Đại số và liên thông trên đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH DƯƠNG THỊ HOA ĐẠI SỐ VÀ LIÊN THÔNG TRÊN ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH DƯƠNG THỊ HOA ĐẠI SỐ VÀ LIÊN THÔNG TRÊN ĐẠI SỐ Chun ngành: HÌNH HỌC VÀ TƠPƠ Mã số: 8.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Nghệ An - 2019 Lời cảm ơn Để hồn thành đề tài luận văn thạc sĩ cách hoàn chỉnh, bên cạnh nỗ lực cố gắng thân có hướng dẫn nhiệt tình q Thầy Cơ, động viên ủng hộ gia đình bạn bè suốt thời gian học tập, nghiên cứu thực luận văn thạc sĩ Chúng xin bày tỏ lịng kính trọng, biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang, người hết lòng giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Ngành Tốn học, phịng sau đại học thầy giáo chun ngành Hình học–Tơ Pơ quan tâm giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình học cao học Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình bạn bè ln bên cạnh động viên khích lệ tình thần q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, khiếm khuyết Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện Mục lục Trang Lời cảm ơn .1 Mục lục Lời mở đầu .3 Chương 1: Đại số đồng cấu đại số 1.1 Đại số thực 1.2 Đồng cấu đại số 15 Chương 2: Một số tính chất liên thông đại số 24 1.1 Đạo hàm đại số thực 24 1.2 Liên thông đại số 28 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Hình học đại số hình thành vào năm đầu kỷ XX Vào năm 1950, người trình bày lí thuyết liên thơng theo quan điểm Tốn học đại Ehresman Ơng trình bày liên thơng tuyến tính đa tạp đặc biệt liên thơng phân thớ Cơng trình nghiên cứu Ehresman phát triển nhiều nhà Toán học tên tuổi Kobayshi, Nomizu, Singer Lí thuyết liên thông công cụ hữu hiệu việc khảo sát độ cong, độ xoắn tính chất hình học khác mặt cong Năm 2010, nhà Toán học A.Ya.Sultanov có cơng trình nghiên cứu đạo hàm Lie liên thơng đại số, từ ứng dụng chúng vào việc xét độ cong, độ xoắn đại số giao hoán Trên sở kết nghiên cứu nhà Toán học A.Ya.Sultanov số tài liệu nghiên cứu vấn đề trên, hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang, chúng tơi tìm hiểu trình bày số khái niệm, tính chất liên thơng đại số Bởi luận văn mang tên: "Đại số liên thơng đại số” Tình hình nghiên cứu liên quan đến đề tài - Năm 1950, Ehresman người nghiên cứu trình bày lí thuyết liên thơng theo quan điểm Tốn học đại đa tạp đặc biệt liên thơng phân thớ - Năm 2010, nhà Tốn học A.Ya.Sultanov có cơng trình nghiên cứu đạo hàm Lie liên thơng đại số Mục đích nghiên cứu Trình bày khái niệm, tính chất đại số liên thông đại số Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn thể nội dung thông qua hai chương: Chương Đại số đồng cấu đại số Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất đại số thực, đồng cấu đại số Đây kiến thức để chuẩn bị cho việc trình bày chương Chương chia làm phần: 1.1 Đại số thực 1.2 Đồng cấu đại số Chương Một số tính chất liên thơng đại số Đây chương thể nội dung cốt lõi luận văn Trong chương này, trình bày định nghĩa, ví dụ tính chất liên thông đại số, đạo hàm đại số thực Chương chia làm phần: 2.1 Đạo hàm đại số 2.2 Liên thông đại số Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu số tính chất liên thông đại số - Phạm vi nghiên cứu tính chất mối quan hệ khái niệm trên; số ví dụ minh họa tính tốn đối tượng Phương pháp nghiên cứu - Dùng phương pháp nghiên cứu Hình học Tơpơ - Luận văn sử dụng số cơng cụ hình học vi phân giải tích hàm Giả thuyết khoa học - Bổ sung số tính chất đạo hàm đại số - Nghiên cứu số tính chất liên thông đại số Chương ĐẠI SỐ VÀ ĐỒNG CẤU ĐẠI SỐ Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất đại số, đại số đồng cấu đại số Nội dung chia làm phần: 1.1 Đại số thực 1.2 Đồng cấu đại số 1.1 Đại số thực Định nghĩa 1.1.1 G gọi đại số thực, G không gian véctơ R G trang bị phép tốn tích trong, là: G×G→G (a, b) → a.b thỏa mãn tiên đề sau: (1) (a + b).c = a.c + b.c; ∀a, b, c ∈ G, (2) (γa).b = γ(a.b); ∀a ∈ G; ∀γ ∈ R, (3) a.(b + c) = a.b + a.c; ∀a, b, c ∈ G, (4) a.(γb) = γ(a.b); ∀a ∈ G; ∀γ ∈ R Ví dụ 1.1.2 Giả sử M đa tạp khả vi thực n chiều F(M ) = f |f khả vi : M → R ; Khi G = F(M ) gọi đại số thực với phép toán sau: (1) (f + g) : M → R; x → f (x) + g(x); ∀f, g ∈ F(M ); ∀x ∈ M (2) (γf ) : R × M → R; (γ; f ) → γ.f ; ∀f ∈ F(M ); ∀γ ∈ G (3) f.g : F(M ).F(M ) → F(M ) (f, g)(x) → f (x).g(x); ∀f, g ∈ F(M ); ∀x ∈ M Thật vậy: +) G với phép toán (1) (2) lập thành không gian véctơ thực +) Ta kiểm tra tiên đề phép toán (3), ∀f, g, h ∈ G; ∀x ∈ M, ta có: • ((f + g).h)(x) = (f + g)(x).h(x) = (f (x) + g(x)).h(x) = f (x).h(x) + g(x).h(x) = (f.h)(x) + (g.h)(x) = (f.h + g.h)(x); ∀x ∈ M ⇒ (f + g).h = f.h + g.h; ∀f, g, h ∈ F(M ) • ((γf )g)(x) = (γf )(x).g(x) = γf (x).g(x) = γ(f.g)(x); ∀x ∈ M ⇒ (γf )g = γ(f.g); ∀γ ∈ R; ∀f, g, h ∈ F(M ) • (f (g + h))(x) = f (x).((g + h)(x)) = f (x).(g(x) + h(x)) = f (x).g(x) + f (x).h(x) = (f.g)(x) + (f.h)(x) = (f.g + f.h)(x); ∀x ∈ M ⇒ f.(g + h) = f.g + f.h; ∀f, g, h ∈ F(M ) • ((γf )g)(x) = (γf )(x).g(x) = γf (x).g(x) = γ(f.g)(x); ∀x ∈ M ⇒ (γf )g = γ(f.g); ∀γ ∈ R; ∀f, g ∈ F(M ) Do G đại số R theo (1), (2) G khơng gian véctơ thực nên kết hợp với (3) ta chứng minh G đại số R Giả sử V khơng gian véctơ thực, ta kí hiệu: End V = f |f tự đồng cấu tuyến tính : V → V ; Khi End V đại số thực với phép toán : (1) (a + b)(v) = a(v) + b(v); ∀a, b ∈ End V ; ∀v ∈ V (2) (γ.a).v = γ.a(v); ∀v ∈ V ; ∀γ ∈ R (3) (a ◦ b)(v) = a ◦ (b(v)); ∀a, b ∈ End V ; ∀v ∈ V Như ta biết, với phép tốn (1) (2) End V khơng gian véctơ thực Ta kiểm tra điều kiện phép toán (3), ∀a, b ∈ End V ; ∀v ∈ V , ta có: • ((a + b) ◦ c)(v) = (a + b)(c(v)) = a(c(v)) + b(c(v)) = (a ◦ c)(v) + (b ◦ c)(v); ∀v ∈ V ⇒ ((a + b) ◦ c)(v) = (a ◦ c)(v) + (b ◦ c)(v); ∀a, b, c ∈ End V • (γa) ◦ b(v) = (γa).(b(v)) = γ(a.(b(v))) = γ(a ◦ b)(v) ⇒ (γa) ◦ b(v) = γ(a ◦ b)(v); ∀γ ∈ R; ∀a, b ∈ End V • (a ◦ (b + c))(v) = a((b + c)(v)) = a(b(v) + c(v)) = a(b(v)) + a(c(v)) = (a ◦ b)(v) + (a ◦ c)(v); ∀v ∈ V ⇒ (a ◦ (b + c))(v) = (a ◦ b)(v) + (a ◦ c)(v); ∀a, b, c ∈ End V • (a ◦ (γb))(v) = (a(γb))(v) = γ(a(b(v))) 23 = g(f (a).f (b)) = g(f (a)).g(f (b)) = (g ◦ f )(a).(g ◦ f )(b) = h(a).h(b) Do đó, quan hệ ” ” quan hệ tương đương tập hợp số thực Nhận xét 1.2.10 Ta kí hiệu : Aut G= ϕ|ϕ đẳng cấu từ : G −→ G Khi đó, Aut G nhóm với phép tốn hợp thành Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA LIÊN THƠNG TRÊN ĐẠI SỐ Trong chương này, ta ln giả thiết G đại số thực, giao hoán, kết hợp có phần tử đơn vị e Nội dung chương bao gồm định nghĩa,ví dụ số tính chất liên thông đại số, đạo hàm liên thông đại số thực G Nội dung chia làm phần: 2.1 Đạo hàm đại số 2.2 Liên thơng tuyến tính đại số 2.1 Đạo hàm đại số Định nghĩa 2.1.1 Một ánh xạ X : G −→ G gọi phép đạo hàm G X thỏa mãn điều kiện sau: (1) X ánh xạ tuyến tính từ G −→ G (2) X(a.b) = X(a).b + a.X(b); ∀a, b ∈ G 24 25 X a G G X(a) Ví dụ 2.1.2 +) G = F(Rn ) +) X : F(Rn ) → F(Rn ) n ∂f ; ∂x i i=1 đó, X = X1 E1 + + Xn En f → X(f ) = Xi Chứng minh Thật vậy, ta có: n • X(f + g) = Xi i=1 n = ∂(f + g) ; ∂xi Xi ( i=1 n ∂g ∂f + ) ∂xi ∂xi n ∂f ∂g = + Xi Xi ∂xi i=1 ∂xi i=1 = X(f ) + X(g); ∀f, g ∈ G n • X(αf ) = Xi i=1 n = ∂(αf ) ; ∂xi Xi (α i=1 ∂f ) ∂xi n ∂f ∂xi i=1 = αX(f ); ∀f ∈ G; ∀α ∈ G =α Xi n • X(f.g) = Xi i=1 n = ∂(f.g) ; ∂xi Xi ( i=1 n = i=1 ∂f.g f.∂g + ) ∂xi ∂xi (∂f ).g Xi + ∂xi n Xi i=1 f.(∂g) ∂xi 26 = g.X(f ) + f.X(g); ∀f, g ∈ G Như vậy, X phép đạo hàm G = F(Rn ) Ta kí hiệu: D(G) = X|X phép đạo hàm G Ta có nhận xét mệnh đề sau: Nhận xét 2.1.3 a) X + Y phép đạo hàm G; ∀X, Y ∈ D(G) Thật vậy, ta có: • (X + Y )(a + b) = X(a + b) + Y (a + b) = X(a) + X(b) + Y (a) + Y (b) = X(a) + Y (a) + X(b) + Y (b) = (X + Y )(a) + (X + Y )(b); ∀a, b ∈ G; ∀X, Y ∈ D(G) • (X + Y )(αa) = X(αa) + Y (αa) = αX(a) + αY (a) = α(X + Y )(a); ∀a, b ∈ G; ∀X, Y ∈ D(G); ∀α ∈ R • (X + Y )(a.b) = X(a.b) + Y (a.b) = X(a).b + X(b).a + Y (a).b + a.Y (b) = b.(X(a) + Y (a)) + a.(X(b) + Y (b)) = b.((X + Y )(a)) + a.((X + Y )(b)); ∀a, b ∈ G; ∀X, Y ∈ D(G) Như vậy, X phép đạo hàm G = F(Rn ) b) αX phép đạo hàm G; α ∈ R Thật vậy, ta có: • (αX)(a + b) = α(X(a) + X(b)) = (αX)(a) + (αX)(b); ∀a, b ∈ G; ∀α ∈ R • (αX)(λa) = α(X(λa)) = λ(αX)(a); ∀a ∈ G; ∀α, λ ∈ R • (αX)(a.b) = α.X(ab) = α(X(a).b + a.X(b)) 27 = α(X(a).b) + α(a.X(b)) = (αX)(a).b + a.(αX)(b); ∀a, b ∈ G; ∀α ∈ R Mệnh đề 2.1.4 Với a ∈ G X ∈ D(G), ta xét: (a.X)(b) = a.(X(b)); ∀b ∈ G Khi đó, aX phép đạo hàm G Chứng minh Ta có: • (aX)(b + c) = a.(X(b + c)) = a(X(b) + X(c)) = a(X(b)) + a(X(c)) = (aX)(b) + (aX)(c); ∀b, c ∈ G • (aX)(αb) = a.(X(αb)) = a(αX(b)) = α.a(X(b)) = α.(aX)(b); ∀a, b ∈ G; ∀α ∈ R • (aX)(b.c) = a.(X(b.c)) = a(X(b).c + b.X(c)) = a.X(b).c + a.b.X(c) = ((aX)(b)).c + b.((aX)(c)); ∀a, b, c ∈ G ( Do G đại số giao hốn) Do đó, aX phép đạo hàm G Như vậy, từ Nhận xét (2.1.3) D(G) khơng gian véctơ thực từ Nhận xét (2.1.3(b)) kết hợp với Mệnh đề (2.1.4) D(G) môđun G Mệnh đề 2.1.5 (Xem [4]) Ta kí hiệu: [X, Y ] = X ◦ Y − Y ◦ X; X, Y ∈ D(G) Khi [X, Y ] ∈ D(G) Chứng minh Ta có: 28 • [X, Y ](a + b) = (X ◦ Y − Y ◦ X)(a + b) = X ◦ Y (a + b) − Y ◦ X(a + b) = X(Y (a + b)) − Y (X(a + b)) = X(Y (a) + Y (b)) − Y (X(a) + X(b)) = X(Y (a)) + X(Y (b)) − Y (X(a)) − Y (X(b)) = X ◦ Y (a) + X ◦ Y (b) − Y ◦ X(a) − Y ◦ X(b) = X ◦ Y (a) − Y ◦ X(a) + X ◦ Y (b) − Y ◦ X(b) = [X, Y ](a) + [X, Y ](b); ∀a, b ∈ G; X, Y ∈ D(G) • [X, Y ](αa) = (X ◦ Y − Y ◦ X)(αa) = X ◦ Y (αa) − Y ◦ X(αa) = X(Y (αa)) − Y (X(αa)) = αX(Y (a)) − αY (X(a)) = α(X ◦ Y (a) − Y ◦ X(a)) = α[X, Y ](a); ∀a ∈ G; X, Y ∈ D(G); ∀α ∈ R • [X, Y ](a.b) = (X ◦ Y − Y ◦ X)(a.b) = X ◦ Y (a.b) − Y ◦ X(a.b) = X(Y (a.b)) − Y (X(a.b)) = X(Y (a).b + a.Y (b)) − Y (X(a).b + a.X(b)) = X(Y (a).b) + X(a.Y (b)) − Y (X(a).b) − Y (a.X(b)) = X(Y (a)).b+Y (a).X(b)+X(a).Y (b)+a.X(Y (b))−Y (X(a)).b− X(a).Y (b) − Y (a).X(b) − a.Y (X(b)) = X(Y (a)).b + a.X(Y (b)) − Y (X(a)).b − a.Y (X(b)) = (X(Y (a)) − Y (X(a))).b + a.(X(Y (b)) − Y (X(b))) = ((X ◦ Y − Y ◦ X)(a)).b + a.((X ◦ Y − Y ◦ X)(b)); ∀a, b ∈ G; X, Y ∈ D(G) = [X, Y ](a).b + a.[X, Y ](b) Khi đó, [X, Y ] phép đạo hàm G 29 2.2 Liên thơng tuyến tính đại số Định nghĩa 2.2.1 Ánh xạ ∇ : D(G) × D(G) −→ D(G) (X, Y ) −→ ∇X Y , thỏa mãn điều kiện sau: (1) ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇Y Z; ∀X, Y, Z ∈ D(G), (2) ∇X+Y Z = ∇X Z + ∇Y Z; ∀X, Y, Z ∈ D(G), (3) ∇aX Y = a.∇X Y ; ∀X, Y ∈ D(G); ∀a ∈ G, (4) ∇X (aY ) = X(a)Y + a.∇X Y ; ∀X, Y ∈ D(G); ∀a ∈ G, gọi liên thơng tuyến tính đại số G Ví dụ 2.2.2 a) Giả sử G = F(Rn )= a|a khả vi : Rn −→ R ; D(G) = B(Rn ); (B(Rn ) tập hợp trường véctơ khả vi Rn ) Ta xét: ∇ : D(G) × D(G) −→ D(G) n (X, Y ) −→ ∇X Y = X[Yi ].Ei ; i=1 Ở đây, Ei trường mục tiêu tự nhiên Rn Y = Y1 E1 + Y2 E2 + + Yn En Khi đó, ∇ liên thơng tuyến tính G a R x Rn a(x) Thật vậy, ta kiểm tra ∇ thỏa mãn điều kiện liên thông tuyến tính G 30 n (1).∇X (Y + Z) = (X[Yi + Zi ].Ei ) i=1 n = (X[Yi ].Ei + X[Zi ].Ei ) i=1 n = n X[Yi ].Ei + i=1 X[Zi ].Ei i=1 = ∇X Y + ∇X Z; ∀X, Y, Z ∈ D(G) n (2).∇X+Y (Z) = (X + Y )[Zi ].Ei ) i=1 n = (X[Zi ].Ei + Y [Zi ].Ei ) i=1 n = n (X[Zi ].Ei ) + i=1 (Y [Zi ].Ei ) i=1 = ∇X Z + ∇Y Z; ∀X, Y, Z ∈ D(G) n (3).∇aX (Y ) = (aX)[Yi ].Ei ) i=1 n X[Yi ].Ei =a i=1 = a.∇X Y ; ∀X, Y, Z ∈ D(G); ∀a ∈ G n (4).∇X (aY ) = (X[aYi ].Ei ) i=1 n = (X(a).Yi + X[aYi ].Ei ) i=1 n = n X(a)Yi + a i=1 X[Yi ].Ei i=1 = X(a).Y + a∇X Y ; ∀X, Y ∈ D(G); ∀a ∈ G b) Giả sử đại số G = F(Rn ), ta có D(G) đại số G: ∇X Y = DX Y + N (X, Y ), N ánh xạ song tuyến tính: D(G) × D(G) −→ D(G) Khi đó, ∇ liên thơng tuyến tính G Thật vậy, ta kiểm tra ∇ thỏa mãn điều kiện liên thơng tuyến tính G (1) ∇X (Y + Z) = DX (Y + Z) + N (X, Y + Z) 31 = DX Y + DX Z + N (X, Y ) + N (X, Z) = DX Y + N (X, Y ) + DX Z + N (X, Z) = ∇X Y + ∇X Z; ∀X, Y, Z ∈ D(G) (2) ∇X+Z (Y ) = DX+Z (Y ) + N (X + Z, Y ) = DX Y + DZ Y + N (X, Y ) + N (Z, Y ) = DX Y + N (X, Y ) + DZ Y + N (Z, Y ) = ∇X Y + ∇Z Y ; ∀X, Y, Z ∈ D(G) (3) ∇aX (Y ) = DaX (Y ) + N (aX, Y ) = aDX Y + aN (X, Y ) = a(DX Y + N (X, Y )) = a∇X Y ; ∀X, Y, Z ∈ D(G); ∀a ∈ G (4) ∇X (aY ) = DX (aY ) + N (X, aY ) = X(a)Y + aDX Y + aN (X, Y ) = X(a)Y + a(DX Y + N (X, Y )) = X(a)Y + ∇X Y ; ∀X, Y, Z ∈ D(G); ∀a ∈ G Vậy ∇ liên thơng tuyến tính đại số G = F(Rn ) Mệnh đề 2.2.3 (Xem [2]) Giả sử ∇ liên thơng tuyến tính G a ∈ G Ta xét: a.∇ : D(G) × D(G) −→ D(G) (X, Y ) −→ (a∇)X Y = a(∇X Y ) Khi đó, a∇ liên thơng tuyến tính G Chứng minh Ta kiểm tra ∇ thỏa mãn điều kiện liên thơng tuyến tính G (1).(a∇)X (Y + Z) = a(∇X (Y + Z)) = a(∇X Y + ∇X Z) = a∇X Y + a∇X Z = (a∇)X Y + (a∇)X Z; ∀X, Y, Z ∈ D(G); ∀a ∈ G (2) (a∇)X+Y Z = a∇X+Y Z = a(∇X Z + ∇Y Z) 32 = a∇X Z + a∇Y Z = (a∇)X Z + (a∇)Y Z; ∀X, Y, Z ∈ D(G); ∀a ∈ G (3) (a∇)bX (Y ) = a∇bX Y = a.b(∇X Y ) = b.a(∇X Y ) = b.(a∇)X Y ; ∀X, Y ∈ D(G); ∀a ∈ G (4) (a∇)X (bY ) = a.∇X (bY ) = a.(X(b)Y + b.∇X Y ) = a.X(b)Y + a.b.∇X Y = a.X(b)Y + b.a.∇X Y = a.X(b)Y + b.(a∇)X Y ; ∀X, Y ∈ D(G); ∀a, b ∈ G Vậy a.∇ liên thơng tuyến tính G Mệnh đề 2.2.4 Giả sử ∇ liên thơng tuyến tính G Ta đặt :∇ : D(G) × D(G) −→ D(G) (X, Y ) −→ ∇X Y = ∇Y X + [X, Y ] Khi đó, ∇ liên thơng tuyến tính G Chứng minh Bây giờ, ta kiểm tra ∇ thỏa mãn điều kiện liên thơng tuyến tính (1) ∇X (Y + Z) = ∇Y +Z X + [X, Y + Z] = ∇Y X + ∇Z X + X ◦ (Y + Z) − (Y + Z) ◦ X = ∇Y X + ∇Z X + X ◦ Y + X ◦ Z − Y ◦ X − Z ◦ X = ∇Y X + X ◦ Y − Y ◦ X + ∇Z X + X ◦ Z − Z ◦ X = (∇Y X + [X, Y ]) + (∇Z X + [X, Z]) = ∇X Y + ∇X Z; ∀X, Y, Z ∈ D(G) (2) ∇X+Z Y = ∇Y (X + Z) + [X + Z, Y ] = ∇Y X + ∇Y Z + (X + Z) ◦ Y − Y ◦ (X + Z) = ∇Y X + ∇Y Z + X ◦ Y + Z ◦ Y − Y ◦ X − Y ◦ Z = ∇Y X + X ◦ Y − Y ◦ X + ∇Y Z + Z ◦ Y − Y ◦ Z = ∇Y X + [X, Y ] + ∇Y Z + [Z, Y ] 33 = ∇X Y + ∇Z Y ; ∀X, Y, Z ∈ D(G) (3) ∇aX Y = ∇Y (aX) + [aX, Y ] = Y (a)X + a∇Y X + (aX) ◦ Y − Y ◦ (aX) = Y (a)X + a∇Y X + a(X ◦ Y ) − a(Y ◦ X) − Y (a).X = a(∇Y X + X ◦ Y − Y ◦ X) = a(∇Y X + [X, Y ]); ∀X, Y, Z ∈ D(G); ∀a ∈ G = a∇X Y (4) ∇X (aY ) = ∇aY X + [X, aY ] = a∇Y X + X ◦ (aY ) − (aY ) ◦ X = a∇Y X + X(a).Y + a(X ◦ Y ) − a(Y ◦ X) = X(a).Y + a.(∇Y X + X ◦ Y − Y ◦ X) = X(a).Y + a∇X Y ; ∀X, Y, Z ∈ D(G); ∀a ∈ G Vậy ∇ liên thơng tuyến tính Mệnh đề 2.2.5 (Xem [4]) Giả sử ∇1 , ∇2 hai liên thơng tuyến tính G Khi đó: ∇ = a.∇1 + (e − a).∇2 ; a ∈ G liên thơng tuyến tính G Chứng minh Với ∀X, Y, X , Y ∈ D(G); ∀a, b ∈ G, ta kiểm tra điều kiện liên thơng tuyến tính: (1) ∇X (Y + Y ) = (a.∇1 + (e − a).∇2 )X (Y + Y ) = a.∇1X (Y + Y ) + (e − a).∇2X (Y + Y ) = a.∇1X Y + a.∇1X Y + (e − a).∇2X Y + (e − a).∇2X Y = a.∇1X Y + (e − a).∇2X Y + a.∇1X Y + (e − a).∇2X Y = (a.∇1 + (e − a).∇2 )X Y + (a.∇1 + (e − a).∇2 )X Y = ∇X Y + ∇ X Y (2) ∇X+X Y = (a.∇1 + (e − a).∇2 )X+X Y = a.∇1X+X Y + (e − a).∇2X+X Y = a.∇1X Y + a.∇1X Y + (e − a).∇2X Y + (e − a).∇2X Y = a.∇1X Y + (e − a).∇2X Y + a.∇1X Y + (e − a).∇2X Y = (a.∇1 + (e − a).∇2 )X Y + (a.∇1 + (e − a).∇2 )X Y 34 = ∇X Y + ∇X Y (3) ∇bX Y = (a.∇1 + (e − a).∇2 )bX Y = a.∇1bX Y + (e − a).∇2bX Y = a.b∇1X Y + (e − a).b.∇2X Y = b.(a∇1X Y + (e − a).∇2X Y ) = b.(a.∇1 + (e − a).∇2 )X Y = b.∇X Y (4) ∇X (bY ) = (a.∇1 + (e − a).∇2 )X (bY ) = a.∇1X (bY ) + (e − a).∇2X (bY ) = a(X(b)Y + b∇1X Y ) + (e − a).(X(b)Y + b.∇2X Y ) = (a + (e − a))(X(b)Y ) + b(a∇1X Y + (e − a).∇2X Y ) = X(b)Y + b(a∇1 + (e − a).∇2 )X Y = X(b)Y + b∇X Y Do đó, ∇ liên thơng tuyến tính đại số G Mệnh đề 2.2.6 Giả sử ∇i liên thơng tuyến tính đại số ∈ k G; ∀i = 1,¯.k Khi đó: Nếu ∇ = ∇i liên thơng tuyến tính G i=1 k = e i=1 Chứng minh Thật vậy, ta có: • ∇X (aY ) = X(a).Y + a.∇X Y ; ∀X, Y ∈ D(G) k ∇i )X (aY ) • ∇X (aY ) = ( i=1 k (∇iX (aY )) = i=1 k (X(a).Y + a.∇iX Y ) = i=1 k =( k ∇i )X Y ).X(a).Y + a.( i=1 i=1 (1) 35 k =( ).X(a).Y + a.∇X Y (2) i=1 k Từ (1) (2), ta có: = e i=1 Trong trường hợp k = ta có hệ sau: Hệ 2.2.7 Giả sử ∇1 ∇2 hai liên thơng tuyến tính G Ta đặt ∇ = a.∇1 + b.∇2 , đó: Nếu ∇ liên thơng tuyến tính a + b = e Chứng minh Do ∇ liên thơng tuyến tính ⇒ ∇X (cY ) = X(c).Y + c.∇X Y, (1) Mặt khác: ∇X (cY ) = (a.∇1 + b.∇2 )X (cY ) = (a.∇1 )X (cY ) + (b.∇2 )X (cY ) = a.X(c).Y + a.c.∇1X Y + b.X(c).Y + b.c.∇2X Y = (a + b).X(c).Y + c.(a.∇1 + b.∇2 )X Y = (a + b).X(c).Y + c.∇X Y, (2) Từ (1) (2) ta suy ra: X(c).Y = (a + b).X(c).Y ; Y ∈ D(G) =⇒ a + b = e Từ hệ ta suy ra: Tổng hai liên thơng tuyến tính ∇1 + ∇2 khơng liên thơng tuyến tính G.(e + e = e) Kết luận Trong luận văn này, thực nội dung sau đây: - Tập hợp chứng minh chi tiết mệnh đề đại số thực (Mệnh đề 1.1.8; Mệnh đề 1.2.7; ) - Chỉ số ví dụ nhận xét đồng cấu đại số (Ví dụ 1.1.2; Ví dụ 1.2.3 ) - Tập hợp chứng minh chi tiết mệnh đề đạo hàm liên thông đại số thực (Mệnh đề 2.1.5; Mệnh đề 2.2.3 ) - Chỉ số ví dụ nhận xét liên thơng đại số.(Ví dụ 2.1.2; Ví dụ 2.2.2 ) - Phát biểu chứng minh chi tiết mệnh đề (Mệnh đề 2.1.4; Mệnh đề 2.2.4; Mệnh đề 2.2.6) 36 Tài liệu tham khảo [1] Khu Quốc Anh (2003), Lý thuyết liên thơng hình học đại số, NXB Đại học Sư phạm [2] Nguyễn Quang Diệu (2011), Nhập môn đại số đều, NXB Đại học Sư phạm [3] Ngô Thúc Lanh (1997), Đại số tuyến tính, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Văn Nghị (2014), Luận văn thạc sĩ "Đạo hàm liên thông đại số ", NXB Đại Học Vinh [5] Nguyễn Hữu Quang (2005), Đa tạp khả vi, NXB Đại Học Vinh [6] Nguyễn Hữu Quang (2006), Bài giảng đại số Lie nhóm Lie, NXB Đại Học Vinh [7] Đồn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, NXB Giáo dục [8] A.Ya.Sultanov(2010), Derivations of linear algebras and linear connection, Journal of Mathematical sciences 37 ... 1: Đại số đồng cấu đại số 1.1 Đại số thực 1.2 Đồng cấu đại số 15 Chương 2: Một số tính chất liên thông đại số 24 1.1 Đạo hàm đại số thực 24 1.2 Liên thông đại số. .. chất liên thông đại số, đạo hàm đại số thực Chương chia làm phần: 2.1 Đạo hàm đại số 2.2 Liên thông đại số Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu số tính chất liên thông đại số -... số tính chất đạo hàm đại số 5 - Nghiên cứu số tính chất liên thơng đại số Chương ĐẠI SỐ VÀ ĐỒNG CẤU ĐẠI SỐ Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất đại số, đại số