hướng dẫn giải các dạng bài tập từ các đề thi quốc gia của bộ giáo dục và đào tạo_ toán học

Sách Hướng dẫn giải các dạng bài tập từ các đề thi quốc gia của Bộ Giáo dục & Đào tạo: Toán học gồm các chuyên đề: Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số Chuyên đề 2: Lượng giác Chuyên đề 3: Đại số Chuyên đề 4: Tích phân Chuyên đề 5: Hình học không gian Chuyên đề 6: Bất đẳng thức Chuyên đề 7: Hình học giải tích trong mặt phẳng OXY Chuyên đề 8: Hình học giải tích trong không gian OXYZ Chuyên đề 9: Số phức Chuyên đề 10: Mũ và Logarit Chuyên đề 11: Đại số tổ hợp và xác suất

Trang 2

HUGNG DẪN GIẢI CÂC DẠNG BĂI TẬP

TỪ CÂC ĐỀ THỊ QUỐC GIA TOÂN HỌC

PHAM HỎNG DANH - TRAN VĂN TOAN

Chịu trâch nhiệm xuất bản NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG

Biín tđn HAIAU

Sita hin in + HONG HAL

Trinh bay : Công ty KHANG VIỆT

Bìa t Cơng ty KHANG VIỆT

NHĂ XUẤT BẢN TỔNG HỢP TP HỒ CHÍ MINH NHĂ SÂCH TỔNG HỢP

62 Nguyễn Thị Minh Khai, Q.1 DT: 38225340 — 38296764 — 38247225

Fax: 84.8.38222726

Email: tanghop@nxbhem.com.n Websile: wwe.nxbhcm,com.vn www.fiditour.com

Tổng phat hank:

DICH VY VAN HÓA KHANG VIỆT CONG TY TNHH MTV |

In lần thứ 1, số lượng, 2,000 cuốn, khổ 16x24cm Tại: Chỉ nhânh Cty TNHH MTV NXB-GIAO THONG VAN TAI Dia chỉ; 92, Nam Kì Khởi Nghĩa, Quđn 1, Tạ Hỗ Chí Minh

ÿly TNHH MTV DVVH Khang Việ:

KHAO SÂT HẦM Số

GIGI HAN CUA HAM SO

A, PHƯƠNG PHÂP GIẢI ELI (uyín #ể 7:

¥ Van dĩ I:

Jf Mat sO dung vO dinh thuding gap: =i = ¡ c1; co,

a

Chủ ý: Câc trưỡng hợp sâu không phải lă tạng vô đinh

(+) 1 (123) = +(4o0) — (-an} = 400 s(—2) +(-2)=— “ae las0) =0ta z0) *® đ =œ (ơ #Í] 2/ Khử dạng về định

«lêm số có chứa căn: Nhđn vă chỉa với biếu thức liín hợp

*_ Hầm số cổ chứa lượng giấc: Biến đổi để sử dụng ba giới hạn quen thuộc

six sip lim tan Xx a lim l—cosx _+ xX a0 x x0) x? 2

Se ees ene &

® Dạng vơ định 5 khi x + a: Phđn tích Lử số vă mẫu số để có (x — a) lăm phan wf chuag

® Dạng vô định aa Dit sd hang bac cao nhĩt của tử số vă mẫu số lăm thừa Sñ chung

® Dạng võ định ø—z, œ0: Biến đổi đưa về dạng : hoặc mm

m

B ĐỀ THỊ Băi 1:

—= an 1

Tim gidi han t= tim †I†NK-Í |

xt) x

Giai Gidi han led dang v6 dinh =

x=»ũ x at x

Rap ss aa 3 Ta od: Ta lim Sete LL x1 nig SE) em

x

Hutig dn giải EDBT tt cae DTOG Tada toc — Pham Heng Danh, Tran Wain foe — —

a+1-! iin = 1 se 1 ane x[x+ +1+1) eae EL # al ‘ * (3-1 1+1 {(x- 1} ~Us-T+! ‘ H ‘ | i Ôx-—1+l © be ee 1 x It x qJ-1} —— x—l1+lL| 1 4 Vậy1=li +1; Băi 2: ĐỀ DỰ BỊ I de? 3x* -14v2x0°+1

Tìm giới han 1= lm S3 =1rv tt hey —— Ị

l-cosa Gidi # Giới hạn I có dạng võ định " FT ca z1 ola 2 aa pc A — " lì + L+l|+|\2x #3 i} s U5x? -141 42x2+L—l Tacĩ 1= lim — ey se eo mae ee =

ma 2sin? = 3 a Baie L 2 2sin? ` 2 ( Ty =1*l1 342—1+1 x ia aot asin’ 2 sai (Bể) -Ñ3x° 11] 2 } , 3 ị * 1 6 = lim 5 6) —2— Seas xp ` L5 ‘ (6¿-1) Vax? -144 [sin Ể xY 2x? 1 2 4 8 Ƒ 2 2 a —e h a See 0 a cin? Ms“ +141] 12924? +1+1 | sinX 2 2 2 V8 Vayl=h+b=4, Băi 3: DỄ DỰ BỊ2

Cty TMAH hil DVVH Khang Việt

Giải Giới hạn L câ dạng vô định = (x-1)(x8 424-23 +x? +x -5| (x-1)7 (x1 (xt +2x3 -3x? 44x +5} XỔ 6x45 Ta có L= lim =lim x >t (x- x1 = lim aa ae er S2 xl (x- Ni = lim [x” +2X” +3x” + 4x + 5Ì = 1§ xl J

* Vấu đề 2: TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HĂM SỐ

Ă., PHƯƠNG PHÂP GIẢI | 1} Định nghĩu: `

Hăm số f xâc định trín khoảng (đoạn hoặc nữa khaảng) K vă x

® Hầm số ƒ gọi lă đồng biến trín K nếu xị <x) => Moxy) < fay),

+ 1ê: số f gọi lă nghịch biến trín K nếu xị < xạ = f[xi}> đục) Định nghĩa măy kết trựp tri định LÝ thưđi đđy được tử đụng đ

„Xê E ‘

ð chứng mình uệt bấi

đing thức

Hăn số Ƒ câ đạo hềm trín khoảng K,

* Nếu TQ) >0, vx # K thì hăm số f dong biến trín K, e Nu f(x) <0, Ơx ô K thì hầm số í nghịch biến trín K Định Tị năy thường được ding dung che cde dung tein wane

2/ Dinh li: |

Dang Us 7?ur thườn sữ để hăm sở luận đẳng biển (hoặc nghịch biển),

Thường sử dụng dấu của tam thức bậc bai PỤx) = ñxŸ + hă + c (A #0) {aso

(a>0 : aso

laco”

Dụng 2: 7m thun vỡ để hăun sở đẳng biến (huậc nghịch biển) trín khoảng (a; b}, Ham số y = f{x, mì đồng hiến (hoặc nghịch biến) trín khoảng, (a; hì |

Sy 20 (hode y' $0), Vxe(a; by va difu "=" xảy ra ở hữu hạn di¢m (*)

Thang thuding điểu kiện (#) biến đổi dược vẻ một trong hai dạng: # P(x)>0, xe R © * P(x)<0,Vxe © of pegs eat : ă

a uae Hăm tồn DEN Lo + 1=lim vatITi a eet vest a +) Tim giti han L= lim xt 6x45 ORAS (ee “) h(t) 2 g¢x), Vxefa; b) > hom) 2 par es)

x0 x x0 xÍvx+l +1) 1 (x- 1} — —_—= as 7 ———

Ye — —————

Hướng đẫn giả 0D8T từ c&z STGB Tnâi: rọp — Pliam Hồng Danh, Irắn V&r: Tuần —_ =n Gy INHH MTV DWI Khang Viet Hưởng dẫn giải COBT tr eac D703 Todn hae - Pham Hing Sanh Tein Wit Toan = ee AS = Ety THHH MTV EVH rang vist

#) hun) £ g5), Vxe(: m=— | Alas ’ i ⁄ 23] ì ? Ly {Yl es = v3 ft hia xĩt: © ach 44% 2p Ing < oft +a?)

QXem Vấn để 4: GTNN ~ ŒGTLN của hănn số, để xâc dioh max a(x) 2x) VÑ@@=x) li Worx, ] = kia? 3uvÌ~35)= Ism-10 “” |uy=8—m 4 I+4Š>l= Indlt4)>0

va min g(x) }

{ab

Dang 3: Tim tham số để nhưng trình (Ệ phường trình} cả nghiệm Biến đổi phương trình đê cho vĩ dang g(x) = htm)

Lap bing hiến thiín che ham số ý = gíx) va difa vao bing hiến thiín nầy để kết luận,

Chú ý: Nếu băi tôn có đặt ẩn số phụ thì phải xâc đính điểu kiện cho ĩ ẩn số ẩn số phụ đó | đó

B DE THI Băi 1: CAO DANG KHOI A, B,D NAM 2009

Chụ ô vă h lă bai số thực thồa mên Ù< ô < b < |

Chứng minh rằng: u Inh — bỶlna > la — Ính

Giải

Bất đẳng thức đê cho tương dung với:

nb _ dua b+ er | {u? + Itnb > (bỶ + 1) ha § a wel Xĩt hăm số = ;0<x«l 1

x? —1-2x" Inx ON SO, ¥xe (0; I =>Ÿ đồng biến trín (9; 1)

xứ +1Ÿ => Fixh=

Matkhdc O<a<b< I nĩn:

2 b 6

+1

Bai 2: BALHOC KHỔI A NĂM 2008

Tim câc giâ trị của thui số rn để phườïng trình sau có đúng hui nghiệm thực |

phđn biệt Ÿ2x +x 4246-5 +2V6-x =m ime k) 4

Giải XeLhim số f@x)=Ÿ2x + Vấx 0 3Ÿ6—x +-2VÍ—k, * Tập xâc định: D =[0; 6]

ft (Diĩu phi ching minh) 1

1 3 1 Ed e f(xp-= Se a el : 2l@x# 2x 2{6-xi v6—X TU noel — te! W TẾ xị ‘ x Yoon? | V2x W6-x | No LỘ I _#2x te-x, 2 đayj2 'tW = + | 4 +—— >0, ¥x € (0:6) done “Yoda x tes x? x Đđ~x

[ l 4c Nĩn fix) =0< —— -——=——==0f2x-Ÿ —x«>x-2 Vax Yo-x + Bảng biển thiín: x |0 2 6 tox) | + 0 - te) 424 -Jiz

Dựa văo bảng biến thiín La có: Phung trinh f(x} = m có 2 nghiệm phđn hiệt

= 2(#& + vê] smeĩ 3(8 +4)

ĩ

Hăi 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007

Tin giâ trị của than số mí để hệ phường trình sau có nghiệm thực: | 1 xX†i-+tYy+-=5 x ME it vẻ I5m - Lũ TM ý Gidt |

® ĐặLx+—=u, yg Ơsy (Bk :|u] = 2, |v |= 2) x ¥ “ Hệ đê cho trở thănh: f uU-w=5 u+v=5 Hach oa et 5 tr +vŸ — 3u +v)= 15m — I0 (a+x)[u + =uvÌ~ 3u v= l5m ~ 0 er

YS iE A Bd + Khi đó u, v (nếu có} sẽ lă nghiĩim của phương trình:

—51+§—m=0 hay — 5t+ 8 =m (1)

+ Hệ đê cho có nghiệm khi vă chỉ khi phưưng trình (1) cố nghiệm { = tị, E= T4 thảa mên: |b|=2 ltạ|>2 tị, tạ không nhất thiết phẩn biệt)

« Xĩthăm số f() =tẺ —51 t8 với (|2: 5 Suy ra F)=2L— 5 vă F()=U=t= 5 Bang biĩn thiĩn

t Oc fú) |+* ft} { Fn es

s Từ bảng biến thiín của hầm số suy ra hệ đê cho câ nghiệm khi vă chỉ khi —#rm<2 hoặc m>22

4

Hăi 4: DẠI HỌC KHI D NAM 2007

yb oy vũ 1 ra Cho a =b >0, Chứng mình rằng: (2 + i <2 tay | ae 3 Giải Tiấi đẳng thức đê cho tưdng đương với:

In€l=4") _ In +4” (1£4'P <đL+4°}' © bln( L4*)<ubif4 4 yo MD — )

4" ;

Xĩthimsd tex) = 0+2 với x >0, x

# In4 =x -In(1+4* Mon si ì

§ #*In4—(l+4*irfl t# Ta cd: f(x) Lia : cóc 8 A `

x'1+4*)

4*[ I4" —ln(L+4") —In11 4")

De đú f(x) < 0, Yx >0

Say ra {G0 nghịch biển trín khoảng (; +) Mặt khâc 4= li > 0 nín:

In¿l oak 4, 3

Tạ] <6 c> ———S (Biểu phải chứng minh)

a

Bai §: BAL HOC KHOI A NAM 2007

Tìm m để phương trình sau cố nghiệm thực: 3x ~ ~[4g/x+1=21x?—1

ue Ẹi Giải Diểu kiện: x2 l » en

Chia hai ¥@ cia phiftng tink cho ¥a+1, phung trình đê cho wweng dudng vii

or a Sat

wx-l ———tm=2 #2 3 +23,~ uJ]

vx+l vx tl Neat Vx4l

=m 0)

Jx—l 2

Bat tia đó nhương trình (1} trổ thănh 3E 1 2t =m (2) lXx— x—1 „| Wires = eH — Vx = +1 Ă Xĩt hăm số f =—3Ứ +21, với D<1< Í T1 vi xẽ | nín 0 SL<I Suy ra ; {)=— 6L+2 vă Ứ(Œ)=Ù«<tL= 1 3 Bảng biến thiín:

®- Dựa vău bằng biếu thiín ta có:

Phương trình đê cho có nghiệm (2) có nghiệm t c [đ; l) c —L< m Š wif

Bal 6: DAI HOC KHOLB NAM 2007

Trang 3

Husng din niẩi 58T tủ su 8706 Todn hoc — P1ạm Hẩrg [lanh, Trắn vin Toần ef Giải

+ Điểu kiín: m(x- 2) BQ x22 (Doxĩtm> 0) « Phương trình dê cho tượng đương với

a ay : 2

(x—2)(x +4) = ym{x-2) «el|lx-3)Â4 +4)] =m{xs —2] 4 1 x=2

atx 2)[x~2)(x+4) ~mÌ~0« a

x +62" —32-m=0

cầu hăi toân, ta chỉ cần chứng mình phương trình: x” + 6x7 -32 =m (1) cổ một

nghiệm trong khaảng (2: +2)

« Xĩthầm sổ [(x}=x” + 6x” -32, với x >2, Ta câ: M(x) = 3X” + lđ2x >0, Vx >2 Bảng biển thiín: hă + 8 * | ——— tix) + 1 eer ao 1(x) t ụ

« Từ bảng biến thiển ta thấy với mei m > 0, nhưưng trình (L) ln có một

nghiệm trong Khoảng (2; +2)

Vay voi moi in > 0 phương trình đê cho tn có hai nghiệm thực phần biệt, Wai:

Xúc định m để phưng trình suu có :Ighiện,

Ta pase số L—

mÍ!+x? ~VI~x +2]~2-x" tẠIix2—v1—x?

Cty TRHH pary OMWH Khang Viet

Từ bảng biến thiín oda bam sĩ suy ra phirong Linh di che c4 nghiĩm khi va chỉ

kid 2 =1 ms 1

pais: DE DU BI

x2 45x im +6

Cho hăm số y=——————— tÌ] (i lă tham sĩ)

x+3

Tin m để hăm số (1) đổng biến khoônp C1: 1ø]:

Gidt "` Ta cổ: y c7 —

(x+3}

® Hăm sổ y đồng biến trín (l¡ +z) c>y' 2U, Yx>l

9x84 6K 4+9—m? 20, Vx>] Coxe Ox + 92m, VA>l,

Xĩtham s® atx) = 294 6x49, ¥x>l

#{v) =2x+6>U, wx>l

Do đó u cầu băi toân tting đường với min g(x) 2 in? oF gfl) = 16 > m’ o>-4ame 4

v?l

Băi 9: —

2

Ching minh cing: ¢* +eosx 2 2+x— > vee R

Giải w« Didukiĩn:-| <x < 1 Gidi Ta chứng mình hai bất đẳng thức suu:

Hư¿0g dẫn niễi GUET từ rảu ĐT0G Tošn họ: - "ham: Hẳng Danh, Trấn Văn Taận ye os Dựa văo bảng biển thiĩn la thấy

fx)>z0.Wxel ©clzaA+l,Vxef#f (lp 3

Chứng mình; cøsx zÍ— x Yre kt

ỉ ?

Xĩt him sĩ pix} = cosa — 1+ =

Vì góo lă hăn số chẵn nín ta chỉ oẩn xế: x z 0 Tă đê ® EtXVÌ= -RNỈ1N +X

*® g(xị= cosx+120

— gríx) đồng biển, Vx >Ú => g(x) > g VU = 0, Vx 20 = g(x) đẳng biến Yx > J => gí(x) >0, Xx at

2 3

=> CORK + = 120 vx 20> cosx 21-3 Vxek (2 Từ (L) vă (2) suy ra ` +v05X >2+x- TT VXeR, Bai 10: DE DU BL2 ‘ xÌẰ—4x+4—m a » =a (x-?)

Han số nghịch biến trín đoạn ,~l; Ư] © y $9, ‘vx œ[—1: DỊ

€&xŸ-4x+4—m40,Yx 6[—l;Ú| @x”- 4ê+4<m, xe [=1;0] Xĩt hầm số g(xÌ =xÌ—4x+ 4, YX 6 |—l:0]: ƑQÒ=2x- 4 Bảng hiến thiín: ¬ k2 —=2x+ i Cho hằm số y= ——, ™ (1) (m lă thâm số)

Xâc định m để hăm số (11 nghịch biến trín daạr: [1; DỊ |

Cty INE REPS OVWIL Khang Việt

Giải im sg x72

« Dattsyx"— 4x45, tacd =a vaP=Oopx=2,

vx? -4x45

x| 0 2 Lớ2

Từ băng biến thiín suy ra:

+ Biểu kiện che ẩn phụ lă: t> Ì

+ Ứng với một giâ trị Le (I, v5} thả cho hai giâ trị š dưưng + Ứng với mội giâ trị L6 |: +2) thì chủ một giâ trị x dương

Phương trình đê cho trở thănh: m= + 1-5 (1)

Xĩt hầm số ff0 = +1 — 5(Lz L) thì '(Ú =2:+ >0, VLz1

Nhận xĩt rằng phương tình (1} có rhiểu abat | nghiĩm tz |

Vậy phương trình đê cho có đúng 2 nghiệm x > 0 khi vă chử klú

phương trình (1) có đúng, l nghiệm L (: v5) â-3<mô<45

Bi 12: CAO ĐẰNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI

Xâc định m để phương trình sau có nghiệm thực: 2x +l=x+m = Giải ieee io i -

« Địit> VI~x2~VI—£? xí S12=2—2V1-x” 42 af eh Elia vrek late te 0 2 te ;

Điều kiện: < t< v2 iíu kiệt : eh Us t<xv = , 2! cosx >| a Vx clk x cl ees BU ix) E ® DặIL= vx +1 Biểu kiện t>0 * Pluting tinh da cho trd thank: 2t=C- 14 meme? + 204 1

2 “+L+2 < sai 2

Biel i

ire a ‘ x 1 1 1 +

Tin Ti Xĩt hăm số [{x) =c°—x—- 1= fx}=e`—l=@) =9 c>x<=Ú 4k fe

Rolie ee + Xết hầm số fq)= —— = was ts 2 t+2 Bang biến thiín: x| a +œc « Dựa văo bắng hiến thiển, suy ră: mă Max [(x) c? [eta] m >9 CO - ae ‘an ch dc mm

& Hy SE “XE tynplessriegicaxa SỐ % Băi 1L: CAO DẲNG GLVT I1 1

(1-2) l ` .= Tìm giâ trị của tham số m để phươag trình suu có đúng 2 nghiệm dưïIng: 3 Misi s a / ¬ sửa

fix) Oe KV = 5 * Từ bằng biến thiín của hăm số suy ra phương trình đê cha có nghiệm khi vă

* Bắng biến thiín 4 vx?«4dx+5S=m+44—K” chi khi-un's 2,

a

——— _

: * ‘tale =

—

Hướng dẫn giải CDOT ti câc DTDS Toân họa — Phạm Hẳng Danh, Trần văn T;ản_ — Gly TNHH MTV UIVVH Khang Việt Hưởng đấ+ giề' 8D3T từ s#z ĐTGB Tuý + ge — Fhạm Hẩng Eanh, Tiẩn Vẽ: Toần ees a eanenieneeuint vices aie:

v a a he, 2 ee — = Beir eg oe ee Ee _—-— a anny V8

v Vấn đề 3: cyc TRICUA HAM 86 » Bothicĩ2 diĩm eye dai, cye iu do hai pata chad 5 3 Ế HỮU 1Ï ax? + bx+€ B ĐỀ

PHƯƠNG PHÂP GIẢI y'—0 câ 2 nghiệm phđn hiệt xị, x2 D, CỰC TRỊ CỦA HĂM SỐ HỮU TÌ y= TH ĐỀ THỊ

ae oes trty <0 ng 3x6 fcsagbsuil Hăi l; ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011

cd 1 „_ RBX +4ê =<

————

A TONG GUAT e Pd thi cĩ 2 diĩm eve tri cilng phia đối với một đường thang d thi (sa d ey ' | x hăm sổ y =xŸ ~2@m +l]x°+m — (!3,m lă tham số,

1 Hăm số £ có cực trị c>y' đổi dấu íy' =0 cú 2 nghiệm phđn hiệt xị, xạ , sẽ caadblii-đị ch ŸWw4d#B Tim m để để thị hăm số (1} có bạ điểm cực tri A,B, C sno eho OA = BC, OA

2, Hùm số f khơng có cực trị c> ÿŸ không đổi dấu Ford nike ced tes Wie ARTA - Ne +0 = 1 1am s6 06 eve đại vă cực tiểu «>y' =0 có 2 nghiệm nhần biệt Le ee ce ange macandl | ese tos độ, A lă diểm cực Irị thuộc tue tuaa, B vă C lă hâi điểm cực trị cồn lại —- Giải aa 3, Hăm số ƒ chỉ có một cực trị c> ÿ' dỗi dấu 1 lẫn T 4 Hầm số đạt cực ti tại xị, x; thôu hệ thức Fix,, x;}= 041) ak #0 mm

4 Ham s8 Cod 2 cực trị (cực đại vă cực tiểu) s+ y' đổi dấu 2 lắn, DI Hồi: kiện để băi số có cực đợi cực tiểu 1ù gS Tacĩ:y's4x° 4(m+ Ix,

ô Hầm số [có 3 cực trị c y đổi dấu % a y1 aul 3 lấn ˆ ae ĩ că = _c' : s y=0<>x=Ohode x’ =m +1, i š

Mù cố y' =0có 2 nghiệm: nhđn biệt xị, xạ =: i “ = điển kiện cìa m (= #0 » Baris0 06 bu cue tri = Phyorg triah y'= 006 ba azhiĩin 6, Him sĩ f dat cue dai tai xa neu 3 a Ay ee oe a3 : —' - d3] 3062031:

có [ftx;)< ” b 2 Tầm số khơng có cực trị @ y` =U vô nghiệm hnặc có nghiệm kĩp " — — =5

ftxe)=0 KG 3 Đồ thị có 2 điểm cực tị đ cùng ruột phía đối với Ox ` ; a ss as es

7 rs ` £

ef + XU ez Ss vă ; ‘ 2

7 Then 6 F đạt cực tiểu lại x: năn ae eG Xy Ucn the (le — [az9 ij Suy ra Ă(Ù; m), BỊ vin Fl;—m” —m 1] vă CÍVm+l;—m —mr—l]

“p3 : cuxpe ped 2 tu ab + 0 ` fe !

3 - oe ¿ erate Ap >0 ị Th gố: ÔĂ = BC © mỶ = #(m + l3 m=322/2 (thỏa m> — l}

8 Hăm: số F có đạo hăm vă đặt cực trị lại xạ => Ÿ@› = 0 Hệ thức (1) ‘(= Jzo Te hoặc 4 Ag >0 4 ne : nh an2i2 A * = “Veo

3 f'(x,)—0 @ Gidihĩ suy cam, So vai điều kiện nhận hay loại giâ trị củ bi ;=U có 2 nghiệm phẫn hiệt 3 :

9, Hăm số [ có dao him vă đạt cực trị bằng c tại x= xu= tău) foy=e § Đường thang di qua 2 diĩm cực trị của đồ thị hầm số bậc ba : y 'ES 90GB (ĐI lạ 4 đ trị của T1 i¥cp-¥cr > et ? ỡ Hăi 3: CÂO BẰNG KHI A,B,D NĂM 3009 2 ae :

iG him so y= x - m W)x" + (2 — m)x +2 (1), vol mL tham số thực Chú § : Đối với một hăm số bất kì, hăm số chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm

mê ti đâ đạo hăm triệt tiíu hoặc đạo hăm khơng xắc định B CYC TR] CUA HAM SO BAC 3

y=ux'+ bx’ + ox +d, y= Sax’ + 2bx +0

1 Đô thị có 2 điểm cực trị nằm cùitg một phi đối với Öx

azũ

<> Ham sĩ od bai giả trị cực trị cùng dấu > Ay >0

Ycp Yer >U 2 Đồ thị có 2 diểm cực trị nằm 2 phía đối với Ox

ax œ Hăm số có hai niâ trị cực tị trâi dấu ‡Ay “>0

Sea Yer <4

3 Cho đường thẲng d: Ôx + By+C=0

Gọi MiGa; vụ] vă Mz (a3 yo) lă điểm cực đại vă cực tiểu của để thị

Khoảng câch đại sấ từ MỊ vă Mạ đến đường thẳng d lă :

pee eee ogee Beet

Vaz +R? vA?‹

Lấy y chia cho y' giả sử ta được: y = (ux + v3.ÿ` + mx +n (*)

Giai A(xa; yụ) lă cực trị củu đổ thị thì y (xa) = 0 vă tạa độ điểm A thda phương trình (*): yụ = {Xu + VÌ, (Xu) + Xa + n2 Vụ = mXụ # n,

Đo đó đường thẳng ứ: quâ 2 điểm cực trị cĨn đổ thị câ phương trình y =mx + £

3 š š

C CUC TRI CUA HAM SO BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG yrax'+ bx +e y'=4ax’ + 2bx yl = 0 2x(2ax? +b) = Oe ie Qax?+b-0 =) * Hăm số có 3 cực trị c2 (1) có 2 nghiỆm nhên biĩtkhic OS ab <0 * Hầm số có đúng mội cực trị

<> (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kĩp hnặc có nghiệm bằng 0 |" =ñ vă bz0

8 #Ù vă nh>

Chứ ý : Nếu để thị của hầm số hậe 4 trùng phương có 3 cực trị thì ơ cực trị nảy

L_ _ hiến lận thănh một tam giâc cđn tại đỉnh nằm trín trục tung, 4, Bồ thị có 2 điểm cực trị nằm về lai phía đối với Ox

nh 0

ăg>0 _ *2 \

oa ap! ogc

el + x0 " |y=0xô giai Yop-Yer =0

3, Dưỡng thẳng đi qua 2 điểm cực trị eda dĩ thi ham so hou ti axt+beiec Ux) ¬= SN, HE ES ax+b UN ce Ví) ` ees vŸ Goi Afxy; ve) lă cực trị của đỗ thị thì

y= (Xa) VỮNG) u'(Xu)v(xu)~ v'(x0) (x0) =0 v3 (xp) u'(xy)¥ (x) -¥(%0) Đ(Xa) u(xạ) (xạ) _ 2axy tb = yp = víxạ) viXo) : 4

" yu)=U <>

2

Tìm câc giâ trị của m để hăm số íÍ} có cực đại, cực tiểu vă câc điểm cực trị của

để thị hầm số (1} có hoănh độ dương bl

Giải

* Tập xâc định: D=lR,y'=0 3x” ~ 2(2m — l]x+#e2—m=0 Œ9

+ u cầu hăi tôn tường đương với

ft:irfng trình {*) có hai nghiệ:n dương nhđn biệt

4m°~m—5 >0 5 [Aton Tu m< KHE ae S1P>0 co 78 c©.m<2 eee, Sat 2(2m-1) email [m3 1 ‘ 3 2

Băi 3: PAL HOC KILO B NAM 2007 :

Cho hăm số: y =— x” + 3x” + 3(mẺ— 1)x~ ÔmŠ— 1 (11, m lă tham số,

Tìm m để hầm số {L) có cực đại, cực tiểu vă ede didi cực trị vủu để thị kăm

Trang 4

° eS

‘Hudog dfn gidi CODT td odo TNS Todn hee ~ Phạm Hêng Hanh Trần Van Ton — — _— Sty INH NAT DWH Kiran Việt kiting Bn giÊI CNET Wi cde DTOS ean học ~ Phạm Hồng Gann, Trin Van Toon _ “—— ————— -—- Cty TNH MTA DWH Khang Wig © Ham sĩ (L) cd cute uj ©> (2) có 2 nghiệm phên biệt : er =6x48 , Giải Tap xâc định: B= R\{-m)

c>A'=in' >0 m0 Khim =—3 thi y'=— 3y 0esk=2V=4 xÌ+2mx :m2—4 4 3 i aa Tach: y=x+m+ — = ar Oe gi ax + 2x + in - 4 =0(*) ids '=UẰœ 0 42l-m=>y=-2-2m3 q* Băng hiến thiín: ‘ " so đi K#+] 2(xtm}

nến x=l+mzy=-2+2m” Tận xấc dink ; D = k \{~L] (với x =-m)

« Goi A, BIA 2 điểm cực trị của đổ thị hăm số (1) thì

A(1—m;~2- 2m), B(I + my —2+ 2m)

uy

« O câch đều A vă B cœOA=OB = 8m’ =2m es m=+z (vim + 0} Ham sĩ dat cực đại tại x = 2

Kết luận m = -3, xhi dĩ giâ trị cực đại tưởng ứng lă y(2) = |, Bai $: PALHOC KHOI A NAM 2007

Băi 4: CAO DĂNG KỸ THUẬT CAO THẮNG NĂM 2007

2

x +matl | a een

——————,, (1) fm JA tham 86) oe h ;

ae : Chủ hăm số y = x a(n + Dati + dm (1); eli thaiied

1 Tim m để hăm số (1) có hai giâ trị cực trị trấi đấu nhau, x+2

2/ Tìm m để hăm số (1) đạt cực đại tại x = 2

Giải

Cha ham sy =

Timm dĩ ham sf (1) cd ere dai vi cuc du, đồng thời câc điểm cực trị của dĩ

thị cũng với Đốc lou do Õ tan thănh một Lam giấc vuông tại C, |

Giải Lf Hai gid tri cyte wi trâi đấu nhau

Ặ S xt 4dx44—m?

<> Dĩ thi hăm số (1) không cất trục hoănh Tập xâc định: D= IR\Í-2] vă y'= ——— @&xŸ+mx +l =0 võ nghiệm oe ÂA =m” - 4<<>-2< m<2 ; (x+ 2)

Câch khâc * Ham sf (1) co cuc đại vă cực liểu

ach Mae a

Nghiệm của y' =0 lă xị =—m + l, y==m— Ì emer = Ul a) = (ag 9 g(x) =x" +4x 4 — mỸ ró 2 nghiệm phđn hiệt x #~2 ¬ Tacĩd yOu) =—m +2, x00) = m-2 of =4-4+inˆ>Ð ae Ly 1lai giâ trị cực trị trâi dấu ihau <> v(x,}.V@a) <0 #(~2)~#4—8#—~d—m” #0

2 (-m+2-m-2)<04 -2<m<2 2 TT nate

x”+2mx +mˆ —l x=-2l|m=av=4m 2 Ye Tập xâc định: D= #\{-m} XđN ae BỊ Y *

(xm) Gol A, Bla ede diĩm eye tii cha 66 thi ham sd (1)

Hiim so dat cực đại tại x = 2 thi y'(2)=0 Nghĩa lă: m + 4m + 3 = 0 »m = -Ï vm=—Ô => A(-2 —m; -2), B(-2 + m; 4m — 3), Da OA =(-m —2; -2) 40, OB =(m-2:4m-2) 46 —; ? & a ý š i

Khi m= ~1 đê y' = x me wy =04»xz0x=2 oem O, 4, B tạo thănh tam gide viding tai a

(=1 &Ằ© OA.OB=0 {»—n ~ mm +8 =0 c2 m——4 24/6 (thủa mên m1)

Bảng biến thiín: Yđy giâ trị cần tm lầ: m =~4+2v/6,

x_| -0 ụ | 2 a Băi 6: ĐẠI LỌC KHỐT B NĂM 2005

W + 5 0) % = te $ ôi (24 Bị 0ồ thị côa hăm sf y= SDMA cụ lă (hăm số), na

Ỷ ut oe | i ae oe : k a+l :

Chứng mình rằng với m bất kỳ, để rhị (C„) ln có điểm cực đại, điểm cực

Hêm số không đạt cực đại tại x = Z tiỂn vă khoảng câch giữa hai điểm đó bằng 20

| _x-2) Gen (x-1?

Để thị hăm số luôn e6 hai diĩm cue tr, 1 M{-2; m-3) va N(O; m+ 1) dang thải

Ham số có cực trị <2 (*} có 2 rrliệm phđn biệt khíc — m

N =m*-m?-4>0

os

ig(-m)=-4 40

on ;y =U€x=-—2 hay x—Ù

L 1 ae ier 3 ì Allien : 4 MN= ylo- (-3)) + (tm lì—tm~ 3} =2 (Biểu nhải chứng mìch) Xđy với mọi m hằm số ln có hai cực trị

“Tỉnh đệ dăi ha: điểm cực trị

Bai 7: ĐỀ DỰ BỊ 1 ẹ

Cho Hăm số w=xÏ-2m2x°+ l {1} với m]ă tham số, Giọi A(Xii Ví B(Xzi va) tă hai điểm cực trị của đồ tự hăm số, Khi đó:

Tìm m để đổ thị hầm số (1) có 3 điểm cực trị lă 3 đỉnh của một tam giấc $ x¡, %; lă nghiệm (*) Thea VIết lũ tố: x) + xạ = ~2m, Ki.X; = Hă — 4 2q +

vuông cđn, me j ee 2x) et ways sata!

Giải :

: : f

Ý TH N THHH n0 8 4W0 0b LN ie mate =)" Ut vy = 2x) -%) =2(& ~;} —&x xz

a yt= 4x? — 4m?x : n - 2

x=0=y-l = (đm -8Ím -4]= v32 = 448

8 yan —m)=00 | x-may-1-m* Baio:

=-myst-m* Chú hữm sf y = —x? 4 3rox? + 3(1 — m2) x4 mv? 1p (en EA tham 88) «Bie sử Hă 3 cực trị că y =0 cỗ 3 nghiện phần biệt co gi 0, | Viết nhương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đổ thị hăn số (1) 4 Ba điểm cực trị của để thị A(0; D3, Bứm; Ì - m'},CCm; Ï— mì) oF

: 3M *® Tập xâc định: )=W

+ Tacó: AB=[m; -m*), AC=(-n;-m*), \ Ta cĩ y’ = -3x7 + Ginx + 3 (Ll -— in") o Hệ eo ý

* Viy la ham chin nín lam giâc ABC ln cđn ở Ă, Do đó: y'=0 ŒœxÌ-2mk + mÌ~1=U có A'=1 >0 Vm

Tam giâc ABC vuông vin œ ĂL AC + AB,AC=0 De đó phương trình y= Ư ln số 2 nghiệm phđn biệt, nghĩa lă hầm số {1}

dt f m=0 (loại) luấn có 2 cực trị vđi mọi m, ©-m +m =Ũ«œ KỆ: |

m =1] Ta có ÿ =~Íx=m)ÿ +2 + =mẺ()

Vậy m=+ 1 LAI ied i ’ lễ

BăI §: DA DỰ BỊ2 Gại A(Xu, vụ) lă cực trị của đê thị hầm số (1) thì y (xu) = ÍÌ vă tọu độ điểm Â

—— thỗa phương trình (*):

V2 +

; x° +(2in4]}x+m*4+m4+4

Cho ham sĩ eal 2{x +10) ane see (1) ứm]ă tham số) | › Ay nial Legh os ie tr ¥ ( a) iy m ¥y 72%) +m h SÍNh ¡ai - -HỈ "Tìm m để hầm số (1} có cực trị vă tính khoảng câch giữa hai diểm cực trị củu ` =

để thị hăm số {1},

Vậy dưỡng thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đổ thị hầm số (1) cứ phưfng trình

w= 2x +Tm— mẺ, HN nề —————

+uữrg dẫn giải BDRT #7 sât BTĐG Tcân hoc — Pham Fĩag Dank, Trin van Tăn - : Ôty [HHH KIIY D⁄VH Khang Việt

Bai 10; DE DU B12 lt _—_ ¥ du dĩ 4;

GIÂ TRỊ LỚN NHẤT - GIÂ TRỊ NHỎ NHẤT CUA HAM SỐ

be hầm số y={x —m)`- 3x {mT than số)

A PHƯƠNG PHÂP GIẢI Xâc định m để hăm: số đê cho đạt cực tiểu lội điểm có hoănh: độ x =0

Giải Ề

« ấp xâc định: D= R,y =3@âc- mỹ — 3,y" =6(x— m) lễ ĐỊNH NGHĨA |

¢ Hăầm số đê cho đạt cực tiểu tại điểm có hoănh độ x = 0 | ho hầm số y = f{x) xâc dịnh trín D, |

y(m=0 _ [3(0-m)"-3=0 a; =

tvfab>0 7” |6(n~m)>6

Băi l1: - es

Cha bam sf y= mx’ +(m?-9)x74+ 10 CL) fm La tham số)

| _ Tìm m để hăm số {1) có 3 điểm tực trị

Giải

» Nĩu f(x) <M; vx 6 1 va Oxy € D sa0 cho f(xy) =M thi M gọi lă giâ trị lồn | nhất của hăm số y = F(x) trín D {

Ñf hiệu: mux l{x) = XI

xe

<>m=-l

* Nếu fx)>zm; Vx D vă Eêi 6 D sao cho fixo) =m thi m goi la gid trị nhỏ nhất của hằrn số ÿ = f{x) trín D

Ki hiệu: mìn [{X) =m

« Tận xâc định; D= R xeb

ob II MỘT SỐ PHƯỜNG PHÂP TÌM GIÂ TRỊ LỚN NHẤT VĂ GIÂ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA HĂM SỐ THƯỜNG GẶP

® Pihuưâng nhâp Fs Tim giâ trị lần nhất vă giâ trị nhỏ nhất của hăm số Ñ(X) = ax” + bx + cíu #Ú} trín 33

y'=4my) + 24m” Oxy sO L2ma*> +m" -9=0 (*) 4 | «Hầu số có 3 cực trị c+ (*) có 2 nghigm phin bigt khâc 0

mỀ —9

Se <0 @ m< —3hayO<m< 3

Phđn tich f(xy =a

a ee Ps bebe] moe Rai 12: DỄ DỰ BỊ 1 \ tả) lat 2 ` TẢ s0 ng”,

Cho him sy = —” ú) (m Ja tham sĩ) + Nĩua>td thi TH VIN: an Kha

Tim m dĩ ham sĩ (1) có cực đại, cực tiểu Với giâ trị năo của m thì Heo] KT Tan thì max.f(x)= Gv 2y l2

câch giữu hai điểm cue wi cila dĩ thi him số (|) bằng 10 ? € 4a 2a

Gidi "- Phương phâp 2: Tìm giâ trị lđn nhất vă giâ trị nhỏ nhất của

2 2

š 3 ,_—Ñ" 12w+m f(x) = ax” + hx + € (a4 #0) trín [œ; P] Tận xâc định: 2= avy wy ea (l-x) Tim hoănh độ đỉnh parabol xu= —— h

2a

« Ham si cb cực đại, cực Hiểu ụ : + Trườ reine hep tra > max [x)= max {fo}, [ „

>0) = -x +3 + m = 0 (®) cổ 2 nghiệm phần biệt khâc L ee krln; 3| ol x {fot}, 1B)

f ss eatin, io

(A'e—=l+m >0 say —_ Nếu xụ œ |; B] thi „Ăn f@)=f0a)

g(I)=l +mn #Ũ b |, |

â Gol Aggy: Ơ1) Bos y2) 18 bai diĩm eye tri của để thị hăm số Khi đâ: —_ Nếu xụ # [œ; P] 1l iin, iad = tenth f1

i AI * ra AE =1 et TA

# xị, x; lă nghiệm (*} Theo Viết La cổ Xị + Xa = 2, XỊ.X; m Ấ Thông hon 24407 min Föy< si (Eol, KHI $ Vị =—2XI —1 VỀ Wạ = TX; —H xeĩto: BI

= 10s 5[ (x +33) ~ 4x82 | => Nĩux.@ le: Althi max fixi=maxlfiea) Tf81]

=?0= 4+4m =m=4 (Thủa điều kiện m>

Giải

m————— ————

Hư8ông cẩn giải COGT tir ote HTOG ieee hge — Pham Hĩng Dar, Trin Toe : = i ©t T1HH NT DVVH Khang Việt

+ Phương phâp 3: Dùng tính chấ: đứn điệu của hăm số | Gidĩ Băi tôn: Tìm giâ trị lớn nhất vă giâ trị nhê ahất của hđm số v = f@) liín

tục trín [u: hị a x-l (x-1)°

= Tim nghiĩm x, cia P(x) trong [as b]

&

2 : 3x2 x=ũc|0;2

-4x 13x11 _, "- TÓ pages [ ]

x=-2#[0; 2]

dis v(D)} = 3 vă '2)= W

— Khidd min ftx} =min {ffa› {1b}, font « Ta có: y(D} = Tử)

xelu; b| m

số đê cho liín tục trín [0; 2] nín:

ina f(x) = max fia), £00), EOx0] ee

level : min Y = y(0) = 3 vă maxy=3(2)=—

BăI tnần: Tìm giú trị lớn nhất vă giâ trị nhẻ nhất của hầm số y = l{x) không (0; 21 ‘ 10; 2] 3 phải rrín [a; b] Bai 2: BĂI HỌC KHÔI Ð NĂM 2009 of,

Dựa văn bảng biến thiín của hăm số để tìm giâ trị lín nhất vă giâ trị nhề Cho cic số thực khẳng ấm x, y thay đổi vũ thỏa mên x + ¥ = 1 Tin giâ trị Kc nhất của hầm số, nhất vă giâ trị nhỏ nhất của biểu thức 5 = (4x + 3y)(4y" + 3x) + 25xy,

Cid ye , GIẢI

Nếu hầm số y = f(x) tăng trín [a, b] thì: + S=(dx2+3y)(4y! + 34) + 25xy = LồXY + 1204 y)] + 34xy

=10x2y + I2(x + yi) — axy(x + vO] + 3<xy = 16x2y” + 12(1 — 3xy) + 34xy

= lũxˆy”— 3xy + 12

min f(x)=fía)vơ max £{x) = tb)

xe|u; hị xe[a: bị

Nếu hầm số y = fx) giấm trín {&, b] thì:

tin f(x)=l(h}vơ max [(x) = fa) xc[a: la| xc]

Pitlex.y.Vix,yedvlat+yslntnbsts ::

ne) | Khi đó §= l6Ẻ- 2L+ 12

— Nếu băi taần phải đặt ẩn số phụ thì phải có điều kiín cho fin sĩ phy dĩ 1 Y

ee ees Sở a ; S'=32(L-_2;5S=âtI=c|0~

ôPhng phõp 4: Dựng miễn giả trị của ham số y = f(x) e D} 2 l6 eS y thudc miĩn gid tri ca hầm số y = [íx) ‹ 1 ¬ 33 ‘ ch _ 191

‘Tiy dĩ ta Gm due diĩu kiện eda y vă suy ca được giâ trị lửn nhất vă giú trị Re iis,

ae ee * ¥iS liĩn tue trín [Ú; — ] nín:

nhỏ nhất của hăm số, 4 Chí + Phương trình: axinx + bc0šX = € as 4 về 1

2 + 2 am ——< Wk = 2—

conghitmxe Reva +b ee aS

+ Phương phâp 5: Dùng bất đẳng thức sẽ 2.8 h 33 Dùng câc bất đẳng thức đại số để chặn hiểu thức f{x) rồi dùng định nghĩa giâ Min $= dal khiúi 4 œ hay = s

trị lớn nhất vă giâ trị nhỏ nhất để tìm đâp số l6 ine JuS~ 3

ý 4 4 + Lưu ý: Phải kết dấu *=” xảy ra trong tất cả câc bat đẳng thức để đùng trang

quâ trình giải | Bais: cao DANG KIOLA, B, D NAM 2008

Cho hai số thực x, y thay đổi vă thöa mên xỶ + yỶ = 2

B ĐỀ THÍ Tìm giú trị lđn nhất vă nhỏ nhất của biểu thức P = 2Œ” + v) - 3x ] ~ 1ủ |F| ñ nhất vă nho nr:1L của liều tile F = 2x yo) = 3XY

Bai 1: ĐÂI HỌC KHÔI D NĂM 2011 Ln KH Giải + -

2x4 43x43 :

Tìm giú trị nhỏ nhất vă giâ trị lớn nhất của ham sĩ y =‡* ?“**2 trín đoạn * Tacó:P=2(x)+y)— 3xy= 1{k +w){x” ~y? =xy]~3xy =2(X + y) - xy]}— 3xy

25

Trang 5

m———

Hưởng dẫn giải PHIT tứ đất ETQG Tuản hạc - Phạm Hẳng Danh, liắr Vđn Toần ly TNHH f4TV [IWVVH Khang việt v3 Bet

« Ta lại có: XÍ+y =2 c> (xXx+v]Ì— 2XY=2©» XY= ix oe Hăi 5: Đi: DỰ BỊ I

Ex : XÊ SN esa ele Bk aie anc

5 Cho hảm số fix) = 6` —sinx + — Tìm gi trị nhă nhất của hầm số †(xì vă

err -2)_,@ ry) -2 2

3 2

Do đề P= 2(x+y)|2~

chứng, rủ : minh rũng rũng phương trình [{x) = 3 có đúng hai nghiện Giải

Dặtt=x+y _ dx ty 3= 4 nín |r| <2 s Tập xâc định: D= R

# 3 =e"- ;

vAP=2 al 2 eel 3— i cử — ST +6L+3 với [tl< 2 E as ae

X z = (1) câ I nghiệm x=0

Vĩ trdictla (Ur vse" —cosxtx cdy'se"+sinxnt+ 120 nĩn y ting Du dd 1) ed nghiĩm duy nhat x = 0 Bang bin thiĩn

t~1e[-2:?] RH | % 0 +00 t=-2¢[-22] an = 3 * (xì =0 c+tẺ - cusx ~ x =Ũ Xĩt gq)=~- LẺ -30 -60+3 trĩn doan [-2; 2] gi) = 4°- 346 a Rs=—, cm

Từ bảng hiến thiín, GTNX của fíx] bằng I

Wa dưỡng thÔng (d): y = 3 cất đồ thị hăm số y = l{x) tại hai điểm phđn biệt

¬—

i t3

g(-2) = —7; g(2) = 1; s=—

13 L+v 1-3 1-3 143

Vay Prag == hi x = — vi y= ` lode x = =e va y= ° để Tiín nhưng trình [{x}= 3 có hai nghiệm phđn biệt,

Sử Bai 6:

Prin =— 7 khix = y =—I

tt Tđm giâ trị lửn nhất vă nhỗ nhất cña hăm số y = ae x

In’x 2, yx? L]

Tum giâ trị lớn nhất vă giâ trị nhỏ nhất của hầm số Y = 5 trín doạn [1; e`| Giải

care: Re te TH —< Giới L Hộ ` We +ỉ Lok trĩn doar [-1; 2) | Lưểng dẫn giải G38T tù câc BTU3 Tnần Họẽ

Pram Hang Canh Trdn ve" Toan —

ae ụ [x=0#[-%~ 3l yas "+ ô Sp ay = â eae |xr=-st8-4I 25 â Tued: ¥{-3) = “ng y(-4)=—Ĩ, v(-3) = -8

~-3| nín muxy=-B, míny =-# =_ Viy liín tục trín đoạn [=5:

|-5¡=3| ‘4-4 Bai 8: DE DU BIL Lrl: HỊ © Dittex t « Khiđồy=I+4(1— 0°=-3:! + l2r ~]23L+4= fbvớiÙ stsi se[n 1] Fq) =-8£+24t— 12; P) =0 © t=2¢[0; !] 4

Ta od: 1{0) = 4, con tan fly = Vi feu Liĩn we ĩn doan 0; 1] cĩa

axy co max f{Q)= 4 vă mín y =núnF[1)— 3

muy

IEIMAUI [hi] [01] Bai 9:

ậ a Pe

Giả sử x, y lă hai số đương thay đổi thỏa mên diĩu kiện x + y = nh Iìm giâ trí

` Sof ace wos a 7 Tu ee ƒ

Tìm giâ trị lđn nhất, giâ trị ñđ5 nhất của hầm số y = x” + 4(1 ~x') trín đoạn

[ly TMHH 1 DWH Kha*g việt

s- Dựa vìu Bằng biến thiín tủ có Sy, =I kt x = L

Câch 3: Dùng bất đẳng thức Cauchy: ers | k8: oe 1 { „1 §=—-t—-—*+=t—l— ge ay x x RR 4V >*35— Wx“4y ie tgs 5 5

peg ga ÌXXKXÂY xtxtxextdy dxtdy 5D Be 5

l ee l he pest

Dau “=” xdy ra cd |” ay ae (Í Klys> 4

Ÿ

Vậy 5miạ = 5

¥ Vin dĩ 5 DIEM UON CUA BO THỊ HĂM Sẽ A, PHƯƠNG PHÂP GIẢI

Tần số y = [{x] có đạo hăm vấp hai trín một khoảng chứa điểm Xu, P{ụ) =O

1 fae fa te ay WLOX) đổi dấu khi x đi qua xạ tì điểm Iixu; Fíx;J]lă một điểm udn cửa để Dị

hx =x = 1a {x7 +1] tats? +1) \ ;

' =In?x + 2inx \ | k đ bằm gố y = ffx)

Số Hộ", š 7 š ? * =Ũ © x= ae = NHẾ NENEHH ĐỤN) thức 5 sees are ig eg cers: Ea Re x B ĐỀ THỊ _=

3 # =—=.y(l}= 5

0 on c _ : eg R= sẻ Giải Hai 1:

7

—

Inx=2 x=e! =|k e| "Vy liín Lục a I-l; Si nín Câch 1: Dùng khảo sắt him 56 | Chahimsd y=x*-3mx°4+9x¢1 (1) — (mlăthamsấ} |

| 5 Tìm mì để điểm uốn của đổ tăi ge đườii¿ th ng y =

9 4 max y = max (0 Fi yok valm in y =min(0; a, J2}=0 + Tac6:xty= 2 =y= ~x.VIy»Dnínx< 2 tâm để điểm uấn của đổ thị hăm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1

+ Tacóy(1)=0,y(` NT = ye) = > i [-!: vê - [h3] vê 4 ẹ 4 Giải

ở TAT THANH a ee "`

« Viy liĩn tue = [tg c*| na ; , ÿ x dy x 34x 4 ‘i y

¿ 9 4 Tim gid tr lan nhất vă nhỏ nhất của hăm số Y = trín dnạn {—5; -ƠÌ =6x-6m, y"=0 @xam=> y=-2m +9rai+l max y = max 15 ia \=—— vi mig y = min (0; 3-7] =0 —— At? ess 4 a -5)(3 - 35) Suyra diĩm udn Ton; —2m? + 9m + 1)

& x hư Ce tải = 2 + :

\ = L nh Giải x” (§— ~4x}” x *(5—4x) “Tả có T thuộc đường thẳng y = x LÍ œ-2m°+Ơm + Í=m LÍ

+4XK _

ý “ngay + 8 =le2x=lvx= : ©2m” = 8m = Ũ e m=0 hay m=2 hêy m=~2,

— 22

on

- —=- v _

Hưởng dẫn git: COST af as BTEG Todn Foe — Pham tSag Ban”, Tấn Win Foy _, Sty TRHH MT DVVH Khang Viet ‘Hiring dn giĩ DET ti oĩs BTEG Toĩr hạc - Phạm Hổng Danh, Trần V&? Trần oe ¡" i Sly TNHH MIV DVVH Khang Việt

v/ Viấn đề 6: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA BO THỊ HẦM SỐ lm fal ý jm] 2 Băi 4: CAO ĐẰNG KINH TẾ - KỸ THƯẬT CÔNG XGHIỆP 1 4 B ĐỀ THỊ

i + cos(d,:d; yet 2= stig ==> os : Ue LHOC KHOID NA

A PHUGNG PHAP GIAI [mi] 2 mi 2 Cho hầm nốy - X t E3 —Ì (1) có độ thị1ê (Cu); lí thđm số, đăi l: ĐẠI HỌC NĂM 2010

= z— i x—I pera Khảo sắt sự biến thiín vũ vẽ đổ thị (C) của hăm sốy=~“Ở xố |

[ Cho hầm số ý = ffx] có đổ thị (C) 1 TIỆM CẬN ĐỨNG 2|m|=+x Bn? 41> 4m" 2(m +1) cm =21 (thea un ay? agficn alg 1 Xâc dinh m để liệm cận xiín của (Cn) đi qua gốc tọa độ vă hăm số (1) cả cực trị —- i ai y j Gidi $Ốy =-x” x6 gee

Budng thang x = xo 1 Gein edn ding của để thị (C) nếu ít nhất một trong bến Băi 2: CAO ĐĂNG GTVT TH KHỐI Â NĂM 2007

điểu kiện sau được thủa: —— Bề =— có đỗ thị (C) =a,

Cho hêm số y =

lim lx) =+đ,

lim [{x]=+â 5 lim [íx]= =3; aon I(x) = 19;

Rorag, x.35I x rx

2, TIEM CAN NGANG

Đường thẳng y = yy lă tiệm cận ôgang của đổ thị (C) nếu

Tìm câc điểm M trín {C) có tổng khoản câch đến 2 tiím cận của (C} bằng 4 Giải

Tacó: lin y=—o, lim y=+>z, lim y=2

vả 1 =¥, hoặc lim f(x) =ỳu Aol ai! xa

-Suy ra đồ thị (C) cú x= 1 lă tiệm cận đứng vă y =2 lă tiệm cận ngưng

2m +1

a) 'Tổng khoảng câch từ M đến 2 tiệm cận lă

3 TIỆM CẬN XIÍN

Đường thẳng y =ax +b (ô #0) lă tiệm cận xiín của để thị (C) nếu 1 f(x)-ax+b]|— 0 hoặc lim “tix) (ax +b) ]=0

show [t GJ gă )] “pepe $ ( | ế M e{C) nín M m; \ Cúch khúc: as k ally ~2| = |m-1|+ +———-|= |r~|+ 3

Dường thẳng y = ax + bín z 0) lă tiệm cần xiín của để thị (C) khi vă chỉ khi + M -1 pm

I1}: fee h si

ae GIÚ2 = mC b= lđm [f) =ax] Tă có: shea la a 2 ac |m—IƑ -4|m-1|+3=0

m

: :- PO că :

hode oo La vă bo lim | f%)~âx | | Ir I|=1 fata

©m=2vm=flvm=4vme= 2

E ĐỀ THÍ 1"

Băi 1: DẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 Vậy có 4 điểm: Mụ(2; 5); M;(0; ~1); Ma(4; 33; My(-2; 1)

mx? +(3mẺ ~23x—2 | Bai3: CAO DANG KY THUAT CAO THANG

Cho hầm số y=——— -———— (C), v@im li tham sẽ thực, 4

| * +ảm

Tim giâ trị của nì để gúc giữa hăi đường tiệm cđn của đổ thị (C} Gidi

3

iại Cụ lă đổ thị của hăm số y=—x+m+L— (*) (mlô tham số)

x+m

[ Tìm m để tiệm cận xiín của Cạ„ đi qua Ă(2; 0), | Giải

“Khi m = Ú thì {Ca): Y =—x, suy ra (Ca) khơng có Liệm cđn xiín

6m—2

Ta có: y=mx—2+ x#3m

+ Khim “5 đổ thị khơng có tiệm cần

Khim z0,ta có lim =Ũ= tiệm cậnxiín của Cụ: y= —x+ m+ Ì

Xora X+m

š 'KhimawÌ để thị có bai dÍm cận 3 lăy|L818 ;:y = Rìx— 2 3 hay {ete Sato a, :mk=w—2=0

Điểm A€2; 0) thuộc tiệm rận xiín của để thị (Cin}) khí vă chỉ khi:

dị có vectd phâp tuyến nị = (1; 0), đ; có veetd phâp tuyến ny = (m; - l) 0=~—2+m+l<>m= Ì (hỏa điểu kiện m #0}

Gửii 2 4 2 OU } ay —2in* +2m x t-=m* 2m -2m* +1 Yacĩ y= ————¬=yY=—'—r +o (mx -? 11 m m (mm l als 2m? -2m? 41

Vaidm* - 2 + 14 Ovi m2, ted lini OL

se mmx -l] Suy ru Liệ1rt cận xiín của (Cu) cố phương trình y = hy : —

Yíu cẩu hăi lon 1f0ap đưỡng với

mx? 2x -2m? +2m —0.cd 2 nghiệm phần biệt mĩ q= 3 2 n am =2m” +l#öxm +0 2m?+l>0 A'=am" 4>‡m=Ll «m=l 2m” -2m? +1r0am20 ‘ v Vấn đề 7:

KHAO SAT SU BIEN THIEN VA VE ĐỒ THI HAM SO

A, PHƯƠNG PHÂP GIẢI

1 Khảo sắt sự biến thiín vă vẽ đả thị cia him sd y = ffx)

«- Tập xâc dịnh của hăm s ôâ S bin thiớu,

+ Chiểu biến thiín:

Tinh do ham cap 1 vă tứ nghiệm của đạc hảm (nếu có) Kết lận tính đđn điện eủn hầm số,

+ Cực Ir‡ của hă¡n số,

+ Giới hạn của hăm số vă đường tiệm cặn (nếu có) của đồ thị hăm số

Lite hide

+ Tip xdc djnh: D-R „ Sự biến thiín:

+ Chiều biến thiín:

Đạo hăm: y' =— 4x” ~ 2x, y' =0 c>x=Ĩ, Ham sĩ dong biĩn trín khaảng (—=; 0) vă nghịch hiến trín khoảng (0; +)

+ Cực trị

Ham số đạt cực đại Lại x = Ú, ven = 6

+ Giớihạn: lim y=->~

K-kix ® Bảng biến thiín

y[ + fo <_<

tả 6

«- Đ thị: [C) cắt Ox tại hai điểm A (v2; 0) 8 (2 0

Băi 3: ĐẠI HỌC KHỔI D NĂM 2009

Khăo sât sự biến tiện vă vẽ đổ thị của băm số y = xÊ~ 2xÍ

Giải

* Tậpxúâcđịnh:D- R, * Sƒ biến thiín;

+ Chiểu hiến thiín:

Đạo hăm: y' = 4x” — 4x; =2 x=0vx=+#],

Hầm số đẳng biến trín (~I; U} vă (1; +z} Hăm số nghịch biến trín {—œ; — |} vă (0; 1), + Cực trị;

Him sO dal cye dai taix =0, yop =0 Hăm số đạt cực tiểu tại x= #1, yc? =— + Giới bạn: lĩn y=+se :

x.>‡m

®* Bane hia’, hina

Trang 6

w

Cly TNHY MT¥ DWV Khang Viật

—zl

tướng dẫn giải CDBT ti câ? ĐTQG Toản lọc - Pham 1iề1g Dạnh, Trần Văn Toăn _—_———_` _ :

ae N “i ø i lạ Tăi â: ĐẠI HỌC KHỔI B NĂM 2097

ý =0 4H S.WŸ [[ Khảo sút sự biến thiín vă về để

= " Giải

? Te OE ea “= Tip x4c dinh: D=R | =I `: - ø Sự biến thiín:

Đạo him: y' = —3x? + 6x, y' =Ũ«+ x =0 hoặc x=2

Ham số đẳng biến trín {P: 2), hăm số nghịch biến trín (~—%; Ö) vă (2; +)

+ Cực trị: Hăm số đạt cực đại tại x = 2, Yen = 0 Hăm số đạt cực tiểu tại x = D, yc+= —4

Sr của hăm số y= —x! +3 - 4, a z

«_ Đồ thị: Giao điểm của đỗ thị với trục hoănh lă (0; 0;

+ Giải hạn: lim y=+m vă lìm y=

^—m Stoo

«Bảng biến thiín

x|Tm 6 3 +00

a +00 ũ oe

y ei we ty sẽ

Băi 3: ĐẠI HỌC KHỔI B NĂM 2008 ae

+ + 3

| Khảo sât sự biến thiín vă vẽ để thị củn hầm số y = 4x? — Gx’ + | Băi §: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007

Giả

_Luệng din gidi COAT ti cac BIOS Toan hoc ~ Phom Hng anh Trần Văn Toăn

” = + + + +O 2 8 ae? os h4 « Bổ thị: (hình trín) Băi 6: “+ fe |e

[ Khảo sất sự biển thiín vă vẽ đỗ thị của hăm số y= x°— 3x" + 3K # 1 Giải

Tập xâc định: D= RK

Sự biến thiín: + Chiếu biến thiền:

Đạo hầm: y` = 3x”~ 6x +3, y' =U có nghiệm kĩp x = 1 nĩny' 20, ¥xe D, y

Hăm số đẳng biến trín (—m; +9)

+ Cực trị: Hăm số khơng có cực trị 4+ Gidihan: im ÿy=-% vă lim y=+0

Xow x¬~— 3

« Bang hiĩn thiĩn 2

Rees) ee 1 y' + a + 0 8

Gty TNHH MTV DVVH Khang viet

My aed "-.- >>

[ “Khảo sắt sự hiến thiín vă vẽ để thị hăm sỐ y = 5 i = 1

x-]

Giải c ———

—

` Tap xicdinh: D= RA{i} -

~ 4 Subiĩn thiĩn:

4 Chiĩu biĩn thiĩn: “ xă

h Đạo hăm: HN y`=Ù s¿ x=U, x22 2(x-1}°

Ham sf dĩng biĩn teĩn kbodng (0; 1) vi (1; 2)

— Hăm số nghịch biến trín khnẳng (—%; 0) vă (2; +oa) + Cực trị: llầăm số đạt cực đại tụi x =2, Thun

2

sas 1m số đụ cực tiểu Lại x = Ú, vợ hoa ăse = T- `: = Gidi hạn vă tiệm cận:

_+lim y=+s; li Thu aa y=~# =>+x=l lă phương Irìnli tiệm cặn đứng =—% =l1lă lẻm tí

et 1 ‘ |

Khảo sắt sự biến thiín vă vẽ đổ thị la bê nổ ve | #Y=-xx*+l-———- vă im ———=0

«Bijele init = HE ứ biến thiín vă vẽ để thị (C) của hầu số y rae đê chú + Đồthù (hình bín) > Ax-1) zaz2x-D

iến thi - a ae Băi1: " ‹

«_ Sự biến thiín: Giải : š ~ =SW=~— + | lă Iriưưng trình tiệm cận xỉ

` E45 biển (RIẾ ˆ4- Tđn xúc định: De [_ Khảo sắt sự biến thiín vă vẽ đỗ thị của hăm số V= ~ x” + 3X” — 4x + 2 2 Een Hein EỒI-XIỂNH:

+ Chiểu hiến thiĩn: jp xdc định: D= R\{-I} = i

; x=h “ sey ; 8

Duo ham: y'= 12x? — 12x; y= ov x00 | =1 ® Sự biến thiín: » Tap xâc định D=R ‘ 1 =

` + Chiểu hiến thiín: e Sựhbiếnthiễn: = a oa 8

3 + ‘ & hỊ te tử sả - =

Hăm số đồng hiến trín (—; 0) vă (hj +95); him sf nghich biĩn trĩn (0; | ss + Chiểu biến thiín: i:

¡: Hăm số đạt cực đại tại x = 0, yeu = | 1400140400777 1222 xă Đạo hăm: v' = =3” + 6x4, vb y' <0, ¥xe D, oc » sẻ

+ Cực trị: Hăm số đại cực đại tại x = 0, you (ath Y 4 i ¬ id 3 “ 2 TH du ì ố đạt cực tiểu Lại x = Í =~l Hì ế lổ nu Hăm số nghịch biến trín (—%; +2) Š ae 5 Hiim s0 dat eye aeu ly Ẫ ' Yer ni am số đê cho đẳng biến trín + Cực trị: Hăm số khơng có cực trị 2 ad Xê

+ Gidihgn: lim y=- vă lim y=+ BÍ khoảng (—se; =1) vă (-1; +00), + Giớibạn: Em y=dz VĂ lđm yao W

es — + Hăm số đê cho khẳng cổ cực trị Lae xen « Bing biĩn thiín: KT Aisi bign vd tiệm cận: ˆ 3] - + Bảng biến thiín

x | 00 ũ 1 +90 ‘ sa) s49

_ Em ————— lim y=-; lim y=+ " ay

via đc ñ cee eee xt soe ï > _ fe "|

y een 1 CN ` + =2 Tiệm cản đứng x = —1 s % are eg, se t 2

= = oh pate Cee ae et + Bĩ thị: (hình bín) SỈ,

+ ™ 1 ` « 2a " Hảng biến thiín: 35 1#

Hướng dẫn giải COAT ti sâu ĐTGG Tgân học - Phạm Hồng Danh, Trấn Văn Toăn

wˆ Vấn dĩ 8:

DÙNG ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH _ ,

Băi 1: ĐỂ DỰ BỊ I - ĐẠI HỌC KHỔI Â NAM 2006

vă đường thẳng ủ

«Số điểm chung của đồ thị (C} vă dường thẳng dÍ chín: bằng số nghiệm của phương trình đê cho sl

U Khio sdtsy bign thiín vă vẽ đổ thj (C) ham sĩ: y= ———"— |

2/ Dựa văo đỗ thị (C), Gim m dĩ phutong win: x? + 2x 45 = tmẺ + 2m + 5) & + lÌ |

GIý TNHH MTV DVVH KFang Việt

| Bằng biến thiín: x |e ¬ 1 1 om y + H := - Qi A -4 +” +00

A PHUGNG PHAP GỐI | W1 we ing | Sq gl

Biến đổi phương Winh 43 cho g(x, m) =O ¥ĩ dang Mx) = b(m) (*) | « Đềnh

Trang đó để thị (C) của hăm số y = [DJ đê được vẽ trang cđu lôi trước đồ Na có: x14 2x + 5= (mẺ + 2m + 5)@x + 1) Xem đường thẳng đ: y = hữm) lă đường thẳng cùng phường với trục hoằnh xê TÍN, si ý48„kỈ f6

x+ (vix>Onĩnx+1#0)

Goi dla đường thẳng có phương trình :

y= tr + 2m + 5

Suy ra phương trình (*#) lă phương trình hoănh độ giao điểm của (Cj vă d Da đâ: Phương trình (*) có hai nghiệm dương :

+> d cất phần đồ thị (C) ứng với x > O ai 2 điểm mẺ +2m +l>0 thâm Do đó phương trình (*) lĂ phương trình hoănh độ giaa điểm của đỏ thị {C)

B BE THI

xi 42x45

x+l +» 4< mề + 2m +5 < § œ ~2 <In <0 m +2m <0

12: ĐỀ DỰ BI L - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005

có hai nghiệm dương phẫu biệt, 1 Khêo sâi sự hiến thiín: vă về đổ thị (C¿ của băm số y = xỶ — 6x” + 5

Giệ 3/ Tìm mì để phưứng trình sau có 4 nghiệm phần biệt: x” — ñxŸ ~ lap,m = Ð |

lý ® Tđn xâc đnhD= R\{-1}, if Gidi

+ Sy bith thiín; © 1» Tập xâc định: ÐĐ= R + Chiểu hiến thiín: + Sự biến thiín:

.ẻ rˆ

gf ays + Chidu bign thiĩn:

wo hare: yee to, ye coxa | hayx 3 ` ; E

W-Hắm; Ý ix +1? a eon a Ỉ Dav ham: y' = 4y - day y =U@x-0vx-#‡3 Hằm số đẳng hiến trín khaảng £ —v3 0) vi (V9 5402) 1Tầm số nghịch biến trín khoảng [~z2 ~W3) vă (0; v3) Cực tị:

Ham sĩ dat eye daitaix =0, yoo = 5 Hăm số đạt cực tiểu tụi x=+v3., yeu = -4 + Giới hạn:.lm y=+©

tote

Him sĩ dĩng hiến trín khoảng (—ø: =3) vă (1; +) Ham số nghịch biến trín khoảng (—3; =1) vă (=1; 1] Cực trị:

Ilêm số đại cực đụi tại x =~3, yca = —4 Hănn số đạt cực tiểu kại x= ] yer = 4 Giới hạn vă tiím cặn;

+ +

+ lim y=, lim y=+o = x= 1 lì phướng trinh tiệm cận đứng “© Bắng biến thiín:

Si” Lm -

“ 4 | tÌ G0 MS +

=x +1+— va lim ——-=0 " = = ũ ==

rane x¢+l xr++z NT ] | —— ọ + Ẻ =

v +>~ ~_ ~ Wma:

= y=x + L lă nhương trình tiệm cận xiÍn

Hưởng dẫn giíi GDET từ câc DTQG Toân học ~ Pham lêng Danh, Trần Văn Toă+ » Bdĩchi NY

= -

lín ue

Y Tacĩ xt — 6x? —logym =0 © x*~6x? ~5=logym+5 (*) Gọi d lă đường thẳng có phương trình y= losa m +Š

Suy ru phương trình {*) lă nhương trình hoănh độ giao điểm của (C) vă d,

Da đó: Phương trình (*) có đ nghiệm © d vă (C) có 4 điểm chung

©—4 < logy m + 5 <5 œ-9 <Ingam <e@+2ˆ?<m<Ì, băi 3: CS 23A0)

Cha hầm số y=—x` + 3xŸ (1) 1/ Kbảo sất sự biến thiín wa vĩ dd thi ham sĩ (1)

2/ Tìm k để nhương trình —x” + 3x” + kÌ— 3k” = ( có 3 nghiệm phần biệt Giải

1/ - Tập xâc định: D = BR, Sư biến thiín:

+

Đạu hầm: vì = — 3x” +x, y <0 Ox=0, x=2,

Hăm số đồng biến trín khoảng (0; 3} Tam số nghịch biến trín khoảng (—œ; 0) va (2; 400) + Cực trị:

Hăm số đạt cực đại tại x = 2, yua = 4 Ham sĩ dat cực tiểu tại x =D, ver = 0

+ Giới bhụn: lim y=+s vă ln y=— x>~= Xp * Bảng biến thiĩn : a | —= Ũ 2 + yi? - 0 + 0 — ¥ Tu Syl TẾ

= Cty TWHH MTV OVWH Khang Việt

La/ Ta có: —x” + 3x7 + KỸ - =0 G -xÌ+3x)=~— lÌ+ 3P Œ®)

Giại (C) lê để thị hầm số y =—x” + 3x” vă đường thẳng d: v=- kÌ+ 3k,

Suy ra phương trình (*) lă phương trình huănh độ giuo điểm của (C} vă d,

Do đó: Phương trình (®) câ 3 nghiệm phần biệt

& Đường thẳng d vă đỗ thị (C} có 3 điểm chung 0< —kP + 3k” < 4 fx? - ax? <0 k”(k- 3)<0 p = ‘ |k°-3k+4>0 |@-2Ÿ@+pzo [Keak #2 “Raid: DE DU BI2 NI Dee | Cha hăm số y “hờ si a) baad ya x? ~2 + 1

| 1 Khảo sât sự biến thiín vă vẽ đồ thị hăi: số (1)

.3/ Tìm a để phương tình sau có nghiện: gyEt -Ía+2)atdrt +2n+I=0 |

Giải

Tđp xâc định D=R\1({2} Sự biến thiín:

3n E

Đạo hăm: Vu y'=0 @œ x”— 4x +3 =0 =[

(x-2) x=3

Hằầm số đẳng biến trín khoảng (—; 1) vă (3; 400)

Hằm số nghịch biến trín khoảng (L: 2) vă (2; 3)

+ Cực trị: 3 Iam 36 dat cye dal taix =1, yep = 9 Ham số đạt cực tiểu tại x = 3, yor = 4

Giới hạn vă tiệm cận:

+ lim y=—z; lim y=+øz =x =2 lă phưởng trình tiệm cận đứng,

x27 nad

+y=x+ : vă lim i = = y =x lă phương trình tiệm cẩn xiế: x-2 x-x‡£ K—2

- Bảng biến thiín:

Trang 7

Hưởng dẫn giải GDBT từ câc BTũ6 Toân họ: - Phạm Hêng Danh, Trấn Văn Tuần

® BG thi 2/ Điều kiện: l— >0 œ —l <L< L fe Đặt u=ơUV, — ro 2 Ta có: 1< I+V]—Í <2 c 31 < HT ge? Nghĩa lă: 3< u <9 Phương trình đê cho trở thănh: u2—2u+l te =u (2)

uˆ—(a+2}uU+2a+1=0 ©u°~2u+1=a{u Tes u? 2)

Gọi (C9 lă một phđn đổ thị hầm số ya (đũ đước vẽ trong civ 1) H— Š giải hạn trín doan [3: 9] va duding thing d: y =a

Suy ra nhường trình (*) lă phương trình hoănh độ giao diĩm eva (C’}) vă d, Do đâ Phương trình đê cho có nghiệm klú vă chỉ khí :

(2) có nghiệm u e[3; 9] + Đường cong (C’) vă đường thẳng d có điểm chung

edeme = 7 RaS:PEDUBIZ

Cho him sĩ y=(x—1)'- 3x (m lă tham số) 1⁄ Khảo sât sự biến thiín vă vẽ đồ thị hầm số đê cho,

x-1f -3x-k=0

2/ Tìm k để hệ sau có nghiệm 41 fee

5 log yx” + log, {x- 1; <1

Giải

I + Tp xâc dịnh:D= E,

« - Sự hiến thiền:

+ Chiểu biển thiễn:

Đạo hăm: v' = 36) - 6x, y=Ũ @œx=Ú, x=2 Hăm sế đẳng biến trín khoảng ( ø;0} vă (2; +3) Hăm số nghịch biến trín khaảng (0; 2) Cực trị:

Hai sĩ dat cute dai tai x =0, yen = -1 Him 0 dat eye Gu ai x = 2, yor =-5,

+ Giới hạn: lim y=-œ vă lim y=+œ

x xt

+

Hường dẫn giải GUUf từ sâo ĐTQG Teân hos - Phạm Hồng Danh, Tiẩn Vấn Tuần eas

Pao ham y' = 8x°- 8x; y =0 =x=Ohoicx= 41

Hăm số đẳng biến trín khng (—1; đ) vă (1; +9)

Lầm số nghịch hiến trín khoảng (—; — 1] vă (9; 1) + Cực trị:

Hăm số đạt cực đại tại x = Ú, yen =0 Hằm số đụt cực tiểu tại x = 1, yer =-2

+ BGiỏihan: lim y=+œ

xia

® Bang biĩn thiĩn:

x|— =1: Ũ | +00 y' - @ + 0 -0 +4 y | +0 a +2 eee can ha — » Bổ thị: 2z oh? ~2|~m =.2x°~=4x” =2m

Số nghiệm của phương tình đê cho bằng số giao điểm của đổ thị hăm số y= [2x ~ 4x4] vdi đường thẳng d: y= 2m

Từ để thị củu hăm số đê cho, ta suy ra đỗ thị (C¡): y = lax‘ _#e) được về như sau:

~_ Phần (C) đ phía trín Ox giữ nguyín — Bỏ phần của (C) ở phíu đưới trục Ox

vă lấy phần bỏ nảy đối xứng qua trực Öx

Từ đổ thị (C¡): suy ra phương trình đê

chủ có 6 nghiệm nhđn biệt khi vă chỉ khi: d cht (Cy) tai 6 dim phan bite =f<2m <2 ©+0<m < L

ly TNHH 8A7 DVVH Khang Việt

1 œ Ì 3 x-l>zũ

Be Ta có: TÌog,x +s loan) #1 tog x+logs [x=I}<1 x>l ix >| x>1

“lu, x(x-1)41 “1â: -I)z2 ee —

+ VớiL<x<2 tạ có fx— iP -3x—k =O 9 (x- 3x =k)

Gọi (C°) lă một phẩn đồ thị hầm số y = (x ~ 1} — 3x dược giải hạn trín nửa

ng (I; 2] vă đường thẳng d: y =k

Suy ru phương trình (8) lă phường trình hoănh độ giao điểm của (C) vă d Ta đâ: Hệ có nghiím c? Phương trình (*) có nghiệm % c(:?]

+» Đường thẳng ở vă đổ thị (( có điểm chung

4-5 Zsk«<-3

Ý Vấn để 9: a

pĩ TH] CUA HAM $6 CHUA DAU GIA TRI TUYET BOI

“Cho hăm số y = l{x) câ đồ thị (C1,

|1 Vẽ đồ thị (Cj); vì = Ít) Íy nếu I(x)>U

| y nếu

| y=

i Tă có: ỳ |—y nếu íx)<0

# +hị h =; ‘

Vly¡> 0 nín (C13 4 phia trín trục Ox DS thị (Cy) tit dG thi (C) bằng câch

A PHƯƠNG PHÂP GIẢI sẽ

ty TNHH MTV ñ⁄VH Khang Việt

; ĐẠI HỌC KHỐI Ă NĂM 2006 _

Kho sút sự biến thiín vă vẽ đỗ thị của hầm số: y = 2x? - 9474 12x- 4, Tìm:m để phương trình sau có 6 nghiệm phan biệt: asi? —9x? + 12hd=m, |

Gidi „ Tậpấc định, D= R

Sự biến thiín: + Chiểu hiến thiền:

Đạo hầm: y'= 6Ÿ — 3x +2), y =Ocox= lx =2

1iầm số đẳng biến rín khoảng (—; l} vă (2; +25) Hăm số nghịch hiến trín khoảng (1; 2} Cực trị:

Hêm số đạt cực đại tại x = 1, yep =F Hăm số đạt cực tiểu tại x =2, yer = 0 + Gidihan: lim y=-0 va lim y=+0

7-9 xo

Bang hiến thiền:

xị|ịTnm 1 2 +3 y + 0 - ũ +

v 1 +0

: et ane Ny ve

® Đổ thị: (tình bín)

hướng trình đê cho tương đường với 2M ~9|x[f +I2|x|~4=m~4 '§ố nghiệm của phương trình đê cho bằng số giao điểm của đồ thị hăm số yn 2lx[” ~9|x[Ÿ +12|x|—4 với đường thẳng d: y= m — 4

msố y= 2|x|*=9|x|) +12|x|—4 lă hăm in, nĩn đỗ thị nhận Oy lăm trục đối xứng

w=2|x|”~9x” +12|s|~4

Phẫn của (C) bín nhải trục Oy giữ

tyín

-_ Bỏ phẩn của (C) hến trâi Oy vă lấy

giỮ nguyín đối xứng qua trục Oy

Từ đả thị (C): suy ra pbfững trình đê tó 6 nghiím phđn biệt khi vă chỉ khi:

-đ cất (C) tại 6 điểm phđn biệt

Hướng dẫn giải CDBT tir cic DTOG Todn họu — Phạm Hêng Danh, Trắn văn Taan

~ Phin (C) ĩ phía trín Ox giữ nguyín,

~_ Bỏ phẩn cửa (C) ử phía đưđi Ox vă lấy phẩn dối xứng của phin nay qua | Irye Ox

2 Vẽ đê thị (C¡) của hăm số: yị =f( |x Ì (vĩi D lă tập xâe định đối xứng)

“Ta có: E( kÌ) = Ex ): đđy lă hăm số chấn nín đồ thị (CỤ nhận Oy lăm trục

đổi xứng

Đổ thị (C¡) suy từ đổ thị (C) hằng câch:

~_ Phẩn của (C] bín phải trục Oy giữ nguyín | ~ Bả phần của (C) bín trâi Oy vă lấy nhẫn đối xứng của phẩn bín phải của (C) gua truc Oy,

3 Vẽ đường cong (CỤ; |y¡ Í= F(x)

* Nĩu y, 2 Othi y; = f(x): (C,) =(C) 8 wen truc Ox | © Nếu y¡ <0 thì vị = —f(x): (C¡) đổi xứng tủa ic d trĩn true Ox qua Ox, Đề thị (C¡) suy tử đổ thị (C) bằng câch:

—_ Phần của (C) ư phía trín ©x giữ nguyín

— Hỏ nhẫn của (C] ở dưới Ox vă lấy phẩn đối xứng của (C} ở trín Irge Ox

quia Le Ox Đường bi l= fx) |

Hưởng dẫn plải CÔBT từ câc BTGG Toản họp - Phạm Hồng Dan", Trấn VanTaăan — Băi 3: ĐỀ DỰ BỊ 2 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005

2

If Khao sat suf bien thiĩn va vẽ đổ thị của hăm số y=—— = sn

x 2 2/ Tìm m để nhương trình + ch | x Gidi uw y=2 Fa oes +

« Tap xdiedinh D= H \{-I] s Sự biến thiín:

+ Chiểu biến thiín: 2

Buc him: gine ee y=0đ@x=0vxr=-2 (wth

Hăm số đồng biến trín khoảng (—m; —2} vă (ñ; +so} Hằm số nghịch biến trín khaẳng (—2; —l} vă {—I; 0) + Cực trị:

Ham s6 dat cue dai tai x = ~2, yco =—L Hằm số đại cực tiểu tại x = Ö, yep = 3 s_ Gidi hạn vă tiệm cận:

+ lim y=—;¡ lin y=+s+ 3x =~1 lă pl:ưưng trình tiệm cặn đứng

24-07 x-|+

+y-K+t2+ os vă lim — =ũ =y=x+2 lă phưưng trình tiệm cận xiín

« Bang biĩn thiĩn:

x |} -œ _2 =i 0 +20 + ụ = SMA + ï ae b + ĐÂ a +ơn _m =mcó 4 nghiệm phần biệt, \

Cty THHH MTV DYWH Khang Vitt

Pix) atx) có đỗ thị (C} Ạ : Cho him sd y = lì Lae om a Về (C9: v1 OG oa nếu Q(x) > _ Pix) Qâx) Đồ tú (C ) suy ra từ đê thị {(C) bằng câch: = Phin cla (Cid miĩo Q(x) > 0 git nguyĩn

— Bĩ phn của (C} ở miễn Q(x) < Ö vă lấy phần đối xứng của phẩn nêy qua

nĩu Q(x) <0 Pox Q(x) Pod Oey Pix 20 VEC Vị = , P(x) l “OR ` Đổ thị (C¡) suy ra từ đổ thị (C) bằng câch:

= Phan cia (C) d miĩn P(x) =O gilt nguyen

nĩu P(x)<D

ef Tđang tôn năy thường đi kỉm với biện luận số nghiệm của phương trình có la dấu trị tuyệt đối

B BE THI Tăi E: DAI HỌC KHỐI NĂM 2099 —

Cho hăm sốy=2x” 4x” (1)

_1# Khảo sât sự biến thiín vă vẽ đổ thị của hầm số ( )

3 Với câc giâ uị năo củu m, phương trình x°|xŠ ~2|=m có đúng 6 nghiện Tập xâc định: b= RE,

_ Sự biến thiín:

+ Chiểu biến thiín: ~

45

Cty TNHH MT¥ DYWH Khang VIỆ:

x? 43x43 _ |x +1| X? 13x13 x+l

- §ố nghiệm vũu phương trình đê cho bằng số

a cổ: (Cị]:y=

x 43x43

điểm của đổ thị hăm số y = Fe x+l

lường thẳng d: y = m ⁄ để Lhi của hầm số đê cha, ta suy ra

3

me tahies được vẽ nhuf sau:

x+l

Phẩn (C) ở phía trín Ox giữ nguyín,

Củ: y=

ï đồ thị (¡): suy ra nhưng trình đê cho có 4 nghiệm phần biệt khi vă chỉ khi: it (CA) tại 4 điểm nhđn hiệt + m >3

Khảo sât sự biến thiín vă vẽ đỗ thị hầm số y = a0

ep’ x—

Tìm m để phương trình 2x” - 4x — 3+ 2m |x — 1| =0 có 2 nghiệm phđn biệt

Giải

Tập xâc định D= E \(1]

= ‘Sur biĩn thiĩn: | + Chiểu hiến thiín:

| i Bao him: ga PEO owen

2(x-1y

— 1Iđm số đẳng biến trín khoảng (—%; 1) vă (l; +œ)

+ Hăm số khơng có cực đại vă cực Liểu ® Giải hạn vă tiệm cận:

_+ lim ÿy=—m; lim y= œ =>x= Ì lă phương trình tiệm vận đứng xo” "it

Ị PP cian va lim ge lh

2(x-1) ste 2(e—1)

Trang 8

Gly TNH MTV DAWEH Khang ¥igt "5

Thương trình MẾT ngột của G854) thụ @ có on số a ste k cho trước cược

“Hướng sẵn giải COAT tr ca¢ BTOG Toda hoc — Fham Hiding Bach, Tran Van Toan

2

+ Bảng biến thiín

x | oe : , | == +O a 5

SS ag Chí ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến có thể được cho thông quâ tưới dạt: fl | c tiện Tiếp tuyến của (C) vuông gúc với đường thẳng d: y =ax + b (a z Ù)

“ -2

* Bath @[@u)==—

3/ Do x= 1 không lă nghiệm nhường crình đê cho nền: 'Tiếp tuyến của (C) cùng phương với đường thẳng d: y =ax +b

2x” 4x—3+2m|x—1|=0 ` Phăj ma

2 'fiếp tuyến củu (C) song sung với đường thẳng d: y =ax +b 2x° -4x-3 ý

ME 2\x =] wally dê Đổ thị (C) “đ thì loại tiếp tryến đâ, (Do vậy tụ chỉ dùng kí tự =>} = P(X) = a Sau đâ hiểm tra lại nếu :iếp tuyến năo trừng với đường thẳng Dựng đ: liếp tuyến của đỗ thị (C) đi qua điểm MXu: yu)

: Xếtx = xạ có lă tiếp tuấyn khíng

Số nghiệm của nhương trình đê cho bằng số x” =4 =3

3

lao điểm của đả thị hăm số y = y

on 2|F~ Ị TH2: Tiếp tuyến có hệ số góc k tùy ý

với đường thẳng d: y = — m *œ- Gọi k lă bệ số gúc của tiếp tuyến d đi qua M

Từ đỗ thị của hầm số đê của, tả suy ra | Phương trình d co dang: ¥ — yn = K(X — xn) © Y = kx — lui + YH 2x? =4x—3 z + Dường thằng ở tiếp xúc với đổ thị (C) khi vă cbi khi hệ phương trình

đổ thị (Ci:3= — được vẽ nhữ sau: I f(x) =kx — kay + Yạ tl)

2z~1 3 Số nghiệmi

2 f'Œ)=k (2)

« Phau x > | gif nguyĩn dĩ thi (C] ® Phinx <1 My dĩ thi (C) dĩi sing qua Ox » (C)} 1d hep eta hai phẩn treo Tw dĩ thi (C)): suy ra phương trình đê chủ có 2 nghiệm phđn biệt khi vă chỉ khi:

đ cắt(C¡) tại 2 điểm nhđn hiệt o meR,

» Thế (2)văo ụ } để m haănh độ tiếp điểm x Thế keônh độ tiếp điểm x | tảo phương trình (2) để tìm hệ số gâc k của tiếp tuyến

+ Chú ý : Khi thế (2) văo (1) giả sử tbụ được phương trình ẩn số lă x vă được tiệu lă (*)

Thông m phương trình (*) cd boo nbiu nghiGm x thi qua điểm M od

y nhiĩy tigp tuyĩn dĩn a8 thj (C) Ti dĩ ta gidi quyết được bai toda “Tin điều

Padĩ yuo dig MỸ câ thể vẽ được đến để thị [CJ n Hến tuyển" ives f(x) vă (C:): y = £®),

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HĂM SỐ

¥ Van dĩ 10: Deng ¢: Cho hai dỗ thị (

A PHƯƠNG PHÂP GIẢI (Œ¡) tiếp xức với (C;) khi vă chỉ khi hệ nhượng trình sau có nghiệm

; = —— aT ca f(x) = gtx)

Cho him sĩ y = fx) od 44 thi Hi (Ch | Tưng | Dang f : Tiến tuyển của dễ thị (C) tại điểm MíXa: viậc (C) có phương tình nh

B ĐỀ THỊ

_Hưởng dẫn giải EDB” từ câc ĐT0G Teôn học - Phạm Hồng Danh, Trắn Văn Toăn

¥— y= Poa xa) CF

Dựng 2: Liếp tuyến của đổ thị (C) có hệ số gúc k chu trước bị E1

BĂI HỌC KHIỐI A NĂM 2011

Giải

Phương trình hoănh độ giao điểm của (C) vă đường thẳng d: y = x + m

ma =x+m ĩ+-x+ l=(2x - Dix+m) (vin= _ khong la nghi¢m)

x 2

oo 2x? 4 2mx - fm + lì=@ (1)

Phương tính ( Lj có Ơ' = mỄ+ 2m + 2 = (m + 1] +1 >0, VmelR

Suy ra phương trinh (1) luôn có hai nghiệm nhđn hiệt nín đ ln cất (C) tại bai điểm phđn biệt Ă, H

Hoănh độ đếp điểm Ă vă B lă xị vă x; LA nghiệm của phương tinh (1) nĩn ther

m+]

3

ee ‘ b Ẹ

định lý Viết La gú: x,~xạ =——=—m vă X,.Xă =—=— * = I 3 a aoe, a

Theo ¢ nghia hinh hoc cia dao ham ta cA:

ee (2x, - 4|xƒ +X 2]—4(x, +x,}~2 ky +k, =y'(x))4 yxy d= - me (2x, -1)° +(2x,-1) “i (2x,-1) (2x71) — 4x +: } Bax, T4 +xy [4x,x, “ 2(x, +} t iT 4(-m)" mủ 4( m)12 l [ec = ~{4mn? +%m+ 8) = -A(m +1)" -2s-2 “4x45 ~2(x, +x, )+ i} }+2 đm? +4m +4+4m+2 | [-šm -24+2m+ 1]

ño để kị + k; đạt giâ trị lớn nhất bằng — 2 khi va chikhim=-1, Vũy khi iạ =— | thi ky +k dat gid tri lớn nhất

Wai 2: CAO DANG KLIOI A, B, D NAM 2011

Cha hăm số y = Bă L2? 3x41

Viết phương trình tiếp tuyến của đỗ thị ¡C) tại giao diểm của (C} với trục tung,

Gly TRHH MTV DVVH Khang Vitt

=

3: CAO ĐẰNG KHỐI A, B,D NAM 2010

Viết phương tình tiếp tryến của dĩ thi (C) của bam sO y = x? + 35” Gm cĩ hoAnh dĩ bang -1

Gidi

Goi Ala điểm trín (C} có hoănh độ x =—l =» tung độ điểm A bằng |

- Hệ số góc của tiếp tuyến tại Â lă y(-l)= 3_ Vậy phương trình tiếp tuyến của đổ thị (C) tại điển Ă: Í d:y-1=-3(x + l)y=-3x— 1

ĐẠI HỌC KHỔI D NĂM 2010

ở hằm số y =—xỶ — x + 6 của để thị (C) |

Âc _Viết phương trình tiếp tuyến của đổ thị (C), biết tiếp tuyến vng góc với

thang y=—x-1

L3 ey os

Giải

ptuyĩn A vudng gde d: y¥ a —] nín phương trình A củ đạng y =— 6x + b

ma _yt_,?2 ay loa

tiếp xúc (C) © Hệ sau có nghiệm: | Be Re EO Ti h

i [-4x7 -2x =-6 b=10

€p tuyến A cú phương trình 'y =— 6x + 10,

391 Mixa: ynde (C) fa ip dim p nya Ă vương góc 4: _n I

Pix) =- 4x) — đụ =T— Ít +? Xụ = Ì = vụ = 4 ' tiếp luyến Â câ phương trình: y ~ ‡e —6(x — L] «> yo=6x+ 10, ĐẠI HỌC KIIÕI A NĂM 2001

x+2

1)

E 2x+3 Đố

Fiết phương lrình tiếp tuyến cửa đổ thị hầm số (1), biết tiếp Luyến đó cẮt truc

B, trục tung lẳn lượt tại hai điểm phần biệt A, B vă tam giíc OAB cđn tại tọa độ O, Cho him sĩ y =

« Tiếp tuyến câ hệ số góc ke>(xu)=k (1Ì ml A vă Be Gui ky ky lần lượt lă bệ sổ góc Gino điểm (C) vă trục tụng: A(D; L) Giải

4 ate hotinh ddl điểm %ụ | môn cất đổ thị ÚC) t 1Ö, điểm phđn biệt Â vì 1Rn Sa lă ấn + “O) = — ae

« C11 nhưưng trình (1), lầm đc hoăih độ tiếp điểm xu- | Baie: : = a (ƠI tại Ă vă B„ Tìm m để tổng ky + kạ đạt giâ tợí lớn nhất, sử ims 3 er bú 3 pe jf300 Tap xde dinh: D=R\{-=}, y" i x0, Vx €D « "Tung độ tiếp điểm s¿= xo} š Ề D tuyến với (C) tại Ă vă 6i ương trình tiếp tuyển của (C) tại Ê: y— Í =~3@ = Ủ] @ y= -3x + Í (2x +3)

Gly THHH MTV DVVH Khang Viat

Hưởng cẩn giải GDBT tu ede DTOG Tedn hoo — Pham Fidng Denn, Tiần Văn Toản

7s 2x =m ch

(d) USp mile vai (C} > ~ ——=2 ® 'Tam giâc OAB vng cđn Lại O, suy ra hĩ sf gdc tip tuyĩn bug 41

Gọi tạn độ tiếp điểm lă (Xa; yạ); tâ có:

1

có nghiệm

——.r“l©Kụ 2 hoặc xụ =—1 (x41)? (2x¿ +3}

1, 1¡ nhường trình tiến tuyến x (loi vì tiếp tuyến đi qua gốc M—=:.h.`'

=— » phướn, 1h fie, To ý 8

° 3= SIE E Móc j Thế hai gid tj x năy văo phương trình £ 1 ta được đâp số bi toần lă m=- |, m =7,

tọa độ},

*— Xụ~~—2.yu=Ú; phương trình tiếp thyến y=— x - 2 (thỏa mên) | Vậy tiếp tuyến cẩa tầm cố phương trình y=— x— 2

Băi 6: ĐẠI HỌC KHÔI B NAM 2008

Chủ hầm: số ý = 4x” — 6x” + 1 (Ù

Viết phương tảnh tiếp tuyến cửu đỗ thị hầm số (1), biết rằng tiếp Luyến đồ di,

18: ĐẠI HỌC me D NAM 2007, a? đổ thị ¿C) Cho lăm số y — 1 i

qua diĩm Mi-1; -9) Giải

Giải š

Nhận thấy đường thẳng x = —L không lă tiếp tuyến của đổ thị hầm số (1} _® Tận xâc định: D=\{-]} y xẻ 20, ¥xe D « Gọi Â lă đường thẳng qua MỊ-]; 0} có hệ số gouk > At y =kix+ 1) - 9 sổ

« A lă tiếp tuyến của để tlý hăm số (1) khi vă chỉ khi hệ sau có nghiệm VIM €(C) nĩn [s2 NT |:

3002980 007 - kí a

4x ~6x” t]Í =kặt +1)~3 @) Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M;

(12x? —12w=k 3) DF orig i's Rai ces qua

Thay (3) văo (2) lă được: 4x” — 6x) + 1=(128— 12x){x # 11— 9 —>ủ m+] _fm+iÙẺ (tm+l

tes 14x segs ® Ê =df1Dx níu Llụu độ Ô Lhủa hệ nhường trình:

x+]) =

= 3 eg 2mˆ b

= zee 2 epg RSM AC? 0

# ee => Ap y= 24x + 15 (m†l (m+l) mạ ( )

vig: axe! wayyy 3 is

* L3 ae 25 —x-—

4 4 4 i R=dO Oy nĩn tou dd B thôu hệ nhưng trình : 15 21 f

Cú tiếp tuyến cẩn m lă: âi: y = 24x + 15 va Ag: MP mi - 3m ‘x= 7

=——*+— 2 m

= z 2 / 2 te 2m => BR} oO —

Bai7: CAG DANG CONG NGHIGP THUC PHAM KHOI B NAM 2007 TÍN TIÍN tiến (mì a

x=U m+l

Cho hăm số yea ta) i

od Tam giâc OAR câ điện tích bằng Bường thẳng (d) di qua điểm A(0; m) có hệ số góc bằng 2 Tim m để (d) tiếp Bee ệ Ễ 4

với (C)

xúc với (C) = species a oe am? L 2|_1 2m +m: l

2 4 lone 1] 2 2m? -m-1

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(0; m) câ hệ số nóc bằng 2 nín có phương trình

y—m=2(x~ 0) @>y =2K+n

“Hường đâ giả| [DBT từ sâ EFQG Tần học - Phạm -lắng Danh, Trần Văn Toản ve 1 _ 6

Với m=—— L cố MỊ 2 |; ¥dim= 1 tacd MEL; 1)

2 kee 2 :

Vậy có lai di@in M thĩa min yĩu cds bai toda: M[~s - 2) vă M(I; 1),

Raid: DE DY BI2 BAT HOC KHOLD NAM 2006

kes neil

_— Rel (C)

Cho diểm Mu; xụ) = (C), Tiếp tuyển eta (C) tai My edt ee tiĩm cận cửa

fC) tai A v8 B, Chứng mình Mụ lă trung điểu: đoạn AB Giải Cho him sd y

*Mu(xp; yụ) € (C]© Yo= TH Xụ— I

*_ Phưững trình tiếp tuyến của (C) tại M:(x¿: ys lă

a 4 z(x-xu) +y¥y {xạ =1)

* Giao điểm của Â với tiệm cận ngung lă nghiệm hệ phương Irình

re

le mF 1)

® Giao điểm vủu Ă với tiệm cÝn đứng lă nghiệm hệ Jibương trình

x-xii}+Y, nhờn, AQ 1D [ 4 yV=—,-—(R-s)]+Vo 7 | (x, -17 =o! mm] Xụ = x=l [xa +x3 ay xa ==— = 1,

Tathấy‹ 2 1 =+ MỊụ truae điểm đoạn AB

„AB, Mụ, thẳng hăng Băi 10: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006

A có để thị (C),

Cho ham sĩ y=

Viết phương trình tiếp tuyến của đỗ thị {C), hiết tiếp tuyến đó vng góc với

tiệm cận xiín của (C] +

Giải +x-] 2 Ta cd s5 — : x+2 x+2

Gry TNH RIT DVVH Khăng việt

- Tiệm cận xiín của để thị (C) od phương trình y =x — 1, nín tiếp tuyến Yng góc với tiệm cận xiín có hệ số góc lă k= —l

— Hoảnh độ tiếp điểm lô nghiệm của phương trình:

1 vă

'Ỷ-l© l————=-l#eeN—-2‡—

: x+2?! 5 3

“` 2-3

= Phương trình tiếp tuyến lầ: (0ị):y=—x+ 22 =3

` oy +5 3 v2

| Ă đi x= SS, re 5 oy =— 3 3

ng đi qua điểm Â{0; 2) vă tiếp xúc vi (C)

Gidi

n thấy dưỡng thẳng x = 0 khẳng iằ tiếp tuyến của {C) Gọi d lă đường thẳng qua A(0; 2) có hệ số góc k = đ: y =kx+2

4

TỔ gue ow

tiếp xúc với (C} © 4 2 “ớ mâi =Kez10) cú nghiệm

2x7 -4x=k (2) x=ñ=k=Ũñ xe P Í 2 ThE (2) vio (1) a dude 3x" - 8x? =0 4 W3 BYR 8 a fz

X= feoke 4?

‘ho him si: y = +S x+1

_Yiết phương trình câc tiếp tuyến oda (C) di qua AW; =5}

Giải

rua A(0; -5) có hệ số góc k (vì đường thing x = 0

y)

Trang 9

Huảng dẫn giải (D3T từ ¿ôc E-TQG Tuần hạc = Pham “Sng Dan, Trin Van Toan = Arysk(x—0)-S=kx-5

F- ee (1)

«Ị Altiếp xúc (C) o> x4 +2x_y _ 5 (2) tú nghiệm (x+y

xÌ~ x-lL_ x +2x

Thay (2) văo (1) ta được, ——— (x+1) “(x+ te

k— DỐ + l=xÌ+2xˆ— 508 + 2x + 1)

[xi =-2 kị =Ũz2 Âi LÝ = 5 > q

2 Bx+4=0

Set hy =F nh nan

Cac ida tuyĩn cdn im lă: y=—Š:y= 8x- 3, Bat 13: PAL HOC KHOL D NAM 2005

#7 dội ,

Gai (Cạ) lă để thị của hầm số yee ĩs oe +5 (m1 tham SỐ) Gại M lă điểm thuộc (Cm„) có hoănh độ bằng —1 Tìm m để tiến tuyến của

(Cg) tại điểm M song sang với đường thẳng 5x=y=0._

Giải Tập xúc định: D= l

Ta co: y" = x mx

—m Điểm M thuộc (Că) có hoănh độ x = ~ 114M k5 =) Z

Tigp tuyĩn tai M của (Cm) lă

A: yt Rayner deoymimsberny Asong song với d: $x —y =O (hay dt y = 5x} khi va chỉ khi

m+1=5

m+2 cem=4 Vaym=4 ——Ừ

Hăi 14: ĐỀ DỰ BỊ I ¬— ,

Gại (C„) lă đỗ thị của hăm số y = —xÌ+ (2m + i}x? = m— L tm lă tham số)

Tim m để để thi (C„) tiến xúc với dường thẳng y = ie —m-1 -Ì Giải

† m—1—2mx—m —L(1

~xÌ +tØ@m+l)xˆ- m—Ì=2mx—m-L() _, 2

d tiếp xúc cae| =e |~3xŸ +2(2m + jx = 2m @) có nghiệm

<u

Hung din giai CORT a câc TOG Todm học = Phạm Hồng Danh Trần Văn Toăn

vax’ + bx” + e=O(") (a 20)

Tạng 3: Phương trình hoănh độ giao điểm cũ dang DẠL1= x?, Phương trình (*) ở hănh at? + bt+co=0 (1)

1 Hai đồ thị có 1 điểm chung phđn biệt

<> Phung trình £*) có 1 ngliện:

Phương trình {1) chỉ có đúng Í nghiệm vă nghiệm năy bằng Ư leas trình (1) có 1 nghiĩm bang Ova I nghi¢m im

b=c= |

li ab>0 `

2 Hai để thị có 2 điểm chung phđn biệt | © Phương tnh (*) cổ 2 nghiệm

Phường trình (1) cả 2 nghiệm trâi dấu

~>âc <0 '

| 3 Hai dĩ thị có 3 điểm chung phần biệt

> Phuting trinh (*) có 3 nghiệm ! <> Phuong trình (E) có I nghiĩm bing ñ vă một nghiệm dưưn,:

<>c=dvă ah <0,

4, Hai đổ thị có 4 điểm chung phản biệt

+ Phương tzinh *) câ 4 nghiệm

+ Phương trình (Ù có 2 nghiệm dương phần hiệt A>0

4850 |P> ụ

B ĐỀ THỊ

Băi 1; ĐẠI HỌC KHỐID NAM 2011

ii

2 2x+l

Cho hiimsd y= ae

a+

điểm phên biệt A, B sao cho khoảng câch ty A va B đến trục hoănh bằng nhau

Giải

Phương trình hoănh độ giao điểm của đường thẳng đ: ÿ = kX+2k +1 vă (C) lă:

ax+l xrÌ

k0 2 fr =

(A=k?~06k+l>0— |k<3-22vk»3+22

=kx+ 2k + l © kx”+ (3k- l}x + 2k =0 (+) (Vix <1 khong la nghiện)

(D xx? -<(2m+1)x+2m}=0 bạ +2(2m + l)x =2m ~3x” +2(2m + !)x= 2m —x” +(2m + ljx =3m 3x7 + 2{2m+Ix =2m es an | - si a x= FT fax? + ame Dx =2m ; ax? =(2m 4+ x =0 „

y có 2 giâ trị thỏa mên yíu cầu hêi toân lă m =0v m=4

15; bE bu BI 2

F =

“Cho ham sf y - ——— o6 dĩ thi (C),

lội I lă giao ele vụ đường tiệm cận của (C) Tin điểm M thuộc (C} suo apa

tiến tuyến của (C) tal M yudng gdc vai dưỡng thẳng TĂI,

/ Giải

Ề \

ViMe (C)nĩn M{m 2 aa =]

Hệ số gâc của tiếp tuyến tại M lă: ky = ['(m)= =

(m= 1}? |

= (Che đường tiệm cận đứng x = 1 vă đường liệm cận ngung y =2 L Tia giao điểm hai đường tiệm cậa của (C) => I1; 2) = IH -( 10-1 and sa) fe a

i= Hệ sẽ gâc của dường thẳng IMĩ lă: kạ = Tă

a L

(m-1?

“Vì tiếp tuyến của (C) tại M vng góc IM nín la có:

kikạ= == ah

(m~ 1} (m-1y m=2

-Yđi m =0 -> MO: l)

` Viti = 3=>M@: 3)

i 16; DE DI BỊ I

Cho ham so y= tty =” -~ = cs đê thị (C)

“Viết phương Su tiếp tuyến của is thị {C), biết rằng tiếp tuyến đú song song

L ĐỒ: đườn „ thing d: y=4x +2 poe 59

Cly TNHH MTW DVVH Khang Viet Việt

+ Khi đó, hoănh độ xạ, xp cla A vi B lă nghiệm: của phương Lrình (°) nền dp I—3k

lun gag dink lý Vie định lý Viết la CÓ; Xe + A X“———=——— i -

z A vă B thuộc d nền YA= kxa + 2k + Í vă yp =kzụ + 2k + l + Ta có: Khoảng câch từ Avi B đến trục hoănh bằng nhau

o val lyg|©>|kx, +2k + 1|=Íkxa 1 2k 1]

"- +2k+I kx, +2k-1 kx, }2k+1=— eam ke (xy he ok 1 | aks220 ©k=- 1(Thảa (D) ` 3 xs} ea =X,(Laai vì Œ° cú 2 nghiệm) +x, )+4k42=0 dy k = 3 thỏa u cẩu băi tôn

ĐẠI HỌC KHÔI A NĂM 2010

Cho bim s@ y= x'-2x°+(1-mix¢+m (1), m la sĩ thue,

"Tìm m để để thị củu hăm số (1) cắt trực hoănh tại 3 điển phđn hiệt cổ hoănh

x¿ x; thẻa mên điểu kiện: xị tx) +x3 <4,

Giải

dng trình hoănh độ giaa điểm của đồ thị hăm số (1) vă trục hoănh lR:

x`— 2X” + (1 — m)x + m= €2 (K— D@Ÿ— x— n) =0

©x=lhaypG}=xÌ-x—m=0(2) 1 xị, X; lă nghiệm vủu pldng trình (2) Hù x: = 1,

điểu kiện {2) có nghiệm, thea định HÍ Viebt tả cổ: xị + x; = Ì vă xị.x; == m

_-_ Do đó u cẩu băi toần tương đương với:

g trình (2) có hai nghiệm xị, xz phđn biệt khâc 1 vă thöa xị + x? +l” <4

L

Âq; =1! 4m >0 Tông th tứ ải gÙ=-=mxzũ mime «+m#0 ay 4 ° sbaxdel<4 Xp bx ˆ—2xix; <3 l+am<3 (nzủ

! 3 12 1: DẠI HỌC KHỐI 8 NĂM 2010

Ocho tam gidc OAB od dign tích bằng v3 (O lă gốc tọa đội

tý TNHHL MTV DVVH %*ang Việt

tiu"¬g dẫn 3/8! GMAT ti gas 31GG Todn tec - Pham Hĩng Danh Trần Mên Tnần Giải

1a tiếp tuyển A song sóng với đ nín Â cả nh:ữ1ng trình: ý = 4X + b(h +2)

wf T(x) = ax)

A tiếp xúc (C) ca | = f'ix} =g'{x)

eS YE 16 (nhận)

Ld ply? ant arte w hăn:

43 2 3 ca

(x +x-2=4 (nhận) 2 Vậy tì có 2 tiến tuyến, Âi; Y=4k= TH Aị= y=4K* = Băi 17:

2

Cho hầm số a eae {1} (m lă tham số) |

‘Tim i để đổ thị hăm sễ (1) tiếp xúc với đườag thẳng y = x, |

Gidi Bổ thị hăm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y =x

(2m —1)x m” ee 3 x-1 Ạ ~m}” =0 3 cố nghiệm «+ + có nghiệm x # Ì (m-Ù _ (x)? = (m—1)? (x=) omel

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

A PHƯƠNG PHÂP GIẢI

* Vấn đề H1:

Lập phương trình hoănh độ giao điểm của hai đồ thị

Dạng 1 : Phương tình hoănh độ giao điểm có dạng: axÌ + hx +c= Ũ t1 „1, Hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phần biệt

|

« Phương trình (*) cố 2 nghiệm phđn biệt hee s.ỹ

2 Hai để thị cất nhau lại 2 điểm phần hiệt cùng uằm bín phải trục tung,

> Hai dĩ thi cdi nhau tại 2 điểm phđn biệt có hoănh độ dương

Hưởng dau giải EDST từ câo BIGE đ@ơn học - Phạm lảng Dan, Trẩn Vđn Trđn —-

2x41 ma =-—3x+m € 2x” + (4 —m)x+ L—n=0(*) (vix=-1 khong Se ý _nựa x A

«Phương trình 2 có A=n+>0, Ym nín d luôn cất (CỊ tại điểm Ă,B- * VIA, B unide duting thing y=-2x+m

nĩn 4 =— 2x, +m va ¥p = — 2Kn +m, với Xa xu lă nghiệm của nhượng trình (3 1ê nghiệm)

Ta ed:

3œ 1 1

SaoA = Ý 3 XAYA —xsyg|=3 colt, (2x, m)~x, (2x, +m)|= v3

T1

=|mfxx —xu||=2v3 = m? (x, mtg) =l2 c+ mo

c» mỉ + HmẺ «+ 4= cm `°=4c+m =+2

Hăi 4: DẠI LIỌC KHỐI NĂM 2002

Tìm câc giâ trị của tham số m để đường thẳng = - 2x - m cẤt đả thị hăm sẩ 2

y= < 132! aj hai điểm phđn biệt A, B sao cho trung điểm cửa đoạn thẳng

x

AB thuộc trục tùng

Giải

Phương trình haănh độ giaa điểm của đổ thị vă dưỡng thẳng y =— 2x + m lă:

x?+x—l

x =-2x+m c2x +x— I=xX(- 2x + m) (xì x =0 khêmg lă nghiệm)

&3x+[(1~ m)x- =0 (1ì

* Via <Ú nín phương trình (Ì) ln cỏ 2 nghiệm nhần biệt z Ư Do đó để thị vă đường thẳng y =— 2x +m luôn cắt nhau tại điểm phđn biĩt A, B «- Gọi[ lă ưung điểm của AB, lă có x eo

Theo gid thiĩttacĩd Te Oy = x, Băi §¡ DAI HỌC KHƠI đ NĂM 2009

Tim câc giâ trị cửa tham số m để đường thẳng y = ~ x + m cât đồ thị hêm sế

=0=m=l

y=Š ~Ì ia idm phan biệt A, B, so cho AB.= 4,

¬ Giải

Phương trình hoănh độ gian điểm của đê thị vă đường thẳng y =— x + m lă : - + =Š -1 > 2X” — mx — I =0} (vì x =0 khơng lă nghiệm của (®))

x

Cty THEH MTy OVWH Kang yi Việt

>0 , /8>0 [vais=-Z apse j P>0 a `

-Hui để thị cất nhau tại 2 điểm nhđn biệt cũng nằm bến trâi trục tung

-_e»1lai để thị cất nhau tại 2 điểm phđn biệt có hoănh độ đm

; A>t

~ Tí trình (®#) có 2 nghiệm dm phan biĩt os <0,

P>ữ

“Hai dỗ thị cất nhau tại 2 điểm phđn hiệt nằm về hai phía đối vai rye mag © Hêi đỗ thị cất nhau tại 2 điểm phẩu biệt có hoănh độ trâi dấu

-&> Phương trình (*) có 2 nghiệm trâi đấn oe PO,

để thị cất nhau lại 2 điểm phđu biệt cằm vể một phía đối với trục tung

Tai đả thị cất nhau rại 2 điểm nhđn biệt câ hoănh độ cùng đấu

A>0

>! + Phương tình hoằnh độ giao điểm có dạng: ax” + bx’ + ex +d =0(*)

'đđy la chỉ xĩt nhưng trình {*) nhẩm được I nghiệm x = xp, nghĩa lầ nhường {#) đưa dược về dạng:

Phương trình (*} c6 2 nghiệm phđn biệt cũng đấu =|

X=ẩn

{x — xy) (ax? + Tx 4 C)=0 o> ‘

gix)eax’+Bx4+C=0 (1 (a0)

để thị có 1 điểm: chung Iứcli£ trình (*} có E nghiện

=> Phuvag tinh (*} ¢6 2 nghiĩm phan biệt , a teith (1) 06 nghigm kĩp khiie x,

| Phường tầnh (1) có 2 nghiệm nhđn hiệt trong dĩ o I nghiĩm x =x, => Ee 4 hoặc e a

glxg) #0 E(x;}= Ũ

“Hai dĩ thi có 3 điểm chung phđn biệt

Phương trình {*) có 3 nghiệm phđn biệt

k- Ag>0

= Phương trình (1) có 2 nghiệm phđn biệt khâc xạ ©>

g0) #0 ——

Al

ty TNHỊ | MTV OVVH Khang Việt

Do đó để thị vă đường thẳng =— x + m luôn cất nhau tại điểm phần biệt A, B, v— V1A, B thuộc đường thẳng y= = x + m1 nÍn Y4 = - K4 + m về ÿp =— Ka +, Dodd Atma X‹ Lm); Húxu; — xạ + m} với x«, xy lă nghiệm của phương trình (*] -Ta cố : AB =4 € (xy ~ x4) + [Í— Xp + HỘ — (— X; + m)Ƒ = l6

> 2(xp — Xa)" = Hồ

+8

2 (xy—- tas 8 7? 8 m= save gai G: PAT HOC KHOI D NAM 2009

Cha hăm số y = x!-(3m+2)x°+ 3m cẻ để thị lă (C.), m lă tham sổ, -

_ Tìm m để đường thẳng y = -1 cất đổ thị (C„} tại 4 điểm phđn biệt đều có toăn độ nhỏ hơn 2

Giải

-Phnffng trình hoănh độ giâo điểm của (C„} vă đường thẳng y =-I lă : * xis = Gm+2)x° +3m=-1]

x'-(3m+2)x7 +3m4+lsOex=tlhayx*’=3m+1 (*)

ng thẳng w= —I cắt (Cạ) tại 4 điểm nhđn biệt câ hoănh độ nhỏ hơn 2

Phương trình (*) có hai nghiệm phản biệt khâc #1 vă nhỏ hơn 2 | _ 0x3 en 1<4 paren -—< |3m+1z1 [m*0 ¡hăm số y = xÌ— 3x44 (1)

ting minh rằng mọi đường thẳng đĩ qua điểm T(1; 2) với hệ số góc k Œ > -3) idl

gid 1A duttng thdng qua I(1; 2) cd bĩ sd poe k(k > —3)

— đy=kœ-l}+2

Phuong trình hoănh độ giao điểm của (C} vă d lă:

Trang 10

Hưởng sđn giải GEBT từ câc TT Toân học — Pham Rong Dank, Tea van san

=2 Phương trình (1) ln có 2 nghiệm phần biệt xị, xạ khắc |

—> Phương trình (#) ln cú 3 nghiệm phần biệt

_> Dưỡng thắng đ trín cất đổ thẻ (C) tại 3 điểm nhẫn biệt Â, H, XA Xu Xị %2

Mặt khâc 2 2

A B.A thing hang

= I lă rung điểm của đoạn thẳng AB (Điều phải chứng mink)

Tiăi 8: CAO DANG KHOI A, B,D NAM 2008 =l=%

Cho him số je BS,

xed

Tim m để đường iẳng d; ý = —x + m cất dỗ thị (C) tại hai điểm phđn biệt — — Gidi

Phương trình hoănh độ giao điểm của (C) vă d lă: xX

TẠP =—x+m

©x=[—x+r0)(x — 1)(vìx = 1 không phải lă nghiệ r1)

e©xÌ-mx+m=U (4

d cắt (C] tại 2 điểm phđn biệt e> (*) có 2 nghiệm nhên biệt Ă>Ú G© m — 4m >(1<>m <0 v m >4,

Bai 9: CAO DANG KINH Tf ĐỐI NGOẠI KHỐI A, D NAM 2007

Cho hầ¡m số : y =(xK— HXŠ— mx— m— 1) CL) ew la tham 98)

Định m để đỗ thị của hầm số (L} cất trục hoănh tụi 3 điểm phđn hiệt có huản

đủ lớn hơn —l

Giải

Phương trình hoănh độ gian điểm của đổ thị với trục Õx lă: (x— 1)! ~ 2mx~ m~ 1)=0©x= 1 hêy fx) =x” - 2mx - m~ 1 =0(2)

Catch I:

Bỏ thị cất trục hoănh tại 3 điểm phan biệt có hoănh độ bio hơn —Í © Phương trình (2) có 2 nghiệtn phđn biệt lớn tữn —L vă khâc 1

A'=mˆ? +m +l>0 =l5=m>-l =m>0 | fi-b=ms0 J#0)=-ôm œ0 Câch 2: Đặt L= + | Phodag trình (2) trở thănh: (Lo HỶ- 2mft- 1)—- m= 1=0 gú) =-2(1+m]Ltrn= 0 (3}

Để thị cất trạc hoănh tại 3 điểm phản hiệt có hoănh độ lớn hơn —1

66 | TY TRHHTITVTTVVH KHơ1g VE—

Phương trình (2) cứ 2 nuiiệtn x phđn biệ: lớn in | vă khâc I hướng trình (3) có 2 nghiệm t phan biel Ida hen 1) vê khức 2

2 ÍƠ'=m? +m+1>0 : S=2¢l+m)>0 ee P- m >t}

(2}= -3m #0

0: BAI HOC KHOI D NAM 2006 bảm sổ: y = x” — 3x + 2 có để thị (C]

d lă đường thẳng đi qua điểm kI(3; 30) vă có bộ số gâc lă m Tìm m để thẳng d cất đồ thị (C) tai 3 điểm phđn biết, “|

Giải g trình đường thẳng d lê y = mịx 3) + 10

dng trình hoănh độ giao điểm của ở vă (C) lă:

†—34 12= m(x =3)+20 { (x3)? +3x =6 ~ m) =0

ng thẳng d cắt đỗ thị (C) Lại 3 điểm: phđn biệt khi vă chi khi: )

“c>m*>U,

=x” +3x+—m cú há nghiệm phđn biệt khâc 3,

a fe ae ÌM3)=24—m z 0 cine Í DỰ BỊ 1 3 hảm số y =xỶ— mx'+m~l (Ï) (mlă tham số)

nh m sao cho dĩ thi cia hava sĩ (1) eft trục hoănh tại 4 điểm phđn biệt

Ỉ Giải

Phương trình hoănh độ giao điểm của đỏ thị củu him s6 (1) wa une Ox las

x me +m-1=0 (hy

thị của bầm số (1) cất trục hoănh tại 4 điểm phđn biệt

' Phương trình (*) có 4 nghiệm phận biệt hương trình (%*) có hai nghiệm phđn biệt dương

A>a mỶ =4Ím~l]>0 S>0 ym>0 P>0 “msl a m#2 m—F+>0 67

Hang den gar coe? mene UUs loan fos Pram Noi Can, tran Yea Tosn ae

⁄ Vấn để I2: TÍNH CHAT BOI XUNG

1/ Diểm A(xị y) đối xứng vâi điểm B qua gốc lọu độ Q = lšÍ~x; =>]

2 Điểm A(x; y) đối xứng vải điểm B qua trục hoănh ~> Híx; -¥)

3/ Điểm A(; y) đối xứng với điểm H qua :rục tung => B(-x; ÿ) ; 4 Điểm A(x; y) đối xứng với điểm D qua đường phđn giâc củu góc phẩn tự thử

1:y=x=B;x)

5/ Diểm A(x; y) dối xứng với điểm B qua dường phần giúc vu góc phan br thir IL y = -x > Bi-y; -x),

6P Hai điểm A vă B đối xứag với nhau qua diĩm M <> M [i trung điểm của đoạn AB

3 Hai điển A vă B đối xứng với nhau qaa dường d: y = đx + bín # Ơ),

+ AB | ủ

+ Trung điểm của đoạn AT nằm trín dường thẳng d

B DE THI Bid: CAO DANG TAT CHINH — HAL QUAN NAM 2007

ey ỹ

Cha hăm số y Ais có đỗ thị lă (C) |

Tìm trín (C) hai điểm phần hiệt A, B đối xứng nhau qua đường thang dix-ya f=0

Giải

Goi (A) 1A đường thẳng vng góc với d = (A x+y +m=0

£ +6

Hnônh độ giau điển Lota (dj va (A) la x) = ¬= ‘

Phương trình hoănh độ giao điểm của (Â) vă (€) lă: 2 ¿+

+ "— —+im= $>2x?+ím+5ix+m+7<0 Œ) (xz~l) x+

Với điểu kiện (2} có 2 nghiệm xạ, xạ nhđn hiệt khâc —Í Ta có: Ă, B đối xứng nhau qua đường lhẳng ¿: x - y +6 =0

4+ [lă trung điểm ÂB I A, B thẳng hêng (hiển nhiín) c x2 Xa ah

S

SƯ ng, ee IAD eodnt+esem+5Qm5—7—

2 4

Khi ấy @) 2x?- 2x=0

4+x=wx= | (Thỏa điểu kiín (2) có 2 nghiệm phần biệt khâc —LÌ: 68

Gty TkỊILl MI VI Khang Việt

Với x =0 =y=7,x=l>y =ĩ

Wy: AIO: 7), BCLs 6) huặc Â(l› 6), B0; 7) ĐỀ DỰ ñỊ 1 - DẠI HỌC KHỐI HD NĂM 2006 x Re 3Ề ul

Cho bam sd: y = aa Ne (C) | im trín để thị (C) bai didm phan hiệt M, N đối xứng how qua ruc ting |

Giải ,

+ MŒI; VỊ), NO: vă} c ẤC} đốt xứng qua Oy

eu cầu băi toần tee đường vi - X)=-x); 40 l Kp =x, #0 | 22 ng | Thea] 34, Se tbag-3q 4 t)=-x) =0 24,0 I: pega II 3 i ; Bay 3 +3Ry 5 x= mye [ays ey)

Xê x, —9x, =0 x,=-3 X= 16 x¡=3=vi=— == _ Is ey 6 aa ars x) 39-2 h l8, Ĩ „161 (= T6 s7 KO) MÍS NI ~3:—— | hay MÌ-3:— ' NỊ 3:— | 3 | 3) : x 1) ale } ohiinsdy=x'-3x°4m (lb fm la themsay

am dĩ 46 thj him sĩ (1) e6 hai điểm nhđn biết đối xufng vGi nhau qua gốc

Giải

vă H lă hai điểm dối xứng ni: qua ede ia do Sử A(x: vì thì B(—x; —y}

Íy~x1!-3x?+ a Bee (Cyinĩo ued: (D ia _ c về

-y =-x" -3x? 4 (2)

Huting dia gid, SDBT si cĩc OTCG Tata hoe — Pham dng Danh, Tran Wain Toan

CD Chagin tĩ 21 LUQNG GIAC

vˆ Vấn để I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÂC

Ì 1, Phương trình lượng giâc cơ bản

«»x= tử + K2m x=u+k2r c x=n-nm+k2n COôXK = cosa sig = sine ©x=u+kn

cols = cole ex =atkhn (vdike Z) 2 Phương trình bậc hai đối với một hăm số lượng giâc

asin’x + bsin’x +c =0, Patt =sinx, ÌLÍ< 3 acos’x + beosx + c= 0 Đũtt= cosx, |LÍ< Ì alan’x + beanx += 0 Date = lanx acolx + beutx += 0), Batt = cots

Phương trình bậc nhất dêi với sinx, cosx asinx + beosx =¢ (7) Điểu kiĩn cd aghitm: a? +b’ 2c? Câch 1: Chia hai vế cho va? chế #0

(:LiX = Tang

ow

a x h c CS ee a Si + COS SS eat abate

x1 =1 a ar h - oom : es ; a

Nín có thĩ dat ro = cosa, ny =sina

Khi đả:

(*) o> sinxcosa + sin60sX = _— & sin(x + Œ) = pie Sy va? 1b? vai +b

Câch 2: Chia bai v€ cho a (gid sit a = 0}

: b c (*) <> sink +—cosx = — a a sing € casx =— cosy i

Par b tanz Kli đó; (*} > sinx + a

Cry TKHH MTY DYVH Khang Việt

<> sink coset + sing cosx = cosa +» Sin(k + a) = suyœ

8 a

Ì¿ Câch 3: Đạt n số phy

| _ xĩIx=(2k+ ID) vâi ( c Z) có lă nghiệm khơng — Xứtx#(2k+ lJn với ( e B)

x Batt =tan>

2

= ab: 5 =£€c>(b+C)lÍ— 2a1+c—b=0 +t ]-t Khi đó: C#) Ca ` Biểu kiện |tÍ< v2 | = 2 : ‘ te ak | Khi dit; = 1 + Zsnxcosx => sinxcasx ng

Thay văo phường trình ta được phương trình đại số theo L Chú ý: u{xinx — c0sX) + bsÌnxeosx + 6 =

- Đặtt=sinx — cosx (với [L < 42) 5 Phương Irình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx, cosx

usin?x + bsinxcasx + ccos’a=0 — Xĩlceosx=USx =5+ km (ke 5} có lă nghiệm không?

—— XếĩLcosx +0, Chia 2 vế cha cos°x ta thu được phương trình bie 2 theo tana

` Chứ 7: Nếu lă phương trình đẳng cấp bắc I‹ đối với sinx, cosx thì ta xĩt cusx = _MĂ Xết c0sx z 0 chia 2 vế của phương trình cho cos*x vA ta thu được một _ phương trình bậc k theo tanx

[ B Die THI

hit; DALNIOC KHOI A NAM 2011 + C012 x

Giải

-Điều kiện: sinx z Ú, Khi đó:

ye Le sin? 60828 w2sinx, (2sinx cosx}

Giải phương trình: wee Soe V2sinx.sin2x | Hưởng din gigi GĐBT tử râo ĐTQG Toản hục - Phạm Hồng Danh, Trắn Văn Toăn

<> sin* x(1-sin2x +cos2x} - 2/2 sin? x.eosx

ee l+sin2x —cos2a = 22 ca x (visinx #0)

$2 2eos? x + 2sinxcosx —2V2 cosx =O

= cosx = Ov cosx +sinx =V2 = corn =Ovsin{ x21

1

Pas Kap thnvx= T+ k2n (k € Z) (Tha diĩu kiện sinx #0), Vậy nghiệm của (1) lă x=T +krvx nit kon (ke Z1)

Băi 3: ĐẠI HỌC KHỐI ñ NĂM 2011

| Gâi phương trình: sẵn 2x€0§X + SỈ1X€0sX = G0528 + 5Ì K1 COSX Giải

sin2x cosx 4 sinxcosx =cos2x +sinx + cos" {+ 2SỈDX,C08ˆX + sinx.cusx = 2oos’x — | + sink & cosx > sinx.casx(2cosx + 1) = cosx(2cosx + 1) + sinx— 1 & cosx (2cosx + [sina — I= sinx— 1 <> sins — 1 =0 hoje cosx (2easx + 1) = | e> sinx = 1 hoặc 2cos”x + casx — Ì =0 <> sink = | hoặc cosx =—I hoặc cusx = Ỹ kh xe.+ k2x hoặc x=m 1 k2x hoặcx=++ “+ k2n

exe 4k2a hoặc nad, alee =2) 3 3 3

Băi 3: ĐẠI HỌC KIIỔI D NĂM 2011

SỈN 2K + 2C0SX =SỈ1X— | _ tanx+v3 Giải Giải phương trình: ũ

sin2x + 2cosx —sinx—-1

tan + ¥3

> sin2x 4+2cosx —sinx—l=f 2sinvensx + 2eev —Ísin vâ FÌ f1 =ũ, Điễu kiện: tanx # —/3 vă cosx +0,

Kúc về tưIng ng của (1) vă (2) suy r¿:m=3x)ổ @)

Vú cầu băi toân tưởng đương vâi (1) có nghiệm x #

Cry 1RHH MTV DVVH Khang Việt '+ 2eosx(sinx + I]Ì~(sinx+1)=0 ca (sinx +1)(2cosx—1}=0

sin x =—l {Loại vì khi đồ eosx = 0}

Ƒ_- I eo x=t 24k le (k eZ)

ae 3

'§o với điểu kiện I4 được nghiệm của phương trình lă x =f k2n(k EZ) 4: CAO ĐẰNG KHÔI A, B, D NĂM 2011

- Giải phương trình: cosdx + I2sin°x — 1 = 0, ch |

j Gidi

'eus4w + [sins — 1 = 0s Qeos72x — 14 6(1 — cosdxy— 1 =0

ep cos"2x - Jcos2x +2=0 <> cosdx = 1 hay cos2x = 2 (loại) 2x = k2n ex =ka (k € Z)

5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010

(1+ sinx + eos2x)} sin x+n fi phuting tinh: a ae Osx

t+ tanx v2 Gidi

tu kiện: cosx #() vA tanx #- 1

điều kiện trín, phương trình đê cho tương dương: (l+siox +cos2xji{sin x — củsX} = cus

it tanx (1+ sin X + cos 2x).(sin x + cosx)

Ss X= CO

SINK — COS 3 Ï+sinK +cas2x = Ï €3 sinx + cœs2x = 5 2sin? x —sinx-1=O-<9sinx =l(daại) hay sinx “2 Fox= ~E+kan hay XE kkín (keZ)

ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010

liôi phương trình (sin 2x + cas 2x) cosx + 2c052x — sỉn x = Ö

Giải _|

g trình đê cho tương đương,

(2sinxcosx + cos2x}cosx + 2cos2x — sinx =0

(EN only fnew 4 904 ing (2corKx — 1) =0 nx.cos2x = ñ

Trang 11

liưĐtg đễ1 gid) GOST af cas BTGB Tuâ1 nạc - Phạm Hềng Danh, Trấn ăn Toản <> cos2x (cosx + sinx +2) =

“cos2x=0 _cosx +sinx +2=0 {vn}

> Sx = Cikn Ĩc #J4k= tkệ Đế #7 2 nê

Bai 7: ĐẠT HỌC KHÔI D NĂM 2010

Giải nhưữơng trình sin2x ~ cas2X + 3sin x —c0sx— l =0 Giải

Phương trình đê cha tướng đương: 2gin xcosx— 1+ 28iaˆ x + 35inx—c0sx ~L=0

> cosx(2sinx —1}4 2sin? x ~ 3sinx 2= Ù

©©c0sx(2sinx- l}+(2sinx —l)J(sinx + 2)=0

ô@> (2Đènx l)(GửĐX +sinx + 21= 0 x =—+k2r£ & {k eZ} kh x=—tk2n 4 ‘ ] §nx=— a cosx+sinx =—2 (VN}

Bais: CAO DANG KHOIA, B, D NAM 2010

5y 3 5 Giả i nhưng trình eos cus + 2(8sinx —Ljcosn=5

Gidi Phường trình đê cho tương đương:

2(cos4x 4 casx) + l6sinxcusx—2cosx =5

& 2eos4x+8sin2x=5 © 2- dsinˆ2x+Rsin2x =5

« 4êin22x — Bsin2x.~ 3 =0 sina = 3 (loai} hay sin 3x “4

T : Sr

<> 2xs—+k2a hay 2x =—-kin 6 6 Tm Sx «@& x=—+km hay x=——+kn (ke #}) 2 aes

BM: DAL HOC KHOI A NAM 2009

(\-2sinx)cosx _ jaa Giải nhương trình:

Cty TMAH Bity pựvH Khang Việt ————

Giải

ị Biểu kiện: sinx # Ì vă sỉnA # “5 (® Voi điểu kiện trín, ph trình đê cho tướng đương;

(1= 2sinx}eosx = v3 (1+ 2sinx}(1-sinx)

<9 osx —V3sin x = sin 2x + V3 cos2x es cos{ n+) —cos{ 2x 2

| <x 1N 4200 Su une tong quay cốt Re tee as (kc @) ‘Ket hap (*), tă được nghiệm: x = a ~ == (k =#)

0: DAI HOC KHOI B NAM 2009

Giải phương trình: sinx + cosxsin2x + V3 cos 3x = 2{cos4x +sin" *] | Gidi

“Phương trình đê cho Lưởng đương:

1 — 2sin'x)sinx + cosxsindx + JFcos3x = 2eos4x > sinxcos2x + cosxsin2x + x3 cuy3A = 2cua 4x

: f 7

=> sindx + 3 cos3X = 2cas ‡x @> one| 3 -2| =cos4x _=e#~x=t oe k2x hoặc 4x =-đn + +kÐ Œe#)

TE

6

L11: ĐẠI HỌC KHỔI D NĂM 2009

: Giải phương trình: v3 cos5x— 2sin 3xcos2x = sỉn x =0 F Giải

“Piương trình dê cho tưởng đương: X3 cos5x — (sin 5x + sinx]— sÌnx =0

(k=Z) Vivi x= - + k2m x=—+k 7 i

5 42

luận

: > ——cosÊx— —5ilL5X ==5Ìnx @© sn| Š~šn]~sim va ] T

t 1 2 3

fr > Eosx=ntkan hose 3 ~Se=m—x4 ke tke Z)

TỪ

Vay:x= Z4k® nogexs-24k5 (keZ mes 1g 3 ặ 6 3 | )

3

Hu#ng dẫn giải CDBT từ sắc ĐT36 Tzôn học — Pham Hin Danh, Trin Van Toes

Băi 12: CAO DẲNG KHỐI A, B, D NĂN 2009

hướng trình (! # 2sinX) cusx = L+sinx + coax

Giải

Phương Lrinh đê cho Lượng đương: ˆ

(L + 4sinx + 4sin xJfosx = | + sinx + cosx

= sinx =—] hay sin?x = :

cone Shan hay x= f+ ke hay x= 2 Lkm (với ke Z}, Hăi 13: ĐẠI HỌC KHÔI A NĂM 2008

saat 1 | „ lĩn Giải phương trình: — ! ———————=4êin| ——X

sinx sin| x - =| „ 3m 4 Gidi

(_ 3m Ta ed: ay - =) =€osX Điểu kiện: iS HỆ cue wn cosx #0)

Vải điển kiện trín, phương trình đê cho tương đương:

1

i 4s s +5] 4

sink cosx

= (cosx +sin x}= 22 (sinx +cosx]sin x OSX

o (cosx +sinx)(I~ v2sin2x]=0

+ xK=-—+kn Củš X + RỈn x = tanx =—l 4 + ể is J olx=-“-ka (he Z), sindx = -—— meres ! Bi ar ` : x3 3 5 ST KX=—-kr & Băi 14: BAT HOC KHOLB NAM 2008

L Giải nhương trình: sinˆ x—3cos” x ~ sín xcos” x — V3 sin” xosk Giải i 3x =V3cos!x=sinx.costx-V3sin?xcosx (1) sin

Gâch 1: Phương trình đê chủ Lượng đường:

sin x(cos? x — sin? x)+ vÔ ensx(eeF x—sin? x) =0 = {cos* x sin? x)(sin x ~ vÔcosx]= Ũ

m kr cos2x =O oF a rê ee (kee ux =-¥3 2 (kẽ) 7 r

Nghiệm của phương trình lă: x =i+ kệ va xX =e +km na âch 2: ® cosx =Ú khẳng nhải lă nghiệm của phương trình (1)

4 * Chia hai vế của phương trình (1) cho cos*x ta được:

3 fe iq 3

tan" x—y3 =tanx— v3 tan" x os

lank =—v3

> (anx + VF)lan? x) =00 3 tan x = +l 1 4

¡ BẠI HỌC KHÔI D NĂM 2008

ải nhưnn trừnh: 2sinx(| + coxs2x) + sindx = 1 + Zoosx, yes

Gidi

uiing trinh da cho tuctig đương:

dsinx.cos’x + sin2x — 1 — 2cosx =0 <> 2eosx(2sinxcosx — 1) + (sin2x - 1)=0 © (sin2x = 1)(2casx + lì=0 + x=—+kn sin2x =1 tĩ» Ha vi (ke#) CỦ&K =—— 3 x + kit

? CAO DANG KHOI A, B, D NAM 2008

liải phuting trinh: sin 3x —V3 cos3x = 2sin2x

Giải

Phưưng trình đê cho tưởng đương:

ì - £ a a ae Š

gginăx „ XÊ uy =Đin2w â con 40x 3x —sin E nu —win2x

Hướng ain gal HOST Wd ete TOG Tom học — Phạm Hững Danh, Tiền Văn Trần

[šx-#<2x+k2x oven ~ : = (ke?) x 4u k3m 3X =m-2x+k2n |x=-†+— 3 sie tổ

Bai 17: DATHOC KHOL A NAM 2007

| Gidi phucing trinh: (1 + SỈ xÌensx +(1 +cos x)sinx = 1+sim2x Giải

Phương trình đê chủ Lượng đương:

(sinx + cosx}(] + sinxcosx) = (sinx + osx}?

ea (sinx + cosxy1 — sinx{1 —cosax) =0 = xí“ x ~ 5 -k2n, 3 =k2r (ke@) Băi I8: DALHOC KHOLB NAM 2007

Giải phương trình: 2sin 2x + sin7x — L = sin,

Giải Phương trình đê cho lưỡng dương với:

siR7x — sing + 2sin 2x — 1 => cas4x(2im3x - lì =f

« cosdx=Ù4>N= # kn (ke)

R 4

fd 18

Băi I9: ĐẠI HỌC KIIỐI D NAM 2007

2 š 3x 25 2 sin3x = 69 x= rhe hole r= +k (ke)

2 | Giải phương trình: [sin vos + v3 cosx=2

Ỷ

Giảt Phương trình đê cho tướng đưưng với:

1 a

£ ñ l

1+Sinx + 3cusx =2 « của: s-2]-3 c>x=—+k2m,x=—-+k2r \-' ð) 2 2 6 (ke Z1 Bai 20: DATHOC SALGON KUGI A NAM 2007

“ et

+ ; 2{, %)_ ¬¬ 3 Giải phương trình: 3taø Re *| { =

Giải

Điều kiện: sinx #

Với điểu kiện trín, phương trình đê cho tương đương:

3 _2 -1=0 sin? x SIUX 2 3cat? x =—_ “he snX —_—— DW TMHH MTV DWWH Khang Việt - a xe kan, (keZ) fice 5

xem = Tu“ nghiệm)

£: fz 5 = l = a = + a ¬ " 3 + 3 = & lI =

Giải

trình đê cho tf%ng đương với:

\ | + sinx + cosx + : sinx =0 (didu kiĩn: cosx +0)

C0SX £ 1% inx~ cosxÌ| ——l- {sinx saa | ae an _ - | jsinx | cosx =O : lo = k x—n+k2m O ĐẲNG XĐY DỰNG SỐ 2 NĂM 2007 hưởng Trì li: cos*s — sin*x + cusdx =0

Giải g trình đi chủ tưởng đương với: — cos*x — sin? # 3eos22x - [ =0

£ Hă cus2x = —l x——+kiI 2cos 2x + costx— lad | [eas 2x=~ 1

3

(ke #)

x=z-+km

6

AQ PANG KY THUAT CAO THANG NAM 2007

buung trinh: 2sin’x + 4cos"x = 3sinx, | Giải

# trình đê cho tương dương với: 2sinx + 4cos°x — 3inx(sinˆx + cas”x) = ñ NỈ X + 3sinxwos"x ~ doas'x = 0 (1)

yeosx = Okhdog phadi lă nghiệm củu (1)

c0sx #0, ta chia hai vf cba (1) cho cos*x, La được:

tan x + 3tanx — 4 =Ö @ (tạnx — 1)(Lanˆx + lanx + 4) = 0

fanx = 1 (de lan*x +tanx + 4 >0 với ¥x)

xa zak (ke Z)

wy 4 Hstng din gidi COBT Wy sâo TOG Toan họp — Phem Hổng 33nh Trin Van Toăn

Băi 24: LÂT TIỌC KHỐTI A NĂM 2006

2(cos” ae Sin" x]—sinx cosx

« Giải phương trinh: ———————œ——————————=Í v2 —2sinx

Giải

= Điểu kiện: sin x a tlh

Với điều kiện trín, phương trình đê cha tượng đương: & 2(cas*x + sin®x) — sinxcosx = 0

= 2f1-3su? 2x]~ 2 sin2x =0 4 2

<> sin? 2x ¢sin2a—4=0 €» gin2x = Ì c>x= Liệu (ke %)

Dn điển kiện (1) nín: x = +2mg (me ở}

Hăi 25: PAT HOC KHỐI B NĂM 2006

z `

Giải phương lrình: cotx +sinx} i k tan rai | 4

Gidi Diĩu kiĩn: sinx # 0, cosx +0, ( Với điểu kiện trín, phương trình đê cho tung đương:

ees at - ik

cos x cos— + sin x sin — 2 2 sink —— + —— = 4 > SÌNX © COSX f xs tka = - (k6 Z), thỏa mên(]} x=—+km et be sina = 5 sin x eas x

Bai 26: DAI HOC KHOLD NAM 2006

| Gili phuting winh: cos3x + cos2x — cosx — 1 = 0,

Giải Phương trình đê cho tưởng đương với:

—2sin2x,sinx ~ 23in? x =0

& sinx(sin2x +sinx)=

ĩs sin’ x(Zeosx +) =0 ike 2) (ke &} e sinx=(exokr cose 5x == tkír ILA NAM 2006 ——_ 2432 8 L27: ĐỀ DƯ BỊ I - DẠI HỌC KI

Giải phương trình cos3x.cox’x — sin3x,sỈn x =

Ety THEH MTV EVVH Khang Vial

L—i

Giải

pd công thức: sin3x = 3sinx - 4sin'x > sin? x aaa

Jcusx + cus Ix

4 † đứ phương trình đê cho tương dương với plating tinh

a me 1 4 4 ˆ =

cosas 22 t costs) sina =3) 2+ 3y2

4 \ 4 8

3 vos3x = 4c0sÌx — 3posx => cos? x=

2 2 ae _© cas 3x sin” 3x - 3(cos3xeosx sin 3xsinx}=—-———— i +32

Ò_Ð 1+3eos4v=S Nz = goeiEeSSf hay ch

, š 2 16 $: DE DU BI 1 - DALHOC KHOI B NAM 2006

đêi phượng trình: (3sin x — an 2x + 3(2cos x - = 0

Giải

T:

+k— (keẽ a! )

Kiĩu cos2x 20

điều kiện trín, phương trình đê cho ïương đương:

~cos2xtan22x + 3cos2x = 0 2 cos2x(lan®2x — 3) = Ú) len HH NU tan2x = V9 œex=+ + kế (keZ]

tan? 2x-3=0 6 2

DE DU BIL - DALHOC KUGLD NAAT 2106, ủi phương trình: cos`x + sin’x + 2sin’x = |

Gidi £ trình đê cho tượng đương vải;

(sinx + cosxifl — cusx$inX]) — c0s2x = (1

<> (sinx + cosx}(1 - sinx cosx — (cosx —sinx)) =O

_ > (sinx + cosx}t] — cosx}{1 + sink) = 0

Trang 12

Hăi 30: ĐỄ DỰ BỊ

Tìm nghiệm trín khoảng (Ø; ) cỗn nhưưïng trình:

Asin? > —/Fcos 2x = 1+2vos"! x << f° 3m)

2 A 4

Giải Phương trình đê cha Lương đương vdi:

3 £

«œ 2(I ~casx)—+J3 cos 2x — \=1-cos| 2x -=| = 2—2c08x - {3 cos2x = 2 — sin2x eo Vcos2x — sindx = —2cosx

v3 ee 3L re} eee na eee <> cos ate = cOn(R— x)

⁄ 3X 2# xaos SN ” Ake#J xP 4 kon 6 17m Sn D ì t hi x) =—.%) =— X= ; ox €( r) nín ¡i cú nghiệm: Xị = Xa TS

Hăi 3L: ĐỂ DỰ HỊ 1

Giải

Điều kiện: cusx # Ö c sinx # + |

Voi điều kiện trín, phương trình đê cho tương đương:

fad

# sin” x n sinx.cos 2x + cos" x 5 -1|+2sin?x=0

cos” x <o sin x(cos2x 1 2sin? x)-cos2x =0

> sinx(cos2x —1-—cos2x)—cos2x =O <2 2sin? x +sinx-1=0 sinx=¬l (loại) |x=Z+k2x l 1 = 6 kes sinx=— 2 x=—+k2r Sx 8z Hăi 33: ĐỀ DỰ BL2 - 2x —Í

(— Giêipnhưtnự tri an Ben) 3tan 2 gee : cas" x Fo mi 2 Site ipa 82 ty TNHH MTV DVVH Khang Việt Giải Điều kiện: cosx z 0 vă sintx #

“¥di điều kiện trín, phương trình đê cho tương đương; ~ZsinÍ x

«€0 — 3UỦ x = at Ruuếncđ6aunfeesl cos* x tan xX

L ean k= Lee x= + ka (k © 3#) thỏa điều kiện

3iải phươi p trình: 5sinx — 2= 3(1 — ginX) 1anˆx

Giải eu kign cosx + <2 sinx # + |

với điều kiện trĩn, phifong trình lí chủ tương đương:

ea Ssinx—2= 3/1 - BH a Fe = 3(L- sian) Thệ— F 1—sin?x | (Ssinx - 2) (1 + sinx) = A X © Ssinx + 5sin*x ~ 2 — 2sins = 3sin2x

Rối sinx=— (thảa mênúk gat xe thie

= q 2 le : ke #)

sinx = -2 (loai) nat +k2n

aidi phưn g trình (2cosx — |) (2sinx + cosa) = sin2x — sinx : | Giải

hương trình đê cho tưưng đương vải:

{2cosx — 1} (2sinx + cosx) = 2sinxcusx — sinx

roy (2easx - 1) (2sinx + cosx) = sinx (2e0sx — 1)

(2eusx - 1) (sin + cosx) = 0

7

Gams xed Tekin

2 © 5 (ke BR)

lunx =—l Hepa vet

4

ĐỂ DỰ BỊ 1

ai phương trình: Atsin’x + cos'x)= to + Asinx, |

Gidi

x=0 không phải lă nghiệm của nhương; trình nín La chia 2 vế cho cụs X

83

‘Huting din glial GOST ti Gas BTOG Toân roe - Pham Hĩna Banh, Trin Yar Tein Phượng trình dê chờ tướng đường với;

4tanÖx + 4= Í +tanˆx + 3tanx{l ~ tan x}

lanÖx — tan x ~ 3tanx + 3=0 <2 ftanx — Ijftan’x — 3) = 0

hong TP een, sa L |

ôâ>||tinx=x3 (ke#)

tan" x =3 ee nati ke

Bai 36: DE DU BI I

Giải nhượng trình, "gu Ben xe ] | €{SX SIIX Quâi : ; km

Điều kiện cosxsinx # x7 = (ke &) Vâi điều kiện trín, phương trình đê cho tưng đương:

fe

sinx —cosx = 2Ô coi x +P lcosnsinx

= ¬5so[x+Ÿ]= 22/2 coô| | hen + — Hi +=0

f | n+ stk xs ttkn

Ss X+—|—0

TỔ eel ÔỒ eel 5 (ke #)

a Tr

gin2x =—l aS VnH om ae Răi 37:

| Giải phướng trình colx— 1= HĂ sth pn eine:

| + Lanx * Gidi

T

x#-—=rkr

a ý tan x # —Í

Điều kiện | i sinx,cosx 70 4 ụ (ke Z)

x#kx

2 Với diểu kiện trín, phương trình đê cho ting dung:

2 sin? }e : vose sin (eos aosin’ xJeasx „ ee - +RÌn” X— gưaxsin X

sinx K0SX + Sinx

€0§ X — Sin X n ‘ oe = (coax —sinx)cusx +sin (sins —cosx)

Sox

84

£> (sin£ —c9s x)[sin xcoax—sin? x “4 = Fianx=1

cosk =SINX

sinxcoss—sin?x-1=0 ~ lan x =1 ~lan” x =0

TE

x=+kn "

4 c>k=T+kn, (kez) lan x —tanx+] —0 (vô nghiệm}

Cty TNHH MTV DV Kerang % út

Giải plurng winh; cotx — tans + 4sin2x = ——— ee 5

In bă 4 Giải kiện sin2x #0

điểu kiện trín, nhưng trình đê cho tương đương:

Jens? Sin2x CS 4i0003x5-— sin2x Send eda 2

2eos"2x - cos2x - 1 =0

eos2x =1 (loi) 1

: 1

oe đât082XE - Se x=to+kn (kes e cos2x = wt 2 a ( )

2

nhương trình sin? He =-= * jan! x— con? Š =0,

Giải I F

a He

Bleu kign: x aa tke, ke@

đi điều kiện Lrín, phương trình đê cho tường đương:

bị

1~em(x~3) [Nội

—— z 2 Hn2x- 2C M5 cú a

l-sinx Se TT sin?x I+e he Oc (+ cosx)lsins +eosx} = 0 :

2 cos" x 2

tý s8 euÝ x=mtkin x=n+k2m (nhin)

‘ =| mt) x ss ef) sinx+eosx=0 |sin[x+—|=0 Ay |x=-—~+kœ (nhận) 4 85

Hưng dẫn giải GDBT từ cặo BTOS Tuản học - #trạr: Hũng Danh, Trầ: Văn Tpăg

Tổăi 40: DỄ DỰ BỊ 1

fe: Gidi phucng trinh: 3 - tanx (tanx + 2sinX) + ñcosx = 0,

Giải

Điều kiện: cosx #0

Với điều kiện trín, phương trình đê cho tưởng đương: sinx f sinx

vúôx CORR

<> 3c0s°x — sinx{sinx + 2sinx.cosx) + 6cps`x = ñ

= 3cus2x(l +200sX)}—~ xinx(1 + 2eusx} = 0

o (eos? - sin*x)(1 + BS =O c{>(l + 2cos2x](L + 2cosx) =0

3~ SEK 4 2sinx]] + 6c08x = =0 1 een ==> x= eS oe kn 2] (kez) a COS % goi, x=:—+2km 2 3 Tăi 4ï: ĐỀ DỰ BỊ I

Giải nhương trình: 3cas4x — §cus”x + 2cos x + 3 =

7 Giải

Thhướng trình đê cho Lương dương vi:

3(1 + cos4x) — 2cos”x(4cos'x— |) =Ù

“> 6cusˆ2x - 2cos x(2cos x =1 2cos x + et

ñcns 2x — 2ens*x(cos2x)(2ens?x + =O $$ 2cos2x|3cos2x — cus*x(2eos"* + L}J = U ¡ gũs2x =0 cos2x = (0 S |[les2x-es x[2eos x+l)=0 2 2 2uostx —Scos?x +3=0 cas2x =0

cos? x =I c|24=3+ka “|” ‘eked «> a" ue Hii 42: DE DU BI 2 (2- V3} eoxx - 2sin" (1-3) 2cntx- 1 Giải Giải phương trình: = he

Didu kign: cosx “2

Với điều kiện trín, phương trình đê chờ tương đương:

(2 -V3)easx re -Šj|z2emex-l = —vÔcosx +êinx=U

3 +» aax=V3 wks q 3 ~-ke {kez { op ,

'Kết hợp lại điều kiín cosx xả Ta chọn x =+(k'+ De kek

3143: DE DU BI)

3

Giải phương trình: catx = tanx +

Cty NIH My OYVH Khang Việt

2cus 4x Sin 3X : Gidi Íu kiện sin2x # Ú cos2x # +1

Wei diĩu kiện trín, phưtứng trình đê ch tưng đương:

i COs oe

sink

ep cos7x — sỉn x —

sin x 2cos4dx cosk 2sinX.cosx

(2cos"2x — 1) =0 <> 2eos™x — cos?x — 1=0

(loai) > (C675 = SỈNˆX + cas4x, COs2x = Ï x ee kx 2 3 K (keZ)} x -+kr 3

Giải phương trình sin 3X — cos 4X =sin 5X - cos 6x,

Gigi

[—cos6x l+vos§x I—coslDx l+c0sL2x

2 BO 8 2

& cos&x + cos6x = cosl2x + cos lilx

_ eS cos7xcusx = cosl]xcosx > cosx (cosllx —cos7x) =0

x= ;! km i , “tusx =Ð m TH 5 ï œ |x=k— + (ke #) cost lx =cos?x z x=k— T x= k= Vă Í 45: tyŠ : 2 bE pi! Ry 2 ˆ - i š I 1 |

Giải phương trình: 2Ĩ * — sap3x — 2

A 7 = Ssin2x 2 Bsin 2x - ‘]

Gidi

Hiring d3n gidi COBT to cde PTOG Than hoc = Piam Hồn Banh, Trần Wan Toan -

Với điển kiện trín, nhường trình đĩ cũủ Lương đương:

lcos2x L

J—2sin? x,cas? x _

Ssin2x 2sin2x &sin2x Ị ` ụ cas 2x =; (loa!) Stari swe 0 5 4 e0x2x = 2 (hận) L

seve tome esxestek mike i) a 3 6

Bai 46: DE DU BI! i

{2 —sin* 22w si ax Giải nhưng trình tan” K -ix————

es cos! x

Giải

Biểu kiện casx # Ú

Với điều HỆ n trễ i phưng :rình đê cho 0king đường:

sin'x + cos” ty sia 2x) sin3x ~ n°2x).sìn3x

—©(2—sin 2x) =2 - sin 2x) -sin3x

2 (2 — gìn 2x](1 — 2sin3x)= De 1 - 2sin3x = 0 (vì 2— sin 2x > 1]

> | - 2sin’s.cos’x = (2

| 3x =—- kđm Xe = sinds = 7° ie = s : (ke Z)

ot nen 2 4k2n xa na Bai 47; CAO DANG KINIUTE - K¥ THUAT CONG NGHIEP I

; ` / { xao 3đ=sinx Giải phĩđ tp trình: sỉnŸ [: po |+sin? xi | 3; ` 2 Cit

Phuting inh di cho tufitag diftag voi: Š#/- xím ,Ì 3-sỉnx

sin x~5 ]yn Rey =

tk 3 AI 2

|~os{ 2x +78 1—cos| 28 a ‘ 3 4 3-sinx

> ——— 3 na“=————

2 2 2

<>] ~sinx +0s{ 2x -22] ceoLÍỄ -ay]~0

> Í-ghi-+2ew3MI Aloo

<= 1 = cos2x — sins =O <> 2sin’x — sinx = Ú

x=kx sink =0 1 |, re] SE it (ke #) ere t 5x Xo == tkln tg

L -_ Giải phương trình: cús3x.[an5x = sít7x

; Giải

eu kiĩn: cosSx + 0

Với điểu kiện trín, phưdng :rình đê che tiếng đương: sindx cos3x = sin7x, coshx

= (sind +sin 8x) = 202i +sin12x}

ị eine

=> sinlix = singa => 2 (kc#)

ee 1 ka

20 10

: CAO PANG CONG NGHIEP THUC PHAM

Cy THU MỊTV [NVH Kha+p VIỆ:

3148: CAO DANG KINH TE - KY THUAT CONG NGIIỆP TP HCM

= Ý8sn[x vẽ | #

Với điều kiện rín, phương trình đê cho tương dương:

2(sinx + cosx) = sin2x(cosx + sinx) <> (sinx + cosx}(2 — sin2x) & SỈNX + cosx =0 {2 — sin2x = 0: vO nghiĩm)

= tanx =-1 > k=—2-kn (k eR)

=

Hăi 50: CĐSP 1W TP HCM

_Giấi nhưng trình: sin2x + cas2x + 3sinx — cosx T— 2= 0

Giải

ng trình đê cho lướng đường với:

2ginxcosx + | — 2sin’x + Ssinx — cosx —2 =0 > cosx(2sinx — 1) — (2sÌn x — 3sinx +

[3sinx—~1=Ũ <= i2 (2sinX — 1} (cusx — sinX +L]}= -1 - lị=0< sẽ- duy l8

Leos

Trang 13

Hưởng dẫn niểi 5DET tử côe DIOG Tnần hạ: - Phạm Hầng Danh, Trần Win Tain

ae xo t+kin * sink => = Bs (ke) ce Bân 3 F

* tin — enst =1 coiln[ x5] =sinE ol **5 Phu }

4 = =r+k?m

Bai $1: CAOB ANG KINH TE bất NGOẠI

3 3 ‘ 4

1- Fi sin’2x = {sI1x ~ soax)" <> 3sin’2x + Ssin2x = 0

t

hă

Giải phương trình: sin x + cos”x = 2sin

Giải Phương trình đê cho tưởng đương với:

> sio2x = 0 hay sin2x =—— 5 (los Pr kế (ke #8}

Băi 52: CAO BẰNG KINH TẾ el TCM

Giải phường trình: sin2xsinx + cosŠxcos2x Enea Giải Phukfng trình đê cho tướng đường, với:

]+cosBx

1 1

si K—cos3x]~ g|cox7x +cns3x]=

<> COSK + COSTX = 1 + cOSBX C2 2c054Xcos3x = 2cos24x

nay

0s #x =Ù `:

cđy cös #x 8 4 ke #)

củ§ ‡X = 08 3x kaa

7 Băi 53: CAO ĐẲNG TĂI CHÍNH ~ HẢI QUAN

eae 3 5 Ei

Giải nhương trình: cosX.cos2x.sin3x = sae |

Giải HĂ”

Thương trình đê ca tưởng đương với: 2cosKcos2xsin3x = sinxeosx C0SX = Ú a)

2cos2xsin3x =sinx (2) (Nerxet +ka (ke Z)

(2) eo sins + sing = sinx eo x = (ke #)

4 Cty TNHY MTV OVW Khang ig Mig

'Viến để 2:

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÂC TRÍN MỘT MIỄN BE THI

_ Thai nghiệm thuộc khoảng (0; 2x) cia phuding triah: ` 4 ầ cos3x + sin3x

8jnX ! —————

1+2sin2x )-sosax+3 Giải

iểu kiện 1 + 2sin2x #ñ (1)

với điểu kiện trín, phương trình đê cho tương đương với: h S(sinx + 2sin2xsinx + cos3x + sin3x) = (cos2x # 3)(1 + 2sin2x)

<> Sfsinx + coax — CUS3K + c0S3X + 5E13X) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x) 42 5(25in2cosx + cosx) = (cos2x + 3)(Í + 2sỈn12X)

€2 5cosx(1 + 28in2%) = (c042x + 3)(l # 2sin2x)

Ẳ© Seosx=cog2x+3 (Vi | +2sin2x #0)

3 ket +kin(k #)

VÌ nghiệm x thuậc khoảng (0; 2x) nín x =f wx= =

Tim x thuộc đoạn |; 14} nghiệm đúng phương trình: cos3x — 4c0s2x + 3c0sx — # = 0,

Giải

Phương trình đê cho tương đương với:

_ 4oosÌx- 3eosx—4 (2cos'x =l} + 3cosx- 4 =0 © 4(cosÌx— 2c0sˆx) =( œs co§ˆx (cosx—2)= 0

xe (0; 14] nĩn x= ze gah a ge ha

iuử*n dẫn ziải CODT ty cae FTOG Taôn lọc - Phan Hổng Danh Trƒn Văn Teôn

vˆ Vấn: để 3:

ĐIỀU KIỆN CĨ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÂC

+ Sử dụng câc nhưng phâp thường gặp như trong đại số B DE THI

Bail: DE DUBII _

Xâc dink m dĩ phudng tinh 2(sin*x + cos"x) + cos4x + 2sin2x — m = 0.06 ít nhất

mal nehiĩm thide doan |9 zl

Giải Thương trình đê cho Llướng đương với:

341.—~ 2êin x.cosˆx) +L— 2sin 2x + 2sin2xT—- m=0

#

o 2[1-Zain?ax) = 1-2sin? 2x +2sin2x-—m=0 © -3sin 2x + 2sin2x + 3— m=0 (ny

Đặt L= šsin2x Vìx E E H =0=z2xsx=0#4sin2xsi=>0s4t<l (D«€-3ỈỦ+2:+3=m Đặt f(Ù = —3Ú + 2L + 3 (2/0t£ Ì s f()=-fđL+2 sfgs0etz rest s Bảng biến thiín

=- Nhận xĩt: (2) lă phương trình hoănh độ giao điểm của đường thẳng A: y =m vă đường cong (C) Từ đó {1) có nghiệm x ¢ |> 4

ee AVA(C) cd diĩm chung 25 ins =

lùi 2: ĐỂ DI BT 1 a 2ainx beosx 11

| Cho nhường lình ————Dp=A sink 2easx+3 ẲÌ) (a JA tham sấ) Giải phương trinh (1) khia = :

ý Tìm ơ để phường trình (L) có nghiệm,

Oty THHH TY EVVH 41ang Việ

Giải

“Tập xấc định của phương trình (1): D = IE Do đó:

(1) > 2sinx + cosx £ Ï = atsinx — 2eosx + 3) aa 8)sinx + (2a + l).cosx = 3a — |

h ana (1) ¢> Sains + 2 e08% = Oc sink+cosx =0

_©šilX=—cosx lănx =—l Œ»x =" +kn (kelR)

(2- ay + đâ + |) + 0 nín diễu kiện vần vă đủ để (1) câ nghiệm lă

((2— a) + Qa+ 1% 2Ga— 1) 6 2a? -3a-2506 _ BAI TOAN VE TAM GIAC

A PHUGNG PHAP GIA!

để lă điều kiện dấu bằng của bất đẳng thức

Hệ thức trang tam giâc cần chú ý

ñ Binh li ham sĩ sin: ie eh Ot 2R F sinÂ sinB

% Dịnh lí hăm số cosin: a” =" +¢7— 2becosA; b’ =a° +c’ — 2accosH

esa? +b? 2abposC Bod haat » Định lí đường trung tuyến: m = ——

2he, Os t- Đình lí đường phần giâc: |, = b+e Ĩ Diện tích Lăm giâc: tỏ hệ thức 90 91 92 93

‘Hugng din gidi CDET tl cho DTOG Ton hae ~ Phạm Hồng Farh, Trấn Văn Toăn Oty TNHK MTV OVVH Khang Việt Hưởng dẫn giải COBT tt cdc ATAG Tain hs — Pham Hdng Bach Trin Wie Tadn — Sty INHH MTV DVVH Kharg viet

S=-ah,= - absinC = =pr =(p- als, =./pip a Bereta -H){p — hp -c}

a A B Cc

F Bản kinh đường tròn nội tiếp: r=(p- an =(p-b)lan z ~“ín- CƯ

sia A

g Bin kinh đường tron bing tigp: r, = p.tan a

B.ĐỀ THI Bail: DE DUB! 1

Tìm câc góc Â, B, C của tam giâc ABC để biểu thức:

Q=sin’A + sinŸB — sin'C đạt giâ trị nhỏ nhất, Giải

Ta câ: Q= mủ ~e0s24} sau ens 2R)~ sin?

= 1—cos(A +B).cos(A —B)—sia* C =1—cosC cos(A -—B)-1 + eos?

= cos’C + cos® Cos(A-B)

= [ses gona -»)} ~ Sco? “AH -bye-+

ASE lệ 120"

Es l

NHI ha 4 cosC =-— A=B=30"

2

Bai 2: DE DU By 2

Xâc định hìab dạng của tam gide ABC, biết rằng:

(p—a)sin? A4+(p—b)sin? B= c.sin A.sinB

Tứnng đó TC “ú,CA“U,ABEe, phe - a

Giải

(p- ajsin?A + {p- b)sin’B =csioA sinB

<> (p— aja? + (p - b)b? = abe (dinh ly ham sin) vẽ (n-a)a ` (p-h]b a pÍp -a}a „0đÍp-b)b_

be ag be qC -

Ầ ô(] # josA) + h(Í +ecosB}=a +h+c <2 âc0sA + bcosB =c

&Ằ sin2A + sin2B = 2sinC > 2sin(A + B).cos(A — BH) = 2sinC

& cos (Â - B) = le» Â=B @œÂ ABC cđn tại C

94 _ Xĩt tam giâc ABC cú độ dăi cạnh AB =c, IC = ô, CA =b,

_ Tính điện tích tam giâc AC biết rằng: bsinC (bcosC + c.cosR) = 20, _|

Giải a

nh diện tích tam giâc

“Từ bainC(b.cosC + ccosB) = 20 ˆ @4R®xinR,sinC(GinBeosC + sinC.cosB) = 20

ee AR sin B.sinC.sinA = 20 ú)

Tạ có: 5= ~ tbe _ 8R ` sinA xin B.sinC _ 452 sin Asin B.sin€ (2) (LD) vdo (2)-> § = 10 (dvd)

ix, y, 21a khodng edch wy câc điểm M thuộc miễn trong của AABC 6 3

gúc nhọn tiến câc cạnh BC, CA, AB Chứng mình rằng:

ee

Vit fy vis S" Diu *=" xy ra khi nao? a fa, b, ¿ lă câc cạnh của AADC, R lă bân kính đường trịn ngoại tiếp),

Giải a2+h?}+e? a c eT Zip +t 2K 2R 2E 2R =VP=asinA+bsinB+csinC = ote es p9 + — ab be ac 2 4 28 23 | +3 ~9( 4 Bec aby 1 khâc 1a có: 25 = ax + hy + cz„ do đố: : av+h* +e “——————-=(|ix+ht 1z] —+—+— 2 90x12, (2 b ôâ | op ty Fee a (D

Nó + bye -z({t-¢ ~—l*+ (fas —+-|+—l|~+— lýa bì

bổ ac "ob 2a 2h" 2c li =| 3 = ` N.:.:.-.', th? ee ©’ be ac ab a b eh 2 1 z) bín h c) xi ft ux + gree = =(œ+&+#Ÿ a2 +h?+t? ofl 2R

sei =fax 4 by teal Suy ra: wx vŸ izes lu An: wee VY oR

By Soa eee oe pees i

Dđu “="xảyra c?+ 6 bo oe a hb a - S

avi - by =eve A=Y¥=Z M : trong tim

Bai 5:

Goi A, B,C 113 góe của tìm giâc ARC, ching minh ring dĩ tam gitic ABC

đều thì điểu kiện cẩn vă đủ lă: |

SA 20 ic L Â¿R_ B~GŒ_ C*ÊA

cas” —+ cos* — + cus" —-2-—cos củô cos —— 2 2 2 4 2 3 2

Giải

7€ sđ= BH B=C C-A

Ta cd: cos? AL cos? S cos* — —— tus

2 2 5 3

es -C CRA

= 4cos? a +408" S +4cos* Ko 8=coœs = Bg chs * 2 2 2 2 2

©2+2cosÂ +2 -2cosll+2+2ensC - B= con AP egg BE oy “A

AE B-C: €C-A

` ¿ 2 2

nh A-B B-C C-A

ôđ Rsinsinsin = cos £08 ———— ons ——

2 2 2 2 Nhên hai vế chủ §rus lens E cogC

2 2 ie

<> SsinAsinBsinC = (sinA + sinR)(sinB + sinC)(sinC + sinA) 2 sinA =sinB = siaC (Cauchy co VP 2 VT}

? A=B=CAABC den,

ĐẠI Số

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

A, PHƯƠNG PHÂP GIẢI Ban = A=R™ 20S bes B20 (hayA > 0) A=B : aA = 2T A<B A= 4 vA+vR = JC = {B20 (WA + VB) = E Azn BEO0 C © ‡C>u (va + v8] =œ (dine N*) (vớin e N”} (vớin e N”) _ | B ĐỂ THỊ phương trình: 3/2+x—6V2—x +4V4—x? =10-3x (x eR) Giải tu kiện; -2 < x %2, t=3/2+x—642—x Em # Ề=9(2 + x)— 36 J2+X)(2—x) + 362 - x) = 0/10 3x — 44x? )

Phin fdng trình đê cho trổ thănh [— Š =©L= ‹ sễ 0 hoặc L= 9,

Yđit=0: 3/2+x—6/2—x =0 © 3/2+x=6/2-x

$3 9((2 +x) =36(2~ xỳ => x=t (Thĩa diy ki@n-2 <x =)

Voit=9: 3/2+x-6y2—x =9 eoaJ24x = 62K 490%),

BS zs 3V24% 1

Trang 14

Hưởng dẫn giải EDBT Từ câc ĐTQG Tzân hos — Pham Hồng Danh, Trản Vô1 Tăn

? 6 Way phuteng trinh đê cha câ mật nghiệm x ms Câch khâc:

Đặtu= V2+x vă v= ¥2-x (20, ¥ 20) th:

e uve đa? ae

aia awed? =10-3xvau tv ad

vì=2—x

*ụ ~6v+4uy = + 4v2 iD

Do đó phướng trình đê cho trả thănh Boe 2 uˆ+vˆ =4 (2) (1) © 3u ~ 6v = tr” + 4v” — 4uy o> 3(u — 2v) = (u 2v)

ôâu-2v =Dhuc 3=n— 2y

4 4

« Vđiu=2v thể văo (2) ta được vŸ Sẽ ~ veo hy

frie 3+Y=— 6

Suy ra: exes arma 2-x=-

: v3

« Vớiu=3+2v thế văn (2)1a được (3 +2vJ) + VỆ =4 ©s 5VỶ +|3v +3 =0

Phương trình năy vơ nghiệm vì v = (1 Bữi2: ĐẠI HỌC KHÔI B NĂM 2010

| Giải phương trình V3x+] - fo—x +3x7 -14x-8=0 (xe R)

Giải

Điều kiện: ¬ Sx s'6

Với điểu kiện -5 = x s 6, phương trình đê cho Lương đượog:

(vax¥1-4)+(1 (=x) +(3x? -14x-5] = 3x-15 4 x-5 ————-— -:(‹-3\3xz+l)=0 JAx+l+4 I+x6-x ( 3 -§=0 hay ———r -Gx4+H=0 = Yetta, Leb Nhận xĩt: x = nín 3x + Í > đ

3 mee eT =đ vơ nghiệm I Du đồ —

vầx +l+ 4" l+v6-

Vậy phương trình đê cho chỉ có một nghiệm x = 5

Cty TNHH lẬTV DUVH Khâng VI

Hải Ô: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009

Giải phường trình: 2Ÿ3x—2 1 3V6—5x—§=0 (xe) Hă Giải

Yin 72 vă v=vV6=x,v>0 (9

Điều kiện x < K: Khi đó đặt u =

3 u =ôx-2 l Tay, = 5u>+3y? =2 v =Ĩ-# 8 Thương trình đê cho trả thănh hệ: _8-2u t ae j3 g.`a o > 3 ee

Su" +3Ơ =Đ8 su + = amy ak 8 ie Ra ius 5

&-2u

3 ©u=-2 vă v=4(nhan)

(u+2)(15u? ~260 420) =0 ; dt tú

Tuế u =-2 vă v =4 văo (*), lă được:

W3x—2 =-2 TT -8

vê§-5x=4 đ~5x =l6: ly nhương trình có nghiệm x = - 2 : ĐẠI HỌC SÔI GỒN KHÔI D NĂM 2007 Í phương trình: 3x? — 5x +10 =5x-x2

k Giải

“ĐỊtL= vx? —5x+10 (với z0} suy ra =x”— 5x + lÔ €> 5x - x”= 10 —Ỉ t=~5 (loại]

t=2

Gare oc (nhận)

“Phương trình đê cho trổ thănh: 3i = l0 —IỄ «3

[x=3

Lx=2

i$: CAO ĐẰNG TĂI CHÍNH — HAI QUAN NAM 2007

didi phương trình: ¥3x+7—vx41=2 a : | Giải y Vay Vx" -Sa+10 =2 © x°—5x+ lũ=4 2 2 Điều kiện: x > -1

“Với điều kiện x >—l, phương trình đê cha tưzng đương:

09

Hư#ng dễn giải DBT tỲ sâe OTOG Todn hoo — Phạm Hồng Dach, Trin Van Teadn

x47 =x 4142093 t7=x+5+†4v/x+l x=-l

ôâx+l=2vx+l @(x+ Dè =4(t+ belt (thda x > —1)

Băi 6: PAT HOC KHOI D NAM 2006

Giải phương trình: v2 =1+ x°=3x+l=0 (xe E),

Băi 8: ĐỀ DỤ BỊ 2 - ĐẠI HỌC KHỔI D NĂM 2006

Ï Giảiphương trình k+2V/7—x =3/6-16V x?+8x<27+T @elE) Giải 2 tee 0) Cen = 1 exe ‘ Bjtt=v2x 1 2 Phương trình đê chơ trổ thănh: 1 —41? + 4t—l= 0 + @-D2+71T-1=0 @ t=l, t=v2~—l (nhận?

Vdit=1u có xe1, Vớit= vÕ —l, bi g=2— v2 Vậy phương trình có nghiệm: x = lịx=2~ 2 Băi 7: ĐỂ ĐỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHO1B NAM 2006

Giải phường trình: v3x—2+x/&~1=4x—9+2v387—5x+2 (1)

Giải ˆ ĐặtL= Vax—-24Ve-1 (120) suy ra tỲ=âxS—3428J3x”— 5x +2 ca 4x +2(3x2 =8 +2 — (2 +3, Khi đó: 1==2 (oại) NT ee C)trĩthinh: t= 6 t-t-6 se (nhđn) Khi đó: (1) © v3x-2+vx—l=3(9 3x-220

iễu kiện: axel fe

Biĩu kiĩn: Tin (a) Với điều kiện x > 1, phương trình (*) tương đương:

3x—2+x~ 1+ 2V3x-3x-l=9 ©v3x-2vx—l=<6~2x

6-2x>0 -

(3x-2)(x-1)=(6-287 ” x? 19x +34=0

xed

c xế +>x=2 thoê điều kiện (a)

x=l?7

Vậy nghiệm của phương trình lă x = 2

Giải ] | TrxeG meee rien x-120 oe 1Sxs7 i +8x-—720

'Với điều kiện | <x <7, phưang trình đê cho lướng đương:

a= Leave Leavin - (x-1)( (7-x)}=0 _ Etw THÍ: MTV Dự/H Khang V7 es ix I(ve=1 -2)~vĩ fi=x(vx-1-2} =0 œ(%%- ~-2)(dx~1 -?-x)=0 MU a | es = | iad vi-x [x=4

BALHOC KHOI D NAM 2005

ai phutung trinh sau: 2Vx+2+2vVXrl—K+rl=4

Giải lẩu kiện: x>— 1

hương trình đê chứ lương đương với

by CS xê quí am nu

Ï 2\({vVx+ï+1} ~vx+l=4e2(vx+l+l]~vk+I=4 ‹- @vX+TI=2x=3 (nhận)

Ũ: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005 phưfng trình: 3x =3~—v5~—x =⁄2x~4 (1)

Giải 3x-320

S-x20 @2sxs5 (a)

'|2x-4>0

túi điều kiện 2 <x <5, phương trình (1) tương dương:

X3 1= ⁄J2x— J2x-4+.J5-x

=) 3x3 =2x -445-x4+2f(2x —405—x)

Kx — 4)(5— x) — x -2 ¢> (2x ~4]@ — x)=(x—2)? + (x — 2)[2¢5 ~ x) -(x -2)]=0

?X=2yx=4 thda diĩu kiĩn (a)

Hướng tần giải #ðET từ câc D06 Tnân Học _ Pạm Hồng Danh, Trấn Vận Toần

Bai li:

[ Chứng mình rằng nhưứng trắnh sau có đúag miệt nghiệm: 75x

Giải Tacdx’-x?-2x-1=0 (D

(be xÌ=(x+ l)Ÿ = điểu kiện xz 0

Vâi 04x <1 VT« l vă VPzl= (Ú võ nghiệm

Da dĩ chi xĩt x= 1

Mĩt fixp=x"-x?-2xn-1, Yee |

f(x) = 5x4 2K - 2a 2x (x? -1)420'- exe 0, Vee 1

Dodd fx) tăng trín [1; +m], fliĩn we

Vă £1); (2)<0 nĩn f(x) =O luda có nghiệm day nhất,

Hăi 12: 5 Giải phướng tình: Vx+ 4 1 vx—4 =2k—12+ 2x2 —l6 | Giải NT uy ng -4>0 « DịLL= Ma+4+vx-4 (>0) x>?f=2x+ 2VX” —l6 t=# t=-ô tleại} = Diểu kiện: P x Phương trình (1 trở think: 7 —t-12=0 =|, + VdiLe4: (14+ Ô~4'=4cx2x+ 2ÀX2 — l6 =16 vă x>4

yx? -16=8-x waxed ene on

Ovi = =8-x VAxS4e

: |a?—I6-(8-x} x=5

BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

A PHƯƠNG PHÂP GIẢI ¥ Van dĩ 2: B20 LWA SB Oo 4A20 AsB ae B< 90 B20 2 VĂ > Be 3 Ti ed B ah > Ve ee [PPE °-2e-.1=0 |

Huệi ~ vị Cự TNHH l¿TV DVVH Khang Viet

B, ĐỀ THỊ KHOI A NAM 2010 x- ve Giải bất phương trình: —————————> Ì 1¬ 2(x?—x +1} Giải Bại 1: ĐẠI-HỌC

"Điều kiện x > 0 Khi đó:

——

i, x-vx ses Move a by yee? al) 0(*)

— 1—/2tx=x+l) I—3/2(x?—x +)

xĩt:

z

Biu st 1- (200 x - vated *3]s1- Bea

Do đó hất phuting trinh (*) id thanb: : ee | x=x =lI#+J2(Ì=x+ 40 © v2) —x+l)£-x+Ă+l [-x~ +120 c [20 ~x+l)s(=x+xê +IŸ r ay xiv + —l1g1-x+0< +A+l- anv -2x+2Jx 2tX+1z9 —x+xx+lz0 x Figg] +2xvx— 24x =0 (x— HỆ +2vX(x—l)}+x sũ a [atk +120 = -xo ve 4120 2 (x-l4vxƠ <0 xơl+x#=0 Tă x)+1>0 Osxsl - x=(I-x} exe! one canis

ay n oe x? -3x+l=0 xu 2

2

ch khúc

Hướng dẫn uiôi ETET tử câo BTIG Trấn hục ~ Phạm Hồng Danh, Trần Văn Toăn

vế tlesx-sz<l-JAGi-x+l) (9

ae ee x=0;(D khong thda

x>: Chiu hai vế củu bất phương tình (1) cho Vx ta dude aoe = A L ] — jets an 2a] =(*+z-!)* —xx +] vê ie Ý "Mi sơ: ‘patter leer 42 vx x tze1 1L) ưrở thằnh: J3 +l] st+1©>

tí tơng Thanh

m1 —44+1s0 leit <0 HT ete] Do đó; —xx=lx+wx-l=0 sẽ de eee a -t VS ` âc _ : een 2 es ¥8 ; vane (oa) Bai 2: CAO BANG KHOI A, B, D NAM 2009

oo ~SV'5x2 +100 41 5-36= 5x? 4 10x41 (4) par tavox2+loxs1te0 td thanh t+ St- 3620124 (nhận) #t<~9 (loại) 124, la có: W524 104124 >x ?+2x-3>0

+>x<~3K> 1 (những giâ irị năy đểu thỏa điểu kiện (*)},

14: CAO DANG BAN CONG HOA SEN NAM 2007

x2 ~4x>x— 3 (l) ty TNHH MTV DVWH Khang Việt Giải ?ụ kiện: x”— 4X>0€>x<0Vx>4

Trường hợp l: x— 3 <0>x <5: (9 đứng so nh với iễu kiện được x £0 dùng hợn 2: x >3

(1) 6x +9eox> 2

luận: ughiĩm x $0; x > 2

Š: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005

giải bất phương trình: x5x-~1—-vx—l>x2x-4

| Giải bất phương trình: vx+l+2vx—2<+2/5x+l (xel#)

Giải xx+l~2vx—2 sv/5x+l x>2 xB2 ee > v(x~l1)(x-2)<2 7 |x?-x-6<0 Ầ© > [2exe3

Rai 3: CAO DANG KY THUAT CAO THANG NAM 2007

25x53 | Giải 3x-!>0 Biểu kiện: x—-lxzšŨ x22 - 2x-4>0 -

Chí đâ bất pluking trình đê cho tương đương vi

x5x~1>x2x—4 +x/x =l©5x-l>2?x— "."-—= “S^x+2> v(2x —4)(x —1) œx?+4x+4>2x?-6x+4 ee Tan ray gg

Giải bất phương trình: đất vi0x+Lšƒ—b kể, qŒ) J Bes x? 10 <0 0<n<1D

Giải Kết hợp với diễu kiện ta có:

Vx? 410K +127-2x-x2 2.$x< 10 lă nghiệm tủa hất nhượng trình đê cho

Điểu kiện để căn bậc hai có nghĩa lă: lũ: DE DỰ DỊ2

Trang 15

Hưñng đẫn giải CDBT từ câc ĐT36 Tuần học - Phạm Hêng Danh, Trắn Văn Tuần

1 cede 8x” —6x+l >0 : 2 c=44+x-l>0 eS are 2 2 8x" - 64 +15 (4x—-1) 8x2 2x 20 ae vn Si = 2G vă t2, xsllwx>— 4 Răi 7: ĐỂ Dự BỊ I | Giải bất phương tình: v2x+7—=v5=xzv3x-—2 (1) Giải f2x+T7>0

Điểu kiện +5- x >Ø @ exes (a)

(3x-220 )©V2x+7z>J3x-21V5 x

{>> 1x+7>23X-2425-x+32VJ3X-2V5—x

©43x-25—x <2 œ(3x~ 2)(5 ~ x) <4

eo 3x? - l7x+14>0©x<lvxe

So vdi diĩu kiện (a) ta có nghiệm ĩs x<l hay Bex <5

‘a “-= 2x?—3x—2=0 v | x25 cœ (ea 10—-/34 <x<10+ v34

Gty THHH MTW [IVVH Khann Việt © xz10-v34 1 xe -= Vx? Vv 2 (x? 3x} 2x? —3x=-2z0 xs ~ 5x >z3vwx=2 Ễ Giải bất phường trình: vê L+jx +1 <4 Gktt 2x? ~3x—2 >0 x?-3x>0 xe; SE vxe2'" xĩU v x33 : CAO ĐẰNG KINH TẾ TP HCM Giải x21 Hn x2] - ⁄x—l+vdx+l<4e> = = .” {aie vs? =168-x

Huông din gil CCBT ti cic BTOG Todn hoc = Phải Hẳng Danh, Trần Vấn Tan Dx x.— bd DY oD Nếu D #0: hệ có duy nhất nghiệm: Nếu

Dx #0 ¢hotic Dy #0) Nếu: l3= Ix = Dy =0: hệ có vơ số nghiệm

Kx y=0 a y= fly, x) atx, y= 0 2%, ¥) = aly, x) ết co : hệ võ nghiệm

Dụng 2: Đối xứng loại |: {

s=

Đặt {Bruty (điều kiện S? > 4P) [P=xy E(S, P)=U FES, P= 0

Khi đó x,y lă dghiệm của phudhg tinh! X?-SX+P=0 Ï{x, y) =Ũ rt) fy, x) =0 (2)

"Tu được hệ: { ta tim được S, P

Dụng 3: Bối xứng loại 2: {

ae yon (Ù

Lấy (1) trừ (2) về then vế ta được ; (y - x), h(x, y) = © { ĩ yx) ¥) hes, yO, (b)

(a)vă ()

{b]vă (1)

Dạng 4: Hệ tổng quât: Thường biến đổi dể nhận ra ẩn số phụ, sau dó ding

Kết hơn:

Cty TNKH MTV EWVWH Hang việt

lcó:0)—y =: (Vĩ x =0 không lă nghiệm) thế văo (1) 1a được:

jj 5 xê ð i ae sx(2 -4x(4) (4) -2/x-1}-0 x) x x he oo x44 32x20 oo 3< 54-T=0 © 3x =6x2 +30 x = + “4 x x 2 Alo yo 2 ix-1) =|" sl ns : x=-l>y=-l 5x ?y~4xV?+3y7—~2(x+y)=0 ứ hae tere (x+y) a)

’ x°+ty =2 (4)

nể (4) văo (1} ta được:

yes 5x7y —dxy? + 3y" (a? +y?|J(x+y)=0

-.ˆ

X.‹: zx fx) ies 3 “— 4l SH PHẾ =0 (*) (Chia hai vĩ cho y?# 0)

r uy T ¥ ti = s: Phương trình {®) trở thănh: “4t? —5L£2—tỈ =0 © LÝ — 4 + 5L~2—= 0©(t— ĐŸ(t—2)=0 @t=lhayt=2 L (*)© Ễ =1 hay Ễ =2 : ' ¥ Y

Hăi: ăi ị : mm Aexss 2 phương phâ|› thể để giải tiếp, CẢI Hý : i <= Lids sib trường hp 1,

2x” -l8 = Í 3

Jaa frre TEE +248—-x>0 = 65 @lsxs— B, BE THI

Giải hất phương trình: ———— tvx-3> = | bo 16 ms ss `

R EU TDU vx-3 x?—l<x” -1öx +64 Mr ị Hăi 1: ĐẠI HỌC KHI Â NĂM 2011 \ ere viox? +y? =2 ta duce:

Giải 4 ý „mm s sg Ee ee A) ay | d0 2v19

vs x>3 Vấn đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH Giải hệ phương trình: Nga ieee: om (x,y eR), ) : TT Ta ~¬

pidu kid lều kiện hele ab * — Ai i” * pd : A PHƯƠNG PHÂP GIẢI ho cik allay an : ; aad yJ +y =2«>y =—œ 5 Re 0, Sa) : 2zi0

hủ 4 ng ————

` ` 3

_ : +Bịiy=C - eas 22,2 Si EU xế h

Bất phương trình đê cho tương đương với ; Dang I: ee „ Với A† +A3 +Hƒ +Bị #0 Ta có (2) coxy(x +Y *? x ty r2y Ÿ bạ phương trình đê cho có 4 nghiệm:

(fs oy igs ae gk + Byy = C2 Eid mẽ a

(2Ú -16]}+x-3>7—x © (2C ~16) >10~2x i a(x? #9? (xy 1)-2(xy-1) =0 „.20 [ 2V10

Lđp: D-| 1/2 A,B, - A,B; 2 (xy-1)(x? +y? -2)-0 ony stunt ay? a2 i ME, ae a

ee aes Az Bạ : : ek” sek ede "| vi

2 De _ax\Ÿ Ị ¬ Ay cy | 3u ask a a ng an

x'-1620 |2(x?-16)> (10-2) 6) oP leo, es Đ, | hỈAes-Ase, a `8

IC, By * |Aa Gz xy=l (3)

oy 107 I4

Hướng dẫn giải CDBT từ câc BTQG Teản học - Phạm: Hổng Danh, Trắn Văn Toăn =“=—= so at TNHH MTV DVVH Khang Vist HuShy dn gill COBT tir cae BTOG Todn nae - Pram Hdng Lanh, Trần vô+ Toăn iy Gty TN5H FAT/ DVVH Khaan Việ

ăi 3: ĐẠI HỌC KHI A NĂM 2010 & Sai 3 ; a

- — : — = Way nghi¢m cia hĩ phedng winh la fx : hay {* 3 rn Giải Ôiiyn ae al bosall (4x? +x +(y —Jy5-2y =0 (1) iy=-l ly =7 Biểu kiện x œ0 Vậy: 2 2X) 3 Giải hệ phương trình: |, - & ys ER) ; s : St v0 D34 SN aid yess

4x +y +25 ~ 4K =7 al hi 4: DAT HOC KHÔI B NĂM 2009 HỆ đê cho tương tưng | 5 Nhi ng (9 wes xe 3

Giải F ghen tt 1®? (x yen) a ee [ Bì ỳ

di 3 pax Le \ xđy? +xy+l=lay? `” j Đặt L= x(x + y) Hĩ (*) wd thanh: phương trình có 2 nghiệm lă: | i 5 | vă Í: = |

Điều ĐỀN Ghiệ v/PEEMUm DA PYỀT Giải Fti+x=3 l+a=3 trx=3 x=2 fo ` , ` + > aang o v _= c

Pliưdng trình (1) trẻ thănh ut + 1) = ¥0¥ +5 ~ yu 2 =¥ 2 -¥ 2 ie 1 +l}=0<su=v } _Vi y=0 không thỏa mên hệ đê cho, nín : waged icici? vE choy) lữ +x! =5 i x 3 (+x}~20 =5 : x=l wae x=2 = iat Ta oT a KH ` ey! Ngộ] £45 = ; ` = = x”+2x!y~xÍy” aS Myre ee =2x+0 &'v£®Ð

Ỉ° v = v r+ =6x+

ee Hệ đê cho lương đương: ‘ P{sm+y=l Ý [aœ+y)=2 yŠ nal — oe:

Nehia la: 2x = yJ5—2y e3 5 yoo 2 : - 1 * x74%4— 213 (chia2vếchoyŸ) y ¥ | Băi 6: ĐẠI HỌC KHỐI Â NĂM 2008 Ð 4 ; s Giải bệ phường trình: { „ / BG FOE ad tera g Lí về he mă (x, yeR)

“Đặt a=x+~; b=^ X +y+xy=xÿ ty =~T X” +2xy =6x+6

7 Phương trình (2) trở thănh 2 -6x?+4x'+2V3— 4x =7 9)

ee ga ES ay tee one] Xĩt bam sĩ f(x) = 4x" — 6x eh heads iin Độ

4 (\x)=4x(đxÌ`—3) ——— <0 F(x) = 4x(4x° — 3) Tn <

ae 1

Mit khac: (5) =7 nĩn (*) cd nghiĩm duy nhất x = > vi y= 2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = : vă y=2

Băi 3: CAO BANG KHGI A, B, D NAM 2010

2x ty =3-2x-y xÌ=2xy =y? =2

Gidi

Giải hệ phương trình: (x,ye R),

„ Điểu kiện: ?x+yz9 (*} wỈ~2xy-y`=2 — @

(D2 2x+Y)+2//2x+y =3=0 © J2x+y =1 hay j2x+y =-3 (nạ) {>2x+y=l«»y=l—2x(3)

Thay (3) văo (2) tâ có: xÌ — 2x(1 — 2x) — (L— 28)° =2

©1C+2x-đ=0€x= Ihayx= 3

Khi x = 1 thiy =—1 thĩa man (*)}; khi x = —3 thì v = 7? (ihda man (*)

oo =3-2x-y (I) 1ity T7

Í§: ĐẠI HỌC KHỔI I3 NĂM 2009

“Tacó n= wed Shar et tư ax =k + ah -2b Y yy y “Hệ trở thă h nib=7 at+b=7 u-b=7

: n = c>

a’ -2b+b=13 a’ -b=13 a? +a-20=0 = and Hi” : ped baz”

Ỉ ta hoe x+—=-5 Vậy » 7 hay a

—=3 —-=l2

y Y

ae - = trì ae x saan - Yòg +ẵx +12 Đường) x=% (x=l2y

x=l

c 1 hay ae

“3 y=

HG 06 2 nghigm (xsy)= (1s) Gy) = Gi D

“Giải hệ phương trình [ Họ xÍx+y+T)-a=0 Aa se (a yeR) | Giải hệ nhướng trình: Š

xỶ+yˆ + xy(l + 2x)=~2

Giải

2 2 3 : x+y +ny(av + y) 4+ xy =-— Hệ phương trình đê cho tương đương với : ‘

tx? +y? grant: 4 wipe @) ĐặLu = x+ y, v = xy tạ có hệ: 4

2 3

u đă F (2)

Lấy (2) trừ (1) vế theo vế Ia được:

=ũ uẺ— u—uv=0 œu{n S- 1—v}=0< fe

yeu 5 «Ằ Trường hợn 1:u = (thay văo (2) = fer

A x?+y=U y=— xi kh: seo ự vi? = 2 KH) =2x+9 xy =3x43 Ệ 2 x=0 ox’ 4+ 12x? 448x7 + dx = Ooo x(x ¢ 4) sO x=—4

- x= 0 không thỏa mên hệ phương trình By 7

ae eh ễ th os

ệm của hệ phương trình lă; Ki)

2 B ĐẠI HỌC KHỔI D NĂM 2008

[xy+x+y=x?—2y? |

Giải hệ phương tình: + 7 (x,yeR)

b (XvV2y -yvx—l=2x—2yY

Giải

` ' =x!-zy!

Mệ phương trình: {"Ÿ 5 TY - a eyed - XJ2y —yvdx —Ì =2K—2y (2)

a ¬:!

Ban Da

-(]ÌSxy+y +x+v— GỞ— y9 =Ú

Vậy nye 5 vad “c> ma)

16 © TruGag hop 2: v= u— 1 thay vio (2] La được:

Paves wh Bess: Ley em

©vfK+vì+x+v—(x+yXx y}=

113

Trang 16

Hudng dẫn giải GĐBT từ cấp BTGG Tan học — Phạm HỶng anh, trần Văn Tcần ¬ =— eee ee Sty TRHH MT OVW Khang Vig Hướng đần diêi CDBT tít cấp BTOG T3Ón học - Phạm Mống Banh, Thin Van Toda —- : Giy TMHH MTV DVVH Khang Việ

b Ostsll Oetsll Giải h : DỄ

=(xty)2y-x+l)=0© ese #z5y +1 oi ac? +te4=(1=02 — [3 +26t—105 ; xa uốn si 3 ®@1=3 =0 ĐI u =X—}, V= Xỹ r “=- ee iƠi hệ phương trình; + VÝ Vas eye -Ja+y =1 eas mm

+ Trường hợp l: y=~x, Do điểu kiện y>0=>x <0 loại “Vdit=3 tu cứx+y =6, xự =0, ị _ gee oe pe 1 since ra l3x+2y =4 |

* Turing hgp 2: Thay x = 2y + | văo (2) ta được: 8uy ra nghiệm của bệ lă: (A: y) = (3: 3} _lw=zu e0 |v-2 Gửi

[[y=I Í DỰ BỊ ! - ĐẠI HỌC KI A 2 ——— -~—

(2y + DJ2y —yv2y =2y+2 2y 4 l)J2ÿ T— =2y+2 © (y+D(V2y =2) sal? 2 =y=2 : y=2]= = = ` ene ag cafe ae i as te a ee te Điều kign: x+y 20;2 i lín: ;2X+y+ [>0 (* 120

ene ` v>0 Gii kệ phương ph TT” H+ yy +H) Ay (sv elk) Jv=u =O (2x+y+l)+(x+y)=5 š ‘i “

RIE (x? + Dy +x-2sy : =1 x72 x=-l h TEEN Đi

Vậy hệ cú nghiệm x = 5: ÿ =2 căi ia o ke hoặc — ‘Ditus f2x+y+120) veyx-y20

Bai 9: DAL HOC SAIGON KHOLA NAM 2007 7 ae i ANH Băng u, =2

“xế L tl= Fy - —v= & 2

xÌ=<2y+x+2 = Xĩty = hệ nhượng trình trở thănh : vỗ nghiệm ! TH: DW BLT” payee = seater ad đệ trủ thănh: | 2.2 ,@ | (y= > ty Đ ree

Giải hệ nhướng trình: < txŸ + D{x~2)=0 +y?+xiy r4 ; uU+v =3 , |x+y=l yer

Ui ebsb yee Ghi aid + Xĩt y #0, Chỉa 2 vế của hai phường : Chia 2 vĩ Ỉ của bai phường trình trong hệ cho y ta được œ ưdrig trình trình trong hệ cho y tad ; Gi pcg a ; phi xÍx+y+l]~ I}~y(y+1}=2 s6 = | thổa mên r {*) nếp lă nghiệm) e es

SE: x 8 eumk Gidi

xo =2y4x42 X =2y+x+2 ảnh để

Vĩ a = ) a) Hệ phương trình đê cha tưởng đương,

1 = eH x xy hy |=—(a-y¥ 2 Ẫ X-=x>y-—

Y =2ê+y t2 ( 9 Ì ( 5 đu 2=l x°+yf41x~y-4=0 a a) Giải hệ phương trình x y Y

w

đo -3y+x+2 (0 " X °+yf+x+y+txy=2 xy —-2 2y=xŸ+I

x +l +Ơ=2 =| ơ

io › Vive ee <a : of * beS=x+y,P=xy Giải

TT Q I lì =2y+x+2 tr) "TW 3 3 ‘ P : = (thĩamatn sẽ 2 4p) Điều Điều kiện: xy # 0 Hệ phương trình tưtfitg đường với: kiện: xy ĩ bộ

mo — aie a a = sử °~2P+§-4=0 7 -x

— Pi LỘ ad hy ‘ of} : eof w=3-x xy=e3-x „ =ÿ ` Ũ BN y= y= we? : =-2 = |{Px2 mm 2 23 4P om et EO spe UE rỶ

(Dove tyes ha ¡ l© x +xy+ty +l=0 oe hse (thần mên 5 2 ) — dy =x 41 |x*+x+3=0

: Bhi12: DE DU BI2- BATH BNA i i

nh — + i OE KHOI ae « VdiS=0,P=-2thix, yl nghiệm cũu phương trình: X— SX+P=0 ử xy =-1

, ~y)(x? +57) =13 aes

Vậy hệ cú nghiím ¡l¡ = Giải hệ phương trình: te oe Đi (x, yeR) Bâ: er lay 3 f 2x1] ge x —2x = a if ar pS aig: esas 1 3 3a

Băi tô: PATHOC KHOI NAM 2008 i (N1 y5 _| ar iad eee (: :] (x43 + ean)

fay mf Giải : y=xe0 :

Giải hệ phưững trình | _ˆ ea (x.ye®) i YO ty sl are +y1=13 (D m= TON a tha Soe Vậy nghiệm của hệ ya” ake ¿ “=2 =-v2 > xẻ 0 te” ©^x=y=lvx=y=v5- y ya v5 re = i 2

X+y)(x”“—yˆ)=25 —YXX +y} =25 ®

( k z7) (x~yMxty) =25 (2) « Với eeaffs nnbidreukodaiE-t6otlă

tiểu kiện: x>~—!, v>— PEL E Jx-y) =1 x-yel iy

: iểu kiện: K>~—!, v>-—l, xy >0 Đặt : M = bo = (3:2) hoặc (-3: ~ 3) 4a dw eS X, =1 oll +2 có Tit phương tink thir nid của hệ suy ©‹: š : ea (X-y} =25 2 495° K+yes5 3 |X, =-2 2 ¡ hệ phương trình ¥ x 2

Binh pruung bai vĩ eba ping trình the bel ta 5 113; DE DU BI1- ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 af) [xe 249

: Bre Zi : Vậy nghiệm của hệ v 3x=

x+y+2-2šy+x+y+l 16 if} x2 ~xy~y? = 3(x— yŸ y=-2 yl y |

; - Giải hệ nhướng trình: ra ~y eR) | !

Thay xy =L.x+wW=3+3 tvăo (Ú Ú,- được: PC pí phâng tình Peay OF (x ¥ Tâm lụi: Hệ có 4 cặp nghiệm (2; 2), (— 2:2), (i=2),(~2; l) Giải

44tt2+2W1243!L41<16z23V+ttd lat F a : nxĩt: Với xy # 0 thấy vế phẩi đương nĩnsuy ra x>0, y>0

dL tia

Huởng dẫn oii CULT ti ede BT0G Tuđn hục = Phạm Hống Danh Trấn Văn Teôn - "J5 .ˆ Hướng dẫu giải CDBT tữ câc ETB8 Toân bạo - Pham! Hồng Danh, Trấn Vẫn Toăn = Oly TNL MT OVWH Khang viat fe 3yg” =y “+2 8 8 L k : 3 uˆ2v+uvŸ =ø u L clit I+v3 Giải siải

Ta có hệ phường trình dê cho t7ýag đương the ng ts xy =N — Bun vĩ he: ee =20 3 aa 2 hệt x-mY=

: fu=l fu=2 fan La 0 = ie +y=3

(1)-@) taduye 3xy 6= V) = (y — X) Ú + x) ii hệ năy đâ {, XD fu) 2-43 peated vớ ‡

c> X—y)xy+x+y)=0 a a a Pp | =lim?,D ; =l+3m,D -| |-2-»

xpel Nehiĩm ctia hĩ di cho (x; y) = 4; L) hay (xp yy) = (134) 3 be tr 3 Ẻ and (loi) 3 [ạ thấy: Vm, D = 1 + m” #0 => hệ ln có nghỉ

ni + :

a 1 j E ì +3

soy =x thd wu (Ita duje 32? a? -2 0d Lín để 4: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Dựa văo bêng biến thiín ta có: le “

2 ws gies 5 i: W > k - -

5 (x— 1) Ot + 2x42) 20 œ x=1=y = | (hỏa mên) BAT PHUONG TRINH CÓ CHỨA THAM SỐ tệ đê cho có (gố6Ehf©s(D sử tghiín ú iikG [-z=}= dee = ee | `3 mg

¬- 1 ˆ xe—2 A DE THI a l8

Way Be peasy a a RN et y=-v2 [yay Ầ 1: PAT HOC KHOI 1) NAM 2011 ÿ Băi 2: CAO BẰNG KHỐI A, B, = D NAM 2011 = : : 8 ed nghiĩm (x; y) hha xy <0<> lam #= ———

= "Iìm câc giâ trị của tham số thực m để phương trình sau có nghiệm: ay ee m+) mi? +1 Băi 18: D mm dĩ hĩ Thương, Tình mg cú nghiệm Kha is

r jx—Y—w*—Y ioe = ae | oN {y +2)x? +xy= | 6+x~2/14~xX2x~2) =m+4[v4—x : vAx =2} (xeR) ẲẰ@(1+3m)(3— m)<0<> m«<—<= hay m>3 |

Giải hệ nhương tình TỶ — | (x, y ch), Giải pH 3

| a y= ery ie Ty 10 Điều kiện: l<x<4 ; CAO ĐẲNG KINH TẾ BỐI NGOẠI

Giải Giải ĐặtL= ae với x e |1; 4] Plc m aĩ „ JXtY+xy=m

pilav He [ae 20 We KIỆTL tú 2xŸ =(y+2)x” +xy =m BE = Qxt x? y -Ix? + xy sm = : "=————_>+ [ “—=—- a4 —x - V2x=2 i ig SORE ne peeing Walesa ed ngpipios xỶy tay? =m-1

= x°+x¬y—l~2m KÌ~x+2£—y=l—2m tâ x Vie~2 2/4—xvJ2x—2 Git

3 3 ‘= J3#đ—rc= _ - = = =} = =

ere 5 (x-y) =(x-Y) : x?(2 a5 oe (2x - -yJen (x?-x](2x-yJ=m U=0@€Ằ<244-x=v2x—2 6s lũ—4x<2x— 2 {26x= 1§ @œx=3—L=3 =x+y,P=xy Khi đó hệ phương trình © Ề ‘ ĩ tế ek Diễu kiện: v3 <t<3 x 1 3 4 8+:P.=m

XLIy} =x+y+2 (3x-y)=1- = ga, : ae Tis all Hệ sẽ ă Plă nghỉ 2x2 =

Ệ ch ace er (x? —x)+(@x-y)=1-2m Ta có: Í=<2+x+ 2 /(4—zx)(2x—3) t + 0 _ ee ok VN n9 5ă P niệm phưng ti: X erase

ae W TESS SE Tu v.x-y=l bs : oY I =xk+2 V4 +)Öx-2) =—2 5 3

o +y=2 v x4y= -1 (loai) ‘ Đặt: u=x”-x=|x-—| -—=u>—— Ñ " | i = =*=lhayX=m-1

“Pi tị

ls ty) -(x+y)-2=0 ae 7 loa ` a} 4 4 () thănh: 4 + =m +41 v5 ee V6 Way (S=1,P=m- I) hay ($ =m-1,P=1)

ro Oy 0 a

fh v=2x-y=evel = —4t+4=m @) N ằẻ.cƒ-nằõ I-44m—h<0 gs 5

#3 = ' a =u ep ah % Hi nghiệm - —<m<3, k x=l Đ 3 8 (*) trở thănh: {uv m any u(t m u) m xĩt ff}=t— 41 ` vớit c[x3;3| E (m-t -den a

y=l ee =ỉ (u~w=l-3m v=l 2m-u wd Ÿ()=2L- 4, (=0 œt=2= ft) =0 t| 3 ở 3 13: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 +

4 Eee _ 1 -u +u

Hêi 19; CAO ĐĂNG RẤN CÔNG HƠA SEN ¿J7# tu=mÔutU lun em KH, ————————*———- can ma để phương trình sau cổ hai nghiệm thực phđn biệt: Ýx” + mx +2 =2x+ I

Giải bệ phườ teak f y+ydx =6 FHENGIRED v=l-?m~u 7-#j3 Ty F Ler ; Giải

đêi hệ phường trình xy+y x=20 |, = / Bl ŠL; [(u) \ = = =, với uz-t, Hi {1} có nghiệm €» (2) có nghiệm 1 e [v3 ;3]>+0m gL ‘in : m để phương trình có hai nghiệm nhđn biệt: ýx” + mx +2 2x+l i i iĩ@t: ny 4 = (> 1

Pe 1+ = !

Giải " Băi 3: CAO ĐẲNG KHỔI A, B, D NĂM 2008 2x+1>U Xăng

Điều kiện; x>Ú; yz0 Œ® Z ' —— (Loại) _ 2 2x~1}?

fe Tay Z2 2H! 2 " id tr "nữ Bisa: RMS ART |gx]sax2s0m-x-1=0 (2)

Datu= Vez0.v= Vy 20 Mu câ; we, f4u)<Ue VN Tùn giâ trị của tham số m để hệ phương trình bak yee ge ERED) (x) 1

| (2) có hai nghiệm xị, x¿ thỗa mên: “sams <Xq

Trang 17

Huững nẫn giải GOAT th ode ØTQG Toản học - Pham Hỗng Dan, Trin Van Toần ÿtz THHH MTV DVVH Khang Vit

A=(m—-4)? +12>0 5 m-4 1 a Đâtt=wx?(422 ==x +43 s4 Bi ge e m2> Ị) œ 4+ mF hea m=O f -4

fad pes pay: 5

waa 3 œff0)= e+ {m? -š} L~2-m°=0 (2)

Bai 6: = h :

dx tyy = : Kết 1.†(2) = (Lm +2m? -š} -mỖ + 3mÍ —^ = nom) Tìm m để hệ phưưng trình sau + ` — có nghiệm 3 3

XVvX ~YxŸYy =l—3m 4

Gia? Tă

ÍJx-ÿ Đa =1 al) Xvx+ywy =l-3m

Điều kiện x> Ú, y> Ú Đặt u=vx =u°=x+ŸX, u >Ũ

vay = vicyyy, vy 20

u+v=l

Nay u ®v =l=3m gy

= uúh+(I-u} =l-3m <» -u +u=m (0# l)

Khảo sât f{u)= — uŸ + u;Ÿ{U)=—2u + 1; F0)=0 €»u= : Bằng biến thiín

định ta để phưưng trình suu đđy có nghiệm: Je -23xI3 m=0

Giải

{oa

bidng tinh > x2 —2x +3 =m, didukiĩn m=O

>x°-2xn43=m oo (x- DŸ=m”— 2

Nhờ bảng hiến thiín ta chọn Ủ< m< : YCBT <> m7 - ~2 >0c>n2>2c+mz+/2 (vl m 20}

Hutap din pial COST 1? câc BTBG Toân hụa — Pham Hong Banh, Trin Vin Toar

EH Chayĩn tĩ 4: TIiCH PHAN

v¥ Van dĩ I;

BIEN DGI VE TONG - HIEU CAC TICH PHAN CO BAN

A PHUGNG PHAP GIAI

Sử dụng bu tích chất sau để biến đổi tích phđn cẩn tinh thinh tĩng - hiĩu tấp) tích phđn cơ bản

h b ‡ h b b

12 [kf(x)dš =k Íf)ảx 2 [[f(x)+g@)Jx= [f@)dx+ [n(x)dx

a a a a a

b ớ b ầ/ [fteăIx = frodax + fronds

i 4a e

RANG NGUYÍN HẦM CƠ BẢN

Nguyễn hăm của câc hầm số sơ cấp

Nguyín hăm của câc hăm số hợp (u =u(@0)

1 [dx=x+0; [kdxr=kx+ J ‘a J EE ETE 1 ÍUPudx=——+c : (g>=) el

a+] atl 3, xx == f Fite Ga +c, (a 4-I 5: ae 4 ferax =e +c Ww 23 |—dx=lnlul+e [#«=nh 3, [ePutdx=e" +c al 4 fotu'dx=—— ic (Q<azl) = Ina

a; forex =~ (O<ae!) 5, fu'cosudx =sinu +e 6, foosrux =sinx+c 6, Ju'sinudx =-eosu+¢

‘ '

a fsinxda =-cosx +e 7 f = ñV=1yi1,@ cos”u

Cty TNHH BITY OVVH Khang Việt 'Đặc biệt: 0(x) = ax + b; Jf0oax =F(xX) + => [tax L hủ cũ +bj+œ a a

` ga, _ 1Gx+bJt”! a: (oe 4 antes ese

fixed) dase a+] NI Ea a Ề na

kÍ— c-ainlax+h|+e 8 f—* _-l eax + by +e

"ax + b sin (ax+b) 8

9, flan(ax ~ hìdx =— In|easnx +hị|+ c

a

10 |eot(ax + b}dx ~Lhkirfx +bj|+e a dx er |e b)da =— b II =—ln|~———

leos(ax + b)dx sin(ax + bì +c Rea te lca te

ax +bjdx =——cos{ax rb) +c¢ B ~ BỄ THI

CAO DANG KHOL A,B, D NAM 2011

|

tích phên 1= X{x ~l}

Giải ' 1,

i x(x +1) ng ~ Agel x itt ie = fants off ing 103 t 2

2 CAO DANG KHOI A, B, D NAM 2010 : lì T nh tich phđn: 1= Jo 0 xtl Giải ond as = (2x-3infx+ i] =2—31n2, Pit fate = Íz- 3 1 ụXx+1 6 x h dx _ Ề

Băi 7: ĐỂ DỰ DỊ 2 8 f gg, TE 8: CAO DANG GTVT LI KHOI A NAM 2007

f Š :

2 2 dx 8, dx =—colut+c

Cho phương trình x kim -š|M# «4 +442-m? 26 9, [FT setEte TP ii cde iich no san: Te In +xỶ ae +2x— “2w

8 ‘ 5 a “ a 2 I x? +x

Chứng minh rằng với mọi m> 0 phương trình ln có nghiệm, 10 [an sam tated 9, fu tanudx =—In|cosul +c eee

Giải ' =Inki x

3Ì r— 11, footxdx = In|sinx|+e 10 Ju'corudx = Infsinu|+-c Chỉa tử cho mẫu, ta được:

sẽ 2[ mí 3) Va? a4 42m! <0 a) : as

1A a 124 a

Fung in giải CUUT t sấc 8TQG Todn hoo — Pham Hĩay Danh, Tdn Văn Toăn J Oty TNHH MTV DeVH Klang Wig Hưúag dẫn glêi ĐDBT Nt tâc ĐTUE Töăn Học = Fham Liắng Barn, Trần Văn T5ản Fg Cty TNHH MTV VVH Knarq Vị

4 cm 2 = ñ 4 2 5,

x ies aK at K2 va ~ 2.2 i |[mui-zhe +) Pl =| Inx mực nh : hoot i Ls 4 : Ẹ B ĐỂ THỊ

eK xP +x Xd x 2 1 TĨNH TÍCH PHĐN BẰNG PHƯƠNG PHÂP ĐỔI BIẾN SỐ ca.“ Bk: DATHTOC RHGT ANAM 2011 3 ;

i : - A PHƯƠNG PHÂP GIẢI Ỉ

I= li ; X+l : ¬_ ố x | 3 =in ee ———— = ` jenna,

; Wl+x 2 = DOL BIEN SỐ LOẠI I ] XSÌTX +eosx a

16 4.3 : b ữ — - —]

Tene 1, Sit dung cng thức: | friuco|.u'cndx = [randu oa

s n hphđn:I= [x?- 7 5

Hăi 4: CAO ĐẲNG KINH TẾ - CÔNG NGHIỆP TPHCM NAM 2007 _ KP Nhăn Js af F b i

fa cĩ: T= [ESR +e08x 4 xoosR | _ ip Xcosx

‘Tinh tich phan: 10x) [° “ , vớix>l,TWđâÿm lim Hạ) - | oe - 3 Phương phâp: Xĩt tích phđn, L= Í(Rdù @ XHDXYOSS jL XHinX+EOE

: + | ° x

Gidi Tinh T= Ie —x|ux= |[ x Pe x}dx+ Is ~x}dx - TT => dt=ux}dx “aff ` XCOSX dents | XE0§X & I - Bồi cần x | a h , Xsin x + cosx 4 ô XSỈn X # E0SX | Nar = = (Int—In(t+1)}f' =]0 —

Ix)= ie =.=

pe(t+l) pe tel, rail

"no

x+l 2 4 + lim I(x)= tim s In} =in2 x—+e xa+m| X—] a

Bais: PE DU BI 1 - ĐẠI HỌC KHOI B NAM 2005 Cho haus sd: ix) = £ ee bxe* ,

1 (x41)

Tính tích phan: (van +ennk casx }dx

a j

1 avi b biĩt ring P(0}=-22 va [f(xidx=5

U Giải § x : Giải 4 4 ” #

T= [fun ennx) cosx)d xs fur tanxdx + lens) eds, :Í@)= T+ be

ũ 4 ũ Ge)

ĩ v2 Nă 22 x~ he"(x+1) = ['(0)=-3a+b=~22 (l)

= (-In|eesx|j|: + ("i =lav2 +e 2 =-1, ; (x+j

4 I | 1

Hăi 6: ĐỂ DỤ BỊ2_ saline : [ftaux= fac +Iÿ 4x +b [xe "| ——r+h(xc” ~t”) = lắc 5@)

v5 sie ũ 0 ù 2{x +1 5 Tính tích nhẫn: 1= J 5 —3a + b =-22 8 , Eee a > vă (2) ta có hệ: 4 3u oft : Giải e h=5 h=2 5 dx êI+x?TxẺ sp he 8 1 a h T= = dx = a5 x f x+x I x+x?) K x2! xế văi 126 hị 1 l2 I - Suyea: l= Jatedt=acn), 1 Thường đặt Ẩn phụ t lă

cần thức, hoặc mũ của c, hoặc mẫu số, hoặc biểu thức trang ngoôc Ẩm & : ax 4 cd sinxdx => d§tt=cosx, cd cosxdx = đặt L= sinx, có ae đặt t= Inx

ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI II

b R Cảng thức: |[f(ufx3)ufix)dă = [f(uu| - a h Tinh: I= Jfcoax u Đặt x=0{) => dx—g(Đd1 Đổi cận: x a h tị 1 + k; 1

Kiu đó: I= frac etna = [xoa (trang đó g(t) = f(x()i.2( )

1 h —=< tị y

Câc dạng thường gặp: 1 (da? —xˆúx dat x=asint

a

b dx b dx :

- dat x = asi 3 | —— đặt x-ôtant

telerik A ae Be teas

“Đặt L= Xsinx + cosx = di = xcosxula

a n Vifn 9 Khi x = 0 thì L= 1,x=— thì t=-“| T+1

: 4 tha j

v2(m

wea)

yta:[=—+ - Tiệp tin fel? ch : r Bla i =

12: DALHOC KHOID NAM 2011

‘Tinh tích phđn: hae |

Trang 18

Hướng đẫn giải GUBT từ cân BT0G Toân hục - Phạin Hồng Danh Trần Văn Taôn

hăi 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010

Inx

e

Tinh tich plain: 1= [———-dx lan

Giải

Bit namneeadis Sans xelou=d, x=emuesl

x

Ỷ 3

ũ

-[hmỆ ĐT hh (Ia2 +1) =h SÌ¬ z

Băi 4: ĐẠI HỌC KHÔI D NĂM 2009

‡ dx ‘Tinh tich phần: L= |—— perc Giải at : Fy

Dartse* > dx=—; x2] otse, ted Stee t

3

+ pea es ta =Inft-1fF ˆ - * in(v? +e+lÌ~ 2 Bai 3: DAL HOC KHOT A NAM 2008 `

z

tan" x cos2x dx

Tink tich phan: T= i

Giải 6L - Cúch l¡s Đặt(=tanx => dt=(I+tanxidx = nê cos2x= A « Đổicđn:X==t=Ú; x=—=>L= air 7 x3 : + ứ 3 3 1 « Khiđó: I= | lỆ -l+ lat q) 30 ứ 139 2 jl-t Câch 2: x T = h

“Ta có: 1= a Xa ef tan* x *=Í————— tan? x

+x 460s x-sin* me 3 cos” x(1=tan? x) Pht t= tanx > dt = BE COs” x ỉ cận: x==>t= Ú; VỀ uy 6 3 vi Pages Fai ĩ6; [= Tât In L l, 43#l 10 dị 1 3

L4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008

" q sn(x~Š le Tính tích phđn: t= [—m—#———

ĩ sin 2x + 2(1 + sin x + cosx)

Bty TNIH MTV DVVH khan) Wig:

Gidi t [ 1) a Sỉn| K—-ˆ |dx Tĩnh tích phđn; I = F—- —=- F 4 Sin 2x + 2(1 t sÌn x + cos X)

Tis sinx + COSX => At =(oasx sins = —J3sinf x2

Wicgn: x=N>1=1; xe =t=v2

có: = sen + = 4 2sinxcosx = | + sỈn2x =e sin2x =1 ~ Ì

TH pP-l+2d+0 2 fen?

-x2 2 ‘r+ 1) _L kế *.2( tt) $3 xa+l- 2) 4-32

: BAL HOC SALGON KHOI B NAM 2007

1

“Tính tích phđn: T= [-=—+—dx

ot +x+1

¬

Húrg dẫn giải DDBT từ sâu 8TQ6 Toản học - Pham lồng Danh, Trần van Toan Giải

t-f—t

ia are '

kK ae TE 2

5 == tant, te] -—; — | dx=—[l+tan't Jat

ĐI 5 lan ‹Í 7 :| ( ) n 2 Hy 3% (14 tan? ¢} * 1= |-ÿ——dt= x su tan? t} 33 s 4

Băi 6: CAO ĐẲNG XĐY DỰNG SỐ 2 NĂM 2007

Tĩnh tích nhên: 1= [ly

x a

Giải

đặt c=ŸŸ px =ine=l—L =— 3Ở¿I Đổi cận:x=l=et= l; x=e=t=Ÿ2

42 37 [§2 3¥4—3

ois [Paar = 2 a

Hăi 24 CAO ĐÌ ANG CO! NG NGHIỆP 7 HC PHẨM NĂM 2007

Tùnh tích phần: dê | ' f ( 44 ny Gtai Ƒ ⁄1

taf adn opti 1) = inca" “=m n2

x +t +h 2 Pax = tt tc| 0 1m cos? t a 1 x = f4di=—, Vay [=—n2+— 1 rat 7 ay 3 +

Bùi 8: CAG DANG TAI CHINH — HAT QUAN NAM 2007

sin x 2 da C052X ~ Cũ%X Tính tích phđn: I= | ———===—— ` yas We Tính tích phan: T= t Giải RE Le Poe => dt = -sinxdx

=I= xúnh~I|~inli ' we =-zIn4

19: ĐỀ DỰ BỊ I- ĐẠI mm KHOA NAM 2006

In

§

lăo;

pane tắt

Gly THHH MTV DWH Khang vig

a 4 1 45

-|h tí ates Ins

: DE DU BY 1- PAT HOC KNOLB NAM 2006 1

——== dx ¡nh tích phan: [= in Gili jtt= Vx—-lo=x-losdxs2idt vixe 4] 5 Iũ 1] 2 3 133

Hiding dễ n giải COBT tỳ tât #66 Toâr bọt - Phạm Hồng Dan, Trấn Văn Tuđn :

Băi 11: ĐẠI HỌC KHỔI A NĂM 2004

& 2 Tính tích phđn: im poe a ö veos° x+4sin” x Giải 2 : sin2x sin2x Tach: l= t+ me eo x Dậtt=l+ 3sinx = dL= 3êin2xdx ‘ae 2 § Với x=0 thì t= L, vải xz Ý thìi=4= I=5 SẠC z ins tS il * =

Hăi 12: ĐẠI HỌC KHOLB NAM 2006

In 5 dx Tinh tích nhđn: T= ji nye +26" -3 Giat iu: dx Pe : chdx tac" +?De ^-3 mẺ 3 t2

Dặtt=e" =dL=eỈux Với x= In3 =>L=3; với x= Ín5 => L=5

= ‡ứ 96-2) 2-2 tai ee S-}u - n| tTỊỈ P khổ 2

Băi 13; ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005 hả Tĩnh tích phần: l= Be ae ylt3casx Gidi l= ÌESes De + I)sinx xll+3eosx th] COSA = 7

Patt= yl+Icosx => Tuy

——— lg 2V1 + coax x=0>1=2, x= Foie 134 Tính tích phđn: 1- [2X Xu, a l+cusx

Cty THHH BITV DVVH khang Việt

a sin 2x cos x =2 ae dx, Datt=14cosx = dt =-—sinxdx l[+cosx %=0>t=2, x=t == Le - ly Tự 5

c1=2[Í— (do =2ffe-24+4 fan

„—t 1 G

Ẻ ì 1

=2 Sar inh] = af a—++inay-(2-2}] -am2-1, “II tiiải a x + E + 4 81% 1: im X1an xảx = Bsin? x dx củsX

Lt=cosx = dt=-sinxdx = —dL= sinxd, sin2x = —

Hưởng “ẩn giâi CDBT ff c4¢ ĐTEE Ta học ~ Phạm :lắng Danh, Tiấn Vên Tnăn

Hăi L6: ĐỄ DỰ BỊ 2 7 x+2 Tính tích phin: 1 = |——dx ‘ ae ea Gidi Tx+2 I= ¬===ủx uWXx+l Đặt L=Ÿx+L= tÌ =x+I= 3út =dx=>x+2= LẺ # sii ,x|9 7 bĩietns sa ileus: 2 4 1 $: L 42 231 1= |—— 31ˆ+h I co = 3 jf" et pdt) i i) = 3) —+— | = E 2 | 10 Băi 17: ĐỄ DỰ BI ! Tỉnh tích phđn: I= janes x+l Giải ix x l= ee ee svIinx +l dx —=Ztt Đặi L=xlnk+Ï =Í=lnx+] = 4 x Inx=L-tŸ 3 x e Đổi cận 1 + 2.76 OOF ai si N va 3 i= PE nat = 2 Pe ~2Pa ty = 2| Se at 3 ee Băi 18: 2 X Tinh tich phan: T= dx,

iF + vx =|

Giải

=| > 1=0

Bye Me-1 > Pons lo di-dx ddan) > * xe2:= ta]

Cty TWHH MTV DWH Khang ¥ept

#+]i2t 13

E } oe =2 [Sar = 2 P-ua-rnij

fi l]+t ott

t 3 2

off -a-ateeert et ibid!

8 2 lạ 3 ® Tính tích phđn: 1= [* #2 #8 Bay Š x 1 Guat fax

vit t= Vl+3inx => t? =1+3Inx = 2tdt= , Long, x=1=t=l 2/2 a ae Ff 3 ĐỂ DU BI2 ? 5 a ~L *)a=2 ed vs 3 | 2 116 1 "135 Tính tích phđn: BỊ 5 0 x” x+i x +4 44 ra ì 3 pe ae = Giải 2 i ett ie ~4-2 L7 0 ng” x xa] 2} tan? t+] af wn? t+1 lax

DAL x = 2tant = dx = 2(tan?x + 1)d1

* 1 4

eed

_ 3

bâ | ase-tnle ol] ong = Bet

7

0 4

In2

Trang 19

Hưởng dẫn giải GDBT từ râc BT38 Toân học - Phạm Hồng Danh Trần Văn Toan

ÿ†y INHH MïV VWI| Khar q VÌ

Băi 21: Giải wi 5 1n3 et ies ee H3

Tỉnh tích phần: 1= Lia W- sh Dat t=e" +19 dt elds | Bi edn: 4

xvx? 14 9 Her +

* W

Giải ñ

wi 245 Me đâ I=|—-~- dt raed

Tính tích phđn t= fH Tues l= la “i pH h =|

V5 xvx2?+4 vh sa +4 2 3 dx 4125: DR DU BII Đặtt=xx? t4 => -4=x?— a= ăi25 eal : xt a4 pees = =2VJ5 —t=d “Tính tích nhẫn: 1= jfi-se x sinxeos? xdx Đổi cận = | ụ 'JPMEUN Giải TH 4 ì 2 mă fh doll fa dak + : | ad ——-

_ T= jf Ml — cos? x sinxeos” xdx = ia EDSẺ X,EOS ` x, sẵn X.EOSẺ Xx

Hăi 22: xin TH ELT h 1 5 ù

Ind 2

Tính tích phđn: 1= yank | Bạt 1= ĐT — con! x 1% =1—cos!x => 6dt =3sinx cos? xdx

ina Ve* —1 i > 21" ‘dt = sinxcos*xdx va cos*x = 1 1"

Giải [

l= TT cm Đặt Le xle* S1 = Ủ =e*— 1= 200i = e°dx vũ e*= Í + L nz Veo — Ve 5 ` jatar fla ~20? út - ù 27 7 ae Se Dern 08] 2 13 hạ SL

vỗ i „ SEC A1 HN, ni ee _20 I 26: CAO DANG KINH TE TP HCM

Sel i ! i L : Ea ql a ê

Rai 23: S Tính tích phđn: [= [xsin2xdx

li

Tính tích phan: I= lim , Giải

sa a; ju=X sdusda

Giải 5

i a ee

#852891 00521 0 TT 20(1+4523)|) ý = Fhe, :

In l+sin2x ae = lă lý ITsuð = 7

3 lậy: La—5€092⁄7 + [oog2xdx=T II P

ee 2 24 4242 bù 4 Ind K Tính tích phđn: 1= Í —— ae = 5 j(e" +1) 13 138

Hiting din giai CDBT tf cic DTOG Toan hoe — Pham Hồng Danh, Trắn Văn Tpăn

¥ Van dĩ 3: TINH TICH PHAN BANG PHUGNG PHAP

TICH PHAN TUNG PHAN

A PHUGNG PHÂP GIẢI

b b

Công thức: Joca.w'@odx = 0(x).v(x)|$ = [vo.u’@odx

a a

b b

Viết gọn: fuav = uw? - frau

:RK= + tÌủù =—inL— 1.|terf3 ï, f (2+ ` | ng nd 2 "lit oa] — ‘ lo “an š TS = In{2+x/3) €

Vậy I= i422 —in(2 +43)

Cty TNHH MTY DVVH Khang Việt

: : DAI HQC KUGI B NAM 2009

B DE a , 3

=- uF “Tính tích phđn: I= KT

Băi 1z ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 - i(x+1#?

4, AS Gui

TNE Bae “ja cos? x | 341ax => dv =—— ; fg ee

(x+1# x x41 Giải :: x * a + —¬ 3 i 3 Po x+L ;XÍX+]) ¬ ] Xsinx 11 Tủ cũ: T= aa J—s-+ ki : dx š ; 4 0 KH Dục dx = 58 taba = | Ti Fad 341 27

x * 4 2 x4 pc He I=] Pat Le

1K be

sages ae ame dx = Bs feta BAT HOC KHOI D NAM 2008

: tích phđn: T= [5

Tinh J= Pu bằng phương phâp tích phần từng phẩn :

iii Giải

Đặt: w=x = du=dx Bie l=lx ldo tt

ae sẽ: Tứ, weave inh tich phần: [= lim Đặt dx => ệ cos” C08 X is Wenn ee al

et CY x 3 2x?

me: TB ] 2n ] 1 TỊ 1 I |2

Suy raz 3= | [aoe [ -|——¿dx šs—- fos 3 lan dx _== sa nă hiếm feet eae eae 1 du na v1 lệ ch 3 _3-2In2 2In2

ne DAI HOC KHOI D NAM 2007

Tinh K = cos x dx = [wx bằng phương phâp đổi biến số x ›

ðl~ ĐtL= sinx = di = cosxdx 148 16 a 141

Hiap dẫn giải DBT từ cất ĐTQ6 Taân học — Phạm Hồng Danh, Trắn Văn Tuần Giải

Tính tích phần

Đặt u = InẨx = du = 4 2N dv =xÍ'dx a

x 4

Ta câ: ties In? KÍ KH, inxdx i

Đất u = Inx sua, dv=exrdx => v=— Tacd

x 4

ĐẺ DỰ HỊ 2 - ĐẠI HỌC KHOI D NAM 2006

ty TNHH MTV IVVH Khann Việt

ae | x t dv=(x—-2)d - 2 ae [v7 et ie 4 2 đc, - 3 4 3c" +1 : 4

k Inxdx =~ ns iF ure So 4 =— 1= [Ỉ-» Inx| — [2-2 dx=-2In2+> th 4

4 x Ẵ

wee 8: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005

32 +

BĂI 5: ĐẠI IHỌC KHỐI D NĂM 2006 Ih tích phẩn: I= Tex -1)eas? xdx

t ¡ Tính tích phản: 1~ [&~2)e?*ủx d > Giải Giải nak a t + 5 đi

Tỉnh a, phần 1= Ja-bene tak Jor ae

t= fi ~2}e *dx, pat 2 =du=d#, v= Le? Bk 1 `

2 13 12

Ẻ ; + [2x- bâx vs fox —l]c0s2x.dx

Tng ‘fea ¡5Š v1 ẢqñH| cấ- fa 2 ze lạ 4 u 0

Bai 6: Dit DU BI L - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2096

2 Tinh tich phan; T= ịa + l)sin2xdx

0 Gidi ù x+I gi male dy = sin 2xdx = v= ~ e082 x41 _ Tm- ~s £0s2x|Ÿ + 3 fowonac= 11 142 la 2

pint f= (ax lide he * = (x? Og — HĂ HĂ TM, 43

= ae & = du =2dx 8 =

- Tính I; = fex-tcos’xax Đạt J"” KT 1

`-: an dv = cos 2xdx ya aanae

a *

1, = (2x l)zin asp - Faun = Zeosaa =-} Hướng đần giêi GPET tỉ cio TOG Todin hae - Fhạm Hêng Danh, Tin Wan Todn

Hăi 9: Tính tích phên: I= nứt ~xJax 2 Giải => nu x L V=—-— xât Chon u = Inx dy ~>ŒX+ 1) 2dx => Gidi 1= Jobe = x}ẻz 2 3 3 3

Tacĩ [= fin (x? - x}dx = pets -l)dx= [tex +In{x — 1) |dx

2 3 dx =1: = Đặt u=lnx = du š dv=dx chon v=x = 3in3 —3-(2In2 -2) 3 1

Jj = [Inxdx .“ =3In3—-21n2 = xinx - I =[xlnx —x

3 a

1; = [In(x —1)dx = finan =[tlnu =u]? =2I82~L

‡

3

Vậy 1= [In(x” ~x]ảx =I, ~T; =3ln3~2ln2~1+2Jn2-I= I=3tn3-2

2 Hăi 10: ĐỀ DƯ BỊ 1 Inx x+l 3 + ø I Linas P(4- sf iL x(x - 1) 4 \x x41 3 j wade od 2 = -Lin3+[mh is + |JX+l

‘CAO DANG KH TẾ ĐỐI NGOẠI Ain vx +1

oyi2s +”

tich phđn: L= }—=——=dx

Cty THHH MTV OVVH Khang Vist

‘ x

Tink tich phia: T= f dx

4 1+00s2x

Giải

4 = u=x

4+ x dx == I1 4 xửx Dit = => du =dx leas Tế, : 4 dy se ee T=2xianxf inate at infosx| ff = +4 —in2

Bat 11: CP KINH Tế ~ KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP ¡ 3 lnx

| Tính tích phần: [= xử

" = tả Jetxer ib , alee _*# nh 2g 4# 2L 2 tb 4

Trang 20

Hưởng dẫn giải PT tỉ câc 8126 [sản học - Phạm Hồng Danh, Trắn văn Toăn

Giải (*(L4-2e')+e* =~ fa T= ———————dx aes Tăn ôn cj 261) _„ I+2c° ain1+2e°) l;= e jI*+2e' 25 nif (2) = Zl — ae 3 f \ VậyI=Ì- 3 3 | ï

Tiăi 2: BẠT HỌC KHỐI D NĂM 2010

te 3 ` Tính ch phan; I= {2s i 2 hie xúx ; x ! Giải & 3 ic e ï Is [2 -2 \inxex =2 frlnxdx—3 fInx.—dx i a i i = b1 d x

Xĩt I= fatnxda Bat velox dus; dv=xdx x 3 v=

„ LẺ ? # ic Do đâ si Em) >> fe t 1 E XĩLl;= fins tun l i x

Băi t= Inx => — I=#t=0ex=e=tel, x e-2 2 1 E ;MI | Do dĩ 1, — fidt= =| —= Vậy l=

Hăi 3: DẠI HỌC KHỐT A NĂM 2009

= Tính tích phần T= lí K~ l)sø xủx, 0 146 tải x z = feos? xủx Re xửx ũ

Patt =sinx = di=cosxdx; x=0>1=0, x=.=L=l

* =

: 32

4 bị xẻx= lÍ- sin? x) cosxdx = fi-ef di= ( 2ở

Nó 0 3

ni T

my "7 a Joos aden NI L£0§2x]dx =—|x+sin2x |” =— tfẽ ï i x

a ñ 3 HĂ fy 4

nh 8 1 : Vậy I=l -1; “oe

Bil 4: CAO DANG KHOLA, B,D NĂM 2009

Giải Tacú I= Íe *dx + [zc*dx ñ ụ | I ay fer “dx —e* o

| I, = lớn, Bất u=x => du-dx; dit dv=o*dx, chon v=c*

6 ee 1 ix orl Tinh: T= Giải t L SG) Đề Heo x 2} dx ] 1 tk +» gR? =x#]

Ÿly_INHH MTV DV/VH Khang ‘Viet Huảng dẫu giải COBT từ câc Y1 Tpần hục = Phạm Húnu 2anl, Trắn Vôi1 Tsần

1

Iya : he ain x?+x+|| =In3; = > ! 4 m=

ge txt 0 : Ly 2 OV eg + ay OS dx 4 siớ i Sl +tan? 1} Bat x He lanl > dx = 2 ụ + lan 2 lât 3x Bal 3 47 — vn ¿5 xuôg: — #V3 HH (! vtan? 1} an 6x3

Rai 6: CAO PANG GTVT TIL KHOL A NAM 2007

T = In3 2 1 "Lính tích nhđn ; 1= J sin vxdx 4 Gidi 5 a

parts ve thidx =2udt J = [2tsinte ụ =21 ƒâu = 24L

Chọn :

dx =šsintdL mat =~ cost

1 ee

J= [-2teost +2 [eostdt -[2teestE +2sin 3 = _ +3

a Đăi 7: ĐẠI HỌC KHÔI D NĂM 2005

r

| = tich phan I= Hiệu + cos x}eos xdx ụ

Giải

Tt T

jie 1-2 fot ‘d(sinx}+2 pm + cOS2x 4, =?enmx

a ũ Tie a ì xă x + sind 0 " 148

Cty TNSH My DWH Khang Vist

băi 8: ĐỀ DỤ/ RỊ2 Tink tính phẩm: 1= "Thụ, xdx a Giải a [ nh, Batr= _ Đổi cận =t=x= 2Idl =đx lye E

1= BẦU sin Wl Dat + une =" eu leva v=-coôl x

1=-211 -2(1" cost) ip cost) i os tdt = 2n? , Feast 2n° +41,

Tỉnh lị = [teosek ˆ Đặt u=t = du=di i: dy = costdt ¥=sinl " ` - HH, [ƒsnuh: cont = x ~? VậyL=2m”— § MIS: DE DU BIL : \ “Tỉnh tich phan; I= hệt ux 6 Gidi ee ee b I= fxte* dx = [xie* xdx 0 a : dt xi0 Bật ca x? = dL=2xdx => —=xúx, Đổi 3 xdx Í cận Tho cận: 1 1 To a tận dL= Le { - fea =~ == h_ '] 5 pale | + Tính tích phần: 1= ch phđn : Jr ® + +1 Ìdx + x41 }dx _i | 149

Hung din gidi CDBT ti dic DTOS Todn hos - Pham Hĩng Oaan Trin Van Taan Giải

0 0 u Tinh I= [xie” +h Tak = Jro™ dx + |x#x+rldx

-I -I “i du =da 1) Spars © Tỉnhh = [xe “4x, đặt | = | = dvec*ux |y=re* bs 2 3 1 x¿# 1 a J I } 3 ] I, =urf' - ae iol | = Ki Ga | =~ = =f je đ « Tỉnh l;= fave +1dx 4 sẽ x]-1 0 Đặt L7 Ÿx+1 = LỦ=x#1= 3L =dx, Đổi cặn: Ƒ ot a ety g

=f -1| a3e aesife ~t *lat= sả |, C j ụ 1n lụ 28

yay tents ete FP 8 ot

4e° 4 18 4c? 7

Băi 11: CAO ĐĂNG KỸ THUẬT CAO THẮNG

+ = Ta cas” x Giải : Tính tích phđn: HN ụ + x 4 1 sin 2x n= | dx vn

ũ cos” x sons x cus” x

r= ae +§in 2x Ron + tauuyl =tLtnx = x) y cos x Đ iT =Infcos? x4 =14+In2 6 1 3 o am 150 Sly TNH NT BVVH Khang vist

UNG DUNG CUATICH PHAN A PHƯƠNG PHÂP GIẢI

TÍNH DIỆN TÍCH

j tuần 1: Cho hêm số y = F[x) liín lục vă khơng ẩm trín đoạn [a, b] Diện tích “tình phẳng giới hạn bởi đổ thị của hầm số y = lí), trục hoănh vă hai đường

th abe Say Xe nai

He an ” Pics dletx

u a

bai toda Lsuy ra nu tx) không

itoiin 2: (Tne qust)

hai him sf y; = f(x) y2 = g(x) Jiĩn tue tríu duan fa, b] vă có đỗ thị lẩn

lượt lă (CL), (C2) Diện tích hinh phaing giới har boi (CL), (C2) vă hai đường

ù

=a,x=b được xắc định hổi công thức: |S = Jts- gó|ả*| (7)

a

F Phương phâp giải (®):

` Giải phươi# trình: f(x) = g@} (1)

|b

®- Nếu (1) có nghiệm thuộc [a, b] gid sit la uf) A b (er < fly thi

+ ees = etx dda} 4 pr ~g0)|dx s - [ios ~ gfx) Jax

itotin 3: Cho (Cy): x, = fy), (Cy) xy = ey), fy, _ liín tục trín đoạn [a, b]

Điện tích hình phẳng 5 dược giới lrạn bởi C1}; (C3) vă hai đường thẳng x= 4,

'=h được xâc địch bởi công thức:

b

S= fltcy -s(9ldy Hướng dễ+ giải t;U5T 3í cĩ¿ BTG6 To#1 hoc — Pham Hĩng Canh, Trần Văn Toăn

THỂ TÍCH CÂC VẬT THỂ I CÔNG THỨC THỂ TÍCH

Giả sử vật thể T được xâc định bởi 2 mêi phẳng (œ)yả(} sang song với nhau Ta chọn trục Ox sao cho nỗ vng góc với câc mặt phẳng (œ vă (Í) Ta câ Ono (a) =A, Ox 9 (f= B Gad sit mgt

nhẳng ({7) LOx (Ox =C, G) edt vật thể T es thidi diĩn 14 S(x)

i b Khi đó V= ÍReax

a

IL BAI TOAN

Băi toân 1: Giả sử hình phẳng giới bạn hởi cúc

duting y = f(x), x= a, x=b vA y = 0 quay quanh Ox

Hình trịn Sfx) có bân kinh R.= ý: S(x) =y” b

Y= Jry7dx

a

Bai todn 2: Thĩ ich do hinh phing: x = g(y), x = 0, y=a, y= b quay quanb trục Ủy:

b Vv- x [x°dy

ou

Băi tôn 3: Tính thể tích vật thể de hình phẳng

giới hạn hai đường cất nhau quay quanh Õx:

¥ =fO0, y2 =200 ¥2 29,20 Vxela, b] b V=r[g3-yÏMx a Băi toân 4: Tính thể tích vật thể do hình phẳng

giứi hạn hai đường cất nhau quay quanh Ưx, F(X) ¥2 = g(x} ¥) 2¥2 80 Wx e[a,b] h ; Verl(yi -y23dx

Sty TWHH MTV DVVH Khang Vig

8 BE THI gi: CAQ DANG KHOI A B, D NAM 2008

‘Tinh diĩn tich binh phdng gidi han bi parabol (P): x = —x7 4 te vă đường qhẳng d: y=x ;

' Giải

PI ương trình hoănh độ giao điểm của (P) vă d: “ B = $= Joao fe x "eon [ So b

3: ĐẠI HỌC KIIỐI A NĂM 2007

61 lich Hình nhằng giới hạn bởi cdc duting: y =(e + Dx, y= (1 + ex

' Giải

Phương trình hoănh độ giao điểm của hai đường đê cho lă:

“{e # (x= (1 +e")x o(e* ~e)x =0 x =Choicx=1

we Ss k == (dvd) | 1 1

n tích của hình phing cfin tim la: S= ke" ~ex|dx =e |xdx - [e4

ũ 0 Ũ

ot: spx=SẺ : a fre 6a - [tr ee=el cự

ex?

e 8=—~-1vdU) 3 (aval),

3; DALHOC KHOLB NAM 2007 -

Chủ hình phẳng (H) giới hạn bởi câc đường: y = xInx, y=, x =e Tính thể tích cổa khối trồn xoay tạo thănh khi quay hình (H) quanh trục Ơx,

Giải

dng trình hoănh độ gian điểm của câc đường y = xÌax vă y = 0 lă: xlnx =Ocox= 1

@ tich khối tròn xoay tạo thănh khi quay hình H quanh trục hoănh lă:

Ũ e e

Ven [y?ax =nj(xia x)?dx

i |

- 3

Dijtu = In?x, dv = x7"dx => dua OE ax, v= 5 Tacs:

` fre tnxitax = In? x ~& fx? Inxdx =< —5 [x? Inxax x? MỆP:”- ¿ 97

| ca aay

153

Trang 21

ủng dẫn giải CDêT từ câp 872G Toản bạo - Phạm kủng Dznh, Tiz1 Văn Toản

3

Đặi u =Inx, dy = xÊdx = đi vee -Ta od;

x eye at lage a = _3£ +1 „3P 3 3; + 9| > e x fe Inxdx =—Inx j 2 Vay V= HOS =F) vayuy: 1%” — 27

Băi 4: ĐỂ DỰ BỊ2 - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi paraol y = x* tu +3 vũ đường thẳng Ú;:y=2x+1

Giải

Phương trình hoănh độ giao diểm của parabol vă d: x” xt3=2x+Icox T-3x+2=(esx=lvw=2

3 2

Ta có S= ae J fx? -x43)-(2: x+3)-(Œ2x+ ups x [let=s Ik 3x+ ajax

z 3 3

= Í(-&” +3x—2)dx — ; 3° Es i Oh =— (đvủL ạt 1 )

Băi 8: ĐỀ DỰ BỊ 1

Tink thĩ tích vật thể tròn xaay sinh ra trang phĩp quay xung quạnh trục Ox, của hình phẳng gidi hạn bởi trc Ox vă đường y = vx sinx (0 = x= 4)

Gidi

1 1 re x _ 1

# ta 2 = faded ee S00 fe = 5

Ms afte] dx ant eo RĨ cos2x}dx = 5 [fuse Foor

" xê I a x Tinh : 1) = [xdx=— == Tinh | Ip = fxcosaxdx

: vn 2 Ũ tk a Fic w= du=dx Đặt = 1 dv =cos2xdx versin2x ~

LẠ: ee fain2xda = [si 2x +—cus2x | & x 2 qo 1 \” Ty= Asin 2 ao 2x = 0

l

2 3

V= x[m =0/= 7 cavity ¬ - 2 4

11 6:

Ĩly TNEH %TW 7/11 Khans Yiết

1nh diện tích hình phẳng giới hạn hêi câc đường: y = IK? 4x ] vă y=x+1? |

$= (x+3)-{* - đX 13} ax 2f-(x’ -4x +3]dx i Giải Đối cận Ï x=0 x=2¥ tâ =2V2 1 at 4 I=0 (be © | V4 ae + ey x48? -128-0 @ x? =8 v x2 =-16 (ldgi}©> k=+2v2 >2 1 dự =2 mee dX J \4 i j gz ae

ye odes tan (By l6 4

es 4 32 iz iz avi xế —dlx ñ 4v2 155

Hướng căn giải CDBT tir cdc UIUE Toan hos — Fhe Hắn banh Trần Văn Tzần x r 4 + ‘ 1 xị+

lị= [BeosŸ tật - [=(t+eosaat=4[ tr 2unat Ì#=x+2 2 AO a ụ 1v v2 2 lava 4 lạ = f dx= iam =— ụ 42 eve] ao 3 4 Viv S= [25 -4| (avat)

Bai 8: CAO DANG K¥ THUAT CAO THANG — Tính điện tích hình phẳng giới hạn bởi câc đường

PỊ): V= XỄ— 2x vă (Pa): ÿ = =K” + 4X,

tiải

Phương trình hoănh độ giao điểm của (P¡) vă (P2) lă: x°~-2x=—X”+ 4x

<> -2x" + 6x =0 = Oxix 3)=05x ef v x=3 Diện tích cần m: 3 3 S= [((~xÍ +-4x) ~(x? —2x)Jdx = [L-2X” +6x)dx a Ũ = (š* va | 3

Băi 8: CAO ĐẰNG KỸ THUẬT CÂO THẮNG

3 =9 (dvdt

ne }

1 am |

| Tính điện tích của bình phẳng giới hạn bởi câc đường: y = T~ 2x ,y=X +4 _

Giải

Phương trình hoănh độ giao điểm 7 — 2x” = x” — 4 3X” = 3 că x= [ hiôc xe =l Diện tích 8 cẩn tim

§= fe = 2x? =x? = aydx = [ (3~3x” hă =4(đvdÐ

146

đtz THHÍ MIM DE Khang Việt

HINH HỌC KHÔNG GIAN KIEN THUC CAN BAN

Chayen dĩ $1

# QUAN HE SONG SONG

BUGNG THANG SONG SONG ae

— Dink nghio: afb

oanb=S via be (2)

m

bă

ac (co) => (a) > (f}) = c clog song song via vi b hode tring vdi w hede h

b<()

ĐƯỜNG THANG SONG SÔNG VỚI MẶT PHANG

— Định nghĩ: 4 ff (đ) > a1 (0) = 2

Định lí 2; (Tiín chuẩn sang song}

TT co

ac(a)

——-

Ị

—= Định lí 3:

mec (a) 7 (Pp ab ita

ac(#),

_HAL MAT PHANG SONG SONG

~ Dinh aghias (a) 4 (RB) c> (@) rv (R) = ð

— Djnh 4: (íu chuẩn song song}

(a,b cất nhau C (œ)

(av (ja alfa’, bib’a'b’ <(B)

— Định l5: al (B) yrv(qœ}=a =aib y¬(R)=b LP Rey 157

| Dink iG: (Dinb Vi Talet wong không gian} Câc mặt phẳng song song định trín hai cât tuyến những đoạn thẳ sự tưởng ứng tỉ lệ,

Hưởng dên giải CDBT tit cic TOG Todn hoe — Flyin Hong Sanh, Trin van Toan

(op) ys Ae AB BC AC AA', BBY, CC # (0) AB BC AC AB BC AC 2, QUAN HE VUGNG GÓC

1, DUONG THANG ¥UONG G6c MAT PHANG a — Pith nghia: a 1 (a)

oalb, Vb (a fg) 5k ey —_ Đinh jƒ !; (Tiíu chuẩn vung gốc)

fate g SG

ale

h,e cất ohau trong « 5 — Đinh k2: (Định lý 3 đường vuông púc) '

a có hình chiếu a' trín mit phiing a chia b,

albcra'lb

alfa

I, HAE MAT PHANG VNG GĨC Định nghĩa: (0) 1 (8) o (e).(8)) = | vung a Lb, vb c(a) — Định lí 3: (Tiíu chudn vudng gĩc)

acta) KP { +) =_ Định H 4: (x)1(} (]lứø) — ==eLứœ (a}r(]=e 158

Cty TNHH MTV DWV:l Khang Việt

ood AB —Aalb - Câch Ì: 6 Cụúch 2: i ta, ABLb | - Lay Owĩna =_ Qua ÓQdựng mặt phẳng œ L a tại Ở — Dựng hình chiếu b' của b trín œ

> Dung OH Lb’

Từ H dựng đường thẳng # a cất b tại B

_— Qua B dựng đường thẳng # ÖH cất a li A AB lă đoạn vuông gúc chung,

[TH KHOANG CÂCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẰNG CHEO NHAU

địa, b) = ÂB độ dăi đường vng góc chung _fữ} chứa b vă (œ) # a thì

dí(a, b) = đệa, (0)) —_ Qua hdựng mặt phẳng {da} # a ~ LấyM uĩna, dung MH Lo — Qua H dựng ô'//a cất b tại B = Từ B dựng BĂ # MH cất a tại Ă

AB lă duan vuông gốc chung, a Qua h dựng mêi phẳng (ơ) Ì a tại Ă

~_ Trong (Œœ) dựng qua â, AB L b tại B AH lă đoạn vuậng góc chung

KHOẢNG CÂCH GIỮA HAI BƯỜNG THANG CHEO NHAU 1 ĐỊNH NGHĨA

_ #B lă đoạn vng góc chung của a vă b "Aea,Beb HINH CHOP A TOM TAT LY THUYET - PHUGNG PHÂP GIẢI

Shrine Ate

HINH CHOP

Hình chóp lă lăi:h đa diện có 1 mặt lă da giâc, câc mặt khâc lă tam giâc có

dulzp dẫn giải EDBT tï sắc DT3G Tzản hục - Pham Hồng Danh, Trần Văn Toăn

[_— Chiễu cao h 1A khoăng câch từ đỉnh tới đầy `

Hình chĩp dĩu JA hình chóp cú đúy lă đa giâc đều vă câc cạnh bền bằtg nhau

Bính của hình chúp đểu có hình chiếu lă

tần của đấy A C Hình chóp tam giâc cịn gọi lă tứ diện l:]nh

tứ diện

Hình tử điện lă Hình ehóp tam giâc có đầy lă mặt năo cũng được, đình lă điểm năo vũng dược

Hình tứ điện đểu lă bình tứ diện có câc cạnh bằng nhau,

II DIỆN TÍCH

Diện tích xung quanh cửa hình chớn đễu:

1

Sq = saad 1: số cụnh đầy; a: độ dải cụnh đầy d; độ uêi trung đoạn”

B Hă diện tích đầy

Diện tích toăn phan: S,, = $„„ +-

1 THE TICH

Thể tích tình chó: V = =Bh Thể tích tứ diện: V = zsh

a, b: độ đêi hai cạnh đối

d: độ dăy đoạn vng góc chung a: góc của hai cạnh đối,

TÏ số thể tích của hai hình chóp tam giâc có chung đỉnh vă 3 cạnh bận

“ |

| Vaanc SÂSBSC

HINH CHOP CUT

I, BINH NGHIA

Hình chóp cụt lê phẩn hình chĩp nim giữa

đây vă thiết diện sang song với đây Hình chón cụt từ hình chân đến gọi lì hình chop cyt dĩu,

AECD *2 ABCD

3H BĂ AH

Coy THHH MTV DV2M† Khang Việt

Sp =8y + +

Tiện tich xung quanh cla hình shop cyt dĩu: Say z (na +na’).d n: sỐ cạnh đầy; a, a: cạnh đây d; độ đêi trong đuạn, chiều cao rủa mặt bín HL, THỂ TÍCII

V=Vị—-V; V: thể tích hình chón cụt

Vị thể tích hình chĩp Xạ: (hể tích hình chúp trín

i Vị (= xê I

free | oo ¥, \SH's Ve a (B+B'+ VED} -hB ; b

B,B'lă diện tích dầy h lă chiểu cuo

B DE THI

[1: ĐẠI HỌC KHỔI A NĂM 2011

Chủ hình chón 5.ABC có đấy ABC lă tam giâc vuông cần tại B, AB = BC = 2a: lÏ mặt nhẳng (3ÂB) vă (SAC)} cùng vuông gâc với mặt phẳng (ABC) Gọi KT lă

iby dim cia AB; mit phdng qua SM vă song song với BC, cất AC tại N Biết ¡ giỮa hai mặt phẳng (SRC) vă (ABC) bằng 60” Tính thể tích khối chóp

HCNM vă khnông câch giữa hai đường thing AB va SN theo ơ Giới Ủuh thể tích khối chân §.BCNM (SAB) | (ABC) tho 1(Anc) - [RC/(SMN]) Dae ees =MN = SA (ABC) => MNIVBC

- [ABLBC (gid biết) (SBC),(ABC)) = SBA = 60"

(sBLhc re: „ ) đo BẠN

` Trong tam giâc vuông SBA lâ có SA = AR.tan SBA =2a3

lì: " 2

- Diện tích hình thang BCNM lă S = 2(BC+MN)BM a 20a th), -—

Ỉ s gcu == 7 Sacra SA=5——2ayf3 =a73, 1 13a?

Trang 22

Hường đẫn gải CDBT từ câc ĐTũG Toân học ~ Phạm Hồng Danh, Trần Văn Toăn = Tink khodng câch giữa hai đường thẳng AB vd SN,

Dựng một mặt phẳng chứa SN vă song song với AB bằng câch vĩ NI song sung

với ÂBE săo cho AXUXL lă hình vng uy ra AB Z (SN, 'Ta câ AB // (SND = d(AB,SN) = dA, (SND)

Vẽ AI] vng góc với SĨ tại H

Dễ dăng thấy AH L (SND = d(AB,SNI = địA, (SND)= AII L 1 I 1 13

joe tata z!

AH? SA? AI l?42 a’ 12a

Trong Lam giâc vuông SAI ta có i Wie

Suy ra: d(AB, SN) = AH= == i

Câch 2:

Băi tôn trín La sử dụng câch 2 bằng câch xảy dựng mặt phẳng (SNI) chifa SN Yă song sung với AB, vă khi đó d(AB, SN) = d(A, (SN)

Câch 3: Xĩt hệ trục Oxy+ như hình vẽ, » Ae Oy nĩnx, =Z,=0,cdny¥, = BA=2a => ACO; 2a; 0) B =O = B(O; 0:0) x = Ce Ox nĩa ye =7¢ 50, con xc = BC = 2a => Cf2a; 0:0) : Se (Oyz) nĩn xs =0, con yg= BA = 2a vă øs = SA = 2nv3 = §(0, 24; 2av3)

ME Oy nín xu = z¿ = Ú, còn yu = BĂI = a= M{D; ô; Ù) Ne (Oxy) nĩn gy =0, con xy = BP =a va y= BM =a > Nfaz a; 0)

ape [ay

Bai 2: DAI HOC KHOID NAM 2011 oes

Cho hình chĩp S.ABC có đây ABC lă tam giâc xuống lại B, BA = 3a, HC = 14: mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB =2ay3 vă

SBE=30°, Tính thể tích khối chóp S.ABC vă khoăng câch từ điểm B đến mũ!

phẳng (SACI lheo a i Giải ‘Ta có: d(AB, 5N) =

„Vẽ SH vuông gúc với BC tại H 7 (SBC) 1 (ABC) nĩn SH + (ABC), 182

Gly TNHH MTV ñ/)H khang Việt

SH = SB.sing0" = a3 aca 5 ABC = 6a",

Vyusc= ; SHSasnc= 2073 Vẽ HM vuông gúc với ÂC tại II = BC L (SHM)

Vẽ HK vng góc với SM tại K

~> HK I (SÂC) — LIK = d(H (SAC) BH = SH.eos3ff' = 3a = HC =a — BC=4HC = ủ(R (SÂC? = 4¿Œ1, (SÂAC]) AC= VAB? +BC” —5a

ABCA dĩug dang AMCH => ae git = HM= aes oe ‘

HG AG AC 5

ASAM vng tại H có HK lă đường cao nín;

EERE A A eae Beare)

HK? HM? SH? 9a* 3a? Sia? l4

= ¥iyd(B(SAC)i= 4HK= oS

cũ 2:

ir Tủ có thĩ tinh: d(B,(SAC)) = —2A8C ý 3Vsanc Sasac +}8C = VSH? +HC? =2a

lì ÂC = ơa nín SA” + SC = AC”, suy ra túm giâc SẮC vuông tại S

Do 6: Sasse = 5SASC =a y2L

3 fay d(H,(SACH = s go _ 3207 V5 _ Gay tas 3: CAO BANG KHOI A, B, D NAM 2011

Cho Minh chĩp SABC c6 đấy ARC lă um giâc vuông cđn tại B, AB=a, SÂ lp gốc với mặt phẳng (ABC), góc giiia hai mặt phẳng (SRC] vă (ABC) bằng ¡ M lă trung điểm của cạnh 5C Tính thể tích của khối chóp 5.ABM they a,

=i]

183

Hướng dẫn piñi CPT ti ele BTAE Toân học — Phạm Hồng Hani Trấn Văn Toận Giải

BC vng góc với mật phẳng SAB Góc SBƠ= 340” nín SÂ = -= v3 d¿M.(SABR}) = = aC (SAB) = T— 5 et Ì a S1 Sa Š2 (i \2 ra J ee Cứch 2: 1 a1 J3

Vsanc= —S SADC 3 AAFC SA= F

§M 3

Sanne „ SRARC se 2 ode Vy, AnM ®———— any 36

Băi 4: ĐĂI HỌC KHOI ANAM 2010 -

Cho hình chúp S.ABCD có đấy ABCD lă hình vng cạnh â Gọi M vă N lần

lượt lă trung điển của cứu cạnh AB vă AI; H lă giao điểm của CN vă DM Hiết

Sil vng góc với mặt phẳng (ABCD) vă SH = av3 Tính thể tích khối chún

5,CDNM vă khoảng câch giữa hai đường thẳng DM vă $Ố theo a, Giải fat 2 See HH -558 oa (dvdt) m 5 ;a85`- ai că = V@NocwE 2 = ———tâvtD N Nom te „` „1G | 1 €

Ta câ 2 tam giâc vuông AMD vă NDC blog nhan Ù Nín góc NCD = ADM Vậy ĐM vuông NC

3

a 2u

Vậy tả có: DCP =HC.NC u HC =——>~= at xế

2

Ta có tar piâc SHC vuông tai H, vă khoảng câch của DM vă SC chính lă chiểu

cao h vẽ từ H trong tam siâc SH

Tu, } 5% |, T13 2n/3 Nín ——=——~+—-r“=-z+†+-+=“—xz=h= k nh? Hc? SH” 4a? 3a? 1287 s9 164 ty TMI:|L T2 VVH Khâng a

‘Bai 5: DAL HOC KHOI D NAM 2010

Cho hình chón §.18CÐ có đẩy ABCD lă hình vng cạnh â, cạnh bín 6A = ạ;

| bình chiếu vưởng góc của đỉnh 8 trín mặt phẳng (45CP) lă điểm 4 thuộc đuạn _ AC, AH a Goi CM 18 dutng cao cla tam gide SAC’ Ching minh Af IA trung AC igh

Giải In 8 Ta od SH= 1a? | #¥2.) ave Ỷ 4 4 bó liín s J m5 gl ha? US A M cự lệ“ ant ‘rae ee

_Vậy ASCA cđn tại C nín đường cao hụ từ C

ung ASAC chỉnh lă trung điểm của SA, 4

“TY M ta ha K vudng góc với ÂC, nín ME = „ấn

- sag

“Tu có V@Ano) = | a2] Set c JENA a

A Ayal rT hay ate RTS Ñ

Nĩn WMAUC) = ViMSAC) = 7 WISABC) = (dvde)

lùi 6; CAO BANG KHOL A, B, D NAM 2010

t “Cho tình chún §.ABCD có đấy ABRCD lă hình vng cạnh a, mặt phẳng SAB) vuông góc với mặt phẳng đấy, SA = S8, góc giữa đường thẳng SC vă mặt phẳng dây bằng 45”, Tinh theo a thĩ tích của khối chắn S.ABCD

ị Giải

gi H lă trung điểm AB § Ta cĩ tam giâc vuông SHC, có gâc $CH = 450

Hiín lĂ tan giíe vng cần

h [ 2 si C

Vậy HC =SH = Ja? iB tạ SE : 4 2 *

Fi 1 ;aS "1/5

We =n a (ver gt ety toe

Mating dar din gidi GDBT Wy cay BIÖB Toản hẹt - Phạm Hếng Danh, Trần Vấn Tphn `

Băi 7: ĐẠI HỌC KHỐI Â NẤM 2009

Cho hìah chớp S.ABCD có đây ABCD lă hình thang vng i A va D:

AB = AD = 2a; CD = aj ede gitta hai mat phing (SBC) vi (ABCD) bằng 60" Goi

[la teung diĩm efia cunh AD, Bidt hai mat phiing (SBI) vA (SCD cing vedng poe | với mat phing (ABCD), tiob thĩ tich khĩi chop S.ABCD theo a

Giải

(SIE) L (ARCD) vă (SIC) L ABCD)

Suy ra SIL (ABCD) 5 Kệ IK | BE £ BC) = BC LiSIK) > SKI=00" Diện tích hinh thang ABCD: Sagen = 3a

B 3a?

Tổng diện tích câc tam pide ABI vi CUI bing —— 2 K

3uˆ

Soy ra Syac = ——— ¥ at 3

15a

nh Same _ Bo = (an cụ} +ÂP? =avV5 = IK = Sor tr gir

TS:

= S1=1K.tanSKI=- = :

2 “ ĩs 1

Thể ch khối chóp: S.ABCD: V = 7 Sqaco SI = tđvt)

Bai 8: CAO PANG KHOLA,B, DNAM 2009 — ¬

Cho bình chấp tứ giâ đều 8.ABCD có ÂH = a, SA = a2 Gợi MỤN vă P Kin

lui 1a trong diĩm ea edie canh SA, SB va CD Ching minh rằng đường thắn

Giải

Gại L lă trung điểm AB

Tu cd: MN ff ABCD va SP LCD => MN 1 SP

ho],

le,

a? Ta? iw ASIP edin lai 5, SẺ = 2n -Ô3 ~— ->SI=SP=

4 4

n oS jee A: ay Ga? Gui O li dia cla hinh wong ABCD, w cd SO" = ST — OF = —~ 2, ay

fe

=>S0= = Hlơ hình chiến vng gâc của P xuống mặt phdng SAB

dê 2 ale

` PHšI= PH= TT = : : I

Tả vâ Stgqp LEO (BE) 2 "SOI Ss

MN vng góc với đường thẳng SP Tính thee a thể tích: cđa khối tứ diện AMNE

Gy TKHH NIT DWH Khang: Vist

Hifing din giai QNAT ht ede HTOC Ton hoo — Phạm túng Danh, Tiểa Văn Toận

Cty TNHH MTV OVVH Khang Vid

1 AT ave a1 V8 V = Scam: HH Ni + =* (av)

19: ĐẠI HỌC KHỔI B NĂM 2008 -

[Cha hình chón $.ABCD câ đấy ABCD lă hình vng cạnh 2a, SA = a, | sB= a3 va mat phiing (SAI) vudag gốc với mặt nhẳng đầy Gọi M, N lần lượt JA trung điểm, của câc canh AB, BC Tinh theo a thể Lich của khối chĩp S.BMDN 3 tỉnh eosin của móc giữa hai đường thẳng SM, DN

ms oe

Giải

._ Gọi H lă hình chiếu rủa 8 lín SA

=> SH | {ABCDI) do đâ SH đường cuo hình chúp

‘© Tacd: SA’+SB7= a" 4+ 3a" = AB” rín

Si B vuông lại 5, suy ra SM = = =H

*` ø

n3

® ASAM dĩu cao bling a> sH ="

Ly

c® Suspr = TỔAhcb 2a? B N €

“8 Thể tích khối chóp S.BMDX lă: V = me = aw) Tĩnh caxim Kế MU DN (E6 AD)},suyTa AE =

|

wie

Địt @a lă gốc giữa hai đường SMI vũ DN, bị có (Sin

Theo định lý 3 đường vuông gúc, lă có SA 1 AE, 1

i Fat aN

Suy rit SE= SA? +AB? = oe ME = VAM? + AE’ = =

Tam gidc SME can i E nĩn SME =o va gol 1A trung điểm SM a

ete See ee = 2 Khi dĩ: cosy =—2 = 2 avi x 5 th

3

đăi 10: CAO BẰNG KHỐI A, B, D NAM 2008 a

| Cho bình chĩp S.ABCD cĩ diy ABCD lă hình thang, BAD = ABC =90", Ald = HC a, ÂD = 2ù, SA vuông gúc với đấy vă SA = 2a Goi M, N lĩn lượt lă te ng điểm của SA SI1 Chứng minh rằng RCNM |i binh chit nhgt va tint: thể

lỉch củn khối chónp S.ACNM theo a Giải puna AD [BC/ AD => MN#BC

Ta ed:

MN = gAD=p= BC Suy ra; ide lă hình bình lănh

BCLSA BC 1 (SAB) BC _ AB MZ <(SAB}

= BCNMI lă hình bình hănh có 1 gâc vuậng nĩn BCNM 1a hinh chit ohat

Gợi H lă đường cao XAM],

oe LMB Suy ra Mặt khâc: { = AH 1(BCNM) AH 1 BC(BC1(SAB))

Do M lă trung điển SA nín: d{A, (BCNM)) = d(3,(BCNM)}) = AH mo

Vs BCMN =F Secu: AB = (a aay?) Š 2, Ẻ Hăi 1Í: ĐẠI HỌC KHỔI A NĂM 2007

Cha hình chân §, ABCD có đây lă hình vng cạnh a, mặt bea SAD Ji tam giâc đểu vă nằm trong mặt phẳng vuậng góc với đầy, Gọi M, N, P lẫn lượt lă trung điểm của câc cạnh SB, BC, CD, Ching minh AM vudng gdc vdi BP va tính

thể tích củu khối lứ diện CMNP

(avi

Giải

Chứng 1mỉnh A1 L BP vă tính thể tích ki;ối tứ diện CMNE

Gọi H lă trung điểm của ÂD Dan ASÂD đếu nín SII.L ÂD

Do (SAD) 1 (ABCD) nĩn SH 1 (ABCD)

= SHLBP (1)

Xĩt hình vng ABCD La có ÂCDH = ABCP => CH 1 BP (2) Ti (1) va (2) suy ru BP L (SHC) VIMN/SCG va AN # CH nín (AMN) #(SHC) Suy ra BP L (AMN) => BP LAM Kẻ MK 1L (ABCD), K s (AHCD)

l

Ta cd: Vounp = ZMK Scup D

exits Mins Paving Tear oa

Cho hình chúp tứ giâc š ABCD od đẩy lă hình vuông cạnh a Gọi E lă điểm |

đối xứng của D qua trung điểm otia SA, Mla trung điểm cla AR, NIA truag điển

của HC, Chứng minh MN vuông góc với BD vă lính khoảng câch giữa hui đường th ng MN vi AC theo a *]

} Gidi

‘Goi Pla trưng điểm của SA Ta cổ S

JMNCP lă hình hình hănh nín MN sang

song với mặt nhẳng (SÂC}

“Mặt khâc, BD L (SÂC) nín BD - MN

MN (SAC)

nĩn d(MN; AC) = sah (SAC))

a sẽ

Vily d(MN; AC) = sid (SAC}) =2BD=

ủng kinh cla Attn SB, ti minh tam gide SCD vides vê tính khoảng câch đến mặt phẳng {SCD) theo a, Giải

Gọi I tă trung điểm của AD Tủ có: A =lD=IC=a=CD L AC “Mặt khúc, CD L 5A Suy ra CD L %C nín ®um giâc SCD vng tại C

a

Trong tam gide vudng SAB 1a cd: D

SH_SA? SA? 2a? 2

sp? SA °+AP2 2u* +a" 5 3

§

3 Xusco - SA SHứb My i awn BC=da SCD Sscu 2

aa ee Sa ae

as odemen at fea? 4 AD? + BC? VIC? 41D? = a2 V2,

Trang 23

Hưởng dẫn niải G2BT tú câc [04 Toần hạc - PFạm Hêng ñanh Trần Văn Toăn

a

Suy ra dy =

Vậy khoảng câch từ H đến mặt phẳng (SCD) lă: đ; = : dị ;

Hăi l4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006

Chu hình chúi› S.ARŒD có đầy ABCD lă hình chữ nhật với AB =a, AD = a2 if SA =a vă SA vuông gốc vĩi mat phdng (ABCD) Goi M,N liln lượt lă hai trung

điểm của AD vă §C, Llă giao điểm của BM vă AC Chứng minh ring mat phiing | {SÂC) vuông gốc với mặt phẳng (ME), Tính thể tích của khối tứ điện ANTB

Giải Xĩt AABM vă ABCA vuông có ˆ- cia oS => A ABM dĩng dang A RCA => ABM =BCA

BCA+ BAC =90° > AMBy BAC = = AIB=90" = MB LAC (@ SA L(ABCD)SSALMB #), 5 Te (1) va (2)= MB L (SAC) —> (SMB) L (SAC)

Gọi H lă rung điểm của AC B c

=> NI1 lă đường trạng bình của Â SAC

_a

3 vă NH /(S5A nín NH L (ABI) << 3 I De di Vanie = gH Saat ' an = -BI = AB - AP Al AB AM 25 Sy uy

ave aˆv42 lan v2 n2 =DlI=——=S 3 Abt = = = Y¿wkIBE—.—: ANB ES —e = S6 (dvi) vu

Bai 15: PAT HOC KHOI D NAM 2006

Cho hình chóp tam giâc 5.ABC có đây ABC iơ tam giâc dĩu canh a, SA= 2 vă SA vudng gĩc vGi mat phing (ABC) Goi M, N Jin lượt lă hình chi€u wuong

Giải

Thể tích của khối chap A.RCMN,

Gụi E lă trung điểm của BC 170

gúc của Ă trín câc đường thẳng SB vă SC Tỉnh thể tích của khối chón A.J3CNMI._

a Cty THHH MTV BVVH Khang 2

H lă hình chiếu vuông ốc của Aten SK,

Du BC _ AK,EC.L SA nín BE L ĂH 5 Do All | SK, AH BC nĩn AH L (SBC)

ĩl iam giâc vuông SAK:

ae 1 an 238

AK? SA? AK” v19

Net win gide vudng SAB;

A SM SA? 4

SA? =SM.8R= 5” sp’ == a= 5 :

SN SA? 4

iâc vuậng SẠC: SA? =§N.SC=—=——~==

- Xĩt tìm giâc vuậng SẮC SA oa eet

Ssuw _ 6 9 9V19n?

: SN =— = SnrwN =scSSBC = Tra —-

Suy ra: Beye 28 TIPMN TT Nhac seo

3

vđn (deen) 50

; 5 Ï suy 3 Vậy thể tích của khối chúp A.BCMN lă V = 3 All Secun =

i 16:

Cho hình chĩp t¢ giâc đều S.ABCD có cạnh đây bằng n, góc giữu cạnh bín vă mặt đầy bằng ÿ 0 < @ < 90) Tỉnh tang của góc giữa hai mặt phẳng (SÂB)

(ABCD) theo q Tinh thĩ tich khĩi chớp 8,ARCD theo a va 9

k Giải

Ta có góc của cạnh bín vă mặt đây bằng 9, Suy Tụ SBÕ = Pp

av2

——tang

/ A SOH có tan = = = Sees sou $0 Ve OLL AB]

Ta gâ SỐ L AR

= Góc của (SAB) vă (ABC) lă SEO

avi lang

a =

tan SIO = aay i 5 =2 lantp 2 => AB L(SIO) về tan œ (8v) 1 aye

YsaBcp ¬- Sante Hit a =

17

tưlng tết giải CDBT lử câc TOG Tuan ton — Pham Hĩng Danh Trdn V13 Toăn

Băi I7:

Cho hăi mặt phẳng (P) vă (Q) vuông gâc vâi nhau, cđ piaa tuyến lă đường thẳng, A Trĩn A lay hai điểm A, B với AB = a Trang mặt phẳng (P) lấy điểm €, trong aiặt phẳng (O] lấy điểm D sao cho ÂC, BD cùng vuông góc vâi Â vă AC = BD = AB, Tính bân kính mặt cẩu ngoại tiếp tứ diện ABCD vă tính khoảng câch từ Â dến mặt phẳng (BCP) theo a,

Giải a

Gyil li wung diĩm cita BC, (đ) qua |,

(d) 1 (ABC) lă trục của đường tròn

ngoui tiến AABC vuíậng cđn tại A (đ) r (1C) = F lă trung điểm DŒ (da DF lê trung tuyến trong A vuông}

<> FIA tam mat cẩu ngoại tiếp tứ diện:

kK R=FD= = “2 (BC=aV2:BD=a) ©) 1(Q) P %% Ta có : peu): Bc (Q) [BDL (Q)

Ma Ale (P) > BD 1 AI, BC L AI (do AABCD vuông cđn)

a2

= Al (BDC) > d(A(BDC)} = Al= Ẻ fz ;

Câch 3; Chọn hệ trục Axyz san cho A(O; 0; 0) ere BO, a; 0) Dia;a; 0) C60; 0; a) Kx; y; 7) An B ycht > [A=IB=IC=ID=R a a3 LE) 30s y s R=lÂ=—— 3 Mật nhẳng (CD) cú VTPT n =(0; ars a'}=2? (0; 1;1) Suy ra phương trình mặt phẳng (BCD): Yy+?—=Ũ=d(A,(BCD))= oe Bai 18:

Cho hình chóp tam giâc đều S.ABC đỉnh §, có dG dai canh diy bing a, | Gai M vă N lẫn lượt lă trung điển của câc cạnh §B vă 8C Tính theo a diện tích tam giâc AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuậng góc với mặt phẳng SBC)

172 l

Gly TMHH MTV DVVH Khang Việt

Giải Goi SH 14 đường cêp himh chop SABC Ta có H lă png tim AABC, kĩ AK L MN

(AMN) L (SBC) = AK 1 (SBC)

Gọi I lă trung điểm của BC, ta cố: N

$, K,1 thằng hang vid AH = 2HI

_MN lă đường trung bình trong ASBC A -= Klă trung điểm của SI

= T

=> ASAT cintai A= SA= ara S82

“Ta có SHÌ=SA?— HA?= SỈ — se B 2

eo sPasa?—tsa?y tga? 2542", sị-3⁄2 9 9 3 2 2

“Xĩt AARTta có = AKÌ=<Al-

ÿ 10 + fin

= AK= = vay Saanny -5AKMN ee el (dvdr) -

_ Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vudng gĩc vdi mp (ABC) AC = AD = dem,

B = 3cm, BC = 5cm Tính khuảng câch từ điểm A wi mat phing (BCD)

Giả

fap sass Ate AD LAC

BC’ = AB? + AC? + AARC vung iA

Saxnc =6(em”) Sascp =234(em2) Goi a(A, (BCD) = AK

Vasco =1Sn¢-AD =18ycp.AK => AK = SA8oAD _ 6/34 3 3 i TH

2: Kẻ DH LBC =AH.LBC (định lý 3 đường vuông gúc} Kẻ ÂAK.LDH a

ach RCI(ADH) > BCLAK (2) (1), (2) => AK L(DBC) = d(A, (BCD)) = AK

| { TIẾN: 17 " e

=—_.+——-——t—~ Say AKI muội eeARS AD? AH AB AC (em) = Ra tem) pie Am 173

Hưởng dẫa giải CDBT ti cao ETE Toan hẹc — Phạm Hồng Danh, Trần Vấn Teảii

HÌNH LÊNG TRỤ A TOM TAT LÝ THUYẾT - PHƯƠNG PHÂP GIẢI I ĐỊNH NGHĨA

Tinh lăng trụ lă hình đa diện có 2

khơng thuậc 2 đầy song song với nhau, II TÍNH CHẤT

Trong hình lăng trụ:

—_ Câc cạnh hín sang song vă lbïng nhđn

vˆ Vấn dĩ 2:

mặt song sung gội lă đấy, vă câc cạnh ,

== Câc mặt bín, mặt chĩo lă hink bink hah, Hai đầy có cạnh song song vă bằng nhau

III LĂNG TRỤ ĐỨNG, ĐỀU LẶNG TRỤ XIÍN

Lăng trụ dứng lă lăng trụ có cạnh bín vuẳng góc với đẩy E' T Lăng trụ đều lă lắng trạ ding 06 day la da pide đều ị

Lắng trụ đều có câc mặt bín lă hình chữ nhật bằng nhau

Lêng trụ xiín có cạnh hín khđng vng góc vải đây

IV HÌNH HỘP

Hình bật; lă lầnh K:ig trụ có đây lă binh binh hiiah

— Hình hận có câc mặt đối diện lă hình A ñ

bình hănh song song vă bằng nhau, fi 5

Câc đường chĩo hình lộp cất nhau tai te

trung điểm x 3 te c6 lề uy Hình hộp đứng có cạnh bín vung xả? x a

gúc với đấy of : 1ũđnh hộp xiín có cụnh bín khơng D ` vng góc với đây

Hình hập chữ nhật lă hình hập đứng có đẩy lă hình chữ nhật

Hình hập chữ nhật có câc mặt lă hình chữ nhật

Độ dăi câc cạnh xuất phât từ 1 dỉnh gọi lă kích thước của hình hộp chữ nhật

a,b,c

Câc đường chĩo hình hộp chữ nhật bằng nhau vă có độ dai d = va? +hể +cŸ Hình lập phương lă hình hộp có 6 mặt lă lìnH vung

Cc cạnh củn hình lập nhưng bằng nhau số đo a Câc dường chĩo hình lập phương cố độ đăi: d = a 3

174

Cly TVHH MTV D⁄⁄H Khang Việt

, DIỆN 1iCH XUNG QUANH VA DIEN TICH TOAN FHAN Sie ol p Rv chu vĩ thiết diện thắng

11A độ đăi cạnh bín

- Lăng trụ đứng: 5„;¡=pnh lă chủ vi đầy

hla chiếu cap

— Hình hộp chữ nhật: 5¡, = 2(ab + be + ca) a, b, ¢ la kích thước của hình hộp chữ nhật ,VI THỂ TÍCH — Thể tích của hình hộp chữ nhật: abc — Thể tích hình lập phưưng: V = a — Thể tích lêng trụ: V=B.h a, b, e lă kích thước ô lă cạnh B lă diện tích đây h lă chiểu cao

8 lù diện lích thiết diện thẳng

fla canh hĩn V=s8i

= Thể tích của lăng trụ tam giấc cụt: _ lêng trụ tam giâc cụt lă hình đa điện

hai đẩy lă tam giâc có cạnh bín song t song khơng bằng nhau

v.ă! b+e 5

t 3

; ‘Sa diện tích thiết diện thẳng

_ 1.b,c 1ă độ đăi câc cạnh hín

B DE THI |: ĐẠI HỌC KHỐI R NĂM 2011

nụ 60" Tinh thĩ tich khối lừng trụ đê cho vă khoảng gftïi tit ‘dint tău Bị = ng (4\BD) theo a,

\ Giải

tội Q lă giao điểm cửa ÂC vă BD = Â¡O.L(ABCD)

gì [ lă trung điểm AD

: OLL AD (Vì ABCD lă hình chữ nhật)

Ai LAD [VIAD L(AIO)

Pena oe im BE HH KẾ rar a

Eufru dẫn giải EDBT 3 c&s HTGE Tu 1ục - Phạm Hững Eanh, Trần Văn To3n

va (ABCD) la (iO = A,IÖ =60”, a D 'Ta có: OL= = AjO = Oltanet" =>

Saucy = AB.AD = 22.3

Say ca; Vapen.aB,cyo = Sauce MOR ì 3a?

Goi M lă hình chiếu vng gốc của điển

Bị trín mật phẳng {ABCL),

suy ra: BĂ Â:O vă M € IQ

Vẽ MH vng góc BD tại H, suy ra: MIH | (AIBD) Vì BỊM // (A, BD) nĩn d(B;, (A;BD}) = dM, (A, BD)) = MEL

Goi J lA giao điểm của OM vă BC, suy ra: OJ L BC va J 1a teung diĩm BC

ẩ I 1 BC 1, av3 a2V3

Tả có: Sang Ao = = —OM.BJ = —A)B,.— = -a.—— patie Đệ = —— ` a1

Ta lại có: Ssoew= OB, wH SE, (AIBD)) =MII = 280m -—4 any

Cach 2:

Ta có: BịC AyD = B,C # (AyBDY = d{B), (A|BD)) = d(C, (A,BD))

Vẽ CH vng góc với BD tại H

—=CH + (AIBID)

~> d(H;, (A¡BD)) = díC, (A,BD)) = CH

Trong tam giâc vng DCB ta có hệ thức CH.HD = CD.CB, từ đó tính đư1c CH Câch 3: Ta cĩ: d(B), (A\BD)} = See ŠaAIBD 1 3 —_ ` 1

* Vann a), =2 YAbCD.AiBiCiD, ` 1 a Ai

* Va app => Sagp-AiO == Vpn: A

‘Ciy TNH MiTw OV Kh lang Việt

3 a

* Vajajia = Yapp.)3)0) ~ ¥4,.aeo — Yp.ayB,b) = ae

ie

2 L ava

+ Sgqyao =ZBDAO=2S

+ d(B,, (A|BD)) = alae

“AAgBD

gai 2: DALNOC KHOI B NAM 2009

Cho binh lang tru tam giâc ABC.A'BC' có BB' =ú, gúc giữa đường thẳng BB' vă

m tphing (ABC) bằng 60; lam giâc ABC vuông tại C vă BAC = 60", Hình chiếu

vng gâc của điểm B' lín mặt nhẳng (ABC) trùng với trạng tđm của tam giâc Œ Tính thể tích khối tử diện Ơ'ABC theo ơ :

Giải xă EG-2=BD- 2 ^^ 4 E&

Tạm piấc AC có: nce ace co Mo cad BC?+CD?=BD?= 245°, ABS a! Teo TẾ

h5 Ệ

PAL toe An ae Be mo (ữvdÙ

a3

“Thể tích khối tứ diện A*ABC: ¿pc = VpApc ~3DGS ae “3 (đvt)

lh] 13: ĐẠI HỌC KHÔI D NĂM 2009

: ae hinh Ming trụ đứng AHC.A BC" có đây ABC lă tam giấc vuông tại B, AB =a, a, | = 2a, A'C = 3a, Goi M lă trung điểm cia doan thang A'C’, 11a givo diĩm ella

vă ÂC Tính theo ơ thể tích khối tứ diện LABC vă khcông câch từ điểm A

đến mặt phẳng (TBC)

Giải

-Hạ IH.L ĂC({(H e ÂC) = H1 L (ABC); II lă đường cao của tứ diện ABC

Ban OF eet alte Fie AA’ CAT 3 3 ø

AC= VĂC? -A'Â? =av5, BC =vVAC? - An? =2a

Trang 24

Ilư#ng dẫn giải #3D1 từ câo BTOG Tedn hoe — Ehạir Hêng ñanh, Trần Vêa Taăn

Diện tích tam giâc ABC: Saauc = 3.ABiC= ee dung

31

Thể tích khối tứ điện TABC: V = STHSxanc = a 3ại Hạ AK L AB (K < AB) Vì BC L(ABB'A)

nĩn AK LBC A

= AK LfIBC) Nín khoảng câch từ Ă đến mặi nhẳng (13C) lă AK

"` 2nxl53

AB van? +AB? 3

Bai 4: DAIHOC KHGIANAM 2008 — _

Cho lắng trụ ABC.A'BC' có đê dăi cạnh bín bằng 2n, đẩy ABG lă tam giúc | vuông tại A, AB =a, AC=av3 vă hình chiếu vng góc của đỉnh Â' trín mặt

phẳng (ABC) lă trung điển của cạnh BC Tính theo ô thể tích khối chĩp ALABC

va tink eosia của góc giữa hui đường thẳng AA., ĐC,

Giải

Gụi H lă trưng điểm BC Suy ra AH L (ABC)

XÊ )AN < CRGU-Ẻ đi đuế s8 g3

Do dĩ: AH? + AH? = da" => A'H = av 3

cots Cty TRHH MTV DYVH Khang Vide

Bo N la teung điểm BT => d(B', (ABN) = d{B, (AMN})

Gai H lă hình chiếu của B lĩn mp(AMN) 1 = 1 + 1 +— 1 BA’ BM’ BN? N2 ; 5 a" ae an

_=BH=—- Vậy d(EC:AM)= co Me

ai 6:

Chư hình lập nhương ABCD, A'BŒP Tính số đo góc nhị diĩn [B, A'C, DỊ, |

Gigi

Goi O= AC ABD vả cunh inh lap phucng bing a -+ AB=AD=av2 =HD

Tạ có AACB =AACD (cạnh - cạnh - cạnh) q Nín vẽ BH | AC

= DH LAT va BH= DH => [B, A'C, D]= BHB=2ERö ~ABHD cin tat H > HOLD

ay2 B

Huting dan giải COBT li gấo BTGG Tašn hạc - Phạm đồng Danh, Tiễ1 Văn Toăn

* Tacĩ i -| oa a ANS 4) sit

2

Tiong uf MD® = DN? = BN? =a” + MD? = DN? =B'N? =B'M? (1)

— s 2

Mitkhic DM.DN=— ——+— 1 3a? h 4 4

(l}> R'MDN lă hình thoi rín RFXIDN lă hình vng khi:

DM.DN-O¢> h*=2a? œ b=av2

Bais:

Cty THHH MTV DVYH Khans vitt

Mẽ=[ ` si 3) aN : [ $0 A bì

ủ

Ta có MP.CJN =U => MP L CỤN, Vậy gúc giữa MP vă C,N lă 001,

HINH TRU - HINH NON — HINH CAU

A TÔM TẮT LÝ THUYẾT ~ PHƯƠNG PHÂP GIẢI HÌNH TRỤ

Vấn để 3:

ĐỊNH NGHĨA

Hfinh trụ lă hình sinh ra bởi bình chữ nhật YOMM' quay xung quanh cạnh OO'

_ Cạnh OMI sinh ra hình Irịn đầy,

Cạnh RÍM sinh ra mặt nón trịn xoay, MM gọi lă đường sinh OO' lă trục của hình wy h= GƠ lă chiếu cao

L R=OM bain kioh diy

, DIỆN TÍCH HINH TRỤ

Diện lích xung quanh: §„„=2xRh — R; bân kính đấy lì: chiểu cao 8 = 2Rah + 2xRẺ

3 _ ie C Cho hinb lap phuting ABCDA,B)C,D, có cạnh bing a :

Way đy: Vụ xac =2 A'H Suapc =T— (vi) DOU y a ad H 3 Ta cd si poo - 2? = a oe 3 33 BuO = 60" 9n nợ B, A'S D] = 120! 4 “TöÂpbyptb t6 fgpfclogtf: Bâ6đfng BỸng J9 TIIN b Gọi M,N, P lẩn lưt lă câc trung điểm của cfc canh BB,, CD, AiDh x ae oat i lă BỊD I, THỂ TÍCH HÌNH TRỤ 4 Verh — R:bânkinhđâ my a MA ee h¿ chiế P PHICH-AP

* Trong tam gide vubng A'B'H ta cd: xe R ĩ 1: 7 ì | _ Tính gâe giữa hai đườag thằng kíP vă CN, x i ook aa ) HINH NON

He =VA'R? + ATP 220 nĩn AB'BH cin wi BY fi at Ge ues Sa a-Ennti Gidi BINH NGHIA _

— ih ling bru 7D, ARC TY dy ABCD 1a hinh thai canh a, ; “i ‘ : ee ic

© Datel _ nh hai ca thẳng AA' vă BC thì o= BH ; > BAD = 60", Goi M 18 trong diĩm canh AA’ va N 1A wrung diĩm canh CC’ Đi Cố naiaiae ot eee Chọn hệ trực Axyz nhữ hình vẽ Tình nốn lă hình sinh ra bởi tam giâc suông

if : : Š quay xung quanh cạnh góc vng ƯS Vậy cone = aos ; | ai 1 a trung diĩm BH) Chứng minh rằng bốn điểm B', M, D,N cũng thuộc mội mêt phẳng Tú cú A(0/0,0)¡ Ba; 0,0); Cíai a0); DA); n; 0) tíTHỂ? rÐTETT K.yb QMvishtea Mình 2n đếy

HH 22a Hêy nh độ dăi cạnh ĂA' theo ô để tứ giâc BMDN lă hình vng it 0i AI 1,BER S003 PIÍN t.A)¡, HATA) si Cạnh SM sinh mă mặt nón trồn xui

Băi 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 § Gait Sai By lide Wc i ạnh S 8 mặt Bồn tr oy

Cho lêng trạ đứng ABC ABC có đíy ABC lă tri giấc vuông, AB = BC = ¡, 7 ï nh 2 ore hae rt ỀM gọi lă đường sinh, SỐ lă Lrục boănh, đường cao M mn Be 5 GoiM lă điể h BC, Tính th hể tích Tam giâc BDC dĩu canh a, AA'=b ms 5 But a ti R =OM bún kính đấy; h= 8O chiểu cao

ont we AA‘ =ay2 Goi KH liểm của SN Ất eo a the tic: Chọn hệ trục như hình vẽ, at AjB=(a;0:—a) DỊD-(~a; 3; —a}) fee ee DIEN TÍCH của khối lăng rụ ABC.AB'C va khodng câch giữa hai đường thẳng AM BC 5 Goi (Py 1A mat phi aB,D vk (P)/ AVR Ỷ aie ea ng lu

Giải Ta câ: B( ¡út Oy; Dễ ¡0;0; C(0: 2%2;0); By 2; 0; pis 0; hk: lọt () HĂ mặt p ne HH aH ay MỊ? „ Điện tích xung quanh hình nền: Si =RRI

+ 2 2 ~?» (P) cố VTFF n =(1,2, L) eS N R: bân kính day Ỉ đệ dăi đường sinh ' “Thể tích lang wy: V =, = 22 av7 =22.3 avn) g uụ: de! 3 3 Cú); “8 “he AMO: - * sh); Mca; —- : : zi NO; - - 5 awd hh 5 = PL(P): x+2y+¿—2a=U e B a we tích toăn phẩn: Sụ = xRÍ D + xR” = mRÍ + R) z

* Goi N tung diĩm BB! |" tim ” _» d(A,B, B,D) = d(B, (P)= % , THỂ TÍCH :

178 179 180 :

181

Iuing dẫn giải EDRT 1# câc ĐTQG Taôn hạo - Phorm Ang Danh, Trấn Van Tuan rx Cty THHH MTV EVVH <harg a Huong din gi CURT WW tĩe LIGG Teds hoc - Pham tt4ag Dans, Tra Van Toan Gly THEH MTY DVWH ang Vist

HINH NON CYT Giải % % 2

1 BINH NGHĨA Gọi 1H lă trung điểm của BC, theo giả thuyết ta có: 1D) Chuyĩn dĩ 6: BAT DANG THUC Xĩt hăm số f(t) = ar 3*1ại tín H1:

4» 11A ert +

Eint-nẩttegtlE:yiu Ha dăugiíu đysginỒïN§ da cảng g46401uạe, Goce ATIA = 60" A PHUONG PHAP GIAI — ` 4 D1312 t1 2 Vzel:2]

Hình nón cụt sinh bởi một bình thang vuGug OMM'O'quay quanh OO" “Ta có: AH= od ACH = QAH = ‘sv 1 Mật số ph nhứt nh 241 2u+12 ’ es

h=00' chiĩu can MM! =/ la dudnag sich 2 * ai , (utb)Ÿ>4ub ; Vaub = : 34

Mey ‘a bam s ich biĩ ẻ 144: : <l2)=—

if DIỆN TÍCH F av3.J3 căn Y ee hash Suy ra hầm số nghịch biến trín [1; 2], Dao đó: Fú) < f2) 3 Diện tích xung quanh: S„„= T(R + R)f R 2 đc + « laleta va zx Howes Xe]

R; lă bân kinh iy hề kg dị Vậy Mí ch khối tig trụ » la+blslul+ b Yad OO nie aegis z aay

Điện tích toăn phẩn: Soo (RRC RỂ + xRỂ va (a viôa 3a v3 » la-hl> al-lbl ¡va,b es en Re Ce ens tỳ lu ™

HI THỂ TÍCH 4 2 § - views 3 bisa [un Ena

3 1 ly Điều - Kẻ đường trung trực của GĂ tụi trang, IL Bat ding thite Cauchy a dine 4 "co

Thể tích hình nón cụt: = sak +R7+ RR)h iĩm M của GA trong mặt phẳng A'AH Cho bai:sế a;b không đm thấy x=4,y=l,z=2t oe

R, R* lă bân kính đầy betta eas ales 1 ` nh a Denvudaberally elu 1, Ta có: n+hb> 2vnb dấu “="xdy ra khia=b Vậy giâ trị nhỏ nhất của P bằng SE KHI TIẾT TP Căi

2 oại tiếp tử ciiệa GABC, 2 Nếua+b= corst thĩ tích a.b lín nhất khi a= b feh 2:

HÌNH CẤU “Tú có: GM,GĂ =G1,G1 3 ĐI Ex heedlxedbtEne s1 L€PTEEP KHÍ ss<k og §

¡ : 2 Neu 9b = const thi tong a +b no hae hit a = - Lấy đạo hầm theo biến z tă được:

I BINH NGHIA ! : R=eG<= GMGA _ Ga _ Gl +ĨA IAG 5 + 3 Ta B ĐỀ THỊ = % 3

Hình cầu tđm Ư, bản kính I lă tập hợp abững d.ểm M trang Không gian thoả T?RE=H4E TH mm Ạ0 l1 Je oie : x Â#- DÌC _xy)

ơn điểu kiện OM<R : ail; DAINOC KHOI ANAM 2011 tự) =0— + Til a: BREE PT Mặt cầu tim O hân kính R lă tđn hạn những điểm M1 trong không gian thoả ike i 2 ee Sat He KUỔI A NĂM 20106 Cho hình trụ có câc đấy lă hai hình trịn tđm O vă Œ, bân kính đầy bằng : i Cho x, #, ¿ lă ba sf thy thugec đoạn [1; 4] vă x2y,x 2# vớ if 5 lỗ an [Ì; : S my Ga Em) th in : ; 3

mên điều kiện OM=R ghidu củo vă bằng ú Trín đường trồn tấm O lấy điểm Ă, Trín đường trịn Lđm 0! Tìm giâ trị nhỏ nhất của biểu thức T = i : + Nĩux=ythl P= Pree me

Thiết điện qua tầm lă hình trịn lớn tđm pag © bân kính l1, y điển B san cho AB = 2a Tinh thĩ tich của khỏi tứ điện OO'AB Ỉ điển suoxi =a ể tích của khối uf điện OƠ' | = Soe ee Bee i tìm Aen ae ai 0 0 a Thiết diện của hình cầu với một mặt nhẳng 1ầ hình trịn có Lđm H lă hình ; tải su « Nếux>yUhlP)=0cz”—-xy= ZH Ixy

pr

chiếu cña O wĩn mat phang vă bún kính: r;= YR? -d? Kĩ dvting sink AA’ Ấp dụng bất đẳng thức — ‘ae aa viia, h difing va ab > |, 2 xy E lă bân kính hình cầu; d lă khoảng câch từ tđm tới mặt phẳng Gọi ]D lă điểm đối xứng với A' qua Ở' vă IÍ Ÿ 3 ! i i Piz} = 0 +

<i hình chiếm cũn B trín đường thẳng AT, Ta có: P- + = +—— P

a 4 ‘ “Do BH LA'D vA BH LAA‘ nĩn BH (AOO'A) Ry yHe 7X gyg¥ 142 yy Pb at gee npr

Tiếp diện của mật cầu lă mặt nhẳng có 1 diĩm chung voi mặt cầu a 3 AA nín HH ° y P(Jxy)

Điều kiện để mặt phẳng (œ) tiếp xúc vei mat edu 1a: uO, a) = R Suy et Yoru = : HH.S¿eư 1 3 1 2 mm P| = ý 9 any š ay a Ponty Ơơ mơêtEcầu lă đường thắng có taết điển cỊ ri mê > ——- — fay P= = + + =n Tee tệ kh mặt cầu lă Nướng động es một điểm chung với mặt cẩu —= La a ao a + = oa + Ẹ ay yxy) 23x1y yiờ Sees xt ay y+ eae Điều kiện để đường thẳng A lă tiếp tuyển lă díf; A3 = R “Túi: AR= VAB -Â'A“ =av3 =SBD=vAD -ÂAB =a mă W ieee + % TH 3

IL DIEN TICH MAT CAU: S = 4aR? "= sbO'D dĩu > BH = 3 (avy wee lo g E1

WL THE TICH MAT CAL: ¥ = dar?

B ĐỀ THỊ

Bai 1: BẠI HỌC KHOI B NAM 2010

Cho hinh ling tru tam giâc đều ABC.A'B'C' có AB = q, gúc kiểu bai poly phẳng (A'BC) vi (ABC) bling 60” Gọi G lă trọng lđm tzn gi? `! ^^

| lăng trụ đê cha vă tính hần kính mặt cầu os ngoại tiếp tứ

_Yi AGƠ lă tam giâc vuông cđn cạnh bín bằng ơ nín: S;oø: =1 đủ

2

ava Ve x a ag Vậy thể tích khối tứ diĩn CO AB iA: _

= -

Dấu "=” xảy ra khi vă chỉ khi

==% hoặc x1, ¥ 2 ¥ me

Đặtt= ‹ Với x, y thuậc đoạn [L: 4] vă x zy tt e |1:2|

Khi đó: pet “—l'——=——+ 2 tỶ 2 al đai ha Tp x x 2— #3 y ns _ 2 Đặi: L= fi (ve Vy (1; 2)jun P= ain ai

—= Thủ "Tương tự nhự trần ta cố mỉnP = ni 1 34

Trang 25

kuử:g dẫn giải CHBT t”-câc BT0E Toân liục — Phạm Hồng Dant, Trin Van Toaa

, Củ Câch 3: Ta có: P=——— i SAN, Biren

2x+3y V7 Z+X 2:37 Ỹ cễ oes

K'*X koe Đặta= + vabe4, 113 esf0cdiilsavanisikel3‹al:

xk K i Ì

KHE Ơ Ê UP

3r3u atb bel | Lay dao ham theo hiến b ta được:

(- n)(h =a}

(atby'(b+1) 1 g_

a 1

(aby (b+1)

° Nếun<l thìP(b)=0«sbh2~a=0e»bh— vn L vh I P(b}= 0 cŨ + ee Pf va} _ k a vụ war en es eager on aL ——+ +32 thâi t Sige NO te ch 2 lì 2-3" “Big t+l 2+3 L4+l ta) 23432 &t —_ -ntE et weld, i} (2-3) a L3

par t= Ji [ef ts t]] wip ¬ Sere:

3

Dat: f(t) = a at

L+l

Ta cổ: ({U=—

FỊ 1) 34

Suy ra: fíD đồng biến NÓ 7 i] fe) >(3}" rer tai | =

Dấu "“=” xảy rủ ©> | 2 oy

Dễ thấy x = 4, y = 1, z=2 thôa (*) Ta lại có: oh 8 nín mỉn? = că

j3 ð 33

12: ĐẠI HỌC KHÔI B NĂM 2011

Cho a, bị lă câc số thực dựng thỏa mêi, 2a* + hŸ) +aôb = (aô + b)(ah +2),

bì z

Tìm giâ trị nhỏ nhất của biểu thức poâ| + 7

AD dể a h fỊ «< 2| —>+—|-l= —+ boa ch Xĩt Độ) = 4U - ĐỂ — Ta cf: P() = 128 - 18t- 12 >O,¥t2=, Suy rì: P}2 ?(§]

(ly TNHH BITV/ IXVH Kha+g Việt

š 48 as ob -9/ +] lš a) a = ae "= Đặtt= T +2 (L>0) 0: a + xê Site) " VN tả: ba ef b fa +t) -s Sta s+ ba hb xa hía „bì bab a; =ở-3I ‘ee

‘Dau "=" xdy ra khi va ebi khi ut b= ao zl

2L+1z2 2+2) @ 4Í+4c+1>4[2(t+2)] đc 2 4° -41-15200 tệ @ìt>0) in 12t+ 18, vai 2s OS sania

‘Da dĩ: Ham sĩ PC) ding biến trín EE t =| 23

Suy ra: P= 4( ~ 30 ~ 0( — 2) = 4U — 9Ể~ 12t + 18 “Theo giả tết tạ có: 2(4Ÿ + bẦ)+ah= (u + b)(ab + 2)

c]fe5+2) (Chia hai vế cho ab + 0} a

{ly

+ = aya(2+202 (2)

bia }

Veit = eat (t> 0) va ket hyp voi (1) va @) ta được:

a

eg Dau “=" xdy ra khi va chỉ khi:

187 ya b = a2 +hẺ Ss boa 2 ab 2 [ab=2 ab=2 “ a+n) -2ah=5 ee

Bai 3: BATHOC KHOI B NAM 2010

VN G0006 55 end gl t 2 4 b=2 b=I

fab=2 aah? =

Huĩng din gid] GOBT tir cade BTOG Toản hạt - Phạm Hĩng Fanh Trần Vđn Trần

4

ja~b-a{t+2} sp2(24")

h „8 c

Cho câc số thực không đm a, b, € thơa mên: đ + b + € = I Tìm giâ trị nhỏ nhất | của biểu thức M = 3(a b + be” + ca”) + 3(ab + be + c4) + 2 Va2 +b? +cễ,,

=althƯ+e'=1~2LVĂ4LS2 =ME> +ơt~21~2t =f() P= 2t4+3- 2 vi-¿t f'{)=2- yo -20" | te" nhỏ nhất của biểu thức Â =L + x Giải Giải Exitt=ab+ be + ca, acd: a? +b? +07 > ab + bể + ca

=> l=G@+b+cysa°+b? +07 + 2(ab + bĩ + ca}> 3(ab + he + ca)

= M22, a,b,c khong im thiaa+b+c=1

Khi a=b =0 vă c= | thiM=2 V§y minM=2

Băi 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B,D NAM 2010

Cho hai số thực dương thay đổi 4, y thỏa mên điều kiện 3x + y < 1 Tìm giâ trị

ma

Cĩch I: L23xtyax+xtxty 2 4ix'y re Si

ay Thea B.C.S ta ed: O = (ab x be + ca) S 3(ab? + b?c? + 7a)

\

nope eet Re Ễ 3| = P(Ù lă hầm giảm

rwery= 3-25 >= Fting = 1092 110) = ave [ot]

Oty TNHH MiT¥ DMvis Khang Việt

1 4 deh 2: Apdung: Va,b>(k -t—z——

ả oe b ath

1 J I 2 1 J 4 6

A=—+ —= + =a} = = :

X yxy X xty 4 te su 3x+Y

a ee 2 vế

Khi x= y= 2 la có A = & Vậy rún Â = §, Bồi 5: ĐẠI HỌC KHỔI A NĂM 2009

Chứng mich rầng với mọi số thực dưdng x, y, # thu infin xÍx + y + 2) = 32,

lạ có (+ y)` +(X+ 2Ï + 3X + y)(K + 7)(V + 2 # 5(ý +2} Giải ¥ _KX+V+z7]=3y7 tt phage x xx "m ¥ # : Đặt u=S>0,v=—>0,L= 1+ v >Ũ, Tả có: x i 1 + tet=3uvsa(42"| a3 ca MY=4L~ 430 (C22): +3)30 <L>2 Chin hai vế cha xỶ bất đẳng thức cần chứng minh đưa về

(itu) +(14 vy 43(1+u) (1+ v)(utv) ss(utyy -=0:0)-3(~uÝ( +v}~3(I+u}(1+v}” +3(I+u)(1+v)t <sử ey —- <5 Na ~6 tu+v+uy) # SLẺ

Đúng do t =2

lăi 6: BẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009

Cha câc số thực x, y thay đổi vă thỏa mên (x + y}” + 4xy >2 Tìm giâ trị nhỏ hất của biểu thức A = 36x" + yh 9y) - 2+ vì) +1,

F Giải

LÍœ&+y)'+4xy 2 =(+y}~(x*y.-2z0=+xryl lex +yP -4xy¥ 20

189

186

Hướng dẫn gil GERT ti cic BTOG lodn hoo — Pham Hĩng Daah, Tran Văn Toăn

i 2

sx ty? 2) dấu “=" xđy ra khi : x= y adh

3 3 2

Pe Ta cd: x*y? ees at

A =3(x* aytexty?)—207 +y?)+1= 3e +y?? -xÍy? |~2(w° +y7)41 Ux +y7 +1 giới way??? | 3|sẻ +y ata | Po +ự? # =2(x? +¥ 3#] Dat = ex ay ck t= gd 2 ng -2t+l—>ft)= at 2>0,vtz— 271/03 C)= ere Vos! Aa Eh x=y=5

Bai7: BAI HOC KHOI D NAM 2008

Cho x, y lă hai số thực không đm thay đổi, Tìm giâ trị lớn nhất vă giâ trị nhỏ nhất: phâ kiểu thức p~ E— T18 ~XYt,

(L+x}Ÿq +w}? Giải Cúch 1: Ta ý; |Í=|LŒ-9)0—x9)|„ ender 1 Se -=spse Le “[d+a)+dsayyp 4 4 4 |I+x+y# » Khix=0,y=1 thi p=-= lă GTNN ¢ Hide Ly =o Pa lă GTLN CX-Xy-V+AY“ x+V )-yÚ+X?) Câch 2: p=

(l+xPdtyy dex uty?

xt +2y+ yŸ)~ ỷ+2x~ xP) Wie wty:

(+ay ey) man

Ta liỗn có: 0< ety Yard

(tay 4

1 6 # ganas

Nĩt Prax = khix= I y=O¥d Duin + khix=O,y¥= 1,

{90 Thi 8: DAT HQC KUO! A NAM 2007

Cho x,y, 21a cde sO thie dung thay đổi vi thĩa mên điểu kiện xyz = 1

Tìm giâ trị nhễ nhất của biểu thiíe:

ty TN1H MTV DVVH Khang Việt

‘Ta co: Vy + 2) 22x Vx Tương tự y2(2— xp 2 2y fy, 22 (nt ye 2a,

số: (ye) Š v`(⁄+ x] nê 22(x+y)

| Ề yaly + 2a 2v +23 — 2y _|

1

s E cr

aps 2xvA ¥ 2yJy ất Dine yy 4 27 Vz 7A#z+2xŸXx xwx +đydy Đặt a=xvx+2yvly,h=yjy +22, 0=z2 +36

+ ae 4b+c—

TT tực ME ch : 0 a — 2u Ị h- 2:

Dodd Pe TƯ 2b 4a b= 2c | Nụ +e— "|

ệ a

a2 fea Saeed 2 ].(242s5] } 4» 34a a-e=2

b c 4a €

T)ẩu “ =” gẵy ra c›òx=y=¿= L Vậy gi trị hỗ nhiất của P lă 2

ai 9: ĐĂI HỌC KHÔI B NĂM 2007

Cho x,y, z lĂ ba số thực dương thay đổi Từn giâ trị nhỏ nhất của hiểu thức:

fx 1) 1 en

P-X| =+— +(š++}*|'*_ ở XẾ 2 2X 3 xy}

Gidi

2 je gilt DE a aed

rad: Pas tye yee

2° @ XYZ đay? vˆ +» De eyte= +\- ¥ +e 2 2 2 2 fea iy E44] 2 x 5 y) 2 2 2 Nín P2| 24+ Gi 2

Xĩtbam so r= 5+ với t >0 Lập bảng biến thiín của f{Ù La suy ra

L

f= svt +0, Suyra: P= Dấu bằng wăy ra xe =zm Ì Vậy piâ trị nhỏ nhất của P lă - `

+x? >XYTY2z+zx

Tử giả thiết ta suy ra: TH Ke,

XY Xx 3 Đặt đản bị

x v

T (1) suy ra:a +b=£a + b}Ể

a ` Wi abs (#27 zo Với K=w= + thi A= 2 Da OM + ON MN nĩn — _2y ay? +1 >lty)= f()=0 œ23y= dăy “|

Bai 10; PAI HOC KHOI A NAM 206

Clio hai sĩ thue x # 0 va y #0 thay dai va thĩa man điểu kiện;

(x + yxy =x? = y7 xy "Tìm piâ trị kđn nhất của hiểu thức A = Tin xi

Giải 1 1 vì l y

Băi 11: BATHOC KHOI B NAM 2006

Cho x, y 1A cdc sĩ thie thay dĩi, Tìm giâ trị nhỏ nhất của biểu thức: fay? +(x 4b? +9? +[y -2|

xy b tacĩ:a+b=a'+b’-ab Asa’ + bsi{a+hb)(a? +h? —ab) =(a + by"

Sab

hĩnatbe (a+b) 2b)?

Giải Trang mặt phẳng với hệ tạa độ Oxv xĩt M(x

Do đó: A >2 VI +y? +|y-2|=fŒœ)

+ V4ly<2=ffy)= 2jL+y” t2—y

x30

city dy?

Hing Her gis) GDET W cae TOG Tadn hoc — Pham Hĩng Danh, Tran Văn Toăn

a)

=> (a+b -dia+b) <0 =>Ú<u+b4, Suy ra: A=(a +b? £16

16 Vay gid uf lớn nhất của A lă 16,

Ty), NOr+ 1; y)

na eee UE pe

yor —b +9? tye et ty? Bald dy? <2 ta 97

1

|e S8

từ) ¬ +

tly) my 2rv3 ie ee

Do đồ ta có bảng hiến thiín như hình bín:

« Vdiy>2=lfy)> 2Nl+y? >2J5>2+3

Oty THEI MT DWH Khang Việt

Vậy A> 2+2JÔ với mọi số thực x, V

Khi x= 0 vă y= 5 thÌA=3 +3 nín giâ uị nhỏ nhất của AB 2+-/Ï,

i 12: PAI HOC KHOI A NĂM 2005

Cho x, y, 2 1a cfie số đương thỏa mên aie bay v

: xy 4

Chứng minh rằng: peel J0ui sổ va g wi dey 41

2X+y+? XI2Y+Z7 X+iy+22 Giải

Với a b>Ú ta có: 4ab < (a+b)2 —_<4†Í 1 tfl it

a+b 4ah an+b 4địn b

Dấu "=" xảy ra khi vă chỉ khi a = b

Âp dụng kết quả trín tu cố:

1

oe Soe ey bu ads tyh,1,2 (1)

axt+y+e 42x yz) if]x x y 2

“Tưởng tự: I Peas E } 1 1Ì ——<-|— | ~4+—+= Xt2y+z aa ae z @ I TPL vo} I gk —— £-| —+—— X+y+2z sÌ% mì 2 7) et yt aan Oe ÂĐ _ | a + |= 1 1 Elba JTX+Y†T2 X®2V+27 X+Y+#*22 41x y 2

Ta thấy trong câc bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=” xảy ra khi vă chỉ khi:

a ="

x= y = 2 Vdy đẳng thức xđy ra khi vă chỉ khi x = y =z= 113: PAT HOC KHOI B NAM 2005

20 x

`) >t3'+4t+5", Ching minh rằng vâi mọi x € R, ta có: (2 h (2) {

_Khi năo đẳng thức xđy ra?

: Gidi

pdung bat đẳng thức Cauchy cho lai số dương tì có:

(5) +) BY GY eG} Gye "

Trang 26

ĩs ~ Phạm Hồ: , Trả ow 1! ! \

Tnhh kh 1y 6u200255 c— ft \ f ` NHƯ HH DU HA Hướng dẫn giải FDBT tú câc D106 Teân hạc - Pnam Hồng Panh Tiần Văn Toăn ty TNHH MTV ñVVH Khang V:ệt]

iz (209) : gt khâc: T+ L+ T~ pize(t 3 ( es eee

Taking tự lă cố: (2) (3) sade @) Miặt khâc Tượng tý tr ee Hết) tăt$z —10(x+V+z LO Chayta Zả 7: 7 8 cùng phương be»a=kb©>a¡b„ =asbị =

+ “ - - -

( sy (2) ey wey | | ru es &roUE 1z232Ì0 tang SE COPEL ES EE 1) oSJÐÐ 1 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MAT PHANG OXY & a1b©œnb=0eeaibị +đgby =0

Do đó: Vẽ trâi > v8? + l8 - lêi s©*xg8y2sLbhfxeserl đa: — ẳ 2

a BASE VE TEL Z AER ee ER STi R Re > Cpt v Vấn để 1: TÌM TỌA ĐỘ CỦA MỘI ĐIỂM B ĐƯỜNG THANG

Cộng câc bất đẳng thức (1), (2), (3), chia hai vế của bất đẳng thức nhận được i : Š RS i a isle

cho 2, ta có điểu phải chứng múnh, Cĩch 2: Ap dung BBY Bunhia ta cĩ: 1.249, LeVi2 +92, I? ye a) TÌM PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THĂNG i? azO0ca soi lă vectd chỉ phương của đường thing A

Dang thức xđy ra e (1), (2), (3) lă câc đẳng thức © x =0 ¡ : 5 + © A PHƯƠNG PHÂP GIẢI Lkhi giâ của ø cùng phương với đường thẳngA — ¡ _ a

Bai 14: DAT HOC KH61 D NAM 2005 Bat dang thức Cauchy x $229 z 4 sx] —#0x >9.6— 80x 2) A TOA BO CUA VECTG VA CUA ĐIỂM Nếu a lă vectd chỉ phương của Ă thì | A

Cho cúc số dương x, ý, z thỏa mên xyz = 1 Chứng minh rằng: aa —s fT fae ta mc 1 I TỌA ĐỘ VECTO : Tăn a cũng lă vectd chỉ phương của Â ( ¥ 0) ' as

vitexl+y! Vjlty +z” vitz «xi Từ (1) vă G— x? + 2 (54 -80x) Bose ee - Rei inate Myo aie ia că i

ge ee a x? BD * a=(apag) asayitey) na#0Ö: n gọi lă vects phiptuydn cia duting thing Akhin LA

xY yz zx | a : Km :

Khi năo đẳng thức xđy ra? Tương tự af HN: (54-80y) vă a T1 ` Với ¡ =(1; 0) zĩctd đơn vị của trục Qx Nếu n lă vcctd phâp tuyến của Â thì kn cũng lă veetd phâp tuyến của ă

Giải : # “v82 ý z£” ti =a J= (0; 1) vĩetu den vj cia trục Oy (=0)

Âp dụng bất đẳng thức Cösi cho ba số dương ta tú = Vr> Jeg (102 80(x ey +2))2 Sợ IL TOA BỘ MỘT ĐIỂM « Câch đổi giữa vectd chỉ những vă vectf phâp tuyến n của đường thẳng A đ +xÌ+y 23a x2 y2 3 bể 3-3.yœ lextty? V3 2 — xy pw iy Xđy ra dấu “=" khi x= y =z= + (ape) Hổ as s03 3 + OM=(XmiYm) " y4), B(xs: ys) ta có kết quả sau : © MGui Y) sap Ï Có: đ=(A; B) =» W =(Bị— Kó n=(Rụ: ng) => R=(Byi+H) Hă a= Cera) - - A) hay ñ=(-B; A) en

= L i) AB=(xg-X,4i¥a~ ¢

hayse 3, lea, lỗ Pie, pXaiYa “Ya? |, PHONG TRINH TONG QUAT CUA BUUNG THANG

Tương lự: -——————>== : ———* >= z ‘iy AB=[AB| = ye — x4) +p ~¥ #

yz dye 2x vzx Cho x, y, 2 lă ba số dương vă xyz = ee Pe AL Ax+By+C=t) A7+R7 0

i 3! v cớ 3 Sẽ : tore tee yaa: s

S;Ả sy “đn =i s3 EME cau [Ja <8 Ja 3 Chứng mỉnh rằng; SÂU Ee iti) Mchia đoạn AB theo tỉ số k: MA = KMB; # L X':.-ö

ne a lv duy l+y l+z l+x 2 ‘ ` _ Aa +*xp le

Giải Khi 8 điể : 1-k ` Nếu A=f0= Â:y=—— nín A #Ox (C = Úthï A = Ox) Hay VTx 4 aw Vu si : ; = đó tọa độ điểm M lă: vă nh B

vợ gi vn ®ac: -Š—+' z2 ajo Mas PP vi : Nếu B=0= A:x=—© nĩn A#Oy(C=01i A= Oy)

His tie ay akan Hy 3 Ixy 4 : ¥s 25 ‘ A , % oe

Băi 15: Ă[ 15 yo 2 +z ay Re x) fea 3 a 2 Tư iv) M wang diĩm AB toa độ điểm M Xu 2 » Ox: y=0, Oy: x =0 I xo) A f Ì i

Cho x, y, z lă ba sO dudng x+y +2< 1 l+x 4 l+z 4 +x 4 Wl+x 4 ¡ yu = XÊ T8 CÂCH LẬP PHƯƠNG TRÌNII ĐƯỜNG THẮNG Dự, ic i Cĩng vĩ theo ve tă được: 3 2 Phượng trình đường thẳng đ đi qua diĩm M(x: yu)

1 2 3 a ne : ổ 33

Chứng minh rằng: \"" +3 b „" A tr >.JR2, XẾ V2 cv” ly ten tex II TÍNH CHẤT VECTƠ vă có veotơ phâp tuyến ñ =(A; B); (A? + BỶ > ñ

4 + | +—++—> ais fae t š

a - lty l+z l+x 4 per ena , Cho a= (ay; ag), b= (ty; bg} Phương trình tổng quat d; A(x ~ xạ) + Bly - yu)= 0 2 guns 1 atb=(a, +b); a2 tb2) 2 ka = k(ay3a;) = (ka,;kag) Phương trình đường thẳng đ đi qua Moxa; yw

- fl Pe est 1 = fil ee at £ Sa 8a Be PES ted q as Yas “tah dis Ke 2 > ae Pe LT Ss i aps nh > +t zÔ(x+y+z)~ — >~.3Jxyz—— >— (dncm Boy ~ 2 2

Cĩch I: Xem u (; x2 | Y (+ vol} W (2 ef ly itz 14x 4 Pees eS oem) eteta sais a l| lệ + sẽ vă có vecld chỉ phương Ula ap) (ai? + a;2 #0)

| ! ze 1 : Su Đi St ai 1:5 aby + agby Phương trình tham số d: {` — #9 T3 R

Tacó ,|x2+—~>+ fy? +—e t+ 2 hore `) +18 5 a=b© Š 6, cos(a,b}=r=rT=¡= 2 sip ĐP

vty | ý T7 ”Wb ( ) aạ =Ủạ Wo] Jab aad ope | ` WeMma i _

194 18 186 187

+ TNHH Từ DVVH Khang Việt = ait —

Hướng sẵu giải CDUT tứ cập ĐTQB Tuđn Bọ: — Phạm tiắng Uanh, Tiẩn Vấn Ruđn _ ¬1—' ———_—_—-_—c= 3 `2, Khoảng câch từ MŒu¡ va) đến đường thẳng d: Ax + lấy + C =0 = mate Hutay đế giải FDBT + ký 6â BOG Tuất tạp — Plan Hĩng Danh, Trẩ Văn foe 2 3 ; : : nă : Cty TNHH MTV DVVIl Khang Việt -* #0 : : | eek 32B) n Y,f2»=2Y |[:z +(2n 2] ¢ GoiM 1a tung diĩm cha AC => BG =2GM

+ Phuong tinh chính tắc đ: ———— | | dO _ |í*a + Bxụ +C|

_ = oh

ta Ị Ỉ su} \ern _ 3*o ~Xp _ 7

ât dt a;ŸX — Xu) — iy CY ~ yo) =9 | jabs 2 JF ]fn? + (an—2)? ]=4(2-n)? file Rertn3Mae-o] PAT age ag ty

+ Phương trình tổng qu bă ed se si ©lnˆ+(23n-2 [n? + 2n-2 |-4 2—n ae cee ch re K =M|~: }

3, Phương trình đường TU di qua 2 điểm A(xe va) BS: YB) me ce | _ | L ya-ye=20m“¥e) v- = :

nă a „ Ôw) = | Xê: 1 3 2

Ka _ ar Pe © |ên°-ên~ 4] = [4-20]

Phương trình chính tắc đ: XucXz Vi _ ĐƯỜNG PHĐN GIÂC TẠO BỞI HAI [ giâ Vs 3420100484 a AC ei quâ băi điểm P vă M= AC Š— 2 x2 pts œ8 với 4 Phương trình đường thẳng theo đoạn oe Đường thẳng d cất Ox, Ủy lần lượt DUONG THAN! " o [( ne Rat ) (4—2a)

||[Sn? =8n + #] tÍ i ;

4 Ề y 0 Cho dy: Ayx + Bry 4+ C) =0, do; Ax + Bay +O, = 0 3 “roa edd bid v J

tại A(a; 0), BỢU, b) có đang đ: Steel (a #0, b #0) «Khi đó phương trình hai dường phđn giâc lă: re = [sn - Gn | 5a - 10a +8 | ~ñ c+n=0hưặc n=— * giao di 7 vă vê a toa tf lă nghiệm củn hệ phương trình:

: : i Ax+liy+Ci —,A;x+BRay+C 2 Re ead ` 03),

Latu yz Cho d: Ax + By += 0 ty = ty et == _¥ay NU; ~2) hoge a(S H x-y-1=0 safc

e diides di Ax+By+C=0 (C#C) L -_ yAƒ + JA?+B) Ab ds 55

s 0 Ld—d;Rx— Ay+C =0 hay -Bx + Ay+C =0 ` Thm phđn giâc góc nhọn hay góc tù Câch 3: Nhận thấy rằng O, M, N thẳng băng, da đó ta có thể chuyển điểu kiện @ MIA ining diĩm ela AC nao cee oan oe C(;— l) III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG ¡ Le <2" | us aeons ehquaite gạc lượn OM.ON = 8 sang hệ thức vecu? bằng câch: Vẽ hai dưỡng thẳng d vă Â Irong mặt

| : ¥o =2¥u —ŸA =~

Chó dị: Ajx+ Rịy +C¡ =D o 2 ees mts se cũ = ; i aa n¡.nạ >0 — tr=b _ oe =< - phing (Gxy}, ta có băi vectd OM va ON cing hung, nĩn: OM.ON =8<> OM,ON =8 co mn+¢ (m-4)(2n-2) =8 Bai 3: CAO BANG KHOI A, B, D NAM 2011 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x + + 3 = Ö = Ai By Bị Ag: | nha cũ lị=-1 heals > 3mn— 2m - #n = Ú Khi đó ta có hệ phương trình: Viết phương trình đường thẳng di qua diĩm A(2; -4) vă Lạc với đường thẳng d

Lập p(s Bạ De={e! Bal’ by | LIÍN 3mn—2m —ôn=0 _ [3(2m-4n}—~2m~Bn =0 mbt cóc hăng 45”

ì : : Ỉ B, BE THI mn-2m+4n=0 mn—-2m+4n=0 Giải

it KẾ EU TỦ gf il: BALHOC KHOI B NAM 2011 bal : “Gọi Â: ôx<2}+b(y +4)=0 với aŸ + bể #0

b=0 ‹ = 3 ¿ : ì 2 = => n=Ohoje n=—

iif dy) dao 4 vâc 5 Trong mặt phẳng tọa độ Øxy, cho hai đường thẳng Â: x — y - 4 = 0 vi | Sn)n—2(Sn)+4n=0 5 erage) 2 |¿+b| i — {Dxz0 Dy #0 d;2x—y—2 =0 Tìm tọa độ điểm X thuộc đường thẳng d sao cho đường Lhẳng bo an : 4 pee es Vie a ee Slat blavar st

HU dị = dạ œD=Dx=Dy=0 ÔN cất đường thẳng A tại điểm M thỏa mên OM,ON = 8 Hăi 3 ĐẠI IIỌC KHÔI D NĂM 2011 : - Bier Te CS 2

IV GÓC GIỮA HAI DƯỜNG THANG 1 : Giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giâc ABC có đỉnh B(-4; lì, trọng tđm Ct +b +2ab=aô th œab=0=a=0vb=0 xv - A G(1; 1) vă đường thẳng chứa phđn giâo troi\g của góc A có phương trình x— y— 1 =U Wiy Ăiiy+4=0vă Ả;iw—2=0

» Cho dị: Â¡x+ By +Cị =*? ny = (AB) F MA Môn m— 4)*AN 6 de Nếu Đn ~2k | Tìm lụa độ câc đính A va C ich 2: d:x#y¥4+3=0= goc giifa Ox vad la 45° dp: Agx + Bay +C2=0 = nạ =(Ă¿:a) end im), 0N eae ; : ddan ` oe hee A hợp với d một góc 45" = A cling phương với Ox hoặc Oy

i

fal is At'E8iứ 3 © O,M, N thing hang <> OM cùng phương ON 4 : Se os si we ee adc A=pdix-y-1=0, ev ctia : 4) <3 phan inh ATA Rey wre, lmịnạ 2> BỊ) vă gọi B' đối xding vi H quad => B’e AC 3

mm" ets el cúin- (ẩn — cũ che 308Ể ists it e0 nh vẽ 4 7 a a bi 4: CAO DANG KHOI A, B, D NAM 2011

|m

[muy as] Ta? a Be fad BB A‡+-Bị = + BB'đi qua B(-4; l) vă vng góc với d - ~ = 3

I ` 217 3 suy ra: BBY (x +4) + (y— =0 œx*+y+3 =0, Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giâc ABC có phương trình cấc

„Nếu dụ, d; lă câc đường thẳng khơng đứng © OM.ON =8 [m +(m-4) ie +(2n-2) |-6 + Gọi 1ă giao điểm của BB' vă d, Ảnh lă AB: x+ 3y — 7= 0, BC: 4x + ấy — 7=, CĂ: 3x + 2y — 7=, Viết

dị:y =kix+ bịiổ; :y = KaK + hạ ee hey 2 suy ta toa d6 11a nghi@m của hệ phương trình: Bhương trình đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giâc ABC

k; — kị ! (4) + T-4 K Hn, xiy+r3=1 Íx=-l c Giải

tan(dy, d2) = ie 2-n 2-n } toh lomo 2 l3), A MB x+3y=7 SE, z đ s ĐA miện = Toa 46 A 1a nghi¢m bĩ phueng Linh: ae : {: ở

_ | ti@=n Ï .=2xK,—xp =2 ị i sẽ

V KHOẲNG CÂCH = ce = ] + z -1| n? +(2n -2) |=64 2-n 2-n ` e Tli teung diĩm của BB' > Vụ: =2Y|—Yn =3 ne SS nS N9; Sy Đường cau AH qua Ơ vă có L vectd phấp lă n =(5; —4)=> AH: Sx—4y43=0 - =

BR Se all

| 1 Khoang each giifa hai điểm A, BA; AB= Je 201

Trang 27

Hướng dẫn oii COBT ti cic DTOG Todn hoe — Pham Hêng Danh Tiẩn Văr: Toăn

Bai 5: DAL HOC KHOI A NAM 2010

Trong mit phing toa độ Œxy, cho tìm giâc ABC cđn tại A có đỉnh A(6; 6), dường

thẳng đi qua trung điển của câc cạnh 4# vă AC cú phương trình x + y —4 =0 Tìm

tọa độ câc dỉnh # vă Œ, biết điểm E(I; -3) nằm trín đường cao đi qua dink C của lam gitic da cho

Giải Phưưng trình đường caoa ÂH: lặ— 6}— l{y— 6)=0 @x

Giại K lă giao điểm cia I vă ÂH (với I: x +y¥—-4=0)

suy ra K lă nghiệm của hệ To v => K(2;2)

-y=0

K la trung diĩm cla All <> {fu = sẽ ae ải HN nê

Phương trình HC: tắt + 2) + l(y+2)=0>x+y+4<0 Gọi B (h¡ =h - 4) 6 BC

Do Hlă trang điểm của BC C( 4 - bị h): E (1; ~3) Ta có: CE=(5+b;—b—3) vuông gúc với BA =(6— b;b +10) Nín (+ b)(6— h+( b— 33+ 19) =

2b! + I2h=0<>b=0bhayb=-6 Vậy B(U; —4); C(-4; U} huy B(-6; 2); CƠ; —6) Băi 6: ĐẠI HỌC KHÔI B NĂM 2010 _

Trong mat phẳng toa dO Oxy, cho tam gide ABC vuông tại Ă, có đỉnh C(—4; ]), phần giâc trong góc Â có phương trình x + y - 3 = Ö Viết phướng trình đường thắng BC, biết diện tích tam giâc ABC bằng 24 vă đỉnh A có hoănh độ dưưng

Giải

Ta có phần giâc trong gốc A lă (ở): x+y=5=0 ay song song vĩi ding phan gidc d’ ca gĩc phan ur f

thứ II, nín góc M, hằng gâc Â¡ bằng 45° B

Suy ra ÂC / Ox => phương trình AC: NĨ

y= ® : Tú cú A = ÂC Z3 đ nín AQ: ]) er A XI ö > Ht-2;-2) =ÂC=§ | Ps M Be Ma diĩn tich AABC = 24 -4 re

<a wy Nă

nín SIÂC.AB=24=.AB =6 “a Mal khac, AB vuông gúc với trục hoănh nín E (4; 7), Vậy phương trình của BC lă: 3x — 4y + 1õ = 202 ly TNHH MTV DVVH Khang Viet

“Trang mật phẳng Lọa 4 Oxy, cho điểm A(Ø; 2) vă A lă đường, thẳng di qua © oi H lă hình chiếu vng góc của Ơ trín A Viết phương trình đường thẳng A,

ết khoảng câch Lừ H đến trục hoănh hằng AH

Giải

-Cúch 1: Gọi H(4ạ; yụ) lă hình chiếu của Ă trín &

“Ta cổ: AH =(xu: vụ —2), ÔH= (Xu; yụ} “Từ giả thiếL ta có

ng xi + Yo(y —3) =0 oft me

AH =CUOx) | Yx5+i%-2)* [yu] |iđ-4we+4=0

Yo =-l+† v5

TVÊ +2yj=4= lạ =-v5 xê =—B+4-/5

Xê —4ya +#=0 xh =4y¥y ~4 vụ =—I—x5 | [ai =-8 45 <0 (ogi)

os fe =

NI MST : = {+ av5 —8;—l+ v5] \

-I+vš

Phương trình A: c8 ~bx #|Jđv5 ¬8)y =0 ich 2:

A= Oy + H =A; khang thĩa AH = d(H, Ox)

» As Ox => HO: khong thda AH = d(H, Ox) Phương trinh A: y=kx (k #0)

¥e LA =>yY=—-—*X+2 lă phương trình đường AH 1

AHqua Ă k

Tọa độ H= Â ANH thỏa hệ 2k y=kx x= Qo : => y=~exw2 a 2k? k7+1 k+i if oe 2k? 2 2k Ỉ ok? 3 + _2 Kd k? +1 Agr k? +1 2k? “peal 1 ep kt? -i=0 _ AH=u(H;Ox)c> ( 203

Muang dẫn giải GđBT tít sắc ĐTAG Tản học — Phạm Hêng Danh, Trần Văn Toăn

KỄ= ee & ke, 8t, kẻ 6 k?=——*“<0(loaj)

Tiăi 8: ĐĂT HỌC cKiốt ANAM 2009

trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng A: x + y — 5 =0 Viết phương trình ` đường thẳng AB

Giải

Gọi N đếi xứng với Mi qua I, suy ra N(I1; =1) in M

vũ N thuộc đường thẳng CÐ

Eeâ=E(@;5—x); IỆ=(x— 6; 3— x)

Vă NE =(x- H1;6— x) D EN E lă trung điểm CD -> IE.L EN hay, [E.EN =0

€6? (x - 6)(x - LI}+ (3 - x)j(6 - xì = @ x= 6 huặc x= 7 * x=Ĩ=lE= ( =3); nhưng trình A3: y — 5 = Ú

*® x=7-›IE=(l; —4); phuting trinh AB; x - 4y + 19 = 0,

Băi 9: ĐẠT HỌC KHOT BR NAM 2009

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam gidc ABC can tai A od dinh

Â {-1; 4) vă câc định B, C thuộc đường thẳng Âi X= y— 4=0Ũ Xâc định tọa độ

tấc điểm B vă C, hiết diện tích tam giâc ABC bằng 1Đ, (Giải

Gọi H lă hình chiếu của A trín A, suy ra H lă trung điểm BC

A AH =d(A,BC)= =F: pe = Biase a i A / \ ——— ¬¬¬- 4 \2 BHC

Tọa độ B vă C lă nghiệm cia hệ: (x+U+(y- a 2 x-y-4=0

LÍ 3) 3.5 G lải hệ 1a ta được: (x: y)={—:=]}: Gs y)s/ 23-2 được: (x: y) [E 3) (xy) E ;]

way 3} cỗ: -) hoặc o(3:-$).<(: ;|

204

Trong mặt phẳng với hệ toa dĩ Oxy cho hinh chit nhật ABCD sẽ điểm 1 (6; 2) 1 |

giao điểm của 2 đường chĩo ÂC vă BD, Điểm Mi (1; §) thuộc đường thẳng AB vă !

ty THHH MTV D⁄VH Khang Việt

Băi 10: DẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009

Trung mặt phẳng với hệ toa d$ Oxy, cho tam giâc ABC cũ M2; 0) lă trung điểm cña cạnh ÂB, Dường trung tiyến vă đường cao qua đỉnh A lẫn lượt có phường tảnh Tă 7x ~3y- 3= vă öx— y- 4 =Ú, Viết phương trình đường thẳng AC

in Giải

Oy Su “Toa d6 A thda mên hệ: a an oy SRS ie ei -B đối xứng với A qua M, suy ra B= (3; -2)

“Đường thẳng HC đi qua B vă vuông gốc với đường thẳng: 6x — y— 4 =0

| Phuting trình BC: x + 6y +9 =0

4 va độ trong điểm N của đoạn thẳng BC thủa mên hệ: oe = 9 xt+6y+9=0 Gee | = AC =2MN =(-4,-3);

Phung trình đường thẳng ÂC: 3x — 4y + 5 = Ú

bi 11: CAO BANG KHOI A, B, D NAM 2009 3

ị Trong mặt phẳng với bệ tọa độ Oxy, cho tâm giâc ABC có C(-1; ~2), đường rung tuyến kẻ từ A vă đường cao kẻ từ R lđn lượi có phường trình lă 5x + y - Ủ= Ú Vũ x † 3y — 5 =0, Tìm tọu độ cúc đỉnh Ă vă B, neni

Giải “Giả sử AM: 5x + y— 1=, HH: x+ 3yT— 5= Ú

ÂC: 3Œ + l}— lfy+2)=0©3x—-y+1=0

Ă =ÂCm AM — A(1; 4)

Be BHSBG-3m,m)

-M lă ung điểm BC © M = a=)

4- = =

Me aMes, = ~9=0 œm.=0 Vậy (5; 0)

12: CAO aes KHOI A, B D NAM 2009 it

Trong mắt phẳng với hệ lụa độ Oxy, cho cic dutng thing 4): x - 2y-3=9 va Âa:x+w+ 1= 0, Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng Âi sao cho khoảng

câch từ điểm M đến đường thing Az hing he

v2 Giải M ° Ay aa +3:m) ỈEm+3+m+l|_ 2 3

_d(M,A Ko biến (MiAz)~-E = «fim +4 «>[|3m +4|= l >m= ~Í hay mẽ => 3

205

HuSng dẫn giải COST lit cic DTOG Todn hoc — Pham Hing Canh, Trdn Via Toản

‘ : : ] #

Vay M(1; -1) bay Mf ~5: -3]

Bal 13: BAL HOC KHOI B NAM 2008

Tronz mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hêy xâc định tọa độ đỉnh C của tam giâc

ABC, biết rằng hình chiếu vng gốc của C trín đường thẳng AB lă điểm

Hí - 1; -L), đường phần giâc trong của góc Â có phương trình x — y + 2 = 0 vă đường can kẻ từ B có nhương trình 4x + 3y - 1=0

Gidi

« Kihiĩu:dy:x-y+2=0; dz dx+3y-1=0 « Gọi Hía; bì đối xứng H(—l:—1) qua dị Khi đồ He AC

ay =(1; 1) lă VICP của dị HH? =f{a + lịh+ l) vuông góc với ay vA trung

£ ~ —

diĩm i{* Ly % của HH' thuộc d;

a 2

: [IR+b-te+b=0

De đó tạa độ E' lă nghiệm của hệ St bei faye => H(-3; l)

2

«_ Đường thẳng ÂC qua H vng góc d› nín có vcctở nhấp tuyến lă ñ=(%—9) vă pLÂC: 3œ + 3) - 4y — l)=0© 3x— 4y tl3=0

Í3x— 4y +lÔ=0 + Tọa độ A lă nghiệm của heey AG; 7

K-y+2-0 RC g

+ Đường thing CH đi qua H(-1; —1) có VTET = HA =(3 4) nín có pt

3(K+ Ded EDS ee Ae '3x+dy+7=0 ( + To a độ của ủa C lă nghỉ nghiệm củu hệ: mm lủu hệ: + v ở Băi 14: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007

¡_ Trang mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm Â(3: 2) vă câc đường thẳng: |

| dị: x+y—2=0 dix+y—-8=0

Tim tọa độ câc điểm B vă C lẩn lượt thuộc d, ¥a d3 sao cho wm giâc ABC | vuông cđn tụi A 3

Giải

XìB ci,C c d› nín Bh; 2 —b), C(¡8 — e} Từ giả thiết 1a có hệ:

AB.AC=0 be—4h—c+2 =Ö (b-ÚD(@đ-4)=2 eae (b? -2b =e? 80418 ee =3 208

GI; THHH MTV DV/H Khang vie! xự=2

ĐặtLx=h— 1, y=c~ 4 la cú hệ SH —y =3

Giải hệ lrín ta được x = —2, y = —1 hoặc x=2, y =1 Suy ra: Bí—1; 3), C(3; 5) hoặc H(3; ¬1), C(5; 3) ăi 15: DẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006

Trung mặt phẳng với hĩ toa dĩ Oxy, cho ba đường thẳng;

dị x+y+3=0; d¿:x<=w=4=Ú, dị: x—2y=U,

Tìm tọa độ điểm M nằm trín đường thẳng dị sao cho khoảng câch từ M đến dường thắng dị bằng hai lẫn khoảng câch từ M đến đường thẳng d;

Giải - MÌM cd;nín M(2y; y) +3) 3 ` Tă có: đ(M,d) Ba ad dtd) = y “A : tp 3 aM; "”-" 2 s3} vaE

- Vôi y =—1l được điểm M\(~22; =1)

Với y = I được điểm M;(2; 1)

ï 16: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005 i ett Trong niặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng

dị: x—y=Ö vă dạ: 2x + vT— 1=Ơ0,

Tìm tọa độ câc đỉnh hình vuđng 'ABCD biết rằng đỉnh A thuộc dụ, đỉnh C nuộc d; vũ cúc đỉnh B, D thuộc trục hoănh

Giêi WiAed, => Att U

Lai do A vă € đối xứng nhau qua BE vă B, D cOx nín Cít; —U Mê C 6 dạ nín 2t—L— I=0©2r= 1 Vậy Aq; D), C(1; —T)

IB=IA=1

"Trung điểm của AC l I(1; 0), Vì T lă tđm của hình vng nín; { IA ID=IA-1

BeOx _[B(b:0)_ \b-aJ=1 o> De Ox Dad; 0) |d- = 1

Šuy ra, B(0; 0) vă D(2; 0) hoặc (2: 0} vă D(0; 0)

Vậy hốn đỉnh của hình vuông lă A(1; 1) B(0; 0), (1; —1), D2; 0), hoặc ACL: Dy

2; 0), C(1; —1), D(0; 0}

“b=<0,b=2

\d=0,d=2

Hướng dẫn giải EDAT tử cât ĐEQG Toan bec - Pham Hong nan, Trần Văn Toăn Sạn

Băi 17:

Trùng mặt phẳng với bệ tọa độ Oxy cho bai điểm A(1; 1), B(4; 3) Tìm diĩm C thuộc đường thẳng x — 2y.— 1 = 0 suo cho khoảng câch lừ C đến đường thẳng AB bling 6

Giải

A(I; 13; B(4; -3) => pEAl: —- oa o> 4x43y -7=0 Ce ABS Ci2t+ 10

Ta có đ(C, AB) =6 © Moteull

Itt~=soel 11t~3- -30 pin, Ầ ch 27 L

(43 27

Vậy C7; 3) bay C|-—:-— FOES SAY, | au

Bai 18;

Trong mặt phẳng với hệ toa 45 Oxy cho tam giâc ÂBC có ede dink A(-1; 0},

Bd; 0), COO; m) voi m #4 Tim toa d6 trọng tđm G edu tam giâc ABC theo m, Xâc định m để tam giúc GAB xuông lai G |

Giải

as = of fia

G beh Ga-(-2 SH

os 2} s8~ |]

oe 2

Tam giâc GAB vuông tại G c» GAGB=0 œ -8+ =o eom= + We

Băi 19:

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đícâc vng gâc Oxy, Cho ee ANC có AB = ÂC, ABC = 9u” Biết M(; -1) lă trung điểm cạnh BC vă |

li

o( 3: 0| lă trọng tđm: Lam giâc ABC Tìm tọa độ câc đỉnh A, B, C

Giải G lă trọng tđm AABC œ AG=3GM

2 2) 2 s-X*A=2|l-—|== 2:03 A ( ;| 3 ~

“Ya =2(-1-0)=-2

Dhatedmie brink TT cc hard

PA

+ ACO; 2)

XA=?

—

wee TEE 24 we ee ˆ —

Gy TRHH MTV OVVH Khang Wigt

Phương trình đường trịn (C) tim M, bin kinh R= AM = x10 1a

(x-1) +(y41P = 10

Toa dĩ 13, C thĩa

n-3y-4=0 x=3y+4 "w=4

‘ -?+@y+ =0” hoe +~I=10

Vậy B(4; 9); C(-3; -2) huy B(—2; -2); C1; 0} Băi2U _

-_ Trang mặt phẳng với hệ tọa dộ Dícâc vng góc Oxy XĩL Lam giâc ABC a tại A, phương trình đường thẳng BC lă +/3x—y —v3 =0, câc dinh Ava B thuộc trục hoănh vă hấn kính đường trùn nội tiếp bằng 2, 'Hìm lọn độ trọng tđm G | của tarn pide ABC,

¥ x= 2 y=0 y= 2 ie _ Giải = Goi A(a; 0), RC: y= V9 x- V9

.=B(l;0),xc=xa=d, yc= v3 (a— l) AR=ln - l| AC = x3 |a — I|

BC” =(a— LY + 3(a — DỊ” = 4(a « 1)), BC =2 |a — lỊ

§=pr œ v3 ition V3) ja- 1)

4 [a-1)=0 (loa) hoặc v3 |a—1|=2(4+ V9)

'=h-II=2(/5 +1) a Rear =-1-23

(=> AG3-+2V35 0); BCL 0); C3429 ;642V9)

hay A(-1 -2V3 ; 0%; BOL; 0); C(-1-243; 6-23)

of 2%, 28) hay of 54 a

3 3 3 3

lăj 21:

Trong mặt phẳng với hệ tạa độ Đícâc vng góc Oxy cho hình chữ nhật

ABCD od tđm is |, phuting trinh duting thing AB la x — 2y +2 = 0 ¥8

7

= 2AI2, Tìm tọa độ câc đỉnh Â, B, C, D biết rằng dỉnh A có hoănh dĩ đm Giải

Ac AB: x—-2y4#2=0 =A(2a-2;a) với a< Í

TD ee CHẾ AC S122 2 2n; =4}

Trang 28

Gty THHH MTV DVVH Khang VI3

Iiư9ng dẫn giải G3BT từ gầø ĐTũE Toản húc — P1ạm Hồng Ganh, Trin Van Toăn

i) d(l,dy> Rd khong cất (C)

ii} dị, đ) = R © d tiến xúc (C}

iii) dd, d) < R <> d cắt (C) tại bai điểm phđn biệt w Phương phản 2: BC qua Cvă BC | AI =› pLC: 2x + y + êa - 6= AB “ìBC=B = K(2-2a;2-a) ay ce fa=0 u=2 (lan? Vậy A(~3; 0); B(2; 2); C(; 0); DỊ 1; ~2)

Hăi 22: CAO ĐĂNG KIIỐI A,B,D NĂM 2008 -

Trang mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoănh vă điểm R

thuộc trục tung sao cho Â vă Ð đối xứng với nhau qua đường thẳng d: |

x~2y4+3=0 A a bì 1 Gr ‘ | a B Giât HE 2a+h=0 ng, ô a =

A, B đổi xứng qua d la êi xử $ os $-2[3]+s=9 => ieee +

Vậy A(2; 0), B(0; 4) Ta cổ AB =2AD © (Ï

XếL hệ phương trình tạo hỏi d vă (C); JX +” ~2ax=2by +e=0 Ax+By+C=0 + () vô nghiệm ‡> d không cất (C)

Pe (1) cd nghiệm kĩp œ d tiếp xúc (C}

»_ (D có hai nghiệm phần biệt ©> d cất (C} tại hai điểm phđn biĩt,

THỊ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA BƯỜNG TRÒN

«- Điều kiện cẩn vă đủ để đường thẳng đ: Ax + By +C =0 , lă tiếp tuyến của đường lrần «2 d(I, đ}= R 1 Phương trình tiến tuyến của (C) tại Míx;; yụ) có dang: Goi A(a: 0) Ox, B(0, bị eOy

«+ Tacú: AB=ÍTa; b} vă trung điểm ÂB lă

Tửd:x— 2y +3=0=— a=(2;) Ă:X.Xa +Y-yu —28—— bă TẾ apt cnn

—ê)+(y- hWyạ ~ b) =R?

2 Phương trình tiếp tuyến của (C) qua Ma: vod

‘fj Goid 1A dutng thing qua Mize; yu) có hệ số gock

diy = K(X — x0) + yo Se ALKN = ÿ + Wụ — kxy =

đ tiến xúc (C} © d{, đ) = R

Giải (*) am được 2 nghiệm k băi toân đê xong, nếu chỉ câ Ï nghiệm K ta xĩt

thím đường thẳng: dị:x = xụy (iểm tra điểu kiện tiếp xúe}

P- Thương trình tiếp tuyến của (C} song song (hoặc vng #óc) với đường thing Ả: Ax+ Ry tC=ñ

owe HA =>d:Ax+By+CS=ll (Cz€Œ)

i đLA =3 d:Bx-Ay+C*=dG (hay -Bx-Ay+C'=0) đ tiếp xúc (C) => díT, d) =E

Phương trình tiếp của (C) biết trước hệ số góc k Tiếp tuyến Ă có hệ số gâc k câ dạng

Â:y=kx+b œA:kx-y+b=D AÂ tiếp xúc (C) ĩ» d(I, AV=R

V PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT DIEM Mx¿; vạ) ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN (C)

hay A:(X—3)(Xụ

ĐƯỜNG TRÒN A, PHƯƠNG PHÂP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BƯỜNG TRON

Đường trịn (C} có tđm lía; bì bân kỉnh R

1 Phương trình chính lắc: (C): (x - a)’ + (y — b]= 2 Phương trình tổng quât: (C): x? + y* = 2ax — 2hy + =0

Trong đồ c= ôˆ+b—R?= R=va? +hẾ

Cho đường cong (C}: x? + y —2ax = 2by+c=U

Điều kiện để (C) lă đường trồn lă: aŸ+ BỶ —c >0

SỰ TƯƠNG GIÂO GIỮA HƯỜNG THẲNG VĂ DUONG TRON Cũu (C): X? + yŸ= 2a ~ 2by ~ e = Ú, có tđm lía; b), bân kính l*

d: Âx + By +C =Ú Xĩt vị trí tương đối giữa (C} vă d

Phương phap l: -

v Vấn đề 2:

Racy =O +yê —2axy —2hyy 1c —

211 210

Hiking d3p gla) COAT tf ede BTC Tada hoe — Pham Hing Dank, Trin Van Toan

| Aine) > 0: MI nằm ngoăi dưỡng tròn 5 | ti) Aayey <9: M nim trong dudng won

iii) Mac, = 0: Mnim wrĩn dvdng ton V, TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG

Cho (C¡): x” + Vy” — 2aix — 2b, +0; = 0, (Ca): x” + yÝ — 2a;K — 2b¿y +cạ= Ú

Phương trình trục đẳng phương: Â: 2{ay — a;}x + 2(bị — bạ)y — [cị — ca) = 0 | B DE THI

Hăi 1: ĐẠI HỌC KHÔI Â NĂM 2011

Trong mặt phẳng Lọa độ (2xy, cho đường thẳng A: x + y + 2 =Ö vă dường ni

(Ci: x* + y° — 4x — 2y = D Gọi I lă têm của (C) M lă điểm thuộc A Qua Mi kẻ

câc tiếp luyến MA vă MB đến (C) (A vă B lă câc tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm

MI, biết tứ piếc MLAIB có diện tích bằng 10

Giải

Đường trịn (C} có tđm I{2; 1) vă bấn kính: R='4+1—0= V5 =[A

Hai tam gide TAM va [8M bling nha nín

Saiam= 5 Suna 3= ; IA.MA =5

« Š VĐ MA =5 â MA =2VŠ, a

MeAeM(m-m-2)

MI’ = 14? 4 MaA?=54+20=25 << (m—2)' + (-m— 37 =25

C©m°+m~6=0đ<>m=2 hoặcm=~—3 Way: M @; —4) huặc M (—3; 1)

Hăi 2: ĐĂI HỌC KHỐI H NĂM 2011

Trong mặt phẳng tạa dộ (3y, cho tam giấc ABC có đỉnh Bói i) Đường trăn \

ngi lip tam gide ABC 1iĩp xúc với câc cụnh BC, CA, AB tương ứng tại câc điểm

D, E, E Cho D3; L) vă đường thẳng EE có phương trình y - 3 = 0, Tìm tạa độ

đỉnh A, biết Ô cớ tung độ dương J

Giải + Viys=¥p= | nín BD câ phượng trình y— =0

Ta lại có phương trình BE lă y— 3 =0 nín BD # BE Suy va: ‘Tan gidc ABC can tai A,

212

Oty TNH MTV DVVH Khang Việt

Vì tam giâc ABC vần lại A nín AD L EF,

mêi khâc AD đi qua D1, 1) nín AD co phương trình x— 3=ÔỐ A Fe EF y—3= Onĩn P(x; 3)

Tả có: BF = BD

o() +(3-1) (4) stay

exiox-2s ñ—x=-Il hoặc x= 2

+) Với x=—] thì F(—1; 3), suý t4 BE bó phướúe Lănh ave dy 3=U

A li gino điểm ela AD vă BE nín A3] luụi vì ya < Ú

3 Với x=2 thì F(2; 3), suy ra BF có phương trình 4x -3y + Ì = Ư A 1a giao điểm của AD vă BE nín ala) nhận vì w„ > 0

13 Vay Al 3.— |

43: PATHOC KHOI D NAM 2011

Trong mặt phẳng toa độ Øxv, điểm A(1; 9) vă dutng tron (C): x? + 7 — 2x + |

t— 5 =0, Viết phương trinh ditng thing A cfit (C) gi diĩm M va N sac cho tam

fic AMN vudng cđn tại Â | |

Giải - hi

Đườừng tròn (C}) cổ tần H1;—2) vă bân kính R = “0 Tam gide AMN vung cần Lại Ă nín Ê.L AI Suy ta: Â có vĩctơ phâp tuyến lă AI= (0; ~2) Do đâ phường trình A có dụng: y =m Tac; +) MN = 2.d(A, A) = 2|m] +) dd, a} = |m +] +)IM=R= x10 2

+) 1M? =[a(1, A)] AS] +» 10=fm +2) + mỂ

2mẺ+ 4m —-6=U m= 1 hoặc m=-—3 §y phương lrình A lă ; y = Ï hoặc y = =3

213

Cty TNHH MTV DVVH Kiang Việt

Hưởng dẫn giải CDBT tử cdc BTOG Tuan foo - Phạm Hẩng Danh, Trần Văn Toăn — Câch 2:

Phương trình Â có dạng: y = m, do đâ hoănh độ điểm M vă N lă nghiệm của

phương trình: x” + mˆ— 2x + 4m - 5 =0<>xÌ—~ 24 + mÌ+ 4m 5 =0 (9),

Phương trình (*) có 3 nghiệm xạ x¿ © Ơ' =—m”~ âm + ñ >0 (ly Khi đâ: Mũx; m) vA NG; mp > AM =(x, —l¡ m) vă AN =(xa—l; m)

-1]- m =0

+ xi: — (Xi + X2) + mÌ+ =0 (1,

Mật khâc xị, xa lă nghiệm của (*) nín XỊ.Xz = m+ 4m # vă Xp+x3=2

Dn đâ: (**) <> Gn? + 4m — 5)— 2 + mẺ + =0 22m # đm — 6= 0

©m= ] hócm= -3 (Thỏa (1}) Vậ v, phương trình Â lă: y = | hoặc ý =—3 Băi 4: ĐẠI HỌC KHỔI A NĂM 2010

Trong mặt phẳng toa đậ Øy, chủ hai đường thẳng dị: v5z+z=0 vă |

¥

} : R ! F | ( 2 ]

Ề 3u=v3 <>a=-—z= A| =:—1|:C| ——=:iT—2

eal ay * V3 (x i 3 => Tm =e -) lă trung điểm AC va bân kính R =1A = l

2v

iS, a

; 1 37

—— Suy ra phương trình đường trịn (T): : + dự + ;] =1 Ta cd: AM LAN GAM.AN =0 (xi -1).(, , 234 3

1; —Ú), tđm đường trăn ngaại Liếp lă T(~2; he Xâc định tuạ độ đỉnh C, biết C dể

độ dường,

siải ¡ ƒ; Nổi dêi ANH cất đường trín (C) tđm Ï tại diểm H' .R€ đi qua trung điểm HH’

Uk

ot

ˆ Phương wink AH: x = 3 Đường tròn (C) có phương trình:

ˆ +2)? +y? =14

l H lă giao điểm của ÂH vă đường trồn (C)

đẹ: v3Ôx—y=9, Gại Œ) lă đường trồn tiếp xúc với dị tại A, cất ở; tại hai điển B

| vă C sao cho tam giâc ABC vuông lại B Viết phương trình của (1), biết tam giâc

i

ABC câ diện tích bằng = vũ điểm A có hoănh độ dương

că >H (3,7)

ae Đường thẳng BC có phương trình : y = 3 cất

A ed) adn (a;—ay3) (a> 0} đường trồn (C) tai diĩm C ed hoănh độ !A nghiệm g

Dưững thẳng ÂC qua Ă vă vuêng nóc với dị cd phương trình lă:

I(x-a)- 4 5(y +a3]= 0 e>x-V3y-4u=0 8h

Nín AC z¬ dị =C( 2a¡~2av3) Cc

Puiing thing AB qua A va vudng gĩe

với d; câ phương trình lă:

l(x=a}+ v3 {y+av3}= U©x+3y~2u= đ

phương tình: (x+2}Ÿ +3” =74 ` => x =5 ~2 (lốy hoănh độ dương): y = 3,

Vậy C(x/65 -2; 3)

ĩch 2: Goi (C) 1A đường tròn tđm I{—2; 0], :

hân kinh R= LA =x/7?4

Phương trình đường trịn (CỊ: (x+2]2 +y? =74 Gọi AÂ¡ lă đường kính

iz

avd

sates [-3-23) : 4 X 7 1 = HA, qua M tung điểm BC = BHCA, lh hirh bah hink

LTS S B

SaaBc = 8 oBABC=y3 “Ta có TM lă đường trung binh cha AA, AB TƯ ụ gp

— af : = Nín : TM = = PATI so 75" conte, 3) yy

ua q 13 a a3) og ; we ii

ays ` ;| “| wise 2 NT Ge + [avant] ape “Phương trănh BC cua XI vă vuông gốc AATl: Y = 3 =

214

Hưững dẫn giải COST 1h câo ETGG Toản hạc - Pharì ltẩ1 Danh, Trấn Văn Toăn

(x42) +y? = 74 em

"Tơa độ C thoô hệ phương trình; 4w =3— U = ( si N' TIẾN ;

, Yr

aed

vay C (W653 —2 ;3)

Băi 6: ĐẠI HỌC KHOI ANAM 2009

'Trong mặt phẳng với hệ lụa độ Oxy cho đường tron (C): XỂ + V` + để + 4y + 6 =0 |

vă đường thẳng Â: x + my — 2m + 3 = 0 với m lă tham số thực Gọi L lă tđm của ˆ

đường tron (C) Tam dĩ A cil (C) tai 2 điểm phđn biệt A vă B sao chữ diện tích

tam piâc LAB lắn nhất

Giải

{C} có Lđm T (—2; —3}, hân kính R = 3

Tiện tísh tam giâc IAB: § = IAIBaia AT8.< RẺ =1

5 lđn nhất klủ vê chỉ khi LA | 1B ss ý R ke -im—-2m+3} Khi đú, khoảng câch từ 1 đến A: dự, Ă) =——=1 « =1 2 vi+m? 1 3 Š «@œ (1 ~- 4m} = | +m ol Ahab

Mai 7: PATHOC KHOLB NAM 2009

'Trong mặt phẳng với hĩ tua dĩ Oxy, cho đường tròn (C}: (x — 2Ƒ+ v ee hai dung thing Ay: x -— yy =0, Ay =x - Ty = 0, Xdc dinh toa độ tđm K vă tính bain kính của đường erin (C,); biĩt dung tein (C)) iĩp ite vei cdc dutng thing A, 4; va lđm K thuộc đường tròn (C),

Giải

Goi K(a; b); Kc (C) es (a — 2] +b’ = 3 (HD:

Mh _-7 {C¡ tiếp xúc Ay, Ap i) Hep is Ay ea eae (2) )

`” .*

{1) vă (2), cho ta: [s(a-2)' +50? =4

ô|a— b|={a — 7h| s(a-2) +5? =4 5(a-b)=7b-a (0) 5(a-2)' + 5b? =4 — 3(a—b]=a~7b (1) hoặc |

Cty TNHM M1IV DVM Khang Việt

oop th Ế "2 ngbfBuv —~ 1, =2b , <= (aib) = [: | 25b" -40b+16=0 aS b-B_ an in kính (Œịh R= Ba | Rz) ado 2/2 TH“ , Vậy: xf 8 că `5 4) va R=

BĂI 8: ĐẠI HỌC KHỐI những 2009

- Trang mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trồn (C): (x — lí y =1.Gọi

Lă tđm của (C) Xâc định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho IMG = 30°

Giải

“Gại điểm M(a; bì Do M¢a; b) thuge (C) nĩn (a - 17 +b? = 1;

Qe (C) = 10 =1M = | Tum gide IMO có ỐïM = 120°

Nĩn OM! = 107 + IM? — 210.1M.cos120" <> a? +b’ =3

Tọa độ điểm XI lă nghiệm của hệ 3

UR ee ae 5

lâ +b BH vă 2 `

[a? +b? =3 pee tr ee

2

Băi 9: ĐẠI HỌC KHỔI A NĂM 2007

Trong mặt phẳng với hệ loạ độ Oxy, cho tam giâc ABC cổ A(Ô; 2), BĨ 2; —2) vă C(1; -2) Gọi H lă chđn đường cao kẻ từ B; ki vă N Lin lượt lă trung điển của

bắc cạnh ÂB vă BC Viết phương trình đường trịo di qua ate điểm H, M, N Giải

Ta o6 M(-1;0), N(L; -2), AC = (4 — 4) Giả sử H (x, y) Ta có: BH LAC a eae +2)=0

HeaAc 4x+4(y=2)=0 ye

Giả sử phương trình đường tron edn tim 1a: x? +y"+2ax+2byto=0 1) Thay wa độ của M, N, H văo (1) tị có hệ điểu kiện:

Trang 29

Hưởng đẫn giải GDBT tữ cie 1108 Tuần hạc - Pham H8ng banh, 1rÌn Vấn Toăn Băi 1U: BAI HOC KHỐI D NAM 2007

| Trong mặt phẳng với hĩ toa dG Oxy, cho đường tron (C): (x~ Ly + fv + 2)? = 9 vă | đường thẳng d: 3x - 4y + m= 0 Tìm m để trín d có duy nhất một điểm P mă từ đó có thể kẻ dược hai tiếp tuyến PA, PB tấi (C) (A, R lă câc tiến điểm) sao cho | tam giâc PAB đều ch scÚ: Bị

Giải (Œ) có tđm I{1; - 2) vă hân kính R = 3

Ta có: APAB đếu níu 1P = 2LA = 2R = 6 < P Ihuộe đường tròn (C) tầm E, bân kính R' = 6 Trín d có đuy nhất một điểm P thoả mên yín cầu băi toân khi vă chỉ khi d tiếp xúc vâi (C9) tại P d(T; d) =6e7m=19,m=—-41

Bai Ll: ĐẠI HỌC KHỐI R NĂM 2096

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trùn |

(C?:x”+y” = 2x = 0y +6 =Ú vă điểm M(-3; 1)

Giai T¡ vă Tạ lă câc tiếp điểm của câc Liếp tuyến kẻ từ M đến (C} Viết nhương trình đường thẳng TỊT:,

Giải

Đường tròn (C) có tđnt [(1; 3} vă búa kinh R = 3 MI =2v3 > R nín M nằm ngoăi (C) Nếu T(x,; y,ì lă tiến điểm của tiếp 1yến kẻ từ MI đến (C) thì:

Tel) Tet) ‘a LIT ee =0 MT=(x, +3 vụ — D,TÍ= (xạ — ly, — 3Ì, Do đó tâ cố: (s +y2—2x, -6y, +640 (84 +32, ~)~y„ — BƠ, —3) =0 fe - ti ng” Bồ ef at ae Ề Xê +Y2 — 2X, — dự, =0

Vay, loa độ câc tiến điểm 'Tị vă Tạ của câc liếp tuyến kẻ từ điểm M đến (CỊ

đều thỏa mên đẳng thức (1), Da đó phương trình đường thẳng TỊT; lă:

2x+y~3=U Hăi 12: ĐẠI HỌC KHÔI D NAM 2006

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trồn: i (Chix? +y? - Ix -2y +b =0va đường thẳng đ: x —y +3 =0 Tim wa độ điểm M nằm trín ứ sao cho đường trồn tđm IM, có bân kính gấp đơi bân kính đường trồn (C), tiếp xúc ngoăi với đường tròn (C]

ty THHHỊ MTV DưvH Khang VIỆT

Giải

Tường tròn CC) có tắm T(E; ]), hắn kính l4 = 1 Vì M e d nín M{x; x +3} 'Yíu cẫu của hăi taần tưững đương với:

MI=R+28 {>(x—1}) 1(x43)2=9 œx=l, x=-2

Vậy cú 2 điểm M thỏa mên yíu cầu băi toẩn lă: Mạ(l; 4), X(~2; 1} aj 13: BAI HOC KHOI B NAM 2005

Trong mặt phẳng với hệ tạa độ Oxy cho hai diểm A(2; 0) vă B(6; 4),

Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoănh tại điểm AÂ vă thoônz câch từ Lđm của (C) đến điểm B bằng 5

Giải

Gọi lầm của (C) lă lía; b) vă bần kính của (C) lă R, (C) tiếp xúc với Ox tại A = a =2 vă lbl =R

[=5 c>(6— 2)? +(4- bị =25 e bẦ— Rb+7=0 @œb=1,b=7 Với a =2, b= | ta cố đường tròn: (CỊ): (x = 23+ (y ST DÍ= I Với a =2, b=7 ta có đường trịn: (C)): (x - 2)” + (y — TỶ = 49,

14: g

Trong mặt phẳng vềi hệ tọa độ Đícâc vng góc Oxy cho 2 điểm A(0; 2) vă

af 7D, Tim toa dO tye Lim v2 ta độ tđm đường trồn ngoại liến của AUAH tải

Gọi Hội, y) lă trực tđm AAGD

AHLOB = AHcĩ VTPT OB =(-V3,-1)

=> Phuting trinh AH: /3(x-Q)+(y—2)=0 hay x8x+y~2=0 <> BHOA = BH cd vipt GA =(0;2)

Thương trình BH: a(x + v3)+2(yx+ I)=0 hay y+1=0 =H(J5:~!)

Goi Ï (Xọ; yụ) lă tđm đường trín ngoại tiếp AAOH, ta có: TA? = O2 =1?

3 2 1ê +Yí =Xi + (yy -2)

hề [yạ =1 ==l|-v3;

E+ Yi =(ụ + By +(yo +1) lo = ( âi )

115: :

Trong mặt phẳng với hệ trực tọa độ Ei¿câc vng góc Oxy, Cho đường tròn |

): (K— LỊ + Gy -2)° =4 vă đường thẳng ở: x — y— L=0,

_ Viết phương trình đường trịn (C) đối xứng với đường tròn (C) qua đường hing d Tim tạn độ câc giao điểm của (Œ) vă (C)

218 219

Cty TNHH PATY BYVH Kinong wl

‘Huftay dan ol4) COAT tit edo BOS Toan hoo — Phan’ Hồng anh, Trắn Všn Tain Giải

(Cu) có tđm T(1; 2), R=2 Gọi T lì điểm đối xứng của 1 qua (d)

Gọi (A) lô đường thẳng qua T vă A Ld Ar a+y-3=0

(A) A fd) = H2 D

2= xi l

: 2 X=SỞ an 1 Vì Hlă trung điểm của H nín: với uy) =+T(3¡0)

7

vets yr? 2

Vay dung tron (Cj cd tim 1'(3; 0) R=R'=2

Vậy (C9: (x— 3Ÿ +y =4

* Tim toa d§ giao điểm của (C), {C) 2 2

ne (x-1) +(y-2) =4 Me Ít -3Ÿ ty =4

(x-3} +y} =4 x-y-l=0

Íx=y+l x=l £29 re (have yan -_

Vậy giao điểm của (C), (C) lă A(1;0) B(3; 2)

Băi 16:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đícâc vng gúc Oxy, cho hai đường tròn (Cae x? +? ~ 10m = 0, Cox? t+ y? + 4x —2y 2020

1 Viết phương trình đường tròn đi qua câc giao điểm của (C¡), (C;} va có

tũm nằm trín đường thing x + 6y -6 = 0

2/ Viel phương trình tiếp tuyến chung của câc đường trồn (C¡) va (Cy) Gửi:

1/ Đường tròn (C) qua giuo điểm của hai đường tròn (Cy) vă @C¿) => (C3, (C¡), (Ga)

thuộc chùm đường tròn

(C): mGẺ + yŸ ~ 10x) + HỌC” + yỀ — 2y — 20) =; (Với mỄ + nỶ z 0) (in + nx? + (m + ny? + (4n— 10m)x — 2ny - 200 =0

4n-10m 3 20 m+o m+n mt+o Thon 1( 28538, n } m+nh m+h 0 x'+y1+ teen lă S020, SB ee peewee ite m+o m+n Ta chọn n = L => m= -2, Vậy (C): x? + y?- 24x + 2y + 20 = 0 ® Vìiled:x+6y-6=0>= 220

Yiết phương trình câc tiếp tuyến chung của (C¡) vă (C›)

{Œ¡) có tđm T,(5; 0), bân kính Rị = Ÿ (Ca) có tắm 1z(~2; 1), bân kính R; =5: lạ = 5⁄2 ¢ Th < Ry +Rz => (Cy) vă (ca) cắt nhau tại hai điểm

=> (C)) vA (C2) có bai tiến tuyến chung

Nhđn xĩt x = xạ không thể có tiếp tuyến chung Phương trình tiếp tuyến chung

tủa (Cụ) vă (C;) cố dạng A:y=ax +b—ax-y+b=0

35 a) a

dữ,A) = Rị 4Ja?+l

đ ychbiâ

dẹ;,A)=lR E =7 2 |[2a-I-h|

va =Ì Từ (1), (2) = [5a +b] =|-2a-1+ bf 5a~=b=-2a-l+h |* T7 3a+b=2a~l=b g8 tÍ im 125/8 253

*® Thay a=-s vio (1) có: bị £ eae, ey ae

« Thay b= -3a+l vio (1 5 (1)

mcĩ: 15a ‹ at asa? +1 = Sla? — 14a +99 = 0 phuung tinh Ơd nghim

ô Vy ta có 2 tiếp tuyến lă: Đu: x + Jy - $4252 =0

Aạ:X+ Ty 5— 252/2 =U 17:

Trong mặt phẳng với hệ lọa độ Đícnc vuũng góc Oxy cho hai đường trín 9): X”+V < 4y 3 =0, (Ca): xÊ + yÝ— 6x + Ñy + lũ = 0 Viết phương trình câc

Ĩp tuyến chung hai đường tròn (C¡) vă (C;)

Gigi lồ: XỔ + yỶ — đy — 5 =0 => Tị(0; 2), Rị = 3 (C2): x? + y? — Ox + By + lũ =0 = 13; 4), Ra =3 T LA pipe Sete Tạ có Llạ= 3° -(-6)° =3V5>3+3=R, +R,

Vậy Cụ) vă (C¡) nằm ngoăi nhau => có 4 tiếp tuyến chung

22

Hường uẫn niải PDBT từ câ: BTÍ6 Taải: học - Phạm lồng Danh, Trần Văn Tuần

Nhận xĩt: Tiếp hiyến đứng của {C¡] lă x = +3 “Tiếp tuyển đứng của (C›) lă x=0v x=6 =(€,) vă (C:) tiếp tuyến chung của chúng có đạng

Arysax t+heax—y+b=0 riba 5 Neues [b-2|=3va? +1 th ch: Qo — d(;.A4)=R¿ |la+n+4|=3ja 241 (2)

TU Ci [bd eaeapes| ert bồ mon snb~ 4c | be T TET oy a 2 ?

; by =24 V5

« Thến=-32văo (I)La được: -2+b|<3x5 | UY bạ =2 -3v5

Cú hat tiếp tuyển: Ô¡:—2x— + 2+ 35 =0; Âz:-2x~y+2— 3 v5 =0

a¡ =0 hị =—l

jae

5 Thế h= văo (1) La được: 34? — 4a =0 ©

arab = 2 Có hai tiếp tuyến: Âi: y= —1; Ay= Săn 3

Tăi 18:

'Treng mặt nhẳng với hệ toa độ Đícâc vng gúc Oxy, Chu đường thẳng

địx—y + L= Ú vă đường tròn (C): xỶ+ yŸ+2x — 4y =0

Tìm tạn độ điểm XI thuộc đường thẳng d mă qua đó tâ kế được hai đường thẳng tiến xúc với đường tồn (C) lại A vă B sao cho góc AMIB bằng 607,

Gia

Ta c6 (C): (x4 1)? + (y- 2% =5 > Tam! (-1;2),R = V5 Do AMB =60" vă MI lă phđn giâc > A AMT1A nifa tam gide dĩu

C6 AMI=30° =» MI=21A =2/5

Vậy M nằm Irín đường trịn 1Ầm 1, bân kính 2/5 câ phương trình lă:

(Cy): (x + 1 + fy — 27 = 20

Do đỏ: Tọa độ M lă nghiệm của l:ệ:

,

x-y+l=0

> 4 =

(X41 +(y 2)? =20 ~ Ly? +(y-2)? = 20 pes ly=~2 'w=x+#l ly=4

Vậy tạa độ M¡(3; 4), MI;(—3; -2) thốn mên ychL 222

Cty TNHH MTV OVVH Khang Việt

Băi 19: - !

Trong mặt nhẳng với hệ tọa độ Đícâc vng gúc OXxy cho đường thẳng

d; x — Ty + 1 =0, Viết phường trình đường trịn có tđm thuộc dưỡng thẳng

As 2x 4-y = Ova tiếp xúc với đường thẳng d tại A(4; 2),

`

Euẽnu dẫn giÔi B28T tí cấp T3 Taấn tục ~ Phạm Hồng Danh Trấn Vš 1 Toản =

Gidi

d:x-Ty+ 10=0, A: 2x 4y=0, AC4; 2) Goi Ifa; b) tầm đường trồn £C}

Vì (C) tiếp xúc d tại A => LA L d = nhượng trình đường thẳng [A: 7x + y +m =0 Ae JA: 28+2+m=0<>m=- 30

Vay phương trình của IA: 7x + y —30=0

7x ty—30=0 ax+y=0

Do dĩ Ta giao diĩm cia IA va Ata gidi hĩ Ỉ = 16; - 12}

Po Sue ae Aaa, — m

R.=1A = J(4—6)) +Œ+12}” = V200 = L2 Vậy (C): (x — 6) + (y + 12)? = 200

ELIP - HY PERBOL = PARABOL A PHƯƠNG PHÂP GIẢI

: Elip

| BINH NGHĨA: (E) =4{M | MF, + MI) = 2a; F, Fy = 2c; ô > c}

41 CAC PHAN TU ELIP:

|{ Câc phần tử của clip | Phuting trinh chin ile;

¥ Van dĩ 3: Phuting trình khơng chính 2 v2 N vŸ (E: *c+Tc=lfa>b>U) tắc (1): + =1 2 bể a ib (b>a>0ì 1 Đề thị af!

3 Dinh Ant—a; 0), Asta; 0) AL: ma, AglOj a)

1, (0; 6), Be(0; ~b) | Butts: 0, Baths; 0)

4, Tiĩu diĩm F,(—v; 0}, Fate; G) F) (Ds 2), Felt e)

5 Tiíu cự Fly = 2¢ —_ |RiF;=2e —

6 Tđm sai se] xi,

T, aah cab n |

§ Bún kính qua tiíu | MIEi = a+ ex, Mri =a+€¥m

điểm MF) = 4 - 0%, MF =u Cynm fa 9, Đường chuẩn a2 ] ket fer l c 1đ, Tình chữ nhật x=+n;y=+h Cư SỐ | 11 Khnẵng câch In? aa?

giữa 2 đường chuẩn | Tg— ae \

I, TIEP TUYEN ELIP: Cho (E): an a af i z

L, Phương trình Liến Luyến của (E) Lại Mậu, yu) d: 9 +22 =1 ca bỀx,Eọ + nữ go = ab?

a he

2, Đường thẳng ủ: Ax + By +C =Utếp xúc (E) © [at at =b?b2 =? HYPERBOL

I ĐỊNH NGHĨA: (H) = (M| ME, - ME;|= 2a, F,F; = 2e, Ö < a < c| II, CAC PHAN TU CUA HYPERBOL

13ạn> khơng chính tắc ge oat Câc phần tử PICT; (Hy > - 2551 về KẾ a a —=—=l a b Ki § | Bs By : Ö _ AG BL OT 2 ie: x Bị | Ay || 2 Trục lớn Ailha =2ù Aila =2a

|] © True bĩ B,B, = 2b ByB,=2b | 1 Trục thực + 2 Dinh |) 4, Tiducy Fy Fz = 2c = FF, = 2c ; 3 Tđm sai se Si gui

a ĩ c=a + thea td | | ? Đường chuẩn a? nể x=i— ¥ =d— C u ; 4 yv=d—x x=+#—y | il ad

|» Ban kinh qua MI = lex, +al MF, - ley, tal

MF; = |exm—al ME:= cyg-al

Cty TNHH MT LYWH Khaag Vite

Aq(—a; Gh Agfa ĐH

Fi—e; 0), Ri(e; 0) Arti: -a), Aad; a) F,(0; -<}, F(0; ¢}

¡ PS 3 Tiíu điểm {M thuộc nhânh phải hỗ trị tuyệt đối, 1 thuộc nhưính trâi hỗ vă đổi dấu trị tryệt đối)

x=diu,y=zbÙb

HH Tiếp tuyến của Hynerbol:

2

x

Cho sai a? i

I! Phatdng tink bĩp tuyĩn eda CH) tai Mie; yu) đ: eat 7 1 5 2

2) Duting thing d: Ax + By +C = 0 tiếp xúc (H] 4+ |: PARABOL

DINK NGHIA: (Ph={M | ME= dM, A}} _ + Fy

Hl CAC PHAN TU CUA PARARBOL

Trang 30

Hưng din gill CORT tit cde DTOG Teấn hes - "hạm Hâng Dah, Trất Văn Tnăn TT

s- Bân kính qua tiểu: ME = Xụy =

2 Câc dạng khâc: = =

,|_ Câc phần tử Dạng y`=- 2py | x? = Ips | = hy

| ¥ | ¥ XS | L Ị Ty oO : | 1, Bề thị F bei 0 “x | Z x 2 TT | ch” | ——i | fon i p | 2 Tiĩu diĩm li -š0) | rÍu ?) | r(a-#]

* 2 ¬ 1 -

3 Đường A:x=ˆ n | A:y=-_ p j Â:y=_ cou oe

chuẩn a | 2 2

†

4, Bân kính MF =-x,, += B MF = fe "N Í MEF =— : b

qua tiín điểm đ 2 TH i TH

1IL Tiếp tuyến của parabol: (P): yŸ= 2px

1 Phương trình tếp luyến của (P) tại M (xq; yu) co dang d: yyy = p(t + Xz)

2/ Điều kiện để duing thing A: Ax + By +C=Uudpxte (Pi) Bp =2AC

B BE THI

Bai 1: BAL HOC KHOA NAM 2011

2 2

Trang mặt nhẳng tọa d6 Oxy, cho elip (F): n + = =L, Tìm tọa độ câc điểm A vă B thuộc (E], có hoănh độ dương sao cho lam gic OAH can lại G vă có diện

tích lẩu nhất

Giải

+ VIK¿ Vă xụ dương vă tìm giâc GAH cđn tại Œ in A, B dối xứng nhau qua = Ôx vă xạ = Xp, YA = —Ÿu

Xê vở « Tacd: Ae (eye 2% ¬ Al)= 22a|ii|= ; Ya « Ap dung bất đẳng thức Cauchw ta cổ: 2 [ie x x es eB, 5ï ¬ KH =|*AYÀ=Šêoan- 226

Ĩt¿ [NILI MTV DỤVH Khang Viỹ

Saoau lớn nhất khi vă chỉ khi 4 2 4

MAL y2 8 A =|

2 £ v2 Ì Ị Vậy: Â (`) Ệ B) V2; —=— | huật A[% = \ 2

Hi 2: DAL HOC KHOI B NAM 2010

y? en

a sẽ i vi elip (EB): xê etm

Trong mật phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A{2; x

c 1i F¡ vă F› lă câc tiín diểm của (E} 1) cd hoăn dĩ ana); M lă giao điểm có

tung độ dươrg của đười:g tlrng Ai với (E): N lă điểm đổi xứng của 1 qua M, tiết phương trẻnh dưỡng trön ngoại tiến Lăm giâc ANE:,

Giải

2 3

Đu .RK arama v3 %3 sav he =3- 221, Bods FC Oy F.¢1; 2ˆ ý ‘ 0)

SO aay yd tl=0, ụ Phương trình AI¡ có dụng Š 2+

M= AF, (E) nín tọa đệ điểm M (với Ven SO} tbe be pluting trình si In

ON lă điểm đối xứng của l3 gua MI => Âi lă trung viểm NE¿ => N [ I =) {royvi41=0 oS - (@wly>U) = M)h ax? +3y? <6 nh 37] : zh # % = NA=|i e |; RA s(k V3) => NAÔ ~0 1 N3¿

=> ÂANE; vung ti Â nín đường won ngoại tiếp của nó có stưỡng kính lă FAN, 5

Đường trịn năy có tắm lí = Na wrung diĩm coun F)N va ed bin kinh

we?

Rete

51

SW ơ _ nín có phưklng trình lă: {x ~ 1)" or x3;

13: BẠI HỌC KHÔI Â NĂM 2008

Trang mit phẳng với hệ tựa độ Oxy, bầy viết Sung trình: chính tắc của clíp (E)

Mết rằng (E) câ tầm gai bằng Sa hình chí nhật e:1 sở của (E} câ cho vi bling 20 |

227

‘Mudra dẫn qải DDBE LS sae D796 Tsan hoc — Pham Hĩug Dark, Tn Van Toor Giải

XÊ yỀ

Gui (Ek = | ore! (vWiia she 0)

Cl} (2)

> 9c? = Sa7 <5 Ota!’ — b*) = Sa”

Dm sai King Ý Seer 3

Chu vi tinh nh: nhật cơ sĩ băng 20 —>¡ +b— § + li=5—a a=3

Thay f2) vău (1}1a được: nh cự, l5 loại (vì —10 <0} Với a =ô3=>h= 2 (nhận)

: : j ‘ oy

Vậy phương trình chín Lắc của (E): ett |

Băi 4: DALHOC K-IỔI D NĂM 2008

Trong mặt phẩzg vớ: hệ toa độ Oxy, cho puratesl (P7; y° = 16x vă điểm A(l; 4}

Hai điểm phần biết B,C (D vă C khâc Ô] dị động trín (Pi sue cho poe AC =0U”,

Chetag mich ring duting thing BC huện đi qua một điểm cổ định =

/

¿

i a= fis ‘) AG- Sues -s|

z IG = iTS eo 16s —btey thew (2)

GSS 16 lễ

‘Tit CH va (2) suy ra đường thẳng R€ lưôn đi qau điểm cố ojnh 117; —4)

Hăi §: ĐẠI HỌC KHOI D NAM 2005

"an mặt phẳng với hệ trực

tọa độ Oxw cho điểm CÓ; 0] vă clip đục

Giải

Giâ sử A(Xu vụ), Do Â, B đối xứng nhau qua Öw nến Híx,; —Y,), 228

o4 ae I Tìm tạa dộ cia diĩm A, B thuộc (E) biết rằng hai điểm A, B đổi

xứng với nhau qua trịc hoănh vă tạm giấc AC JA tìm giấc đều se

Vì AB = ÂC nín (x, -2)7 +y2 =4y2

“Với Xụ,

2 3 “Vũix.= _

| Vay A aah) of 24 2 fe hoặc 43

thay văo (L) lă có y„ 7

=4iN

Tacd AB’ =4y2 va ACt= Ix, ~2y + y2

ị _ xê

—V]A c(Œ) nín 7 lanes

Thay (1) va0 (2) wit rit gon ta due: Txe -16>,,+4=0 |

7 = 2 thay vio (1) laed y, = 0, Trittng Inn nity load vi A SC

a

ah 7

nề” 1

_ "Trong mặt phẳng với hệ tụa độ Đ©vúc vui ng gĩe Oxy Cha Parabol {P] có ng trình yˆ = K vă điểm EO: 2) Tìm tọa dạ hại điểm M, N thuộc (P) sac

7) xi

Gry TNHH MTY DVVH Khaag Vier

Q) (2) x, =2 „ 3 Xu = = t— inlin) ? m? =4n°

yebt: [IM -4IN @> ï m=2=4n-4

'Vậy tă có 2 cập điểm M;(4:~2}, NỊCH;

q Giải

“Tú có: (P) yỶ = x vă H0; 2) Goi Mans m3, Nora) GAP) 1M =(m?; m-2), IN ={n? ;a=2)=41N - “mì =ân ln? —ải l vă A: (an: ân -ê| [n=] 6 = "ụ—-2 ra-a [ny =3 |m; =6 (36; 4), N29, 6) } 2 ye Hướng trình Ti # =>], Xĩt điểm l6 9

huyền động trín tia Ủy sao chờ dưỡng “Trong mặt phẳng với hộ trục tọa độ Đícât

ĂI chu)

thang hi se định lọu độ của MỊ, N dể daan MN cề dộ dăi :

1a động trín tia O vă điểm N suing góp Oxy Cho clip (E) củ

Nuon tiếp xúc với (E), | Lả nhất, Tĩnh gií trị nhỏ nhất đó |

Mim: 01 c Ox, NiO: nye OY = m,n

se Giải *O 22?

Huting 2ĩa gidi COAT ti cdc DTOG Tean hoc ~ Pham Hĩng Danh, “rin via Toan

Putting thang MN cd phiting tinh: ex + my ora = 0

MN liĩp atic vai (By L6n? 69m? =C yan? Ta có MN” = mỸ + nể ễ Theu bất đẳng thức Runhia tt cổ: 14 mììn « [8 59 ont +n? = MN m a Ymˆ nỶ 1 + z 3 n Fa 2 2 MỊN nhỏ nhất <> Bet s> Sens & 30 an

aS 4

m on

Va m+n? =49 5 m?=28 van? = 21

Do dó MN nhỏ nh cm =2x7 vă n= v3i 6ìmn>0) =M (27:11) N(0; vêi ) khi đó min MỊN = T, Băi 8:

'Irang mất phẳng với hệ tạa độ Đícâc vuông gâc Oxy, cho elip (EB):

x? v?

T—- —~l vă đường thẳng dụ: mx —y-1=0

9 4 |

tứ Chứng mình rằng vei moi gid ti cla m, Cuting thing dy luda cất elfp (H]

tại hai điểm phđn hiệt

bĩ Viết phương vik tiến tuyến của (E) bigs ring titp wyĩn dĩ di qua điểm | NET; <3): | | Giải M (BỊ: ee =1 @»4x)+9y °=36 9 4

Ta ed phitdng wink bodnh d3 gino điển của (E2 vă (dạ)

4x 2+9(mx- 1J- 36=0€@{‡+ 9m Ix" - LBrax— 25 =0

Ă' =8In + 25(4 + Ơm} >0,¥m

Vậy dụy cất (E) tại hai diĩm vm

bf Viet phương trình tiến tuyến với (E) quâ XÓI; 3}

Do x = Í khơng lă tiếp uiyến của (E] nín gọi ^ lă tiếp luyến v¿i (E) qua NÓ; ~3) cú hệ số góc k ớ

te

|e

Vậy có 2 tiếp tuyển Ay x + 2y 45 = 0, Ap Sx-4y—17=0

Cay TNH MTV DVVH Khang việt

Chuyin để Ết

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN 0XY7

MẶT PHẲNG VĂ ĐƯỜNG THẲNG A, PHƯƠNG: PHÂP GIẢI TOA BO 1L 0=(Mjs:;) € ñ=uyÏ~u;]+ uy 2 a+b=(aithi:ay + bạ; sị # ba) Van dĩ I: „ —t t= >

5 la! = yar saz +a," ~tgby +a,by B2 Hạ by bal” ly by by] Ay Ag by by li =h 6 a=h 445 =b lay =by ab th & a cùng phương b© [3.5] = 1, Cus(a,h) =

Seth tag tas = byt bg thy 8, a,b,c đồng phẳng c> II =f

10 Diện lích Lăm pide: Syane =s| A8.Acj

11 Thể tích tứ diện ABCD: Vapcp — z|Ag.Ae]An|

12, Thể tích hink hop ABCD.A'B'CD: Vagcp, awe = (AB, AD]|AA] MAT PHANG

Y Veet phâp tuyến của mặt phing 1A vecid khĩe vccud đ vă có giâ vng gâc

mêi phẳng,

Phư¿tng trình tổng guất: (2); Ax + By+Cz+D=0 (A* +B? +C? #0)

{ai qua MO&G; xu; zẹ}

le veet nhấp tuyến: n=(A;B;,C}

kušng dẫn giải COBT ti cc BTOG Toan hos — Pram Hang Banh Trin V2" Toan

La Mat phing chdn: (a) c&t Ox, Oy, Oz ln luge Ata; 0; 0), BOO; 0), C00; Oc),

4u, b,c khắc 0)

` 1W

(„}: —+—+—=l ab ¢

+ Mặt phẳng đặc biệt: (Oxy}: z = 0, (Oxz): y = Ú, (Oyz): x=0 ĐƯỜNG THẲNG

+ Wếcu# chỉ phương của đường thẳng lă vectd khâc vectl Ú vê có uid cing phương vâi đường thẳng,

đi qua M (xi yes 2a)

-

: i vecLf chỉ nhưng a= (i)3493 44) x—xXụ Phương trình tham số :————=——~ Rr

ay tạ

=0 =0

Đư*ng thing die biĩt: Ox gi Oy: Ƒ a" z— j=

B BE THI

Bail; BATHOC KHOL b NAM 2011

Troag không gian với hệ tọa độ Oiwz, cho diĩm Af!; 2; 3) va dung thdag us

ce vs i yee dường thẳng d vă cất trục Ox với (ai; 4; 8; zÚ) =ũ Oz : yee a chy a3 +

Viết phương trình d.fỡng thẳng Ơ đi qua điểm A, vuông góc vải

Giải

Gọi M lă giao điểm của A với trục Ox =e Mũm: 0;Ð) = AM =(m ~l;~2;~3)

Viâotd chỉ phương của d lă a = (2: 15-2)

+ Aldo AM Luc AMa=0e; Xm- 1) + (3)2(3) =0 âom =~], ô Tường thẳng A đi qua M vă nhận ÂM=( 3: 2; 3) lam veclỡ chỉÏ phương nín có phương trình: An

Câch 3

Aứiuu Ă vă cất trục Ưx nín Â nằm trín mặt phẳng (P) đi qua A vă chứa trục Ủx

« A đi qua Â vă vung góc với d nín Â nằm Irín mặt phẳng {Q} di qua Ă vă vuông gức với d

= Ta có: +) Veetd nhđn tuyến của (P1 lă n;ă

= GATT Câch 3

a Mit phang (Q) di qua A vi wudny ade với d —> (G): 2x + y~ 2e+ 2—

1:0;05,

s Gọi M lă giaa điểm của Ox va () « Vĩctứ chỉ phường cla ala: AM

lăi 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NAM 2011

tă hai điểm AC 2; 1; 1), B(-3;-1; 1 Íx=-2-t Ì Í phương trình tham số lă: 3y = Í + 3t #=—Ê—°2L *® MeaAc>M(-2+t;I+3l;—=5—21) ; Way M(—2; 1;—-5) holic M(—14; —35; 1

ai 3: DAL IOC KHOTD NAM 2009

ere không gian với hệ tọa độ (232,

=> Mi-

fic R)

9%,

Cry INHH MT¥ DYVE Khang Việt

+) Vectd nhâp tuyến của (Q) lă 2.0) = ay : + A=(P¥ VQ) = veo chi phuing cla Ala: a, =[ome | 5

2) Tim ‘pa độ điểm M vă đường thẳng A san cho lam gidc MAB cĩ diĩn tich bing 343

a Giải

on 3? + 36t=0 + t=O hole t=—-12

Toa dĩ giao diĩm Tota A ydi (P) thoa

T+2 y-23 + “To T1 HH C4L] x+2y-3714=0 —— a - oom n= (2

Trong không gian với hệ tụa độ Oxvz, cho đường thẳng A: ——

VĂ mặt phẳng (P]:x+3y- 3z+34 =1 Viết nhưng trình đường thẳng ở nấm [tr ng (P) sao cho d cất vă vũng góc với đường thẳng A

Giải mên hệ: “ oo t = -l

:—3); verLd chỉ phương của Ê: 1 =(1—1) 233

Trang 31

Hưởng dẫn giải CDBT từ cêc OTOG Todn hye — Pham Hồng Daa, Trấn Văn Toăn

Đường thẳng đ cẩn tim qua Ï vă câ một vecld chỉ phường:

ñịp,) =(I 2: 3), my) = (3 2: = [}

Íx=-3+t

Phương trình d: 3y =Í—21

z=1-1

Băi 4:CAO DANG KHOI A, B, D NAM 2009

'Irung không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho câc mặt phẳng Œ:}:x + 2y + 3â+ 4 =0

vă Œạì: 3x + 2y —z + l <0, Viết nhường trình mặt phẳng (P} đi qua điểm

ACL 1; 1}, vng góc với hai mặt nhẳng (P)) va (P2)

Giải (te R)

ectd phâp tuyến của hai mặt phẳng (PỊ) vă {P3}; Mey > (1:2: 3) My) =(22-1)

(P) vng góc với bai mật phẳng, (P:) vă (P2)

=> ÍP) có một vectd phầp tuyến: 3ø) “[nian-Bm) |Ƒ (T8 10; ~4}= ~2(4:— 5: 2}

Mặt khâc (P) qua A(1; 1; 11 nền phướng trình mặt phẳng

(P: 4x — — 5y— 1+2 1ị=0

Hay (P): 4x— 5y + 22-1=0

Băi § CAO PANG KHOI A B.D NAM 2 2009 —_

Trong không gian với hệ tọa độ (xvz, cho tam giâc ABC có A(; 1; 0), B (0; 2; 1)

vă trọng lđm G(U; 3; —1} Viết phương trình đường thẳng A đi qua điểm C va

- | vuông gúc với mặt nhẳng (ABC)

a Ta cố:

« Gla trong tim wun gide ALC 7 Cl-L; 3; 4) » AB=(-l:l;1); AC=(—2;2;—«j

Đường thẳng 2A vng góc với mặt phẳng (ABC) nín có một vccLd chi phudng

a= [ AB AC | =-6(15 1,0) °

Mit khdc đường thing A di qua ciĩm C nĩn

(x=-l+t Phuong trinh A: yy=34t (te)

|z=-4 Cty THHH MTV DVVH hêng Việt

ai 6: DALHOC KHOI B NAM 2008

Trong khdng gian vdi hĩ toa dO Oxye, cho 3 điểm A(: l; 23 DŒ: =2: lì, (—2; 0;

1 Viết phương trình mặt phdng di qua ba diĩm A, B,C

2 Tim Wu dO cba diĩm M thudc mat phẳng 2x +2y + — 3= Ù sao cho; |

MA=MB=MC |

Giải di qua ACO; 1:2}

TY vectf phâp Luyến lă [^đ.A£]=2u: 2:~4) líx - Ö) + 2y — 1~ 4(+ ôeSđx+2y-sz+0=f0 Phng trỡnh mn AC}: 3)=U Civh je

‘Ta c6: ABAC=0 nĩn diĩm M nim tin duting thing d vudng gốc với

ABC) lại trung điểm I(0; =1; Lỳ của BC

.| qua lụt 1} apg Se ret

‘lod vectd chỉ nhương# ‘a= (1;2;-4) “a 2 T

x=2 j2x+2y+2-3-0

Tọa độ M lă nghiệm của hệ iF _yw+l z_l eyes

1 1 4 Vậy MÔ: 3; ~7), Crich 2: Goi M(x; ¥; 2) MA=MB Ta có MA =MIC Meta) tx— Oy 4 ty 1? -@ 2)" = (x - 27 =e 2 oy + 1x-024+(w 1 -Œ-2)) s(x+?f+(-01? +0 =0 2x+2y12-3=0 x=2 œdy=3 =M(2;3,- 7) 4=-7 Hă hue ta

Hutng dan gidi CUT Wecac CVOG Toan hoc - Pham Horg Waa, Tran Wan Tean

Bai 7:CAO RA NG KHOT A, B,D NAM 2008 -

Trong không pin với hệ tại độ Oxyz, che digĩm Al; 1; 3) vă dường thẳng d

y 2-1

j5

1 Viết nhương trình mặt nhẳng (P1 đi qua Ơ vă vng góc với đường thẳng d 2, Tìm tọa độ điểm Mĩ thuậc đường thẳng d sao cha tam pide MOA can tại đỉnh ĐÓ,

Gidt e6 phutcing trinh: ++ “qua ACL 1; 3) tâ : ar aa (có wưtkbf nhập Iuyễn nụ, =d¿ =(1;—Ï:3)

r2 GoiMtt:-t: 4 ed

« Tam giic OMA cio iO MO*= OAT SOP 4 H+ Y= ltl 49

asses

com’ +ds-10=0Gt=

®- Với1= 1 lọa độ điểm hĩ(1; —l: 3}

: 5 rsa

« Vđi L=~Š tọa độ điểm MỊ aes wes 1 [1> 1 Băi § ;DAI HỌC KHỔI D NĂM 3001

Trang không, ome - hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm ACI; 4; 23, B—1; 2: 4] _ kee e

vă đường thẳng Â:——

1, Viết phương trình đường Uiẳng ú đi qua trọng tìm G của tìm giâc OAB vă vng góc với mặt nhẳng (2AH),

3 Tìm lụa độ điểm M thuộc dường thẳng 4 sua cho MA” + MB? nhỏ nhất

Giải _

L Tạa độ trọng im: Gel 2; 4), Ta có: GA = U1; 4; 2),08 eC hae

Vee:ữ chỉ nhường của d Tă: 1 =(12: =6: b= 6(2: =1 l)=i3; sb L) Phuting trinh đường thẳng d: : “a ;

uw -2_ 2-2 2 VIMcA = MỊI ¬ =2 =t20 = MA” + MB =(+ (6— 0 +(2—2071 +02 + +(4< 0ˆ) +4 — 305 = 127 = 4804 76 = 121 -2y +28 MA? + MB nhỏ nhất cL=2 Khi đâ M(~l; 0); 4) 236

Gly TNH= MTV _OVWH Khang ¥ gt lăi 9: ĐẠI HỌC KHOTB NAM 2006

Trang không gian vải hệ tục tọa dĩ Oxyz, cho điểm ACO: by 2) vi bai đường

thẳng:

x=“l+l

hay Eth, dạ:42y=-I=1t (tĩ)

? I l =2: E

| Viết phương trình mắt phẳng (P} Qua A, đồng thời song song dị vă dạ 2 Tim tau dĩ eve diĩmi M thade dj, N thude d; saa cho A, M,N thing bing

Giải

- VMeptơ chỉ nhưng của dị xê da lấn lượt lă: uy =(2;1;-D va uy ={q;-2; 1)

-= vecld nRúp tuyến củu (P) lă a= [8 | =(-h-3,-5) W1CP) qua Ă(0; l¡2) = (P) sa +3y + 52-13 =8

Do Bút; 1; —l) œ dị, CÚ; —1; 3) e dạ nhưng B, C # (TP), nín dị, dạ # (P)

Vậy phương trình mặt phẳng cẩn tìm lă (P): x+ 3y +5z— 13=0 WiM €d).N ech nín M(2m; I+m; —l— mm), NI + nị =L<2n; 2 + n}

=) AM =(2m:m:-3-m),AN=(1+n; 2-2nzn),

=[AM.AN ]~(-mn ~2m —õa ~6: ~3Iin =0 =đn =3: = #mn — 5m) A MA thẳng hăng c> AM,AN |=ổ

e®em=f,n=-l = Múi; l;—1), N(0; l; 1)

j 10: ĐỀ DỰ BỊ 1 - DẠI HỌC KHÔI B NĂM 2008

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hai dường thẳng

ủ BS! 4 `

Pl das vi peed yok 2

vi l-t (te R) đại = công

„=2

—_1- Viết nhưng trình mặt phẳng chứa đường thing A, vi song song vdi đường

HÊNg Aj

2 Xicinhđiểm A e A,B œ ả; sao cho dnạn AB có độ dăi nhỏ nhất

' Giải

Đu iun Mi; —lš 2) có veeld chỉ phường ây =(l; —}; D}

As qua M> (3; 1; 0) ¢6 vets chỉ 0g ap bă 1; a

Eu»ng din giil G1BT Lừ cdc PTOG Todn học = Phạm Hềrg Danh, Tran Văn Tgăn i

U01 MỊ(1; =1; 2) c (P))

Phượcg trình: (F): —(%x- l) -(y + l)+(2—2)=

sox ty-zt2=0 Y AB ngdin nhất > AB lă đoạn vng góc chung

x=l+tl

Acải=A(+bo-l=k2})

«Phương trình tham số A¡: ‡y=—l]—T

2=2

x=3-U y-l+2U KU

° Al=(1 «t2+2U+tU—2)

= ee i lta ng inứ<6 JAB LA) ABu; =U 3t+úl' =Ú = A(I;-l;2}, BH; 1; 0)

Băi 11: ề

Trong VN gian với hệ Lọa độ Oxyz cha điểm A(—4¡ =2: 4) vă đường thẳng K=-<3+

địy=l-L z=-l+ÔtI

Viết nhương trình đường thẳng A đi qua điểm A, cắt vă vng góc với d

Giải

Lấy M(~3 + 2t; 1 — t; —1+ 4Ù e (d) > AM =(l +2?1;3—t;-5 + 4Ù Ta có AM L(đ) <s AMÍ.a =Ú với a =(2:-HĂ4) â 2+4l-3+I-20+16t= ô@ 2ltz2l Stel

Vậy đường thẳng cần ñm lă đường thẳng AM qua Â có veytd chỉ phương lă:

t4 42 2-4 AMÏ = (3: 3: =1) nín phương trình (A): ~T” 3 — HINH CHIEU VA ĐỐI XỨNG

HÌNH CHIẾU

Băi Luắn 1: 'Tìm hình chiếu H của điểm A trín đường thing (d) |

*' Vấn đề 2; Phương phâ ụ

« Cúch !:{d]cha hêi phương trình tham sĩ;

238

Cty THHH MTV DVWA Khang Việ

- Hed quy ra đạng tọa độ của điểm HH phụ thuộc vđo tham số 1, đi

— Tìm tham số Lnhờ điểu kiện AH Lay

s Cúch 3: i (đ} cho bởi phương trình chính tắc, (d)

Goi HỆx, y, z}

- AH-dg Œ$

~ He (4d: Biến đổi tỉ !$ thức năy để dùng điều kiện (*}, từ đó tìm đưy x, y, #

« Ciích 3:

8) cho hỏi phường trình Lổng quât:

— Tìm phương tảnh mặt phẳng (ø) di qua A vă vuông gúc với đường thẳng fđ]

“.— Giao điểm của (d) vă (œ) chính lă hình chiếu H của A trín (d),

'Bải tôn 2: 1ìm hình chiến H của điểm Â trín mặt phẳng (ø) | i Phương phí p

= Cdch J: Goi Hix; y; 2) 4

— HE(œ}) (*) A

=_ AH cùng phương nạ : Biến đổi t lệ

* Cach 2:

—_ Tìm phương trình đường thẳng (đ) di

JUa Â vă vng góc với mặt phẳng {)

—- Giâo diểm của (d) vă (œ) chính lă hình chiếu H của Â trín mặt phẳng (d]

Hă itodn 3: Tim tinh chiếu (A) của đường thẳng d xuấng mặt phẳng (0) | | Phương phât? Ai -— Tin phương trình mặt phẳag (B} chứa dưỡng

ằng (Í vă vuông gúc với mặt phẳng (œ) — Hình chiếu (A) của ở xuống mặt phẳng

chính lă giao tuyến của (œ) vă (Ệ) ĐỐI XỨNG

Phương phấp

=| Tìm hình chiếu H của A trín d seas ae ttl a A Huang dan gidi COUT tii e4c TOG Tain boo — Phạm lĩng Dana, Trin Van Toda

Phương phâp

“Tìm hình chiến H của Â trín (g}

— Hlă ưng điểm AA’,

đường thẳng (A)

Phuong phip Trường hep fr (A) vai CD) edt hau

Tìm giao điểm M của (D) va (4)

Tim mat diĩm A trĩn (D) khâc với điểm M

Tin điểm A' đối xứng với A qua (A)

d chính lă đường thẳng đi quu 2 điểm Ô' vă M

t

Trường hợp 2; (Ă) vă (DỊ song song:

—_ Tìm một điểm Ă trín ()

Tim điểm A' đổi xứng với Ă qua (A)

đ chỉnh lă đường thẳng qua A" int eS ae ed vũ son# song với fA)

Bai todn 4: ‘Nos phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua mặt phẳng (0)

Phương phâp Trường hợp !' (D} cất (x} —_ Tìm giao điểm M của (D} vă ten)

Tìm mật điểm A trín {D) khúc với điểm XI — Tun điểm A' đổi xững với A qua mặt nhẳng (z)

d clứnh lă đường thẳng đi qua hai điểm Ă' vă M, ®- Trường hợp 2: (D) sang song với (ơ)

mặt phẳng (œ), | —_ d chính lă dudng thing qua A‘ va

sung sang với (D} a

| Bai tadn 2: Tin diĩm A’ dĩt ting vdi diĩm A qua mil phẳng (œ) _|

Bai tôn 3: Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng vâi dưỡng thẳng (D) qua

C TVIIH MTV D/VH Kliap ViỆ:

B ĐỂ THI

lai 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009

Trong khong gian vdi hĩ toa di) Oxy, cho mgt phẳng (ĐỀ, Xx—2y+2z— Sat =()

wa bai diĩm A(—3; 0:1), (1; L; 3) Trang câc diving thẳng đi qua Ê vă song

- nữ với (F), hữy viết nhương Irình đường thẳng mă khoảng cích từ R đến ; ng thẳng đâ lă nhỗ nhấ:

Giải Goi A lă dường thẳng cần tìm; Â nằm trong mặt phẩng (Q) qua A vă song song ydi (P)

- Phương trình (CĐ): x - 2y +2z+ 1=

kK, H la binh chi€u cia B wrĩn A, <Q)

“Ta câ BK >BH nín AH lă đường thẳng cẩn tim

Ì = ¥ +1 2-2 ae “Toads H=tx:y:z}thĩaman:; 1° -2 2 = Ht Ẳ 3] j oe I=0ũ ` (26 11 7 y

“ĂH=|—:—:- hs 5 3) Vậy, piưØng trlah A: Tử ậy, phương :

x-2 y+2 2-3 x-1 y¥-l_ 7tl i We - = 5 dy: b = :

Í/ Tìm tạa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng dị

3/ Viết nhướng trình đường thẳng đi qua A, vng góc với dị vă cất dp

' Giải

Miật phẳng (a} đi quâ Â(; 2: 3) vă vng góc với dị có phương trình lă: 2(6x -Í) -(w—2)+(z—3)=0 ©@2x-v+z—3=0 ‘Toa độ giao điểm 1L của d, vă {a) lă nghiệm của hệ:

"[x=U

r==l= R(0,-1; 2)

2x-y+z-3=0 z=2

Wi A! doi xving vei A qua d) nĩn Í1 lă trung điểm của AÔ'=> A'{—l; —4; 1) Viết phương trình đường thẳng A:

'Vì Â' đối xứng với A quad, va efit đạ, nín Ă đi qua giao điểm B của dạ vă (0), Tọa độ giao điểm B của d; vă (0) lă nghiệm của hệ

Trang 32

Hưởng dẫn g êí GDBT tử ede DTOG Todn hục — Phạm Hềng Danh, Trẩn Văn Teôi

fet I 1 2 Ìkx-y+n-3=d ix=2 {ya lo BZ, -h-2) 222

Vecur chỉ nhương i Ald: 0= Ali=(lị~3:— si _Ýxyx¿z ¬3

“a ae Băi 3: ĐỀ: DỰ BỊ l - ĐẠI HỌC KUỔI A NAM 2006

Trung không gian với hệ trục ta độ Oxyz cha hình lăng try ditng ABC.A'R' c

có A(0; 0; 0), B(2; 0: 0), C{U; 2; 02, A (0; Ú: 3)

Uf Chitng minh A'C vng góc với BC Viết phường trình mặt phẳng (ABC); 3? Viết phương trình hình chiếu vng góc của đường thẳng RC' trín mịt

phing (ABC)

Phung trink cia A la: ——

Giải ˆ

T/ A(1; 0; 0), H(2; 0; 0), Cú; 3; 0), A40; 0¡ 3) => Cú; 2; 2}

Ta cd: AC = (0;2;-23, BC’ = (-2;2;2)

Suy ra A'CHG'=0 !4-4=0=AC.LBC

%Œ LBC'

Tụ có: 4 {e [AC LAB 4i =A'C.L(ABC)

Suy ra (ABC) qua A(O; 0, 0) va od vecta phấn tuyến lă AC =(;2.—2) nín oi

2/ Ta có: D'C - BC - (~2; 2: 0)

Giại (œ] lă mặt phẳng chứa B'C' vă vuông góc với (ABC) —> vectd phâp Luyến của (g) lă: a -|BC.AT| =-4l:l:T) => Phương trình (œ): iíx- Ú)+ L -2)+ 12—2)= @ x+y+z_-4nŨ Hin]: chiếu d của HC" lín (ABC) lă gian yến của (ơ) với (ABC?

st X+ty+z-4-=0 — Phưng trình d:

y-z7=0

Băi 4: ĐỂ DỰ BỊ 1

Trong không gian vđi hệ Lọa độ Oxyz che Elnh hập chữ nhật ABCD A¡B;€¡ “DI tó A tring voi g8c ton dd O, BELO; 0}, D(O; 15.0), Ay; 0, 2),

af Vidt phetng Wink wp{2) di qua 3 diĩm Aj, B, C va viết phương trình hình chiĩv vudng gdc cla dudng thAng B,D) lĩn mat phang (P) ;

hf Gui (Q) 1a mat phing qua A va vudng ede ¥di AiG Tính điện tíca thiết diện của hinh chĩp A;ABCD vii mal phdng <Q) -k2 242 cP): V2 (x-0) +0(y-0)+1(z-v2]=0 A {-1 0) #Œ k ©+©v23x+z—v2 =0 Tacs B,D, = Gidi Tụ có: A(0; 0:0); Bị (ị 0y v2 C¡ (1ï 1; v23 (G1; v2} AWB =(: t ~ v2), AC =(1; 1; - V2} = ap =/ A,B, AC] =(v2; 0; 1) z

=>(F) qua A, va nhdn iip lam veetct phap wyĩn

By

Mặt phẳng (ce) qua B (1,0; 2) BỊ

= [ẩp, BịD Dị _=[-h-h 2) lăm vectd phâp tuyến Nền (œ) có phương trình: fa): 1X S— 1)— 1—0)+ v2 (2 V2 )=0

ee xty 22-120

D,B, ¢6 hina chiĩu lĩn {P) ce 1A giaw wyĩn cla (P) va (a)

nhận ï„

Ix+y- —x/2u- =l1=0

IJx+z—J =0 Phươi# trình hình chiến lĂ: ‹

I?hưng trùnh mặt phẳng (9) qua Ă vă vng gốc với AIC: (Oi x+¥- vV2z=0 (1)

Íx=0+t (2)

(3) (eR)

|z= vt Pt (4)

Goi M = AIC 7v(Q) thủy (2) (3) (4) vio (1) ta due

Phudng trinh AC: ¢y —G+t

) ly TNHH MTV DVVH Khải g Vì Dị ID 24

Hein; d&n gidi COBY Ww cĩe BTR Todn hee — Phan Kong Danh, Ti Yan Toan

7 (tl We) = : =) =1 re ae -?

ẨM=|zi—t— | AL=|<i AM.AL |=| “:—:—

i bE ) (3 sub Hêng

3 1

Saami => AM: AL} =~

es í J2} (—#2 2 2Ì

š t=(2; ø] va NMS | i) [NCNM ] =|; N

\3 F ` 6 6/ \ 3 3}

; [nuoc MS say,

San, =2 NLVN M] =p (dvd

Vay diGn lich chil diện hình chốp A;ABCD vai (O71: VE số

v2

5= Saami + Sarum ag og (dvde)

Bal §: BE DY 8] 2 `

Trang không rian vâi hệ tạa dạ Ôxyz cho câc điểm A(2; Œ; 0), B2; 2; 01, S(0; 0; mm af Khim = 2 Tim lọa độ điểm € đếi xứng vâi gốc tọa độ Ó qua mặt phẳng

(SAB)

b/ Gọi II lă hình chiếu vng góc của O trín đường thẳng SA Chứng mỉnb | tăng với mụi m > Ù thì điện tích tam giâc OBTI nhê hen 2

Giữi

uf Khim =2 Ta cd:

(# SA=(2 0; ~ 2), SB=(2; 25-2), a =| SA,8B |=(4; 0; 4)

Mit pking (SARj qua AiO; 4; 2) va cd n= (4:0;4), (SABy x #7-2=6(1)

* ddiquaQ vid tl (SAB)=> ay =(l; 1),

Íx=LŒ1

Phưang trình tham số dl: $y=0) (red)

z-t (4)

[= d (SAB) ta thay (2), (2), (4) au (1) 3 b= 13 Ts 8: 1) VIC, Ø đối xứng qua (SAB) nín T lă trưng điểm QC

KG =2ẮỊ —Xịị =2 4œ =2Y =Yo =0 ->€(; 0; 2)

vâ, =2Z| - #a =2

bí s Phưng trình mật paẳng (2) qua Ö vă vuậng góc SA (nhận SA lăm vectf nhâ? tmyển) (œ):2 —mz=Ú (I} 244 Boy A;,

Cty THHH MTW DWH Khang Việt

is =O012t (2

=> §A (a) = HI on oun \m trẻ mˆ +4 # 2 Sat 3m” 4 T « pH m“†4 eg m +4; m 14 2 fs 0, 2); OB = (2: 3; 0)- 20; OY [8H.ð8] 2”— 2:2 m mm mỶ +§mˆ <2 (dpem} a4 8m? + 16 : ni) bu SỐ ƒ ae Š40pg =|od.oô ]- erage gam =2,| H 6:

“Trung không gian với hệ tạa độ Đếcâc vng góc Oxwz chế hai đường thẳng:

, x=l+L : [x—3y+z—4=0 a ie behets

le=ty-meeaea ? z—l-*t

Viết,nhiifng trình mặt phẳng (P) chứa dường thẳng Âi vă sông sung đười:E Cho điểm M2: |; 4) Tùn tọa độ điểm LÍ thuộc đường thing A: sao cho foau thẳng MIH có độ đăi nhỏ nhất

Giải

Fô cú nại =(2: 3: 4) da; =(l; l2), Ai quâ MU; —2; 0}

Mặt phẳng (FP) có veetử phâp tuyến [aay.a Ag + (2:0:-1) Vậy (P) qua M(O; =2; 0), va vertJ phiptuyĩn # =(2;0;-13

tồi phương trình (P): 2(x =0) +0 (y+2)-l[z-0=U

c>2x-z=0ũ

min S MH LA¿ <>+1Ilô hình chiếu củn điển MI trín Ay

} Gọi (Q) lă mặt phẳng qua M vă vng góc với A, Phương trình (Q): x+ y +2¿— lĩ=0 (HỊ =(Q) mâ; H(2;3;3)

Hưởng dẫn giải GEBT từ cấc BT06 Toân họa — Phạm Hâng Danh, Trần Vấn Tzôn

Câch 3: MH -(-1+t14ti-3+2t) vĩi Hie Ay Do MH nay =Ú c>+L=1, Vậy điểm T12; 3; 3] Băi 7: ĐỂ DỤ RỊ2

Trong không giân với hệ tụa độ Đícâc vuông gốc (XYz

Cho mặt phẳng (P}: x— V+2z +30 vă 2 điểm Ă (—l; =3: -3), B (=5; 7; I2)

a/ Tìm tọu độ điểm A' điểm đối xứcg với diểm A quu mặt phẳng (P}

bứ Giả sử M lă một điểm chụy trín mật phẳng (P) Tìm giâ trị nhỏ nhất của

hiểu thức kA + MB,

Giải tƯ (P):x=y+¿<~3<0 (1) = nụ =(1;—1; D)

Gpid qua Avid LP=> SS

d qui Ate); =3: -2) có vectd chi phiting ay Phil) x=-l+t (2)

Phifeing trình d; ¢ y=—3-¢ (3) thay (2), (3), (4) vio (1) ta được: f= —Í

#=-2+L (4)

"Ta có AA! %{P) = HỆ 2; -2;—3})

«Vì Hlă trrng điểm AA'(A lă điểm đối xứng A qua (P) XẠ' =ẦXH —X4 XẠ =—

Tủ cổ: 1VAt= 2n — Vụ ~» 4 Vă =—L= Ă'Í-3:—l; —4) TẠI =2/II—#A Zant

bf Goi f{x;¥i 7}=x-—y +243

» fCl; 4; = 143 - 24+3=3>0] + £(-5) 7) 12)=-5-7+12+-3=3+0]

Da ĂA, A' đối xứng qua (P) => MA = MA

Tacĩ: MA + kÍB = MA + MB š AB = lô

Vậy giâ 1z‡ nhỏ nhất của MA + MB = l§ xđy ru A, B,M ng: hang

+ M=A'B x(P)‹» M(¬4: 3; 4)

=A, B cing phia đối với (P)

vˆ Vấn để 3: KHOẢNG CÂCH VĂ GÓC A PHƯƠNG PHÂP GIẢI KHOẢNG CÂCH

Bait toân 1: Tỉnh khoảng câch từ điểm IMxa, yụ, Za) đến mặt phẳng (œ)

Tim mội điểm Ơ trín d

Khoảng câch giữa dị vă d; chính Jầ khoảng cúch từ điểm A dĩn de ¡tuần 4; Tính khoảng câch giữa 2 miặt phẳng song son Va (Be Ax+Ry+C¿+D=0 (A+B 4040) Phương phâp Xu [Ax lạ * By + Ca tD vA?+PB?+C? d(M,(a))

Hăi toân 3: Tinh khoắog câch lữ điểm Mi đến đường thẳng (A}, Phương phip — "Tìm hình chiếu 1J của M trín (4),

Khoảng câch từ MI đến {Ă) chỉnh lê độ đêi đoạn XI ăi toân 3: Tính khong câch giữa 2 đường thẳng sonz song dị vă dạ

Phương phâp

3

(a): Ax 4+ Hy+CC¿+Dị=0 Ax + By +Cz+D:=0

Phường phâp Kheông câch giữa (œ) vă {ƒl) được cho bởi công thức:

—_— ]Di-Bj|

“Ân neo

Phương phâp Ctich ft

Tìm phương trình mặt bang (0) chứa dị vă suitg sông với dạ

Tum một diểm Ă trín đ:

Kki đó dídi, dạ) = díĂ, ()] Câch 2:

Tùn phường tìah mặt phẳng (g) chứa dị vũ song song với dạ

Tìm phương tình inặt phẳng (D} chứa dạ vă soag song với dị

1 ăi tuần 8: Tính khuảng câch giữa 2 đườn g thẳng chĩo nhu đ vă dạ tiie,

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

1

Jtưang cin giải CDBT li câc DTOS Todn bọt — Phạm Hồng Banh, Vin van Than

Giả chủ: -

Mat phẳng (a) va {fh} chính lê 2 mặt phẳng song song với nhau vă lin lượt

chứa dị vă dạ,

Củph 3:

Viết d; dưới dạng nhướng trình tham số theo t: Viết ở; ¿ưới dạng phương trình tham số theo lạ,

— Kem Ac d) > dang toa dĩ A thee +) — Xem] z d› — dạng tạa độ B theo lạ

Tim vectd chỉ nướng, ii ay lẦu lượt: của dị vă đa AI lă đuụn vng góc chúng dị vă d›, ‘AB Lu i Lis KH lìm được tị vă I; - Kidd {dys} = AB GÓC Cho 2 dưỡng thằng d vă đ' cả phưiïng trìnl;

X—®u, Y-Ÿn Srey g8 VẤ

aur rime fa thee +0)

a 1 ứ

„8, VY" ZỶ# 3 3 \ a: ott ee oe za (a? +b? +07 40)

il h e Che 2 mat phing vă vú phường trình:

fan Ax+ By +Ca+D=0 if A'n + By +Cz-D st

(V4B°4C 20)

{ar # Bi? 402 +0)

„ Gúc giitn hai đường thẳng d vd d's

lua’ + bh’ + cc |

Cis = == —~—-

by date 1 vali bt +e? va? +h? +e"

bt tiúc niểu hai mit phaing (a) vi (B):

|A^'+ BE' + CC|

COS nES====—=——r———=—— APB 4+ VAT +B 407

3$, Giúc giữa hai dường thẳng d yi mat phany (a): |Aa + 8h+Cc smn = vă? +B? 40? Wa? bb? +e" = Gty TVHH WT DWH Khang Việt

B DE THI

311: DAI HOC KHOL A NAM 2011

Trong không nian với hệ tọa độ (Jryz, 5ì phẳng (P): 2x— y— z+4=0

Tim toa dĩ diĩm M thude (P} sao cha MA = MB = 3 Giat

cha hai điểm A(2; Ứ; 1) Bí0;- 2; 3) vă

Gid sit Mix; ys 2)

MefP)<+2x-y-z~4=0 (li

MA =MB <3 (x- 2)? +y°+(2- 1s

sxty—4+2=0 (2),

TCL) va Q)tacd ee ~y-z+4=ũ _Xyawier =4 (a) y-z=—x-2 (b) „3x16 2 x'+(w@+2J+@- 3Ÿ es

Lấy {a) trừ (5) dude: y = = ze a he {a) cặng (h) được: z=

MA=3e(x—2)2+y +(z— IỆ=9

3 (x+3Ÿ 3x+6 :

sea) ico +| 5 == | 4] =e 2221) Se 2) 2H]

> lax? 4 12x =0cx=0 holicex = ——

Với x =0, suy ray = | vă z= 3, 6 4 12 VỚI X= =—.SUYruy= — vă ¿= — pie eee a

6.4 12 Vay M(O; sya: aynay(£ 4 1; 3) hay M| -=; =; — Nps et teh 2:

* MA=MB <M nim trín mật phẳng trung truc (Q) cla doan AB

* Mat phing (Q) di qua trung diĩm I(1; -1; 2) cu dean AB vi ed vĩetd phap

yến lă TA =(l; l; =1} nền cổ phương trình x + y - z+2=0

+ Mặt khúc M cịn nằm trín mặt phẳng (P) nền A1 nằm trín giao tuyến 4 cla va (Q)

« Giao tuyến A di qua A(0; 1; 3) vii od vĩetd chỉ phương a=(2:1;3) nín có =I

ương trình i +! (teR)

Trang 33

Hưðitg dẫn qiải GDBT từ câc BTQB Toản Hẹc ~ Phạm Liồng Danh, Trấn van oan

=0œŒ+(=fđhnũet= -

* 2 + 3

® MA=3#>(2~— 2U ~Í—l—t} +(-3- 307 = 2

Vậy MO; 1; 3) hợ MÍ~Š —=:i 2),

eee sas

Trung không giản vai hĩ toa dd Oxyz, cho dung thing A: = -— = =

vA mil phing (Pi: x+y 4+ 7—-3=0, Goil li giao điểm của A vă (P) Tìm tọa độ điểm Mi thuậc €P) sao cha XIT vuông gúc vứi Ă vă MI= 4414

Hăi 1: BẠI HỌC KHOLB NAM 201 I

Giải

® 11a giao điểm của A va (P} nĩn tọa độ T lă nghiệm của hệ phượng trình: xr2 eet

Rad, Sẻ] oF ee x=l

Cp ee PS eee oe y=l Suy ra:1(1; 1; 1)

xiytz-3=0 TP Cử z=l

Giả sử Mứx; y; z2, thì: TM=(x—l y—h 2-1} Vĩếctơ chỉ phương của đường thẳng A lă: a={l: 2; 1)

Theo giả thiết ta có:

~ME(P)x+y+z-3=U aly >MILAS IM Lao IMa= O<> itx -— 1)-2fy- 1)- If- 1}=0

oox-2y-24220 (2), +) MI = 4vTd co (x- 17 +(y- 1) +{z~l} = 224 Gì, I.ấy (1) cậng (2) ta được: 2x— y— L=Ú(@ay#2x 1 Thế y = 2x — I văo (1) tả đực: x + 2x — l]Ì tz— 3=0c»z=1 3E, RẺ Vi ByfiufE0tLô to:

(x-1 + 0x-3}

Với x = 5 thì y =9 vă z=-l] Với x=-—3 thì y =—7 vă z = l3, Vậy MI(G; 0; ah MEMS 3; —7; 13)

Bail: ĐẠI isles KHOI ANAM 2010 l

} 2

Trong không gian tọa đệ Oxyz cho đường tiẳng Ă: TH =:

phẳng (Phx Ấy +z=Ú, Gọi C lă giao điểm của A với 1, M lă điểm thuộc A

Tinh khoảng câch từ M đến (F), biết MC = V6

L(3— 3x)? =224 Íx—LŸ =16œ x= 5 buặc x<-3, vă mặt 250 thẳng (ABC) bing g tă

a độ điểm M trín trọc hoănh sao cha lkhoẳng cúch tử Mi đếu A bing OM

+w TNHII Mĩ D/H Khang Vigo

Š Giải Ta có: C6 A nẽnC (I+2tt:—2— Eị vải Le RE

MC =6 < (8m +2) + (+ HỂ +(om — 1 = 6 Gms HỶ =6<>m+1=+|

<m=Ohay m=-2 dy Mh (1; U; —2) + Mz €-3;—2:0)

20 @6: d (My, (P)) = Kee =e dot, @y = A+ = ae:

2: BẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010

"Trong không gian ipa độ Oxyz, chủ câc điểm A (1: 0; 03, B (0; bị 0}, C (0; 9; c), ag dĩ b,c dung va mat phẳng (P): y - z+ L=U Xâc định b vă c, biết mijL tắng (AC) vuông gâc với mặt nhẳng (P) vă k:oông câch từ điểm O đến mal

Giải

Phư¿#ng trình mặt phẳng (AC); et + = =l @tex + cy + b¿— be=0 be

amy ee ae “1° 9c? = bŠc? + hể +

xvhˆc +b +u : V1d(, ABC) = : nín

«c>b}+c?= 8hfc? a)

(Pj: y — 4+ 1 =O 06 veeld phiip Luyến lă HP} =Ø.l:—Ù,

(ABC) cd vectư phâp tuyển lă n— (be; œ B),

Từ (1), (2) vă b,c >0 suy ra: b=c= 2h 13: ĐẠI HỌC KHÔI B NĂM 2010

Giải

Ta có M e Ox ©M(m; 0; 0) (me IR } suy ru OMI = lmÍ Đường thẳng Ô qua N (0; L; 0) vă có vectd chỉ nhương a= (2; 1; 2)- NM =(mn:-b 0) > [a ‘ NM ]=02: 2m; —=2—m]

251

Euzng dần giải COBT tu oe DTOS Todn hoe - Pham ting anh Tin vag loan [:- xM] Tú vỏ: d (M, Ă) = OM c> ——rT——— =OM mm =}m| mm i +> 4m” ~ đm — R = cđ>m =~—l hay m= 2, Vậy Mi (—1; 0; 0} HÂN 31(2;0,0) lăi 3: HAI HỌC KHOI DNAM 2010

Trang không gian tọa đệ Oxyz, cho hai mit phing (Pe x+y 42-3 = Ove] (Qh x -y+2-1=0 Viel phuong wink mat phdng (R} vudne gdcedti (Py vil (Qi san cha lelaojng câch từ O đến (TR} bằng 3,

Gia 7

Mặt nhẳng (P) có weetd phúp tuyến lă nip) FU; RW

XfơI phẳng {Q}) có vectd phâp tuyến lă m(Q} =(1;—l; Ù) Mặt phẳng (R} vng góc với (3 vê (Q1 nín có vectd phúp tuyển lí

Xu =[8,m, mirgy |= (2305-2) = 20; G1) Dodd phuting winh (R) cd dang: x=-2+D =, Ta eid (4 (R= 2 ee Pl g2 eD-tav2 : Vậy nhương trình (R): x— sai ĐỀ = hay g=#z~22 =0

Bais: BẠT HỌC: KHIỐI D NĂM 2010

Trong không giân tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

x=3*+l

x-2 V-] 2

Ae yet Wa Ag ett ea,

ch z=t oe ia

Xâc định tọa độ điểm XI thuậc A; sao cho khaảng câch từ Mi đến A¿ bằng Ì,

Giải

4c Âi = M(Ê +0

Az qua Â(2: 1Ú) vă có vectd chỉ phường aạ =(2; l; 2]

Ta có: AMỈ=(I+b th 0 =la;.ÂM]~(2—t 2; =3)

Giả thiết cho: d(M; As) = | + AN! fe AM] vị bị 252 ty TMHH MT D9-1 Khang at z ——Ỉ` ov ye 4+440-39" £ W4+1+4 2 2 —101+17 = 3 +> 2 — I0t~8 =0 1~1=M(4; l¡ D t=4—=M(T; 4, 4)

Bhi G: CAO DANG KHOLA, B, D NĂM 2010

x -l oz

Trong khong gian vdi hĩ toa d6 Oxyz, cho dudng thẳng d: 2 a7 - oo ¥8 aut phdng (P): 2x —y + 22-2=0,

Viết phương trình mặt phẳng chứa d vă vuông góc với (P)

Tim tọa độ điểm M thude d san cho M cach đổu gốc lua độ Œ vă mặt phẳng (Tì, Giải

đ qua A (0; 1:0) 6 1 vectochi phuong 1A ay = ( 2; 1; 1D)

ÂP) có L vectơ chỉ nhương lă nạpy = (2; ~l; 2)

íu) chứa d vă vig róc với (P) nín: fa} qua Ă (Ú; 1; 0đ} vă có | vcrLỡ chỉ phương;

Die) = [Hans tp) ]=34: 2: 0)

Phuong trình mạ: phẳng (ay: (x —O) + My - =0 @x+2y- 2=

eMed=>M(-21+1,0

-M câch đều O va (P) <p OM =d (Mf, (P)

a Jjhea20r+£ _ BI-2)—~+0+2(0-—2

w4+lt4

es V6? 42141 =|t-1 <r=0=>M (0; 1,0}

fii 7: BAL OC KHOT A NAM 2009 `

Trong không gian vdi hĩ loa dj Oxyz cho mặt nhẳng (E}: K—23y~2z- 1=0

x+l : - - I

vă hai đường thẳng Ai: Rel eee pgp r yo3_¢+l

[ L 6 TẾ: 1 2

độ điểm M thuậc đường thẳng A, sav clo khodng câch từ M đến đường thẳng %

Yũ khuảng câch 1ừ M đến mặt nhẳng (P) bằng nhau all

Gidi

Â; quâ A(1; 3; =1) vă có vectơ chỉ phương u= (2; 1: -2)

“MecA¡=M(-l+tt;-9+e6e0 MA =(2-0 3-1: 8~6t),[MA, a }=(8t—14; 20-148; t—4) - Xúc dịnh Lụi => [Mau | = 3291? — Bat + 6H 253

|Wiing din gidi COST th ce OTOG Tota hoc - Pham H4ng Danh, Trần Văn Toản

‘ [Maa] 2 ag Se tao Khoảng câch từ M đến Ay: a {2917 — 881 +68 Iuị I+t-2I+l2t—18-I| |I1t-20 Khoảng câch từ M đến (P3: d(M.(P})= a = +(- 2y Re

Giủ thiết cho: j2012 — §§L~ 68 = = 53

Ta có L—l—> MP, l—3]; Bom 35°35 35 a 2] đăi 8: ĐẠI HỌC KHÔI B NĂM 2008

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có câc dinh A(1; 3; HỆ B(~2; l; 3),C{2; —l; L) vă D(0 3: l) Viết phương trình mặt phdng (P) di qua A, R sảa cho khoảng câch từ C đến {P) bằng khuảng câ ch từ D2 đến (P}

Giải

Mặt phẳng (ÍP) thơu mên yíu cầu hăi trần trong hai trường hợn sau: Trường hơn j¡ P) qua A,B va song song voi CD

Vectd phâp tuyến của (P): n =[AB,CD|

AB=(-3:- 1; 2), CD =(-2: 4; 0) > n =(-8: ~ 4-14)

Plurrng trình (P]: 4x + 3y + 72 — 15 =D

Trường hợp 2: (P) quâ A, B vă cất CŨ, Suy ra () cắt CŨ tại trung điểm I của C Ta có II; l; 1)= Al= (8; —l;0); vectd nhần tryến của (P):

n=, AB, Ai |=(2; 0:3)

Phương trình (F): 2x + 3z - 5 =Ù

Vậy (P); 4x + 2v + 7z —= 15 = hoặc {P): 2x + 3z - 5=

Băi 9: BĂI HỌC KHOI ANAM 2008

Trong không gian với hệ tạa độ Oxyz, cha điểm A(2; 5; 3) vă đường thắc | x~l y.z~2

lở Xu ï

1í Tìm tọa độ hình chiếu vng gốc của điểm A trín đường thẳng ủ 3/ Viết nhưởng trình mặt phẳng (œ) chứa d sao cho khoảng câch từ Â đến

(a) lớa nhất 254

Bly TNIIHL 81V TWYH rod Goi N(1 + 2h tj 24 2p ed

„ AHEŒL t-52-)

s Vectd chỉ phưng của d: a=Œ:U Qe

s Yíu cẩu bêiloân: AH La œ@2(7t- I)1+(t— Š}+ 2Øt- 1) =0

cL= I => H(3, 1; 4) lầ hình chiếu của Â lín d

Philog bính tổng ing trình lổng quất củ quatclad (SE =8 : a yxz+2=0

Ciich 1; (oe) chứa d nín: (œ): míx = 2y — l} +n(2y— z +2) =0 (m°+ nẺ +0)

> mx + (2n ~ 2m)y - n4— m+ 2n =

gm +9 đ(M,(œ]}=-—r [ee Se

v5m? + šn” ~êmn

Vĩ (œ] chữa d vă d(M, (ay) lđn nhất = d(M, (ơ)) = AH

tí” +|êm? +§n” —8mn "sư

= Yin ny = = (5m? +ắn” - Rinn) > mm + nŠ + 2n =

Chonn=-l>me=1

Vay (a) wn-4y4a7-3=0

; di qua Hĩ3; 1; 4)

= PP vectd phap myĩn: AH = (i ~ 4;

= Phương trình (+): l{xS— 3) — Hy -—

liăi 10: DAI HỌC KHI A NĂM 2006 ll

"Trạng không gian vdi bĩ toa dĩ Oxyz, cho hinh lip phudng ABCD,A'BC'TY

(yd: ACO: 0; 0}, BEL; O; 0), DCO; 1; 0), A; 05 1) Goi M va N lần lượt lă trang điểm

| của AB vă CŨ

| 1 Tính khoảng câch giữa hai đường thẳng A'C va MN

2/ Viết phương trình mặt nhẳng chứa Â'C vă tạa với mặt nhẳng ÖxW một bốc 1}4+ l{z-4)=Qcox-4y+2-3= 0h 'ứ biết cosœ = =z N Giải

l/ Gọi (P) lă mặt nhẳng chứa A'C vă sang song với MỊN, Khi đó:

Hướng đấu giải (DBT từ öêg PTOE Taôn họp - Phạm! Hêng Danh, Trắt Văn Taăn

d(A'C, MN) = dứM, (PỊ)

Ta od: CU; 1; 0), m[s 50; iO} XÍ: 1; 0Ì, A'C=(th ly -—1, MNcO: 1: 0)

[Ac wx]-[| nh th |= (1,051) lũ II

Mặt phẳng (P) đi qua điểm AO; 0; L, eG veetd phâp tuyến n=(1;Ø; lJgĩ phương trình lă: l.(x -Ø) +0 0)+ 1(2z—1)=0€Ầ<x+z—1=0 a j= | 1 1 Vậy 0(A'C, MN) = dM, (P)) = t= vP +0 22 [xewH|xM ; Câch thâc: đ(VCUMNI= [A ‘C.MN T—— =—— 2/2

3ý Gọi mặt phẳng cần lìm lă (Q): ax + hy +ez+d=D (u2+bhÝ+c?>0)

5 : d=(h

Vì (Q) đi qua A0; 0; Li va Cel; 1; Oy nen ee c dđ=a+b

a+b+d=fữ

Do dĩ phutĩng trinh (Q) cĩ dang: ax + by + {a+ bjz—(a+h) =60 Mặt phẳng (Q} có vectd phân tuyến n =(a; h; ô + b) Mi phẳng Oxy có vecld phúp tuyến & = 40; 05 1)

I

‘

Vì góc giữa (Q) vă (Oxw) lă ơ mă cosœ= “2 tiín Jes(z] `

v Sh BM a Jat a Oe 1 2 aap a a+ bY — 20? 4b? + 0b) v vai +ÙP tí ch? a= 2bhvic b=—2a,

Voi a=—2h, chon b= -1, được mặt phẳng (Q\}: 2X —y+z—1~ñ Voi b=—2a, chon a = 1, được mặt nhẳng (Q:): x—2y—++ 1=

Băi 11: ĐỂ DỤ BỊ 3- ĐẠI HỌC KHỐI I3 NĂM 2006

Trong không gian với hệ trục tạa dĩ Oxyz cho ACL; 2; 0), BOO; 4; 0}, C(O; 0; 3} 1 Viết phượng trình đường thẳng qua Ö vă vng góc với mặt phẳng (ARC) 3/ Viết nhương trình mặt phẳng (P) clita OA sao cho khoảng câch từ R đến

| (P) bling Khoảng cích từ C đến (P)

Giải

Vf Taco: ay =[An.ac ;E(: 3; 4] Nín Jiiưdnog trình A gua O va vufing ede (ABC)

ty TMHH MTV EVWH Kharg Việt

AỄ 6 = 4 ƒ {P): Ax + By +C¿~ D =0; (A +BỶ + C?z 0) +» ae<(?): >D=-đũ ® Aec(P)—=A-2B=đ=A= 2E oe 001; (P)) =d(C: (P)) c |d3+ D|=|RC +D[~> 4B =+3C ® ChọạnC=4—B=3; A =-6 = (P)): 6x +3y + 4z =0, Chọn C =T—4 = R= 3; A =6 => (2): 6x + 3y — đz = 0

fi 12: PAI HOC KHỐI A NĂM 2005

+ 3

Trong không gian với hệ tọa đệ Oxyz cho đường thẳng #<l v3 z-3

d: a va mat phdng (Pi: 2x +y—2z+9=0 af Tìm tọa độ điểm I thuộc vị sao cho khoảng câch từ I đến mặt phẳng (P) hằng 2

b/ Tim lọa độ giao điểm A của đường thẳng d vă mật phẳng {P) Viết phorus ình tham số của đường thing A mim Wong mat phẳng (P), bit A di qua A va

yung gic vai d

Giải

aes Phương trình của tham số của d: 4 w ==3+ 2L

z=3#l1 |-zt+[ ma (te R) ded Sl -) -34+24n 340, dịI,(P))= t=4 t=-2

Vậy có hai điểm 1, (-3; 5; 7), 1X3; —7; 1)

ViAcdnĩn ACE t;-3+21:3+ Ụ Tacĩ A (P)¢52(1 -1) + (-3 420-23 404920121, Vậy A(0, ~1; 4) Mặt phẳng {P) có vect nhấp tyển n=(2; l; —2) 8(if8)~3e|=t.=3 | Đường thẳng d có vcctf chỉ phương 0= (~1;2; l)

ACÍP) vă A1 dnín A số vectd chỉ phương uy =im.v] =(Œ 0; 5) x=l

“Phương trình tham số A : 4y =—I

z=4-t

Trang 34

Hưởng dƠđ gail COAT tif câ: DTG Todn hoo — Phạm Hồng Danh, Trin vin Toan Bai 13:

'Trong khẳng gian với hệ tạa độ Oxy+2 cho hình chấp S.ARCD có đầy ABCD | 0; O: Bs 1; 0); 50; 4; 22 la Binh thoi, AC cit BD lai gốc O Bigt A(2;

Gọi M lă trung điểm của cạnh SC

uể Tính góc vă khaảng câch giữa húi đường thẳng SA, BM

b/ Giả sử mặt nhẳng (ABMI) cất đường thẳng SD tai điểm X, Tỉnh thể tích

khếi chip S.ABMN,

Giải

Câch I:

Từ giả Lluết sủy ra SỐ L (ABCD)

SAESC=2v3

af Tacs OMHSA 2 [SAMô) lă OMB

OB L{(SAC) > OB LOM OB

AOBM 6 tan OMB = — OM = InƯMB = -— = ƠMB =307 x3 Vẽ OH 1L SA = OH_LOM vă OII_ 0B => OH J (OMB) 2v6 ,

Vì SA /'OM => SA if (OMB) = d(SA, ME) = d(H, OME) = 0H =

E†¿ TNHH Tự 3VVH Kuang vid

Giai g Bă gốc nhọn tạo băi SA vă BĂI

cosp = mp ea vs => a=30!

J4+8+v/1a rhea

'Gại (ø) lă mặt phẳng chữa SA va sang song với BM= pt (05: x2x+z—2v2 =0 26

Ta ci diSA, BM) = d(B, (0) = =

Phương trình mặt phẳng (ABM): v2x+2 fy +32-4v2=0

Íx=ð

Phinsng tinh tha số cửa đường thẳng SD | w=-l~t

Ze -zV?t

¬

š pi

WA gino điểm của 5 vă mịpLABM) —> a Tả, v2 BS=(0,-2V2) BA=(2;-1;0)

BR~ ủ-Š: 5] Rwi=Í=k~1 V2)

% 3

[Bê, BN]=(zv2: 0; 0)= [â, BN]BA= 4x5 vă [DS,BN ]EMi=2v2

YsAnMN = VsAnN † Yggvw = 4v 2 bead =v2 (dvith a La ie fae

Hi 14:

Trong khong gian vdi hĩ toa độ Oxyz cho binh lăng trụ đứng ABC.ÂHiC:

Hưng din gigi GonT ti câo BTOG Toan 198 — Pram Hĩng Darh Trin Vẽ1 Toăn

bí Ta có d=- ees

va? +b" a=

Maxd —-⁄2 adyta <> ga+d=4 +>a=b=2,

arO.b>0

Bai 1s: | : :

Trong không gian với hệ trục tọa độ Dícâc vuông gâc Oxyz Cho hai điểm A(; 0;0); B(0; 0; 8) vă điểm C sao cho AC = (0; 6; 0) Tính kboảng câch từ _ trung điểm I của 3C đến đường thẳng OA,

Giải

pin:

AC =(0; 6 0) 4v.=6 SC(2; & 0)

„=0

Ila une diem} BC = 1 (1;3;4)

Phương trình thâm số GA ly =0

Ấm) qua T 1 OA = {3,0 0) nín (a3: 2(x — l=Ù x—I=l

Cty TNHH WV DYVH Khavg Vie

Gidi AB=(4i—4:- 4) CD = (2: 10: -8) * ABCD-0>(AR, CD)-90" > AB LED

Tim M ¢ CD dĩ chu vi A ABM lă AB + AM ~ MB nhề nhất Vì AB khiồng đổi nín chu xỉ AÂBMI nhỏ nhất <> AM + MB nhỏ nhất

Giại (m) chứa AB vă (œ) _ CD, fa) + CI?=MI, MI lă điểm cần tìm

(œ) qua A2; 3; 2) có vectf phâp luyếu ¿ =CD =(2; lũ; 8)

Phương trình (œ3: 3{x — 2) + 10(y — 31— R(z— 21— D

c>x+Wy- 4z—9=0(4)

Phuong tinh cla CD qua C{-1; -4; 3) cú vevlở chỉ phương ô — sa =( 5-4)

r lhe a) B a y=-1†tắtL (2) M lant at (3) Cc Thuy (11, (2) (3) vie (43 te due b= | => MÍP,; 1;- 1) z

ăi 17: ĐỂ DU BI2

: * ETS A inte A az Bạn ăn a

Trong không gian với hệ ine dê Đícav vng gâc Oxyz, Chờ hai điểm: Tí; 0; lị:

KG: 0y 0), Viết phương trình mêt phẳng đi quâ hai điểm I, K vă tậu với mặt

Ning (Oxy) mit gĩe bling 30",

Giải

` : pe x= 2t i « Gọi (0) qua l, K vă (0) tạo (Oxy) góc 30”

bự (ABM) aSD=N => } Min điểm SD biết A{a; 0; 01, B(=a; 0ị 0), C(O; 1; 0}, Bila; 0; b) a> 0, b> 0 , Jy=0 fiat Egtoctepttrg BE Š vi TRE Ta có: XSeMx _ SM SN W Le ly, a/ Tính khng câch giữa hai đường thẳng BịC va AC; theo a,b T98 00 (EE SACI) AOR Ly wii đế với, Ti TT THỊ! aa re ial re hE

‘a cd: =—— SN ls =— a, F MA Z

na es kưwd bf Cho a, b thay đổi nhưng luôn huôn thổa mêp a + b= 4, u12 0| he ĐC re ONG

‘ VĂ UY r1 Hạ —| —: —:

I Tìm ơ, b để khoảng câch giữa bai đường thẳng BịC vă AC, lđn nhất, 5 : 5, y ra Ny 5 ei

Tương tHƒ; Vsapg =—Y§ABCD 4 Giải dự, DA) =TH = j(—H +(0—3)+(0—4}Ƒ =5 Mật phẳng Oxx có vccld phâp tuyển: k= (0,0: |) cs : dish K

3 311 C¡(0: 1; b) [oi,oa | ng x

Vậy M, Y YSABMN ” YSMNB † YSABN = VsMkn + Ysanw = Ys SABCP ~ E12 —=.=.~ÂC.BD.SO Goi (ee) 1a mgt phẳng chứa B, C vă song song voi AC) LẦN Câch khâc: dỊ, OA) = lai ; % k =5 costa, (Oxy) = E : a da Dyk -4 = c + “|

| ee eee Shatin: Rie toa tage ee CA | = (2b; 0; -2a oi 4 ahs

=—4,2,.2/2 ngŠLA3 =v2 (ave -W2 (dvtt) BỊ,C=(s;1;-b}: (Calak b): GịA ={ CJA =(a:-l;—h 5 ) «= [Ricca] BỊE,C¡)A |=(—2b; 0 — 28) 49: pS 22 : Băi 1â: DỄ DỰ BỊ I oy pad

Câch 2 : Giải bằng hình giải tích Suy ra phương trình (œ): =2b (x oikv8 (y~ 1)- 2a (z—0)=0©+ bx+3£ Trong khơng gian vâi hệ tọa dậ Đềcaoc vuông gúc Oxyz Cho tứ tiện ABCD Nước 32 be 2y ees

i 6; y= eS - "

af O14 trung điểm của BD — DỊ0;—1; 0), O18 măng điểm AC —> C(—2, 0; 0) Ta cd dịn;C,ACi)=d(A:a)= Ta Lo re chal sa với A(2¡ 3; 2), BiG; -1; -2), C(-1; -4; 3), DUK 6; -3) Tinh gĩc gitfa hai duting x 2 Ya Í a mE 5 t vă? thể Vat +b? thẳng AB vă CD, 11a tọa độ điểm M thuộc đường thing CD sao cho tam giâc v3 re ae

RS bua tis AM có chủ vi nhỏ nhất by =o tea) Saat

SA =(-2;0;2V2) BM =(-l:-l; 2)

2 260

sự 2ñ]

: : Gy TNHH MTV DYVH Khang Vi

HưŠng dẫn giải E28T lù câc BTRG Ton hoc — P1ạm Liũrg Banh, Trần Văn Toăn : l eat Hung dn gil COST nt oe ATG Toda boc - Pham Sng Dan, Trần Văn Toăn ñty TMHỊI MITV DV%I1 Khang vigt

, Âc dạ: dị =d : : os 2 2 TIT NITE Rea EE

v' Vấn dễ 4: + dị VĂ tua cùng phưửng, ĩ : NA £ dị :dị/! dị ST XP D tộc đường thẳng ÂB = T2 ~ t; +1; 20 => CD= (1- We 21} : s wy Mae a pe oe aides a-4 oy z3

VI TRI TUONG BOI CUA DUONG THANG VA MAT PHANG

A PHUGNG PHAP GIAI

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG Cho bai mêt nhẳng œ vă có nhượng trình: 4

(a): Aye By + Cie + D, #0 [Ap + BF +f eu) (Bi): Agx + By + C+ D2 =0 (AZ BEC} =): Goi ny = (Ay By CỤ, nị = (Âz; Hạ; C¡] lần lượt lă vecti phâp luyến của 2 mặt phẳng trín vă M lă một điểm trín mặt phẳng (2)

— (œj cất) <> ny va ng khong cùng phương ny vă nạ cũng phương wiz(p) n¡ vă n cùng nhưới oe = [ny n+ cùng nhưng |m=) thì ta câ sâch khâc: oA, 1B): C, 4 Ag BiG — (0) song song (} +? An Bi E Dy A Dy OS Dy Ay _ B,C) _ Dy A¿ Bị €¡ Dy — (a) songsang (RB) <= NEU Az, Bs, Cz, Dy # = (a) cde (fh) — (a) tring (f}) =

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI DUGNG THANG Cúch {+ XĩL hệ phương trình tạa độ gino điểm của hai đường thẳng dị vă đ; Hí có một nghiệm duy niất: dị cắt dạ,

Hệ cú vô số nghiệm: d; vă d; trùng nluau —_ LHiệ võ nghiệm:

+ Ag) Vi day cling phường: dị Ó;

+ đại vă ads không cũng phương: dị vă dạ chĩn nhau, Cúch 3:

Tìm vectd chỉ phưưng au, ‘ dup của dị vă dạ

— Tìm điểm Ă e dị vă B e dạ

262

"Tag, đứa, Af)= :Ú: dị cất dạ

ag, Va au; không cùng phd mm

Peete ee pee xao \ jaa, a, , AB|z0: dy chĩod;

ý a ` 24 2 Eh pa 2 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐƠI GIỮA DUGNG THANG VA MAT PHANG

« Cach fe

Xĩt hệ phương trình tạa độ gian điển của đường thẳng đ vă mặt phẳng œ = Hệ vô nghiệm; df! (ay

— Hệ có nghiệm duv nhất: deft (al —— Hệ vô số nghiệm: dc fa)

s Cích 2:

Tìm veeLU chỉ phương u cia a, vectd phap tuyến n của (ø) vă tìm điểm A e d

— uned (u khang vudng gde n):dede(a)

Bi ~ « pA@(g as fa} — Up +0(uLn) ¢ kale *

‘A eta dĩ ola)

B ĐỀ: THÍ

1:CAOT: ANG KHAT A, R,D SAM 2011 zs

_ Trong không gian với hệ tạa dộ Oxyz, cho hai điểm A(—l; ?; 3ì, B(1; 0; =3)

ô mặt phẳng (P]: 2x + y - 3z - 4 =0 Tìm toa độ điểm M thuộc (P) sao cho ba

lểm A, B, M thing hăng Giải x=-l+t Phương Lrình AB + — 3—t z=3-4t

Me(ŒP)—=>2-l)+(2—1)-3(3~ 4U~4=0 =>t†t=1 Vậy M(O; 1; —1}

(iL: ĐẠI HỌC KHÔI D NĂM 2009

Trong không gian vứi hệ tọu (syz, chủ câc điểm A(2; 1; 0, B(I; 3; 2), CÚ; Ls 0ì

ă mặt phẳng (P}: x +y +z— 30= 0, Xâc định tọa độ điểm 2 thuậc đường thẳng

T sao ( cho đường I thẳng CD song sang với mêi phẳng (P) Gửi

x=Z-t

AB =(-1 12), phvung tinh anf =l+t

Pens TT

| Me AB-> M(-14 2-33-41)

Vĩctø phần tuyến của mặt phẳng (P n =(([: l l}

Ce (P) nen CDP) o> ACD =0 os 11 -H# Lt 1.2t= :8>L= =ễ

i (5.1._

Vậy D ĐT i}

Băi 2: DAI HỌC KHOLA NAM 2007

Trong không gian với hĩ toa dĩ Oxyz, cho hai dudng thing

x=-1+21

eel ew

git vă d;:4y=l+l

„=3

LƯ/ Chứng mình rằng dị vă d; chĩo nhau,

3/ Viết phedag trình đường thẳng đ vng góc với mặt nhẴng

(3: 7X + yT 4z = 0 vê cất bai đường thẳng dy, dy | Giải

1ý + dị quâ MỊO; 1;—2), cổ vectở chỉ phương (2; -h) dy qua Nĩ-1;

+ [tr u |=-k

+ [t.1.].MN=2I +0— ủị vă d; chĩo nhau

L; 31, số vevtd chủ phường uạ@2; l; Ô)

3; vă MN=( l; 0; 5)

3/ Giả sử d cất dị vă d; lần lượt tại Ă, BH, Vì A e dị, B e d; nín

A(ds; | —s;-2 +8), B(-1 +24; Ï + tý 3) =¿ AB = (2t—2s—L; 1+gt—s+Đ)

{P) có vectt nhấn tryển n=Œt: l;-4i,

Lại do AB + (P) + AB củng phương với n

2L—2s—~] t+x 545 $1-954+1=0 “sal

oo ————=——- = ws

T7 L —4 4t+3s+5=0 Ii=-2 =3 AG;—l), Hí-3; -1; 3)

Phương trình của ¿i lă: Xă Che gael

7 1 -4

Bai 3: ĐỀ DỤ BỊ 1 BĂI HỌC KHỔI D NĂM 2006

a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz mặt phẳng (P): 4x — 3y + Ln — 26= 0| vă hai đường thẳng:

if Chứng minh dị vă d; chĩo nhau

2/_ Viết nhưng trình đưỡng thẳng A nằm tín (P), dỗng thoi A cất cả dị vă dụ,

Giải

di qua M[¡ƒ0: 3: —L) có vczd chỉ nhượng ay =(-1; 2; 3)

* đ; qua M;£4; Œ 3) có vecu chỉ phương ap =(; 1,2) “ajay ]= 5 55-3), MyM =C4; =4 4) * 4).ag | MM, =-2320 =>dị chĩo d;

Ac(P)va cited dd, Adi qua cic giao điểm của dị, đ› vă (P}

kek ead -® Ac=dia(P): giải hệ $ 1 2 3 ears =>A-(-2: 755) x= + s 2 _ôđ B-ds⁄“3(P): giảihệ $ I LÔ |4x = 3y +l1z ~ 20 =0 =B=(3-l;1) e AB =(5;-R:-4)

Phuong uinh duting thing cin im AB: = =—= jăi 4: ĐẠI HỌC KHOI D NAM 2005

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz chủ hai đường thẳng

24 ye xi? -z~2=U

đa” bead oe el wa “ot Beas

“ |x+3y-12-0

af Chứng mỉnh rằng d, vê ở; song song với nhau Viết phương trình mặt phẳng {P} chứa cả hai dường ;hẳng dị vê đạ

bý Mặt phẳng tọa dộ Oxz cất hai đường thẳng d, vă d; (Ấn lượt tại câc điểm A, B

Tính diện tích tam giâc CAB (0 1A gfe tou độ), Giải

đụ đi qua M.(1; —2; —1) vă câ vectd chỉ nhưng uy =:=1!:2)

iif ft a KE kh lÌ~e v2 đ› cố vectư chỉ như lă “Ƒ › › te TOT ae ae tan dy ids,

Trang 35

Huing din piai COST ti cae CTOG Todn bec — Pham Heng Dann, Tn Van Toan #/ IHHII 4V DWVVH Kharfi Việt t=0

Mặt phẳng (P} chữa dạ nín có phương tình dạng;

nix*y=z=2)+lfx+3y + 2j=0 (u2 +p? #0) MyM «Vit? 440? 4-3)? = V8 eo 1dr? - tr 42 =2 es "„ Vì Mỹ e (P) nín a1 - 2 + 1-2) +4 Pei —6-12)=0¢9 2a + ITP = f Chọn œ = 17 = =-2 Phương trình (P) lă: 15x + 11y = 17z— =0

bf ViA, Be (Oxz)nĩny,= =0 => M(f; 0; Ø) & (P} loai 4 si (1.4.3) ee foe lah ane MÍỆ 77) |; 7 =| lâ: ĐỀ DỰ BỊ I Yu =O weaed neato ® Xa — + Kụ =7 ==*= Ă(—5; 0; =5) “43 —2=0 =i}

Bed) ={" Ề fet 9 sự in Zp = at ñ; lũ) - Trang khơng gìan với hệ tụa độ Oxyz cho hai điểm A(3; 2; 2) BiO; 0; 7) vb | aes

3 3 en ung thang d: =

OA =(-5 0; ~5), OB =412; 0; 10) => [OA,OB = (0; -10; 0}, Seas a | 5Ơ

Chứng mình rằng hai đường thẳng d vă AB thuộc cùng mộiI mặt phẳog

Tìm điểra C thuậc đường thẳng d sao cho ÔABC cần tại dĩnh A

Giải 3_y-6 2-1 Sagag = + [04,08] =0 =5 (dvdt}

Bai $: DE DU BI | BATHOC KHOI B NAM 2005

Trong không gian với bệ tọa 06 Oxyz cho hai đường thẳng: AB=( 4-2;5

Ae x=-l-?t d có: MO 6; L) vă veetd chỉ phương a =(-2; 2,

Lm vă ne (1 Tă tham số} [Aba] -(-12: —& -12), AM =; Ð

z=l+1 Vă th :

a/' XĩL vị trí tương đối của dị vă do, [AB.a AM =12 -24412=0 <> AB, đ đồng phẳng

b/ Tìm tọa độ cức điểm M thude d; vA N thude d; sao cho đường thẳng MN _ a4 song song với mặt phẩng (P): x— y+z=0 vă đệ dăi đoạn MN = v2 | Phương trình thnm số d: ee trex}

Giải

af dị quâ O(0; 0; Đ} có veetd chỉ phương ai =Œ: 12) Ce d=C6 - 2u 6 k1; + L}

= tạ mm

dạ qua B(-1; 0; 1) e6 veety chi phutdng a, =(-2; |; 1) AB 4/4 42° (5) =45 8

[22.41 =a: 5\-2), ĐR=(~h@) 8 ÂC=2L+U2+(L+4)?+@—DẺ =DẺ + lật ¡18

x=t' =-3 7 0 (9: 0, -?)

bí Thương trình tham số dị :4y =t =e My) (t5y 2U'}cd, AI?

z=2U

Trong không gian với hệ tạa độ Đềcâc vng góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật

ABCD, ABCD’ cf A tring với gốc tọa độ Bía; 0; 0), D(0; n; 0), A100; 0; h}

fa>0, b> Gọi XI lă trung điểm của CC' af Tinh thể tích khối tứ điện DAM theo a vă b

My ody => M2{-1—2 1); M)Mg = (-21-¢ - br —20' +1) Tủ có MỊM; /(P) => MỊM im, =0

=-2I Ủ-l-t-t+t-2U+I=U=t=-U acrid d Ẳ & pose HÌNN

ats bự Ne dinh t! sd = để hai :pật phẳng (A'BD) vă (MIRI2) vuông gúc với nhăn a =——

266

Hugniy dan yidi COBT li râc BTRG Tzôn hạa - Phạm Hồng [lanh, Irần Văn Toôr

Giải At, 0; 0), Bia; 0; 0% Clara: 0k BIOs a; 0) ATO 0; by, 1a: a; bì; MI(A: a; 2)

al BD =(-a; a; 0); BA'= (-a; 0;b); BM = (0; a; 2)

=[BD,BA']= (ah, ¿b, a”)

-W= <[Bn.BA'BM: ĩó - i

r 2 9,2 £ “ghe = 3a°b a°b

BI

b (A'BD) có wectu phâp tuyến [E.ea' | =(ab,ab,a’) hay chon n =(b; bị a]} 3 đ fs %

(MED) cĩ veets phâp tayĩa [BD,BM ]=| BOSD ge, SoA OE! ish hay mm =(h: b: -2a) (chon)

Băi 3:

| Trang không gian với lệ lọa độ Đềcâc yuậng góc Oxy2 cho đường thẳng: | "Dan lfukgia

dy

ikx-y¥+z2t+1=0

Tim k dĩ dudng thang dy Yudag gde vidi mit phiing (P): x-y-244+5-0 | Giải

mị =(1;3k¡~l) ny =(;~l; 1)

Vectd chỉ nhường của dụ : a=) my.m | = (3k - 1; -k-1:-1- 3k) Vecld phâp tuyến của mặt nhẳng (P) n =(1;-1; -2) Ta có; d¿ L (P}©> nạ cùng phương với nụ a [ke 3k=1_-k-1 1-34? pet = = 1 1 -2 ĩ=i i Lae es 3 268

Gty TMHHEMTY DVL Kilarg Wiet

krÐ g-1, asd 4 a5 -

Giải ya sung song vGi đường thẳng A:

fe d, qua AG; -1; 0) cĩ veetd chỉ phương a= (1; 2; l)

* dz qua BO; |; 1) co vecte chỉ phương b = (1; -2; 3) AB =(0/2; 1) [a,b | = (8¡ =3; ~4)

+ [a b]AB =-¢-4= 840v)yd) chdod, * Talaicĩ: abs 1-443=0—d) 1 dp

Kết luận : dị chếo d; vă dị vng góc ủ;

h Đường thẳng Acd vecid chi phucing c= (1:4; -2)

* Goi (a) la mat phing cinfa dy vA song song Anĩn ny = [ac] = (-8; 3; 2) (cx) qua A vă có vecLd nhấp tuyến Ty = (-8; 3;2)

(a): -8(x — 0) + Sty + 1) 4 2(z- t)=1 = 8x - 3y—3%-3=0

ng [Be] = 8; 550)

(Bi qua B có xcctở nhắp tyuến nụ =(-8; 5; 6)

(B): -B{x - 0) + Sty — I}+ 6Œ— 1) =O Ba - Sy - 624+ 1] =0

Đường thẳng sẵn tim lă giao tuyến của (œ) vă (B) có phương Irình "$x -3y-2z-3=20

8x —Sy-6z+11=0

fii 10:

"Trong không gian với hệ true Dĩcde Oxyz, cho mat phdng (P}: 2s —y + 2=0

vă đường thẳng: dụ: ( ) “ ( by (m lă tham số)

[mx +(2m41)z+4m+2=0

Xâu định m để đường thẳng dụ song song vi mỹt nhẳng CP)

269

Hường din gidi COBT ti rắc ĐTö5 Tzin học ~ Phạm llỗng Danh, Trắn Văn Toản — Giải

=(m; Ú: 2m + 1)

Cty TMỈ:H BÍ DỤVH Khang Việt

a | MM =0 Paes (N ny =(2m+1;l—-m:0} ns Cech 2: dị aden [sa] +6 x-22-2=0 ie 2x+dy—-3= y-z+l=0 7 |xI3z-6=0 2 "

Mật vectd chỉ phưđng của dụ, lă

a=[mi.na | ={-3mẺ s+tm + l;-(2ra+ iy ¡ m{l — mì) bự Khi a =2 tú có: dị: {

Vevid phip tayĩn eda (P) Ln = (2; -1 { Ề 2 : 3 hs dy ¢i qua M,(0; -2; -1) e6 mot veete chỉ phương aị =2; L; L] Bruting thang d,, song song vii mat phing (P).co a.n =0 a

$ 3 : i ae) sung: để sy RR eT) © -4m” +2:n - 2+ (4m +4m + =0 ds đi qua M{(j L; 2) có một vectd chỉ phướag a+ = 343; ~2: —1)

Xi () chứa ẻ; vă song song dị nín {P) có vectd phẩp tuyến

n-[Ap,a;` z(15:-Ð

Băi 1l: ĐỀ DỰ BỊ 3 `

| Trong không gian với bệ tụa độ ÐĐívfc vng góc Oxyz cho hai đường thẳng: Xx-a# =0 Íaxt3y 3=0

oe *\x432-6=0

(P) qua Mg(; 1; 2) vi 06 vectrr nhấp tuyến ñ = (l; 5; —7) nín có phương trình (P}:(x~ 01+ 5Œ — l}~ 7~ 2)=

$>x+5y= 7z+9=0

_|0+5(-2)-7(1)+9|_ 6/3 T: Ta cd: d{d,.dz}=d(M).{P))= M oe Te

af Tima dĩ hai duting thing d) dy oft nhau

bí Với a = 2, viết phường trình mặt phẳng (P} chứa đường thẳng d; vă song song `

với đường trắng dụ Tĩnh khoảng câch giữa dị vă d; khi ô = 2 f

Câch khâc : d(đị,dạ} = Giải x=n+at

af DậLz= L=+ Phướng trình tham số dị: ‡y =—l~L +

— mt ee v Vấn để 5: MẶT CẦU

_ A PHƯƠNG: PHÂP GIẢI

x=% F

Dit x = 9t! — Phudng triah tham số dạ: 4y ~1—3at' 1 Phương trình mặt cầu

ee re ae ‘ 40(@dia2+sf+d—d>0 Câch T: dị vă đ; cắt nha ® x°+y +7-2ax—2by- 2/0z+d=0(vớiadˆ+Ð + ) |

, ; a w Tđm lía, b,c), ban kink R = Ya" +b" +c" -d gi ae aT

; : T t3 6

a~ô(=0U a’+3 ‘ | 2 Đường trần giao tuy@n của mặt cầu va mat phẳng

t=2-3U 34a tuyến lă đường trịn (C):

j « Tim tim â ca (C) L=2-3U 4đ

4 — Tim phương trình đường thẳng d qua I vê vũng góc với (d)

~ ƠO=d/v(à

«Tìm bắn kính r của (C): r! = RẺ — 1Ø”

gt

Thay (1), (3) văo (3) ta được: TT =2— are a’ +3

oo 6—a" = 2a" 3â +6 œ 342 — 3a =0e»a=va=l,

B — THI

Bai 1: PAL HOC KHOI A NAM 2011

Trong khong gian vdi bĩ toa dĩ Gaye, cho mặt cầu (5); x + về tine a 4 —4y- dz = 1 o

va diĩm A(4; 4; 0), Viet phướag trình mat phang (OAB) biết điểm B thuộc (5) "|

tam giâc OAB đều

Gui Giả sử BÚ; ys 7)

'Ta có: Be[8) vă tam giâc OAB đều

[x? + sa? 24x 4y 42=0

= (OA? = On? (0A? =AR?

XẺ+yÍ +z2 4x ey ea) Íxrysz=8 432=x2+y 2+? + 1x2 + tr =32

32=(1—-x)°+(4—-y) +? Ỉ vụ?) +?? —B(x +y) =0

X-y†tr-B z=4 x=0 oars

x+y=4 x+¥—4 z4 Trường hợi: |; Với B(0; 4; 4)

Mặt phẳng (OAH) có vectd nhấp Luyến lă [GA,OB ]= (16,16, 16) va di qua

O(0; 0; 0) nĩn cĩ phetgng trinh x - y+z= 0, Trường hựp 2: Với B(4; 0; 4)

Mặt phẳng (OAB) có vĩctơ phâp tuyến lă| OA,OB |=(16,~16—I6) vă di qua O70; 0; 0) nền có phương trình x - y - z = Ö,

Rai 2: BAI HOC KHOID NAM 2011

—

Trong không gian với hệ tọa độ (xyz, chủ đường thẳng A: a ark

mal phdng (P): 2x — y + 2z = Ú Viết phương trình mặt cđu có tđm thuộc dường

thẳng A, bắn kính bằng 1 vă tiến xúc với mặt phẳng (T), Giải xl+2t y=3+4t eR) Phương trình tham số cửa đường thẳng A:

Cly THH MTV IVVH Khang wl

Gọi 1 lă Lđm của mặt cầu E= A >Tí(l + 3t 3+3 Ù, Mat elu tiến xe (P) va ed bain kink bing | <= d(, (P)] = 1

eee ae Vaal

o (==> TES; FL; 2) => Phuong trình mắt cẩu: (x— 5} +(yT= ED +(2- 27-1

wpe) ae Tibet [oe Phương trình mặt cẩu: (x + + (yt D?+z+ DĐ =1

Bai i: CÂO ĐẲNG KHỔI A,B, NAM 2011

Le 3t-lÌ—34+t=2 hóc L=—L

1 | z=-l Trong không gian với kệ toa dG Oxyz, chủ đường thẳng d: = a King iết phưởng Iri.h mặt cẩu có tđm (1; 3; -3) vă cất đường thẳng đ tại hai điểm A, B san cho AB = v26

l Giềi

“dua MĨ(1; ~1; D3, veclð chỉ phương ô = (4;—3; 1), IM =()- % 4)

=> a,IM | =(-9: -16;-12)

X4? 3 28 37

(1d) = T—.1: đ; R= | —| +d (Ldì~ —=23

ao Suy ra: phường inh (8): (x— 1 + Gy ~ 2)? + {z+39" = 25 v ac [4 3i a a

Bai 4: ĐẠI HỌC KHƠI A NĂM 2010

Tính khoảng câch từ A đến Ơ Viết phương trình mặt cầu tắm A, cất ả tại dui

[ điểm B vă C san chủ BC = 8,

Giải

Â qua XI (~2; 2; —3] vă có vectd chỉ phương a=(2; 3; 2): AM =(-2; 2; -D

fe -¬

(= | AM J=( 7-2; 10)

[¿^MÌ| va5+4+T180 PB

=ứ(A,A)= fi aa {1

Võ AH vuông đúc với A Ta cd: BH = me 4 vă AII= d(A, Â) =

'Trùng AAHH ta câ: RỶ= AB? = BH’ +All’ = 1649 =25

%8 nha#esz trình mêi cẨn] (5): x +? +Ƒ+ 2)? = nh -

Trang 36

*|2drg tất, ziải EDBT 1 sâc 3T5B Tcân Lạc - Phạm Hans Ranh, Trĩn Van Toan

Suy ra mặt phẳng (P} cất mặt cầu (Sì,

Gọi 11 vă r lấn lượt lă tđm vă bân kính của đường trồu giau tuyến, II lă hình

iếu vng g&c của I trín (P):

Hêi 5: CAO DANG KHIỔI Â B, D NĂM 2010

Trong khơng gmín với he loa 4$ Oxy, cho hai diĩm A (1; 2; | va mat phing (P):x + y—z+ 4=,

31 B(-l;:9; lì

= 3,70 VR? IH? =4

17 Tìm lọa đệ hình chiếu vuông gâc của A tđm (P), IH=d(I(

3 Viết phương trình mặt cầu (5} có hân kính bằng = của tđ¡n thuộc dưỡng x=142t 4 1a

thẳng AB vă (8) tiếp xúc với (P), ] W6 Shin

= |2x-2y-z-4=0

ý ¬ x-l ÿy+2 2-3 L

1 Gọi A lă dường thẳng quâi A vă vng góc với (Py th: A: _ Bến nhăng» “Giải bí, tâ được HỢ: 6; 2)

17: DẠI HỌC KHÔI D NĂM 2008

Trong AM gian với hĩ ipa dĩ Oxyz, cho 4 điểm Ai3,

H lă lĩnh chiết: sủa A lă (PIH H= {A) r1 (P) nín tọa độ H thỏa:

3; 0), B(3; D; 3),

“X4+y+z+t4—D ị c3

an ĩ M7 sẻ] lí ee see Winh mat cau di qua bon diĩm A,B,C, 1,

2/ Tim wa dj tim dieing tron ngoại tiếp tam giâc ABC,

: (Gide

2 Tacs A =(-2;2:-2) vă AB = v4~<4+4 = v12 =2 43

® Giai nhưng trình mặt cầu (Sì:

Xa +77 —2ax — 2by — 2c + d =0 (với nỄ + bŠ+ c?~ d >0) « Mặt rầu đi qua bốn điểm A, B, C, Dnín

AB

Bân kính mat cẩu (8) lă R= N Phương trình AB}: te as

%

Vilêm Le (ARW) nín Tí < 1,- E+] ; { aes

(S) liến hộ a gee ae £z†=-3 hay t==5 Ae hit: Be(% 18— Ba —- Ĩc+d =f h=~ ;

> Ti-4; 3, 2) hay I—6; 5; —4) 4 Certs) I8—6b—6c+đ =0 ©S+ 2 nhận Vậy tả câ hai mat edu Lada yeu edu dĩ bai: Ipets) |zZz—-6u-eh-tezd=0 cai

(S):(x+4))+(y—~3)+@+21'= J tra d=0

Vậy (Sk:x +y + 2 -3x—3v—3z=0

[đi qua A(3; 3;01

(ABC); ⁄ — —— js vectd phip myĩn lă [AB.aC | =-91(I: l; l}

3 1

(Ssh (xt 6) + (y— SY + int 4p = :

if: BATHOC KHOI A NAM 2009

iene khủng gian = hệ les độ Oxyz cho mật nhẳng (P} 2x ~ 2y — z =-4 = 20 va mat chu (S): x” + y` + 2 - 2x - ay - 6z— 1] =0 Chứng mình rằng: mặi phẳng (P) cất mặt cầu {5S} theo một đường trồn Xâc định tọa độ tim vă tính hân

kính của đường trịn do, 4

Giải (8) có tđm I{1; 2; 3), hân kính H = 5

Phuting inh mat phing (ABC): x + Ơ t?zủ=0

ô Poting thn (C) ngoai tiĩp tam gide ABC 1A ch cửa mặt phẳng (xBC) vă (5)

lẻ +? + ~3x—3y-3¿=0

=> Phung trình đường trịn (C): | dey XIYy+Z' 3 3

* Goid qua tim lễ: iF 4 tin (8) vib vudne pdo với mặt phẳng (ABC)

2—4~3~- Ale sek: 3 Kheông cúch từ 1 đến (F}: d1, (P1 = 21

_Ety TNHH MT DA/H Khang Việt

kiØng dẫn gải CDBT tử câc D108 T;ẩn hạc - Pham Hong Daan Tran van Toa

h (3.4.3)

aiquat] 3:5:2| a: had 7

có veold chỉ phương a =(l: & l) 3

Xt

2 - w 3

4 JZ=+t + ê [43 k=l bt r4 3 k=3 vyr=—+L ® H=đ/5(ABC)tagiảihỆệ +“ 2 c>{y=2 gets \z-2 2 X+y¥4e-3=0 Vậy tầm của đường tron (C) di H(2: 3; 3)

Băi 8: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Trong không gian với hệ tụa độ Oxxz, cho mÊI cẩn

(S):X” + YỶ + zẨ— 7x + ấy +22 S— 3 = ( vă mặt phẳng (P): 3x - y +2z— l4 =0

/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox vă cất (5) theo một di#np trín có bât kính bằng 3

2/ Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (5) sao cho khoảng câch từ M đến mặt

phẳng (P) lân nhất

Giải

Ư (8); (x =IJ+(y +2) +(+ ĐỀ =0 có tđm V1; 2; 1) vă bân kính R=3,

Mặt phẳng (Q) có cập vĩctư chỉ nhướng lă: OF= (1; —3: — I), ï=đ@; 0) = Vectỡ phâp tuyến của (Q) lă: ñ =(f:— l; 2)

Phường trình của (Q} lă: 0x — Ú) — 1.fy - Ú) + 2Œ - 0) =0 <»y=22= 0 2/ Goi dt đường thẳng đi qua I vă vuậng góc với (P) Đường thẳng d cất (S) tạ? hai diĩin A, B,

Nhận xât: Nếu d(A; (P)) > d(B; (P)) thì dịM; (P)) lớn nhất khi Mĩ = A

Phương trình đường thằng d: a aL Tọa dĩ giao diĩm clad va (S}JA nghiĩm cia bĩ: 276

El/ THHH MTV EUWII dean Vist

(x— a ~(y+23? +(e~ =9

„r2 2 atl

we 1 “SN

Giải hệ ta Em được hai giao điểm At-1; Ta có: d(A; (PJ) = 7 >d1B: (Ph=

šy khoảng câch từ M đến {P lửn nhất khi M( 1; -1; =3)

i 19: Dal NOC KHOI B NAM 2105

} Trong không gian với hệ trực tọa độ Oxyz cho hình lăng tru ditng ABC AIRC,

| vai A( =3; 0), B(3: 0; 0), Cy 35 0), Bị(4; 0 4),

af Tim toa dĩ câc đình Ai, C, Viết phường trình mật cẩu có tđm lă Â vă biến Kúc với mặt phẳng (CC; L1),

bự Gọi MÍ lă trung điểm cđa AjBi Viết phướt:g trình init phẳng fP‡ đi qua hai

điểm A, M vă song song với BC, Mặt phẳng (P1 cất đường thẳng Â¡CI tại điển

„Tính độ dăi doan MỊN 1; -3), R(3; -3, l) giới ` AMO: 3; 4), C0; 35 4); BE = (4, 3,0), BR, = (0 0; 4 Vectrf nhấp tuyến của :npi(BCC;¡B¡} lă n= [Be BB, |= (12: tế; f)

I3=0 ; Phương tình mặt phẳng (BCC;BỊ): 12(x - 4) + lồy =q @® 3x +4y-

[12-12] 24 37 44? 8 576 Phương trình mặt cầu: x? = (y #39? 12? = 4 - Bần kính mặt cẩu: R = d(A,(BCC¡B, ae Sự if ‘ 3 V ‘Ta cd m2 4} AM =| m4 |, BC, =(-4; 3; 4) , }

Veclơ phâp tuyến cỗa (P) lă nụ = [AM.BE,_ =(-&:-24: 12)

ị Phương trình (P): -6x - 24(y + 3) + 12250 ce>x+ 4y—2z+ l2=0

Ta thấy B(4; 0; 0) ø (P) Do đó (P) đi qua A, M vă song song với BC

Ta có AjC¡ = (Út 6; 0)

x-0 y 3+Ĩt =4 Phương trình thĩun số của đường thẳng Â¡C¡ lă: Ne AyC, = Neth -3 + Gt; 4) ————— _ %# TRHH MTV DVVH Khang việt Hường dẫn gi EZEF tù cần ĐTDG Tón họo - Phar Hêng Danh, Trất Văn Toăn

ĩ : Giải

ry 1) a es 5 =f = —, Way} + : x

TERS REC RLS eae =e ee XIN Vi AA, 1 (Oxvi = A.C 2:9; 4), BB, 1 (Oxy) > BO, 4.45 12 Phương t2nh mặt cầu (5):

X + + ôˆ— 2n — 2by — 2ez + d= 0 (với nỄ + he” ds) MN = lo

Mit clu qua 4 diĩm 0, A.B, 0; nĩn

\ ĩ = ; 01+ sử vi tấi—~4)) =— KG ủ Mễ

Băi 10: ĐỀ DU BI | BALHOC KHOI A NAM 2005 BE 'Oei) — 'd=U fast Bị

Trong không giân với hệ tọa dỗ Oxyz cho 3 điểm A(l; 1,0), BCD; 2; 0), CeO: 0325 Acts 4-4y=0 | =3 ï af Viết phương trình mặt phẳng (P} qaa gốc tọa độ O vă vng góc vidi BC, 3 Be(S} ‘ 16-8h=0 = eux (nin) A | Tìm: lọa độ giâo điển của ÂC với mặ: phẳng (P), 0) €(S) l6=8e=0 do ¥

b/ Chifag minh tam gide ABC IA tam giấc vung, Viết phường trình mặt cẩu i V :x +y +2— 2x— 4y— 4z=ữ

rgoui tiếp tứ diện OABC M tung diĩm AB => M(1;2; 0) ae ee eee

= (P} qua MCL; 2:0), (P} — GA

— Veclg phâp tuyển cÍu mặt phẳng (P): np =O,A=(2 f0; —4]

Giải

wf BE =(;-232)

®_ Mậtphẳng (T'} qua O vũ vuông góc BC (nhận BC lầm vecuf nhấp tuyến!

Íx=t

Ko Ng =l-t 0 ® Phiưïng trình tham số GA: ‡y =0 (te 3]

# AC =(T-l:-1:2) nín phưưng trình tham số của ÂC: $V=L—t f2} (te 2) TH) b =2! 'ŒW

x—24-1=0 i ag 1 =

A ^ th Fy) ts = 1< = =— at

Thay (1), (2), (3) vio (*) ta due: L-1- 21=0> 1 5 š = (P/N DAW cb he a oly=0 =M(I:0;0)

2a) a m0

Thúy văo (l2, (2), (3) tạ có v(Š: 3 =| ld giao diĩm AC (P) z=Ũ

= ì fl Pe

by EASES MACE ER ob a : © Phưưng trình tham số DÂI: Ý=0 (UcR)

> ABAC=1-L=0 C AB L AC & AABC yuGnge Qua, [x=# « Dĩ thay ABOC cũng vuông tại O, Do đó Ă, Ø cùng nhìn đoạn BC dưới mật 1 góc vng, Dạ đó Ă, OÖ, B, C đều nằm trín một mặt cầu tđrn L lă trung diểm BĨ ~3z-l=Ð0 ng Ệ

=T ee

bản kính R =-——— ® K=OAi mì (Ƒ) ta có hệ =0 =¡v=0 ae =e Ss Q; get 8 |

« 10;1,;1) R=x2 nín nhường trình (8): (x TP 0 ty 1) + (2-17 = 2 x=2U NA

Hăi 11: ĐỀ DU BI) ĐẠI HỌC KHỔI D NĂM 2005 2 ee 25

\ ^ | v

Trong không gian với hệ tạa độ Oxyz cho lêng trụ đứng OAB,O,A,B, xử * KN= leg [s- vi vn”

A3: 0; 0), B(0 4: 0), O,(0: 0; 4, a/ Tim tọa độ câc điểm Ai Bị, Viết phường trình riặt cầu qua + điểm O, A, l1, Öy ủi I2: ` :

b/ Gại Mĩ lă trung điển của AB MIặI nhẳng (P) qua M vă vung nóc với GIÂ đồng thời cất OA, Ai lần lượt tại N, K, Tính dộ đăi dc -”

"Trong không gian với hệ lọa độ Oxy2 cho ba điểm A(2; 0; 1), 1), BU; 0% Oh |

C(1; 1; L) vă mêi phẳng (P]: x + y +z— 3= 0, Viết phương trình mặt cau di qua |

ato Huting din olaj COBT ti rặc BTG Taôn hục - 23a Hồ“ DânF, Trần Văn laôn (ii

_ 2 2

Goi Toc y; 7) 1 tđm mặt cầu Giê thiết cho Jia er , asl e(P) I(x -2} +vỶ+ (z= iy - fa-iy +y? +277

+(y-1P +217 = (x-2) +37 +(2-1F (x Thự x+y†7-2-0 [ee 4=0 [x=l > t2a-ay-2-0 bự SN «& L(1;0; [) Bân kính R=l1B= I |x+y+z-2=0 z=l

Vậy phương trình mặt cầu liz (x - yr ty ate Ụ =1,

Băi 13: DỀ DỰ BỊ I

Trang không giun với hệ tạa độ Đí¿1e vng góc Ưxyz cha mặt phẳng (P}: 2x+ 2ÿ + z = mm” ~ 3m:=0 (m lă tham xi)

vă mặt cầu (5): (x~ DŸ+@ + HỄ+@œ= HỄ <9

| Tìm tì để mặt phẳng (D) tiếp xúc với mặt cầu (5) với m ầm được bêy xâc dịah

tụi độ tiến diển: của mặt phẳng {P] vă mêi cầu (5) ý |

Giải «Mật cđu (Š} có tđu EƯ1;—l:; 1), bản kính R = 3

+ Mại phẳng (P) tiếp xúc vdi45J: d(1, 4P] = Kẻ

> ——— 2° +3m-1= cˆ JỈ~2+I-m?~đm|=3vV4=4+T = a idles 1n” + ôm -:]=-8 m°=3m_ lũ=d e m?+3m+8=0 (VN) Lm =—5 = (Py: 2x+ Jy +2 -10-0 (1)

® Gọi ô đường thảng qua [vă A — ¿†P?}

Đ qua [(l;—l; 1] vă ay =n, =3 1 [x=l+2t (2) Pheting trhih thum sĩ Az} y =-142t (3)

z=l*+t (4)

+ Tiếp điểm M ta giaa didi cla A va (P3, thay (23, (3), (4) yao (1) ta duge:

2(1 + 29) + 2(—l +20 £ 1+t— =0 @+t= E= M3; l2) 6lw TNHH MT! DWV Khang Việt Số PHỨC A PHƯƠNG PHÂP GIẢI a! «xe» Z8 Fe | SỐ PHỨC z=a +Ïh với jŸ=—l nhe u lă nhắn thực bla phan do Số nhức liín hop ela z la: F=a- ib 2 MOBUN z=a+ib(;he R}

Madun: |z|= va + bể = vez

3 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC: zeatib tabe &) Mia: by ii anheda z: OM =r =yvat+ = môđun của 2 (Ox,OM) = lă argument cla z, arg =p

4 DẠNG LƯỢNG GIÂC

#.= [(EOStp + ising) gere®

t= | z| ies urge

5 CÂC PHĨP TOÂN VỆ SỐ PHÚC

— Phểncộng: 4) + z= (a) tas) + ith, + by)

Phĩp tits ay — dz = (a) — ay) + i(by — by) Phĩn ohan: 4.7; = (aya; + by by) + lúa bạ + arb}

Hy tye _ dy + byby - ay bs ~Aazb)) Phĩn chia:

af + tỷ

Vâi dạng lượng giâc: z1za = rr[eos(g + B] + isin€ø + DỊ = rẻctt?

La —[casiœ — B}+ ising — B)]= TH: Bì

4) r rt

LUY THUA $6 PHUC z=r (cosp + isinip)

= r(eosmp + isinnp) cũng thức dc Moizv

7 oe CAN BAC n

LET (CUSP + isin) = re "P ey > OQ)

Vz = til eos{ 2 222) inn{ 2 ken ƠÌ

hì ny

fo k2n)

aon an

281

Trang 37

Hưởng dẫn giêi GDET tí nấz BTGđ Târ toe — Pham Sag Dan, Tĩa Văn Toỉn

8, BE THI

Bail: DAI HOC KHOI ANAM 2011

Tim tất cả câc số phức z, hiết z? =f? +,

Giải

Giả sử 2= x ~ yÌ với x,y =R,

Ta câ: zẺ =|z[P 42 c>(x tiy?? =x ty? —iy

ex? ~y* + 2xyi= x? ~y4x-yi +48 7 x ay! ca Gh OE RSI OY í

VƠ =2XY ~01⁄x—~— x 2

a s 1 Sa I

een [Pt tec Peg IE

= v pe w v

y=0 l*~-š 3 lyso~ ] x—= 1 y== L * 2 2 SY sca Ah cannon, ing 71.1

Vay 2=0, aaah w= oat

Bai 2: BAT HOC KHỔI ANAM 2011

Tinh môđun của số phức Z, hiết (2z~ L](t+ i)+(z4 th >]<9-

l Giải Giả sỬ z= x+ y1 với x, y e E Ta cố: (22—1)(L~i)+(2+1)(1 i) =2-21

<9 [2(x + yi)-1(1-i)+[ (x yi) +1 (1-i) = 2-21

! p1 ng tk 2 Ede = 2aby fai 2= —-—1 8<” eae 3 3 3 Do đó: |z|= mm a Vo ụ 3

Hăi 3: ĐẠI HỌC KHÔI H NĂM 2011

| Tìm sổ phức z, biết T213 _1~g, | ¿ Giải Giả sử z=x+ vi, 282

Cty THEH MTV OVYH Krarg việt

Tủ cú: pale -l=0 <4 ph ng

Vậy 2=-1-iv3 hoe 2=2 l3,

ai 4: DALMOC KHOLB NAM 2011

3 ñI+i⁄3} l+i Tìm phần thực vă phẩn ảo của số phức z= | Giải Sich I:

Tress ye tt 3ivd +914 - 35" 1+3i/38-8-3V3i_ a_i +1) _,

` I+3i+3i2 + I+3i—3—i int ae

- Vậy số phức z có phản thie 14 2 vă phần fio 1a 2

ch 3:

Có thể giải bằng câch chuyển về dụng lượng giấc như sau: a Avo gah te * Ey = cosm—isint Tacd: 2= —~| =2⁄2 | - eas „ isin ae 4a 4 4 r

= 243] cos vee) nafs #J =23| s2 + isin 3Ì 2rai

cm —ơi

ăi §: DẠI HỌC KHỐT D NAM 2011

‘Thm số phức z, biết z~ (2+ 31)z= li,

Gidi

Goiz=xX+Vivdixye R

Tacd: 2-(2+3i)z=1-Fio (ety) - 2+ 3K ys] 9

(x t+ yi} - (2x - Dyi + 3xi + Sy) = 1-91

A eG SRS SoS =x—3v=l x=2 x — 3 3y - 3xÌ.= | - 8i >

apy e et 3y -3k=-9 y=-l Vay z=2-i

Băi ú: CAO ĐẲNG KHỔI A, B, D NĂM 2011

Cha số phức z thoô mên (1~239'z + z =4¡—

20, Tính mưđun củaz — — el

283

uirg din giải COBT ti! cae BTIG Tedn hoo — Phạm Hồng Danh, Trần Văn 102:

{iải

Dặt ¿= a + hí Tả cổ: (—3+ 4i) (a = bì}+{uU bi) = 4i = 20

cờ 3a — 3ht + đại - 4l:+aT— bị = 4i —^2 7” 2n -4h=-20 ax2b—10 ja=$

‘

„đê — 4b =4 "hed"

Vậy?=4+ 3i = a=

Bai 7; CAO DANG KHOI A, 8, D NAM 2011

Cho số phức z thỏa mên #`~ 3(1 + fz ~2¡ =0 Tìm phđn thực vă phẩn ôo của i

#

Giải

Ta 06: 2 -2(1+024+2i=0 2 (4-1-i) <0 @ z=l+i=L-

+ t⁄2[

—+

x

2

Vay phan thực gũa a lă 1 vă phẩn ôo lă đt,

z 2 2 Bai 8: DAL HOC KHOI ANAM 2610

Tìm phần ảo của số phức z, biết z= (x2 + JÍA—- v31

Giải

Tủ có: 2=(/210)1(1 V20 =(-—2V30001- v5)= 3+V3i cez=5 vi

=> Phin du eda st phức z lă ii Hăi 9 : ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010

a- Ai?

L~i

| Cho số nhức z thắn mên z= - Tìm môđun của số phitc Z + iz

Giải Ta có: (1—^/3i) = 2(ss(-š)-s(-}])

= (I-3i) =8{eos(~n)+isin(—m)) = - tin a 443 = Z+i4= 4-4) -if-444) = -804) = [£+i|=8v2 Bai 1: BATHOC KUOIB NAM 2010

Trong mặt phẳng tạa 46 Oxy, tim tap hgp điểm biểu diễn câc số phức z thỏa |

mên: |z— [= |1 + iz] Giải Giả sử z =X + yi (với x,v c I) 284

£ty TRHH BTỰ Di! Kha: Việt

Suyra:z—i=x+ÍyT— li vă (1+ ñz =[l +i)@X ¿ VŨ = (XT— Y) # ỨX + vHÌ

Ƒ:$ t 2 ‘ 2

Ta 05 |2—i)= | aye] yx’ rly eye eG

xl+iyl- 2y - li=2x)+y)csx ty tay l=UeexlriytlT =2,

Vậy Lập hgp điểm biểu diễn cúc số nlsfe z trang mặt phẳng tọa độ Chy Lš đường

trín tđm I(D; —L} có hân kính R =2

; 111; 3ĂT HỌC KHOI Lb NAM 2010 ea ie 4# han 5 ot ope

'Tìm số phức z thoả mên |z|= v2 vă zˆ lă số thuần do,

Pitz=a+bitvdia,be Rye =

„ fa? pao fat =I

Tờ giả thiết kị có hệ phương trình sy | œ1

la2~bt=2 |b2=I Vy: z¡ =1 1,2 =—i, 4=—=l+i, 3¿=mÌt

lại |2: ĐẠI HỌC KHỔI A NĂM 2001 :

Goi 4 va #; lă 2 ngiiệm phức của phương trình: 22+ 22+ lũ =0, |

Tính giâ trị của biểu thức A= Ìz4|?+ 29/7

Giải

Ta có; Ă =~36 = 36”, suy ra z4=~l + 3ïi vă z= ~L— 3i

Do đó l3, 4 (-1) +3 = v6 va [a|= V1} +(—3}' = vĩg Vay A= |z,P 4 [z,P =20

di 13: DAL HOC KHOI B NAM 2009

Tim sf phite xthda man: |z-(2+i)|= v0 vă z¿=25,

Giải

Goiz=x+yi(vdix,y 6 lE)suyraz— (2 xi=(x- 2)+(— Di Ta có |¿—(2+ï)|=xlð (x~2} +(y-IJ=10 — Œ)

zz= 25x” Lý” =25 (2)

Giải hệ (1) vă (2) ta được: (x; y) = (3; 4) hoặc (X; y) = (5; 0) Vậy: z = 3 + 4i hoặc z= 5

Rai 14: CAO PANG KHOI A, B, D NAM 2010 a & số phức z thỏa măn điều kiện (2 - 3i)z + (4 +j)£= - (+ 3ïŸ Ti;n phan

thực vê phẩit ôo của z _

285

Hulite sẵn giải GDBT 1ừ câc ĐT1B Toân figs — Pham Hang Danh, Tran Van Toin Giải Ciọiz=x+tvL(x,vVe BR) Tâ có (2— 32+ (4+i12=—fE+30” (2 — Bix + yl + (4+ DX — yU =8— Bi > (Gk + 4w)— (2x + 2y) = 8 — i o> Õx + 4y = Ñ vă 2x+2V=Gc2x=—2 văy =5 Vậy phẩn thực của z lă -3 vă nhắn ảo của z lă 5 Băi 15: CAO DANG KHOLA, B, D NAM 2010

[ Gidi phuong tinh 2 — (1 + ie + 6 + 3i = 0 trín tập hp câc số phức | Giải Tu cd: A= 24-101 =(1-Si¥ Bo đâ 22~(1+7)2+6+3Ì<0 z= 1 Zi hay z= Bi, Bai 16: TNPT NAM 2010

Cho hai sĩ phife z) = 1+ 2i va z= Số nhức z; - 27a,

— 3i Xâu định nhẫn tực vă phẩn ảo củn

Giải

2z2=(1*2i)—22—3ï}=~3 + BÍ Suy rũ số phức z¡ - 32; có phẩn thựe lă -3 va phin do la 8, Băi 17: TNET NĂM 2010

Cho hiả số phức z) = 2 + 5ï vă Z4 số phỨc ¿¡-#x

“Tụ có: z¡-

=3— 4/2Xư đìnH phđn (hút vê phan ual

Giii ì

Tủ cối 7;Z¿ = (2 + 5Ï) (3 4i) = 6< + L5Ì— 207” = 36 # Tỉ

—> số phức z¡¿z có piẩn thực lă 26 vă phẫn ảo lă 7 Băi 18: DAL MOC KHOLD NAM 2009

Treng mặt Iiiẳng tạu đê Oxy, tìm tận hợp diĩm biểu diễn câc số phức z thỏa

mên điểu kiện |z -8-4iJ|-

Giải Dgtz=x+ yi (x,y c lŸ); suy raz— 3+4i Từ giả thiết, tả có:

=(x- 3) +(y +4

:—4) bân kinh R =2 286

Cty TNHA MT¥ DVVWH Khang Vist

Ai 19: CAG ĐẲNG KHOLA, H,D NĂM 2040

Cho số nhức z thỏa mên (Ï + i 0z=8+i+(+2Ùz Tìm phẩn thực vă vă

pha nắn của z Giải Ta cố: (+) ˆ(2— D2=8+i+(1+202

<> (2i1(2 - Iz—(L+2jz~§+iz|di+2— 1- 2iI=8+i

-¡ï (8+i)(l-2i — l1 ~ — lêi

devi Ñti ,LÚU-Ụ 6nI1+5 10-5 2Ô

142i a 5

Phan thie eiia z lă 3, Phẩn ảo của z lă =3,

ni 20: CAO DANG KHOI A, B, D NAM 2009

= eae

Gidi phuting trình san trín tận hạn câc số phức: Sẻ bi cnib) =4-2i |

#41 —3- Ti £ 2 ea ắ tt Tu t: c =#-2 â@z(4130)2+đ1+ Ti =0 (vizz#)) ai A=(4+312)~- 4(1 4 T=3— 4 =(2— si #3402 <i ‘ i-2-i Vậy: tip 5) Có — Âangordtbug âc 2 54 ro dy i Ket hyp vi diĩu kign nĩn phuing trinh cd nghiĩm x= 3 +i; x= 14 2

i 21: 'TNPT NAM 2009

Giải phương trình (8): 8z ~ 4z + L= Ư trín tập số phức Giải

_—_]

Ta có: Â = 16 — 32 =—16 = (4i)

Do đó, nhường trình đê cho có 2 nghiệm lă:

WN RNh cac vă: pote Tt fea db

Ve te 5⁄4 4 lo 4 4

lăi 22: TNET NĂM 2009

Giải phương trình 272— lz+ | =0 trín tập số nhức

Gidi

Tacĩ: A=i'- 8=-9 =(3i7',

Do đề, phưng trình đê cha có 2 nghiệm lă: LH 3t lo i=ôi dạy y= si vi te eet

4 4 +

llưủna dẫn giải GOBT ti cic DTOS Thin Ace — Pham Hĩng Dan Tin vor Toan

KH Ø#+g&» #¿ đi MŨ, L0GARIT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VĂ LOGARIT

A PHƯƠNG PHÂP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Bang 1: Dang cd ban: vdi az |

[b> >t} [texts Jog, b

Dang 2: Đưa về cùng cơ số: al! cât SP vụ

(1) <4 {x} = etx)

[a>0

® Nổi u thuy đổi: nị

es Ita —H[fix)—gox}] = 0 vˆ Vấn để I: a™ oped ® Nữu0Ư<u zÌ:

Dụng 3: Đặt ẩn nhụ: Đặtt= aŸ, (>0; giải phường tầnh c> ( mg x £(D=0 Dang 4: Đoân nghiệm vă chứng mình nghiệm đề đuy nhất,

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

i820i2 (ấn 26os 260007 J0024 561 Biểu kiện tổn tụi lag, f@x} lă } Soe

|fxi>0 [O<avl f(x)=li |tœ)=aP Dang 1; leg, Ocael

Dang 2: Dưa về cùng cơ số: log, f(x) = log, g(x) 4 gix) > D

f(x) = gix)

Dạng 3: Đặt ẩn phu

Đậtt= log¿x súp đó giải phương trình đại số theo L

Dạng $ Đoân nghiệm vă chứng mảnh nghiệm duy nhất

B DE THI Đăi 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011

Gidi nhương trình: lọg› (s- x }e logy (s lex+yvl—x )-? =ũ

2 Gidi

log; [8—êŠ}~logt (ÝE+x +vVI=x}~2=0 Điểu kiện: —1< x * 1

(x = R) |

Cly TNHH MTW DVVH Kheng Viet

Ls log; (§~x° ]=logs( lxx +vi=x]+2© B-x? =4(Vi+x +v1-x)] Co Ydi-lsx<l a hai vế cia (*) khong ami aĩn binh phương hai vế của (*) ta

oye: (*)22(8—x? Ï =telz+s=s? !Ìe (sx) =32(141-x*) Œ

Đặtt= VI—x? => Í= 1—x1= x?= | — Ở, (1) trả thănh: 2

(7+?) =32(1+t) coc 142-3214 1720

-tỈ+l§t~ 172=0 @(t~ Ƒ(Ỉ‡2t+ 1?)=0 te

_Vậy, phương trình đê cho câ một nghiệm x = 0 >ñũ

E

bi2: CAO DANG KHOI A, B, D NAM 2011

4F - 3,210 3-1 _AIxlh2~3z-3 soo zx age yeas _422'2-êx‹3 >ú

=(t- Địt

tae 2 [2 Giải bất phương trình 4* — 3,2 28-8 _ gin? tan

Giải =! ape n4 = 4.22007 teten „ 0 (1) Ro i atl = qvx —2v-1—x >Ũ(Œ9

“()thanb 1 31-42 > Deo 4t'4 3t~ 1<0e9 “ered :

A

4

3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010

=m — 3 ae as

Gidi phuting trinkh 4241Y812 44.98 — 42h12 J x 44-4 ig 2 py el

Giải

APT yon” 2 gE yd ay Diễu Kida sx 2-2

1o đó phương trình (*) có hai trutng hdp

= A —.~4v—4—nnCg=l (nhận)

Trang 38

Hường tản giải PDBT tĩ câc BTOG Toda hee — Phem Hĩng Danh, Trin vam Toan

QE Lon ao aged id x8 Be ve -2) a(x — 2) © (X-2)0 !2x+4)=———— bề vx+2x+2 x=2 (nhận) iG xian +4 oe (D vx+242 2 Nhận xết: Phương trình (l} cố: VT =xÌ:2xt4=(%x+lftr3x3; VP=—————sI vx+2+2

Suy ra phương trình (1) vũ nghiệm Vậy : (*) chỉ có hai nghiệm x = l; x = Z Hăi 4: CAO ĐẲNG KIIỐI A, B, D NĂM 2008

Giải phượng trình logŸQx + ]) ~ Blog; Vx +1+2=0

Giải logi(% +l)—-BluEa Jx+l+2=0 (I) Điều kiện x > -1

(@ logi(x ~l]—3lagafx~l)+2=0

lng;(x + l}=l x+l=2 x=l = = laga(x + l}=2 x+l=4 5=3

Bai §: BAL HOC KHOT A NAM 2008

Gili phursng trinh logo - (2x7 +x - D+ loge, (2x = 1 =4 Giải 0<2x-izl 3 +x-l> — 1 Rag LE #=x+lzl OE oF a xzl (2x-" >0 logy, -)(2x? +x =1)=log,,)(2x-1)" =4

s> logs, if2% — D(x + 1) + logy (2x = =4 so | + logs (x + l)+2l0gy+i(x— 11=4

1 1 Bắt: t=logx,-¡(x+ 1)=>log,.¡(2x=l)=—————=~ } &>„—IÍ } OE K+! logy (k+)) 1

2 L= Tâ có phường trình ẩn tÍÊ: 1+ t ipo œ&-10+2=f+2 ; 290

Gty ThHH MAY OWE Khang Wig

K=ữ (leai

Voi t=2 <> loge, (x + 1)=2 œ (2x T— IỀ=x + lẹp 5 x=> 4

Xu v 5

Nghiệm của nhưng trình lă: x= 2 vă x aoe ăi 6: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 _

Gidi phvfong trinh: logs (4* + 15.2" +27) +2log) 5 = ~~

Giải =a

Eiểu kiện: 4.2" - 3>0 Phương trình đê ¿ho tương đường với

2 Ỷ

Pat fh ee F (uai}

<4

Ta 2° > nín 2”=3 cox= log (thỏa mên điều kiện)

ầi 7: ĐẠI HỌC KHOI B NĂM 2007

Giải phương trình: t2 - l]" = (v2 +1j* =2 =0 Gadi f * 1 - =t(t>0), khi ude on trở Lhănh: Đặt (V2 =1] ˆ =L ít >U), khi đó phương trằnh trở thănh

Với t=v2T—L tụ cổx= 1l, Vđit=x2+l tạ cổx=—l, i8: PAT HOC KHOI D NAM 2006

2 2

Gidi phuting trinh ; 2% '* —4,2"° 42% 44-0 |

Giải Phương trình đê cho Lướng đương với:

Vay phuung trinh di cho cd hai nghiĩ@mx=0,x = 1,

2 3

| Giải phuUng trinh 28 ~ 2? =F" 23,

Hiting din qiai GOBT tf cde BTOG Toon hoo — Phem Hồng Danh, Trần Văn Tăn

Băi 9: ĐẠI HỌC KHOI A NAM 2006

Gidi phuting winh: 3.8* +4.12* -18* -2.27* =0 Gidi

2 3x 2 2x 2%

Phuting trink dĩ cho tidng ducing vai: 1š] +42) -G) -2=0 (1)

2h $542 Đặt L= (3) (L> 0), phương trình (1) trổ thănh 3 + đỄ—tL—2=0 «>(t+ 1 Œt—2) =0 c>t= = (z0 2 HĂ Với t= — tì |= | == hayx= 1 3 (3) 3 đêi 1: ĐỀ DỰ BỊ2

Giải phương trình: lozs (= ~4Ì=I~x

: Giải

Điểu kiện: 5*~4>0 (4) + Dễ thấy x= ! 1ă nghiệm của (1)

« VT: (x) = logs (s* ° 4) lă hầm số đồng biến ® VP: p(x) =1—x 1a ham sĩ nghịch hiến Do dĩ x = 1 lă nghiệm duy nhất của phương trình

Băi 11: Giải Đặt 1-2" 7% >0 z tr=-L đai) t=4 (nhận} AR TR TTR IE g == e P-3t-420 6 | mt Pax 2 2 Way 2 =2 > x°-x-2=0 ©@x=-Ìlvx=2 Rai 12: :

Cho phương trình lug‡x + xlugax ~l~Zm -1=0 (2): (m lă tham số) 1/ Giải phương trình {2) khả in = 2

2/Tìm m để phương trình (2) có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn |: : af

292 ty TNH+ MTV DỤVH Khâng Việt Giải

1J Khi m =2 thì phường trình (2) trở thănh lagix - vlegiX+1—5=0

Điều kiện x >0 Đặt L= vjlogix+1 > 1

» t=2 => logsx = 403 = xaa3

14x 3“ os Igbgxtig4d 1 <1 <2,

Phường trình (2) có íL nhất 1 nghiệm thuộc [x a]

elm =) +1-2= f(t cổ nghiệm re [1, 2]

Villing trĩn [1,2] nĩn yebt <> (I< 2m< 2) US ms 2,

⁄ Vấn để 2; BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VĂ LOGARIT A PHƯƠNG PHÂP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ gu? > 8s) (ly ôâ Nva>t(1) < fx) > g(x) ® NĩuOcacl: (lI) fx) <zfx) /a>Œanzl (a-D@œ)~gao)>0 e afŒ) „ sẽ) =|

Tổng quâi: = alts) „ agG? a>O (a~D[f(x)~gG]> 0 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT log, f(x) > log, g(x) (1) + Nếua>] scenes {>t F(x) > B(x) f(x} >0 a(x) > F(K) B.DE THI

Bai 1: DAT HOC KHOI B NAM 2008

aE | <0 | 4 | 2 x- 293 *đ Nu0<aô<l aes | x

Gidi bat phuong winh: logy; [is

luting in gidi CORT tif cic PTOG Than tae - Pham Hồng [lanh Trần Văn Taan

Giải 6 ee Bidu kin: | **4 ig & ty mh x+4 cc 2

Bất nhưng trình tưởng đương vdi fog, > loge Ặ FS | logy 3! \ (1) X+4 | ĩ 3 a ’ x x” - 5x - 3 si 18 opal MT thie gy “3 x+4 x+r4 W 2 (1) log, ~ x {2 =4 {<X < =3 hêy K> 8

Băi 2: BĂI HỌC KHỔI I? NĂM 2008

73

Giải bất phương trình: lan; HH ũ

= x Giải 2g 3 Biểu kiện: * 72442, 9 x 3 XỈ =3x~2

Bit phuvng tinh tuung Ging vidi log; —————— = log, 1 (1b 2 ` 3 2 ¬3 3.42 x 3Â 2n EF 3X42 5 LẠ: x TN t2 ng 2 : [Xx =4R+2 6g 2 ) x x (x? - 3x 42K >0 3 0<x<lvx>2 > (1ˆ =4x+2)x <0«<> rr x<0v2-vJ2<x<2+x2 x#U {2-2 W<lv2cxs2tv2,

Răi 3: ĐẠI HỌC KIIỐI A NĂM 2007

Giải bất phương trình: 2lega(4x—3) + log (2x+3)<2

3

Giải

(4x -3)ˆ 2v-.+*% Điều kiện; x > Bất phương trình đê cho <> log, <2

Kết hựp điểu kiện ta được nphiệm của bất nhường trình lă: i x.<3

ăi 4: ĐẠI HỌC KHỔI R NĂM 2/86

Giải bất phương trình: logz(4* +144)~ 4logs 2 < 1+ laga(2*7Í +1), cial

Gidi

Bất phương trình đê cho tương đương với

lugs(4" +144)— lags lỗ <14log,(2** +h (bh

(l7 log, (4* +144) < logs 164 logs 5+ logs(2*~ +1) > logs(4* +144) < logs(80(2"* + 13)

> 4¥ +144 < 80(2°? + 1) 4 - 20,2" +64<0 eeeP cldalex<4

1S: DE DU BỊ2

Giải phương tảnh: log, (5* -4] =1—x Giải

Diều kiện :5`~ 4>0 tu)

s5 Đểthấy x= | lă nghiệm của (1) ® VT:Nx)= log; (s* ~ 4) lô hăm số đồng biến

® VP:p(x) = | x lă hăm số nghịch biến

Do dĩ x = 118 npdiĩ¢m duy nhất của nhường trình hi Oi;

Giải bất phương tảnh: loạy loạx (v* - 72) £1

Gidi ma

[a axel

Điền kiện 49” —72>0

logy (* ~72]>0

=X > lopy73 Bat phucng trinh <> log, (9 - 72) ex (Vix>logy73>

Kết hứn vâi điển kiRn ta chức lăn 73x <2

Hướng đẫn giêi CUôT từ câ: BTQG Toản học - Phạm Hồng Dann, Trần Văn Toăn ⁄ˆ Vấn để 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VĂ LOGARIT

A.PHUGNG PHAP GIẢI

Thường sử dụng phương phâp biến đổi từng phương trình trong hệ, sau as | | dùng phương nhấp thế để tìm nghiệm,

B.ĐỂ THỊ

Bai 1: PATHOC KHOI B NAM 2010

log, (3y -1})=x Giải hệ phương trình: (x,ye l3)

4" +2¥ aay?

Giải

Điều kiện: 3y - l >0

laa;(3y-D=x — Íầy-l=2* [y~? „1 Ta cd ; =

48 42% =3y : cm * 2% 3y? 4" 42% =3y?

Bd 2+1 | zH Kủ = = Í 3 =: 3 = 3 = ia [304% +2*)>=¢2% +? = [2.47 +2%-7=0 [icine en = i =H 5 I (nhận) y=- ia 5 2 Hăi 2: ĐẠI HỌC KHOID NAM 2010

x? -4x +y+2= 2lags(x = 2]- log z y =0 Giải hệ nhưững trình: Giải x?—4x4y+2=0 (Ù:

aes 2)-log gy =0 (2)' Biểu kiĩn; x>2,y>0

(2) tx-2y co | w=2-—x N x =0 (loai} a re | 8 y=x-2: (esx? 3x = 009]

Cty TNHH MTV DVVH Kheng vist

a sd x= 1 (loaip đ v=2-x:(lâ=x -5x+4=0ô : x=4=y=-2(loal) Vậy hệ có một nphiệm Ƒ ` i an

Ăi 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009

logy {x? +y? ) =1+ log, (xy)

3x -YyP =81

Gidi Vâi điển kiện xy > Ú (*), hệ đê cho tưởng đương:

x-y te

4 a

[xt—xysy?-4 ly?-4 ly=#2

Kết hợp (*), hệ có nghiệm: (x; y) = (25 2) va (x; y) = [-2; -2) Mi 4: DAI HOC KHOI D NAM 2006

Chứng tĩnh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau câ nghiệm duy nhất: EŸ ~eŸ = In(F+x}—ln(I++*}

y-x=a

Giải hộ phương trình: (x,y =3)

Giải

Hệ đê cho có nghiệm duy nhất khi vă chỉ khi phương trÌnh (1) có nghiệm duy hất trong khoảng (—L; + =),

Xĩtham sĩ f(x) = e*** =e* +In(l +x}— In[l+a+x}) với x >—Ì Do fíx) liín tục trong khoảng (—1; +22) vă lim f(x)=-z, lim f(X)= 1#

x¬_I† r>+m

nín phương trình f{x) = 0 có nghiệm trong khoảng (— l¡ + 99),

1 1

MặtLkhâc: [(Œ%)=e”"-e*Y+—-———

l+x lI+ra+x

=£*(e*—I) % a >0, Va>-L

Oexylt+a+x) = F(x} đẳng biến trong khoảng (—1; + 0),

Suy ra phương trình fx) = 0 có nghiệm duy nhất trong khoảng (—l; + %)

Trang 39

Hướng dẫn giải GDBT từ cảc A106 Tuần ho - Phạm Hắng Danh, Trần Văn Tcăn

Băi 5S: DAI HỌC KHOI B NAM 2005 Vx-i+ ale —y=l

Giải hệ phương trình;

3logu (9x7) - log;yÌ =3

Gly TNHH MT%' DVVH Khang Vist

Tựa văo bằng biến thiín hệ có nghiệm c? =2 < m Băi 7: ĐỀ I3U BỊ I 1 logy (¥—x)—logy—=1 Giải hệ phương trình: 4 SE

Hướng đắn giải GDBT ti cĩ¢ HTOG Toda Age — Pham Hồng Danh, Trần Vin Toăn

KH Phagin td ts

a _ ` # ar

DAI SO TO HOP VA XAC SUAT

¥ Vandĩi: — SỬ DỤNG CÔNG THỨC Pạ,Ak,Ck

Bai 2: PAI HOC KHOI B NAM 2006

| A bling 20 lin sĩ tip can gốm 2 nhẫn tử của E - & p Ă

Cty TNH MT OVWH Khang Vist

Cho 14p bop A gdm n phần tử (n >4) Biết rằng số tập con gắm 4 phẫn tử vũa - Tìm k œ [1,2 n] sao cha số tận con nằm phần tử của A lă lớn nhất |

Giải Giải x +wˆ =25 "xả: MP:

[x-t+x2-y=l (1) EiEc viín) {re x2l : aii 4 A PHUGNG PHAP GIAI Số tập con k phần tử của tập hợp A bằng CẺ

„- Điểu kiệ L81174) REET! Pe a

| 3logy (9x2) log, y? =3 (2) <y¥s2 et 1 HOAN VỊ Ti gid thiĩt suy ra: C4 =20C2 <> n* -5n-234=Ocen=18 (vin 2 4),

; jest s3 I | ees Điều kiện Số hoân vị cda a phan td: 2, =n! 2 te 18-k ở

Thợ con(Dạ ie > logex = logy =y , Be >0 2 CHINH HOP: Ge pay ee sone Chs <Cig << Ch, > Chg > Cif >.> CI

ay ¥= —— [ „ Lae v~X mus Số chỉnh hap: A™ =n(n-1)(n—2) (n— it 18

x-I+v2~x=lœx 112-x+2vVx~D@=x) =I đo 4 ĐN Ôn Hă TRANG ei iia ic li Tí a, Vậy số tđp con gẩm k phẩn tử của Â lă lớn nhất khi vă chỉ khi k = 9, -

ôâ Jx=D[2x)=0â>x=l, =2, Lx? yeas x3 +yÌ =25 In SSS

Kết hợp với điểu kiện (*) hệ cả hai nghiĩm 1d GG y) = (1s 1) a Os yy = (2) 2) 4 : ieee ekg Tinh gid td bid thie M = Anu t3 „ biết rừn Băi 6: DỄ DỰ BỊ L- ĐẠI HỌC KHÔI D NĂM 2005 l›=zz ly= +x x=3 ae ey mất - bade nm vi n,m nguyễn dương ‡ Ol gi

> * nhụ - +

Tìm m để hệ nhưng trình sau cớ nghiệm: ko |e 16 2 = t le Đ â 40 y= ae m _ đín-lj{đ~—3) (a—m +l) | Cha +2Cn‹z +2Ci ya + ch, =149

[gtxIVH _giHĨC] ¿200562005 I) See: Lae apace ín lă số nguyín dương, AỈ lă số chỉnh hợp chập K của n phần tử vă CE lă số tổ

1a +2)x-2m4320 (2) pas Bs mat hợp chập k cia n phan 1)

Giải =5yÌ =Ay " ml(a-m)l Giải

x4] Điều kiện: n 2 3

Điều kiện x >~l SE ee « Biểu biện 1” = ™ a cd es THẺ cath cee aa

Ta có : (1) ‘aed: (1) ER 24 20051 =x) TH "ett a | n,m nguyĩn dung ô có Cầu +2Chy2 + 2Ch 43 + Chae =

Gali aoa cate ' in+I}! ght, tn =3)! Hy (na +4)! =149

nín (1) đúng %% c[—I; l] x “ y a 2 mấy? - sy? -dy= ae a lâ El “ L wa Phat = eon’ +4n-45=0 & a=5, n=

w XE x > bap Du Dae RHR _ gost > O > 2005(1—x) an ars y=2* ee enon : Sau TT ng Teenie 61 5! ì

nín (1) hiển nhiín sai, Do để (1) @~1 < # €1 tt So Up her con cin Win bap a pike EIR 2 ys 5 Vin nguyĩn duting nín n = 5 suy ra M= ~Ĩ “TỶ -4L_—: _ a =i:

nh cu n0 y=2 * * Băi 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2068 Tìm số nguyín n lồn hdn | thỏa mên đẳng thức: 2P + 6A2 — PA? =12

—2x+1 v ý Baio: 5

X_=^*”xm (vìx-2<0)có nghiệm xen Hi9: DE DY RT | TH Tổ Fy Chứng mảnh rằng n+l = 4 1 Il (Pglă số hoân vị của n phẩu tử vă ÂF Tă số chỉnh hợp chập k cöa n phẫn tử)

x-4lyl+3= : Set foe :

x? -2x43 Giải hệ phường trìnlu: | Sire ben Tzử “lý n+2 ce cht! ck

FT

Xĩt him fo =< =1¡1 OR ye b4 _ ed Fae My a8 i 1

PHIẾU th R = a (n, k lă câc số nguyễn dưinr, ken, CẶ lă số tổ hợn chập k của a phần tử) "NHAN oN TH Tu RE a:

= saa 22nwñ————-nI———=

ree OND Pix) e0e> x=2bV3 Biase Ca Giải Ga ee

yet Ta có: ntif 1 \ ma Ga n+l kln+1=k}!~(K+l}a—k)t 6—nl)=2(6—n!}= 0 e3 (6 —n† (= nt -2|=0 )

K_ |—z =I 2:03 1 2 243 +0 (2) <> logax = logay” <> x= y*, Thay x = yỶ văo (1) ta được : yŸ — 4ly| + 3= mg aay] n+2` (n+1)! n ín eS ee a {n-2)1

f(x) + ũ = _ = 0 + ae Pree ; sdb pa

— F = j= cod a (do ye) Ö1 -———— co i l-k)+i{k+1 -kltn-K]M! =—- I nl=6 n=

sẽ = Viy hĩ od 2 cilp nghiĩm (15 1) va (9; 3), ôy hệ png đê (n- 2) “

298 300 301

Hiking din giải PHBT lử câc B136 Teân hạc - Phạm Hồng Danh, Trấn Văn Toăn Chy TNHHH IATY DAH Khang việt Hung dễ3 giả: IDBT từ cẻa đTf Tôn hạt - Phạm HẺng Danh, Trấn Văn Toăn - Cty TNHH MTV D/H Khanh Việt

¥ Vain dĩ 2: PHĨP ĐẾM VĂ XÂC SUẤT B BE THI Giải ¥ Vĩin dĩ 3: NHỊ THỨC NIUTƠN

A.PHUGNG PHÂP GIẢI [1 NGUYÍN TẮC ĐẾM 2 tiến cố A vă B Ơ có m câch xảy ca B câ n câch xảy ra 3 biển cổ A vă B cùng xẩy ra có m xn câch

Biến cố A haặc B xêy ra cứ m + n câch

®- Chú ý: Nguyín tấc trín câ thể ân dụng cho nhiều biến cố,

2 CHỦ Ÿ

+ Nếu thay đổi vị trí mă hiến cổ thay đổi ta có một hôn vị hoặc một chỉnh hợp

«- Nếu thay đổi vị trí mă biến cố không đổi ta có một tổ hợp XÂC SUẤT

1 KHÔNG GIAN MẪU ;

Khủng gian mẫu lă tập hợp tất cả câc kết quả có thể xảy ra

Biến cổ A lă mật tập con của không gian mẫu

2 XÂC SUẤT

của biến cổ A, n tă số nhđr tử của không gian mẫu Xâc suất để biến cố A xđy ra

L

p(Â)=— nl 3 CAC CONG THUC

— Không gian mẫu E lă biến cố chile chấn xảy ra: p(E) = 1 ~_ Biến cố Øï lô biến cố không thể xảy ra; (#2) =

Biến cố kĩo theo Ă => BE lă biến cố A xảy ra thì biến cố B xdy rar ACB

PCA) < p(B)

~ AWB Ii biĩn of A hay B xdy ra, p(A WU BY = pCa) + p(B) - —_ÂñB lă biến cổ Â vă B cùng xđy ra

— Biến cố A vă B đối lận nếu không cùng xđy ra APB=2; n(‹ÂAnnB)=0; p(ÂAv'BỊ =n(A)I +p(B)

— Biến cố A lă đối lập của Â: p(Ô }= L~ p(A)

— Xâc xuất có điểu kiện;

plAw B)

biến cố A xảy ra với điểu kiện biĩn cd B dd xy ra: p(A|B) HN ụ hay p(A¬ Bì = p(Bj.p(A |)

vẫn không đổi: p(A | B)=p(Â)

plAn B) = plAjp( By

302

Nếu câc phẩn tử của không gian mẫn có cùng khả năng xđy ra, p lă số phđn tử

— Biến cố A vă B dộc lập nếu biến cố B có xảy ra hay khơng thì xâc suit cia A

Tăi 1: BĂI HỌC KHỐI DNAM 2006 Le

| Bĩithanh oiĩo xung kich cia mOt tewOng phd thong cd 12 hye sinh, pĩm § hoe |

sinh lớp Ă, + học sinh lớp BH vă 3 học sinh lớp C

Cần chọn 4 học sinh ởi lăm nhiệm vụ, sao cho 4 hye sinh năy thuộc không | quâ 2 trong 3 lớp trín, Hồi câ bao nhiíu câch chụn như vậy?

Giat

Số câch chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đê cho lă Ch, = 499 Số cúch chọn 4 hạc sinh mă mỗi lập cổ ít nhất một em được tính như sau; — Lớp A có 2 học sinh, câc lớn B, C mỗi lớp có I học sinh Số câch chon lă:

CẬ.C].C] =120

-— Lĩp B cũ2 học sinh, câc lâp C, A triỗi lớp có 1 học sinh, Số câch chụa lơ;

C1.C2.CÌ =90

—_ Lúp C có 2 học sinh, câc lắp A, B mỗi lớp có l học sinh Số câch chọn lă:

Cš.C1.CŸ = 60

Số câch chọn 4 học sinh mă mỗi lớn có ít nhất một học sinh lă:

| 120 +90 + 61 =27U,

Vậy số câch chạn phải tầm lă 485 — 270 = 225,

Ai 2: PAL HOC KHOIB NAM 2005 :

Ỉ Một đội thunh niễn tình nguyện có 13 người, gồm I2 nam vă 3 nữ, [fải có bạn nhiíu câch nhên cẳng đội thanh niín tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sạo cho mỗi tỉnh có 4 nam vă 1 nữ?

Gidi

C5 C\C}, cach phđn cơng cũu thanh niín tỉnh nguyện về tỉnh thí nhất, Với mỗi câch phđn công câc thanh niín tình nguyện về tỉnh thứ nhất thì cố

C}C7 câch phđn công thunh niễa nh nguyện về tỉnh thứ hai,

Với mỗi câch nhên cẳag câc tbanh niễn ủnh nguyện về tỉnh thứ nhất vă tỉnh thử

tai thì câ C|C{ câch phđn cơng thanh niín tình nguyện về tỉnh thứ ba

Số câch phđn công thunh niều nh nguyện về 3 tỉnh thỏa mên yíu cầu băi tnần

ù: C¡.Cỷ,.CÌ.Cÿ.CÌC} =207900câch

Băi 3: =

| Trong một mỗn học, thấy giâo có 30 cđu hỏi khâc nhan nểm 5 cđu hải khó, LŨ cấu hỏi trung bình vă L§ cđu hỏi đễ, Từ 30 cđu hội đâ có thể lận được buo nhiíu

để kiểun tra, mỗi để gỗm 5 cầu hỏi khâc nhau, sao cho trung indi dĩ nhất thiết

|

Có 3 trường hợp xđy ra

« Trường hợp l: 2 đễ + ltrig hình + 2 khó: C?sCiCš = 10.500

«Ị _ Trường hợp 2: 2 dễ + 2 trung bình + I khổ: ca Cas = 23.625 « Trường hợp 3: 3dễ + 1 trong bình + 1 khổ: Cỉ;C|yC) =22750

Theo qui tắc cộng ta có: C?SC|,C? + C?CCÿ + Cỉ:ClạC! = 56875 để

Băi 4:

Cho da giâc đều AIAa

rằng số tam giâc có câc đỉnh lă 3 trong 2n diĩm Aj, Aa,

số bình chữ nhật có câc đỉnh lă 4 trong 2n điểm Ai, Ay Giải

+ Số tam giâc thỏa mên để băi lă Cặa

«Số đường chĩo qua tđm cưỡng tròn lă n, cứ 2 đường chĩo qua tđm thì cố mội hình chữ nhật suy ra ta có Cỷ hình chữ nhật

Theo gid thiĩtta co C3, =2002 <a? -9n+8-0

ô&&đn=8 Vn=l (loi) Kt luận n=8

Băi ê:

Đội tuyển hục sinh giỏi của một trường gồm IÑ cm, trong đó có 7 học sink khối 12, 6 học sinh khối 1Í vă 5 học sinh khối 10 Hỏi có bao nhiều câch cử § học sinh trong đội đi dự trại hề sao cho mỗi khối có Ít nhất một em được chụn

¿na {n > 2, n nguyín) nội tiếp đường tròn (O}, biết Az„ nhiều gấp 20 lần A¿n Tìm n, Giải

5 Số câch chọn 8 học sinh từ E8 học sinh của đội tuyển lă;

18! ch, =—— RHO! = 43758 efich

«_ Số câch chọn 8 học sinh chỉ gồm có hai khối lă:

Số câch chọn § học sinh khối 12 vă 11 lă CÏ; Số câch chọn 8 hạc sinh khối 11 vă 10 Ch Số câch chọn 8 học sinh từ khối 10 vă 12 lă Cỉ› ø Số cích chọn Lhco ycbi: 43738 — (ch +cH, + ch) =41811 câch A.PHƯƠNG PHÂP GIẢI NHỊ THỨC NIUTƠN: +Cha™ Tụ ~, ~ Cập? Chị §: Số mũ của a lầng dẫn, số m0 b giảm dẫn có tổng bằng n Cúu hộ số đối xứng: CỊ' =C¬m (a+b)?= Cla"

Tam giâc Pascal; 1 n=0

th 1 nel | 2 1 n=2

1 5 3 1 nes

_—" _ Giựứ ý: ưu văo bằng Pascal 1a of thĩ viết ngay được khai triển Niutdn

B DE THI

ăi 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NAM 2008

Cho khai triển (I + 3X)” = tụ + ơIX + +a„*” trong đó n e NỈ vă câc hệ số aụ,

8 & ĩl ĩ,

too Oy the mda hĩ thite ay + ste +1 = 4096 Tìm số lớn nhất Lrong cúc số

z fy, i, „ 8,

Giải Từ khui tri€ns (1 = 2x)" = ay 4 ayx to + age”

Số hạng tổng quât lă C],„2* xF ke N,D<k< 12)

>> hệ số lổng quât lă ay -2*Ch: Axa =2! ‘eat

ty <Dp,¡ © 25012 <2 ch! 2k 12! <;kH 12! "k!l2—k)! '(K+112—k —1)I «k+1<24-3ke ke Mă ke Ñ Do đó; nạ < dụ < 3a < < dụ Tưởng tự: ay > tee SKS? Do đồ; ay > ag > > aya

O ay, ay, —, aig Ar ay = 2 Rot) = 126720

Trang 40

_Huỡng dẫn g ải CDBT tũ cấp BT3ñ Teản hạo ~ Phạm Hồng Danh, Trần Văn Toản `

Băi 2: ĐẠI HỌC KHIỐI D2 NĂM 2008

Tìm số nguyễn dương n thỏa mên hệ thức CẢ, + Cả, ~ + (C} lă số tổ bợn chập k của n phđn tử) Giải GÌ C23001 °£3048 (ỞI x¿n~| _ ape eg! 9648 Ta cd: (L+x)" = CS, +Chyx + CHa + C30 CH | + Ctx?

Vi x= 1 thay văo (*) ta được:

2? =CẼ, +], + Cần ~ + Cập + Cận ih

Với x=—l Lhay vău (Í) ta due:

0=Cj, —Cju + Cầu ~ Cầu ~ Cận + Cần (2)

Lấy (1) trữ (2) ta được:2”" ziti Si cau wie LÌ=4096=2!2 c>n =6

Băi 3: ĐẠI HỌC KHỔI Â NĂM 2007

Chứng minh rằng: del tig S013 2A0 ae peachy Can te Canta Cine Tae

(n lă số nguyen dong, C* 1a si tổ hợp chập k của n phẩn tử)

[ Tìm hệ số của x” trong khai triển thănh đa thức của: x(1 ~2&}` + x”(1 + 3x)" |

Gidi

Ta có:

(t+ xF 2, 40) x= te 1-29 el! TC xa cae xy" - ap sch xt C8? +t CR) te I+x)” 20 -q— in ! '

= jos J = SỈ dự, Cua +Ònx)~C1 XÊ +, + CỔA Ty dx

tl ñ I q1+x)2! + (I=x3 “| : gin _y I 20 on E Tx) TOW" oy i 2 22n+1) hạ, — 2n+1 SẺ M I [CLx+củx" +Cinx +, + Cập 'x2"”! x fl xt og xf ana xt } “2 chđu ; + Gang to Ean

ct

1 Ly Í |

“Củ +a Củ tạ Cđu + CN 2)

Ti (1) v4 (2) ta có điều phẩi chứng mình

Bai 6: DAL HOC KHGLA NAM 2006

(tý TNHH MTV DƯVH Khang Vật

3ùi 4: DẠI HỌC KHOIB NAM 2007

Tìm hệ số của số hạng chứa x! rong khai triển nhị thức Nintdn của (2 + x)" biết — 35t —351CI +38-2C- 3595) + ‡(—DUCU «2048

(n lă số nguyễn dưưng, CỲ lă số tổ hợp chập k của n nhẫn từ) Giải

+ +Í—=ÙD*C]đ =(3- ` =2”

Tạ có: 3 CÍ —3n*Let ¡ gms2c2 _ Từ giả thiết suy ra n= l1

Hệ số của số hạng chita x!" trong khai triển Niutdn của (2 + x)! lă:C|Ủ 2Ì =22

18: ĐẠI HỌC KHỐID NĂM 2007

Giải Hệ số của x” trong khai triểu của x(1 — 2x) lă (—2)!, CỆ Liệ số của x” Irong khai triển của x2(1 + 3x]! lă 3` Cio

Hệ số của x” trone khải triển của x(I — 2x)” + xŸ(1 + 3x})'" lă;

(~2)°C§ +3” Củ, =3320

Tìm hệ số của số hạng chứa x”” trong khai triển nhị thức Niutơn của

# \n

l ;

& \ x" | bit ring Chis + C31 tot Ch S29 |

(n nguyín dương, ce lă số tổ hợp chập k của n phđn tử)

(iufi

Chu + Chau $e Clay =o (Chee TT \ intl +.~+ HỆ (2), Từ khai triển nhị thức Xiutdn ella (1+ 17" suy ra:

Cđn +Cin¿l >e> Cẩm =(1+ 1700! =2! G)

Từ (1), (2) về (3) suy ra: 32 = 37" hayn = 10, Wk ok Wo 7 * Tact: [aa ii “Secs [x *] (x i ae

kao

Hệ số cầu x” lă Ch, vei kthda maa: Lik-40=26 ek =G,

Vậy hệ số cửa số hạng chứa x” lă : Cũn =210

307

Huding dẫn giải GDDT từ câo HTQG Toân tục ~ Phạm Hêng Darh, Trần VÔn Toăn Cty TRHH AT DVVH Khăng Việt

Hăi 7: ĐẠI HỌC KHÔI A NĂM 2005 | Giải

“Tìm số nguyễn dưưng n sao cho: gối (n+4)t (n+3)!

ch hổ lộ SẼ ted dn pO ta aes Coma — Chg = 7(0+ 3) 2 Aa =7(n+3) Căng —2-2Cjn.| #3-2° Cone 42 Cong tee tm 4.2 Côn, = 2095 (a~1) ni3!

2 (n+ 3) (3n-36)=0 & n= l3

vir (4-8) =F ct 654]

CCƑ lă số tổ hợp chập k của na phẩn tử )

Giải

Ta có: (+ vn = ia + Chee Caine +Cju + Che tn+l wx

Dạa hăm hai vế ta ed: ký SE

(n+ (14 x)" = Chay + 2CẬa jx + ICR IA? tt 20+ DCH Ve eR Cho {x>} si] =x” Wxv0e» ca nicked

Thúy x= -2 ta cổ: `

CÌ,s¡—2.2C8, „| +.3.27C7,„¡ — 4.2C3n ¡ + +(2n+ 1k2" Cậyj =2n - | Vậy hệ số của xỶ trong khai triển bâ + để : lă Củ =495,

`x

Thco giả thiết ta có 2n +-1 = 2005 =n = 1002,

Hăi 8:

| mm hệ số của x” trong khai triển thănh đa thức của [1 +x? {l- xj] |

Giải a 1+Cjx?(1—x)+Cẩx" Tăi 1H: Chủ n lă số nguyín đương Tính tổng: a2 3 cc văn $C +t (-x}Ỉ+ckế(1<x}~ + +0x'#(1- x} 3y6(1—x}” vă Cẩx (I— x} 1+z?(1~x) |*= (CƑ 1ă số tổ hợp chập k của n phđn tử) Giải =O 2x? ++ ctxt ie 8 fe 3

Số hạng chứa x” trong khui triển chỉ cứ trong C Xĩt (i fs x)

Suy ra hệ số của xŠ lă 3C¡ +C§ = 238

Băi9: = > Í+x)*sx= fick + che + cla? aa 4 2

'Tìm câc số hạng khơng chứa x trong khai triển nhị thức Niutdn của i Pr 3E z me (+x) a+ |2 Wx+—=| với x>0 , A so aX vk 3 ae =|x+Ẳ as Ey 1 bạn „m1 _n! a 22 = 1 = 2-1 c4 gue ={ — > a= cl se °

wed) Socal (g} Bar a M12 mg ng

ne Ta ger]

Với n lă số nguyễn dương, gọi a2„-¡ lă bệ số của Kì Fong a khai triển thănh da ; thức của: (x? + ox +2)" Tìm ndĩ a3,-3=26n Giải n ñ eh„n-] a k -2k-h = › Ca ak ` Chựnhạh _ > > ckekganee l k=U b= 2 Pe 2 1 [x +1) (x 12) k=U h=0 YchL œ32k~h=3=>k=h=l hay (k=0văh=3) => uạy ý =2C|C| +22CỆCa =26n => n=ê,

Số hạng không chứa x ứng với ia es Oe 28-dk-Jke0 SG k=4

Ẻ ye

ố 4a xl Ch =—_ =35 Số hạng không chứa x lă C+ = Siâi 35

Băi 10: _

Tùm hệ số của số hạng chứa x” trong khuú triển nhị thức Xiutdn của A

[5 + đề) biết rằng CỊ1 =Cn¿+ = 7(1+3}

(n lă số nguyín dương, x >1, CƑ lă số tổ hợp chặp k của n phđn tử] |

3, 308

Fixing dan gia GOAT rt eae OTC Todr too = Pham Hĩng Danh, Tdn Ven Toăn Rails:

Cho khai triển nhị thức:

AI # „ý KHÍ] tj xt "ÌP g

(, 2 49 } “Cal, 2 Ì +n| 2 ay (2}*-:-+

CS ia) - als)

(0 14 số nguyín dương) Biết rằng trong khai triển đó CĂ =5CÌ vă số hạng | thứ tư hằng 20a Tìm n va x

Giải

- ot Tacĩ C3 = 5c! si Juez nas

- & n=7 V¥ n= -4 floai

la-2)in-p=30 ~ * h2 san

Số hụng thứ tư bằng 2Uu nền La có c5 st (, 4): =140

eo P2422 ox- Bai 14:

[ Tim s nguyễn dương n sao chọ CŨ a +ÂC? ¡

Giải + +2"Cñ =243 (® Tả có (I1 x)” =CĐ +xC| +x?Cj ~ +x5CP (*đ) Th x =2 văo (* *) 1a có: (1+2)? =C¡ +2Cj +4C? Bai 15:

Giả sử n lă số nguyễn đương vă (+ x)” ~ gụ cđX + dax + La XÍ+ +ay x"

“2 c@®>x=4, et DCR = 243, Ù \ 2 Ci +20, +4C 44 2"C = 2435 3"S 249 @ n=3 đ | 8E _ aku

Biết rằng tổn tai số k nguyễn (1 # k# n— l) sao cho ‘

9 24

Hêy tính n

Giải

Tả có: (Ï + X)” = tụ + ox tagx? + tax’ eo tax” k~i 4 CF et yy Set = Bk = 2 2 eae 2 9 2 k - 7 cy er! _2n t2 (3 y _''2(n-k-1)=9% Re ch =4 = "|S : l5(a- k)=8(k+1) _ n8 9 24 11 >3 — 8= 2n + 2 + n = lũ 310 Mue Lye

huyĩn dĩ t: KHAO SAT HAMSO

Vấn để 1: Giới hạn của hầm số Van dĩ 2: Tỉnh chất đơn điệu của hăm số

Vấn để 3: Cực trị của hă m số po

Vấn để 4: Giâ trị lấn nhất vă nhỏ nhất của hầm nat

Vấn để 5: Điểm uốn của đỗ thị băm số

Vấn để 6: Đường tiệm cận của đỗ thị hăm số Vấn để 7: Khảo sât sự biến thiín vă vẽ để thị hăm số

Vấn để 8: Dùng đổ thị hiện luận số nghiệm phương trình

Vấn để 9: Đề thị của hăm số chứa trị tuyệt đối - i

Van dĩ 10: Ti€p tuyến của đỗ tid hăm số : 128ssbadlasarississeevzcÐQ Van dĩ 11; Sự tương giao của hai đổ thị

Vấn để I2: Tính chất đối xỨng -cecceeeiccieseerreee

Chuyín để 2: LUGNG GIAC

Win dĩ 1: Phương trình lượng giâc xen te

Vấn để 2: Giải phương trình lượng giâc t trín một ith

Vấn để 3: Điều kiện có nhhiệm của phương trình lượng giâc

Vấn để 4: Băi tôn vỀ lam BÌÂC,u - «<< ccccetirexrrrrrrrrrrsrieiirerre

'Chuyín để 3: ĐẠI SỐ 97

Vấn để I: Phường trình chứa căn .evsseeiiaarrrirererereaeee TT

Vấn để 2; Bất phương trình chứa cên oc-ccceseirerrrriee

Vấn để 3: Hệ phương trình mene Vio dĩ 4: Phuong trình, hệ suiting trình bất sng

t†hH bó chứa than Số s.âaesseesieaeseeisdgdoeseeaodzriei LE

Chuyín dĩ 4: TÍCH DIỆP 9s laereraDnsm-TTAIIREE

Vấn để 1: Hiến đổi về tổng - hiệu câc sth afin 6 oo ban song Vấn để 2; Tính ch nhđn hằng phương phấp đổi biến số : :~- 2

Vấn để 3: Tính tích phđn bằng phương phâp tích phđn từng phẩn

Vấn để 4: Tính tích phđn bằng phương phấp phối hợp

Định dạng
Số trang	40
Dung lượng	45,88 MB