ca 2abc Chứng minh tương tự suy ra: ac bc ab ac ab bc ab bc ca 2 � � 2 2 2 2 a b c 2 a b c maxP 2 (vì a b c �ab bc ca ) � a b c 2 2 Bài 74 Cho a, b, c thực thỏa mãn điều kiện a, b �0, �c �1, a b c Tìm giá A ab bc ca a b c trị lớn nhỏ biểu thức (Đề thi thử vào 10 năm 2018 – THPT chuyên Hà Nội AMSTERDAM) Gợi ý a b c � a2 b2 c2 2 • Tìm GTLN: Có ab bc ca �a b c Suy max P 12 • Tìm GTNN: A a b c a2 b2 c2 a b c a b c a b c 2 24 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS � A a b c 3 12 a b c � a b c ab bc ca �3 abc bc ca Ta có a b c Suy Do (vì �c �1 ) �3 2c ab b a �3 � a b c � A � 3 12 A 3 Bài 75 Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a b c Tìm giá trị lớn 2 2 2 biểu thức S a 4ab b b 4bc c c 4ca a (Đề thi thử vào 10 năm 2018 - THPT Nguyễn Tất Thành Hà Nội) Gợi ý Áp dụng bất đẳng thức a 4ab b x y xy � a b 2ab � Chứng minh tương tự ta suy ta có a b a b 2 S � a b c 6 x x 1 y y 1 z z 1 Bài 76 Cho x, y, z số thực thỏa mãn Tìm giá trị 2 nhỏ biểu thức P x y z (Đề thi thử vào 10 năm 2018 - THPT Lương Thế Vinh Hà Nội) Gợi ý Ta có xy yz zx x y z (1) 2 Áp dụng bất đẳng thức a b c �ab bc ca, a, b, c (*) ta được: P x � y ۳ z xy yz zx 4P xy yz zx (2) (*) � a b c � a b c � a b c �a b c �a b c Áp dụng (**) ta được: Từ (1), (2), (3) suy ra: �4P � 3 P 3P x y z �x y z (**) (3) P 3P �9 � P 3P �0 � P 3 P �0 3 (do P �0 ) 25 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Vậy P Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS 3 Bài 77 x y2 1) Cho x, y số dương Chứng minh rằng: nào? x; y 2) Tìm cặp số 1) x y2 2) Từ phần 1) suy x 1 x y �2 Suy x y �2 x y 1 x y 1 x y � x y x y x y suy Dấu '' '' xảy y �0 Ta có x y �0 1 x ,y 4 với (Đề thi thử vào 10 năm 2013 – Sở GD Hải Phòng) Gợi ý x2 y x y thỏa mãn x y 2 1 x ,y 4 nên Vì x y 1 Do từ câu 1) ta x y 1 x y � x y x y � x y � x y x y 1 Dấu '' '' xảy x y A x3 y x y x 1 y 1 Bài 78 Tìm giá trị nhỏ biểu thức với x 1, y (Đề thi thử vào 10 năm 2018 – Bình Phước Vịng 2) Gợi ý x y x2 y2 A � y x x y , đặt t x y, với x 1, y � t 2 t2 4 A� t 2 t 2 �2 t 2 t 2 t 2 Khi t 2 48 t 2 A � x y x2 y2 x y � b ab Lời bình: Bài toán sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki dạng phân thức a với a, b x, y 26 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Tốn THCS Ta xử lý toán theo hướng dự đoán minA đạt x y tìm số m cho x2 x2 x 2 x2 �m �۳ y 1 x 1 x 1 , dễ dàng tìm m Thật x với x Từ ta tìm GTNN biểu thức A 3 2 Bài 78 Cho a, b, c Chứng minh rằng: 2a 2b 2c a b b c c a (Sưu tầm từ đề thi học sinh giỏi toán 9) Gợi ý 1 a 1 b � 1 a b a Từ giả thiết ta có: 2 b 2 2 2 Chứng minh tương tự, suy a b b c c a a b c a b c 3 3 3 Do a, b, c nên a a , a a , b b , b b , c c , c c Từ suy đpcm Bài 79 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c Tim GTLN GTNN biểu thức P a b b c c a (Phạm Như Tồn) Gợi ý Tìm GTLN Áp dụng bất đẳng thức Ta có P2 x y z �3 x y z ab bc ca �3 a b b c c a 18 (vì a b c ) Suy P �3 Tìm GTNN Từ giả thiết suy �a, b, c �3 P a b c Ta chứng minh a � a 3 Thật bđt tương đương với 3 a � a � a � a � a a �0 CMTT ta suy P � a b c 3 3 27 (đúng với �a �3 ) Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS a; b; c 0;0;3 Vậy P đạt hốn vị Bài 80 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c Tim GTLN GTNN 2 biểu thức P a a b b c c (Phạm Như Tồn) Gợi ý Dự đốn với a b c � A A 6, max A a b 0, c � A Do ta dự đốn , với Tìm GTNN Ta chứng minh a2 a � Bài 80 Cho a, b, c số thực thỏa mãn a b c 7, ab bc ca 15 11 a� Chứng minh : Gợi ý bc 7a bc 7a bc 7a � � � �� �� � bc a b c 15 bc 15 a a bc a a 15 � � Từ giả thiết ta có: b c a (1) � �� c 4� bc� b� Ta ln có a 4� a a�15 3a 14a 11 a 11 Suy đpcm Bài 81 Cho x �0, y �0, x y Tìm giá trị lớn biểu thức Gợi ý Từ giả thiết ta suy �x �1, �y �1 Ta có A x y 2 x 2 y a b a b � ab ab Bài 82 a) Với a, b Chứng minh rằng: 28 A x y y 1 x 1 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 b) Cho x, y, z Chứng minh rằng: Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS 1 1 1 � x x y y y z z x z (Trích đề thi vào 10 Hải Phịng) Lời giải a) Biến đổi tương đương b) Theo a) a b a b � � ab ab tương tự : 2 1 �2 b c b c (2) ; 1 1 � � a b a b 2 1 �2 c a c a 2 1 �2 a b a b (1) (3) Cộng (1), (2), (3) suy đpcm 2 Bài 83 Cho x, y , z số thực thỏa mãn x y z �12 Tìm giá trị lớn nhỏ 2 biểu thức P x y z x y z Hướng dẫn 2 � 1� � 1� � 1� P �x � �y � �z � � 2� � 2� � 2� P � x y z P x y z x y z � x y z x y z �18 max P 18 � x y z P x y xy xy Bài 84 Cho hai số dương x, y thỏa mãn x �2 y Tìm GTNN (Trích đề thi vào 10 trường THCS Cầu Giấy) Hướng dẫn Dự đoán P x y , P P 2x y 2x y 2x x y 2.2 y �2 2 y x y x y y x y Cách 2: P x2 y x x y xy x2 y x y � xy y x 29 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS x �x y � x y P � � �� y �4 y x � 4y x Cách 3: x y x � 2y 2, đặt t x 2t 2t 1 , t �2 P 2t y t t Khi Bài 85 Cho a, b, c số dương thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P ab 3c 2a 2b2 ab (Trích thi thử 2018 trung tâm Học Mãi) Hướng dẫn Ta có ab 3c ab a b c c c a c b �c ab a b �a b c ab a b P� 1 ab Do Bài 86 Cho a, b, c số dương thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu ab 3c 2a 2b2 P ab thức Hướng dẫn Ta viết lại biểu thức P a Áp dụng bất đẳng thức: c a c b Mặt khác: ab a b c c a b ab b x y � ax by c a c b �c ab a b2 � a b a b c ab a b P� 1 a b c ab Suy 30 c a c b suy ra: a2 b2 a b c ab Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS 31 ... thức P x x 20 18 x �0 x2 Gợi ý 20 18 �20 18 20 18 1 � 2017 P 1 � � � x2 x x x 20 18 20 18 � � � 20 18 � 20 18 � 2017 2017 P� � � � x 20 18 � � � 20 18 20 18 Bài 68 Cho hai số thực... x 3x 81 81 �2 3x x 18 x 3 36a 81 a2 Bài 34 Cho a Tìm GTNN biểu thức Đề thi thử vào 10 trường THPT Lương Thế Vinh năm 20 18 Hướng dẫn P a 4a 15 P a 4a 15 36 81 � � �... Như Toàn ĐT 0 988 81 9 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS z� � 200 P x y z x y z �x y � z �0 2� � 200 Dấu xảy x; y; z � 10; ? ?10; 0 , ? ?10; 10; P A
Ngày đăng: 03/08/2021, 16:23
Xem thêm: