THÔNG TIN TÀI LIỆU
Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN ĐỀ THI HSG VÀ ĐỀ THI VÀO 10 CHUYÊN Bài Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện: x y z xy yz zx 2 Chứng minh rằng: x y z �3 (Vòng 2, THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2003-2004) 2 2 2 Gợi ý: Chứng minh x y z �xy yz zx x y z �2 x y z Lời giải x y Ta có y z z x �0 � x y z xy yz zx �0 2 � x y z �2 xy yz zx (1) 2 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức a b �2ab ta có: x y z x 1 y 1 z 1 �2 x y z Từ (1) (2) ta suy ra: (2) x y z �2 x y z xy yz zx 2.6 � x2 y z � 3 (đpcm) Đẳng thức xảy x y z Bài Cho a, b, c, d số nguyên dương Chứng minh số B a b c d a b c b c d c d a d a b khơng phải số ngun (Vịng 2, THPT chun Hà Tây 2005-2006) a a ad Gợi ý: Sử dụng tính chất tỉ số a b c d a b c a b c d , suy B Lời giải a a b b Với a, b, c, d ta có: a b c a b c d ; b c d a b c d ; 1| Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG c c d d c d a a b c d d a b a b c d Cộng bất đẳng thức lại vế theo vế ta được: Mặt khác ta lại có kết quả: 0 Thật (*) tương đương với B abcd 1 abcd (1) x x x z 1� , z y y yz (*) x y z y x z � xz yz � x y (đúng) Vậy (*) chứng minh a ad Áp dụng (*) ta được: a b c a b c d b ba c cb d d c ; ; Chứng minh tương tự ta có: b c d a b c d c d a a b c d d a b a b c d Cộng bất đẳng thức lại vế theo vế ta được: B 2 a b c d 2 abcd (2) Từ (1) (2) suy B Vậy B số nguyên Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc 1 1 �1 3 3 3 Chứng minh rằng: a b b c c a (Thi học sinh giỏi, TP Hà Nội 2009-2010) Gợi ý: a b3 �ab a b abc ab a b c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức x y �xy x y , x, y (*) x xy y �xy � x y �0 Chứng minh: Thật (*) tương đương với Khi đó, ta có Suy (đúng) a b abc a b3 �abc ab a b ab a b c 1 abc c � 3 1 a b ab a b c ab a b c a b c (1) 2| Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG a a � � 3 3 a b c (2); b c a b c (3) Chứng minh tương tự: b c Cộng (2), (2), (3) vế theo vế suy đpcm Đẳng thức xảy a b c 1 1 � 2 Bài Cho hai số dương a, b thỏa mãn a b Chứng minh: a b 2ab a b 2a b (THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương 2012-2013) 1 1 � 2 a b 2ab a b 2a b 2ab a b 2ab a b ab a b Gợi ý: Sử dụng BĐT Cauchy Dễ dàng chứng minh 1 � ab a b 1 với giả thiết a b Lời giải Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: Suy ra: a b �2a 2b � a b 2ab �2a 2b 2ab 2ab a b 1 � a b 2ab 2ab a b Chứng minh tương tự: (1) 1 � a b 2a b 2ab a b Cộng (1) (2) vế theo vế ta được: (2) 1 � a b 2ab a b 2a b ab a b 1 � a b 2ab a �۳۳ b 4ab a b Từ giả thiết, ta có: Vì 1 � 2 Do a b 2ab a b 2a b 2a b 2ab 4ab ab (3) (4) 1 � Từ (3) (4) ta suy ra: a b 2ab a b 2a b (đpcm) Đẳng thức xảy a b Bài Cho bốn số dương a, b, c, d Đặt 3| Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG x 2a b cd , y 2b c da z 2c d ab , t 2d a bc Chứng minh bốn số x, y , z , t có hai số dương (Vòng 2, THPT Chuyên ĐHSP 2005-2006) Gợi ý: Sử dụng tính chất số học: ‘‘Tổng hai số lớn hai số dương’’ Xét x z y t , dễ dàng chứng minh x z y t Bài Chứng minh bất đẳng thức 1 1 3 79 80 (Vòng 1, THPT chuyên ĐHSP Hà Nội 2011-2012) Gợi ý: Đặt A 1 1 1 ; B 1 3 79 80 2 4 80 81 Dễ thấy A B 1 1 1 2 3 79 80 80 81 A B 80 79 81 80 81 Suy A Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz Chứng minh xy yz zx �1 3 x y xy y z yz z x zx 3 VT � x y �xy x y x yz Gợi ý: Sử dụng BĐT Khi ta cm 3 VT � �1 x y z �3 xyz x y z nên (đpcm) a b c �1 0;1 a , b , c Bài Cho ba số thực thuộc đoạn Chứng minh: b ca c ab a bc Gợi ý: Đây toán biến bị chặn đoạn, từ sở ta nghĩ đến đánh giá sau b b a 1 b 1 �0 � ab �a b Suy c ab �a b c 4| Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG a a c c � ; � ; Chứng minh tương tự ta có b ca a b c a bc a b c Cộng vế bđt suy đpcm Bài Cho tam giác ABC với độ dài cạnh a, b, c Chứng minh rằng: a b c b c a c a b �a b c Gợi ý: Biến đổi BĐT tương đương 2 a b c b c a c a b BĐT hiển nhiên với a, b, c độ dài cạnh tam giác Suy đpcm Bài 10 Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z Chứng minh rằng: x xy y y yz z z zx x � (THPT chuyên Thái Bình 2005-2006) x y Gợi ý: Chú ý: x y � 2 3 x y x y 3 x y x xy y � 4 2 2 Bài 11 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh: a b c bc ca ab Gợi ý: Tư cho hợp lý??? • Nhắc đến tam giác ta phải nghĩ đến BĐT tam giác: a bc �0 a bc A A A 1 B • Từ ta suy nghĩ đến phân số có tính chất gì?? Đó B B Sử dụng tính chất a b c a b c ca a b b c c a a b ta đánh giá thoát thức, tức là: b c 0 a b c 1?? • Làm để chứng minh tiếp b c c a a b Đó làm trội hạng tử, hiển nhiên có: hạng tử cịn lại suy đpcm bc abc � a a b c a b c , đánh giá tương tự cho hai 5| Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG x y x y �2 Bài 12 Cho hai số dương x, y thỏa mãn x y Chứng minh rằng: (THPT TP Hà Nội 2005-2006) Gợi ý: Ta có x y x y 1 x y xy.2 xy x y � 2 xy x y2 1 �9 Bài 13 Cho a, b, c a b c Chứng minh rằng: a 2bc b 2ca c 2ab (Chuyên KHTN ĐHQG Hà Nội 1992-1993) 1 � Gợi ý: Sử dụng BDT x y z x y z 1 1 � � �3 � � �a 2b b 2c c 2a � Bài 11 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh a b c (THPT chuyên ngữ ĐHQG Hà Nội 2007-2008) Bài 12 Cho a, b, c Chứng minh a b c �12 b 1 c 1 a 1 (THPT chuyên TP Hải Phòng 2005-2006) Bài 13 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: a ab a 1 b bc b 1 c ca c 1 � abc (Vòng 1, THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2007-2008) Bài 14 Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: S a2 3a 8b 14ab b2 3b 8c 14bc abc � 3c 8a 14ca c2 (Vòng 1, THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2009-2010) Gợi ý: 3a 8b 14ab 3a 2b a 4b 4a 6b � 2a 3b Khi 6| Phạm Như Tồn SĐT: 0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG a2 b2 c2 S� 2a 3b 2b 3c 2c 3a , dùng kĩ thuật điểm rơi sử dụng BĐT bunhiacopxki � đpcm 1 x y z �1 Bài 15 Cho x, y, z x y z Chứng minh rằng: (THPT chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2005-2006) Gợi ý: Ta thấy lạ BĐT cần chứng minh xuất dấu ‘‘trừ’’ Tuy nhiên để ý thấy x 2, y 2, z số dương x, y, z Do cách tự nhiên suy nghĩ đến đổi biến cách đặt ẩn phụ a x 2, b y 2, c z Khi tốn trở thành cho abc �1 a, b, c 0, 1 a2 b2 c2 CMR: 1 1 b c b c 1� �2 a2 b2 c2 b2 c2 Giả thiết a b c Đánh giá tương tự cho hai hạng tử cịn lại, sau nhân vế theo vế suy đpcm 2 Bài 16 Cho a, b số thực không âm thỏa mãn a b �2 Tìm giá trị lớn biểu thức P a 3b a 2b b 3a b 2a (THPT chuyên Đại Học Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội 2008-2009) Gợi ý: P a 3b a 2b b 3a b 2a �a a 5b b 5a a b 10ab b �3 a b �6 2 Bài 17 Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a �1, b �2, c �3, d �4 Chứng minh rằng: abc d abd c acd b bcd a 1 � abcd Bài 18 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 4a 9b 16c bc a a cb a bc (Vòng 2, chuyên ĐHSP Hà Nội 2002-2003) 7| Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG Gợi ý: Đặt x b c a, y c a b , z a b c Khi y z x z x y �2 y x � �2 z x � �9 z y � P � � � � � ��26 x 2y z z � �2 y z � �x y � �x Bài 19 Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x y z Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 2 biểu thức P x y z (Vòng 2, THPT chuyên TP Hà Nội 2011-2012) A x y z Gợi ý: 2 x y z � 12 36 x y z A xy yz zx �A Lại có Bài 20 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A x 10 x 16 x2 2x Gợi ý: Dùng tam thức bậc hai Bài 21 Cho số thực x, y thỏa mãn x y Tìm GTNN P x Gợi ý: P x y x 8y 1 x 8y 8y �3 x y y y x 8y y x 8y y x 8y 2 Bài 22 Cho �a, b, c �2, a b c Tìm GTLN P a b c Gợi ý: Từ giả thiết suy a a � 2 a2 2a 2 Bài 23 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện b c �a Tìm giá trị nhỏ biểu �1 � P b2 c2 a2 � � a �b c � thức: (Vòng 2, THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2007-2008) b2 c2 4a b2 c2 a2 3a b2 c2 a P� 2 � 3.1 a b c a2 b2 c2 b2 c2 a b2 c2 Gợi ý: Bài 24 Cho a, b, c số dương thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a ab b b bc c c ca a (Vòng 2, THPT chuyên Hà Tây 2008-2009) 8| Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG x xy y � x y Gợi ý: Sử dụng BĐT Suy P � Phát triển toán: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: a 2b 3c 18 2 2 2 Tìm giá trị nhỏ P a 2ab 4b 4b 6bc 9c 9c 3ca a Bài 25 Cho a, b 0, a 3b a 1 b 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P ab a b c d 1 a 1 b 1 c 1 d Gợi ý: Đây TH đặc biệt toán gốc là: Cho Tìm GTLN biểu thức P abcd Nếu cho b c d ta toán a, b, c, d 0, a b c d b c d 1� 1 b 1 c 1 d 1 a Gợi ý: a b c d Áp dụng BĐT Cauchy: lại b c d bcd �3 1 a 1 b 1 c 1 d 1 b 1 c 1 d Bài 26 Cho a, b số thực thỏa mãn 1 a 1 b , tương tự cho hạng tử 4 Tìm GTNN P a b (Vòng 1, THPT chuyên ĐHQG Hà Nội) x y a2 a x y � � a4 � � 2 2 Gợi ý: 2 Bài 27 Cho a, b, c thỏa mãn a b c ab bc ca Tìm GTNN biểu thức: P a b3 c b c a 2 Gợi ý: Điểm rơi a b c Chứng minh P �a b c sau đánh giá theo a, b, c, ab, bc, ca (Câu cuối đề vào 10 năm 2017-sưu tầm) Bài 28 Tìm giá trị lớn biểu thức P a b9 b a4 ab (Đề thi thử vào 10 quận HỒNG MAI-2017) 9| Phạm Như Tồn SĐT: 0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG b9 a4 b a Gợi ý: Điều kiện a �4, b �9 Quan sát biểu thức P , dễ thấy ta nên biến đổi để có phân li độc lập hai biến, dễ dàng thấy ta đánh giá để tìm GTLN P 3 Bài 29 Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn a b 6ab �8 Chứng minh rằng: P a 2b �8 a b (Đề thi thử vào 10-THCS Nguyễn Dư 2017) Gợi ý: a b3 �ab a b Suy t 1 t 4t �0 � Khi P a �6ab ab a b �6ab 2ab ab � t 3t �0 t ab ( ) ab �1 1 2b �8 a b a b Bài 30 Cho x 0, y x y �5 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T x y 18 x y Gợi ý: Ở toán ta thấy biểu thức T không đối xứng Do điểm rơi xảy khơng phải x y Tuy nhiên điểm rơi x, y mà x y Do thay y x vào T ta 18 T 5 x 5 x 5 x Dùng chức TABLE ta dò Min T điểm rơi x T x � y ۳ x y x Khi dó viết lại y x x y y 3 x y T 15 1 a, b, c 0, a b c � P a b2 c Tìm GTNN biểu thức: a b c Bài 31 Cho abc Gợi ý: Điểm rơi Bài 32 Cho a, b, c Tìm GTNN biểu thức P a b c bc c a a b bc c a a b a b c 10 | Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG Cách 1: Ta ý đẳng thức � xy x y y z z x xy x y yz y z zx z x 2xyz yz zx y z z x x y z x y z x y Do từ giả thiết ab bc ca 2abc Đặt P Khi xyz x y y z z x x y z ,b ,c yz zx x y a �x yz xz x y y z � 2� � x y z �y z x z x y �với x, y , z �1 � �1 � �1 � y z z x x y x � � y � � z � � y z �y z � �x z � �x y � Ta có x 1 � m, n Áp dụng bất đẳng thức m n m n ta có: yz zx x y � x y z 4x yz 4y zx 4z x y 2x yz P 2y zx 2z x y Mặt khác áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có: � x2 x y z y2 z2 � P �2 � ��2 �xy xz yz yx zx zy � xy yz zx , lại x y z �3 xy yz zx nên P �3 Cách 2: Đặt cos A bc , cos B ca , cos C ab Suy cos B cos C cos C cos A cos A cos B a ,b ,c cos A cos B cos C *Bài 68 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : 3(a ab b )(b bc c )(c ca a ) �abc (a b c ) Giải a b4 2(a ab b ) a b (a b) �a b � a ab b � Nhận xét 2 4 4 2 Ta chứng minh bất đẳng thức 20 | Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 ( Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG a4 b4 b4 c c a )( )( ) �abc(a b3 c3 ) 2 a b (b c )(c a ) �8 a b 2c (a b3 c3 ) Trước tiên ta chứng minh Bổ đề 1: Cho x, y , z số thực dương Khi 9( x y )(y z )(z x) �8( x y z )( xy yz zx ) Chứng minh: Ta có 9( x y )(y z )(z x) �8( x y z )( xy yz zx) � x y y z z x xy yz zx �6 xyz ( theo AM- GM) Bổ đề 2: Cho x, y , z 2 2 2 2 số thực Khi x y y z z x x y �xyz ( x y z ) x y y z z x x y �xyz ( x y z ) � ( xy yz ) ( yz zx)2 ( zx xy )2 �0 Chứng minh ( ln ) Áp dụng vào tốn Ta có a b b c c a �8 a b c a 4b b 4c c a �8a 2b 2c a b c a b2 c2 4 2 3 Mà ( a b c )( a b c ) �(a b c ) ( bất đẳng thức C-S) Suy a b4 (b4 c )(c a ) �8a b2 c (a3 b3 c3 )2 2 2 2 3 Vậy 3(a ab b )(b bc c )(c ca a ) �abc (a b c ) Đẳng thức xảy a b c 1 Bài 69 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh : a2 b2 c2 abc � a bc b ca c ab Từ giả thiết ta có ab bc ca abc Giải 21 | Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG a2 a3 a3 a3 Do a bc a abc a ab bc ca (a c)(a b) Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành a3 b3 c3 abc � a b a c b c b a c a c b Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (cơsi) ta có: a3 a c a b 3a a3 4a b c � (a c)(a b) (a c )(a b) 8 (1) b 4b c a � b a b c Chứng minh tương tự, ta có: (2) c 4c a b � c a c b Và (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có đpcm Đẳng thức xảy � a b c 2 Bài 70 Cho x, y, z số dương thỏa mãn x y z 2011 xy yz zx z x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Giải Ta có: P2 x2 y x2 z z y x2 y x2 z z y 2 2 x y z 2.2011 y x z2 y2 x2 = z x2 y x2 z z y �x y z 2 y x Theo bất đẳng thức si, ta có: z 3.2011 Suy P � P 3.2011 Bài 71 [Lâm Đồng] Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1 x y z Lời giải 1 1 � � 3 � z 3 z Áp dụng bất đẳng thức cô si: z 3 3 z 1 1 4 P � 2 � z x y z x x3 3 x y Suy 22 | Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG Bài 72 Bất đẳng thức Schur Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a) b) c) a b3 c 3abc �ab a b bc b c ca c a a b c abc a b c �a b c b3 c a c a b a s a b a c b s b a b c c s c a c b �0 Giải a) Ta có: a b3 c3 3abc �ab a b bc b c ca c a � a abc a 2b a c b3 abc b 2c b a c abc c a c 2b �0 � a a b a c b b c b a c c a c b �0 Không tính tổng qt giả sử a �b �c Khi ta có • (*) c c a c b �0 (1) a a b a c b b c b a a b a ac b bc a b a b c �0 • Cộng (1) (2) vế theo vế ta (*) Đó đpcm Đẳng thức xảy a b c b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a a 2bc a3b a3c b4 b2ca b3a b3c c c 2ab c3a c3b �0 � a a b a c b b c b a c c a c b �0 Khơng tính tổng qt giả sử a �b �c Khi ta có: • (**) a a b a c �0 (3) b b c b a c c a c b b c b bc c ab ac • (2) Mà b bc c ab ac bc b b a c c a 0 a �b �c b b c b a c c a c b �0 Nên (4) Cộng (3) với (4) vế theo vế suy (**) chứng minh c) *Bài 72 [KHTN-Hà Nội] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a3 b3 c3 9 � 2 2 2 b bc c c ca a a ab b ab bc ca Lời giải Ta chứng minh bổ đề: Với a, b, c số thực dương ta có a3 b3 c3 �a b c b bc c c ca a a ab b 23 | Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG a b2 c2 a3 b3 c3 � b bc c c ca a a ab b a b bc c b c ca a c a ab b Thật Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta a b c abc a b c �a b c b3 c a c a b Đây BĐT Schur quen thuộc VT �a b c Do abc a bc ab bc ca 2 ab bc ca 9 a b c abc abc 9 �3 � 2 ab bc ca ab bc ca 2 Áp dụng BĐT AM-GM ta có: a b c �3 ab bc ca (do ) Hoàn tất chứng minh Bài 73 [THTT-Số 484] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c a b c a b3 c3 �9 Chứng minh rằng: Lời giải PP: Đồng bậc hai vế: a b c a b3 c �9 � a b c a b c a b c � a b c � 4� a b2 c b c2 a c a b2 � � ��3 a b b c c a Chú ý: a b b c c a a b c b c a c a b 2abc nên BĐT tương đương a b c b c a c a b �6abc � a b c b c a c a b �0 2 (Đúng) Hoàn tất chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài 74 [Đề thi vào 10 Chuyên Toán-Hà Nội 2016-2017] 2 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c 2a 2b 2c �a b c 2 Chứng minh rằng: a b b c c a Giải 24 | Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG Sử dụng kĩ thuật Cơ sí ngược dấu Bài 75 Cho điểm A, B, C, D tùy ý Chứng minh rằng: DA.BC DB.CA DC AB Hãy liên hệ kết hình học với đại số Lời giải Dùng cách sơ cấp: Gọi tọa độ điêm A, B, C, D trục tọa độ a, b, c, d Khi DA a d , BC c b, DB b d , CA a c, DC c d , AB b a Đẳng thức cần chứng minh có dạng: a d c b b d a c c d b a Khai triển vế trái ta thấy đẳng thức hoàn toàn Từ ta có kết quả: Với số thực a, b, c, d ta có đăng thức: a d c b b d a c c d b a 2 Phát triển thành toán bất đẳng thức dựa ý tưởng: x y �2 xy a b c d �2 ab bc cd da ac bd Chứng minh với a, b, c, d ta có: Lời giải 2 Thật áp dụng bất đẳng thức x y �2 xy , ta có: ad bd cd c b �2 a d c b (1) a c �2 b d a c (2) b a �2 c d b a (3) 2 Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ý phải chứng minh a d c b b d a c c d b a Ta suy điều Nhận xét: Dựa ý tưởng đẳng thức mở rộng ta phát triển thêm nhiều tốn hay Phạm Như Tồn 25 | Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG 2 Bài 76 Với a, b, c số thực thỏa mãn a b c Chứng minh a b c b c a c a b �6 (1) Lời giải Ta đồng bậc hai vế BĐT: (1) � 3a b c 3b3 c a 3c3 a b �2 a b c � �3ab a b �� a b4 4a 2b Thật ta có: a b 4a 2b 3ab a b a b 2a 2b 2ab a b 2a 2b ab a b a b 2ab a b ab 2ab a b a b a b ab a b a b a 2 b ab 2 a b 4a 2b �3ab a b Vì a ab b �0 với a, b nên Suy đpcm Bài 77 Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn x y z Chứng minh 15 27 x y z xyz � 4 Lời giải BĐT cần chứng minh tương đương với x y z 15 xyz � x y z � x y z 15 xyz �3 x y y z z x � x y z xyz � x y y z z x � x3 y z xyz �x y z y z x z x y � x x yz xy xz y y zx yz xy z z xy zx zy �0 � x x y x z y y x y z z z x z y �0 Khơng tính tổng qt giả sử x �y �z Khi bất đẳng thức tương đương với 26 | Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG x y x xz y yz z z x z y �0 � x y x y z z z x z y �0 (đúng với x �y �z ) Đây BĐT Schur quen thuộc Nhận xét: Kĩ thuật sử dụng toán đồng bậc hai vế Bài tập tương tự 2 Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x y z Chứng minh rằng: x y z xyz �4 a3 b3 c3 � 2 2 2 a , b , c 0, a b c Cho Chứng minh a ab b b bc c c ca a Cho x, y , z 0, x y z Chứng minh rằng: xy yz zx xyz � 27 x y z xyz �9 Cho x, y, z 0, x y z Chứng minh rằng: 4 3 Cho a, b, c 0, a b c Chứng minh rằng: a b c abc �a b c Bài 78 Cho a, b, c 0, a b c Chứng minh a3 b3 c3 �2 2 2 2 a ab b b bc c c ca a ab bc ca Phạm Như Toàn Lời giải a3 b3 c3 abc � 2 2 2 Ta chứng minh bổ đề: a ab b b bc c c ca a (*) với a, b, c a b3 b3 c c3 a3 0 2 2 2 Thật ta có: a ab b b bc c c ca a � a3 b3 c3 b3 c3 a3 a ab b b bc c c ca a a ab b b bc c c ca a Do để chứng minh bổ đề ta cần chứng minh � a bc � a3 b3 c3 b3 c3 a3 � �2 2 2 2 2 2 � �a ab b b bc c c ca a a ab b b bc c c ca a � � 2 a b c a b3 b3 c c3 a � 2 2 2 a ab b b bc c c ca a (**) 27 | Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG a b3 a ab b a b a ab b a b � � 2 a ab b (vì a ab b2 - em tự chứng minh) Thật ta có: a ab b Chứng minh tương tự, sau cơng bất đẳng thức vế theo vế suy (**) Từ bổ đề (*) hoàn tất chứng minh Áp dụng (*) ta có: a3 b3 c3 a bc � 2 2 2 a ab b b bc c c ca a ab bc ca ab bc ca (1) Lại áp dụng BĐT AM-GM ta có: a b c �2 abc abc �2 2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca (2) Từ (1) (2) suy đpcm Đẳng thức xảy a b c x 1 y 1 Bài 79 Cho x, y , z CMR: 3 x2 y 1 y 1 z 1 33 y2 z2 1 z 1 x 1 3 z2 x2 1 �x y z Giải Áp dụng BĐT Cauchy: x 1 y 1 3 x2 y2 3 x y 3 xy.x y �xy x y x y �y Suy ra: với suy đpcm Chứng minh tương tự với hai đại lượng cịn lại Sau cộng vế BĐT a Bài 80 Cho a, b, c Chứng minh rằng: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: 7a 7a b2 c Giải b � c 1 7a b a 7b c b c c a b 7c a 7a b c �1 3a 7a b c b c � a � �3 � � CM tương tự suy VT �7 a b c a 7b c a b 7c � 28 | Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG x2 y x y � b a b với a, b Khi đó: Ta lại có: a 2 1 � a a a �22 12 a � � � a b c 6a a b c �6a a b c � 27 a b c CM tương tự cộng vế suy đpcm 1 Bài 81 Cho a, b, c thỏa mãn a b c Tìm GTLN biểu thức 1 M 5a 2ab 2b 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a Gợi ý 5a 2� ab 2b 2a b a b 2a b 5a 2ab 2b 2 2a b 1 1 1 M� N 2a b 2b c 2c a Cần tìm GTLN 2a b 2b c 2c a Tương tự suy 1 �1 1 � �2 � � � � � � Ta có: 2a b a a b �a a b � �a b � �1 1 � �1 1 � N � � �� � � a b c a b c � � � � Tương tự suy ra: Bài 82 Cho x, y , z số thực dương thuộc khoảng (0;1) thỏa mãn xy yz zx Chứng minh x y z 3 � 2 2 : x y z Gợi ý: x y z x y z P� P x x y 1 y2 z z2 x y z Áp dụng BĐT B.C.S ta có: x3 y3 z � x y z Vì nên x yz P� , 1 x y z đặt S x y z , dễ thấy S � S 3 �۳ 1 S Do ta cần chứng minh: 18S 27 3 3S với �S 29 | Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 Thật vây: Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG 18S �27 3S � S S 3 �0 (đúng) Suy đpcm Bài 83 Với số dương x, y , z thay đổi thỏa mãn x y z �3 xyz Tìm GTNN biểu thức xy yz zx P 3x y 3z Gợi ý 2 Bài 85 Cho số dương x, y , z thỏa mãn x y z xy yz zx �0 Tìm GTNN biểu thức x4 y y z z x4 P z4 x4 y4 Gợi ý Giả thiết suy ra: z �x y 1 4 a b4 � a b � Áp dụng kết quả: a b a b 4 �x y � x y � �x y � z �1 � �1 P � � z � �4 � � � � � y x � z4 x y4 � � z � �x y � � � Ta có: Do đó: Đáp số: �x y � z 44 32 P �2 � 2 t � � z � x y t P �x y � t � �� t �1 �z � với 273 4x 3y 2z t 1 x , y , z , t x y z t Bài 86 Cho số dương thỏa mãn Tìm GTLN biểu thức Px y z t Gợi ý Bài 87 Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc Tìm GTLN biểu thức 1 P 2a 1 b2 2b2 1 c 2c 1 a Gợi ý Áp dụng bất đẳng thức BCS: 2a 1 b a a 1 b 1 �ab a 30 | Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG 1 P� a ab b bc c ca , với abc , ta dễ dàng chứng minh Suy 1 a ab b bc c ca P Bài 88 Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc Tìm GTLN biểu thức 1 P 2 a 2b b 2c c 2a Gợi ý a 2b2 a b b 1 �2ab 2b ab b 1 1� 1 � P� � � ab b bc c ca a � � Suy Bài 89 Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc Tìm GTLN biểu thức 1 P 5 a a 3ab b b 3bc c c 3ca Hướng dẫn 3 a a �5a � a a � a 2 mà Dự đoán max P � a b c , áp dụng bđt cô si: 5 a �2a nên a a �3a � a a 3ab � a ab 1 P� Do a ab 1 b bc 1 c ca 1 Áp dụng bđt BCS ta lại có � 1 � � a ab 1 b bc 1 c ca 1 � � � 1 ��3 � � � �3 a ab 1 b bc 1 c ca 1 � � � � � Suy P �1 Bài 90 Cho số dương x, y , z thỏa mãn xyz Tìm GTLN biểu thức 1 P 2 x xy x y yz y z zx z Hướng dẫn Ý tưởng dùng điểm rơi đánh giá loại bỏ hạng tử x; y; z 31 | Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG 2 Ta có x �2 x � x xy x �x xy P� Suy x xy 1 y yz z zx ab 1 x xy x xy 1 Mà P� Suy Max P BCS �3 � � 1 � � �x xy y yz z zx � �1 � �� � �a b � � 1� 1� � � �x xy � � 1� 1 1� � �x xy y yz z zx � đạt x y z Bài 91 Cho số dương x, y , z thỏa mãn xyz CMR 1 5 �1 5 2 x y z y z x z x5 y Hướng dẫn Ý tưởng đồng bậc mẫu số hạng tử x5 y �xy x3 y � x y z x y z xyz �xy x3 y z 5 x y5 z xy x y z z x y3 z3 x yz P� x y z (1) CMTT ta suy AM GM AM GM AM GM 3 Lại có x � 3x ; y � y; z � z Do x3 y z �3 x y z x y z x y z �x y z (do x y z �3 xyz ) 3 Hay x y z �x y z (2) Từ (1), (2) suy đpcm Đẳng thức xảy � x y z Bài 92 Cho số dương x, y , z CMR 32 | Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 x y z yz y z Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG y z x zx z x z x y xy x y �3 (1) Gợi ý x y z Điểm rơi x y z Ta có (1) tương đương yz y z y z x zx z x yz y z Nhìn cấu trúc đề ta có ý tưởng đánh giá mẫu , chẳng hạn z x y xy x y �3 yz y z y z � 2 �x 2x 2y 2z y z �Nesbit VT � 2� ��2 yz x z x y �y z z x x y � Do (đpcm) Đẳng thức xảy x y z Bài 93 Cho số dương x, y , z thỏa mãn xyz CMR x4 y y4 z z4 x � 2 x y z (1) Gợi ý Dùng kĩ thuật Cô si ngược dấu x y x 1 x y x4 y x2 y x2 y 2 x y � x y x y xy 2 x 1 x 1 x 1 2x Do VT �x y y z z x xy yz zx BĐT chứng minh ta cm Thật (2) tương đương với x2 y y z z x xy yz zx � 2 (2) x y y z z x �xy yz zx 2 2 2 2 Vì x y y z z x �3 x y y z.z x nên ta cần chứng minh x y y z z x �xy yz xz (3) 2 4 Thât có x y x y y z �3 x y z 3xy CMTT sau cộng vế bđt suy (3) 33 | Phạm Như Toàn SĐT: 0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG 34 | ... a bc a b c Cộng vế bđt suy đpcm Bài Cho tam giác ABC với độ dài cạnh a, b, c Chứng minh rằng: a b c b c a c a b �a b c Gợi ý: Biến đổi BĐT tương đương 2 a ... � Bài 11 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh a b c (THPT chuyên ngữ ĐHQG Hà Nội 2007-2008) Bài 12 Cho a, b, c Chứng minh a b c �12 b 1 c 1 a 1 (THPT chuyên TP Hải Phòng 2005-2006) Bài. .. điểm rơi sử dụng BĐT bunhiacopxki � đpcm 1 x y z �1 Bài 15 Cho x, y, z x y z Chứng minh rằng: (THPT chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2005-2006) Gợi ý: Ta thấy lạ BĐT cần chứng
Ngày đăng: 03/08/2021, 16:23
Xem thêm: