Nghiên cứu ảnh hưởng của các nhiễu loạn nhỏ lên quá trình lan truyền soliton trong sợi quang

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA CÁC NHIỄU LOẠN NHỎ LÊN QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN SOLITON TRONG SỢI QUANG ĐOÀN THẾ NGÔ VINH LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ VINH 2007 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐOÀN THẾ NGÔ VINH NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA CÁC NHIỄU LOẠN NHỎ LÊN QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN SOLITON TRONG SỢI QUANG LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ Chuyên ngành: QUANG HỌC Mã số: 62.44.11.01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. VŨ NGỌC SÁU VINH 2007 2 Lời cảm ơn Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo TS.Vũ Ngọc Sáu đã hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo chuyên ngành Quang học trường Đại học Vinh đã giảng dạy và chỉ dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình và người thân đã động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn này. Vinh, tháng 9 năm 2007. Tác giả Đoàn Thế Ngô Vinh 3 Mục lục Mở đầu 1 Chương 1 Sự lan truyền xung trong sợi quang 3 1.1 Phương trình lan truyền xung trong sợi quang 3 1.1.1 Sự phân cực phi tuyến trong sợi quang .3 1.1.2 Sự lan truyền của các xung ngắn trong sợi quang .4 1.1.3 Ảnh hưởng của sự hao phí lên quá trình lan truyền xung .6 1.1.4 Sự lan truyền của các xung cực ngắn trong sợi quang 6 1.2 Các chế độ lan truyền xung 7 1.3 Hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm 9 1.4 Hiệu ứng tự biến điệu pha .13 1.5 Kết luận chương 1 .17 Chương 2 Nghiệm soliton của phương trình NLS 18 2.1 Cơ sở xuất hiện soliton quang học .18 2.2 Nghiệm soliton cơ bản của phương trình NLS 19 2.2.1 Sơ lược về phương pháp tán xạ ngược 19 2.2.2 Soliton cơ bản (soliton bậc một) .21 2.2.3 Phương pháp giải tích để tìm nghiệm soliton cơ bản 24 2.3 Soliton bậc cao (lời giải N–soliton) .25 2.4 Các kiểu soliton khác .27 2.4.1 Dark soliton (soliton tối) .27 2.4.2 Soliton lưỡng ổn định 30 2.5 Kết luận chương 2 .32 Chương 3 Nh iễu loạn tr ên solito n 33 3.1 Phương pháp biến phân Lagrange để giải phương trình NLS nhiễu loạn 33 4 3.2 Nhiễu loạn do hao phí trên sợi quang 36 3.2.1 Ảnh hưởng của sự hao phí .36 3.2.2 Khắc phục ảnh hưởng của sự hao phí .37 3.3 Tương tác giữa hai soliton cạnh nhau 38 3.4 Các hiệu ứng bậc cao .43 3.4.1 Hiệu ứng tán sắc bậc ba .43 3.4.2 Tán xạ Raman trong xung .45 3.5 Kết luận chương 3 .47 Kết luận 48 Tài liệu th am k hảo 49 5 Mở đầu Kể từ khi laser ra đời năm 1960, quang học phi tuyến đã có những phát triển vượt bậc và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ, đặc biệt là trong truyền tải và xử lí thông tin. Một công nghệ mới có tính cách mạng, "thông tin bằng sóng ánh sáng" (thông tin quang) đã ra đời và cải tạo mạng lưới thông tin trên toàn thế giới. Nhờ đó, một khối lượng thông tin khổng lồ các tín hiệu hình, tín hiệu âm thanh và tín hiệu số có thể truyền đi một cách nhanh chóng và hiệu quả. Tính ưu việt của hệ thống thông tin quang so với các hệ thống thông tin khác đó là tổn hao năng lượng thấp, dễ khuyếch đại tín hiệu trong quá trình truyền dẫn và tốc độ truyền thông tin là rất lớn. Đặc biệt trong truyền dẫn thông tin quang thì tín hiệu được truyền đi có tính ổn định cao và sự méo tín hiệu được giảm đến mức tối đa và hầu như không bị méo. Soliton quang học là các xung quang học (xung ánh sáng Laser) có khả năng giữ nguyên dạng của nó trong quá trình lan truyền. Soliton quang học được hình thành khi xung quang học có công suất lớn lan truyền trong môi trường phi tuyến mà trong đó hiệu ứng tán sắc vận tôc nhóm và hiệu ứng tự biến điệu pha cân bằng với nhau. Do đó nghiên cứu sự hình thành và lan truyền của soliton quang học trong sợi quang và sử dụng chúng trong thông tin quang đang là vấn đề rất được quan tâm cho các hệ thống thông tin quang. Thông thường người ta sử dụng lí thuyết trường điện từ của Maxwell để mô tả quá trình lan truyền xung trong môi trường phi tuyến nói chung và sợi quang nói riêng. Trong đó sự lan truyền của các xung ánh sáng được mô tả thông qua phương trình của hàm bao biến thiên chậm. Phương trình lan truyền của các xung trong sợi quang (môi trường phi tuyến kiểu Kerr) ở các khai triển bậc thấp có dạng phương trình Schrödinger phi tuyến. Phương trình này sẽ cho các nghiện soliton nếu các xung ánh sáng thoả mãn một số điều kiện nhất định. Phương trình Schrodinger phi tuyến mô tả tốt sự lan truyền của các xung ngắn (cỡ pico–giây hoặc lớn hơn). Còn trong trường hợp các xung ngắn hơn thì cần phải tính đến các khai triển bậc cao (mô tả các hiệu ứng bậc cao) và phương trình mô tả sự lan truyền xung trong trường hợp này gọi là phương trình Schodinger phi tuyến suy rộng. Đây là một bài toán rất phức tạp. Tuy nhiên trong điều kiện xung không quá ngắn ta có thể xem các khai triển bậc cao như là các nhiễu loạn nhỏ. Lúc đó ta sẽ xem phương trình Schodinger phi tuyến suy rộng như là phương trình Schodinger phi tuyến có nhiễu loạn. Mặt khác mặc dù hao phí trên sợi quang là nhỏ (nếu tấn số của xung cách xa tần số cộng hưởng của môi trường) nhưng nó vẫn có thể gây ra các nhiễu loạn nhỏ trên soliton. Thêm nữa khi các soliton lan truyền trong sợi quang thì 6 giữa hai soliton cạnh nhau có sự xen phủ của đuôi soliton này lên soliton kia và đưa lại sự tương tác giữa hai soliton. Sự tương tác được coi là nhiễu loạn nhỏ khi khoảng cách giữa hai soliton là đủ lớn. Trong điều kiện nhất định ta có thể coi các hiệu ứng bậc cao, sự hao phí trên sợi quang và tương tác giữa hai soliton cạnh nhau như là các nhiễu loạn nhỏ ảnh hưởng lên nghiệm soliton của phương trình Schodinger phi tuyến. Vì vậy một trong những mục đích của đề tài là khảo sát các nhiễu loạn nhỏ nói trên lên soliton lan truyền trong sợi quang. Xuất phát từ các lí do trên chúng tôi đã chọn đề tài: NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA CÁC NHIỄU LOẠN NHỎ LÊN QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN SOLITON TRONG SỢI QUANG. Trên cơ sở đó nội dung chính của đề tài sẽ được trình bày trong ba chương theo bố cục sau. Chương 1: Khảo sát quá trình lan truyền của xung quang học trong sợi quang. Trong chương này sẽ dẫn ra các phương trình lan truyền của xung quang học trong sợi quang. Bao gồm các phương trình Schodinger phi tuyến (NLSE), phương trình Schodinger phi tuyến suy rộng (GNLSE) và phương trình lan truyền xung khi tính đến sự hao phí trên sợi quang. Hai hiệu ứng quan trọng và cơ bản quyết định đến sự hình thành soliton quang học là hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm (GVD) và hiệu ứng tự biến điệu pha (SPM) cũng sẽ được khảo sát chi tiết. Chương 2: Giải phương trình Schodinger phi tuyến để tìm nghiệm soliton của nó. Hai phương pháp được sử dụng để giải phương trình này là phương pháp tán xạ ngược và phương pháp giải tích. Các soliton cơ bản và soliton bậc cao được tìm thấy khi xung lan truyền trong chế độ tán sắc dị thường. Ngoài ra trong chương này còn cho lời giải của một số loại nghiệm soliton khác như soliton lưỡng ổn định và soliton tối (dark soliton). Chương 3: Sử dụng phương pháp biến phân Lagrange để khảo sát các nhiễu loạn nhỏ ảnh hưởng lên quá trình soliton cơ bản lan truyền trong sợi quang. Các nhiễu loạn nhỏ sẽ được khảo sát là sự hao phí trên sợi quang, tương tác giữa hai soliton cạnh nhau, hiệu ứng tán sắc bậc ba và hiệu ứng tán xạ Raman trong xung. 7 Chương 1 Sự lan truyền xung trong sợi quang 1.1 Phương trình lan truyền xung trong sợi quang 1.1.1 Sự phân cực phi tuyến trong sợi quang Khi trường quang học lan truyền qua một môi trường điện môi nào đó thì trong chất điện môi xuất hiện các véctơ phân cực. Sự đáp ứng của bất kì chất điện môi nào với trường quang học có có cường độ lớn đều trở nên phi tuyến. Các sợi quang đều được chế tạo từ hỗn hợp ôxít–silic là một chất điện môi. Khi xung quang học có công suất lớn lan truyền trong sợi quang véctơ phân cực toàn phần P sẽ trở nên phi tuyến và liên hệ với véctơ cường độ điện trường E theo [2, 4, 6]: ( ) . )3()2()1( 0 +++= EEEEEEP χχχε (1.1) Trong đó 0 ε là hệ số điện môi trong chân không, )( j χ là độ cảm điện môi bậc j. Độ cảm điện môi tuyến tính )1( χ biểu diễn phần đóng góp lớn nhất của véctơ phân cực P, và các hiệu ứng của nó thể hiện qua chiết suất phụ thuộc vào tần số )( ω n . )2( χ mô tả các hiệu ứng phi tuyến bậc hai như phát tần số tổng và phát hoà âm bậc hai. Sợi quang chế tạo từ ôxit–silic do có cấu tạo đối xứng tâm của các tinh thể không biểu lộ các hiệu ứng này. Sự đóng góp phi tuyến lớn nhất của phần phi tuyến trong véctơ phân cực P là của )3( χ . Nó thể hiện qua các hiệu ứng như hiệu ứng phát hoà âm bậc ba, hiệu ứng trộn bốn sóng, hiệu ứng tự biến điệu pha (SPM). Tính chất phi tuyến bậc ba là kết quả của sự phụ thuộc vào cường độ của chiết suất: [2, 4] 2 2 2 )(),( ~ EnnEn += ωω (1.2) Trong đó là chiết suất tuyến tính (chiết suất thường): )1(2 1)( χω += n (1.3) và 2 n là chiết suất phi tuyến cho bởi: ( ) )3( 2 Re 8 3 χ n n = (1.4) 8 1.1.2 Sự lan truyền các xung ngắn trong sợi quang Các xung quang học được gọi là xung ngắn khi độ rộng xung của nó cỡ pico–giây. Trong giới hạn cổ điển, sự lan truyền của các xung trong sợi quang có thể mô tả một cách toán học bằng hệ phương trình Maxwell. 0 = = ∂ ∂ += ∂ ∂ −= B D B jH B E div ρdiv t rot t rot (1.5) Trong đó E và H tương ứng là véctơ cường độ điện trường và từ trường, D và B là véctơ cảm ứng điện và cảm ứng từ, j là véctơ mật độ dòng điện dẫn và ρ là mật độ điện tích tự do. Ta sẽ đưa vào một số giả thiết sau nhằm đưa ra phương trình lan truyền xung một cách đơn giản hoá. ° Môi trường không có điện tích tự do (j = 0; ρ = 0), đó là phép gần đúng tốt cho sợi quang. ° Môi trường không có từ tính (M = 0), sợi quang là một môi trường như vậy. ° Bước sóng của trường quang học lan truyền trong sợi quang là xa miền cộng hưởng của môi trường (0,5 – 2μm). ° Phép xấp xỉ lưỡng cực là hợp lệ, do đó các quá trình thông số bậc hai như trộn ba sóng và phát hoà âm bậc hai được bỏ qua. Trong thực nghiệm chúng vẫn xẩy ra vì các hiệu ứng tứ cực và lưỡng cực từ, tuy nhiên chúng là rất nhỏ. ° Môi trường đáp ứng với trường quang học một cách cục bộ (địa phương), điều đó là hợp lệ cho phép xấp xỉ của phép chiếu. ° Véctơ phân cực phi tuyến NL P có thể xem như là một nhiễu loạn nhỏ so với véctơ phân cực toàn phần P . ° Chỉ có hiệu ứng phi tuyến bậc ba là cần thiết phải đặt vào phần mô tả hiệu ứng phi tuyến. Điều đó hợp lệ vì các hiệu ứng bậc hai và bậc bốn (bậc chẵn) là không có do cấu tạo đối xứng tâm của tinh thể ôxit–silic. Còn các hiệu ứng bậc năm (bậc lẻ) và cao hơn nữa là rất nhỏ so với hiệu ứng bậc ba và có thể bỏ qua. ° Phần ảo của hệ số điện môi )( ωε (phần ảo của hệ số điện môi biểu diễn sự hấp thụ năng lượng của môi trường) là nhỏ so với phần thực. Nghĩa là sự hao phí trên sợi quang là nhỏ, điều đó là một phép xấp xỉ tốt khi bước sóng của xung quang học là xa miền bước sóng cộng hưởng của sợi quang. ° Bước sóng của trường quang học phải lớn hơn bước sóng giới hạn của sợi quang sao cho điều kiện truyền đơn mode được thoả mãn. ° Sự đáp ứng phi tuyến của môi trường được coi là tức thời. Phép xấp xỉ này là hợp lệ cho các xung có độ rộng lớn hơn cỡ 70ps. 9 ° Trường quang học là phân cực phẳng (thẳng) và giữ nguyên dọc theo chiều dài của sợi quang. Chẳng hạn véctơ cường độ điện trường E dao dộng theo phương xác định là trục x (phương phân cực của trường quang học) và phương lan truyền là trục z trùng với trục sợi quang. Do đó ta có thể đưa bài toán ba chiều về bài toán một chiều. ° Trường quang học thoả mãn điều kiện chuẩn đơn sắc, nghĩa là trường là tập hợp các sóng phẳng đơn sắc với tần số trung tâm là 0 ω và độ rộng phổ ω ∆ thoả mãn 1 0 <<∆ ωω . Điều đó cho phép áp dụng phép xấp xỉ hàm bao biến đổi chậm. Ta có thể biểu diễn xung dưới dạng trường có đường bao biến đổi chậm như sau: [2, 4] ( ){ } [ ] ccztitzAtzEtr xx +−−== βω 0 exp),( 2 1 ),(),( eeE (1.6) ),( tzA là hàm bao phức biến thiên chậm theo thời gian (trong một chu kì dao động của sóng mang hàm bao biến thiên không đáng kể). cc là liên hợp phức của ( ){ } ztitzA βω −− 0 exp),( . ),( tzA và 2 ),( tzA tương ứng là độ lớn và cường độ của xung – đại lượng trong thực tế ta có thể đo được. Sự lan truyền của hàm bao biến thiên chậm ),( tzA của xung quang học được mô tả bởi phương trình vi phân đạo hàm riêng sau: [4, 6] AAi t A i t A z A 2 2 2 2 1 2 γ β β = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ (1.7) Trong đó 0 1 ωω ω β β = ∂ ∂ = và 1 1 β = g v là vận tốc nhóm của xung. 0 2 2 2 ωω ω β β = ∂ ∂ = là độ tán sắc vận tốc nhóm. eff cA n 02 ω γ = là hệ số phi tuyến, eff A là tiết diện hiệu dụng của sợi quang, 0 ω là tần số góc trung tâm của xung. Để đơn giản ta xét trong hệ toạ độ chuyển động cùng với xung (chuyển động với vận tốc bằng vận tốc nhóm g v ) bằng cách đưa và biến: g v z tT −= bằng cách đổi biến này phương trình (1.7) được đưa về phương trình gọi là phương trình Schrödinger phi tuyến (NLSE): AAi T A i z A 2 2 2 2 2 γ β = ∂ ∂ + ∂ ∂ (1.8) Phương trình trên mô tả quá trình lan truyền của các xung ngắn trong sợi quang, số hạng thứ hai ở vế trái mô tả hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm (GVD), còn số hạng ở vế phải mô tả hiệu ứng tự biến điệu pha. Trong sự cân bằng giữa hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm và hiệu ứng tự biến điệu pha phương trình (1.8) sẽ cho nghiệm soliton, và đó là nội dung nghiên cứu chính ở chương hai. 10 . tài: NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA CÁC NHIỄU LOẠN NHỎ LÊN QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN SOLITON TRONG SỢI QUANG. Trên cơ sở đó nội dung chính của đề tài sẽ được trình. THẾ NGÔ VINH NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA CÁC NHIỄU LOẠN NHỎ LÊN QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN SOLITON TRONG SỢI QUANG LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ Chuyên ngành: QUANG HỌC